Uas riset operasi (kevin surya)

TUGAS UJIAN AKHIR SEMESTER
RISET OPERASI DAN TEKNIK PENGAMBILAN
KEPUTUSAN
Dosen: Dr. Eddy Sanusi, SE, MM
Rangkuman Buku:
“Operation Research (Model-model Pengambilan Keputusan)”
Penulis: Tjutju Tarliah Dimyati, Ahmad Dimyati
KEVIN SURYA (1534021022)
SEMESTER V
FAKULTAS EKONOMI
UNIVERSITAS KRISNADWIPAYANA
2017

ii | P a g e
DAFTAR ISI
LEMBAR JUDUL i
DAFTAR ISI ii
BAB 1 GAMBARAN UMUM PENELITIAN OPERASIONAL 1
1.1. Sejarah Singkat Perkembangan Operasional 1
1.2. Komponen-komponen Utama Persoalan Keputusan 2
1.3. Model-model dalam Penelitian Operasional 2
1.4. Metodologi Penelitian Operasional 3
1.5. Paket Programa QSB+ 3
BAGIAN SATU : MODEL-MODEL DETERMINISTIK
BAB 2 PROGRAMA LINIER 5
2.1. Pengertian Umum 5
2.2. Model Programa Linier 8
2.3. Asumsi dalam Model Programa Linier 9
2.4. Contoh Lain Persoalan Programa Linier 10
BAB 3 TEKNIK PEMECAHAN MODEL PROGRAMA LINIER 12
3.1. Solusi Grafis 12
3.2. Kasus Khusus 17
3.3. Bentuk Standar Model Programa Linier 19
3.4. Metode Simpleks 21
3.5. Kasus Khusus dalam Penggunaan Algoritma Simpleks 22
BAB 4 TEORI DUALITAS DAN ANALISIS KEPEKAAN 24
4.1. Teori Dualitas 24
4.2. Hubungan Primal Dual 25
4.3. Sifat-sifat Primal Dual yang Penting 25
4.4. Metode Dual Simpleks 27
4.5. Analisis Kepekaan 27
4.6. Shadow Prices 28

iii | P a g e
BAB 5 TIPE-TIPE KHUSUS PERSOALAN PROGRAMA LINIER 29
5.1. Persoalan Transportasi 29
5.2. Model Transshipment 32
5.3. Model Penugasan (Assignment Model) 33
BAB 6 ANALISIS JARINGAN 35
6.1. Model Jaringan 35
6.2. Model Rute Terpendek (Shortest Route) 35
6.3. Model Rentang Pohon Minimum (Minimal Spanning Tree) 36
6.4. Model Aliran Maksimum (Maximal Flow) 36
BAB 7 PERENCANAAN DAN PENGENDALIAN PROYEK DENGAN PERT-CPM 38
7.1. Langkah-langkah dalam Melakukan Perencanaan dengan PERT 40
7.2. Karakteristik PERT 41
7.3. Karakteristik Proyek 41
7.4. Manfaat PERT 41
7.5. CPM 42
7.6. Perbedaan PERT dan CPM 42
BAB 8 PROGRAMA BILANGAN BULAT 44
8.1. Pendahuluan 44
8.2. Metode Grafis 44
8.3. Metode Round-Off 45
8.4. Metode Branch and Bound 46
BAB 9 TEORI PERMAINAN 51
9.1. Elemen-elemen Dasar Teori Permainan 51
9.2. Strategi Murni (Pure Strategy) 51
9.3. Strategi Campuran (Mixed Strategy) 53
9.4. Two-Person, Zero-Sum Game 55
BAGIAN KEDUA: MODEL-MODEL PROBABILITAS
BAB 10 PROGRAMA DINAMIS 56
10.1. Pemrograman Dinamis 56
10.2. Karakteristik Persoalan Programa Dinamis 57
10.3. Programa Dinamis Deterministik 58

iv | P a g e
10.4. Programa Dinamis Probabilistik 58
BAB 11 TEORI PROBABILITAS 60
11.1. Ruang Sampel dan Peristiwa 60
11.2. Probabilitas Suatu Event dan Hukum-hukumnya 60
BAB 12 PROSES KEPUTUSAN MARKOV 63
12.1. Analisis Markov 63
12.2. Syarat-syarat dalam Analisa Markov 64
12.3. Keadaan Probabilitas Transisi 65
12.4. Peralatan Analisis Markov 65
12.5. Keadaan Steady State dan Probabilitasnya 66
BAB 13 TEORI ANTRIAN 69
13.1. Sejarah Teori Antrian 70
13.2. Pengertian Antrian 70
13.3. Komponen Dasar Antrian 71
13.4. Struktur Antrian 72
13.5. Mekanisme Pelayanan 73
13.6. Model-model Antrian 73
13.7. Karakteristik Antrian 74
13.8. Perilaku Biaya 78
13.9. Merumuskan Masalah Antrian 78
DAFTAR PUSTAKA 80

1 | P a g e
BAB 1
GAMBARAN UMUM PENELITIAN OPERASIONAL
1.1. Sejarah Singkat Perkembangan Penelitian Operasional
Dorongan awal munculnya kegiatan – kegiatan riset operasional adalah Perang Dunia II.
Sebenarnya istilah riset operasional tercetus sebagai akibat dari “riset pada operasi militer”
yang dilakukan selama perang tersebut.
Pada waktu itu kelompok ahli – ahli matematika, ekonomi dan ahli – ahli disiplin ilmu
lainnya disatukan untuk menganalisis berbagai masalah operasi militer. Kelompok ini dibentuk
di Inggris dan Amerika Serikat, dimana Angkatan Laut AS (US NAVY) memperkerjakan lebih dari
70 orang analis dari berbagai disiplin ilmu. Berbagai bentuk masalah dapat dipecahkan dengan
baik, seperti dimana harus ditempatkan instalasi radar, bagaimana menemukan lokasi kapal
selam lawan, bagaimana menempatkan bom – bom yang dipicu dengan gelombang radio dari
jarak jauh di laut sekeliling Jepang.
Penerapan riset operasional dalam Perang Dunia II dicirikan oleh suatu pendekatan
kelompok terhadap masalah – masalah operasional, yang diawali di Inggris. Pada saat itu
seorang Profesor bernama P.M.S. Blackett ditugaskan untuk menganalisis masalah koordinasi
radar di daerah perang. Kelompok yang dibentuk oleh Blackett terdiri dari ahli psikologi, fisika,
matematika, perwira AD dan ahli survei.
Kesuksesan riset operasional selama Perang Dunia II tersebut menarik industri – industri
pasca perang di Inggris dan Amerika Serikat untuk menerapkannya dalam pemecahan masalah –
masalah manajerial dan operasional yang dialaminya.
Salah satu perkembangan riset operasional pasca perang yang cukup terkenal adalah
temuan salah satu metode riset operasional oleh George Dantzig. Beliau sangat terkenal karena
temuannya yang berupa pengembangan pemrograman linier yang merupakan metode riset
operasional yang sangat luas digunakan. Disamping pemrograman linier, perkembangan awal
riset operasional lainnya adalah dibidang statistika pengendalian mutu, pemrograman dinamis,
analisis queue dan pengendalian persediaan. Sebagian besar masalah yang dipecahkan dengan
teknik riset opersional biasanya berskala besar dan memerlukan perhitungan – perhitungan
penting berulang – ulang untuk menganalisisnya. Hal ini akan sangan melelahkan apabila
diselesaikan secara manual, sehingga ketergantungan perkembangan riset operasional terhadap
perkembangan komputer tidak dapat diabaikan.

2 | P a g e
1.2. Komponen-komponen Utama Persoalan Keputusan
Munculnya persoalan-persoalan keputusan adalah karena seorang pengambil keputusan
sering dihadapkan pada beberapa pilihan tindakan yang harus dilakukan. Dalam menyelesaikan
persoalan yang berkaitan dengan pengambilan keputusan ini harus diidentifikasi lebih dahulu
dua komponen utamanya, yaitu :
1. Objective (tujuan)
2. Variabel-variabel
Manakala tujuan telah didefinisikan, maka harus dilakukan pemilihan tindakan terbaik
yang dapat mencapai tujuan tersebut. Dalam hal ini, kualitas pemilihan akan sangat bergantung
pada apakah si pengambil keputusan mengetahui seluruh alternative tindakan atau tidak.
Untuk dapat menentukan tindakan-tindakan yang mungkin dilakukan itu haruslah
diidentifikasi variabel-variabel sistem yang dapat dikendalikan oleh pengambil keputusan, yang
keberhasilannya dalam mengidentifikasi variabel-variabel ini pun akan sangat bergantung pada
bias dan pelatihan si pengambil keputusan.
1.3. Model-model dalam Penelitian Operasional
1. Model-model ikonis (fisik)
Penggambaran fisik dari suatu sistem, baik dalam bentuk yang ideal maupun dalam skala
yang berbeda. Contoh: foto, blueprint, peta, globe, maket.
2. Model Analog/Diagramatis
Model yang dapat menggambarkan situasi-situasi yang dinamis. Model ini dapat dijadikan
analogi bagi karakteristik sesuatu yang sedang dipelajari. Contoh: kurva biaya produksi,
flow chart, dll.
3. Model Simbolis/Matematis
Model yang menggambarkan dunia nyata melalui simbol-simbol matematis.
Ada dua bentuk model matematis yang digunakan dalam bidang riset operasional yaitu:
a. Mode matematis deskriptif
Suatu model yang mendeskripsikan beberapa aspek dari system yang dimodelkan,
seperti keadaan pada masa datang atau karakteristik operasi.
b. Mode matematis normatif
Biasanya disebut dengan model dengan masalah pengambilan keputusan. Masalah
pengambilan keputusan adalah masalah yang harus diputuskan oleh satu atau lebih
pembuat keputusan.

3 | P a g e
4. Model Simulasi
Model yang meniru tingkah laku sistem dengan mempelajari interaksi komponen-
komponennya. Model ini tidak memerlukan fungsi-fungsi matematis secara eksplisit
untuk merelasikan variabel-variabel sistem, sehingga dapat digunakan untuk
memecahkan sistem kompleks yang susah dimodelkan dengan model matematis.
5. Model Heuristik
Metode pencarian yang didasarkan atas intuisi atau aturan-aturan empiris untuk
memperoleh solusi yang lebih baik dari solusi yang sebelumnya.
1.4. Metodologi Penelitian Operasional
Langkah 1: Memformulasikan persoalan
Definisikan persoalan dengan lengkap, tujuan dan semua hal yang terkait.
Langkah 2: Mengobservasi sistem
Kumpulkan data untuk mengestimasi besaran parameter yang berpengaruh terhadap persoalan
yang dihadapi.
Langkah 3: Memformulasikan model dari persoalan yang dihadapi
Pada model matematis, di tahap ini, dirumuskan persamaan dan pertidaksamaan yang
menggambarkan sistem. Apabila persoalan sangat kompleks sehingga susah diformulasikan
dengan model matematis, maka model simulasi dapat digunakan.
Langkah 4: Mengevaluasi model dan menggunakannya untuk prediksi
Pada langkah ini, tentukan apakah model matematis yang dibangun pada langkah 3 telah
menggambarkan keadaan nyata secara akurat. Jika belum, dibentuk model yang baru.
Langkah 5: Mengimplementasi hasil studi
Pada langkah ini kita harus menerjemahkan hasil studi atau hasil perhitungan ke dalam bahasa
sehari-hari yang mudah dimengerti.
1.5. Paket Programa QSB+
Pada saat ini telah banyak tersedia paket program yang dapat digunakan untuk
memecahkan dalam OR, diantaranya LP, LPV2, Simplex, QPTO, LPROG, QSB, QSB+. Topik OR
yang disediakan dalam paket program QSB+ adalah:

4 | P a g e
 Program Linier (Liniear Programming)
 Integer Liniear Programming
 Transportasi (Transportation and Transshipment)
 Penugasan (Assignment and Traveling Salesman)
 Analisa Jaringan ( Network Analysis)
 CPM
 PERT
 Dynamic Programming
 Inventory Control
 Teori Antrian
 Simulasi Sistem Antrian
 Teori Keputusan dan Probabilitas
 Teori Markov
 Time Series Forecasting

5 | P a g e
BAGIAN SATU: MODEL-MODEL DETERMINISTIK
BAB 2
PROGRAMA LINIER
2.1. Pengertian Umum
Program linier yang diterjemahkan dari Liniar Programming (LP) adalah suatu cara untuk
menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa
aktivitas yang bersaing, dengan cara yang terbaik yang mungkin dilakukan. Sumber-sumber
yang dimaksud dapat berupa bahan baku, peralatan & mesin, ruang, waktu, dana dan orang.
Persoalan pengalokasian ini akan muncul manakala seseorag harus memilih tingkat aktivitas-
aktivitas terrtentu yang bersaing dalam hal penggunaan sumber daya langka yang dibutuhkan
untuk melaksanakan aktivitas-aktivitas tersebut. Beberapa contoh situasi dari uraian-uraian di
atas antara lain ialah persoalan pengalokasian fasilitas produksi, persoalan pengalokasian
sumeber daya nasional untuk kebutuhan domestik, penjadwalan produksi, solusi permainan
(game), dan pemilihan pola pengiriman (shipping). Satu hal yang menjadi ciri situasi di atas
ialahadanya keharusan untuk mengalokasikan sumber terhadap aktivitas.
Program linier ini meggunakan model matematis untuk menjelaskan persoalan yang
dihadapinya. Sifat “linier” di sini memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model ini
merupakan fungsi yang linier, sedangkan kata “program” merupakan sinonim untuk
perencanaan. Dengan demikian program linier (LP) adalah perencanaan aktivitas-aktivitas
untuk memperoleh suatu hasil yang optimum, yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik
diantara seluruh alternatif yang fisibel.
Contoh 2.1-1
PT Sayang Anak memproduksi dua jenis mainan yang terbuat dari kayu, yang berupa
boneka dan kereta api. Boneka dijual dengan harga Rp.27.000/lusin yang setiaplusin nyame
merlukan biaya material sebesar Rp.10.000 serta biaya tenaga kerja sebesar Rp.14.000. Kereta
api yang dijual seharga Rp.21.000/lusin memerlukan biaya material sebesar Rp.9.000 dan biaya
tenaga kerja sebesar Rp.10.000. Untuk membuat boneka dan kereta api ini diperlukan dua
kelompok tenaga kerja, yaitu tukang kayu dan tukang poles.
Setiap lusin boneka memerlukan 2 jam pemolesan dan 1 jam pekerjaan kayu, sedangkan
setiap lusin kereta api memerlukan 1 jam pemolesan dan 1 jam pekerjaan kayu. Meskipun pada
setiap minggunya perusahaan ini dapat memenuhi seluruh material yang diperlukan, jam kerja
yang tersedia hanya 100 jam pemolesan dan 80 jam untuk pekerjaan kayu.

6 | P a g e
Dari pengamatan pasar selama ini dapat dikatakan bahwa kebutuhan akan kereta api
tidak terbatas, tetapi untuk boneka tidak lebih dari 40 lusin yang terjual setiap minggunya.
Bagaimanakah formulasi dari persoalan diatas untuk mengetahui berapa lusin jenis mainan
masing-masing yang harus dibuat setiap minggu agar diperoleh keuntungan yang maksimum?
Dalam membangun model dari formulasi persoalan diatas akan digunakan karakteristik-
karakteristik yang biasa digunakan dalam persoalan program linier, yaitu:
1. Variabel keputusan
Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap keputusan-
keputusan yang akan dibuat.Dalam persoalan ini, variabel keputusan akan menentukan
berapa banyak boneka dan kereta api masing-masing harus dibuat setiap minggunya.
Misalkan:
x1 = banyak nya boneka yang dibuat setia pminggu
x2 = banyaknya kereta api yang dibuat setiap minggu
2. Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan merupakan fungsi dari variabel keputusan yang akan dimaksimumkan
(untuk pendapatan atau keuntungan) atau diminimumkan (untu kongkos). Pada persoalan
ini akan dimaksimumkan (pendapatan/minggu) – (ongkos material/minggu) – (ongkos
tenaga kerja/minggu).
Pendapatan dan ongkos-ongkos ini dapat diekspresikan dengan menggunakan variabel
keputusan x1 dan x2 sebagai berikut:
Pendapatan/minggu = pendapatan/minggu dari boneka + pendapatan/minggu dari kereta
api = 27 x1+ 21 x2
Ongkos material/minggu = 10 x1 + 9 x2
Ongkos tenaga kerja/minggu = 14 x1 + 10 x2
Sehingga yang akan dimaksimumkan adalah :
(27 x1 + 21 x2) – (10 x1 + 9 x2) – (14 x1 + 10 x2) = 3 x1 + 2 x2
Untuk menyatakan nilai fungsi tujuan ini akan digunakan variabel z sehingga fungsi
tujuannya menjadi :
Maksimumkan z = 3 x1 + 2 x2

7 | P a g e
3. Pembatas
Pembatas merupakan kendala yang dihadapi sehingga kita tidak bisa menentukan harga-
harga variabel keputusan secara sembarang.Pada persoalan diatas ada 3 pembahasan
yang kita hadapi, yaitu:
Pembatas 1 : Setiap minggu tidak lebih dari 100 jam waktu pemolesan yang dapat
digunakan
Pembatas 2 : Setiap minggu tidak lebih dari 80 jam waktu pengerjaan kayu yang
dapat digunakan
Pembatas 3 : Karena permintaan yang terbatas, maka tidak lebih dari 40 lusin boneka
yang dapat dibuat setiap minggu.
Jumlah material yang dapat digunakan diasumsikan tidak terbatas sehingga tidak ada
pembatas untuk hal ini.
Selanjutnya, ekspresikan pembatas-pembatas itu kedalam x1 dan x2 sebagai berikut :
Pembatas1 : 2 x1 + x2≤ 100
Pembatas2 : x1 + x2≤ 80
Pembatas3 : x1≤ 40
Koefisien dari variabel keputusan pada pembatas disebut koefisien teknologis, sedangkan
bilangan yang ada disisi kanan setiap pembatas disebut ruas kanan pembatas.
4. Pembatas tanda
Pembatas tanda adalah pembatas yang menjelaskan apakah variabel keputusannya
diasumsikan hanya berharga nonnegatif atau variabel keputusan tersebut boleh berharga
positif, boleh juga negatif (tidak terbatas dalam tanda).Pada contoh soal diatas, kedua
variabel keputusan harus berharga nonnegatif sehingga harus menyatakan bahwa
x1≥0
x2≥ 0
dengan demikian, formulasi lengkap dari persoalan PT Sayang Anak adalah :
Maksimumkan z = 3 x1+ 2 x2 berdasarkan
2 x1+ x2 ≤ 100
x1+ x2 ≤ 80
x1≤ 40
x1≥ 0
x2≥ 0

