Дараалал ба цуваа цуврал хичээлийн-2, 12-р ангийн сонгон судлах агууллыг хамруулсан байгаа

1. Төгсгөлгүй нийлбэр ба
цувааны нийлэлтийн тухай,
Сигма тэмдэглэгээг хэрэглэх
12-р анги

2. Тодорхойлолтууд:
Тоон цуваа бүрийн хувьд хэсгийн
нийлбэрүүдийг дараах маягаар тодорхойлно.
S1 = a1
S2 = a1 +a2
S3 = a1 +a2 +a3
...
Sn = a1 +a2 +a3 + . . . +an
Тодорхойлолт 1:
𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑, … , 𝒖𝒏, …тоон
дарааллын бүх гишүүний
𝒖𝟏 + 𝒖𝟐 + 𝒖𝟑 + ⋯ + 𝒖𝒏 + ⋯
нийлбэрийг цуваа гэнэ.
Тодорхойлолт 2:
Нийлбэр нь олддог буюу тодорхой тоо гардаг цувааг нийлдэг цуваа гэнэ.
Харин цувааны нийлбэр олддоггүй бол түүнийг сарнидаг цуваа гэнэ.

3. Жишээлбэл:
𝑠𝑛 =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ ⋯ = 1 нийлдэг цуваа.
 𝑠𝑛 = 10 + 20 + 30 + 40 + ⋯ = хязгааргүй цааш
үргэлжлэх тул сариндаг цуваа.
1
4
1
2
1
8
1
16
Нэгж талтай квадрат дүрс талбайг таллан
хуваах замаар талбайн нийлбэрийг
илэрхийлбэл дараах цуваа үүснэ.
𝑆 = 1 × 1 = 1

4. Төгсгөлгүй буурах геометр прогресс
Ерөнхий гишүүн нь 𝒖𝒏 = 𝒂𝒓𝒏−𝟏 гэсэн томьёогоор өгөгдсөн тѳгсгѳлгүй
буурах геометр прогресс 𝒂 + 𝒂𝒓 + 𝒂𝒓𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒓𝒏−𝟏 + ⋯, −𝟏 < 𝒓 < 𝟏
өгөгдсөн байг. Эхний 𝒏 гишүүний нийлбэрийг олбол:
𝑺𝒏 = 𝒂 + 𝒂𝒓 + ⋯ + 𝒂𝒓𝒏−𝟏 = 𝒂 𝟏 + 𝒓 + ⋯ + 𝒓𝒏−𝟏 =
𝒂 𝟏−𝒓𝒏
𝟏−𝒓
=
𝒂
𝟏−𝒓
+
𝒂𝒓𝒏
𝟏−𝒓
болох ба −𝟏 < 𝒓 < 𝟏 учир 𝒏 ихсэхэд 𝒓𝒏
тоо 0 рүү ойртоно. Иймээс
төгсгөлгүй геометр прогрессийн гишүүдийн нийлбэр:
𝐒 = 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂
𝟏−𝒓
+
𝒂𝒓𝒏
𝟏−𝒓
=
𝒂
𝟏−𝒓
гэж олдоно.Эндээс төгсгөлгүй буурах геометр
прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр нь:𝑺𝒏 =
𝒃𝟏
𝟏−𝒒
Хэрэв 𝒓 > 𝟏 бол 𝒏 ихсэхэд 𝒓𝒏 тоо улам бүр ихсэх учраас хэсгийн нийлбэр
𝑺𝒏 ихсэж геометр прогрессийн нийлбэр нь олдохгүй.

