تتناول الوثيقة موضوع الأعداد الحقيقية والتقنيات الرياضية المتعلقة بها، بما في ذلك مقارنة الأعداد وحصرها واستخدام قيمة واضحة للأعداد العجيبة مثل π. كما تبرز أهمية الأرقام المقاربة تاريخياً وكيفية حسابها عبر العصور، بدءاً من الحضارات القديمة وحتى التقنيات الحديثة. الوثيقة تقدم مجموعة من الأنشطة، تشمل مقارنة الأعداد وحسابات المساحات والعمليات الرياضية الأساسية.

1. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
24
التّرتيب ـ المجالات ـ القيمة المطلقة
الكفاءات المستهدفة
إختيار معيار لمقارنة عددين. 
إيجاد حصر لعدد حقيقي. 
حصر عبارة جبرية. 
حصر عبارة تتضمن مقلوبا. 
حصر مجموع وجداء عددين حقيقيين. 
كتابة عبارة تشتمل رمز القيمة المطلقة على شكل عبارة مكافئة لها بدون رمز القيمة المطلقة. 
بإحدى الصيغ الأربعة: بمجال أو بحصر أو بمسافة R التعبير عن جزء متصل من 
أو باستعمال القيمة المطلقة.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
 العدد العجيب
عددا عجيبا لما أثاره من تساؤلات وفضول لدى الكثير  يعتبر العدد
من العلماء والباحثين عبر العصور، ولقد ارتبط تاريخ هذا العدد
بالمشكل المشهور والمعروف بإحاطة الدائرة، والذي آل إلى محاولة
باستعمال r "إنشاء مربع مساحته تساوي مساحة قرص نصف قطره
المسطرة والمدور" الأمر الذي آل بدوره إلى إنشاء قطعة مستقيم
. c2   r حيث 2 c طولها
تمّ البرهان على استحالة هذا الإنشاء في القرن التّاسع عشر وسمحت
مختلف المحاولات بإعطاء قيم مقربة لهذا العدد.
كانت معروفة عند القدامى على أنّها  والجدير بالذكر أنّ فكرة العدد
نسبة طول محيط الدائرة إلى قطرها و لم تكن قد نضجت كما هو
حالها الآن سواء من حيث القيم المقربة لها أو من حيث الرمز
المعطى لها.
ونجد عند البابليين قاعدة تعطي العدد
8
1
 3 كقيمة مقربة للعدد 
ويستبدله البعض بالعدد 3. كما نجد في مخطوط بردية ريند التي
ع ثر عليها في مصر عام 5511 م، العدد
2
9
16
 

 قيمة مقربة للعدد
تمّ الحصول عليها باستعمال قاعدة تدعى قاعدة " التخفيض ،
لقرص بمعرفة طول قطره S بالتسع " التي تسمح بحساب المساحة
وهي: D
2
9
D
D S 



ويبدو أنّ أصل هذه القاعدة يعود إلى .  
إلى مساحة ثماني أضلاع ينجز D تقريب مساحة قرص قطره
ومنه تمّ D= وهذا من أجل 9 D انطلاقا من مربع طول ضلعه
الحصول على التقريب
2
9
16



 - وقام أرخميدس ) 752 . للعدد
757 ق.م( بإحاطة دائرة نصف قطرها 5 بين مضلعين منتظمين لهما
n 3 ضلعا، فاستطاع أن يتحصل في حالة مضلعين لهما 96 ضلعا  2
على الحصر التالي:
7
1
<3 
17
10
3> وهو بالترميز الحديث: 
المحيط
القطر
3
المسألة رقم 85 من مخطوط
بردية ريند
إنشاء أرخميدس المحقق في
حالة مضلعين لكل منهما
1 3 ضلعا  2
طول المضلع الداخلي
6
طول المضلع الخارجي 6,928

2. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
25
17
10
< <3 
7
1
.3 
وباستعمال نفس الإجراء، تمكن الرياضي العربي الكاشي حوالي 5879 م من الحصول على الأرقام
حيث ذكر ذلك في كتابه الرسالة المحيطية.  العشرية الأربعة عشرة الأولى للعدد
وباستعمال الوسائل الحديثة والقوية للحساب، تمكن الباحثون من اكتشاف أكثر من
عام 7007 ، ولازالت البحوث في هذا المجال مستمرة.  1 241100 000 000 رقما عشريا للعدد
) نشاط 1: مقارنة أعداد ) 1
: h والمرسومة على شريط عرضه b 5( قارن مساحات المثلثات الآتية ذات نفس القاعدة
7( أ( رتّب تصاعديا، دون استعمال حاسبة، محيطات المستطيل والدائرة والمثلث المتقايس الأضلاع
الآتية:
ب( نفس السؤال السّابق مع استبدال المحيطات بالمساحات.
) نشاط 2: مقارنة أعداد ) 2
5( رتّب تصاعديا الأعداد الآتية:
5
14
1 3 ؛ 273102 ؛ 2,732 ؛ 2,82 ؛
7( قارن، دون استعمال حاسبة، مع التبرير.
11
9
و
11
7
؛
21
13
و
23
13
؛
3
2
و
8
5
؛ 0,252 و 1,252 ؛
5
1
و
2
1
دون استعمال حاسبة، مع التبرير. ، B و A 3( قارن العددين
3
5
2
3
و A  
5
3
2
3
؛ B  
7
5
4
3
و A   
5
7
4
3
B   
نشاط 3: الحصر
1,6 ، في حوض مائي له شكل < <V لتر حيث 1,7 V نسكب 6 قارورات ماء سعة كلّ منها
.<35,6 <b 20,5 > و 35,7 <a بالسنتمتر يحققان 20,6 b و a بلاطة قائمة بعدا قاعدتها
يحقق y 5( تحقق من أن ارتفاع الماء
ab
V
y
6
. 
إرشاد: يمكن كتابة ( y 7( أعط حصرا للعدد
ab
V
ab
V
y
1
6
6
.)   
نشاط 4: المسافة
ذات الفواصل على D ،C ، B ، A ثمّ علّم عليه النقاط O مبدؤه (D) 5( ارسم مستقيا عدديا
. 5 ،3 ،10 ، الترتيب: 6
أنشطـة
)3( )7( )5(
h
b

3. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
26
مع ذكر في كلّ مرة الإجراء المستعمل. BC ؛CD؛ AC ؛ AB ؛OC ؛OB ؛OA 7( عيّن المسافات
دون رمز الجذر التربيعي، تبعا x ثمّ اكتب 2 ، OM  x برّر 2 .x فاصلتها (D) نقطة من M )3
.O بالنسبة إلى المبدأ M لموضع النقطة
1. الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية
تعريف 5
عددان حقيقيان. b و a
عدد موجب. a b أو يساويه معناه b أكبر من a القول إنّ 
.+ a b معناه a  b : ونكتب
عدد سالب. a b أو يساويه معناه أنّ b أصغر من a القول أنّ 
معناه a  b : ونكتب
ـ
a b
ملاحظة
تكون O;I  وعلى محور معلمه ،b أكبر من a نقول إنّ : a  b و + a b معناه a b
.b التّي فاصلتها B على يمين النّقطة a ذات الفاصلة A النّقطة
معناه  a b
ـ
.b أصغر من a نقول إنّ : a  b و a b
تعريف 5
معناه التصريح بصحة إحدى الحالات الثلاث الآتية: b و a مقارنة عددين
a  b  a b  a b 
مثال:
b  7  و 11 a  1 من أجل 2 2
.a b موجب تماما، وبالتالي a b
مبرهنة 5
إذا كان : c ، b ، a من أجل كلّ أعداد حقيقية












b c
و
a b
a  c فإنّ
برهان
سالبان، وبالتالي يكون مجموعهما سالبا، b c و a b فإنّ b  c و a  b إذا كان
. a b b  c  a b  b  c  a  c سالب. لكن a b b  c أي أنّ
منه
ـ
. a  c وهذا معناه ،a  c
2 . الترتيب والعمليات
الـدّرس
يمكن إختبار مقارنة
عددين بالحاسبة وذلك
TEST باستعمال اللمسة

4. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
27
. a  c  b  c فإنّ a  b إذا كان : c ، b ، a من أجل كلّ أعداد حقيقية
الترتيب والجمع 
مبرهنة 7
برهان
معناه a  b
ـ
، a  c b  c  a b لكن . a b
ومنه
ـ
. a  c  b  c وهذا يعني أنّ ،a cbc
مثال
أستطيع أن أضيف نفس العدد إلى طرفي متباينة:
a  b 3  أضيف 5 a 5  b  2
مبرهنة 3
إذا كان : d ، c ، b ، a من أجل كلّ أعداد حقيقية