8 | P a g e
2.2. Model Programa Linier
Seperti contoh persoalan PT Indah Gelas terdapat tiga buah sumber terbatas (yaitu
kapasitas produksi ketiga pabrik) yang harus dialokasikan diantara dua aktifitas yang bersaing
(yaitu dua macam produk baru yang dipesan). Sekarang, bagaimana jika ada sejumlah (katakan
m buah) sumber yang terbatas yang harus dialokasikan diantara sejumlah (katakan n buah)
aktifitas yang bersaing?
Model Umum :
Formulasi model matematis dari persoalan pengalokasian sumber-sumber pada aktifitas-
aktifitas sebagai berikut :
Maksimumkan : Z = c1 x1 + c2 x2 + …+ cn xn
Berdasarkan pembatas :
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ b2
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ bm
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, … , xn ≥ 0,
Formulasi diatas dinamakan sebagai bentuk standar dari persoalan programa linier, dan
setiap situasi yang formulasi matematisnya memenuhi ini adalah persoalan programa
linier.
Istilah yg lebih umum dari programa linier ini adalah sebagai berikut :
a) Fungsi yang dimaksimumkan , yaitu c1 x1 + c2 x2 + …+ cn xn , disebut fungsi tujuan .
b) Pembatas-pembatas atau konstrain.
c) Sebanyak m buah konstrain pertama sering disebut konstrain fungsional atau
pembatas teknologis.
d) Pembatas xj ≥ 0 disebut sebagai konstrain nonnegative
Aktifitas Penggunaan per unit
Kapasitas
Sumber 1 2 ... n
1 A11 A12 ... A1n B1
2 A21 A22 ... B2
. . .
. . .
. . .
M Am1 Am2 ... Amn Bm
z/unit C1 C2 ... cn
Tingkat X1 X2 ... xn

9 | P a g e
e) Variabel xj adalah variabel keputusan.
f) Konstanta-konstanta aij, bi, cj adalah parameter-parameter model.
Selain model programa linier dg bentuk seperti yg telah diformulasikan diatas, ada pula
model programa linier dengan bentuk agak lain, seperti:
a) Fungsi tujuan bukan memaksimumkan, melainkan meminimumkan.
b) Contoh : Minimumkan z = c1 x1 + c2 x2 + …+ cn xn
c) Beberapa konstrain fungsionalnya mempunyai ketidaksamaan lebih besar atau sama
dengan. Contoh : Untuk beberapa harga i
d) Beberapa konstrain fungsionalnya mempunyai bentuk persamaan.
e) Contoh : Untuk beberapa harga i
f)Menghilangkan konstrain nonnegative untuk beberapa variabel keputusan.
g) Contoh : xj tidak terbatas dalam tanda, untuk beberapa harga j.
2.3. Asumsi dalam Model Programa Linier
Dalam menggunakan model programa linier, diperlukan beberapa asumsi sebagai berikut:
1. Asumsi Kesebandingan (proportionality)
a) Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah sebanding dengan
nilai variabel keputusan. Contoh : kita membuat 4 lusin boneka, maka kontribusinya
terhadap fungsi tujuan adalah 4 kali kontribusi setiap lusin boneka. (atau 4 x Rp.3.000
= Rp. 12.000)
b) Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas juga
sebanding dengan nilai variabel keputusan. Contoh : jika kita membuat 4 lusin boneka
maka diperlukan 4 kali waktu pemolesan yang dibutuhkan oleh setiap lusin boneka.
(atau 4 x 2 jam = 8 jam)
2. Asumsi Penambahan
a) Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan bersifat tidak tergantung
pada nilai dari variabel keputusan yang lain. Contoh : berapapun nilai x2 pembuatan
sejumlah x1 boneka akan selalu berkontribusi sebesar Rp.3.000 terhadap fungsi
tujuan.
b) Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri setiap pembatas bersifat tidak
tergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain. Contoh : Berapun nilai x1,
pembuatan sejumlah x2 kereta api akan memerlukan sebanyak x2 jam pemolesan dan
x2 jam pekerjaan kayu.

10 | P a g e
3. Asumsi Pembagian
Dalam persoalan programa linier, variabel keputusan boleh diasumsikan berupa
bilangan pecahan.
4. Asumsi Kepastian
Setiap parameter, yaitu koefisien fungsi tujuan, ruas kanan, koefisien teknologis,
diasumsikan dapat diketahui secara pasti. Suatu masalah pemrograman hanya dapat
dirumuskan ke dalam persoalan programa linier apabila asumsi-asumsi diatas
terpenuhi.
2.4. Contoh Lain Persoalan Programa Linier
2.4.1.Masalah perencanaan Regional
Untuk menyukseskan pelaksanaan transmigrasi di Propinsi Q, pemerintah merencanakan
membuka lahan baru yang dapat di tinggali sekaligus dijadikan areal pertanian. Ada 3 daerah
yang dapat dibuka, yaitu daerah 1, 2 dan 3. Hasil pertanian masing-masing daerah tersebut
dibatasi oleh dua hal, yaitu luas tanah yang dapat dialiri air dari irigasi dan banyaknya air yang
dapat dialokasikan untuk irigasi tersebut, seperti diperlihatkan oleh tabel berikut:
Daerah Luas Tanah (hektar) Alokasi Air Irigasi (m3)
1 400 600
2 600 800
3 300 375
Jenis tanaman yang dapat dikembangkan di daerah-daerah ini meliputi tebu, kapas, dan
gandum, yang satu sama lain berbeda dalam hal hasil bersih per hektar serta jumlah air yang di
konsumsinya. Di samping itu, ada ketentuan dari materi pertanian mengenai jatah lahan
maksimum yang dapat digunakan untuk masing-masing jenis tanaman. Data ketiga hal di atas
diperlihatkan pada tabel:
Jenis tanaman
Jatah lahan maksimum
(hektar)
Konsumsi air (m3)
Hasil bersih
(ribu rp/ha)
Tebu 600 3 400
Kapas 500 2 300
Gandum 325 1 100

11 | P a g e
Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita tetapkan x1 sebagai variable
keputusan yang menyatakan luas tanah untuk masing-masing jenis tanaman pada masing-
masing daerah (j=1,2,...,9) seperti pada tabel di bawah :
Tanaman
/Daerah
Alokasi (Hektar)
1 2 3
Tebu x1 x2 x3
Kapas x4 x5 x6
Gandum x7 x8 x9
Model persamaan linier untuk persoalan di atas adalah :
Maksimumkan Z = 400 (x1+x2+x3) + 300 (x4+x5+x6) + 100 (x7+x8+x9)

12 | P a g e
BAB 3
TEKNIK PEMECAHAN MODEL PROGRAMA LINIER
Pada dasarnya, metode-metode yang dikembangkan untuk memecahkan model programa
linier ditujukan untuk mencari solusi dari beberapa alternative solusi yang dibentuk oleh
persamaan-persamaan pembatas sehingga diperoleh nilai fungsi tujuan yang optimum. Ada dua
cara yang bisa digunakan menyelesaikan persoalan-persoalan programa linier ini, yaitu dengan
cara grafis dan dengan metode simpleks.
3.1. Solusi Grafis
3.1.1. Solusi grafis untuk persoalan maksimal
Maksimisasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil.
Contoh:
PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2jenis produk, yaitu kain
sutera dan kain wol. Untuk memproduksi keduaproduk diperlukan bahan baku benang sutera,
bahan baku benang wol dantenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per
hari,benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiapunit produk
akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut:
Jenis Bahan Baku
dan Tenaga Kerja
Kg Bahan Baku dan jam Tenaga Kerja Maksimum
PenyediaanKain sutera Kain wol
Benang Sutera 2 3 60 Kg
Benang Wol – 2 30 Kg
Tenaga Kerja 2 1 40 Jam
Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 juta untuk kainsutera dan Rp
30 juta untuk kain wol. Masalahnya adalah bagaimanamenentukan jumlah unit setiap jenis
produk yang akan diproduksi setiap hariagar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal.
Langkah-langkah:
1. Tentukan variabel
X1=kain sutera
X2=kain wol
2. Fungsi tujuan
Zmax= 40X1 + 30X2
3. Fungsi kendala / batasan
2X1 + 3X2_60 (benang sutera)

13 | P a g e
2X2_30 (benang wol)
2X1 + X2_40 (tenaga kerja)
4. Membuat grafik
a. 2X1 + 3 X 2=60
X1=0, X2 =60/3 = 20
X2=0, X1= 60/2 = 30
b. 2X2=30
X2=15
c. 2X1 + X2_40
X1=0, X2 = 40
X2=0, X1= 40/2 = 20
Cara mendapatkan solusi optimal:
1. Dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim.
Titik A
X1=0, X2=0
masukkan nilai X1 dan X2 ke Z
Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0
Titik B
X1=20, X2=0
Z = 40 . 20 + 30 . 0 = 800

14 | P a g e
Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + X2 = 40
2X2=20 X2=10
Masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + 3 . 10 = 60
2X1 + 30 = 60
2X1 = 30 X1 = 15
40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 (optimal)
Titik D
2X2 = 30
X2 = 15
masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3 . 15 = 60
2X1 + 45 = 60
2X1 = 15 X1 = 7,5
Z = 40 . 7,5 + 30 . 15 = 300 + 450 = 750
Titik E
X2 = 15
X1 = 0
Z = 40 . 0 + 30 .15 = 450
Kesimpulan
Untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan keuntungan
sebesar Rp 900 juta.
2. Dengan cara menggeser garis fungsi tujuan.
Solusi optimal akan tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah
feasible (daerah yang diliputi oleh semua kendala) yang terjauh dari titik origin. Pada
gambar, solusi optimal tercapai pada titik C yaitu persilangan garis kendala (1) dan (3).

15 | P a g e
Titik C
Mencari titik potong (1) dan (3)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + X2 = 40
2X2 =20
X2 =10
Masukkan X2 ke kendala (1)
2X1 + 3X2 = 60
2X1 + 3 . 10 = 60
2X1 + 30 = 60
2X1 = 30 <-> X1 = 15
40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900
3.1.2.Solusi grafis untuk persoalan minimasi
Contoh :
PT. Auto Indah memproduksi dua jenis mobil, yaitu mobil sedan dan truk. Untuk dapat
merangkul konsumen berpenghasilan tinggi perusahaan ini memutuskan untuk melakukan
promosi dalam dua macam acara televisi yaitu acara hiburan dan acara olahraga. Promosi pada
acara hiburan akan disaksikan oleh 7 juta pemirsa wanita dan 2 juta pemirsa pria dalam 1 menit
penayangan. Promosi pada acara olahraga akan disaksikan oleh 2 juta pemirsa wanita dan 12
juta pemirsa pria dalam 1 menit penayangan. Biaya promosi pada acara hiburan adalah 5 juta
rupiah permenit, sedangkan pada acara olahraga 10 juta rupiah per menit. Jika perusahaan
menginginkan promosinya disaksikan sedikitnya 28 juta pemirsa wanita dan 24 juta pemirsa
pria, berapa lamanya promosi dalam acara hiburan dan acara olahraga agar dicapai biaya
promosi minimum dan berapa biaya promosi minimumnya?
Variabel Keputusan:
X1 : Durasi Acara Hiburan / menit
X2 = Durasi Acara Olahraga / menit
Model LP:
Minimumkan Z = 5x1 + 10x2
Terhadap Pembatas:
7x1 + 2x2 ≥ 28 (pemirsa wanita)
2x1 + 12x2 ≥ 24 (pemirsa pria)
Dimana xj ≥ 0 j = 1,2

16 | P a g e
1. 7x1 + 2x2 ≥ 28 =>
X1 = 0 => 7(0) + 2x2 = 28 => 2x2 = 28
X2 = 0 => x2 = 14 => A ( 0 , 14 ) => 7x1 + 2(0) = 28 => 7x1 = 28 => x1 = 4 => B ( 4 , 0 )
2. 2x1 + 12x2 ≥ 24
X1 = 0 =>2(0) + 12x2 = 24 => 12x2 = 24 => x2 = 2 => C ( 0 , 2 )
X2 = 0 => 2x1 + 12(0) = 24 => 2x1 = 24 => x1 = 12 => D ( 12 , 0 )
Titik Relevan : A, D, E
Nilai pada Z A = 5(0) + 10(14) = 140
Nilai pada Z D = 5(12) + 10(0) = 60
Nilai pada Z E:
7x1 + 2x2 = 28 x6 42x1 + 12x2 = 168
2x1 + 12x2 = 24 x1 2x1 + 12x2 = 24
=> 40x1 = 144
=> x1 = 3.6
Masukan x1 = 3.6 pada persamaan 2x1 + 12x2 = 24 :
2(3.6) + 12x2 = 24
7.2 + 12x2 = 24
12x2 = 16.8
=> x2 = 1.4
Jadi koordinat titik E adalah (3.6 , 1.4)
Maka, Nilai pada Z E = 5(3.6) + 10(1.4) = 32

17 | P a g e
Kesimpulan
Agar mencapai biaya promosi minimum, PT Auto Indah sebaiknya melakukan promosi pada
acara hiburan selama 3.6 menit dan pada acara olahraga selama 1.4 menit. Biaya promosi
minimum yang dicapai adalah sebesar 32 juta.
3.2. Kasus Khusus
1. Solusi Optimal Berganda/Banyak
2. Tanpa Solusi Fisibel
3. Ruang Solusi yang Tidak Terbatas
3.2.1.Solusi alternative atau solusi optimal banyak
 Terjadi jika fungsi tujuan terletak pada lebih dari satu titik optimum
 Terjadi jika kemiringan fungsi tujuan dan salah satu persamaan kendala/pembatas
adalah sama.
Contoh :
F/t : Maksimasi z = 3 X1 + 2 X2
Pembatas :
1/40 X1 + 1/60 X2 ≤ 1
1/50 X1 + 1/50 X2 ≤ 1
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0s
Solusi grafis dari persoalan diatas adalah :

18 | P a g e
3.2.2.Persoalan programa linier tanpa solusi fisibel
 Tidak memiliki solusi yang layak (kasus mempunyai masalah tak layak)
 Tidak ada titik-titik yang secara serentak memenuhi semua kendala dalam masalah
tersebut
Contoh :
F/t : Maksimasi z = 5 X1 + 3 X2
Pembatas :
4 X1 + 2 X2 ≤ 8
X1 ≥ 3
X2 ≥ 7
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0

19 | P a g e
3.2.3.Persoalan programa linier dengan ruang solusi yang tidak terbatas (unbounded)
 Terjadi ruang solusi tidak terbatas sehingga nilai fungsi tujuan dapat
meningkat/menurun secara tidak terbatas
 Umumnya terjadi karena kesalahan dalam memformulasikan persoalan.
Contoh :
F/t : Maksimasi z = 5 X1 + 10 X2 Pembatas :
7X1 + 2 X2 ≥ 28
2X1 + 12 X2 ≥ 12
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
3.3. Bentuk Standar Model Programa Linier
Model Program linier dapat memiliki pembatas-pembatas yang bertanda ≥, ≤ , =.
Demikian juga variabel-variabelnya yang dapat berupa variabel non negatif, dapat pula variabel
yang tidak terbatas dalam tanda (unrestricted in sign).
Didalam menyelesaikan persoalnan program linier dengan menggunakan metode
simpleks, bentuk dasar yang digunakan haruslah bentuk standar, yaitu bentuk formulasi yang
memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
1. Seluruh pembatas harus berbentuk persamaan (bertanda =) dengan ruas kanan yang non
negatif.
2. Seluruh variabel harus merupakan variabel non negatif.
3. Fungsi tujuannya dapat berupa memaksimalkan atau meminimalkan.
Untuk mengubah suatu bentuk formulasi yang belum standar kedalam benuk standar ini
dapat dilakukan cara-cara sebagai berikut:
1. Pembatas ( Konstrain)
a.Pembatas yang bertanda ≤ atau ≥ dapat dijadikan suatu persamaan (bertanta =) dengan
menambahkan atau mengurangi dengan suatu variabel slack pada ruas kiri pembatas
itu.
Contoh 1 :
X1 + 2X2 ≤ 6
Kita tambahkan slack S1 ≥ 0 pada ruas kiri sehingga diperoleh persamaan :
X1 + 2X2 + S1 = 6 , S1 ≥ 0
Jika pembatas di atas menyatakan batas penggunaan suatu sumber, maka S1 akan
menyatakan banyaknya sumber yang tak terpakai.