5. Жишээ бодлого:
 Sn =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ … = Энэ дарааллын хувьд
𝑏1=
1
2
𝑞 =
1
4
÷
1
2
=
1
4
∙
2
1
=
1
2
байх төгсгөлгүй буурах
геометр прогресс тул нийлбэр нь 𝑆𝑛=
𝑏1
1−𝑞
=
1
2
1−
1
2
=
1
2
1
2
=1
гарч өмнөх бодолт батлагдав

6. Жишээ бодлого:

7. Сигма тэмдэглэгээ хэрэглэх
Цуваа нь төгсгөлгүй дарааллын бүх гишүүдийн нийлбэр учраас
үүнийг хялбарчилж сигма буюу ∑ тэмдэглэгээг хэрэглэдэг. Өөрөөр
хэлбэл: 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢𝑛 + ⋯ = ∑𝑖=1
∞
𝑢𝑖 гэж товчилж
бичдэг.Харин цувааны эхний n гишүүний нийлбэрийг
𝑆𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢𝑛 =
𝑖=1
𝑛
𝑢𝑖
мөн энэ нийлбэрийг ∑𝒋=𝟏
𝒏
𝒖𝒋, ∑𝒌=𝟏
𝒏
𝒖𝒌, ∑𝒊=𝟎
𝒏−𝟏
𝒖𝒊+𝟏 гэх мэтээр
тэмдэглэж болох ба бүгд дээрх цувааны нийлбэртэй тэнцүү.
(жич: бичихдээ гэж бичнэ)

8. Нийлдэг цувааны хувьд дараах чанарууд биелнэ
Хэрэв ∑𝒊=𝟏
∞
𝒖𝒊 , ∑𝒊=𝟏
∞
𝒗𝒊 цуваанууд нийлдэг бол
1. ∑𝒊=𝟏
∞
𝒖𝒊 + 𝒗𝒊 = ∑𝒊=𝟏
∞
𝒖𝒊 + ∑𝒊=𝟏
∞
𝒗𝒊
2. ∑𝒊=𝟏
𝒏
𝒂𝒖𝒊 =𝒂 ∙ ∑𝒊=𝟏
∞
𝒖𝒊
( 𝒂 - тогтмол,бодит тоо)

9. Бодлого: 1
 𝟏 −
𝟏
𝟑
+
𝟏
𝟓
−
𝟏
𝟕
+ ⋯ + −𝟏 𝒏−𝟏
∙
𝟏
𝟐𝒏−𝟏
+ ⋯ цувааг сигма тэмдэг
хэрэглэн бич
Бодолт: Цувааны эхний гишүүн 𝑢1 = 1, 𝑢2 = −
1
3
, 𝑢3 =
1
5
, … гэж
бичигдсэн ба ерөнхий гишүүн нь 𝑢𝑛 = (−1)𝑛−1
∙
1
2𝑛−1
Иймд сигма хэрэглэн цувааг бичвэл
𝒏=𝟏
∞
(−𝟏)𝒏−𝟏
∙
𝟏
𝟐𝒏 − 𝟏

10. Бодлого : 2
∑𝒓=𝟏
𝒏
(𝟐𝒓 + 𝟏) нийлбэрийг дэлгэрэнгүй хэлбэрт бичиж
нийлбэрийг ол
Бодолт : 𝑆𝑛 = ∑𝑟=1
𝑛
2𝑟 + 1 = 3 + 5 + 7 + 9 + ⋯ + (2𝑛 + 1)
цувааг бүрдүүлж байгаа гишүүд арифметик прогресс байгаа учир
𝑆𝑛 =
3 + (2𝑛 + 1)
2
× 𝑛 =
(4 + 2𝑛) × 𝑛
2
=
4𝑛 + 2𝑛2
2
=
2(2𝑛 + 𝑛2
)
2
= 2𝑛 + 𝑛2

11. Бодлого : 3
 ∑𝒏=𝟎
∞
𝟐𝒏
энэ цуваа нийлэх үү? Хэрэв нийлдэг бол нийлбэрийг ол
𝑛=0
∞
2𝑛
= 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
энэ цуваа нь төгсгөлгүй өсдөг геометр
прогресс тул сарнидаг цуваа болно.Тэгэхээр
нийлбэр нь хязгааргүй байна.