c d
و
a b
a  c  b  d فإنّ
برهان
.b  c  b  d و a  c  b  c : فيكون، حسب المبرهنة 7 ، c  d و a  b إذا كان
. a  c  b  d : وحسب المبرهنة 5
مثال
أستطيع أن أجمع طرفا بطرف متباينتين من نفس الاتجاه.
a b   اجمع طرفا بطرف 1 b   و 3 a  2
الترتيب والضرب 
مبرهنة 8
أعداد حقيقية. c ، b ، a
. ac  bc يكافئ a  b : لدينا c من أجل 0
. ac  bc يكافئ a  b : لدينا c من أجل 0
ac bc  a bc برهان: لدينا
.c من أجل 0 
نفس الإشارة. acbc و a b يكون للعددين
. a b يكافئ a  b وحيث أنّ
ينتج عنه
ـ
يكافئ a b
ـ
ac  bc يكافئ a  b وبالتالي acbc
.<c من أجل 0 
إشارتين مختلفتين. acbc و a b يكون للعددين
يكافئ a  b وحيث أنّ
ـ
.a b
ينتج عنه
ـ
ac  bc يكافئ a  b وبالتالي + acbc يكافئ a b
مثال: أستطيع أن أضرب طرفي متباينة في نفس العدد الموجب :
a  3b 0,1 أضرب في 50 a  0,3b

5. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
28
أستطيع أن أضرب طرفي متباينة في نفس العدد السالب بشرط أن أغيّر اتجاه المتباينة:
5
2
1
a  10  أضرب في 2  a 
مبرهنة 1
. d ، c ، b ، a من أجل كل أعداد حقيقية موجبة
. ac  bd فإنّ c  d و a  b إذا كان
برهان
. c  d و a  b أعدادا حقيقية موجبة حيث d ، c ، b ، a نفرض
. ac  bd فإنّ c  أو 0 b  إذا كان 0 
ac  bd حسب المبرهنة 8(، وبالتالي ( bc  bd و ac  bc فإنّ c و 0 b إذا كان 0 
.) )حسب المبرهنة 5
مثال
أستطيع أن أضرب طرفي متباينتين من نفس الاتجاه، طرفا بطرف، عندما يتعلق الأمر بأعداد
موجبة:
2
1
ab  أضرب طرفا بطرف 5 b  و 10 a 
3. قواعد المقارنة
مبرهنة 6
عددان حقيقيان. b ، a
a2  b يكافئ 2 a  b : لدينا b  و 0 a  من أجل 0 
a2  b يكافئ 2 a  b : لدينا b  و 0 a  من أجل 0 
برهان
a2  b2  a  ba  b نعلم أنّ
b  و 0 a  من أجل 0 
من نفس الاشارة. a b ، a2  b ومنه العددان 2 + a b لدينا
يكافئ a  b وحيث أنّ
ـ
a b
ينتج أنّ
ـ
يكافي a b
ـ
  2 2 a2  b يكافئ 2 a  b وبالتالي a b
b  و 0 a  من أجل 0 
لدينا
ـ
من إشارتين مختلفتين. a b ، a2  b ومنه العددان 2 a b
يكافئ a  b وحيث أنّ
ـ
a b
ينتج أنّ
ـ
a2  b يكافئ 2 a  b وبالتالي + a2 b2  يكافي a b
مثال
أرتّب مربعي عددين موجبين والجذرين التربيعيين لهما بنفس ترتيب هذين العددين
وأرتب مربعي عددين سالبين في الاتجاه المعاكس لترتيبهما.
. a  و 2 a2  0، فإنّ 4  a  إذا كان 2
مبرهنة 2

6. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
29
a  b يكافئ a  b : عددان حقيقيان موجبان لدينا b ، a
. إرشاد للبرهنة: لإثبات المبرهنة 2 يمكن الاعتماد على المبرهنة 6 
مبرهنة 5
يكافئ a  b : عددان حقيقيان غير معدومين ومن نفس الإشارة لدينا b ، a
a b
1 1

إرشاد للبرهنة: يمكن الاستفادة من 
ab
b a
a b

 
1 1
مثال
أرتّب مقلوبي عددين حقيقيين غير معدومين ومن نفس الاشارة في التّرتيب المعاكس لترتيبهما.
0، فإنّ  a  إذا كان 2
2
1 1

