More Related Content Similar to ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022 (20) More from anasKhalaf4 (7) ملزمة الرياضيات للصف السادس الاحيائي الفصل الثاني القطوع المخروطية 2022 3. CONIC SECTIONS 1
المخروطية القطوع
من انواع ثالثة فيتكون مختلفة بمسنويات قائم دائري مخروط سطح قطع من المخروطية القطوع تتكون
: القطوع
. مولداته الحد مواز بمستو المخروط قطع من ويتكون : المكافئ القطع
المخروط قطع من ويتكون : الناقص القطع
. مولداته احد وال قاعدته يوازي ال بمستو
. القائم المخروط محور يوازي بمستو المخروط قطع من ويتكون : الزائد القطع
: المخروطي للقطع العامة المعادلة
(𝒙 − 𝒙𝟏)𝟐
+ (𝒚 − 𝒚𝟏)𝟐
= 𝒆𝟐
.
|𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄|
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
حيث
e
. للقطع المركزي االختالف هي
ببؤره ويحدد الخاصة معادلته القطوع انواع من نوع ولكل
) ببؤرتين (أو
.
المكافئ القطع :أوال
: حاالت اربعة وله
تنتمي وبؤرته االصل نقطة رأسه الذي المكافئ القطع معادلة
السينات لمحور
الموجب
: هي
𝒚𝟐
= 𝟒𝒑𝒙, ∀𝒑 > 𝟎
الدليل معادلة
:
𝒙 = −𝒑
: البؤره
𝑭(𝒑, 𝟎)
4. CONIC SECTIONS 2
وبؤرته االصل نقطة رأسه الذي المكافئ القطع معادلة
لمحور تنتمي
السالب السينات
: هي
𝒚𝟐
= − 𝟒𝒑𝒙, ∀𝒑 > 𝟎
: الدليل معادلة
𝒙 = 𝒑
: البؤره
𝑭(−𝒑, 𝟎)
وبؤرته االصل نقطة رأسه الذي المكافئ القطع معادلة
تنتمي
الصادات لمحور
الموجب
: هي
𝒙𝟐
= 𝟒𝒑𝒚, ∀𝒑 > 𝟎
: الدليل معادلة
𝒚 = −𝒑
: البؤره
𝑭(𝟎, 𝒑)
وبؤرته االصل نقطة رأسه الذي المكافئ القطع معادلة
تنتمي
الصادات لمحور
السالب
: هي
𝒙𝟐
= −𝟒𝒑𝒚, ∀𝒑 > 𝟎
: الدليل معادلة
𝒚 = 𝒑
: البؤره
𝑭(𝟎, −𝒑)
5. CONIC SECTIONS 3
:مثال
المكافئ القطع دليل ومعادلة البؤرة جد
𝒚𝟐
= 𝟒𝒙
𝑦2
= 4𝑥
𝑦2
= 4𝑝𝑥
⇒ 4𝑝𝑥 = 4𝑥 ⇒ 4𝑝 = 4 ⇒ 𝑝 =
4
4
= 1
∴ 𝐹(𝑝, 0) = 𝐹(1,0) البؤره
𝑦 = −𝑝 ⇒ 𝑦 = −1 الدليل معادلة
===========================================================
:مثال
المكافئ القطع دليل ومعادلة البؤرة جد
𝒚𝟐
= −𝟖𝒙
.
𝑦2
= −8𝑥
𝑦2
= −4𝑝𝑥
⇒ −4𝑝𝑥 = −8𝑥 ⇒ 4𝑝 = 8 ⇒ 𝑝 =
8
4
= 2
∴ 𝐹(−𝑝, 0) = 𝐹(−2,0) البؤره
𝑦 = 𝑝 ⇒ 𝑦 = 2 الدليل معادلة
===========================================================
:مثال
المكافئ القطع دليل ومعادلة البؤرة جد
𝒚𝟐
= −𝟒𝒙
. ارسمه ثم
𝑦2
= −4𝑥
𝑦2
= −4𝑝𝑥
⇒ −4𝑝𝑥 = −4𝑥 ⇒ −4𝑝 = −4
⇒ 𝑝 =
−4
−4
= 1
𝑥 = 1 الدليل معادلة
∴ 𝐹(−𝑝, 0) = 𝐹(−1,0) البؤره
النوع هذا من المسائل لحل
بمقارنة نقوم
السؤال في المعطاة المعادلة
القي بالمعادلة
اسية
ونستخرج للقطع
p
. والدليل البؤرة نكتب ثم
اشارة
الدليل اشارة عكس دائما البؤرة
.
بالمقارنة
بالمقارنة
بالمقارنة
6. CONIC SECTIONS 4
م
:ثال
المكافئ القطع دليل ومعادلة البؤرة جد
𝒚𝟐
= 𝟒𝒙
. ارسمه ثم
𝑦2
= 4𝑥
𝑦2
= 4𝑝𝑥
⇒ 4𝑝𝑥 = 4𝑥 ⇒ 4𝑝 = 4 ⇒ 𝑝 =
4
4
= 1
𝑥 = 1 معادلة
الدليل
∴ 𝐹(𝑝, 0) = 𝐹(1,0) البؤره
𝑦2
= 4𝑥 ⇒ 𝑦 = ±2√𝑥
===========================================================
:مثال
: علم اذا المكافئ القطع معادلة جد
أ
)
( بؤرته
0
,
3
.االصل نقطة والرأس )
𝐹(𝑝, 0) = 𝐹(3,0)
⇒ 𝑝 = 3
𝑦2
= 4𝑝𝑥 ⇒ 𝑦2
= 4(3)𝑥 ⇒ 𝒚𝟐
= 𝟏𝟐𝒙
ب
)
الدليل معادلة
𝟐𝒙 − 𝟔 = 𝟎
. االصل نقطة ورأسه
2𝑥 − 6 = 0
2𝑥 = 6 ⇒ 𝑥 =
6
2
= 3
∴ 𝑥 = 3 ⇒ 𝑝 = 3
𝑦2
= −4𝑝𝑥 = −4(3)𝑥 = −12𝑥
𝑥 1 2
𝑦
= ±2√𝑥
±2 ±2√2
بالمقارنة
7. CONIC SECTIONS 5
تمرين
2
/
b
:
: المكافئ للقطع والدليل المحور ومعادلتي والرأس البؤره جد
2𝑥 + 16𝑦2
= 0
2𝑥 + 16𝑦2
= 0 ⇒ 16𝑦2
= −2𝑥 ⇒ 𝑦2
= −
1
8
𝑥
𝑦2
= −
1
8
𝑥
𝑦2
= −4𝑝𝑥
⇒ −
1
8
𝑥 = −4𝑝𝑥 ⇒ −
1
8
= −4𝑝 ⇒ 𝑝 =
1
32
𝑥 = 𝑝 ⇒ 𝑥 =
1
32
الدليل معادلة
∴ 𝐹(−𝑝, 0) = 𝐹 (−
1
32
, 0) البؤره
========================================================
: مثال
المكافئ القطع دليل ومعادلة البؤرة جد
𝟑𝒙𝟐
− 𝟐𝟒𝒚 = 𝟎
.
