qwertyuiopasdfghjklzxcvbnm mnbvcxzlkjhgfdsapoiuytrewq

1. TUGAS MATEMATIKA
KELOMPOK 3
DISUSUN OLEH :
1. TIA LESTARI DEWI YANTI
2. MIZA PISARI
3. NIKMAH UTAMI
4. RIA AYU WAN
KELAS :
1 ELEKTRONIKA A
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
TAHUN AJARAN 2014/2015
Industri air kantung Sungailiat, 33211
Bangka induk propinsi kepulauan Bangka Belitung
Telpon : (0717) 431335 ext. 2281, 2126
FAX : (0717) 93585 email “polman-babel@yahoo.co.id
http//www.polman-babel.ac.id

2. II
Diferensiasi
Diferensiasi adalah proses menentukan turunan dari suatu fungsi. Pada bagian II ini, dimulai
dengan definisi formal dari turunan suatu fungsi dan menunjukkan bagaimana definisi yang
digunakan untuk mencari turunan. Namun, untuk cepat mempelajari cara mencari derivatif,
maka dengan menggunakan rumus standar untuk diferensiasi jenis fungsi dasar tertentu. Sifat
turunan, turunan numerik, diferensiasi implisit, dan turunannya tingkat tinggi juga disajikan.
BAB 4
Definisi Derivatif dan Derivatif dari Beberapa Fungsi Sederhana
Definisi Derivatif
Turunan f’ (dibaca “f perdana”) dari f fungsi pada nomor x didefinisikan sebagai
𝑓′( 𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓( 𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
, jika terdapat batas pada limit. Jika tidak terdapat batas limit, maka f
tidak memiliki turunan di x. Limit ini juga dapat ditulis 𝑓′( 𝑐) = lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥)−𝑓(𝑐)
𝑥−𝑐
pada turunan
pada c.
Permasalahan : Pada fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = -2x + 5, menggunakan definisi
turunan untuk menemukan f’(x)
Solusi : Menurut definisi, 𝑓′( 𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓( 𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
(−2( 𝑥 + ℎ) + 5) − (−2𝑥 + 5)
ℎ
= lim
ℎ→0
(−2𝑥 − 2ℎ + 5) + 2𝑥 − 5
ℎ
= lim
ℎ→0
−2𝑥 − 3ℎ + 5 + 2𝑥 − 5
ℎ
= lim
ℎ→0
−2ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0
(−2) = −2
Permasalahan : Pada fungsi f didefinisikan sebagai 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
+ 2𝑥, menggunakan definisi
turunan untuk menemukan f’(x).
Solusi : Menurut definisi, 𝑓′( 𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓( 𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
((𝑥 + ℎ)2
+ 2(𝑥 + ℎ)) − (𝑥2
+ 2𝑥)
ℎ

3. = lim
ℎ→0
( 𝑥2
+ 2𝑥ℎ + ℎ2
+ 2𝑥 + 2ℎ) − 𝑥2
− 2𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑥2
+ 2𝑥ℎ + ℎ2
+ 2𝑥 + 2ℎ − 𝑥2
− 2𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑥ℎ + ℎ2
− 2ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ(2𝑥 + ℎ + 2)
ℎ
= lim
ℎ→0
(2𝑥 + ℎ + 2) = 2𝑥 + 2
Berbagai simbol yang digunakan untuk mewakili turunan dari fungsi f. Jika Anda
menggunakan notasi y = f (x), maka turunan dari f dapat dilambangkan dengan f’(x), y’,
Dxf(x) , Dxy
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, or
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥).
Latihan 4.1
1. f(x) = 4 6. f(x) = 5x2+x-3
2. f(x) = 7x+2 7. f(x) = x3+13x
3. f(x) = -3x-9 8. f(x) = 2x3+15
4. f(x) = 10-3x 9. f(x) = -1/x
5. f(x) = -3/4x 10. f(x) =1/√𝑥
Pembahasan 4.1
1.f(x) = 4 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 0
2. f(x) = 7x +2 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 7
3. f(x) = -3x-9 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= -3
4. f(x) = 10 – 3x =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= -3
5. f(x) =
−3
4
x =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
−3
4
6. f(x) = 5𝑥2
+ x-3 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 10x + 1
7. f (x) = 𝑥3
+ 13x =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3𝑥2
+ 13
8. f (x) = 2𝑥3
+ 13x =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 6𝑥2
9. f(x) =
−1
𝑥
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −𝑥−1
= x-2
10. f (x) =
1
√ 𝑥
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=𝑥
−1
2 = -
1
2
𝑥
−3
2

4. Turunan dari fungsi konstan
Untungnya, Anda tidak harus untuk menemukan turunan dari fungsi langsung dari definisi
derivatif. Sebaliknya, Anda dapat menghafal rumus standar untuk membedakan fungsi dasar
tertentu. Misalnya, turunan dari fungsi konstan selalu nol. Dengan kata lain, jika f (x) = c
adalah fungsi konstan, maka f '(x) = 0; yaitu, jika c adalah setiap konstan, d / dx (c) = 0.
Contoh berikut menggambarkan penggunaan rumus ini:

𝑑
𝑑𝑥
(25) = 0

𝑑
𝑑𝑥
(−100) = 0
Latihan 4.2
1.f(x) = 7 6. g(x)= 25
2. y = 5 7. s(t) = 100
3. f(x) = 0 8. z(x) = 23
4. f(t) = -3 9. y = - 1/2
5. f(x) = 𝜋 10. f(x) = √41
Pembahasan 4.2
1. f(x) = 7 =
𝒅𝒖
𝒅𝒙
= 0
2. y = 𝟓 =
𝒅𝒖
𝒅𝒚
= 0
3. f (x) = 0 =
𝒅𝒖
𝒅𝒙
= 0
4. f (t) = –3 =
𝒅𝒖
𝒅𝒕
= 0
5. f (x) = π =
𝒅𝒖
𝒅𝒙
= 0
6. g (x) = 25 =
𝒅𝒖
𝒅𝒙
= 0
7. s (t) = 100 =
𝒅𝒖
𝒅𝒙
= 0
8. z (x) = 𝟐 𝟑
=
𝒅𝒖
𝒅𝒙
= 0
9. y = -
𝟏
𝟐
=
𝒅𝒖
𝒅𝒚
= 0
10. f (x) = √ 𝟒𝟏 =
𝒅𝒖
𝒅𝒙
= 0

5. Turunan dari fungsi linear
Turunan dari fungsi linear adalah kemiringan grafik nya. Jadi, jika f(x) = mx+b adalah fungsi
linear, maka f’(x) = m; yaitu,
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑚𝑥 + 𝑏) = 𝑚.
Contoh berikut menggambarkan penggunaan rumus ini:
 Jika f(x) = 10x – 2, maka f’(x) = 10
 Jika y = -2x + 5 , maka y’ =-2

𝑑
𝑑𝑥
(
3
5
𝑥) =
3
5
Latihan 4.3
1. f(x) = 9x 6.f(x) = 𝜋𝑥 − 25
2. g(x) =-75x 7. f(x) = -3/4x
3. f(x) = x+1 8. s(t) = 100t-45
4. y = 50x+30 9. z(x) = 0.08x+400
5. f(t) = 2t+5 10. f(x) = √41𝑥+1
Pembahasan 4.3
1. f (x) = 9x =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 9
2. g (x) = -75x =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= -75
3. f (x) = x + 1 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 1
4. y = 50x + 30 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 50
5. f (t) = 2t + 5 =
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= 2
6. f (x) = πx – 25 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= π
7. f (x) =
−3
4
x =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= -
3
4
8. s (t) = 100𝑡 - 45 =
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= 100
9. z (x) = 0,08x + 400 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 0,08
10. f(x) = √41𝑥 + 1 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 41𝑥
1
2 =
41
2
𝑥
−1
2

6. Turunan dari fungsi daya (tenaga)
Fungsi f(x) = xn disebut fungsi daya(tenaga). Berikut rumus untuk menemukan turunan dari
fungsi daya(tenaga) adalah salah satu Anda akan sering digunakan dalam kalkulus:
Jika n adalah bilangan real, maka
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑥 𝑛) = 𝑛𝑥 𝑛−1
.
Contoh berikut menggambarkan penggunaan rumus ini:
 Jika 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
, maka f’(x) = 2x
 Jika 𝑦 = 𝑥
1
2, maka 𝑦′
=
1
2
𝑥
−
1
2

𝑑
𝑑𝑥
( 𝑥−1) = −1𝑥−2
.
Latihan 4.4
1.f(x) = x3 6. F(x) = 5𝑥 𝜋
2. f(x) = x100 7.f(x) = 1/x5
3.f(x) = x1/4 8.s(t) = 𝑡0,6
4. y = √ 𝑥 9.h (s) = 𝑠
4
5
5.f(t) = t’ 10.f(x) = 1/∛𝑥2
Pembahasan 4.4
1.f(x) = 𝑥3
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3𝑥2
2.g(x) =𝑥100
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=100𝑥99
3.f(x) = 𝑥1/4
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑖
4
𝑥−
3
4
4.y =f(x) = √ 𝑥 = 𝑥
1
2 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
2
𝑥
−
1
2
5.f(t) = 𝑡1
=
𝑑𝑢
𝑑𝑡
=1
6.f(x) = 𝑥 𝜋
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= π𝑥 𝜋−1
7.f(x) =
1
𝑥5 = 𝑥−5
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −5𝑥−6
8.s(t) = 𝑡0,6
= 𝑡
3
5 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
3
5
𝑡
−2
5

