1. Teori Antrian
By: Dwi Liest yowat i

2. Pengertian dan Definisi
• Antrian adalah gambaran kondisi kinerja suatu sistem produksi/pelayanan yang
ditandai dengan adanya suatu panjang antrian dan waktu tunggu tertentu.
• Antrian terjadi karena adanya unsur random (memoriless) dalam sistem kedatangan
dan pelayanan.
• Beberapa contoh antrian:
– Kendaraan yang menunggu di lampu lalulintas
– Kendaraan yang meunggu di loket jalan tol
– Pasien yang menunggu di rumah sakit
– Kendaraan yang menunggu giliran di bengkel
– Surat yang menunggu pengetikan oleh sekretaris
– Sistem inventory barang di gudang
Elemen dasar Model Antrian
• Model antrian adalah model yang menggambarkan kondisi elemen suatu antrian
secara matematis.
• Elemen Antrian umumnya terdiri dari:
– Gambaran distribusi kedatangan (arrival process)
– Gambaran distribusi waktu pelayanan (service time)
– Desain fasilitas pelayanan
– Disiplin pelayanan
– Kapasitas jumlah antrian
– Gambaran sumber permintaan (calling source)
– Perilaku orang yang antri
Sistem Produksi / Pelayanan
Model Model
Kedatangan Pelayanan
INPUT PROCES OUTPU
Distribusi S
Disiplin T
kedatangan Antrian pelayanan
Perilaku Fasilitas
orang pelayanan
Sumber Kapasitas
permintaan antrian
Slide 2

3. Jenis dan Tipologi Antrian
• Sistem Antrian
1
Antrian atau
Lajur tunggu
2
xxxxxxxxx | Keberangkatan
Kedatangan | Pelanggan
Pelanggan
|
c
Fasilitas
Pelayanan
Notasi Antrian
• Kodifikasi / Notasi Kendall-Lee D.G. Kendall (1953) dan A.M. Lee (1966)
(a/b/c) : (d/e/f)
a = distribusi kedatangan
b = distribusi waktu pelayanan
c = jumlah server paralel (1,2…∞)
d = disiplin pelayanan (FCFS, LCFS, SIRO)
e = kapasitas sistem (antrian + service)
f = ukuran sumber permintaan.
Pola Distribusi Kedatangan dan Pelayanan
Pola distribusi kedatangan dan waktu pelayanan
M = Ditribusi kedatangan/keberangkatan Poisson (Markovian) atau distribusi waktu antar
kedatangan/ waktu pelayanan exponential.
D = waktu antar kedatangan dan pelayanan konstan atau deterministik
Ek = Distribusi Erlang atau gamma dengan parameter k
GI = Distribusi independen umum untuk kedatangan atau waktu antar kedatangan
G = Distribusi umum untuk keberangkatan atau waktu pelayanan.
Slide 3

4. Model Antrian
1. Pola Distribusi Kedatangan/Keberangkatan
Tingkat kedatangan/keberangkatan umumnya mengikuti distribusi diskrit Poison:
mean = variance = λt
λ = tingkat kedatangan per satuan waktu
2. Pola Distribusi waktu antar-kedatangan ( interarrival ) / waktu pelayanan umumnya
mengikuti distribusi kontinyu exponential:
f (T) = α e -αT T>0…
mean = 1/α ; variance = 1/α2
α = tingkat kedatangan per satuan waktu
Ukuran Kinerja Antrian
Pada kondisi stabil, ukuran kinerja antrian dapat digambarkan oleh parameter berikut:
Ls = rata-rata jumlah orang dalam sistem
Lq = rata-rata panjang antrian
Ws = rata-rata waktu tunggu dalam sistem (dalam antrian + dalam pelayanan)
Wq = rata-rata waktu tunggu dalam antrian
Intensitas = ρ = λ/ µ < 1.0
Ukuran Kinerja Antrian
Tingkat Kedatangan = λ
Tingkat pelayanan = µ
Ls = λ Ws
Lq = λ Wq
Ws = Wq + 1/µ
Slide 4

5. Rumus Antrian Tipe
Ukuran Kinerja Antrian (M/M/1): (GD/ ∞/ ∞)
Pn = Probabilitas n Pn = (1-ρ) ρ n
Ls = Σ n.pn Ls = ρ/(1-ρ)
Ws = Ls/λ Ws = 1/ µ(1- ρ)
Wq = Ws-1/µ Wq = ρ/ µ(1- ρ)
Lq = λWq Lq = ρ 2 /(1-ρ)
Notasi Dalam Sistem Antrian
n = jumlah pelanggan dalam sistem
Pn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem
λ = jumlah rata-rata pelanggan yang datang per satuan waktu
μ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan waktu
Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem
P = tingkat intensitas fasilitas pelayanan
L = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dalam sistem
Lq = jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam sistem
W = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem
Wq = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama menunggu dalam
antrian
1/ μ = waktu rata-rata pelayanan
1/ λ = waktu rata-rata antar kedatangan
Slide 5 jumlah fasilitas pelayanan
S =