20 | P a g e
Contoh 2 :
3X1 + 2X2 - 3X3 ≥ 5
Karena ruas kirinya tidak lebih kecil dari ruas kanan, maka harus dikurangkan
variabel S2 ≥0 pada ruas kiri sehingga diperoleh persamaan :
3X1 + 2X2 - 3X3 - S2 = 5, S2 ≥ 0
b. Ruas kanan dari suatu persamaan berupa bilangan negatif dapat dijadikan bilangan
non negatif dengan cara mengalikan kedua ruas dengan –1.
Contoh :
2X1 + 3X2 – 7X3 = -5
secara matematik adalah sama dengan
-2X1 – 3X2 + 7X3 = 5
c.Arah ketidaksamaan dapat berubah apabila kedua ruas dikalikan dengan –1.
Contoh :
2 < 4 adalah sama dengan -2 > -4
2X1 - X2 ≤ -5 adalah sama dengan -2X1 + X2 ≥ 5
d. Pembatas dengan ketidaksamaan yang ruas kirinya berada dalam tanda mutlak dapat
diubah menjadi dua ketidaksamaan.
Contoh 1:
Untuk b ≥ 0, | a1X1 + a2X2 | ≤b adalah sama dengan
a1X1 + a2X2 ≤b dan a1X1 + a2X2 ≥-b
Contoh 2:
Untuk q ≥0, | p1X1 + p2X2 | ≥q adalah sama dengan
p1X1 + p2X2 ≥q atau p1X1 + p2X2 |≤-q
2. Variabel
Suatu variabel Yi yang tidak terbatas dalam tanda dapat dinyatakan sebagi suatu variabel
nonnegatif dengan menggunakan substitusi :
Yi = Yi’ – Yi’’ dimana Yi’ dan Yi’’ ≥ 0
Substitusi ini harus dilakukan pada seluruh pembatas dan fungsi tujuannya.
3. Fungsi Tujuan
Walaupun model standar program linier ini dapat berupa maksimasi atau minimasi,
kadang kadang diperlukan perubahan dari suatu bentuk ke bentuk lainnya. Dalam hal ini,

21 | P a g e
maksimasi dari suatu fungsi adalah sama dengan minimasi dari negatif fungsi yang sama,
dan sebaliknya.
Contoh :
Maksimalkan Z = 5X1 + 2X2 + 3X3 Secara matematis adalah sama dengan :
Minimalkan (-Z) = -5X1 - 2X2 - 3X3
3.4. Metode Simpleks
Metode Simplek merupakan prosedur Aljabar yang bersifat iterative, yang bergerak
selangkah demi selangkah di mulai dari titik ekstrem pada daerah fisibel menuju ketitik ekstrem
yang optimum. Untuk dapat lebih memahami diberikan pengertian dari terminology dasar yang
banyak digunakan dalam membicarakan metode simplek.
1. Solusi Basis
Solusi dimana terdapat sebanyak banyaknya variable berharga bukan nol. Variable-
variabel yang di nolkan disebut variabel non basis (NBV).
2. Solusi Basis Fisibel
Jika seluruh variabel pada suatu solusi basis berharga non negative, maka solusi itu
disebut (BKS).
3. Solusi Fisibel Titik Ekstrem
Yang dimaksud dengan solusi fisibel titik ekstrem atau titik sudut ialah solusi fisibel yang
tidak terletak pada suatu segmen garis yang menghubungkan dua solusi fisibel lainnya.
Ada 3 sifat Pokok titik ekstrem yaitu :
 Jika hanya ada satu solusi optimum maka pasti ada satu titik ekstrem. Jika solusi
optimum banyak, maka paling sedikit ada dua titik ekstrem yang berdekatan (dua
titik ekstrem dikatakan berdekatan jika segmen garis yang menghubungkan buah
keduanya itu terletak pada sudut dari daerah fisibel.
 Hanya ada sejumlah terbatas titik ekstrem pada setiap persoalan.
 Jika suatu titik eksterm memberikan harga-harga yang lebih baik dari yang lainnya
maka pasti solusi itu merupakan solusi optimum.
Sifat 3 ini menjadi dasar dari metode simplek yang prosedurnya meliputi 3 langkah:
 Langkah misialisasi : Mulai dari suatu titik ekstrem (0,0)
 Langkah Iteratif : Bergerak menuju titik ekstrem berdekatan yang lebih baik.
Langkah ini diulang sebanyak yang diperlukan.
 Aturan Penghentian : Memberhentikan langkah ke 2 apabila telah sampai pada titik
ekstrem yang terbaik (titik optimum)

22 | P a g e
Secara matematis solusi di peroleh dari pengenolan variabel itu kemudian disebut sebagai
solusi basis. Jika solusi basis dapat memenuhi pembatasan-pembatasan non negative,
maka solusi ini disebut solusi basis fisibel. Variabel-variabel yang di nolkan disebut
variabel-variabel non basis dan sisanya disebut variabel-variabel basis. Jumlah iterasi
maksimum dalam metode simplek adalah sama dengan jumlah maksimum solusi basis
dalam bentuk standart.
3.4.1.Algoritma simplek untuk persoalan maksimisasi
1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar
2. Cari solusi basis fisibel (BFS)
3. Jika seluruh NBV mempunyai koefisien non negative (artinya berharga positif atau nol )
pada baris fungsi tujuan (baris persamaan-persamaan yang biasa juga disebut baris o)
maka BFS sudah optimal.
3.4.2.Algoritma simplek untuk persoalan Minimasi.
1. Mengubah fungsi tujuan dan persamaannya kemudian menyelesaikan sebagai persoalan
maksimasi.
2. Memodifikasi Jika seluruh NBV pada baris O mempunyai koefisien yang berharga non
positif (artinya berharga negative atau nol, maka BFS sudah optimal).
3.5. Kasus Khusus dalam Penggunaan Algoritma Simpleks
1. Degenerasi
Degeneracy terjadi jika terdapat variabel basis dengan rasio minimum yang sama,
sehingga pada iterasi berikutnya, paling sedikit sebuah variabel basis bernilai nol.

23 | P a g e
2. Solusi optimum banyak
Alternate optima terjadi jika fungsi objektif paralel dengan salah satu kendala binding
dan non redundant, sehingga hal ini mengakibatkan diperolehnya beberapa solusi
optimal. Pada tabel simpleks optimal, keberadaan alternate optima ditunjukkan dengan
adanya variabel non basis x yang bernilai nol. Jika iterasi dilanjutkan dengan menjadikan
x sebagai variabel masuk, maka akan didapat solusi lain yang memberikan nilai Z yang
sama.
3. Solusi tak terbatas
Solusi tak berbatas terjadi jika nilai dari variabel-variabel dapat diperbesar tanpa
melanggar satupun kendala. Hal ini berarti bahwa daerah solusi tidak berbatas
unbounded.

24 | P a g e
BAB 4
TEORI DUALITAS DAN ANALISIS KEPEKAAN
4.1. Teori Dualitas
Teori dualitas merupakan salah satu konsep program linier yang penting dan menarik
ditinjau dari segi teori dan praktisnya. Hal yang melatar belakangi adalah bahwa setiap masalah
program linier mempunyai satu program linier lain yang saling berkaitan yang disebut “dual”,
sedemikian sehingga solusi pada persoalan semula yang disebut “primal” juga member solusi
pada dualnya. Bentuk umum masalah primal dual adalah sebagai berikut:
Primal:
Maksimumkan: z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
Berdasarkan pembatas:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn <= b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn <= b2 . . . am1x1 + am2x2 + …
+ amnxn <= bm x1, x2, …, xn >= 0
Dual:
Minimumkan: w = b1y1 + b2y2 + … + bmym
Berdasarkan pembatas:
a11y1 + a21y2 + … + am1ym >= c1
a12y1 + a22y2 + … + am2ym >= c2
a1ny1 + a2ny2 + … + amnym >= cn
y1, y2, …, ym >= 0
Jika dibandingkan kedua persoalan tersebut di atas, maka terdapat korespondensi antara
primal dengan dual, yaitu sebagai berikut:
1. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan bagi dual, sedangkan
konstanta ruas kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan bagi dual.
2. Untuk setiap pembatas primal ada satu variabel dual, dan untuk setiap variabel primal ada
satu pembatas dual.
3. Tanda ketidaksamaan pada pembatas akan bergantung pada fungsi tujuannnya.
4. Fungsi tujuan berubah bentuk (maksimasi menjadi minimasi dan begitu juga sebaliknya).
5. Setiap kolom pada primal berkorespondensi dengan baris (pembatas) pada dual.
6. Setiap baris (pembatas) pada primal berkorespondensi dengan kolom pada dual.
7. Dual dari dual adalah primal.

25 | P a g e
4.2. Hubungan Primal Dual
Nilai tujuan dalam suatu pasangan masalah primal dan dual harus memenuhi hubungan
berikut ini:
1. Untuk setiap pasangan pemecahan primal dual yang layak
Untuk menjelaskan hubungan antara primal dan dual, perhatikan ilustrasi berikut ini :
Primal
Minimumkan : z = 16x1 + 30x2 + 36x3
2x1 + 3x2 + 2x3 60
2x1 + 5x2 + 3x3 80
x1 , x2 , x3 0
Soal ini kita selesaikan melalui penyelesaian dualnya, yakni :
Maksimumkan : w = 60y1 + 80y2
2y1 + 2y2 16
3y1 + 5y2 30
2y1 + 3y2 36
y1 , y2 , y3 0
Karena soal ini hanya terdiri dari dua choice variabel sehingga dapat diselesaikan dengan
metode grafis, namun soal ini kita selesaikan dengan metode simpleks, sebab dengan cara
ini dari tabel akhir dapat kita baca jawaban untuk persoalan primalnya. Untuk ini bentuk
constraint di atas diubah dulu menjadi persamaan dengan memasukkan slack variable t1,
t2, dan t3 (untuk primal problem, slack/surplus variable kita pakai lambang S), yakni :
2y1 + 2y2 + t1 = 16
3y1 + 5y2 + t2 = 30
2y1 + 3y2 + t3 = 36
Sedangkan fungsi objectivenya ditulis dalam bentuk :
w - 60y1 - 80y2 + 0 t1 + 0 t2 + 0 t3 = 0
4.3. Sifat-sifat Primal Dual yang Penting
Sifat-sifat primal dua penting untuk dipahami terutama pada saat kita membicarakan
masalah analisis sensitivitas. Dengan menggunakan sifat-sifat ini kita dapat menentukan nilai

26 | P a g e
variabel-variabel tertentu dengan cara yang sangat efisien. Ada empat sifat yang perlu diketahui,
yaitu :
Sifat 1 : Menentukan koefisien fungsi tujuan variabel-variabel basis awal.
Pada setiap iterasi solusi simpleks, baik primal maupun dual, koefisien fungsi tujuan variabel-
variabel basis awalnya dapat dicari dengan cara :
Programa Linier : Dualitas dan Analisis Sensitivitas
a.Mengalikan fungsi tujuan yang original dari variabel-variabel basis pada iterasi yang
bersangkutan dengan matriks di bawah variabel basis awal pada iterasi yang
bersangkutan. Koefisien ini biasa disebut simplex multiplier.
b. Kurangi nilai-nilai simplex multiplier ini dengan fungsi tujuan yang original dari
variabel-variabel basis awal.
Sifat 2 : Menentukan koefisien fungsi tujuan variabel-variabel nonbasis awal.
Pada setiap iterasi dari persoalan primal, koefisien fungsi tujuannya dapat ditentukan dengan
menyubstitusikan simplex multiplier pada variabel-variabel pembatas dari dual, kemudian
mencari selisih antara ruas kiri dan ruas kanan dari pembatas dual tersebut.
Sifat 3 : Menentukan nilai ruas kanan (solusi) dari variabel-variabel basis.
Pada setiap iterasi, baik primal maupun dual, nilai ruas kanan (kolom solusi) variabel-variabel
basis pada iterasi yang bersangkutan dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut :
Sifat 4 : Menentukan koefisien pembatas.
Contoh :
Maksimumkan : z = 4x1+ 6x2+ 2x3
4x1 – 4x2 5
-x1 + 6x2 5
-x1 + x2 + x3 5
x1 , x2, x3 0

27 | P a g e
4.4. Metode Dual Simpleks
Apabila pada suatu iterasi kita mendapat persoalan programa linier yang sudah optimum
(berdasarkan kondisi optimalitas), tetapi belum fisibel (ada pembatas nonnegatif yang tidak
terpenuhi), maka persoalan tersebut harus diselesaikan dengan menggunakan metode dual
simpleks. Syarat digunakannya metode ini adalah bahwa seluruh pembatas harus merupakan
ketidaksamaan yang bertanda ( ≤ ), sedangkan fungsi tujuan bisa berupa maksimasi atau
minimasi.
Pada dasarnya metode dual simpleks ini menggunakan tabel yang sama seperti metode
simpleks pada primal, tetapi leaving variable dan entering variable-nya ditentukan sebagai
berikut :
1. Leaving variable (kondisi fisibilitas)
Yang menjadi leaving variable pada dual simpleks adalah variabel basis yang memiliki
harga negatif terbesar. Jika semua variabel basis telah berharga positif atau nol, berarti
keadaan fisibel telah tercapai.
2. Entering variable (kondisi optimalitas)
a.Tentukan perbandingan (rasio) antara koefisien persamaan z dengan koefisien
persamaan leaving variable. Abaikan penyebut yang positif atau nol. Jika semua
penyebut berharga positif atau nol, berarti persoalan yang bersangkutan tidak
memiliki solusi fisibel.
b. Untuk persoalan minimasi, entering variable adalah variabel dengan rasio terkecil,
sedangkan untuk persoalan maksimasi, entering variable adalah variabel dengan
rasio absolut terkecil.
4.5. Analisis Kepekaan
Analisis sensitivitas adalah analisis yang dilakukan untuk mengetahui akibat/pengaruh
dari perubahan yang terjadi pada parameter-parameter LP terhadap solusi optimal yang telah
dicapai.
Ada enam tipe perubahan dalam analisis sensitivitas dengan menggunakan tabel
simpleks yaitu :
1. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel nonbasis.
2. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel basis.
3. Perubahan pada ruas kanan suatu pembatas.
4. Perubahan kolom untuk suatu variabel nonbasis.
5. Penambahan suatu variabel atau aktivitas baru.
6. Penambahan suatu pembatas baru.

28 | P a g e
4.6. Shadow Prices
Untuk mendefinisikan kegunaan konsep shadow price ini, misalkan kita mempunyai
persoalan maksimasi dengan pembatas di mana adalah ruas kanan dari pembatas ke- .
Shadow price pembatas ke- dari suatu persoalan maksimasi adalah besaran yang
menyatakan peningkatan nilai optimal sebagai akibat dinaikkannya harga sebesar 1 unit, yaitu
dari menjadi .
Shadow price pembatas ke- dari suatu persoalan maksimasi adalah nilai optimal dari
variabel dual ke- . Karena shadow price adalah variabel dual, maka :
 Shadow price untuk pembatas bertanda akan nonnegatif.
 Shadow price untuk pembatas bertanda akan nonpositif.
 Shadow price untuk pembatas bertanda akan tidak terbatas dalam tanda.
Definisi shadow price di atas juga berlaku untuk persoalan minimasi, dengan ketentuan bahwa :
 Shadow price untuk pembatas bertanda akan nonnegatif.
 Shadow price untuk pembatas bertanda akan nonpositif.
 Shadow price untuk pembatas bertanda akan tidak terbatas dalam tanda.

29 | P a g e
BAB 5
TIPE-TIPE KHUSUS PERSOALAN PROGRAMA LINIER
5.1. Persoalan Transportasi
Masalah ini merupakan masalah pengangkutan sejenis barang dari beberapa sumber ke
beberapa tujuan. Pengalokasian produk dari sumber yang bertindak sebagai penyalur ke tujuan
yang membutuhkan barang bertujuan agar biaya pengangkutannya seminimal mungkin dari
seluruh permintaan dari tempat tujuan dipenuhi. Model transportasi digunakan untuk
menyelesaikan masalah distribusi barang dari beberapa sumber ke beberapa tujuan. Asumsi
sumber dalam hal ini adalah tempat asal barang yang hendak dikirim, sehingga dapat berupa
pabrik, gudang, grosir, dan sebagainya. Sedangkan tujuan diasumsikan sebagai tujuan
pengiriman barang. Dengan demikian informasi yang harus ada dalam masalah transportasi
meliputi: banyaknya daerah asal beserta kapasitas barang yang tersedia untuk masing
tempat, banyaknya tempat tujuan beserta permintaan (demand) barang untuk masing-masing
tempat dan jarak atau biaya angkut untuk setiap unit barang dari suatu tempat asal ke tempat
tujuan
5.1.1.Model Transportasi
Metode transportasi adalah suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi
dari sumber sumber yang menyediakan produk yang sama atau sejenis ke tempat tujuan
secara optimal. Distribusi ini dilakukan sedemikian rupa sehingga permintaan dari beberapa
tempat tujuan dapat dipenuhi dari beberapa tempat asal yang masing-masing dapat memiliki
permintaan atau kapasitas yang berbeda. Dengan menggunakan metode transportasi, dapat
diperoleh suatu alokasi distribusi barang yang dapat meminimalkan total biaya transportasi.
Selain untuk mengatur distribusi pengiriman barang, metode transportasi juga dapat
digunakan untuk masalah lain, seperti penjadwalan dalam proses produksi agar memperoleh
total waktu proses pengerjaan yang terendah, penempatan persediaan agar mendapatkan
total biaya persediaan terkecil, atau pembelanjaan modal agar mendapatkan hasil investasi yang
terbesar. Dalam kaitannya dengan perencanaan fasilitas, metode transportasi dapat digunakan
untuk memilih suatu lokasi yang dapat meminimalkan total biaya operasi. Suatu perusahaan
memerlukan pengelolaan data dan analisis kuantitatif yang akurat, cepat serta praktis
dalam penggunaannya. Dalam perhitungan secara manual membutuhkan waktu yang lebih
lama, sementara pertimbangan efisiensi waktu dalam perusahaan sangat diperhatikan.

30 | P a g e
Dengan demikian diperlukan adanya suatu alat, teknik maupun metode yang praktis, efektif
dan efisien untuk memecahkan permasalahan tersebut.
5.1.2.Metode Pemecahan
Langkah 1
Dalam metode penyelesaian awal diatas telah disebutkan prosedur umum untuk memperoleh
solusi awal. Transportasi terdapat beberapa metode penyelesaian awal antara lain
1. Metode Northwest Corner
Metode ini digunakan untuk menyelesaikan permasalahan transportasi dengan cara
pengalokasian yang dimulai dari kotak paling kiri atas yaitu pengalokasian sebanyak
mungkin selama tidak melanggar batasan yang ada, yaitu sejumlah supply dan demand-
nya. Pengalokasian dilakukan menurun kebawah setelah itu ke kolom berikutnya sampai
terpenuhi seluruh supply dan demand-nya.
The northwest corner rule diterapkan pada metode transportasi dengan mengirimkan
barang dari kota asal pada baris paling atas ke kota tujuan pada kolom paling kiri. Dengan
menggunakan the least cost method, pengiriman barang dimulai pada biaya yang
terendah. Cara ini memberikan solusi yang lebih murah dibandingkan dengan
menggunakan the northwest corner rule.
2. Metode Least Cost
Metode ini adalah metode yang pengalokasiannya dimulai pada kotak dengan biaya
terendah dan dilanjutkan dengan kotak biaya terendah selanjutnya yang belum terpenuhi
nilai demand dan supply-nya. The least cost method berusaha mencari solusi awal yang
lebih baik, yaitu dengan memusatkan perhatian pada biaya pengiriman yang paling
murah.
3. Metode Aproximasi Vogel (VAM)
Vogel Approximation Method (VAM) yang dikembangkan oleh Vogel pada prinsipnya
mencari opportunity cost (biaya peluang). Setiap baris dan kolom, dibandingkan dan
dihitung selisih antara biaya terendah dengan yang lebih tinggi, metode ini adalah metode
yang pengalokasiannya dimulai dengan menentukan nilai selisih antara kotak dengan
biaya terendah dan kotak dengan biaaya terendah berikutnya untuk setiap baris dan
kolom (selajutnya sebut nilai selisih atau nilai Penalti).
Selajutnya dipilih baris atau kolom dengan nilai selisih terbesar, dan dilakukan
pengalokasian pada kotak dengan biaya terendah pada baris atau kolom yang terpilih.