12. Бодлого : 𝟑 𝟓 𝟑 𝟓 … =?
Бодолт: 3 5 3 5 … = 3
1
2 × 5
1
4 × 3
1
8 × 5
1
16 × ⋯ = 3
1
2
+
1
8
+
1
32
+ …
× 5
1
4
+
1
16
+ …
=
= 3
2
3× 5
1
3 = (32
∙ 5)
1
3=
3
45
1
2
+
1
8
+
1
32
+ ⋯ =
1
2
1−
1
4
=
1
2
3
4
=
1
2
÷
3
4
=
1
2
×
4
3
=
𝟐
𝟑
1
4
+
1
16
+ ⋯ =
1
4
1−
1
4
=
1
4
3
4
=
1
4
÷
3
4
=
1
4
×
4
3
=
𝟏
𝟑

13. Ялгаврын аргаар цувааны нийлбэр олох
 ∑𝑖=1
𝑛
𝑖 =
𝑛(𝑛+1)
2
нийлбэрийг ол
∑𝒊=𝟏
𝒏
𝒊 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟒 + ⋯ +
𝒏(𝒏+𝟏)
𝟐
энэ цувааны 𝑺𝒏 − ийг ялгаврын аргаар олъё. Үүний тулд
𝒌𝟐 -(𝒌 − 𝟏)𝟐 = 𝟐𝒌 − 𝟏 гэсэн адилтгалыг 𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … , (𝒏 − 𝟏), 𝒏 үед бичвэл
𝟏𝟐 - 𝟎𝟐 = 𝟐 × 𝟏 − 𝟏
𝟐𝟐
- 𝟏𝟐
= 𝟐 × 𝟐 − 𝟏
𝟑𝟐
- 𝟐𝟐
= 𝟐 × 𝟑 − 𝟏
…
(𝒏 − 𝟏)𝟐
− 𝒏 − 𝟐 𝟐
= 𝟐 × 𝒏 − 𝟏 − 𝟏
𝒏𝟐 - (𝒏 − 𝟏)𝟐= 𝟐 × 𝒏 − 𝟏 болно. Эдгээр адилтгалын тэнцүүгийн тэмдгийн 2 талыг
харгалзуулан нэмбэл
𝒏𝟐
= 2*(1+2+3+…+(n-1)+n)-n
1+2+3+…+(n-1)+n =
𝒏𝟐+𝒏
𝟐
=
𝒏(𝒏+𝟏)
𝟐
болж адилтгал батлагдав.

14. Бодлого : 5
∑𝑘=1
𝑛 1
(3𝑘−2)(3𝑘+1)
төгсгөлөг нийлбэрийг олж
∑𝑘=1
∞ 1
(3𝑘−2)(3𝑘+1)
цувааны нийлбэрийг ол
1
3𝑘−2
−
1
3𝑘+1
=
3𝑘+1−3𝑘+2
3𝑘−2 3𝑘+1
=
3
3𝑘−2 3𝑘+1
⟹
1
3𝑘−2 3𝑘+1
=
1
3
1
3𝑘−2
−
1
3𝑘+1
болно
∑𝑘=1
𝑛 1
(3𝑘−2)(3𝑘+1)
= ∑𝑘=1
𝑛 1
3
(
1
3𝑘−2
−
1
3𝑘+1
)=
1
3
1 −
1
4
+
1
4
−
1
7
+
1
7
−
1
10
+
1
10
− ⋯ +

15. Бодлого:6 ЭЕШ

2
30∙31
+
2
31∙32
+ ⋯ +
2
118∙119
+
2
119∙120
=?

2
50∙51
+
2
51∙52
+ ⋯ +
2
148∙149
+
2
149∙150
=?

2
40∙41
+
2
41∙42
+ ⋯ +
2
118∙119
+
2
119∙120
=?

2
10∙11
+
2
11∙12
+ ⋯ +
2
48∙49
+
2
49∙50
=?

16. Даалгавар
1. ∑𝑟=1
𝑛
(3𝑟 − 1) нийлбэрийг дэлгэрэнгүй хэлбэрт бичээд
нийлбэрийг ол.
2.
1
2
-
1
4
+
1
6
-
1
8
+…+(−1)𝑛−1
∙
1
2𝑛
+… цувааг сигма тэмдэг
хэрэглэн бич.
3. ∑𝑟=1
∞ 1
(2𝑟+2)(2𝑟+1)
цувааны хэсгийн 𝑆𝑛 − ийг дэлгэрэнгүй
хэлбэрт бичээд , нийлбэрийг олоод, цуваа нийлдэл бол нийлбэрийг ол.