3𝑥2
− 24𝑦 = 0 ⇒ 3𝑥2
= 24𝑦 ⇒ 𝑥2
= 8𝑦
𝑥2
= 8𝑦
𝑥2
= 4𝑝𝑦
⇒ 8𝑦 = 4𝑝𝑦 ⇒ 8 = 4𝑝 ⇒ 𝑝 = 2
⇒ 𝐹(0,2) البؤره
𝑦 = −𝑝
⇒ 𝑦 = −2 الدليل معادلة
بالمقارنة
بالمقارنة
8. CONIC SECTIONS 6
م
: ثال
جد
معادلة
المكافئ القطع
( بؤرته )أ : علم اذا
5
,
0
االصل نقطة ورأسه )
𝑭(𝟎, 𝒑) = 𝑭(𝟎, 𝟓)
⇒ 𝑝 = 5
𝑥2
= 4𝑝𝑦 ⇒ 𝑥2
= 4(5)𝑦
⇒ 𝑥2
= 20𝑦 المكافئ القطع معادلة
الدليل معادلة ) ب
y=7
. االصل نقطة ورأسه
𝑦 = 7 ⇒ 𝑝 = 7
𝑥2
= −4𝑝𝑦 ⇒ 𝑥2
= −4(7)𝑦
⇒ 𝑥2
= −28𝑦 المكافئ القطع معادلة
==========================================================
تمرين
1
/
:د
دليله معادلة الذي المكافئ القطع معادلة جد
4y-3=0
. االصل نقطة والرأس
4𝑦 − 3 = 0 ⇒ 4𝑦 = 3 ⇒ 𝑦 =
3
4
⇒ 𝑝 =
3
4
𝑥2
= −4𝑝𝑦 القياسية المعادلة
𝑥2
= −4 (
3
4
) 𝑦 ⇒ 𝑥2
= −3𝑦 المكافئ القطع معادلة
𝐹(0, −
3
4
) البؤرة
9. CONIC SECTIONS 7
: مثال
( بالنقطتين يمر الذي المكافئ القطع معادلة جد
4
,
2
و )
(2,-4)
. االصل نقطة ورأسه
. الموجب السينات محور الى تنتمي بؤرته ان نالحظ المكافئ القطع رسم من **
(2,-4) (2,4) للقطع تنتمي النقاط
𝑦2
= 4𝑝𝑥 القطع معادلة
القياسية
(−4)2
= 4𝑝(2) القطع معادلة في بالتعويض
⇒ 16 = 8𝑝 ⇒ 𝑝 =
16
8
= 2
∴ 𝑝 = 2
𝑦2
= 4𝑝𝑥 ⇒ 𝑦2
= 4(2)𝑥
⇒ 𝑦2
= 8𝑥 القطع معادلة
المكافئ
===========================================================
:مثال
بالنقطة المكافئ القطع دليل ويمر االصل نقطة رأسه الذي المكافئ القطع معادلة جد
(3,-5)
.
: معلوم غير البؤرة موقع ألن القياسية للمعادلة احتماالن يوجد **
السالب السينات لمحور تنتمي البؤرة :األولى الحالة
𝑦2
= −4𝑝𝑥
𝑥 = 3 الدليل
اليسار نحو تتجه القطع فتحة اذا , الموجب السينات محور على
∴ 𝐹(−𝑝, 0) = 𝐹(−3,0) ⇒ 𝑝 = 3
⇒ 𝑦2
= −4(3)𝑥 ⇒ 𝑦2
= −12𝑥 المكافئ القطع معادلة
الموجب الصادات لمحور تنتمي البؤرة :الثانية الحالة
𝑥2
= 4𝑝𝑦
𝑦 = −5 الدليل
∴ 𝐹(0, 𝑝) = 𝐹(0,5) ⇒ 𝑝 = 5
⇒ 𝑥2
= 4(5)𝑦 ⇒ 𝑥2
= 20𝑦 المكافئ القطع معادلة
10. CONIC SECTIONS 8
تمرين
4
:
بالنقطة يمر المكافئ القطع دليل كان اذا
(-3,4)
معادلته فجد االصل نقطة في والرأس
الموجب السينات لمحور تنتمي البؤرة :األولى الحالة
𝑦2
= 4𝑝𝑥 القياسية المعادلة
𝑥 = −3 الدليل
∴ 𝐹(𝑝, 0) = 𝐹(3,0) ⇒ 𝑝 = 3
⇒ 𝑦2
= 4(3)𝑥 ⇒ 𝑦2
= 12𝑥 : هي المكافئ القطع معادلة اذا
السالب الصادات لمحور تنتمي البؤرة :الثانية الحالة
𝑥2
= −4𝑝𝑦 القياسية المعادلة
𝑦 = 4 الدليل
∴ 𝐹(0, −𝑝) = 𝐹(0, −4) ⇒ 𝑝 = 4
⇒ 𝑥2
= −4(4)𝑦 ⇒ 𝑥2
= −16𝑦 المكافئ القطع معادلة اذا
:هي
=========================================================
تمرين
5
:
معادلته مكافئ قطع
𝑨𝒙𝟐
+ 𝟖𝒚 = 𝟎
بالنقطة ويمر
(1,2)
قيمة جد
A
ودليله بؤرته جد ثم
. القطع وارسم
النقطة ان بما /الحل
(1,2)
: معادلته تحقق فهي اذا للقطع تنتمي
𝐴(1)2
+ 8(2) = 0 ⇒ 𝐴 + 16 = 0 ⇒ 𝐴 = −16
∴ −16𝑥2
+ 8𝑦 = 0 ⇒ −16𝑥2
= −8y
⇒ 𝑥2
=
−8
−16
y ⇒ 𝑥2
=
1
2
y
𝑥2
= 4𝑝𝑦 ⇔ 𝑥2
=
1
2
y بالمقارنة
4𝑝 =
1
2
⇒ 𝑝 =
1
2
(
1
4
) =
1
8
11. CONIC SECTIONS 9
∴ 𝑦 = −
1
8
الدليل
⇒ 𝐹(0,
1
8
) البؤرة
===========================================================
:مثال
بؤرته أن علم اذا المكافئ القطع معادلة جد , التعريف بستخدام
(√𝟑, 𝟎)
.االصل نقطة في والرأس
/ الحل
𝑀𝐹 = 𝑀𝑄
⇒ √(𝑥 − √3)
2
+ (𝑦 − 0)2
= √(𝑥 − (−√3)) 2 + (𝑦 − 𝑦) 2
⇒ √𝑥2 − 2√3𝑥 + 3 + 𝑦2 = √𝑥2 + 2√3𝑥 + 3
⇒ 𝑥2
− 2√3𝑥 + 3 + 𝑦2
= 𝑥2
+ 2√3𝑥 + 3
⇒ 𝑦2
= 4√3𝑥
=========================================================
تمرين
6
:
بؤرته )أ :الذي المكافئ القطع معادلة جد , التعريف باستخدام
(7,0)
. االصل نقطة ورأسه
𝐴𝐵 = √(𝑥2 − 𝑥1) 2 + (𝑦2 − 𝑦1) 2
𝑀𝐹 = 𝑀𝑄
⇒ √(𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 0)2
= √(𝑥 − (−7)) 2 + (𝑦 − 𝑦) 2
⇒ √𝑥2 − 14𝑥 + 49 + 𝑦2 = √𝑥2 + 14𝑥 + 49
⇒ 𝑥2
− 14𝑥 + 49 + 𝑦2
= 𝑥2
+ 14𝑥 + 49
⇒ 𝑦2
= 28𝑥
12. CONIC SECTIONS 10
الدليل معادلة )ب
𝒚 = √𝟑
.