31 | P a g e
Dalam permasalahan transportasi, Opportunity cost (biaya peluang) antara baris supply
dan kolom demand dimengerti sebagai selisih antara biaya terendah dan biaya terendah
berikutnya. Langkah-langkah Vogel Approximation method yaitu:
a.Pada setiap baris dan kolom, pilih biaya terendah dan alternatif biaya terendah
berikutnya pada kotak yang belum terpakai. Selisih antara biaya terendah dan
altiernatif biaya terendah berikutnya merupakan opportunity cost (biaya peluang)
bagi baris atau kolom.
b. Pilihlah opportunity cost yang tertinggi di antara baris dan kolom.
c.Alokasikan sebanyak mungkin unit pada baris atau kolom pada kotak dengan biaya
terendah.
Langkah 2
1. Metode Stepping Stone
Pengujian ini didasarkan pada hasil perhitungan perubahan biaya dari setiap siklus yang
intinya adalah untuk mencoba mengalokasikan pada kotak kosong (variabel non basis).
Langkah-langkah penyelesaian persoalan transportasi dengan metode stepping stone:
a.Dibuat suatu loop tertutup bagi setiap variabel non basis, loop tersebut berawal dan
berakhir pada variabel non basis tadi, dimana setiap sudut loop haruslah merupakan
titik-titik yang ditempati oleh variabel-variabel basis dalam tabel transportasi.
b. Dalam hal ini loop digunakan untuk memeriksa apakah bisa diperoleh penurunan
ongkos jika variabel non basis dimasukan menjadi basis. Entering variable dapat
ditentukan dengan cara memeriksa semua variabel non basis yang terdapat pada suatu
iterasi.
c.Pada tiap sudut loop akan ditandai dengan (+) yang merupakan pertambahan nilai
variabel serta (-) merupakan pengurangan nilai variabel.
d. Dipilih variabel non basis yang menyebabkan penurunan ongkos terbesar sebagai
entering variable.
e.Leaving variabel dipilih dari variabelvariabel sudut loop yang bertanda (-)
2. Metode multiplier
“Modified distribution method” , dikenal sebagai metode modi , sanga tmirip dengan
metode steppingstone kecuali modi menyajikan cara yang lebih efisien untuk menghitung
tanda peningkatan dari sel-sel yang kosong. perbedaan antara dua metode ini menyangkut
langkah dalam penyelsaian masalah, dimana diperlukan suatu langkah yang disebut
lintasan tertutup. untuk menghitung penunjuk peningkatan solusi khusus. maka dalam
metode stepingstone perlu di gambarkan suatu lintasan tertutup untuk setiap sel kosong .

32 | P a g e
Dalam metode modi penunjuk peningkatan dapat dihitung tanpa menggambar lintasan
tertutup dalam kenyataannya metode modi memerlukan hanya satu lintasan tertutup.
Seperti dalam metode steppingstone kegunaan lintasan ini ialah untuk menentukan
jumlah maksimum yang dapat di pindahkan kedalam sel kosong berikutnya .maka
prosedur untuk menghitung opportunity cost dari sel kosong dalam modi tidak tergantung
pada lintasan loop tersebut .
Dalam metode modi penunjuk peningkatan dapat dihitung tanpa menggambar lintasan
tertutup dalam kenyataan nya metode modi memerlukan hanya satu lintasan tertutup.
Seperti dalam metode steppingstone kegunaan lintasan ini ialah untuk menentukan
jumlah maksimum yang dapat di pindahkan ke dalam sel kosong berikutnya . maka
prosedur untuk menghitung opportunity cost dari sel kosong dalam modi tidak tergantung
pada lintasan loop tersebut.
5.2. Model Transshipment
Model transshipment merupakan perluasan dari model transportasi. Perbedaannya
adalah, pada model transshipment semua simpul berpotensi menjadi tempat persinggahan
barang atau titik transshipment, sedang pada model transportasi pengiriman barang langsung
dari gudang yang kelebihan barang ke gudang yang membutuhkan barang. Dalam model
transshipment diasumsikan bahwa:
1. barang yang dikirim adalalah homogen
2. biaya penyimpanan tidak diperhitungkan
3. alat pengangkutan telah ditentukan untuk pengiriman barang dari suatu gudang ke
gudang lain
4. biaya pengiriman barang dari suatu gudang ke gudang lain dihitung untuk tiap unit barang
5. biaya pemindahan pada titik transshipment dihitung untuk tiap unit barang yang
dipindahkan.
Langkah-langkah yang ditempuh untuk menyelesaiknn masalah transshipment adalah
1. membuat model trasshipment
2. mengubah model transshipment menjadi model transportasi
3. mencari solusi fisibel basis
4. mencari solusi optimal.
Dengan menggunakan model trasshipment dasar dapat dibentuk variasi-variasi kasus,
antara lain kasus-kasus dimana:

33 | P a g e
1. total penawaran lebii besar dari pada total permintaan, (pada kasus ini dapat
ditambahkan kapasitas tempat tujuan khayal)
2. total penawaran lebih kecil dari pada total permintam, (pada kasus ini dapat ditambahkan
kapasitas sumber khayal)
3. masalah biaya pemindahan sama dengan nol, (kasus ini dapat diselesaikan dengan dua
cara yaitu, dengan langsung rnenggunakan model transportasi atau dengan menggunakan
model transshipment)
4. terdapat masalah sumber sejati dan tempat tujuan sejati, (kasus ini menunjukkan adanya
simpul yang tidak menjadi tempat persinggahan barang atau titik transshipment)
5. terdapat masapah tim semua rute dapat dilalui, (kasus ini menunjukkan adanya satu atnu
heberapa busur yang tidak bisa dilalui).
5.3. Model Penugasan (Assignment Model)
Assignment problem adalah suatu masalah mengenai pengaturan pada individu (objek)
untuk melaksanakan tugas (kegiatan), sehingga dengan demikian biaya yang dikeluarkan untuk
pelaksanaan penugasan tersebut dapat diminimalkan. Salah satu dalam menyelesaikan
persoalan ini adalah dengan menggunakan algoritma Hungarian. Algoritma Hungarian adalah
salah satu algoritma yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan masalah assignment. Versi
awalnya, yang dikenal dengan metode Hungarian, ditemukan dan dipublikasikan oleh Harold
Kuhn pada tahun 1955. Algoritma ini kemudian diperbaiki oleh James Munkres pada tahun
1957. Oleh karena itu, algoritma ini kemudian dikenal juga dengan nama algoritma Kuhn-
Munkres. Algoritma yang dikembangkan oleh Kuhn ini didasarkan pada hasil kerja dua orang
matematikawan asal Hungaria lainnya, yaitu Denes Konig dan Jeno Egervary. Keberhasilan Kuhn
menggabungkan dua buah penemuan matematis dari Jeno Egervary menjadi satu bagian
merupakan hal utama yang menginspirasikan lahirnya Algoritma Hungarian. Dengan
menggunakan algoritma ini, solusi optimum sudah pasti akan ditemukan. Namun untuk hal ini
kasusnya dibatasi, yaitu bila ingin menemukan solusi terbaik dengan nilai minimum (least cost
search).
Masalah penugasan adalah sejumlah tugas kepada sejumlah penerima tugas dalam basis
satu-satu, artinya seorang pekerja harus menjalankan satu pekerjaaan. Tujuan untuk
memecahkan persoalan, penempatan sumber- sumber yang ada pada kegiatan-kegiatan yang
dituju, sehingga kerugiannya agak minimal dan keuntungannya maksimal.
Persoalan penugasan (Assigment problem) merupakan salah satu persoalan transportasi dan
dapat dinyatakan sebagai berikut : “ Dengan tersedianya fasilitas untuk melaksanakan jenis
pekerjaan (jobs) dimana masing-masing fasilitas (mesin, orang, dan tenaga), persoalannya ialah

34 | P a g e
bagaiamana menentukan jenis pekerjaan yang mana, agar jumlah pengorbanan (uang, waktu
dan tenaga) minimum ”. Persoalan penugasan luas penggunaannya dalam bidang manajemen
khususnya keputusan untuk menentukan jenis pekerjaan apa yang harus di kerjakan.
Salah satu teknik pemecahan masalah-masalah penugasan yang tersedia adalah metoda
Hungarian, yang mula-mula di kembangkan oleh seorang ahli matematika berkebangsaan
Huangaria bernama D. Konig dalam tahun 1916.
Model-model penugasan bertujuan untuk mengalokasikan “sumber daya” untuk sejumlah
sama “pekerjaan” pada biaya total minimum.Penugasan di buat atas dasar bahwa setiap sumber
daya harus di tugaskan hanya untuk satu pekerjaan. Untuk suatu masalah penugasan n x n,
jumlah penugasan yang mungkin di lakukan sama dengan n ! (n factorial) karena perpasangan
satu-satu.

35 | P a g e
BAB 6
ANALISIS JARINGAN
Analisis jaringan merupakan suatu perpaduan pemikiran yang logis, digambarkan dengan
suatu jaringan yang berisi lintasan-lintasan kegiatan dan memungkinkan pengolahan secara
analitis. Analisa jaringan kerja memungkinkan suatu perencanaan yang efektif dari suatu
rangkaian yang mempunyai interaktivitas. Keuntungan dari analisis jaringan adalah:
1. Dapat merencanakan suatu proyek secara keseluruhan.
2. Penjadwalan pekerjaan dalam urutan yang praktis dan efisien.
3. Pengadaan pengawasan dan pembagian kerja maupun biaya.
4. Penjadwalan ulang untuk mengatasi hambatan dan keterlambatan.
5. Menentukan kemungkinan pertukaran antara waktu dan biaya.
6.1. Model Jaringan
Jaringan lahir karena berbagai keperluan seperti: transportasi, listrik, komunikasi,
perencanaan proyek, aliran air, pembuatan jalan, dan lain-lain. Saat ini jaringan sangat penting,
sebab dengan jaringan maka masalah yang besar dan rumit dapat disederhanakan. Ada
beberapa jaringan yang dapat diselesaikan dengan permasalahan program linear. Pada kajian di
sini akan dibahas tiga masalah jaringan, yaitu: permasalahan lintasan terpendek, masalah
diagram pohon terpendek, masalah aliran maksimum.
Dalam menggambarkan suatu jaringan kerja digunakan tiga buah simbol sebagai berikut:
1. Anak panah (arrow), menyatakan sebuah kegiatan atau aktivitas. Kegiatan di sini
didefinisikan sebagai hal yang memerlukan jangka waktu tertentu dalam pemakaian
sejumlah sumber daya (sumber tenaga, peralatan, material, biaya)
2. Lingkaran kecil (node), menyatakan sebuah kejadian atau peristiwa atau event. Kejadian
didefinisikan sebagai ujung atau pertemuan dari satu atau beberapa kegiatan.
3. Anak panah terputus-putus, menyatakan kegiatan semu atau dummy . Dummy tidak
mempunyai jangka waktu tertentu, karena tidak memakai sejumlah sumber daya.
6.2. Model Rute Terpendek ( Shortest Route )
Model Rute Terpendek adalah salah satu model jaringan yang dapat digunakan untuk
menentukan jarak terpendek dari berbagai alternative rute yang tersedia. Dalam hal ini, istilah
rute tidak harus selalu dikaitkan dengan jarak. Kita bisa saja mengganti jarak, misalnya dengan
biaya atau waktu.

36 | P a g e
Prosedur Shortest-Route
1. Tentukan node terdekat dari node asal. Selanjutnya tulis jarak pada kotak di dekat node.
2. Tentukan node terdekat berikutnya, dan tulis jarak pada kotak di dekat node. Dalam
beberapa kasus, beberapa jalur harus diperiksa untuk mencari node terdekat
3. Ulangi langkah 2 hingga selesai seluruh jaringan. Jarak pada node terakhir merupakan
jarak terpendek. Perlu diperhatikan bahwa jarak yang ditulis dekat node merupakan jarak
terpendek untuk mencapai node tersebut.
6.3. Model Rentang Pohon Minimum ( Minimal Spanning Tree )
Pohon rentang minimum (minimal spanning tree) adalah teknik mencari jalan
penghubung yang dapat menghubungkan semua titik dalam jaringan secara bersamaan sampai
diperoleh jarak minimum.
Masalah pohon rentang minimum serupa dengan masalah rute terpendek (shortest route),
kecuali bahwa tujuannya adalah untuk menghubungkan seluruh simpul dalam jaringan sehingga
total panjang cabang tersebut diminimisasi. Jaringan yang dihasilkan merentangkan
(menghubungkan) semua titikdalam jaringan tersebut pada total jarak (panjang) minimum.
Prosedur Minimal Spanning Tree
1. Pilih sembarang node (atau untuk lebih konsisten pilih node pertama)
2. Hubungkan node tersebut dengan node terdekat
3. Kemudian, cari dan hubungkan node terdekat yang belum terhubungi.
4. Ulangi langkah ketiga hingga semua node terhubung
6.4. Model Aliran Maksimum ( Maximal Flow )
Model Aliran Maksimum ( Maximal Flow ), sesuai dengan namanya adalah sebuah model
yang dapat digunakan untuk mengetahui nilai maksimum seluruh arus di dalam sebuah system
jaringan. Jaringan listrik, pipa saluran dan jalur lalu lintas dalam sebuah system jaringan yang
tertutup adalah contoh – contohnya. Kapasitas pada setiap jaringan hubungan akan membatasi
jumlah arus atau aliran yang melewatinya. Sebagai contoh, sebuah kabel listrik dengan
kapasitas 10 ampere akan segera terbakar apabila kita memaksa kabel itu dilewati oleh arus 50
ampere pada tingkat tegangan yang sama. Contoh lain, lalu lintas pada sebuah arus jalan searah
akan macet apabila kemampuannya untuk menampung jumlah kendaraan terlampaui.
Situasi yang telah dijelaskan oleh kedua contoh diatas merupakan pusat perhatian model
aliran maksimum yang mempunyai tujuan untuk memaksimumkan jumlah arus yang melewati
jaringan hubungan dalam sebuah sistim jaringan. Hal ini tentunya sangat umum terjadi pada
bidang – bidang transportas, produksi/operasi, komunikasi dan distribusi.

37 | P a g e
Prosedur Maximal Flow
1. Cari dan temukan path dari titik sumber ke titik lokasi tujuan yang memiliki arah dengan
aliran kapasitas yang lebih besar dari nol untuk seluruh segitiga di dalam path. Jika tidak
ada path yang tersedia, berarti optimal solution telah tercapai
2. Cari di aliran kapasitas yang paling kecil (Sf) di dalam path yang terpilih di Step 1. Lakukan
perubahan di dalam aliran di dalam jaringan dengan mengirimkan sejumlah (Sf)
3. Untuk path yang terpilih di Step 1, kurangkan seluruh arus kapasitas dengan (Sf) di node
arah masuk dan tambahkan di arus balik node sebesar (Sf)
4. Ulangi Step 1.
5. Hentikan algoritma, ketika di node arah lebih kecil dari nol

38 | P a g e
BAB 7
PERENCANAAN DAN PENGENDALIAN PROYEK DENGAN PERT-CPM
PERT adalah suatu alat manajemen proyek yang digunakan untuk melakukan
penjadwalan, mengatur dan mengkoordinasi bagian-bagian pekerjaan yang ada didalam suatu
proyek. PERT yang memiliki kepanjangan Program Evalution Review Technique adalah suatu
metodologi yang dikembangkan oleh Angkatan Laut Amerika Serikat pada tahun 1950 untuk
mengatur program misil. Sedangkan terdapat metodologi yang sama pada waktu bersamaan
yang dikembangkan oleh sektor swasta yang dinamakan CPM atau Critical Path Method.
Lebih Jelasnya adalah PERT merupakan singkatan dari Program Evaluation and Review
Technique (teknik menilai dan meninjau kembali program), sedangkan CPM adalah singkatan
dari Critical Path Method (metode jalur kritis) dimana keduanya merupakan suatu teknik
manajemen. Teknik PERT adalah suatu metode yang bertujuan untuk sebanyak mungkin
mengurangi adanya penundaan, maupun gangguan produksi, serta mengkoordinasikan berbagai
bagian suatu pekerjaan secara menyeluruh dan mempercepat selesainya proyek. Teknik ini
memungkinkan dihasilkannya suatu pekerjaan yang terkendali dan teratur, karena jadwal dan
anggaran dari suatu pekerjaan telah ditentukan terlebih dahulu sebelum dilaksanakan.
Tujuan dari PERT adalah pencapaian suatu taraf tertentu dimana waktu merupakan dasar
penting dari PERT dalam penyelesaian kegiatan-kegiatan bagi suatu proyek. Dalam metode
PERT dan CPM masalah utama yaitu teknik untuk menentukan jadwal kegiatan beserta
anggaran biayanya dengan maksud pekerjaan-pekerjaan yang telah dijadwalkan itu dapat
diselesaikan secara tepat waktu serta tepat biaya.
CPM adalah suatu metode perencanaan dan pengendalian proyek-proyek yang merupakan
sistem yang paling banyak digunakan diantara semua sistem yang memakai prinsip
pembentukan jaringan. Dengan CPM, jumlah waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan
berbagai tahap suatu proyek dianggap diketahui dengan pasti, demikian pula hubungan antara
sumber yang digunakan dan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek. Jadi CPM
merupakan analisa jaringan kerja yang berusaha mengoptimalkan biaya total proyek melalui
pengurangan waktu penyelesaian total proyek yang bersangkutan. Teknik penyusunan jaringan
kerja yang terdapat pada CPM, sama dengan yang digunakan pada PERT. Perbedaan yang
terlihat adalah bahwa PERT menggunakan activity oriented, sedangkan dalam CPM
menggunakan event oriented. Pada activity oriented anak-panah menunjukkan activity atau
pekerjaan dengan beberapa keterangan aktivitasnya, sedang event oriented pada peristiwalah
yang merupakan pokok perhatian dari suatu aktivitas.