6. Contoh Antrian Tipe
(M/M/1): (GD/ ∞/ ∞)
Contoh Soal 1:
Sebuah gerbang tol memiliki tingkat kedatangan rata-rata 400 kendaraan per jam mengikuti
distribusi Poisson. Rata-rata kendaraan dilayani selama 7 detik yang sebarannya mengikuti
distribusi exponensial.
Hitung Panjang antrian rata-rata (Lq) dan waktu antrian rata-rata Wq.
Jawab:
Tingkat kedatangan = λ = 400 kendaraan/jam
Tingkat pelayanan = µ = 3600/7= 514 kendaraan/jam
Tingkat intensitas ρ = λ/ µ = 400/514 = 0.778 < 1
Mengingat tipe antrian adalah (M/M/1), maka
Ls = ρ/(1-ρ) = 0.778/(1-0.778) = 3.5 kendaraan
Ws = 1/ µ(1- ρ) = 1/514(1-0.778)=31.5 dtk
Wq = ρ/ µ(1- ρ) = 0.778/514(1-0.778)=24.5 dtk
Lq = ρ2/(1-ρ) =0.7782/(1-0.778)=2.72 ≈ 3 kendaraan
Jadi panjang antrian rata-rata adalah = 3 kendaraan, dengan waktu antrian rata-rata 24.5 detik.
Contoh Soal 2 :
UD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu orang pekerja yaitu Ali. Rata-
rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson, yaitu 20 kendaraan/jam. Ali
dapat melayani rata-rata 25 kendaraan/jam. Jika diasumsikan model sistem antrian yang
digunakan adalah M/M/1, hitunglah:
1) Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan
2) Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem
3) Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian
4) Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan)
5) Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian
Jawab.
Diketahui: λ = 20, μ = 25 p = λ / μ = 20/25 = 0.80
Bahwa Ali akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya, sedangkan 20% dari
waktunya (1-p) untuk istirahat
L = λ / (μ – λ) = 20 / (25 - 20) = 4, atau L = p / (1-p) = 0.80 / (1-0.80) = 4
Angka 4 menunjukkan bahwa Ali dapat mengharapkan 4 kendaraan yang berada dalam
sistem
Lq = λ2 / μ (μ – λ) = (20)2 / 25(25-20) = 3.2
Jadi kendaraan yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3.2 kendaraan
W = 1 / (μ – λ) = 1 / (25 - 20) = 0.2 jam atau 12 menit
Jadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit
Wq = λ / μ (μ – λ) = 20 / 25(25 - 20) = 0.16 jam atau 9.6 menit
Jadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9.6 menit
Slide 6

7. Latihan Soal.
1.Sebuah Airport dapat menerima 2 pesawat dalam kurun waktu 3 menit dengan variasi
mengikuti distribusi poisson. Rata-rata waktu tunggu mempunyai distribusi exponential
sebesar 5 menit
a) Berapa rata-rata waktu antar kedatangan pesawat ?
b) Berapa peluang sistem dalam keadaan sibuk guna melayani pesawat-2 tersebut ?
c) Berapa jumlah rata-rata pesawat yang dapat dilayani dalam sistem ?
Jawab:
Kronologis simulasi antrian
Tabel 1. Waktu antar Kedatangan (menit) Tabel 2. Waktu Service (menit)
Antar Jam waktu Waktu
Customer Customer
Kedatangan Kedatangan Pelayanan
1 0 0 1 2
2 2 2 2 1
3 4 6 3 3
4 1 7 4 2
5 2 9 5 1
6 6 15 6 4
Tabel 3. Hasil Simulasi
Nomor Waktu (jam) Awal Waktu Akhir
Customer Kedatangan Pelayanan Pelayanan Pelayanan
1 0 (jam)
0 (durasi)
2 (jam)
2
2 2 2 1 3
3 6 6 3 9
4 7 9 2 11
5 9 11 1 12
6 15 15 4 19
Tabel 4. Kronologis Urutan Kejadian
Nomor Waktu
Tipe Kejadian
Pelanggan (jam)
Kedatangan 1 0
Keberangkatan 1 2
Kedatangan 2 2
Keberangkatan 2 3
Kedatangan 3 6
Kedatangan 4 7
Keberangkatan 3 9
Kedatangan 5 9
Keberangkatan 4 11
Keberangkatan 5 12
Kedatangan 6 15
Keberangkatan 6 19
Slide 7