7. 9.h(s) = 𝑠
4
5 =
𝑑𝑢
𝑑𝑠
=
4
5
𝑠
−1
5
10.f(x) =
1
√𝑥23 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
−2
3
𝑥
−5
3
Derivatif Numerik
Dalam banyak pengaplikasian, turunan harus dihitung secara numerik. Turunan numerik
derivatif merujuk pada nilai numerik dari turunan suatu titik tertentu, asalkan fungsi tersebut
memiliki turunan di titik tertentu.
Misalkan k adalah bilangan real dan fungsi f terdiferensialkan pada k, maka turunan numerik
dari f pada titik k adalah nilai f’(x) ketika x = k. Untuk menemukan turunan numerik dari
fungsi pada suatu titik tertentu, pertama menemukan turunan dari fungsi, dan mengevaluasi
derivatif pada titik tertentu. Notasi yang tepat untuk mewakili nilai turunan dari fungsi f pada
titik k termasuk 𝑓′( 𝑘),
𝑑𝑦
𝑑𝑥
|
𝑥=𝑘
, 𝑎𝑛𝑑
𝑑𝑦
𝑑𝑥
|
𝑘
Permasalahan Jika f(x) = x2, Temukan f’(5).
Solusi Untuk f(x) = x2, f’(x) = 2x; maka, f’(5) = 2 (5) = 10
Permasalahan jika 𝑦 = 𝑥
1
2, temukan
𝑑𝑦
𝑑𝑥
|
𝑥=9
Solusi untuk 𝑦 = 𝑥
1
2 , 𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
𝑥
−
1
2; maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
|
𝑥=9
=
1
2
(9)
1
2 =
1
2
.
1
3
=
1
6
Permasalahan Temukan
𝑑
𝑑𝑥
(x-1) = -1x-2 ; pada x = 25, -1x-2 = -1(25)-2=
1
625
Perhatikan dua situasi khusus berikut:
1. Jika f (x) = c adalah fungsi konstan, maka f '(x) = 0, untuk setiap bilangan real x; dan
2. Jika f (x) = mx + b adalah fungsi linear, maka f '(x) = m, untuk setiap bilangan real x.
Turunan numerik dari fungsi-fungsi ini diilustrasikan dalam contoh berikut:
 Jika f(x) = 25, maka f’(5) = 0
 Jika y = -2x + 5, maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
|
𝑥=9
= −2

8. Latihan 4.5
1. if f(x) = x3 find f’ (5) 6. if F(x)=xπ find f’ (10)
2. if g(x) = -100 find g’ (25) 7. if f(x)=
1
𝑥5 find f’ (2)
3. if f(x) = x1/4 find f’ (81) 8. if s(t) = 𝑡0.6
find s’ (32)
4. if y = √𝑥 find dy/dx 9. if h(s) = 𝑠
4
5 fin d h’ (32)
5. if f(t)=t, find f’(19) 10.if y =
1
√𝑥23 find
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(64)
Pembahasan 4.5
1. if f(x) = 𝑥3
f’(5)
F’(x) = 3𝑥2
F’(5) = 3 (5)2
F’(5) = 75
2. if g (x) = -100 find g’ (25)
= 0
3.if f (x) = 𝑥
1
4 find f’ (81)
f(x) = 𝑥
1
4
F’ (x) =
1
4
𝑥
−3
4
F’ (81) =
1
4
𝑥
−3
4
=
1
4
√𝑥34
=
1
4
√(81)34
=
1
4
√531441
4
=
1
4
27
= 1
4
×
1
27
=
1
108
= 0,009

9. 4.if y=√𝑥 find
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Y = 𝑥
1
2
Y’ =
1
2
𝑥
−1
2
5. if f(t)=t, find f’(19)
=0
6. if F(x)=xπ find f’ (10)
f’ = 𝜋𝑥 𝜋−1
𝜋 =
22
7
f’ =
22
7
𝑥
22
7
−1
f’ =
22
7
𝑥
15
7
f’ =
22
7
√𝑥157
f’ =
22
7
√(10)157
f’ =
22
7
× 13894954,9
f’ = 43669858,3
7. if f(x)=
1
𝑥5 find f’ (2)
F(x) = 1.x-5
F’(x) = -5x-6
F’(2) =
−5
𝑥6
=
−5
26
=
−5
64
8. if s(t) = 𝑡0.6
find s’ (32)
t’ = 𝑡0,6
t’ =
3
5
𝑡
−2
5
t’ (32) =
3
5
(32)
−2
5
=
3
5
1
√3225
=
3
5
1
√1024
5
=
3
5
.
1
4
=
3
20
= 0,5

10. 9. if h(s) = 𝑠
4
5 find h’ (32)
h’ =
4
5
𝑥
−1
5
h’(32) =
4
5
32
−1
5
=
4
5
.
1
√325
=
4
5
.
1
2
=
4
10
10.if y =
1
√𝑥23 find
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(64)
Y = 𝑥
−2
3
y’ =
−2
3
𝑥
−5
3
y’ =
−2
3
𝑥
−5
3
y’ =
−2
3
.
1
√(64)35
y’ =
−2
3
.
1
√2621445
y’ =
−2
3
.
1
12,13
y’ =
−2
36,39
y’ = 0,055