39 | P a g e
Pada prinsipnya yang menyangkut perbedaan PERT dan CPM adalah sebagai berikut :
1. PERT digunakan pada perencanaan dan pengendalian proyek yang belum pernah
dikerjakan, sedangkan CPM digunakan untuk menjadwalkan dan mengendalikan aktivitas
yang sudah pernah dikerjakan sehingga data, waktu dan biaya setiap unsur kegiatan telah
diketahui oleh evaluator.
2. Pada PERT digunakan tiga jenis waktu pengerjaan yaitu yang tercepat, terlama serta
terlayak, sedangkan pada CPM hanya memiliki satu jenis informasi waktu pengerjaan
yaitu waktu yang paling tepat dan layak untuk menyelesaikan suatu proyek.
3. Pada PERT yang ditekankan tepat waktu, sebab dengan penyingkatan waktu maka biaya
proyek turut mengecil, sedangkan pada CPM menekankan tepat biaya.
4. Dalam PERT anak panah menunjukkan tata urutan (hubungan presidentil), sedangkan
pada CPM tanda panah adalah kegiatan.
Metodologi PERT divisualisasikan dengan suatu grafik atau bagan yang melambangkan
ilustrasi dari sebuah proyek. Diagram jaringan ini terdiri dari beberapa titik (nodes) yang
merepresentasikan kejadian (event) atau suatu titik tempuh (milestone). Titik-titik tersebut
dihubungkan oleh suatu vektor (garis yang memiliki arah) yang merepresentasikan suatu
pekerjaan (task) dalam sebuah proyek. Arah dari vektor atau garis menunjukan suatu urutan
pekerjaan.
Gambar. Analogi diagram PERT
Dari gambar 1 dapat diamati bahwa setiap arah panah akan menunjukan suatu urutan
pengerjaan. Seperti pekerjaan 1 dilakukan terlebih dahulu (start), kemudian bisa dilanjutkan
oleh pekerjaan 2, 3, 4, setelah itu pekerjaan 5,6. Titik 7 adalah titik finish dimana pekerjaan
terakhir dilakukan dan merupakan akhir dari sebuah proyek. Selain menunjukkan suatu urutan

40 | P a g e
pengerjaan diagram PERT juga menunjukan suatu keterikatan antar pekerjaan yang tidak dapat
dipisahkan. Keterikatan itu dapat dilihat dengan contoh pekerjaan 2, 3, 4 hanya dapat dilakukan
jika pekerjaan 1 sudah selesai dilakukan.
Sebuah pekerjaan yang dapat dilakukan bersamaan dengan pekerjaan lain disebut juga
sebagai pekerjaan pararel (pararel taskatau concurrent task). Selain itu terdapat juga sebuah
aktivitas yang diwakili oleh garis putus-putus yang disebut dengan dummy activities. Dari
sebuah diagram PERT dapat digunakan untuk mengetahui suatu urutan aktivitas kritis atau
aktivitas yang harus dilakukan sebagai prioritas utama (critical path), penjadwalan dengan
aktivitas lain, dan jumlah pekerja yang dibutuhkan.
7.1. Langkah-Langkah Dalam Melalukan Perencanaan dengan PERT
Dalam melakukan perencanaan dengan PERT dibutuhkan beberapa langkah, yaitu:
1. Mengidentifikasi aktivitas (activity) dan titik tempuhnya (milestone).
Sebuah aktivitas adalah pekerjaan yang dibutuhkan untuk menyelesaikan sebuah proyek.
Titik tempuh (milestone) adalah penanda kejadian pada awal dan akhir satu atau lebih
aktivitas. Untuk mengidentifikasi aktivitas dan titik tempuh dapat menggunakan suatu
tabel agar lebih mudah dalam memahami dan menambahkan informasi lain seperti urutan
dan durasi.
2. Menetapkan urutan pengerjaan dari aktivitas-aktivitas yang telah direncanakan.
Langkah ini bisa dilakukan bersamaan dengan identifikasi aktivitas. Dalam menentukan
urutan pengerjaan bisa diperlukan analisa yang lebih dalam untuk setiap pekerjaan.
3. Membuat suatu diagram jaringan (network diagram).
Setelah mendapatkan urutan pengerjaan suatu pekerjaan maka suatu diagram dapat
dibuat. Diagram akan menunjukan pekerjaan-pekerjaan yang harus dilakukan
berurutan(serial) atau secara bersamaan (pararell). Pada diagram PERT biasanya suatu
pekerjaan dilambangkan dengan simbol lingkaran dan titik tempuh dilambangkan dengan
simbol panah.
4. Memperkirakan waktu yang dibutuhkan untuk setiap aktivitas.
Dalam menentukan waktu dapat menggunakan satuan unit waktu yang sesuai misal jam,
hari, minggu, bulan, dan tahun.
5. Menetapkan suatu jalur kritis (critical path).
Suatu jalur kritis bisa didapatkan dengan menambah waktu suatu aktivitas pada tiap
urutan pekerjaan dan menetapkan jalur terpanjang pada tiap proyek. Biasanya sebuah
jalur kritis terdiri dari pekerjaan-pekerjaan yang tidak bisa ditunda waktu pengerjaannya.

41 | P a g e
Dalam setiap urutan pekerjaan terdapat suatu penanda waktu yang dapat membantu
dalam menetapkan jalur kritis, yaitu :
ES – Early Start
EF – Early Finish
LS – Latest Start
LF – Latest Finish
Dengan menggunakan empat komponen penanda waktu tersebut bisa didapatkan suatu
jalur kritis sesuai dengan diagram.
6. Melakukan pembaharuan diagram PERT sesuai dengan kemajuan proyek.
Sesuai dengan berjalannya proyek dalam waktu nyata. Waktu perencanaan sesuai dengan
diagram PERT dapat diperbaiki sesuai dengan waktu nyata. Sebuah diagram PERT
mungkin bisa digunakan untuk merefleksikan situasi baru yang belum pernah diketahui
sebelumnya.
7.2. Karakteristik PERT
Dari langkah-langkah penjelasan metode PERT maka bisa dilihat suatu karakteristik dasar
PERT, yaitu sebuah jalur kritis. Dengan diketahuinya jalur kritis ini maka suatu proyek dalam
jangka waktu penyelesaian yang lama dapat diminimalisasi.
Ciri-ciri jalur kritis adalah:
1. Jalur yang biasanya memakan waktu terpanjang dalam suatu proses.
2. Jalur yang tidak memiliki tenggang waktu antara selesainya suatu tahap kegiatan dengan
mulainya suatu tahap kegiatan berikutnya.
3. Tidak adanya tenggang waktu tersebut yang merupakan sifat kritis dari jalur kritis.
7.3. Karakteristik Proyek
Kegiatannya dibatasi oleh waktu; sifatnya sementara, diketahui kapan mulai dan
berakhirnya.
1. Dibatasi oleh biaya.
2. Dibatasi oleh kualitas.
3. Biasanya tidak berulang-ulang.
7.4. Manfaat PERT

42 | P a g e
Manfaat PERT yaitu:
1. Mengetahui ketergantungan dan keterhubungan tiap pekerjaan dalam suatu proyek.
2. Dapat mengetahui implikasi dan waktu jika terjadi keterlambatan suatu pekerjaan.
3. Dapat mengetahui kemungkinan untuk mencari jalur alternatif lain yang lebih baik untuk
kelancaran proyek.
4. Dapat mengetahui kemungkinan percepatan dari salah satu atau beberapa jalur kegiatan.
5. Dapat mengetahui batas waktu penyelesaian proyek.
7.5. CPM
CPM (metode jalur kritis) adalah suatu metode perencanaan dan pengendalian proyek-
proyek yang merupakan sistem yang paling banyak digunakan diantara semua sistem yang
memakai prinsip pembentukan jaringan.
CPM merupakan analisa jaringan kerja yang berusaha mengoptimalkan biaya total proyek
melalui pengurangan waktu penyelesaian total proyek yang bersangkutan
Ciri-ciri jalur kritis adalah:
1. Jalur yang biasanya memakan waktu terpanjang dalam suatu proses.
2. Jalur yang tidak memiliki tenggang waktu antara selesainya suatu tahap kegiatan dengan
mulainya suatu tahap kegiatan berikutnya.
3. Tidak adanya tenggang waktu tersebut yang merupakan sifat kritis dari jalur kritis.
Beberapa teknik yang digunakan dalam menggunakan CPM yaitu:
1. Buat daftar semua aktifitas yang dibutuhkan untuk menyelesaikan project.
2. Buat daftar waktu yang diperlukan oleh masing-masing aktifitias tersebut untuk
menyelesaikan tugasnya.
3. Buat daftar ketergantungan antara aktifitas tersebut dalam project.
7.6. Perbedaan PERT dan CPM
PERT digunakan pada perencanaan dan pengendalian proyek yang belum pernah
dikerjakan, sedangkan CPM digunakan untuk menjadwalkan dan mengendalikan aktivitas yang
sudah pernah dikerjakan sehingga data, waktu dan biaya setiap unsur kegiatan telah diketahui
oleh evaluator.

43 | P a g e
Pada PERT digunakan tiga jenis waktu pengerjaan yaitu yang tercepat, terlama serta
terlayak, sedangkan pada CPM hanya memiliki satu jenis informasi waktu pengerjaan yaitu
waktu yang paling tepat dan layak untuk menyelesaikan suatu proyek.
Pada PERT yang ditekankan tepat waktu, sebab dengan penyingkatan waktu maka biaya
proyek turut mengecil, sedangkan pada CPM menekankan tepat biaya. Dalam PERT anak panah
menunjukkan tata urutan (hubungan presidentil), sedangkan pada CPM tanda panah adalah
kegiatan.
Meskipun demikian, CPM dan PERT mempunyai tujuan yang sama dimana analisis yang
digunakan adalah sangat mirip yaitu dengan menggunakan diagram anak panah. Dapat
dikatakan CPM merupakan variasi dari PERT. Perbedaan pokok antara CPM dan PERT terletak
pada penentuan perkiraan waktunya, dimana PERT menggunakan rumus,sedangkan CPM
menggunakan perhitungan Jalur Kritis (Critical Path).

44 | P a g e
BAB 8
PROGRAMA BILANGAN BULAT
8.1. Pendahuluan
Pemrograman bulat dibutuhkan ketika keputusan harus dilakukan dalam bentuk bilangan
bulat (bukan pecahan yang sering terjadi bila kita gunakan metode simpleks).
Model matematis dari pemrograman bulat sebenarnya sama dengan model linear
programming, dengan tambahan batasan bahwa variabelnya harus bilangan bulat.
Terdapat 3 macam permasalahan dalam pemrograman bulat, yaitu:
1. Pemrograman bulat murni, yaitu kasus dimana semua variabel keputusan harus berupa
bilangan bulat.
2. Pemrograman bulat campuran, yaitu kasus dimana beberapa, tapi tidak semua, variabel
keputusan harus berupa bilangan bulat
3. Pemrograman bulat biner, kasus dengan permasalahan khusus dimana semua variabel
keputusan harus bernilai 0 dan 1
Banyak aplikasi kegunaan dari integer programming, misalnya dalam penghitungan
produksi sebuah perusahaan manufaktur, dimana hasil dari perhitungannya haruslah bilangan
bulat, karena perusahaan tidak dapat memproduksi produknya dalam bentuk setengah jadi.
Misal perusahaan perkitan mobil tidak bisa merakit 5,3 mobil A dan 2,5 mobil B perhari, tetapi
haruslah bilangan bulat, dengan metode pembulatan, bisa kita hasilkan misalnya 5 mobil A dan 2
mobil B per hari, tetapi apakah metode pembulatan ini efisien? Kita lihat pada penjelasan
selanjutnya.
8.2. Metode Grafis
Contoh Soal:
Sebuah perusahaan manufaktur elektronik “The Flash” memproduksi 2 buah produk kipas angin
dan lampu gantung. Tiap-tiap produk tersebut membutuhkan 2 tahapan produksi, yaitu
penyolderan (perakitan komponen elektronik) dan assembling (perakitan komponen non-
elektronik) penyolderan membutuhkan waktu 2 jam untuk lampu dan 3 jam untuk kipas angin,
sedangkan assembling membutuhkan waktu 6 jam untuk lampu dan 5 jam untuk kipas angin.
Perusahaan tersebut hanya mempunyai waktu untuk penyolderan 12 jam dan assembling 30
jam kerja per minggu-nya. Bila lampu gantung memberikan keuntungan sebanyak Rp. 7000 dan

45 | P a g e
Kipas angin memberikan keuntungan Rp. 6000 per unit, formulasi keputusan produksi
perusahaan The Flash adalah sebagai berikut:
Maksimisasi profit = 7X1 + 6X2
Ditujukan pada: 2X1 + 3X2 ≤ 12
6X1 + 5X2 ≤ 30
X1, X2 ≥ 0
X1 = Lampu
X2 = Kipas Angin
Dengan metode linear programming dapat kita hitung bahwa solusi optimal dari The Flash
adalah memproduksi Lampu dan Kipas Angin. Kita menyadari bahwa perusahaan tidak bisa
membuat dan menjual barang dalam bentuk pecahan, jadi kita memutuskan bahwa kita
menghadapi permasalahan integer programming / pemrograman bulat.
8.3. Metode Round Off
Pemecahan paling mudah dari problem diatas adalah dengan melakukan pembulatan
(round off) dari solusi optimal kita lakukan pembulatan menjadi X1 = 4 dan X2 = 2, tetapi
pembulatan tersebut diluar area kemungkinan produksi (lihat grafik), jadi tidak bisa dilakukan.
Pembulatan berikutnya adalah ke dalam area kemungkinan produksi, yaitu X1 = 4 dan X2 = 1,
produksi tersebut bisa dilakukan tetapi belum tentu merupakan solusi optimal
Lampu (X1) Kipas Angin (X2) Profit ($7X, + $6X2)
0 0 0
1 0 7
2 0 14
3 0 21
4 0 28
5 0 35 < Solusi optimal integer programming
0 1 6
1 1 13

46 | P a g e
2 1 20
3 1 27
4 1 34 < Solusi optimal round off
0 2 12
1 2 19
2 2 26
3 2 33
0 3 18
1 3 25
0 4 24
Dari tabel diatas dapat kita ketahui bahwa solusi optimal dari permasalahan produksi tersebut
adalah X1 = 5 dan X2 =0 dengan total keuntungan 35
Perhatikan bahwa batasan integer ini menyebabkan keuntungan lebih rendah daripada solusi
optimal dari linear programming. Hasil dari integer programming tidak akan pernah melebihi
nilai keuntungan optimal dari solusi LP.
8.4. Metode Branch and Bound
Dari kasus “The Flash” diatas, kita dapatkan:
Maksimisasi profit = 7X1 + 6X2
6X1 + 5X2 ≤ 30
X1, X2 ≥ integer 0
Dengan Linear Programming sederhana didapatkan:
2X1 + 3X2 = 12 x3 6X1 + 9X2 = 36 2X1 + 3X2 = 12
6X1 + 5X2 = 30 x1 6X1 + 5X2 = 30 2X1 + 3(1.5) = 12

47 | P a g e
4X2 = 6 2X1 = 7.5
X2 = 1.5 X1 = 3.75
Profit = 7(3.75) + 6(1.5) = 35.25
Karena X1 dan X2 bukan bilangan bulat, maka solusi ini tidak valid, nilai keuntungan 35.25
dijadikan batas atas awal.
Dengan metode pembulatan kebawah, kita dapatkan X1=3 dan X2 = 1, dengan keuntungan = 27,
hasil ini feasible karena kedua variabel merupakan bilangan bulat, jadi nilai keuntungan
dijadikan batas bawah.
Iterasi 1
Permasalahan diatas kemudian dibagi menjadi 2 sub problem, A dan B. kita dapat melakukan
pencabangan (branch) pada hasil dengan variabel tidak bulat (integer)
A
Maksimisasi: 7X1 + 6X2
6X1 + 5X2 ≤ 30
X1 ≥ 4
B
6X1 + 5X2 ≤ 30
X1 ≤ 3

48 | P a g e
Dengan metode LP sederhana didapatkan solusi:
Solusi optimal subproblem A: X1 = 4, X2 = 1.2, profit = 35.2
Solusi optimal subproblem B: X1 = 3, X2 = 2, profit = 33.0
Karena solusi subproblem B kedua variabelnya merupakan bilangan bulat, maka kita anggap
sudah feasible, maka kita hentikan cabang tersebut dan nilai profitnya menjadi batas bawah
baru.
Subproblem A masih mempunyai variabel bukan bilangan bulat, maka masih diteruskan dan
nilai profitnya (35.2) menjadi batas atas baru
Iterasi 2
Sub problem A kita cabangkan menjadi 2, menjadi subproblem C dan D dengan batasan
tambahan untuk subproblem C adalah X2 ≥ 2 dan untuk subproblem D adalah X2 ≤ 1. Logika
dari pengembangan subproblem ini adalah karena solusi optimal dari subproblem A X2 = 1.2
tidak feasible, maka solusi integer haruslah berada dalam wilayah X2 ≥ 2 atau X2 ≤ 1
C
6X1 + 5X2 ≤ 30
X1 ≥ 4
X2 ≥ 2
D

49 | P a g e
6X1 + 5X2 ≤ 30
X1 ≤ 3
X2 ≤ 1
Subproblem C tidak mempunyai solusi karena dua batasan awal tidak terpenuhi bila ada batasan
tambahan X1 ≥ 4 dan X2 ≥ 2 , jadi cabang ini tidak digunakan.
Solusi optimal dari cabang D adalah X1 = 4 dan X2 = 1, profit 35.16, jadi batas atas berubah
menjadi 35.16.
Iterasi 3
Kita buat cabang baru E dengan batasan tambahan batasan X1 ≤ 4 dan F dengan batasan
tambahan X1 ≥ 5
E
6X1 + 5X2 ≤ 30
X1 ≥ 4
X1 ≤ 4
X2 ≤ 1
Solusi optimal E adalah X1 = 4 dan X2 = 1 dengan profit 34

50 | P a g e
F
6X1 + 5X2 ≤ 30
X1 ≥ 4
X1 ≥ 5
X2 ≤ 1
Solusi optimal F adalah X1 = 5 dan X2 = 0 dengan profit 35
Jadi solusi optimal untuk pemrograman bulat ini adalah X1 = 5 dan X2 = 0 dengan profit 35.