𝑦 = √3 ⇒ 𝐹(0, −√3)
𝑀𝐹 = 𝑀𝑄
⇒ √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − (−√3))
2
= √(𝑥 − 𝑥) 2 + (𝑦 − √3) 2
⇒ √𝑥2 + 𝑦2 + 2√3𝑦 + 3 = √𝑦2 − 2√3𝑦 + 3
⇒ 𝑥2
+ 𝑦2
+ 2√3𝑦 + 3 = 𝑦2
− 2√3𝑦 + 3
⇒ 𝑥2
= −4√3𝑦
13. CONIC SECTIONS 11
الناقص القطع : ًاثاني
وله وبؤرتين وقطبين رأسين من ويتكون بيضوي شكل له
حالتين
:البؤرتين موقع حسب
: األولى الحالة
( السينات محور على البؤرتان
𝑎2
تحت
𝑥2
)
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 القطع معادلة
𝐹1(𝑐, 0), 𝐹2(−𝑐, 0) البؤرتان
𝑉1(𝑎, 0), 𝑉2(−𝑎, 0) الراسان
𝑀1(0, 𝑏), 𝑀2(0, −𝑏) القطبان
الحالة
الثانية
محور على البؤرتان :
الصادات
(
𝑎2
تحت
𝑦2
)
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1 القطع معادلة
𝐹1(0, 𝑐), 𝐹2(0, −𝑐) البؤرتان
𝑉1(0, 𝑎), 𝑉2(0, −𝑎) الراسان
𝑀1(𝑏, 0), 𝑀2(−𝑏, 0) القطبان
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2
𝐴 = 𝑎𝑏𝜋 الناقص القطع مساحة
𝑃 = 2𝜋√
𝒂𝟐+𝒃𝟐
𝟐
الناقص القطع محيط
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
√𝑎2−𝑏2
𝑎
للقطع المركزي االختالف
14. CONIC SECTIONS 12
:مثال
والرأس البؤرتين من كل واحداثي المحورين من كل طول جد يأتي مما كل في
ي
. المركزي واالختالف ن
1.
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1
Sol
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 ⟹ 𝑎2 = 25 ⟹ 𝑎 = 5, 𝑏
2
= 16 ⟹ 𝑏 = 4
2a= 2(5)=10 الكبير المحور طول , 2𝑏 = 2(4) = 8 المحور طول
الصغير
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √25 − 16 = √9 = 3
𝐹1(𝑐, 0) ⟹ 𝐹1(3,0), 𝐹2(−𝑐, 0) ⟹ 𝐹2(−3,0) البؤرتان
𝑉1(𝑎, 0) ⟹ 𝑉1(5,0), 𝑉2(−𝑎, 0) ⟹ 𝑉2(−5,0) الراسان
𝑀1(0, 𝑏) ⟹ 𝑀1(0,4) و 𝑀2(0, −𝑏) ⟹ 𝑀2(0, −4) القطبان
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
3
5
المركزي االختالف
==========================================================
2. (4𝑥2 + 3𝑦2 =
4
3
) ×
3
4
⟹ 3𝑥2 +
9
4
𝑦2 = 1
𝑥2
1
3
+
𝑦2
4
9
= 1
𝑥2
𝑏2 +
𝑦2
𝑎2 = 1 ⟹ 𝑎2 =
4
9
⟹ 𝑎 =
2
3
, 𝑏
2
=
1
3
⟹ 𝑏 =
1
√3
2a= 2(
2
3
)=
4
3
الكبير المحور طول , 2𝑏 = 2 (
1
√3
) =
2
√3
المحور طول
الصغير
بالمقارنة
بالمقارنة
15. CONIC SECTIONS 13
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √
4
9
−
1
3
= √
1
9
=
1
√9
=
1
3
𝐹1(0, 𝑐) ⟹ 𝐹1 (0,
1
3
), 𝐹2(0, −𝑐) ⟹ 𝐹2 (0, −
1
3
) البؤرتان
𝑉1(0, 𝑎) ⟹ 𝑉1 (0,
2
3
) , 𝑉2(0, −𝑎) ⟹ 𝑉2 (0, −
2
3
) الراسان
𝑀1(𝑏, 0) ⟹ 𝑀1 (
1
√3
, 0) , 𝑀2(−𝑏, 0) ⟹ 𝑀2 (−
1
√3
, 0) القطبان
𝒆 =
𝒄
𝒂
=
𝟏
𝟑
𝟐
𝟑
=
𝟑
𝟔
=
𝟏
𝟐
المر االختالف
كزي
===========================================================
تمرين
1
:
والرأس البؤرتين من كل واحداثي المحورين من كل طول جد يأتي مما كل في
ي
واالختالف ن
. المركزي
a. 𝒙𝟐
+ 𝟐𝒚𝟐
= 𝟏
𝑥2
1
+
𝑦2
1
2
= 1
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 ⟹ 𝑎2 = 1 ⟹ 𝑎 = 1, 𝑏
2
=
1
2
⟹ 𝑏 =
1
√2
2a= 2(1)= 2 , 2𝑏 = 2 (
1
√2
) =
2
√2
= √2
𝑦 = 0 , 𝑥 = 0
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √1 −
1
2
= √
1
2
=
1
√2
بالمقارنة
16. CONIC SECTIONS 14
𝐹1(𝑐, 0) ⟹ 𝐹1 (
1
√2
,0), 𝐹2(−𝑐, 0) ⟹ 𝐹2 (−
1
√2
,0)
𝑉1(𝑎, 0) ⟹ 𝑉1(1,0), 𝑉2(−𝑎, 0) ⟹ 𝑉2(−1,0)
𝑀1(0, 𝑏) ⟹ 𝑀1 (0,
1
√2
) 𝑀2(0, −𝑏) ⟹ 𝑀2 (0, −
1
√2
)
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
1
√2
1
=
1
√2
==========================================================
b. 9𝒙𝟐
+ 𝟏𝟑𝒚𝟐
= 117 ⟹
9𝑥2
117
+
13𝑦2
117
= 1
𝑥2
13
+
𝑦2
9
= 1
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 ⟹ 𝑎2 = 13 ⟹ 𝑎 = √13, 𝑏
2
= 9 ⟹ 𝑏 = 3
2a= 2(√13)= 2 √13 , 2𝑏 = 2(3) = 6
𝑦 = 0 , 𝑥 = 0
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √13 − 9 = √4 = 2
𝐹1(𝑐, 0) ⟹ 𝐹1(2 ,0), 𝐹2(−𝑐, 0) ⟹ 𝐹2(−2,0)
𝑉1(𝑎, 0) ⟹ 𝑉1(√13, 0), 𝑉2(−𝑎, 0) ⟹ 𝑉2(−√13, 0)
𝑀1(0, 𝑏) ⟹ 𝑀1(0,3) 𝑀2(0, −𝑏) ⟹ 𝑀2(0, −3)
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
2
√13
17. CONIC SECTIONS 15
:مثال
: يلي كما وراساه بؤرتاه الذي الناقص القطع معادلة جد
Ex. 𝑭𝟏(𝟑, 𝟎), 𝑭𝟐(−𝟑, 𝟎) , 𝑽𝟏(𝟓, 𝟎) , 𝑽𝟐(−𝟓, 𝟎)
𝑐 = 3 ⟹ 𝑐2
= 9, 𝑎 = 5 ⟹ 𝑎2
= 25
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
9 = 25 − 𝑏2
⟹ 𝑏2
= 25 − 9 = 16 ⟹ 𝑏 = 4
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 الم
عادلة
ل القياسية
الناقص لقطع
∴
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1 م
عادلة
ا
الناقص لقطع
===================================================
:مثال
المحورين على محوراه وينطبق االصل نقطة مركزه الذي الناقص القطع معادلة جد
طوله ًاجزء السينات محور من ويقطع االحداثيين
8
جزءا الصادات محور ومن وحدات
طوله
12
ب المسافة جد ثم , وحدة
. ومحيطه منطقته ومساحة البؤرتين ين
2𝑏 = 8 ⟹ 𝑏 = 4 ⟹ 𝑏2
= 16
2𝑎 = 12 ⟹ 𝑎 = 6 ⟹ 𝑎2
= 36
∴
𝑥2
16
+
𝑦2
36
= 1 القطع معادلة
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 = √36 − 16 = √20 ⟹ 𝑐 = 2√5
2𝑐 = 2(2√5) = 4√5 البؤرتين بين المسافة
𝐴 = 𝑎𝑏𝜋 = 6(4)𝜋 = 24𝜋 القطع مساحة
𝑃 = 2𝜋√
𝑎2+𝑏2
2
= 2𝜋√
36+16
2
= 2𝜋√
52
2
= 2𝜋√26 م
حيط
القطع
السينات محور من يقطع
8
طول اذا , وحدات
الكبير المحور
2b
=
8
.