8. 2. Perusahaan A sedang mencoba menentukan rata-rata customer menunggu dalam
sistem , jika customer rata-rata menunggu lebih dari 10 menit maka pihak perusahaan
akan menambah kasir dan memberikan bonus. Data yang didapat pada tabel A.8.5
dan tabel A.8.6 Kasir buka jam 9 pagi. Pertanyaannya:
a) Apakah perlu menambah kasir dengan simulasi 15 kali ?
b) Customer ke berapa yang mendapatkan bonus ?
Jawab:
Tabel 5. Waktu Pelayanan Tabel 6. Waktu Kedatangan
Waktu Probabilitas Waktu antar Probabilitas
Pelayanan Frequensi Kedatangan (Frequensi)
0 0 0 0,1
1 0,35
1 0,25
2 0,25
2 0,2
3 0,15
3 0,4
4 0,1
4 0,15 5 0,05
Tabel 7. Interval Bilangan Acak
Kedatangan Pelayanan
Antar Kumulatif Interval Waktu Kumulatif Interval
Kedatangan Probabilitas Bilangan acak Pelayanan Probabilitas Bilangan acak
0 0,1 1 - 10 0 0 -
1 0,45 11 - 45 1 0,25 1 - 25
2 0,7 46 - 70 2 0,45 26 - 45
3 0,85 71 - 85 3 0,85 46 - 85
4 0,95 86 - 95 4 1 86 - 99
5 1 99
Tabel Bilangan Acak untuk Service dan Kedatangan
No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Service 52 37 82 69 98 96 33 50 88 90 50 27 45 81 66
Arrival 50 28 68 36 90 62 27 50 18 36 61 21 46 1 14
Pertanyaan:
Apakah perlu menambah Kasir dengan simulasi 15 kali?
Customer ke berapa yang mendapatkan Bonus?
Slide 8

9. Penyelesaian:
Tabel 8. Antar Kedatangan dan Waktu Pelayanan
Bil acak Antar Bil acak Waktu
No. Cust
Kedatangan Kedatangan Service Service
1 50 2 52 3
2 28 1 37 2
3 68 2 82 3
4 36 1 69 3
5 90 4 98 4
6 62 2 96 4
7 27 1 33 2
8 50 2 50 3
9 18 1 88 4
10 36 1 90 4
11 61 2 50 3
12 21 1 27 2
13 46 2 45 2
14 01 0 81 3
15 14 1 66 3
Tabel 9. Perhitungan antrian
Antar Waktu Waktu Awal Akhir Waktu Waktu Waktu
No. Cust
Kedatangan Kedatangan Service Service Service Tunggu dlm Sistem Idle
1 2 9.02 3 9.02 9.05 0 3 2
2 1 9.03 2 9.05 9.07 2 4 0
3 2 9.05 3 9.07 9.10 2 5 0
4 1 9.07 3 9.10 9.13 4 7 0
5 4 9.10 4 9.13 9.17 3 7 0
6 2 9.12 4 9.17 9.21 5 9 0
7 1 9.13 2 9.21 9.23 8 10 0
8 2 9.15 3 9.23 9.26 8 11 0
9 1 9.16 4 9.26 9.30 10 14 0
10 1 9.17 4 9.30 9.34 13 17 0
11 2 9.19 3 9.34 9.37 15 18 0
12 1 9.20 2 9.37 9.39 17 19 0
13 2 9.22 2 9.39 9.41 17 19 0
14 0 9.22 3 9.41 9.44 19 21 0
15 1 9.23 3 9.44 9.47 21 24 0
45 144 188 2
Slide 9

10. Penyelesaian:
Tabel 8. Antar Kedatangan dan Waktu Pelayanan
Bil acak Antar Bil acak Waktu
No. Cust
Kedatangan Kedatangan Service Service
1 50 2 52 3
2 28 1 37 2
3 68 2 82 3
4 36 1 69 3
5 90 4 98 4
6 62 2 96 4
7 27 1 33 2
8 50 2 50 3
9 18 1 88 4
10 36 1 90 4
11 61 2 50 3
12 21 1 27 2
13 46 2 45 2
14 01 0 81 3
15 14 1 66 3
Tabel 9. Perhitungan antrian
Antar Waktu Waktu Awal Akhir Waktu Waktu Waktu
No. Cust
Kedatangan Kedatangan Service Service Service Tunggu dlm Sistem Idle
1 2 9.02 3 9.02 9.05 0 3 2
2 1 9.03 2 9.05 9.07 2 4 0
3 2 9.05 3 9.07 9.10 2 5 0
4 1 9.07 3 9.10 9.13 4 7 0
5 4 9.10 4 9.13 9.17 3 7 0
6 2 9.12 4 9.17 9.21 5 9 0
7 1 9.13 2 9.21 9.23 8 10 0
8 2 9.15 3 9.23 9.26 8 11 0
9 1 9.16 4 9.26 9.30 10 14 0
10 1 9.17 4 9.30 9.34 13 17 0
11 2 9.19 3 9.34 9.37 15 18 0
12 1 9.20 2 9.37 9.39 17 19 0
13 2 9.22 2 9.39 9.41 17 19 0
14 0 9.22 3 9.41 9.44 19 21 0
15 1 9.23 3 9.44 9.47 21 24 0
45 144 188 2
Slide 9