51 | P a g e
BAB 9
TEORI PERMAINAN
9.1. Elemen-Elemen Dasar Teori Permainan
Merupakan pendekatan matematis untuk merumuskan situasi konflik antara berbagai
kepentingan. Dikembangkan untuk menganalisis proses pengambilan keputusan dari situasi-
situasi persaingan antara 2 pemain atau lebih.Model teori permainan ditentukan oleh:
 Jumlah pemain
 Jumlah keuntungan dan kerugian
 Jumlah strategi
Dalam teori permainan, lawan disebut sebagai pemain (player). Setiap pemain memiliki
sejumlah pilihan, yang terhingga atau tak terhingga, yang disebut strategi. Hasil (outcomes atau
payoff) dari sebuah permainan diringkas sebagai fungsi dari strategi yang berbeda-beda dari
setiap pemain. Sebuah permainan dengan dua pemain, dimana keuntungan satu pemain sama
dengan kerugian pemain lainnya, dikenal sebagai permainan jumlah-nol-dua-orang (two-person
zero-sum game). Dalam permainan seperti ini, hasil dapat dinyatakan dalam bentuk hasil untuk
salah satu pemain. Sebuah matriks dipergunakan untuk meringkaskan hasil kepada pemain yang
strateginya dinyatakan dalam baris-baris matriks yang bersangkutan.
Pemecahan optimal untuk permainan jumlah-nol-dua-orang kemungkinan mengharuskan
setiap pemain untuk memainkan strategi murni (pure strategy) atau gabungan dari beberapa
strategi murni yang disebut sebagai strategi campuran (mixed strategy).
9.2. Strategi Murni (PURE STRATEGY)
Pemecahan optimal dikatakan dicapai jika tidak ada satupun pemain akan memperoleh
manfaat dari perubahan strateginya. Dalam kasus ini, permainan tersebut dikatakan stabil.
Kriteria pemecahan masalah yang digunakan adalah kriteria minimaks-maksimin.
Contoh Kasus :

52 | P a g e
Pertimbangkan matriks hasil diatas, yang mewakili keuntungan Pemain A. !
Perhitungan nilai minimaks dan maksimin diperlihatkan dalam matrik diatas dengan penjelasan
sebagai berikut :
Pemain A memainkan strategi pertamanya, ia dapat memperoleh 8, 2, 9 atau 5, yang
bergantung pada strategi yang dipilih Pemain B. Tetapi, ia pasti memperoleh keuntungan
setidaknya sebesar min { 8,2,9,5 } = 2 tanpa bergantung pada strategi yang dipilih Pemain B.
Demikian pula jika Pemain A memainkan strateginya yang kedua, ia dijamin memperoleh
setidaknya min { 6,5,7,18 } = 5, dan jika ia memainkan strateginya yang ketiga, ia dijamin
memperoleh setidaknya min { 7,3,-4,10 } = -4. Jadi nilai minimum di setiap baris mewakili
keuntungan minimum yang dijamin bagi Pemain A jika ia memainkan strategi murni. Angka-
angka ini ditunjukkan dalam matriks tersebut pada ”Minimum dari baris”. Selanjutnya dengan
memilih strateginya yang kedua, Pemain A memaksimumkan keuntungan minimumnya.
Keuntungan ini diketahui max ( 2, 5, -4 ) = 5. Pemilihan Pemain A disebut strategi maksimin, dan
keuntungannya disebut nilai maksimin (nilai bawah) dari permainan.
Sebaliknya, Pemain B ingin meminimumkan kerugiannya. Ia menyadari bahwa, jika ia
memainkan strategi murni pertamanya, ia akan merugi tidak lebih dari max { 8, 6, 7 } = 8 tanpa
bergantung pada pemilihan Pemain A. Argumen serupa dapat juga dibuat untuk ketiga strategi
lainnya. Hasil yang bersesuaian ditunjukkan dalam matriks diatas dengan ”Maksimum dari
kolom”. Jadi Pemain B akan memilih strategi yang meminimumkan kerugian maksimumnya.
Strategi ini diketahui strategi kedua dan kerugian yang bersesuaian diketahui min { 8, 5, 9, 18 }
= 5. Pemilihan Pemain B disebut sebagai strategi minimaks dan kerugiannya disebut sebagai
nilai minimaks (nilai atas) dari permainan.
Dari kondisi yang mengatur kriteria minimaks, nilai minimaks (nilai atas) adalah lebih
besar atau sama dengan nilai maksimin (nilai bawah). Dalam kasus dimana persamaan berlaku,
yaitu : nilai minimaks = nilai maksimin, strategi murni yang bersangkutan disebut sebagai
strategi ”optimal” dan permainan tersebut dikatakan memiliki titik sadel (saddle point). Nilai
permainan ini, dengan dipilihnya strategi murni yang optimal tersebut, adalah sama dengan nilai
maksimin dan minimaks tersebut.
Dalam contoh diatas, nilai maksimin = nilai minimaks = 5. Hal ini menunjukkan bahwa
permainan ini memiliki titik keseimbangan yang diketahui dengan entri (2, 2) dari matriks
tersebut. Karena itu nilai permainan ini adalah 5.

53 | P a g e
9.3. Strategi Campuran (MIXED STRATEGY)
Strategi campuran (mixed strategy) digunakan apabila tidak ditemukan saddle point.
Contoh kasus :
Dalam kasus diatas tidak ditemukan saddle point, maka penyelesaiannya terlebih dahululu
dengan menggunakan aturan dominan, yaitu dengan cara sebagai berikut:
1. Suatu kolom disebut dominan / superior terhadap kolom lain, bila nilai seluruh kolom
tersebut lebih kecil dari yang lain, maka kolom yang lebih besar dapat dihapus.
2. Suatu baris disebut dominan / superior terhadap baris lain, bila nilai seluruh baris
tersebut lebih besar dari yang lain, maka baris yang lebih kecil dapat dihapus.

54 | P a g e
Masih belum ditemukan saddle point, maka diselesaikan dengan menggunakan strategi
campuran.
Dilihat dari Pemain A :
Misalnya :
Probabilitas Pemain A menggunakan strategi A1 = p
Probabilitas Pemain A menggunakan strategi A3 = 1 – p
Ø Bila Pemain B menggunakan strategi B1,
keuntungan yang diharapkan oleh Pemain A adalah :
Ø Bila Pemain B menggunakan strategi B2,
maka keuntungan yang diharapkan oleh Pemain A adalah :
Nilai Permainan :
:
Strategi Permainan :

55 | P a g e
9.4. Two-Person, Zero-Sum Game
Ada dua jenis persoalan Two-person, zero-sum game. Pertama, pemain yang posisi pilihan
terbaiknya bagi bagi setiap pemain dicapa dengan memilih satu strategi tunggal sehingga
permainannya disebut permainan strategi murni (pure-strategi game). Kedua, permainan yang
kedua pemainnya melakukan pencampuran terhadap strategi-strategi yang berbeda dengan
maksud untuk mencapai posisi pilihan terbaik. Disebut strategi permainan campuran (mixed-
strategy game)

56 | P a g e
BAGIAN KEDUA: MODEL-MODEL PROBABILITAS
BAB 10
PROGRAMA DINAMIS
Istilah pemrograman dinamis (dynamic programming) tentunya pernah kita dengar
secara literatur, istilah ini banyak kita temui pada buku-buku algoritma komputer, riset
operasional, ataupun buku yang berhubungan dengan matematika terapan. Sebagian orang juga
mengenal Pemrograman dinamis sebagai suatu metode yang berkaitan dengan prinsip
optimalisasi dan dapat diaplikasikan pada bidang industri, perbankan, hingga perencanaan
network dan aplikasi perjalanan luar angkasa. Aplikasinya yang luas menjadikan pembahasan
mengenai pemrograman dinamis menjadi suatu topik yang umum dan menarik. Untuk mencoba
mengetahui lebih lanjut tentang pemrograman dinamis, pada artikel ini akan dibahas tentang
dasar-dasar teori pemrograman dinamis secara singkat, juga dengan sejarah singkat dari asal
mula istilah pemrograman dinamis.
Bioinformatika, sebagai salah satu bidang multidisiplin yang berkembang dan banyak
menerapkan metode komputasi, tentunya menjadi bidang yang cukup terbuka terhadap suatu
metode seperti metode pemrograman dinamis, lebih lanjut pada tulisan ini diterapkan aplikasi
pemrograman dinamis sebagai metode optimalisasi dalam pemecahan masalah, dan
dicontohkan pada masalah bilangan Fibonacci dan graf multitahap, pada akhirnya, sebagai
penekanan dalam tulisan ini, adalah aplikasi pemrograman dinamis dalam bidang
bioinformatika, khususnya pada algoritma Needleman-Wunsch untuk global sequence
alignment.
10.1. Pemrograman Dinamis
Istilah Pemrograman Dinamis, pertama kali diperkenalkan pada era 1950-an oleh Richard
Bellman seorang professor di Universitas Princeton dan juga bekerja pada RAND corporation,
perlu diketahui bahwa RAND corporation pada era itu merupakan suatu perusahan yang
dibentuk untuk menawarkan analisis dan riset untuk angkatan bersenjata Amerika Serikat. Pada
saat itu, Bellman bekerja di bidang pengambilan keputusan multi tahap (multistage desicion
process) dan mengerjakan beberapa metode matematis, beberapa tahun kemudian setelah
Bellman berada di RAND, lahirlah istilah pemrograman dinamis. Istilah ini tidak secara langsung
berhubungan dengan pemrograman, melainkan digunakan sebagai judul project yang kemudian

57 | P a g e
yang diusulkan RAND coorporation pada Angkatan Udara Amerika Serikat. Selanjutnya, pada
penerapanya pemrograman dinamis banyak digunakan pada proses optimalisasi masalah.
Pemrograman Dinamis merupakan sebuah algoritma pemecahan masalah dengan cara
menguraikan solusi menjadi sekumpulan langkah atau tahapan sedemikian sehingga solusi dari
persoalan dapat dipandang dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan. Pada
penyelesaian metode ini kita menggunakan persyaratan optimasi dan kendala untuk membatasi
sejumlah pilihan yang harus dipertimbangkan pada suatu tahap.
10.2. Karakteristik Persoalan Programa Dinamis
Algoritma Program Dinamis memiliki karakteristik sebagai berikut:
1. Persoalan dapat dibagi mejadi beberapa tahap, yang pada setiap tahap hanya diambil satu
keputusan yang optimal.
2. Masing-masing tahap terdiri dari sejumlah status yang berhubungan dengan tahap
tersebut.
3. Hasil keputusan yang diambil pada tahap ditransformasikan dari status yang
bersangkutan ke status berikutnya pada tahap berikutnya.
4. Ongkos pada suatu tahap bergantung pada ongkos tahap-tahap sebelumnya dan
meningkat secara teratur dengan bertambahnya jumlah tahapan.
5. Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat independen terhadap keputusan yang
dilakukan tahap sebelumnya.
6. Adanya hubungan rekursif yang mengidentifikasikan keputusan terbaik untuk setiap
status pada tahap k memberikan keputusan terbaik untuk tahap sebelumnya.
7. Prinsip optimalitas berlaku pada persoalan tersebut.
Ciri utama dari Program Dinamis adalah prinsip optimalitas yang berbunyi “jika solusi
total optimal, maka bagian solusi sampai tahap ke-k juga optimal”.
Dari karakteristik poin ke-4 di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa algoritma Program
Dinamis dapat diaplikasikan apabila peningkatkan ongkos secara linear dan diskrit sehingga
optimasi parsial dapat dilakukan. Dalam menyelesaikan persoalan dengan Program Dinamis,
kita dapat menggunakan 2 pendekatan berbeda yaitu :
1. Maju (forward atau up-down) : bergerak mulai dari tahap 1, terus maju ke tahap 2,3,..,n.
Urutan variabel keputusan adalah x1,x2,…,xn
2. Mundur (backward atau bottom-up) : bergerak mulai dari tahap n, terus mundur ke tahap
n-1, n-2,..,2,1. Urutan variabel keputusan adalah xn xn-1,x2,x1. Adapun kompleksitas
waktu pada algoritma ini adalah O(| s1|*|s2|), jika panjang kedua string adalah ‘n’.

58 | P a g e
Kompleksitas ruangnya juga sama jika seluruh matriks disimpan untuk merunut balik
untuk mencari optimal alignment. Jika nilai edit distance dibutuhkan, hanya dua baris dari
matriks yang dialokasi, matriks tersebut dapat mengalami ‘daur ulang’, dan kompleksitas
ruangnya jadi O(n).
Adapun Dynamic programming adalah strategi untuk membangun masalah optimal
bertingkat, yaitu masalah yang dapat digambarkan daalam bentuk serangkaian tahapan (stage)
yang saling mempengaruhi. Umumnya tiap tahapan mempunyai 4 (empat) variabel yang
mempunyai pengaruh, baik langsung maupun tidak langsung terhadap tahapan lainnya dari
sistem.
Adapun empat variabel tersebut adalah sebagai berikut :
1. Input untuk tahapan n, Xn, yang tergantung dari keputusan yang dibuat pada tahapan
terdahulu atau tergantung dari input asal yang tetap pada sistem.
2. Set keputusan pada tahap n, Dn yang menentukan kondisi atau syarat operasi dari
tahapan.
3. Output dari tahapan n, Xn-1 yang biasa tergantung dari input pada tahapan n dan
keputusan Dn.
4. Hasil dari tahapan n, Rn yang merupakan ukuran bagi konstribusi tahapan n terhadap
fungsi tujuan sistem keseluruhan (ongkos, keuntungan, manfaat atau ukuran lain).
Biasanya hasil ini merupakan gambaran dari suatu tahapan n dan output pada tahapan n.
10.3. Programa Dinamis Determinstik
Pendekatan solusi yang dicakup oleh program dinamik adalah memecah suatu masalah
menjadi sub masalah yang lebih kecil yang disebut stage (tahap), kemudian menyelesaikan
tahapan-tahapan tersebut secara berurutan. Hasil keputusan pada suatu tahap akan
mempengaruhi keputusan pada tahap berikutnya. Programa dinamis deterministic merupakan
programa dinamis yang digunakan untuk memecahkan permasalahan dengan data bersifat
deterministic, yaitu nilai-nilai dalam permasalahan bersifat pasti. Hal in berarti state pada tahap
berikutnya (Sn+1) sepenuhnya ditentukan oleh state dan keputusan pada tahap sekarang (Sn
dan dn). Terdapat beberapa permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan
programa dinamis deterministic seperti lintasan terpendek, penganggaran (capital budgeting),
pengalokasian sumber daya, dan inventory (persediaan).

59 | P a g e
10.4. Programa Dinamis Probabilistik
Perbedaan pengunaan program dinamis probablistik dari program dinamis deterministik
adalah state pada tahap berikutnya tidak hanya ditentukan oleh state dan keputusan kebijakan
pada tahap saat ini, melainkan juga terdapat distribusi probablitas untuk state pada tahap
berikutnya. Akan tetapi, distribusi probablitas ini dapat ditentukan berdasarkan state dan
keputusan kebijakan pada tahap saat ini.

60 | P a g e
BAB 11
TEORI PROBABILITAS
Probabilitas atau Peluang adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa
(event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dapat juga diartikan sebagai harga angka
yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi, di antara keseluruhan
peristiwa yang mungkin terjadi. Probabilitas dilambangkan dengan P.
11.1. Ruang Sampel dan Peristiwa
Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu
percobaan/kejadian. Ruang Sampel suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram
pohon atau tabel. Titik Sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-
kemungkinan yang muncul.
Pada pelemparan sebuah dadu, ada 6 kemungkinan hasil yang mungkin muncul yaitu 1, 2,
3, 4, 5 atau 6. Seluruy himpunan yang mungkin mucul ini dapat ditulis dalam suatu himpunan
semesta (S), S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Kumpulan (himpunan) dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada suatu
percobaan statistik disebut ruang sampel yang dilambangkan dengan himpunan S, sedangkan
anggotanya disebut titik sampel.
Bila pada pelemparan sebuah dadu tersebut yang muncul adalah muka 2, hasil yang
muncul ini dinamakan kejadian munculnya muka 2, maka dinyatakan dalam suatu himpunan A =
{2}. Akan tetapi bila yang muncul muka 3 maka A = {3}.
Kumpulan (himpunan) dari hasil yang muncul atau terjadi pada percobaan statistic
disebut kejadian atau peristiwa yang dilambangkan dengan himpunan A. Begitu juga anggota
dari A disebut titik sampel.
Karena S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan A = {2}, sehingga A Í S, A merupakan himpunan bagian dari
S. 2 adalah anggota dari A, anggota dari A adalah titik sampel, jadi 2 adalah titik sampel.
11.2. Probabilitas Suatu Event dan Hukum-hukumnya
Dalam mempelajari hukum dasar probabilitas berturut-turut akan dibahas hukum
penjumlahan dan hukum perkalian.
1. Hukum Penjumlahan

61 | P a g e
Hukum penjumlahan menghendaki peristiwa saling lepas (mutually exclusive) dan
peristiwa/kejadian bersama (non mutually exclusive).
a.Saling meniadakan (mutually exclusive)
Apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat
bersamaan.
Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang saling meniadakan:
P (A U B) = P (A atau B)= P (A) + P (B)
Contoh:
Probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah dadu
adalah:
P(2 U 5) = P (2) + P (5) = 1/6 + 1/6 = 2/6
b. Kejadian Bersama (Non Mutually Exclusive)
Peristiwa Non Mutually Exclusive (Joint) dua peristiwa atau lebih dapat terjadi
bersama-sama (tetapi tidak selalu bersama).
Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang tidak saling meniadakan:
Dua Kejadian
P (A U B) =P(A) + P (B) – P(A ∩ B)
Tiga Kejadian
P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
Peristiwa terjadinya A dan B merupakan gabungan antara peristiwa A dan peristiwa
B. Akan tetapi karena ada elemen yang sama dalam peristiwa A dan B, Gabungan
peristiwa A dan B perlu dikurangi peristiwa di mana A dan B memiliki elemen yang
sama. Dengan demikian, probabilitas pada keadaan di mana terdapat elemen yang
sama antara peristiwa A dan B maka probabilitas A atau B adalah probabilitas A
ditambah probabilitas B dan dikurangi probabilitas elemen yang sama dalam
peristiwa A dan B.
c.Peristiwa Pelengkap (Complementary Event)
Apabila peristiwa A dan B saling melengkapi, sehingga jika peristiwa A tidak terjadi,
maka peristiwa B pasti terjadi. Peristiwa A dan B dikatakan sebagai peristiwa
komplemen.
Rumus untuk kejadian-kejadian yang saling melengkapi :
P(A)+P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B)

62 | P a g e
2. Hukum Perkalian
a.Hukum Bebas (independent)
Hukum perkalian menghendaki setiap peristiwa adalah independen, yaitu suatu
peristiwa terjadi tanpa harus menghalangi peristiwa lain terjadi. Peristiwa A dan B
independen, apabila peristiwa A terjadi tidak menghalangi terjadinya peristiwa B.
P(A ∩ B) = P (A dan B) = P(A) x P(B)
Contoh soal 1:
Sebuah dadu dilambungkan dua kali, peluang keluarnya mata 5 untuk kedua kalinya
adalah:
P (5 ∩ 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36
Contoh soal 2:
Sebuah dadu dan koin dilambungkan bersama-sama, peluang keluarnya hasil
lambungan berupa sisi H pada koin dan sisi 3 pada dadu adalah:
P (H) = ½, P (3) = 1/6
P (H ∩ 3) = ½ x 1/6 = 1/12
b. Peristiwa Bersyarat (Tidak Bebas) / (Conditional Probability)
Probabilitas bersyarat adalah probabilitas suatu peristiwa akan terjadi dengan
ketentuan peristiwa yang lain telah terjadi. Peristiwa B terjadi dengan syarat
peristiwa A telah terjadi.
P(A dan B) = P(A x P(B|A) atau P(B dan A) = P(B) x P(A|B)
Contoh :
Dua kartu ditarik dari satu set kartu bridge, peluang untuk yang tertarik keduanya
kartu as adalah sebagai berikut: Peluang as I adalah 4/52 -> P (as I) = 4/52
Peluang as II dengan syarat as I sudah tertarik adalah 3/51
P (as II │as I) = 3/51
P (as I ∩ as II) = P (as I) x P (as II│ as I) = 4/52 x 3/51 = 12/2652 =1/221
c.Diagram Pohon Probabilitas
Diagram pohon merupakan suatu diagram yang menyerupai pohon dimulai dari
batang kemudian menuju ranting dan daun. diagram pohon dimaksudkan untuk
membantu menggambarkan probabilitas atau probabilitas bersyarat dan probabilitas
bersama. diagram pohon sangat berguna untuk menganalisis keputusan-keputusan
bisnis dimana terdapat tahapan-tahapan pekerjaan.