الصادات محور من يقطع
12
طول اذا ,وحدة
الصغير المحور
2a
=
12
18. CONIC SECTIONS 16
تمرين
2
:
جد
المعادلة
القياسية
للقطع
الناقص
الذي
مركزه
في
نقطة
االصل
في
كل
مما
يأتي
:
a) 𝑭𝟏(𝟓 , 𝟎), 𝑭𝟐(−𝟓, 𝟎)
𝑐 = 5 ⟹ 𝑐2
= 25
2𝑎 = 12 ⟹ 𝑎 = 6 ⟹ 𝑎2 = 36
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
25 = 36 − 𝑏2
⟹ 𝑏2
= 36 − 25
= 11 ⟹ 𝑏 = √11
∴
𝑥2
36
+
𝑦2
16
= 1
===================================================
b. 𝑭𝟏(𝟎 , 𝟐), 𝑭𝟐(𝟎, −𝟐)
𝑐 = 2 ⟹ 𝑐2
= 4
𝑏 = 4 ⟹ 𝑏
2
= 16
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
4 = 𝑎2
− 16 ⟹ 𝑎2
= 16 + 4 = 20 ⟹ 𝑎 = √20
∴
𝑥2
16
+
𝑦2
20
= 1
C
.
احدى
بؤرتيه
تبعد
عن
نهايتي
محوره
الكبير
بالعددين
5
,
1
الترتيب على وحدة
: احتماالن يوجد اذا , البؤرتين موقع يحدد لم انه بما /الحل
1
)
السينات محور على البؤرتان
2𝑎 = 5 + 1 الرأسين عن البؤرة بعدي مجموع
= 6 ⟹ 𝑎 = 3
2015-1
عند السينات محور مع يتقاطع
𝒙 = ±𝟒
اذا ,
b=4
19. CONIC SECTIONS 17
𝑐 = 𝑎 − (االقل البعد ) = 3 − 1 = 2 ⟹ 𝑐 = 2
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
4 = 9 − 𝑏2
⟹ 𝑏2
= 9 − 4 = 5
∴
𝒙𝟐
𝟗
+
𝒚𝟐
𝟓
= 𝟏
2
)
محور على البؤرتان
الصادات
∴
𝒙𝟐
𝟓
+
𝒚𝟐
𝟗
= 𝟏
===================================================
d
.
= المركزي االختالف
𝟏
𝟐
= الصغير محوره وطول
12
. وحدة
: احتماالن يوجد اذا , البؤرتين موقع يحدد لم انه بما /الحل
1
)
السينات محور على البؤرتان
2𝑏 = 12 ⟹ 𝑏 = 6 ⟹ 𝑏2
= 6
𝑒 =
𝑐
𝑎
⟹ 𝑎 =
𝑐
𝑒
=
𝑐
1
2
= 2𝑐 ∴ 𝑎 = 2𝑐
𝑎2
= 4𝑐2
...(1)
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
…(2) ⟹ 4𝑐2 = 36 + 𝑐2 ⟹ 4𝑐2 − 𝑐2 = 36 ⟹ 3𝑐2 = 36
𝑐2
= 12 ⟹ 𝑎2
= 4(12) = 48 ( في بالتعويض
1
)
∴
𝑥2
48
+
𝑦2
36
= 1
20. CONIC SECTIONS 18
2
)
محور على البؤرتان
الصادات
∴
𝑥2
36
+
𝑦2
48
= 1
e
)
= بؤرتيه بين المسافة
8
= الصغير محوره ونصف وحدات
3
.وحدات
لم انه بما /الحل
: احتماالن يوجد اذا , البؤرتين موقع يحدد
1
)
السينات محور على البؤرتان
2𝑐 = 8 ⟹ 𝑐 = 4 ⟹ 𝑐2
= 16 البؤرتين بين المسافة
𝑏 = 3 ⟹ 𝑏2
= 9 يساوي الصغير المحور طول نصف
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
⟹ 𝑎2
= 9 + 16 = 25
∴
𝑥2
25
+
𝑦2
9
= 1
2
)
محور على البؤرتان
الصادات
∴
𝑥2
9
+
𝑦2
25
= 1
===================================================
تمرين
3
:
:علم اذا الناقص القطع معادلة جد , التعريف باستخدام
النقطتان بؤرتاه .أ
(𝟎, ±𝟐)
النقطتان ورأساه
(𝟎, ±𝟑)
.االصل نقطة ومركزه
𝑭𝟏(𝟎, 𝟐), 𝑭𝟐(𝟎, −𝟐) البؤرتان
𝑽𝟏(𝟎, 𝟑), 𝑽𝟐(𝟎, −𝟑) الرأسان
𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 = 2(3) = 6
√(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 2)2 + √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 + 2)2 = 6
√𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 6 − √𝑥2 + (𝑦 + 2)2
21. CONIC SECTIONS 19
𝑥2
+ (𝑦 − 2)2
= 36 − 12√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 + 𝑥2
+ (𝑦 + 2)2
𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑦 + 4 = 36 − 12√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 + 𝑥2
+ 𝑦2
+ 4𝑦 + 4
−4𝑦 = 36 − 12√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 + 4𝑦
12√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 36 + 8𝑦 ÷ 4
3√𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 9 + 2𝑦
9(𝑥2
+ (𝑦 + 2)2) = 81 + 36𝑦 + 4𝑦2
⟹ 9𝑥2 + 9𝑦2
+ 36𝑦 + 36 = 81 + 36𝑦 + 4𝑦2
⟹ 9𝑥2 + 9𝑦2
− 4𝑦2 = 81 − 36
⟹ 9𝑥2 + 5𝑦
2
= 45 ÷ 45
∴
𝑥2
5
+
𝑦2
9
= 1
===================================================
بين المسافة )ب
= البؤرتين
6
الثابت والعدد وحدات
10
السينات محور على تقعان والبؤرتان
. االصل نقطة ومركزه
2𝑐 = 6 ⟹ 𝑐 = 3 البؤرتين بين المسافة
2𝑎 = 10 ⟹ 𝑎 = 5 = الثابت العدد
10
𝐹1(−3,0), 𝐹2(3,0) البؤرتان
𝑉1(−5,0), 𝑉2(5,0) الرأسان
𝑀𝐹1 + 𝑀𝐹2 = 2𝑎 = 10
√(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 0)2 + √(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 0)2 = 10
√(𝑥 + 3)2 + 𝑦2 = 10 − √(𝑥 − 3)2 + 𝑦2
22. CONIC SECTIONS 20
(𝑥 + 3)2
+ 𝑦2
= 100 − 20√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 + (𝑥 − 3)2
+ 𝑦2
𝑥2
+ 6𝑥 + 9 + 𝑦2
= 100 − 20√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 + 𝑥2
− 6𝑥 + 9 + 𝑦2
6𝑥 = 100 − 20√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 − 6𝑥
20√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = 100 − 12𝑥 ÷ 4
5√(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = 25 − 3𝑥
25((𝑥 − 3)2
+ 𝑦2) = 625 − 150𝑥 + 9𝑥2
⟹ 25𝑥2 − 9𝑥2 − 150𝑥 + 225 + 25𝑦2 = 625 − 150𝑥
⟹ 16𝑥2 + 25𝑦2 = 625 − 225 ⟹ 16𝑥2 + 25𝑦
2
= 400 ÷ 400
∴
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1
==========================================================
تمرين
4
:
القطع بؤرة هي بؤرتيه واحدى االصل نقطة مركزه الذي الناقص القطع معادلة جد
معادلته الذي المكافئ
𝒚𝟐
+ 𝟖𝒙 = 𝟎
بالنقطة يمر الناقص القطع ان علما
(𝟐√𝟑, √𝟑)
.