63 | P a g e
BAB 12
PROSES KEPUTUSAN MARKOV
Model Proses Markov dikembangkan oleh seorang ahli Rusia bernama A.A. Markov, pada
tahun 1906. Rantai Markov (Markov Chains) adalah suatu teknik matematika yang biasa
digunakan untuk melakukan pembuatan model (modelling) bermacam – macam sistem dan
proses bisnis. Teknik ini dapat digunakan untuk memperkirakan perubahan – perubahan
diwaktu yang akan datang dalam variabel – variabel dinamis atas dasar perubahan – perubahan
dari variabel – variabel dinamis tersebut di waktu yang lalu. Teknik ini dapat juga digunakan
untuk menganalisa kejadian – kejadian di waktu – waktu mendatang secara sistematis.
Penerapan Proses Markov mula – mula adalah pada ilmu – ilmu pengetahuan fisik dan
meteorologi. Teknik ini mula – mula digunakan untuk menganalisa dan memperkirakan perilaku
partikel – pertikel gas dalam suatu wadah (container) tertutup serta meramal keadaan cuaca.
Sebagai suatu peralatan riset operasi dalam pengambilam keputusan manajerial. Proses Markov
telah banyak diterapkan untuk menganalisa tentang perpindahan merek (brands witching)
dalam pemasaran, perhitungan rekening – rekening, jasa – jasa persewaan mobil, perencanaan
penjualan, masalah – masalah persediaan, pemeliharaan mesin, antrian, perubahan harga pasar
saham, dan administrasi rumah sakit. Semuanya ini hanya beberapa contoh aplikasi yang
banyak dijumpai sekarang.
Proses stokastik X(t) adalah aturan untuk menentukan fungsi X(t, x) untuk setiap . Jadi
proses stokastik adalah keluarga fungsi waktu yang tergantung pada parameter ξ atau secara
ekivalen fungsi t dan ξ. X(t) adalah proses keadaan diskret bila harga-harganya bulat. Bila tidak
demikian X(t) adalah proses kontinu. Pada tahun 1906, A.A. Markov seorang ahli matematika
dari Rusia yang merupakan murid Chebysev mengemukakan teori ketergantungan variabel acak
proses acak yang dikenal dengan proses Markov. Proses Markov adalah proses stokastik masa
lalu tidak mempunyai pengaruh pada masa yang akan datang bila masa sekarang diketahui.
12.1. ANALISIS MARKOV
Untuk dapat menerapkan analisa rantai Markov kedalam suatu kasus, ada beberapa syarat
yang harus dipenuhi :
1. Jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari system sama dengan 1.
2. Probabilitas-probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisipan dalam system.
3. Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu.
4. Kondisi merupakan kondisi yang independent sepanjang waktu.

64 | P a g e
Dalam realita, penerapan analisa Markov bias dibilang cukup terbatas karena sulit
menemukan masalah yang memenuhi semua sifat yang diperlukan untuk analisa Markov,
terutama persyaratan bahwa probabilitas transisi harus konstan sepanjang waktu ( probabilitas
transisi adalah probabilitas yang terjadi dalam pergerakan perpindahan kondisi dalam system ).
Penerapan Proses Markov mula – mula adalah pada ilmu – ilmu pengetahuan fisik dan
meteorologi. Teknik ini mula – mula digunakan untuk menganalisa dan memperkirakan perilaku
partikel – pertikel gas dalam suatu wadah (container) tertutup serta meramal keadaan cuaca.
Sebagai suatu peralatan riset operasi dalam pengambilam keputusan manajerial. Proses Markov
telah banyak diterapkan untuk menganalisa tentang perpindahan merek (brands witching)
dalam pemasaran, perhitungan rekening – rekening, jasa – jasa persewaan mobil, perencanaan
penjualan, masalah – masalah persediaan, pemeliharaan mesin, antrian, perubahan harga pasar
saham, dan administrasi rumah sakit. Semuanya ini hanya beberapa contoh aplikasi yang
banyak dijumpai sekarang.Proses stokastik X(t) adalah aturan untuk menentukan fungsi X(t, x)
untuk setiap . Jadi proses stokastik adalah keluarga fungsi waktu yang tergantung pada
parameter ξ atau secara ekivalen fungsi t dan ξ. X(t) adalah proses keadaan diskret bila harga-
harganya bulat. Bila tidak demikian X(t) adalah proses kontinu. Pada tahun 1906, A.A. Markov
seorang ahli matematika dari Rusia yang merupakan murid Chebysev mengemukakan teori
ketergantungan variabel acak proses acak yang dikenal dengan proses Markov.
12.2. Syarat-Syarat Dalam Analisa Markov
Untuk mendapatkan analisa rantai markov ke dalam suatu kasus, ada beberapa syarat
yang harus dipenuhi yaitu sebagai berikut:
1. Jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari sistem sama dengan 1.
2. Probabilitas-probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisipan dalam sistem.
3. Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu.
4. Kondisi merupakan kondisi yang independen sepanjang waktu.
Penerapan analisa markov bisa dibilang cukup terbatas karena sulit menemukan masalah
yang memenuhi semua syarat yang diperlukan untuk analisa markov, terutama persyaratan
bahwa probabilitas transisi harus konstan sepanjang waktu (probabilitas transisi adalah
probabilitas yang terjadi dalam pergerakan perpindahan kondisi dalam sistem).

65 | P a g e
12.3. Keadaan Probabilitas Transisi
Keadaan transisi adalah perubahan dari suatu keadaan (status) ke keadaan
(status)lainnya pada periode berikutnya. Keadaan transisi ini merupakan suatu proses random
dan dinyatakan dalam bentuk probabilitas. Probabilitas ini dikenal sebagai probabilitas transisi.
Probabilitas ini dapat digunakan untuk menentukan probabilitas keadaan atau periode
berikutnya.
12.4. Peralatan Analisis Markov
1. Probabilitas Tree
Probabilities tree merupakan cara yang aman dan sangat membantu untuk menunjukan
sejumlah terbatas trasisi dari suatu proses Markov.
2. Pendekatan Matriks
Ada kalanya kita harus mencari probabilitas pada periode yang sangat besar, misalkan
periode hari ke-9, ke-10 dan seterusnya, akan sangat menyulitkan danmembutuhkan
media penyajian yang khusus jika kita menggunakan Probabilitas Tree. Oleh karena
permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Pendekatan
Matriks Probabilitas.
• Jika kendaraan pada hari ke-1 narik maka berlaku probabilitas sebagai berikut:
N(i) = 1
M(i) = 0
• Lalu probabilitas di atas disusun ke dalam vektor baris, maka kita dapatkan:
(N(i) M(i)) = (1 0)
• Adapun rumus untuk mencari probabilitas periode berikutnya (i+1) adalah:
(N(i+1) M(i+1)) = (N(i) M(i)) x Matriks Probabilitas Transisi
• Untuk menjawab pertanyaan b–e dengan menggunakan pendekatan Matriks
• Terlihat bahwa hasilnya sama dengan yang diperoleh dengan menggunakan
metodeProbabilities Tree.
• Dengan menggunakan cara yang sama kita akan dapatkan status untuk periode-
periode berikutnya sebagai berikut:
(N(3) M(3)) = (0,6486 0,3514)
(N(4) M(4)) = (0,6384 0,3616)
(N(5) M(5)) = (0,6400 0,3400)

66 | P a g e
(N(6) M(6)) = (0,6397 0,3603)
(N(7) M(7)) = (0,6398 0,3602)
(N(8) M(8)) = (0,6398 0,3602)
• Terlihat bahwa perubahan probabilitas semakin lama semakin mengecil sampai
akhirnya tidak tampak adanya perubahan. Probabilitas tersebut tercapai mulai dari
periode ke-7, dengan probabilitas status:
(N(7) M(7)) = (0,6398 0,3602)
Ini berarti pemilik kendaraan dapat menarik kesimpulan bahwa jika awalnya kendaraan
berstatus narik, setelah beberapa periode di masa depan probabilitasnya narik adalah sebesar
0,6398 dan probabilitasnya mogok adalah sebesar 0,3602.
Untuk perhitungan probabilitas status hari pertama mogok dapat kita cari dengan metode
yang sama dan akan kita dapatkan probabilitas yang akan sama untuk periode selanjutnya,
mulai dari periode ke-8. Adapun probabilitas pada periode ke-8 adalah:
N(8) M(8)) = (0,6398 0,3602)
12.5. Keadaan Steady State dan Probabilitasnya
Dalam banyak kasus, proses markov akan menuju pada Steady State (keseimbangan)
artinya setelah proses berjalan selama beberapa periode, probabilitas yang dihasilkan akan
bernilai tetap, dan probabilitas ini dinamakan Probabilitas Steady State. Untuk mencari
Probabilitas Steady State dari suatu Matriks Transisi, maka kita dapat menggunakan rumus:
( N(i+1) M(i+1) ) = ( N(i) M(i) ) x Matriks Probabilitas Transisi
Karena Steady State akan menghasilkan probabilitas yang sama pada periode ke depan
maka rumus tersebut akan berubah menjadi:
( N(i) M(i) ) = ( N(i) M(i) ) x Matriks Probabilitas Transisi
Untuk mengurangi keruwetan, periode (i) dapat kita hilangkan, karena pada saat Steady
State tercapai periode tidak akan mempengaruhi perhitungan.
• Dari perhitungan di atas akan menghasilkan persamaan berikut:
N = 0,5833N + 0,74M ................................. (1)
M = 0,4167N + 0,26M ................................ (2)
• Karena salah satu ciri proses markov adalah:
N + M = 1, maka:

67 | P a g e
N + M = 1 --> M = 1 – N
Dengan mensubtitusikan M = 1 - N ke persamaan (1) didapatkan:
N = 0,5833N + 0,74M
N = 0,5833N + 0,74 ( 1 - N)
N = 0,5833N + 0,74 - 0,74N
1,1567N = 0,74
N = 0,6398
Lalu kita masukkan nilai N = 0,6398 ke dalam persamaan (2) didapatkan:
M = 1 – N
M = 1 – 0,6398
M = 0,3602
Hasilnya :
Dari contoh kasus kita ketahui bahwa Pemilik Kendaraan memiliki 220 kendaraan. Dengan
menggunakan Probabilitas Steady State yang sudah kita dapatkan, Pemilik dapat mengharapkan
jumlah kendaraan setiap harinya narik atau mogok sebanyak:
Narik : N x 220 = 0,6398 x 220= 140,756 ~ 141 kendaraan
Mogok : M x 220 = 0,3602 x 220= 79,244 ~ 79 kendaraan
• Misalkan Pemilik kurang puas dengan tingkat operasi yang ada dan ingin meningkatkannya,
sehingga Pemilik mengambil kebijakan untuk menggunakan suku cadang asli dalam setiap
perawatan armada.
Artinya kebijakan ini membuat Probabilitas saat ini narik, lalu hari berikutnya mogok menurun
dari 0,4167 menjadi 0,3.
• Sehingga kita dapatkan persamaan berikut:
N = 0,7N + 0,74M………………………(1)
M = 0,3N + 0,26M……………………..(2)
• Substitusikan M = 1 - N ke persamaan (2), sehingga kita dapatkan:
M = 0,2885 dan N = 0,7116
Artinya setiap harinya Pemilik dapat mengharapkan kendaraan yang narik atau mogok
sebanyak:
Narik : N x 220 = 0,7116 x 220 = 156,55 ~ 157 kendaraan
Mogok : M x 220 = 0,2885 x 220 = 63,47 ~ 63 kendaraan

68 | P a g e
Kebijakan tersebut menghasilkan kenaikan operasional dari 141 kendaraan perhari menjadi
157 kendaraan perhari. Dalam hal ini Pemilik harus mengevaluasi kebijakan ini, apakah
kenaikan pendapatan operasional dapat menutupi kenaikan biaya operasional karena kebijakan
ini.
Misalkan karena kebijakan ini terjadi kenaikan biaya perawatan kendaraan sebesar Rp.
1.000.000,- setiap harinya. Jadi bila kenaikan pendapatan operasional lebih besar dari Rp.
1.000.000,- maka kebijakan tersebut layak.

69 | P a g e
BAB 13
TEORI ANTRIAN
Antrian adalah suatu kejadian yang biasa dalam kehidupan sehari–hari. Menunggu di
depan loket untuk mendapatkan tiket kereta api atau tiket bioskop, pada pintu jalan tol, pada
bank, pada kasir supermarket, dan situasi–situasi yang lain merupakan kejadian yang sering
ditemui. Studi tentang antrian bukan merupakan hal yang baru.
Antrian yang panjang sering kali kita lihat di bank saat nasabah mengantri di teller untuk
melakukan transaksi, airport saat para calon penumpang melakukan check-in, di super market
saat para pembeli antri untuk melakukan pembayaran, di tempat cuci mobil : mobil antri untuk
dicuci dan masih banyak contoh lainnya. Di sektor jasa, bagisebagian orang antri merupakan hal
yang membosankan dan sebagai akibatnya terlalu lama antri, akan menyebabkan pelanggan
kabur. Hal ini merupakan kerugian bagi organisasi tersebut.
Untuk mempertahankan pelanggan, sebuah organisasi selalu berusaha untuk memberikan
pelayanan yang terbaik. Pelayanan yang terbaik tersebut diantaranya adalah memberikan
pelayanan yang cepat sehingga pelanggan tidak dibiarkan menunggu (mengantri) terlalu lama.
Namun demikian, dampak pemberian layanan yang cepat ini akan menimbulkan biaya bagi
organisasi, karena harus menambah fasilitas layanan. Oleh karena itu, layanan yang cepat akan
sangat membantu untuk mempertahankan pelanggan, yang dalam jangka panjang tentu saja
akan meningkatkan keuntungan perusahaan.
Antrian timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi kemampuan (kapasitas)
pelayanan atau fasilitas layanan, sehingga pengguna fasilitas yang tiba tidak bisa segera
mendapat layanan disebabkan kesibukan layanan. Pada banyak hal, tambahan fasilitas
pelayanan dapat diberikan untuk mengurangi antrian atau untuk mencegah timbulnya antrian.
Akan tetapi biaya karena memberikan pelayanan tambahan, akan menimbulkan pengurangan
keuntungan mungkin sampai di bawah tingkat yang dapat diterima. Sebaliknya, sering
timbulnya antrian yang panjang akan mengakibatkan hilangnya pelanggan / nasabah.
Salah satu model yang sangat berkembang sekarang ini ialah model matematika.
Umumnya, solusi untuk model matematika dapat dijabarkan berdasarkan dua macam prosedur,
yaitu : analitis dan simulasi. Pada model simulasi, solusi tidak dijabarkan secara deduktif.
Sebaliknya, model dicoba terhadap harga – harga khusus variabel jawab berdasarkan syarat –
syarat tertentu (sudah diperhitungkan terlebih dahulu), kemudian diselidiki pengaruhnya
terhadap variabel kriteria. Karena itu, model simulasi pada hakikatnya mempunyai sifat induktif.
Misalnya dalam persoalan antrian, dapat dicoba pengaruh bermacam – macam bentuk sistem
pembayaran sehingga diperoleh solusi untuk situasi atau syarat pertibaan yang mana pun.

70 | P a g e
13.1. Sejarah Teori Antrian
Antrian yang sangat panjang dan terlalu lama untuk memperoleh giliran pelayanan
sangatlah menjengkelkan. Rata – rata lamanya waktu menunggu (waiting time) sangat
tergantung kepada rata – rata tingkat kecepatan pelayanan (rate of services). Teori tentang
antrian diketemukan dan dikembangkan oleh A. K. Erlang, seorang insinyur dari Denmark yang
bekerja pada perusahaan telepon di Kopenhagen pada tahun 1910. Erlang melakukan
eksperimen tentang fluktuasi permintaan fasilitas telepon yang berhubungan dengan automatic
dialing equipment, yaitu peralatan penyambungan telepon secara otomatis. Dalam waktu –
waktu yang sibuk operator sangat kewalahan untuk melayani para penelepon secepatnya,
sehingga para penelepon harus antri menunggu giliran, mungkin cukup lama.
Persoalan aslinya Erlang hanya memperlakukan perhitungan keterlambatan (delay) dari
seorang operator, kemudian pada tahun 1917 penelitian dilanjutkan untuk menghitung
kesibukan beberapa operator. Dalam periode ini Erlang menerbitkan bukunya yang terkenal
berjudul Solution of some problems in the theory of probabilities of significance in Automatic
Telephone Exhange. Baru setelah perang dunia kedua, hasil penelitian Erlang diperluas
penggunaannya antara lain dalam teori antrian (Supranto, 1987).
13.2. Pengertian Antrian
Menurut Siagian (1987), antrian ialah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan) yang
memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayan (fasilitas layanan). Pada umumnya, sistem
antrian dapat diklasifikasikan menjadi sistem yang berbeda – beda di mana teori antrian dan
simulasi sering diterapkan secara luas. Klasifikasi menurut Hil ier dan Lieberman adalah sebagai
berikut:
1. Sistem pelayanan komersial
2. Sistem pelayanan bisnis – industri
3. Sistem pelayanan transportasi
4. Sistem pelayanan social
Sistem pelayanan komersial merupakan aplikasi yang sangat luas dari model – model
antrian, seperti restoran, kafetaria, toko – toko, salon, butik, supermarket, dan sebagainya.
Sistem pelayanan bisnis – industri mencakup lini produksi, sistem material – handling,
sistem pergudangan, dan sistem – sistem informasi komputer. Sistem pelayanan sosial
merupakan sistem – sistem pelayanan yang dikelola oleh kantor – kantor dan jawatan – jawatan
lokal maupun nasional, seperti kantor registrasi SIM dan STNK, kantor pos, rumah sakit,
puskesmas, dan lain – lain (Subagyo, 2000).

71 | P a g e
13.3. Komponen Dasar Antrian
Komponen dasar proses antrian adalah :
1. Kedatangan
Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil, panggilan telepon
untuk dilayani, dan lain – lain. Unsur ini sering dinamakan proses input. Proses input
meliputi sumber kedatangan atau biasa dinamakan calling population, dan cara terjadinya
kedatangan yang umumnya merupakan variabel acak. Menurut Levin, dkk (2002), variabel
acak adalah suatu variabel yang nilainya bisa berapa saja sebagai hasil dai percobaan acak.
Variabel acak dapat berupa diskrit atau kontinu. Bila variabel acak hanya dimungkinkan
memiliki beberapa nilai saja, maka ia merupakan variabel acak diskrit. Sebaliknya bila
nilainya dimungkinkan bervariasi pada rentang tertentu, ia dikenal sebagai variabel acak
kontinu.
2. Pelayan
Pelayan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan, atau satu
atau lebih fasilitas pelayanan. Tiap – tiap fasilitas pelayanan kadang – kadang disebut
sebagai saluran (channel) (Schroeder, 1997). Contohnya, jalan tol dapat memiliki
beberapa pintu tol. Mekanisme pelayanan dapat hanya terdiri dari satu pelayan dalam
satu fasilitas pelayanan yang ditemui pada loket seperti pada penjualan tiket di gedung
bioskop.
3. Antri
Inti dari analisa antrian adalah antri itu sendiri. Timbulnya antrian terutama tergantung
dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. Jika tak ada antrian berarti terdapat pelayan
yang menganggur atau kelebihan fasilitas pelayanan (Mulyono, 1991).
Penentu antrian lain yang penting adalah disiplin antri. Disiplin antri adalah aturan
keputusan yang menjelaskan cara melayani pengantri. Menurut Siagian (1987), ada 5 bentuk
disiplin pelayanan yang biasa digunakan, yaitu :
1. FirstCome FirstServed (FCFS) atau FirstIn FirstOut (FIFO) artinya, lebih dulu datang
(sampai), lebih dulu dilayani (keluar). Misalnya, antrian pada loket pembelian tiket
bioskop.
2. LastCome FirstServed (LCFS) atau LastIn FirstOut (LIFO) artinya, yang tiba terakhir yang
lebih dulu keluar. Misalnya, sistem antrian dalam elevator untuk lantai yang sama.
3. Service In Random Order (SIRO) artinya, panggilan didasarkan pada peluang secara
random, tidak soal siapa yang lebih dulu tiba.