𝑦2
+ 8𝑥 = 0 ⟹ 𝑦2
= −8𝑥
𝑦2
= −8𝑥
𝑦2
= −4𝑝𝑥 −4𝑝𝑥 = −8𝑥 ⟹ 4𝑝 = 8 ⟹ 𝑝 = 2 ⟹ 𝐹(−2,0)
𝐹1(−2,0), 𝐹2(2,0) ⟹ 𝑐 = 2, 𝑐2 = 4
𝑎2
= 𝑏2
+ 4 …. (1)
(2√3, √3) ⟹
(2√3)
2
𝑎2
+
(√3)
2
𝑏2
= 1 ⟹
12
𝑎2
+
3
𝑏2
= 1 × (𝑎2
𝑏2
)
12𝑏2
+ 3𝑎2
= 𝑎2
𝑏2
… (2)
12𝑏2
+ 3(𝑏2
+ 4) = (𝑏2
+ 4)𝑏2
ثم السؤال في المعطاة المعادلة بترتيب المكافئ القطع بؤرة اوال نجد
. بالقياسية مقارنتها
النقطة ومنها الناقص القطع بؤرتي نحدد ذلك بعد
c
رقم معادلة ونكون
1
.
بالنقطة يمر الناقص القطع ان بما
(𝟐√𝟑, √𝟑)
معادلته تحقق فهي اذا ,
ن
ع
معا اليجاد الناقص القطع معادلة في وضها
د
لة
2
.
23. CONIC SECTIONS 21
12𝑏2
+ 3𝑏2
+ 12 = 𝑏4
+ 4𝑏2
⟹ 𝑏4
− 11𝑏2
− 12 = 0
(𝑏2
− 12)(𝑏2
+ 1) = 0 ⟹ 𝑏2
= −1 𝑜𝑟 𝑏2
= 12
∴ 𝑎2
= 12 + 4 = 16
∴
𝑥2
16
+
𝑦2
12
= 1
===================================================
تمرين
5
:
جد
معادلة
القطع
الناقص
الذي
مركزه
نقطة
االصل
وبؤرتاه
على
محور
السينات
ويمر
بالنقطتين
(𝟑, 𝟒), (𝟔, 𝟐)
.
(3)2
𝑎2
+
(4)2
𝑏2
= 1 ⟹
9
𝑎2
+
16
𝑏2
= 1 … (1)
(6)2
𝑎2
+
(2)2
𝑏2
= 1 ⟹
36
𝑎2
+
4
𝑏2
= 1 … (2)
36
𝑎2
+
64
𝑏2
= 4
−
36
𝑎2
∓
4
𝑏2
= −1
60
𝑏2 = 3 ⟹ 𝑏2
=
60
3
= 20 ( معادلة في بالتعويض
1
)
9
𝑎2
+
16
20
= 1 ⟹
9
𝑎2
+
4
5
= 1 ⟹
9
𝑎2
= −
4
5
+ 1 ⟹
9
𝑎2
=
1
5
⟹ 𝑎2
= 45
𝑥2
45
+
𝑦2
20
= 1
× 4
بالنقطين يمر الناقص القطع ان بما
(𝟑, 𝟒), (𝟔, 𝟐)
فهما اذا ,
تحقق
ان
معادلته
ن
ع
وضه
م
م في ا
القطع عادلة
الناقص
قيم اليجاد
a , b
.
24. CONIC SECTIONS 22
تمرين
6
:
جد
معادلة
القطع
الناقص
الذي
مركزه
نقطة
االصل
وبؤرتاه
نقطتا
تقاطع
المنحني
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
− 𝟑𝒙 = 𝟏𝟔
المكافئ القطع دليل ويمس الصادات محور مع
𝒚𝟐
= 𝟏𝟐𝒙
.
/الحل
نعوض الصادات محور مع المنحني تقاطع نقطة اليجاد
x=0
ونجد
y
.
𝑥 = 0 ⟹ (0)2
+ 𝑦2
− 3(0) = 16 ⟹ 𝑦2
= 16 ⟹ 𝑦 = ±4
(𝟎, 𝟒), (𝟎, −𝟒) التقاطع نقطة ⟹ 𝑐 = 4 التقاطع نقطتي هما البؤرتان
𝑦2
= 12𝑥
𝑦2
= 4𝑝𝑥 ⟹ 4𝑝𝑥 = 12𝑥 ⟹ 4𝑝 = 12 ⟹ 𝑝 = 3 ⟹ 𝑥 = −3
⟹ (−3,0) ⟹ (3,0), (−3,0) هما الناقص القطع قطبا اذا , المكافئ القطع دليل يمس
⟹ 𝑏 = 3, 𝑏
2
= 9
𝑎2
= 𝑐2
+ 𝑏2
= 16 + 9 = 25
𝑥2
9
+
𝑦2
25
= 1
===================================================
تمرين
7
:
جد
معادلة
القطع
الناقص
الذي
بؤرتاه
تنتميان
الى
محور
السينات
ومركزه
في
نقطة
االصل
محوره وطول
الكبير
ضعف
طول
محوره
الصغير
ويقطع
القطع
المكافئ
𝒚𝟐
+ 𝟖𝒙 = 𝟎
عند
النقطة
التي
= السيني احداثيها
-2
.