72 | P a g e
4. Priority Service (PS) artinya, prioritas pelayanan diberikan kepada pelanggan yang
mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan pelanggan yang mempunyai
prioritas lebih rendah, meskipun yang terakhir ini kemungkinan sudah lebih dahulu tiba
dalam garis tunggu. Kejadian seperti ini kemungkinan disebabkan oleh beberapa hal,
misalnya seseorang yang dalam keadaan penyakit lebih berat dibanding dengan orang lain
dalam suatu tempat praktek dokter.
Dalam hal di atas telah dinyatakan bahwa entitas yang berada dalam garis tunggu tetap
tinggal di sana sampai dilayani. Hal ini bisa saja tidak terjadi. Misalnya, seorang pembeli bisa
menjadi tidak sabar menunggu antrian dan meninggalkan antrian. Untuk entitas yang
meninggalkan antrian sebelum dilayani digunakan istilah pengingkaran (reneging).
Pengingkaran dapat bergantung pada panjang garis tunggu atau lama waktu tunggu. Istilah
penolakan (balking) dipakai untuk menjelaskan entitas yang menolak untuk bergabung dalam
garis tunggu (Setiawan, 1991).
13.4. Struktur Antrian
Ada 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian :
1. Single Channel – Single Phase
Single Channel berarti hanya ada satu jalur yang memasuki sistem pelayanan atau ada
satu fasilitas pelayanan. Single Phase berarti hanya ada satu pelayanan.
2. Single Channel – Multi Phase
Istilah Multi Phase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara
berurutan (dalam phasephase). Sebagai contoh : pencucian mobil.
3. Multi Channel – Single Phase
Sistem Multi Channel – Single Phase terjadi kapan saja di mana ada dua atau lebih fasilitas
pelayanan dialiri oleh antrian tunggal, sebagai contoh model ini adalah antrian pada teller
sebuah bank.
4. Multi Channel – Multi Phase
Sistem Multi Channel – Multi Phase ditumjukkan dalam Gambar 2.5. Sebagai contoh,
herregistrasi para mahasiswa di universitas, pelayanan kepada pasien di rumah sakit
mulai dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai pembayaran. Setiap sistem –
sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahapnya

73 | P a g e
13.5. Mekanisme Pelayanan
Ada 3 aspek yang harus diperhatikan dalam mekanisme pelayanan, yaitu :
1. Tersedianya pelayanan
Mekanisme pelayanan tidak selalu tersedia untuk setiap saat. Misalnya dalam pertunjukan
bioskop, loket penjualan karcis masuk hanya dibuka pada waktu tertentu antara satu
pertunjukan dengan pertunjukan berikutnya. Sehingga pada saat loket ditutup,
mekanisme pelayanan terhenti dan petugas pelayanan (pelayan) istirahat.
2. Kapasitas pelayanan
Kapasitas dari mekanisme pelayanan diukur berdasarkan jumlah langganan yang dapat
dilayani secara bersama – sama. Kapasitas pelayanan tidak selalu sama untuk setiap saat;
ada yang tetap, tapi ada juga yang berubah – ubah. Karena itu, fasilitas pelayanan dapat
memiliki satu atau lebih saluran. Fasilitas yang mempunyai satu saluran disebut saluran
tunggal atau sistem pelayanan tunggal dan fasilitas yang mempunyai lebih dari satu
saluran disebut saluran ganda atau pelayanan ganda.
3. Lamanya pelayanan
Lamanya pelayanan adalah waktu yang dibutuhkan untuk melayani seorang langganan
atau satu – satuan. Ini harus dinyatakan secara pasti. Oleh karena itu, waktu pelayanan
boleh tetap dari waktu ke waktu untuk semua langganan atau boleh juga berupa variabel
acak. Umumnya dan untuk keperluan analisis, waktu pelayanan dianggap sebagai variabel
acak yang terpencar secara bebas dan sama serta tidak tergantung pada waktu pertibaan
(Siagian, 1987).
13.6. Model – model Antrian
Pada pengelompokkan model – model antrian yang berbeda – beda akan digunakan suatu
notasi yang disebut dengan Notasi Kendall. Notasi ini sering dipergunakan karena
beberapa alas an. Diantaranya, karena notasi tersebut merupakan alat yang efisien
untuk mengidentifikasi tidak hanya model – model antrian, tetapi juga asumsi –
asumsi yang harus dipenuhi (Subagyo, 2000).
Format umum model : (a/b/c);(d/e/f)
di mana :
a = distribusi pertibaan / kedatangan (arrival distribution), yaitu jumlah pertibaan
pertambahan waktu.

74 | P a g e
b = distribusi waktu pelayanan / perberangkatan, yaitu selang waktu antara satuan –
satuan yang dilayani (berangkat).
c = jumlah saluran pelayanan paralel dalam sistem.
d = disiplin pelayanan.
e = jumlah maksimum yang diperkenankan berada dalam sistem (dalam pelayanan
ditambah garis tunggu).
f = besarnya populasi masukan.
Keterangan :
1. Untuk huruf a dan b, dapat digunakan kode – kode berikut sebagai pengganti :
M = Distribusi pertibaan Poisson atau distribusi pelayanan (perberangkatan)
eksponensial; juga sama dengan distribusi waktu antara pertibaan eksponensial atau
distribusi satuan yang dilayani Poisson.
D = Antarpertibaan atau waktu pelayanan tetap.
G = Distribusi umum perberangkatan atau waktu pelayanan.
2. Untuk huruf c, dipergunakan bilangan bulat positif yang menyatakan jumlah pelayanan
paralel.
3. Untuk huruf d, dipakai kode – kode pengganti :
FIFO atau FCFS = First – In First – Out atau First – Come First – Served.
LIFO atau LCFS = Last – In First – Out atau Last – Come First – Served.
SIRO = Service In Random Order.
G D = General Service Disciplint.
4. Untuk huruf e dan f, dipergunakan kode N (untuk menyatakan jumlah terbatas) atau (tak
berhingga satuan – satuan dalam sistem antrian dan populasi masukan).
Misalnya, model (M/M/1), berarti bahwa model menyatakan pertibaan didistribusikan
secara Poisson, waktu pelayanan didistribusikan secara eksponensial, pelayanan adalah
satu atau seorang, disiplin antrian adalah first – in first – out, tidak berhingga jumlah
langganan boleh masuk dalam sistem antrian, dan ukuran (besarnya) populasi masukan
adalah tak berhingga. Menurut Siagian (1987), berikut ini adalah beberapa karakteristik
dari sistem antrian untuk model (M/M/1):
13.7. Karakteristik Sistem Antrian
Ada tiga komponen dalam sistim antrian yaitu :
1. Kedatangan , populasi yang akan dilayani (calling population)
2. Antrian

75 | P a g e
3. Fasilitas pelayanan
Masing-masing komponen dalam sistim antrian tersebut mempunyai karakteristik
sendiri-sendiri. Karakteristik dari masing-masing komponen tersebut adalah Karakteristik
Antrian adalah bahwa terdapat kedatangan, antrian, dan pelayanan.
1. Kedatangan Populasi yang akan Dilayani (calling population)
Karakteristik dari populasi yang akan dilayani (calling population) dapat dilihat menurut
ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan dilayani. Menurut
ukurannya, populasi yang akan dilayani bisa terbatas (finite) bisa juga tidak terbatas
(infinite). Sebagai contoh jumlah mahasiswa yang antri untuk registrasi di sebuah
perguruan tinggi sudah diketahui jumlahnya (finite), sedangkan jumlah nasabah bank
yang antri untuk setor, menarik tabungan, maupun membuka rekening baru, bisa tak
terbatas (infinte).
Pola kedatangan bisa teratur, bisa juga acak (random). Kedatangan yang teratur sering
kita jumpai pada proses pembuatan/ pengemasan produk yang sudah distandardisasi.
Pada proses semacam ini, kedatangan produk untuk diproses pada bagian selanjutnya
biasanya sudah ditentukan waktunya, misalnya setiap 30 detik. Sedangkan pola
kedatangan yang sifatnya acak (random) banyak kita jumpai misalnya kedatangan
nasabah di bank. Pola kedatangan yang sifatnya acak dapat digambarkan dengan
distribusi statistik dan dapat ditentukan dua cara yaitu kedatangan per satuan waktu dan
distribusi waktu antar kedatangan.
Contoh : Kedatangan digambarkan dalam jumlah satu waktu, dan bila kedatangan terjadi
secara acak, informasi yang penting adalah Probabilitas n kedatangan dalam periode
waktu tertentu, dimana n = 0,1,2,.
Jika kedatangan diasumsikan terjadi dengan kecepatan rata-rata yang konstan dan bebas
satu sama lain disebut distribusi probabilitas Poisson Ahli matematika dan fisika, Simeon
Poisson (1781 – 1840), menemukan sejumlah aplikasi manajerial, seperti kedatangan
pasien di RS, sambungan telepon melalui central switching system, kedatangan kendaraan
di pintu toll, dll. Semua kedatangan tersebut digambarkan dengan variabel acak yang
terputus-putus dan nonnegative integer (0, 1, 2, 3, 4, 5, dst). Selama 10 menit mobil yang
antri di pintu toll bisa 3, 5, 8, dst.
Ciri distribusi poisson:
a.rata-rata jumlah kedatangan setiap interval bisa diestimasi dari data sebelumnya

76 | P a g e
b. bila interval waktu diperkecil misalnya dari 10 menit menjadi 5 menit, maka
pernyataan ini benar
c.probabilita bahwa seorang pasien datang merupakan angka yang sangat kecil dan
konstan untuk setiap interval
d. probabilita bahwa 2 atau lebih pasien akan datang dalam waktu interval sangat kecil
sehingga probabilita untuk 2 atau lebih dikatakan nol (0).
e.Jumlah pasien yang yang datang pada interval waktu bersifat independent
f. Jumlah pasien yang datang pada satu interval tidak tergantung pada interval yang lain.
Suatu faktor yang mempengaruhi penilaian distribusi kedatangan adalah ukuran populasi
panggilan .
Contoh : jika seorang tukang reparasi sedang memperbaiki enam buah mesin, populasi
panggilan dibatasi sampai dengan enam buah mesin. Dalam hal ini tidak mungkin bahwa
kedatangan mengikuti distribusi Poisson sebab tingkat kecepatan kerusakan tidak
konstan. Jika lima buah mesin telah rusak, tingkat kedatangan lebih rendah daripada bila
seluruh mesin dalam keadaan operasi.
Perilaku kedatangan: Populasi yang akan dilayani mempunyai perilaku yang berbeda-beda
dalam membentuk antrian. Ada tiga jenis perilaku: reneging, balking, dan jockeying.
Reneging menggambarkan situasi dimana seseorang masuk dalam antrian, namun belum
memperoleh pelayanan, kemudian meninggalkan antrian tersebut. Balking
menggambarkan orang yang tidak masuk dalam antrian dan langsung meninggalkan
tempat antrian. Jockeying menggambarkan orang yang pindah-pindah antrian.
2. Antrian
Batasan panjang antrian bisa terbatas (limited) bisa juga tidak terbatas (unlimited).
Sebagai contoh antrian di jalan tol masuk dalam kategori panjang antrian yang tidak
terbatas. Sementara antrian di rumah makan, masuk kategori panjang antrian yang
terbatas karena keterbatasan tempat. Dalam kasus batasan panjang antrian yang tertentu
(definite line-length) dapat menyebabkan penundaan kedatangan antrian bila batasan
telah tercapai. Contoh : sejumlah tertentu pesawat pada landasan telah melebihi suatu
kapasitas bandara, kedatangan pesawat yang baru dialihkan ke bandara yang lain.

77 | P a g e
3. Fasilitas Pelayanan
Karakteristik fasilitas pelayanan dapat dilihat dari tiga hal, yaitu tata letak (lay out) secara
fisik dari sistem antrian, disiplin antrian, waktu pelayanan, adalah sebagai berikut:
a.Tata Letak
Tata letak fisik dari sistem antrian digambarkan dengan jumlah saluran, juga disebut
sebagai jumlah pelayan. Sistem antrian jalur tunggal (single channel, single server)
berarti bahwa dalam sistem antrian tersebut hanya terdapat satu pemberi layanan
serta satu jenis layanan yang diberikan. Sementara sistem antrian jalur tunggal
tahapan berganda (single channel multi server) berarti dalam sistem antrian tersebut
terdapat lebih dari satu jenis layanan yang diberikan, tetapi dalam setiap jenis
layanan hanya terdapat satu pemberi layanan.
Sistem antrian jalur berganda satu tahap (multi channel single server) adalah
terdapat satu jenis layanan dalam sistem antrian tersebut , namun terdapat lebih dari
satu pemberi layanan. Sedangkan sistem antrian jalur berganda dengan tahapan
berganda (multi channel, multi server) adalah sistem antrian dimana terdapat lebih
dari satu jenis layanan dan terdapat lebih dari satu pemberi layanan dalam setiap
jenis layanan.
b. Disiplin Antrian
Ada dua klasifikasi yaitu prioritas dan first come first serve. Disiplin prioritas
dikelompokkan menjadi dua, yaitu preemptive dan non preemptive. Disiplin
preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan sedang melayani seseorang,
kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan meskipun belum selesai
melayani orang sebelumnya. Sementara disiplin non preemptive menggambarkan
situasi dimana pelayan akan menyelesaikan pelayanannya baru kemudian beralih
melayani orang yang iprioritaskan. Sedangkan disiplin first come first serve
menggambarkan bahwa orang yang lebih dahulu datang akan dilayani terlebih
dahulu.
Dalam kenyataannya sering dijumpai kombinasi dari kedua jenis disiplin antrian
tersebut. Yaitu prioritas dan first come first serve. Sebagai contoh, para pembeli yang
akan melakukan pembayaran di kasir untuk pembelian kurang dari sepuluh jenis
barang (dengan keranjang) di super market disediakan counter tersendiri.
Karakteristik waktu pelayanan. Waktu yang dibutuhkan untuk melayani bias
dikategorikan sebagai konstan dan acak. Waktu pelayanan konstan, jika waktu yang
dibutuhkan untuk melayani sama untuk setiap pelanggan. Sedangkan waktu
pelayanan acak, jika waktu yang dibutuhkan untuk melayani berbeda-beda untuk

78 | P a g e
setiap pelanggan. Jika waktu pelayanan acak, diasumsikan mengikuti distribusi
eksponensial.
13.8. Perilaku Biaya
Dalam sistem antrian ada dua jenis biaya yang timbul. Yaitu biaya karena orang
mengantri, dan di sisi lain biaya karena menambah fasilitas layanan. Biaya yang terjadi karena
orang mengantri, antara lain berupa waktu yang hilang karena menunggu. Sementara biaya
menambah fasilitas layanan berupa penambahan fasilitas layanan serta gaji tenaga kerja yang
memberi pelayanan. Tujuan dari sistem antrian adalah meminimalkan biaya total, yaitu biaya
karena mengantri dan biaya karena menambah fasilitas layanan.
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, silakan anda
mengerjakan latihan berikut ini !
1. Sebutkan tiga komponen yang terdapat dalam sistem antrian?
2. Jelaskan karakteristik dari setiap komponen dalam sistem antrian.
3. Jelaskan jenis biaya dalam kaitannya dengan sistem antrian.
4. Jelaskan perbedaan antara disiplin antrian, prioritas yang preemptive dan non
preemptive.
5. Berikan contoh dalam kehidupan sehari-hari yang menggambarkan keempat desain
sistem antrian
Dalam sistem antrian terdapat tiga komponen utama, yaitu: kedatangan populasi yang
akan dilayani, antrian, dan fasilitas pelayanan. Setiap komponen memiliki karakteristik yang
berbeda. Desain tata letak dalam sistem antrian bisa dibedakan menjadi empat, yaitu single
channel single server, single channel multi server, multi channel single server, dan multi channel
multi server. Tujuan dari sistem antrian adalah meminimalkan biaya total, yang merupakan
penjumlahan dari biaya yang timbul karena menunggu dan biaya yang timbul karena menambah
fasilitas layanan.
13.9. Merumuskan Masalah Antrian
Perkiraan prestasi dari sistem antrian dapat digambarkan dengan misalnya : rata-rata
jumlah kedatangan dalam antrian, rata-rata waktu tunggu dari suatu kedatangan dan persentase
waktu luang dari pelayanan.

79 | P a g e
Ukuran prestasi ini dapat digunakan untuk memutuskan jumlah pelayanan yang harus
diberikan, perubahan yang harus dilakukan dalam kecepatan pelayanan atau perubahan lain
dalam sistem antrian. Dengan sasaran pelayanan, jumlah pelayan dapat ditentukan tanpa
berpatokan pada biaya waktu tunggu.
Ukuran prestasi dan parameter model antrian ditentukan dengan notasi sebagai berikut:
λ = rata-rata kecepatan kedatangan (jumlah kedatangan persatuan waktu)
1/λ = rata-rata waktu antar kedatangan
µ = rata-rata kecepatan pelayanan (jumlah satuan yang dilayani persatuan waktu bila
pelayan sibuk).
1/µ = rata-rata waktu yang dibutuhkan pelayan
Ρ = faktor penggunaan pelayan (proporsi waktu pelayan ketika sedang sibuk)
Pn = probabilita bahwa n satuan (kedatangan) dalam sistem
Lq = rata-rata jumlah satuan dalam antrian (rata-rata panjang antrian)
Ls = rata-rata jumlah satuan dalam sistem
Wq = rata-rata waktu tunggu dalam antrian
Ws = rata-rata waktu tunggu dalam sistem

80 | P a g e
DAFTAR PUSTAKA
Nama Buku : OPERATION RESEARCH (Model-model Pengambilan Keputusan)
Penulis : Tjutju Tarliah Dimyati, Ahmad Dimyati
Penerbit : Sinar Baru Algensindo
Tahun Terbit : 2016

Uas riset operasi (kevin surya)

More Related Content

What's hot

Similar to Uas riset operasi (kevin surya)

More from eddy sanusi silitonga

Recently uploaded

Uas riset operasi (kevin surya)