/الحل
النقطة نعوض
2
-
x=
. التقاطع نقطة اليجاد القطع معادلة في
𝑦2
+ 8𝑥 = 0 ⟹ 𝑦2
+ 8(−2) = 0
⟹ 𝑦2 − 16 = 0 ⟹ 𝑦2 = 16 ⟹ 𝑦 = ±4
2𝑎 = 2(2𝑏) ض = الكبير محوره طول
ع
اذا , الصغير ف
= 4𝑏 ⟹ 𝑎 = 2𝑏 ⟹ 𝑎2
= 4𝑏2
… (1)
𝑥 = −2, 𝑦 = 4 ( في التعويض ثم القطع معادلة في نعوضهما
1
)
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 ⟹
(−2)2
𝑎2
+
(4)2
𝑏2
= 1 ⟹
4
4𝑏2
+
16
𝑏2
= 1 ⟹
1
𝑏2
+
16
𝑏2
= 1
25. CONIC SECTIONS 23
⟹
17
𝑏
2
= 1 ⟹ 𝑏
2
= 17
𝑎2
= 4(17) = 68
𝑥2
68
+
𝑦2
17
= 1
===================================================
تمرين
8
:
معادلته ناقص قطع
𝒉𝒙𝟐
+ 𝒌𝒚𝟐
= 𝟑𝟔
محوريه طولي مربعي ومجموع االصل نقطة ومركزه
يساوي
60
معادلته الذي المكافئ القطع بؤرة هي بؤرتيه واحدى وحدة
𝒚𝟐
= 𝟒√𝟑𝒙
من كل قيمة ما .
h,k
؟
:الحل
ℎ𝑥2
+ 𝑘𝑦2
= 36 ⟹
𝑥2
36
ℎ
+
𝑦2
36
𝑘
= 1 ⟹ 𝑎2
=
36
ℎ
, 𝑏2
=
36
𝑘
𝑦2
= 4√3𝑥
𝑦2
= 4𝑝𝑥 4𝑝 = 4√3 ⟹ 𝑝 = √3
𝑂(0, √3)
𝐹1(0, √3), 𝐹2(0, −√3) ⟹ 𝑐 = √3 ⟹ 𝑐2
= 3
(2𝑎)2
+ (2𝑏)2
= 60 ⟹ 4𝑎2
+ 4𝑏2
= 60 ⟹ 𝑎2
+ 𝑏2
= 15 … (1)
𝑎2
− 𝑏2
= 𝑐2
⟹ 𝑎2
− 𝑏2
= 3 … (2)
𝑎2
+ 𝑏2
= 15 … (1)
𝑎2
− 𝑏2
= 3 … (2)
2𝑎2
= 18 ⟹ 𝑎2
= 9
𝑏2
= 15 − 𝑎2
= 15 − 9 = 6
26. CONIC SECTIONS 24
𝑎2
=
36
ℎ
⟹ ℎ =
36
𝑎2
=
36
9
= 4
𝑏2
=
36
𝑘
⟹ 𝑘 =
36
𝑏2
=
36
6
= 6
===================================================
تمرين
9
:
جد
معادلة
القطع
الناقص
الذي
مركزه
نقطة
االصل
واحدى
بؤرتيه
هي
بؤرة
القطع
المكافئ
𝒙𝟐
= 𝟐𝟒𝒚
ومجموع
طولي
محوريه
( 36 )
وحدة
.
/الحل
𝑥2
= 24𝑦
𝑥2
= 4𝑝𝑦 4𝑝𝑦 = 24𝑦 ⟹ 4𝑝 = 24 ⟹ 𝑝 = 6 ⟹ 𝐹(0, −6)
𝐹1(0,6), 𝐹2(0, −6) ⟹ 𝑐 = 6, 𝑐2 = 36
𝑎2
= 𝑏2
+ 36 …. (1)
2𝑎 + 2𝑏 = 36 ⟹ 𝑎 + 𝑏 = 18 ⟹ 𝑎 = 18 − 𝑏 … (2) محوريه طولي مجموع
(18 − 𝑏)2
= 𝑏2
+ 36 ⟹ 324 − 36𝑏 + 𝑏2
− 𝑏2
= 36 ( نعوض
1
(في )
2
)
⟹ 324 − 36 = 36𝑏 ⟹ 36𝑏 = 288 ⟹ 𝑏 =
288
36
= 8 ⟹ 𝑏
2
= 64
𝑎2
= 𝑏2
+ 36 ⟹ 𝑎2
= 64 + 36 ⟹ 𝑎2
= 100
𝑥2
64
+
𝑦2
100
= 1
. بالقياسية مقارنتها ثم السؤال في المعطاة المعادلة بترتيب المكافئ القطع بؤرة اوال نجد
النقطة ومنها الناقص القطع بؤرتي نحدد ذلك بعد
c
رقم معادلة ونكون
1
.
27. CONIC SECTIONS 25
تمرين
10
:
بؤرتيه الذي الناقص القطع معادلة جد
𝑭𝟏(𝟒, 𝟎), 𝑭𝟐(−𝟒, 𝟎)
والنقطة
P
تنتمي
المثلث محيط ان بحيث الناقص للقطع
𝑷𝑭𝟏𝑭𝟐
يساوي
24
. وحدة
Sol
𝐹1(4,0), 𝐹2(−4,0)
⟹ 𝑐 = 4
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 + 𝐹1𝐹2 = 24 … (1)
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 2𝑎, الكبير المحور طول
𝐹1𝐹2 = 2𝑐 البؤرتين بين المسافة
2𝑎 + 2𝑐 = 24 ⟹ 𝑎 + 𝑐 = 12 ⟹ 𝑎 + 4 = 12 ⟹ 𝑎 = 12 − 4 = 8 ⟹ 𝑎2 = 64
𝑏2
= 𝑎2
− 𝑐2
⟹ 𝑏2
= 64 − 16 = 48
𝑥2
64
+
𝑦2
48
= 1
28. CONIC SECTIONS 26
الزائد القطع
موقع حسب حالتان وله
: البؤرتين
السينات محور على تقعان البؤرتان : األولى الحالة
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 الزائد القطع معادلة
𝐹1(𝑐, 0), 𝐹2(−𝑐, 0) البؤرتان
𝑉1(𝑎, 0), 𝑉2(−𝑎, 0) الرأسان
𝑀1(0, 𝑏), 𝑀2(0, −𝑏) القطبان
2𝑐 = 𝐹1𝐹2
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ البؤرتين بين المسافة
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
===========================================================
ال
حالة
الثانية
محور على تقعان البؤرتان :
الصادات
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1 الزائد القطع معادلة
𝐹1(0, 𝑐), 𝐹2(0, −𝑐) البؤرتان
𝑉1(0, 𝑎), 𝑉2(0, −𝑎) الرأسان
𝑀1(𝑏, 0), 𝑀2(−𝑏, 0) القطبان
2𝑐 = 𝐹1𝐹2
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ البؤرتين بين المسافة
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
𝑒 =
𝑐
𝑎
> 1 المركزي االختالف
2𝑎 الحقيقي المحور طول
2𝑏 المحور طول
المرافق
29. CONIC SECTIONS 27
والرأسين البؤرتين عين :مثال
الزائد للقطع والمرافق الحقيقي المحورين من كل وطول
𝒙𝟐
𝟔𝟒
−
𝒚𝟐
𝟑𝟔
= 𝟏
. ارسمه ثم
Sol القياسية المعادلة مع بالمقارنة
𝑥2
64
−
𝑦2
36
= 1
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
⟹ 𝑎2
= 64 ⟹ 𝑎 = 8, 𝑏2
= 36
⟹ 𝑏 = 6
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √64 + 36 = √100 = 10
𝐹1(10,0), 𝐹2(−10,0) البؤرتان
𝑉1(8,0), 𝑉2(−8,0) الرأسان
2𝑎 = 2(8) = 16 الحقيقي المحور طول
2𝑏 = 2(6) = 12 المرافق المحور طول
===========================================================
:مثال
= الحقيقي محوره وطول االصل نقطة مركزه الذي الزائد القطع معادلة جد
6
واالختالف وحدات
= المركزي
2
. السينات محور على والبؤرتان
2𝑎 = 6 ⟹ 𝑎 = 3 ⟹ 𝑎2
= 9 = الحقيقي محوره طول
6
𝑒 =
𝑐
𝑎
المركزي االختالف قانون باستخدام
⟹ 2 =
𝑐
3
⟹ 𝑐 = 2(3) = 6 ⟹ 𝑐2
= 36
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
⟹ 𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
= 36 − 9 = 27
𝑥2
9
−
𝑦2
27
= 1
30. CONIC SECTIONS 28
: مثال
المرافقة محوره وطول االصل نقطة مركزه الذي الزائد القطع معادلة جد
4
هما وبؤرتاه وحدات
النقطتان
𝑭𝟏(𝟎, √𝟖), 𝑭𝟐(𝟎, −√𝟖)
.
Sol
2𝑏 = 4 ⟹ 𝑏 = 2 ⟹ 𝑏2
= 4 المرافق محوره طول ان بما
4
, وحدات
اذا
𝐹1(0, √8), 𝐹2(0, −√8) ⟹ 𝑐 = √8 ⟹ 𝑐2
= 8
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
⟹ 𝑎2
= 𝑐2
− 𝑏2
= 8 − 4 = 4
𝒚𝟐
𝟒
−
𝒙𝟐
𝟒
= 𝟏
===========================================================
تمرين
1
:
عين
كل
من
البؤرتين
والرأسين
ثم
جد
طول
كل
من
المحورين
واالختالف
المركزي
للقطوع
االتية الزائدة
:
a) 𝟏𝟐𝒙𝟐
− 𝟒𝒚𝟐
= 𝟒𝟖
Sol
12𝑥2
− 4𝑦2
= 48 ÷ 48
𝑥2
4
−
𝑦2
12
= 1
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
⟹ 𝑎2
= 4 ⟹ 𝑎 = 2 ⟹ 2𝑎 = 2(2) = 4 الحقيقي المحور طول
𝑏2
= 12 ⟹ 𝑏 = √12 ⟹ 2𝑏 = 2(√12) = 2√12 المرافق المحور طول
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √12 + 4 = √16 = 4
𝐹1(4,0), 𝐹2(−4,0) البؤرتان
𝑉1(2,0), 𝑉2(−2,0) الرأسان
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
4
2
= 2 > 1 المركزي االختالف
31. CONIC SECTIONS 29
b) 𝟏𝟔𝒙𝟐
− 𝟗𝒚𝟐
= 𝟏𝟒𝟒
16𝑥2
− 9𝑦2
= 144 ÷ 144
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1
⟹ 𝑎2
= 9 ⟹ 𝑎 = 3, 2𝑎 = 2(3) = 6 الحقيقي المحور طول
𝑏2
= 16 ⟹ 𝑏 = √16 ⟹ 𝑏 = 4, 2𝑏 = 2(4) = 8 المحور طول
المرافق
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √9 + 16 = √25 = 5
===========================================================
تمرين
2
:
اكتب
معادلة
القطع
الزائد
في
الحاالت
االتية
ثم
ارسم
القطع
:
أ
.
النقطتان هما البؤرتان
(±𝟓, 𝟎)
عند السينات محور مع ويتقاطع
𝒙 = ±𝟑
نقطة ومركزه
. االصل
/الحل
𝐹1(5,0), 𝐹2(−5,0) : هما البؤرتان اذا
𝑉1(3,0), 𝑉2(−3,0) القطع رأسي هما التقاطع نقطتي
𝐹1(5,0), 𝐹2(−5,0) ⟹ 𝑐 = 5 ⟹ 𝑐2
= 25
𝑉1(3,0), 𝑉2(−3,0) ⟹ 𝑎 = 3 ⟹ 𝑎2
= 9
𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
= 25 − 9 = 16
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1
32. CONIC SECTIONS 30
ب
.
طول
محوره
الحقيقي
( 12 )
وحدة
وطول
محوره
المرافق
( 10 )
وحدات
وينطبق
محوراه
المحورين على
االحداثيين
ومركزه
نقطة
االصل
.
/الحل
2𝑎 = 12 الحقيقي محوره طول
⟹ 𝑎 = 6 ⟹ 𝑎2
= 36
⟹ 𝑉1(6,0), 𝑉2(−6,0)
2𝑏 = 10 المرافق محوره طول
⟹ 𝑏 = 5 ⟹ 𝑏2
= 25
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √36 + 25 = √61
⟹ 𝐹1(√61, 0), 𝐹2(−√61, 0) البؤرتان
**
:احتمالين فناخذ البؤرتان موقع يحدد لم انه بما
السينات محور على البؤرتان :ًالاو
𝑥2
36
−
𝑦2
25
= 1 القطع معادلة
ًاثاني
محور على البؤرتان :
الصادات
𝑦2
36
−
𝑥2
25
= 1 القطع معادلة
34. CONIC SECTIONS 32
تمرين
3
:
جد
باستخدام
تعريف
معادلة
القطع
الزائد
الذي
مركزه
نقطة
االصل
وبؤرتيه
𝑭𝟏(𝟐√𝟐, 𝟎), 𝑭𝟐(−𝟐√𝟐, 𝟎)
والق االحداثيين المحورين على محوراه وينطبق
ي
مة
يساوي بؤرتيه عن نقطة اية بعدي بين للفرق المطلقة
4
. وحدات
𝐹1(2√2, 0), 𝐹2(−2√2, 0) ⟹ 𝑐 = 2√2
⟹ 𝑐2
= 4(2) = 8
|𝑃𝐹1 − 𝑃𝐹2| = 4 الق
ي
بؤرتيه عن نقطة اية بعدي بين للفرق المطلقة مة
√(𝑥 − 2√2)2 + (𝑦 − 0)2 − √(𝑥 + 2√2)
2
+ (𝑦 − 0)2 = ±4
√(𝑥 − 2√2)2 + (𝑦 − 0)2 − √(𝑥 + 2√2)
2
+ (𝑦 − 0)2 = ±4
√(𝑥 − 2√2)2 + 𝑦2 = ±4 + √(𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2
(𝑥 − 2√2)2
+ 𝑦2
= 16 ± 8√(𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2 + (𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2
𝑥2
− 4√2𝑥 + 8 + 𝑦2
= 16 ± 8√(𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2 + 𝑥2
+ 4√2𝑥 + 8 + 𝑦2
−8√2𝑥 = 16 ± 8√(𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2 ÷ 8
−√2𝑥 − 2 = ±√(𝑥 + 2√2)
2
+ 𝑦2
2𝑥2
+ 2√2𝑥 + 4 = 𝑥2
+ 2√2𝑥 + 8 + 𝑦2
2𝑥2
− 𝑥2
= 𝑦2
+ 8 − 4 ⟹ 𝑥2
− 𝑦2
= 4 ÷ 4
𝑥2
4
−
𝑦2
4
= 1
35. CONIC SECTIONS 33
تمرين
4
:
قطع
زائد
طول
محوره
الحقيقي
( 6)
وحدات
واحدى
بؤرتيه
هي
بؤرة
القطع
المكافئ
الذي
رأسه
االصل نقطة
ويمر
بالنقطتين
(1, ±2√5)
جد
معادلتي
القطع
المكافئ
الذي
رأسه
نقطة
االصل
والقطع
الزائد
الذي
مركزه
نقطة
.االصل
2𝑎 = 6 الحقيقي محوره طول
⟹ 𝑎 = 3 ⟹ 𝑎2 = 9
(1, ±2√5) معادلته تحققان النقطتين اذا , بالنقطتين يمر المكافئ القطع ان بما
(2√5)
2
= 4𝑝(1) ⟹ 20 = 4𝑝 ⟹ 𝑝 = 5
O(0,5) المكافئ القطع بؤرة
𝑦2
= 4𝑝𝑥 ⟹ 𝑦2
= 4(5)𝑥 ⟹ 𝑦2
= 20𝑥 المكافئ القطع معادلة
𝐹1(5,0), 𝐹2(−5,0) ⟹ 𝑐 = 5 ⟹ 𝑐2 = 25
𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
= 25 − 9 = 16
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1 الزائد القطع معادلة
===========================================================
تمرين
5
:
ومعادلته االصل نقطة مركزه زائد قطع
𝒉𝒙𝟐
− 𝒌𝒚𝟐
= 𝟗𝟎
الحقيقي محوره وطول
𝟔√𝟐
وحدة
معادلته الذي الناقص القطع بؤرتي على تنطبقان وبؤرتاه
𝟗𝒙𝟐
− 𝟏𝟔𝒚𝟐
= 𝟓𝟕𝟔
من كل قيمة جد
h,k
. الحقيقية االعداد مجموعة الى تنتمي التي
Sol
9𝑥2
− 16𝑦2
= 576 ⟹
𝑥2
64
+
𝑦2
36
= 1
𝑥2
64
+
𝑦2
36
= 1
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
36. CONIC SECTIONS 34
⟹ 𝑎2
= 64, 𝑏2
= 36
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
⟹ 𝑐2
= 64 − 36 = 28 ⟹ 𝑐 = 2√7 ⟹ 𝑐2
= 4(7) = 28
⟹ 𝐹1(2√7, 0), 𝐹2(−2√7, 0)
2𝑎 = 6√2 ⟹ 𝑎 = 3√2 ⟹ 𝑎2
= 9(2) = 18
𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
⟹ 𝑏2
= 28 − 18 = 10
ℎ𝑥2
− 𝑘𝑦2
= 90 ⟹
𝑥2
90
ℎ
−
𝑦2
90
𝑘
= 1
⟹ 𝑎2
=
90
ℎ
, 𝑏2
=
90
𝑘
𝑎2
=
90
ℎ
⟹ ℎ =
90
𝑎2
=
90
18
= 5
𝑏2
=
90
𝑘
⟹ 𝑘 =
90
𝑏2
=
90
10
= 9
==========================================================
تمرين
6
:
اكتب
معادلة
القطع
الزائد
الذي
مركزه
نقطة
االصل
اذا
علمت
ان
احد
راسيه
يبعد
عن
البؤرتين
بالعددين
1
و
9
وحدات
على
الترتيب
وينطبق
محوراه
على
المحورين
االحداثيين
.
2𝑐 = 9 + 1
= 10 ⟹ 𝑐 = 5 ⟹ 𝑐2
= 25
𝑎 = 𝑐 − 1 االقل البعد = 5 − 1 = 4 ⟹ 𝑎2
= 16
𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
⟹ 𝑏2
= 25 − 16 = 9
⟹
𝑥2
16
−
𝑦2
9
= 1
⟹
𝑦2
16
−
𝑥2
9
= 1
احد ان بما
راسيه
يبعد
عن
بالعددين البؤرتين
1
و
9
تساوي البؤرتين بين المسافة اذا ,
السينات محور على تقعان البؤرتان
الصادات محور على تقعان البؤرتان
38. CONIC SECTIONS 36
تمرين
8
:
النقطة
P(6,L)
ومعادلته االصل نقطة مركزه الذي الزائد القطع الى تنتمي
𝒙𝟐
− 𝟑𝒚𝟐
= 𝟏𝟐
.
أ :من ًالك جد
-
قيمة
L
/الحل
. معادلته تحقق فهي القطع الى تنتمي النقطة ان بما
𝑝(6, 𝐿) ⟹ (6)2
− 3𝑙2
= 12 ⟹ (6)2
− 3𝐿2
= 12
⟹ 36 − 12 = 3𝐿2
⟹ 𝐿2
=
24
3
= 8 ⟹ 𝐿 = 2√2
ب
.
طول
نصف
القطر
البؤري
للقطع
المرسوم
في
الجهة
اليمنى
من
النقطة
P
.
𝑥2
− 3𝑦2
= 12 ⟹
𝑥2
12
−
𝑦2
4
= 1
𝑎2
= 12, 𝑏2
= 4
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
⟹ 𝑐2
= 12 + 4 = 16 ⟹ 𝑐 = 4
⟹ 𝐹1(4,0), 𝐹2(−4,0)
𝑃𝐹1 = √(6 − 4)2 + 8 = √4 + 8 = √12 = 2√3 units
𝑃𝐹2 = √(6 + 4)2 + 8 = √100 + 8 = √108 = 6√3 units
===========================================================
تمرين
9
:
جد
معادلة
القطع
الزائد
الذي
بؤرتاه
هما
بؤرتي
القطع
الناقص
𝒙𝟐
𝟗
+
𝒚𝟐
𝟐𝟓
= 𝟏
المكافئ القطع دليل ويمس
𝒙𝟐
+ 𝟏𝟐𝒚𝟐
=
.
39. CONIC SECTIONS 37
9.
𝑥2
9
+
𝑦2
25
= 1
𝑎2
= 25, 𝑏2
= 9
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
⟹ 𝑐2
= 25 − 9 = 16
⟹ 𝑐 = 4
⟹ 𝐹1(0,4), 𝐹2(0, −4) الناقص القطع بؤرتي
𝑥2
+ 12𝑦2
= 0 ⟹ 𝑥2
= −12𝑦2
المكافئ القطع من الزائد القطع رأسي ايجاد يمكن
𝑥2
= −12𝑦2
𝑥2
= −4𝑝𝑦2
⟹ 4𝑝 = 12 ⟹ 𝑝 = 3
⟹ 𝑦 = 3, 𝑂(0, −3)
⟹ 𝑉1(0,3), 𝑉2(0, −3) الراسان
𝑎 = 3 ⟹ 𝑎2
= 9
𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
⟹ 𝑏2
= 16 − 9 = 7
𝑦2
9
−
𝑥2
7
= 1