a
.
مبرهنة 9
عدد حقيقي لدينا: a
a3  a2  a 0 فإنّ  a  إذا كان 1 
a3  a2  a فإنّ a  إذا كان 1 
برهان
. a3  a وبالتالي 2 a2  a 0، فإنّ  a  إذا كان 1 
. a3  a2  a ومنه
. a3  a وبالتالي 2 a2  a فإنّ ، a  إذا كان 1 
. a3  a2  a ومنه
كما يلي: a ملاحظة: يمكن تعميم ترتيب قوى عدد حقيقي موجب
ترتب ترتيبا تنازليا. a محصورا بين 0 و 1، فإنّ قوى a إذا كان
ترتب ترتيبا تصاعديا. a أكبر من 1، فإنّ قوى a إذا كان
مثال
23 ، و من أجل  22  لدينا 2 ، a  من أجل 2
2
1
لدينا ، a 
2
1
2
1
2
1
3 2 .  
4. المجالات
تعريف
. a  b عددان حقيقيان حيث b و a
، a  x  b حيث x مجموعة الأعداد الحقيقية ،b و a نسمي مجالا مغلقا حدّاه
. a ; b ونرمز إليه بالرّمز
تمثيل مجال 
على التّرتيب. b و a نقطتان فاصلتاهما B و A هندسيا بالشّكل الآتي حيث a ; b يمثّل المجال

7. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
30
أنواع المجالات 
المجال الذي ي رمز
إليه ...
هو مجموعة الأعداد
حيث ... x الحقيقية
ي مثّل على المستقيم العددي بالشكل ...
a  x  b a ; b
a  x b a ; b
a x  b a ; b
 x a b a ; b 
x  b  ; b
 x b  ; b 
x  a a ; 
 x b a ;  
العارضتان موجّهتان نحو الدّاخل. ، a ; b في المجال المغلق
هو مجال مفتوح، العارضتان موجّهتان نحو الخارج. a ; b 
ملاحظات
. a ; b  ولا ينتميان إلى المجال a ; b ينتميان إلى المجال b و a الحدّان 
يقرآن: ناقص لانهاية ، زائد لانهاية( لا يمثلان عددين حقيقيين (   و  الرمزان 
وبالتالي تكون العارضتان مفتوحتين عندهما.
تقاطع وإتحاد مجالين 
تعريف
، J و I هو مجموعة الأعداد الحقيقية التي تنتمي إلى J و I تقاطع مجالين 
. I J ونرمز إليه بالرّمز
، J أو I هو مجموعة الأعداد الحقيقية التي تنتمي إلى J و I إتحاد مجالين 
. I J ونرمز إليه بالرّمز
أمثلة
.1  x  0 و 5  x  حيث 2 x هو مجموعة الأعداد الحقيقية 0 ; 21; 5 
0 ; 21; 5  1; 2
x  و 2  4 x  حيث 3 x هو مجموعة الأعداد الحقيقية  4 ; 32 ;  

8. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
31
 4 ; 32 ;    4 ; 
5. القيمة المطلقة والمسافة
القيمة المطلقة لعدد حقيقي 
تعريف
.x فاصلتها (O,I) نقطة من مستقيم مزوّد بمعلم M ، عدد حقيقي x
. x  OM ونكتب . x ونرمز إليها بالرّمز ، OM هي المسافة x القيمة المطلقة للعدد
x  0 x  0  
x  OM  x x  OM  x
نتائج:
.x من أجل كلّ عدد حقيقي x  بما أنّ المسافة موجبة فإنّ 0 
:x من أجل كلّ عدد حقيقي 
 
  


   
  
; ; 0
; 0 ;
x x x
x x x
أمثلة
. 3  موجب، وبالتالي 3 x العدد ، x  من أجل 3 
سالب، x العدد ، x 1 من أجل 2 
1 2  1 2  2  وبالتالي 1
0  0 
ملاحظة: يمكن حساب القيمة المطلقة لعدد
باستعمال الدالة x حقيقي
للحاسبة. abs 
خواص
عددين حقيقيين، لدينا: y و x بفرض
 x  x 
x  x  2
xy  x  y 

y
x
y
x
y  مع 0 
المتباينة المثلثية( ( x  y  x  y 
ملاحظة
من نفس الإشارة. y و x عندما يكون العددان x  y  x  y المتباينة المثلثية تصبح

9. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
32
أمثلة
. 2   2  العدد ومعاكسه لهما نفس القيمة المطلقة: 2 
1 2 3 1 2 3 2 3 1 
2
.1 2 3  R لأنّ     
.  3x  2   3  x  2  3 x  2 
x  3  x  منه 3 x  3  x   3 
المسافة بين نقطتين 
: مبرهنة 50
على التّرتيب فإنّ b ، a فاصلتاهما (O,I) نقطتان من مستقيم مزوّد بمعلم B ، A إذا كانت
AB  a  b  b  a
برهان
b  a أي A على يمين النّقطة B نقتصر على الوضعية التي تكون فيها النّقطة
لأن الوضعية الآخرى تبرهن بنفس الكيفيّة، ونميّز ثلاث حالات: ، b  a  b  a وبالتالي
.O على يمين النقطة B ، A أ( النّقطتان
AB OB  OA  b  a
.O على يسار النقطة B ، A ب( النّقطتان
AB OA  OB  a  b  b  a
.B ، A بين النّقطتين O ج( النقطة
AB OA  OB   a  b  b  a
وجدنا في كلّ الحالات:
AB  b  a
مثال:
AB   2 5  5  2  3 
AB  1,5 3  3 1,5  4,5 
المسافة بين عددين حقيقيين 
تعريف
.) b  a أو ( a  b هي العدد b و a المسافة بين عددين حقيقيين
d  a ;b   a  b  b  a نكتب
أمثلة
d4 ; 5  4 5 1 ، d0 ; 3  0 3  3
، d 2,7 ; 3  2,7  3  0,3
3
50
3
17
11
3
17
; 11     



d 
الحصر 
تعريف

10. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
33
. a  x  b حيث b و a يعني إيجاد عددين x حصر عدد حقيقي
مثال
.10 5 وهي القيمة المدوّرة للعدد 5 إلى 5  باستعمال حاسبة، نحصل على: 2,23607
2 هو حصر العدد 5 ، بالتقريب إلى الوحدة.  5  3
.10 2,23 هو حصر العدد 5 ، بالتقريب إلى 2  5  2,24
القيمة المطلقة، المسافة، المجال والحصر 
مبرهنة 55
عدد حقيقي موجب. r ، عدد حقيقي c
xc  r ;c  r معناه x  c  r ، x من أجل كل عدد حقيقي
برهان
xc  r ;c  r فإنّ x  c  r نبرهن أنّه إذا كان 
. x  c  r عددا حقيقيا حيث x ليكن
. x  c  r وبالتالي x  c  x  c ويكون x  c  R فإنّ x  c - إذا كان
c  r  x  c  r وبالتالي ، c  x  c  r ومنه x  c  r ونستنتج
. c  x  r وبالتالي x  c  c  x ويكون x  c  R فإنّ x  c - إذا كان
c  r  x  c  r وبالتالي ، c  r  x  c ومنه c  r  x ونستنتج
. c  r  x  c  r يتضح أنّ في الحالتين لدينا
x  c  r فإنّ xc  r;c  r نبرهن أنّه إذا كان 
 r  x  c  r ومنه c  r  x  c  r أي ، c  r ;c  r عددا حقيقيا من المجال x ليكن
. x  c  r لدينا من جهة
. c  x  r ومنه ،  r  x  c ومن جهة أخرى
. x  c  r نستخلص ، c  x وإمّا x  c يساوي إمّا x  c وبما أنّ
أمثلة
. x2;4 أي 1 x 3  معناه 1 x  3  1
. x 4;4  أي  4  x  معناه 4 x  4
2
3
2
5
معناه x  
2
3
2
5
2
3
. x  4 ; 1 أي   x  
عناصر المجال:
بالعناصر الآتية: a;b يتميّز المجال

11. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
34
مركزه ، وهو العدد الحقيقي 
2
a b
c


b  a طوله ، وهو العدد الحقيقي الموجب 
نصف قطره ، وهو العدد الحقيقي الموجب 
2
b a
r


نتيجة
عدد حقيقي موجب. r عدد حقيقي كيفي و c
النصوص الآتية متكافئة: ، x من أجل كلّ عدد حقيقي
في صيغة مجال( ( xc  r;c  r 
في صيغة حصر( ( c  r  x  c  r 
في صيغة مسافة( ( dc; x  r 
في صيغة قيمة مطلقة( ( x  c  r 
مثال
التمثيل المجال الحصر المسافة القيمة المطلقة
2  x  5 x 2;5
2
7
2
3
;  



d x
2
7
2
3
x  
6. القيم المقربة لعدد حقيقي
تعريف
. n وعدد طبيعي d وعدد عشري a بفرض عدد حقيقي
10 n أصغر من d إلى a معناه المسافة من a 10 للعدد  n قيمة مقربة عشرية إلى d القول أنّ
. a  d 10 n بعبارة أخرى
نتحدث عن قيمة مقربة بالنقصان أو بالزيادة. ، d  a أو d  a وتبعا لكون
مثال
. العدد 0,9396926208 cos20 الحاسبة تظهر من أجل
.0,93 cos20 يمكن أن نستنتج مثلا 0,94
، 10 إلى 2 ، cos20 0,93 و 0,94 هما قيمتان مقربتان للعدد
بالنقصان وبالزيادة على الترتيب.
10 ، لأنّه موجود  إلى 2 cos20 هو قيمة مقربة للعدد 0,93; 0,94 كلّ عدد عشري من المجال
. cos20 10 بالنّسبة إلى  على مسافة أصغر من 2
) مقارنة عددين حقيقيين ) 1 
قارن العددين الحقيقيين:
طـرائق وتمارين محلولة

12. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
35
و ؛ 152,125 و 152,13
7
22
؛
13
19
و
21
17
؛
32
159
و
95
472
.
تعاليق
نستعمل طريقة مقارنة عددين
عشريين.
الحاسبة تعطي قيما مقربة في
شكل كتابة عشرية، تتم المقارنة
كما في المثال الأوّل.
عند المقارنة بالعدد 1، نلاحظ
البسط والمقام في كلّ كسر:
- إذا كان البسط أكبر من المقام
فإنّ الكسر أكبر من الوحدة.
- إذا كان البسط أصغر من المقام
فإنّ الكسر أصغر من الوحدة.
عند حساب الفرق، نستعمل
، الطريقة المذكورة في الصفحة 57
التمرين 8. ثمّ ندرس إشارة الفرق.
حلّ
152,125 و 152,13 عددان عشريان لهما نفس الجزء 
الصحيح. لمقارنتهما نعتبر الجزأين العشريين فيهما ونجد:
.152,125 152,13
و لمقارنة العددين 
7
22
، يمكن استعمال الحاسبة ونجد:
الرقمان الممثلان
للجزأين من الألف
مختلفان.
فإنّ 2 وكون 1

7
22
.
بمقارنة كلا من الكسرين بالعدد 1، نجد: 
1
13
19
و 1 
21
17
ونستنتج 
21
17

13
19
.
نحسب الفرق 
95
472
32
159
ونجد: 
3040
1
3040
15105 15104
3040
95 159 32 472
95
472
32
159



  
 
 وكون 0
3040
1
نستنتج
95
472
32
159
.
طريقة
لمقارنة عددين حقيقيين، يمكن:
- استعمال الحاسبة للحصول على قيم مقربة.
- مقارنة كلّ من العددين بعدد ثالث.
- دراسة إشارة الفرق.
) مقارنة عددين حقيقيين ) 2 
قارن العددين الحقيقيين:
؛ 6  1و 2 5  5
2
1
و 2 2
1
و 3 2
1
 و 3  و 2  ؛

13. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
36
تعاليق
نستعمل المتطابقات الشهيرة لحساب
مربعي العددين.
نطبق قواعد مقارنة قوى عدد
.) المبرهنة 6 ( a حقيقي
حلّ
: B و 2 A ثمّ نحسب 2 B  6  و 2 5 A  1 نضع 5 
1 5 1 2 5  5 6 2 5
2
2
2
2 A       
6 2 5 6 2 5
2
2   
 
B   
1، نستنتج:  5  R وكون A2  B نلاحظ أنّ 2
. A  B
في حالة 5 a المطلوب هو مقارنة قوى عدد حقيقي 
،a
نجد: 3 2
1
2
1
 2 2
1

في حالة 5 a المطلوب هو مقارنة قوى عدد حقيقي 
.  2  نجد: 3 ،a
طريقة
لمقارنة عددين يتضمنان جذورا تربيعية، يمكن مقارنة مربعيهما.
إذا كان مربعا عددين متساويين فإنّ هذين العددين متساويان أو متعاكسان:
A  B أو A  B فإنّ A2  B إذا كان 2
) مقارنة عددين حقيقيين ) 3 
؛ 25x   برهن صحة المتباينتين: 3 ، x  عدد حقيقي حيث 1 x
4
1
3 1
1

x 
تعاليق حلّ
وبضرب طرفي المتباينة في العدد x  لدينا 1  . نطبق خواص المتباينات
ثم بإضافة . 5x   نحصل على 1 ،  السالب 5
. 25x   2 ، نستخلص: 3
3 وذلك بالاستدلال x 1 وبالتالي 4 x  لدينا 1 
كما في السؤال السابق. وكون العددين الحقيقيين
3 و 4 مرتبين في الترتيب المضاد x  الموجبين 1
لمقلوبيهما، نستخلص:
4
1
3 1
1

x 
.
طريقة
لمقارنة عددين حقيقيين مكتوبين على الشكل الجبري، يمكن استعمال خواص المتباينات على التوالي.
إيجاد حصر لعدد حقيقي 
حصر مجموع وجداء 
. ab و a  b 1. احصر العددين  b  3 و 7  a  عددان حقيقيان حيث 8 b و a
حصر فرق وحاصل قسمة 

14. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
37
و a b بنفس المعطيات السابقة، أحصر العددين
b
a
تعاليق حلّ
نطبق خواص المتباينات.
لا يصلح الطرح طرفا لطرف كما هو
الشأن مع قاعدة الجمع طرفا
لطرف !!
لا تصلح القسمة طرفا لطرف كما هو
الشأن مع قاعدة الضرب طرفا
لطرف في حالة الأعداد الموجبة
تماما!!
باستعمال قاعدة الجمع طرفا بطرف للمتابينات، 
نجد:
. 4  a b 15
كون الأعداد الستة موجبة وبالضرب طرفا بطرف
نجد:
.3  ab  56
. a  b على الشكل a b نكتب 
1 في العدد  b  بضرب المتباينة المضاعفة 7
1 السالب
 7  b  1 :  b نحصر
وبالجمع طرفا بطرف نجد:
3  a  8
 7  b   و 1
ــــــــ
 4  a b  7
نكتب
b
a
على الشكل 




b
a
1
.
1 فيكون  b  7 من نفس الإشارة و 7 ، b ، الأعداد 1
1
1
7
1
 
b
.
،8 ، a ، وكون الأعداد 3
7
1
،
b
1
1 موجبة وبالضرب ،
طرفا بطرف، نجد: 8
7
3
 
b
a
طريقة
لحصر فرق أو حاصل القسمة نتذكر أنّ الطرح يعني إضافة المعاكس والقسمة تعني الضرب في
المقلوب.
إعادة استثمار
. l 25 ; 26 و L134;135 حيث l وعرضه L مستطيل طوله
للمستطيل. D وللقطر A وللمساحة P أعط حصرا للمحيط
حلّ معادلة أو متراجحة تتضمن القيمة المطلقة 
حلّ المعادلات والمتراجحات الآتية:
 x  3 x  5 (3) x  3  x  5 (2) x 3  4 (1)
تعاليق حلّ

15. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
38
نعبّر عن القيمة المطلقة
بعبارات المسافة على المستقيم
العددي.
.x النقطة التي فاصلتها M 5. على مستقيم مدرج، نسمي
x 3
ذات الفاصلة - A إلى النقطة M هي المسافة من النقطة
.3
تكافئ x  3  4
MA  4
المسافة من كلّ ، A توجد عندئذ نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى
. هي 4: هما النقطتان اللتان فاصلتاهما 7- و 1 A منهما إلى
S1  7;1  : منه مجموعة حلول المعادلة
.x النقطة التي فاصلتها M 7. على مستقيم مدرج، نسمي
ذات الفاصلة A إلى النقطة M هي المسافة من النقطة x 3
-3
ذات الفاصلة B إلى النقطة M هي المسافة من النقطة x  5
1
M AB و MA=MB تكافئ x  3  x  5
هي 1 M فاصلة . AB منتصف M هذا يعني أنّ
2
3 5

 
.
S2  1  : منه مجموعة حلول المعادلة
،) 3. بنفس الفرضيات والشكل كما في السؤال 7
MA  MB تكافئ  x  3 x  5
B عنه من A تكون أقرب من النقطة M هذا يعني أنّ النقطة
تكون أقرب من M فإنّ النقطة ، AB منتصف I . إذا فرضنا
أي من أجل كلّ النقاط ذات فاصل I عندما تكون قبل A النقطة
. أصغر تماما من 5
S3   ; 1 : منه مجموعة حلول المتراجحة
طريقة
لحلّ معادلة أو متراجحة تتضمن قيما مطلقة، نعبّر عن القيم المطلقة بعبارات المسافة على المستقيم
العددي ونترجم المساويات أو المتباينات بعبارات المسافة بين نقطتين.
إعادة الاستثمار
حلّ المعادلة والمتراجحة الآتيتين:
x  4  2 ؛ x  3  x  5  8
الهدف: إعطاء معنى للاستلزام والتكافؤ
الاستلزام 
تصادفنا في بعض النصوص العبارة " إذا كان ... فإنّ ... "، مثل:
متناصفان. BD و AC متوازي أضلاع فإنّ ABCD إذا كان 
تعـلّم الـبرهـنة

16. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
39
إذا كان لعددين حقيقيين نفس المربع فإ نّهما متساويان أو متعاكسان. 
Q تستلزم P هي النتيجة، نقول أنّ Q هي الفرضية و P حيث ،Q فإنّ P عموما، إذا كان
تمرين 5: في كلّ نصّ من النصوص الآتية، عيّن الفرضية والنتيجة ثمّ أعد التحرير باستعمال
الصيغة: " إذا كان ... فإنّ ... ":
5( العدد المحصور بين 0 و 5 يكون أكبر من مربعه.
7( المستقيمان اللذان لهما نفس معامل التوجيه متوازيان.
3( متوازي الأضلاع الذي له زاوية قائمة يكون مستطيلا.
تمرين 7: بيّن إن كان كلّ نصّ )قضية( من النصوص الآتية، صحيحا أم خاطئا مبررا إجابتك.
متعامدان. BD و AC مربعا فإنّ القطرين ABCD 5( إذا كان
مستطيل. ABCD متعامدين فإنّ BD و AC القطران ABCD 7( إذا كان في مضلع
a b فإنّ  2a  5b 3( إذا كان
2
5
.  
التكافؤ 
نعلم أنّه:
متناصفان. BD و AC رباعي متوازي أضلاع فإنّ قطريه ABCD - إذا كان
متناصفين فإ نّه متوازي أضلاع. ABCD في رباعي BD و AC - إذا كان القطران
رباعي متوازي أضلاع " ABCD" إلى النصّ P إذا رمزنا بالرمز
متناصفان " ABCD إلى النصّ "قطرا الرباعي Q و بالرمز
في آن واحد. P يستلزم Q و Q يستلزم P نجد
."Q إذا وفقط إذا P " أو "Q يكافئ P " متكافئان. ونقرأ Q و P نقول إنّ النصّين 
نقول عن الاستلزامين السابقين أنّ كلّ منهما عكس الآخر. 
تمرين 3: أنقل ثمّ أكمل الجدول بصحيح )ص ( أو خاطئ )خ (.
المعطيات
Q يستلزم P Q P
يستلزم Q
P
يكافئ P
Q
x   أو 2 x  2 x  عدد حقيقي 2 x
عددان y و x
حقيقيان
 y و 0  x 0  xy 0
D ،C ، B ، A
أربع نقاط من
المستوي
AC BD AB CD
دار هذا الحديث بين تلميذين، المطلوب ،" AB منتصف M " إعادة استثمار: لتبرير الخاصية
AM AB مناقشة كلّ اقتراح: أمين: " بما أنّ
2
1
." AB منتصف M فإنّ ، 
." AB منتصف M وبالتالي AM  MB و M AB " : عمر
استعمال تكنولوجيات الإعلام والاتصال

17. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
40
Héron بطريقة N تقريب
هندسيا والتحقق باستعمال حاسبة و مجدول Héron الهدف: ترجمة طريقة
الطريقة الهندسية 
الغرض من هذا النشاط هو تقريب 30 مثلا.
يساوي 7 بحيث تكون مساحته مساوية . 30  يساوي 51 وعرضه L 5. أنشئ مستطيلا طوله
L' 7. باعتبار أن بعدي هذا المستطيل مختلفان كثيرا، أنشئ مستطيلا جديدا حيث يكون طوله
(  و L مساويا الوسط الحسابي للبعدين
2
'
 

L
. ومساحته هي أيضا 30 ) L
)إنّ اللجوء إلى الوسط الحسابي من شأنه تقليص الاختلاف بين بعدي المستطيل(.
3. أعد التجربة مرة ثانية ثم مرة ثالثة. ماذا تلاحظ ؟ ما هو شكل المستطيل الأخير وما هما
بعداه بالتقريب؟
التحقق بحاسبة 
انقل ثمّ أكمل الجدول التالي:
مدور إلى (  )10 مدور إلى 6 ( L ) كسر (  ) كسر ( L المستطيل رقم
6 10 )
2,000 000 15,000 000 7 51 5
7
3
8
5. قارن الأعداد المحصل عليها في الخانات المظللة مع قيمة الظاهرة على الحاسبة.
7. هل هذه النتائج تؤكد الملاحظة المسجلة عند الترجمة الهندسية ؟
التحقق بمجدول 
الشّكل المقابل يمثل ورقة مجدول تسمح بحساب
للحصول .  و L 10 لكل من  قيمة مدورة إلى 14
على هذه الدقة، ينبغي برمجمة المجدول إلى 58
رقما عشريا.
B و 3 A 5. ما هي الدساتير المكتوبة في الخليتين 3
والمنقولة إلى الأسفل ؟
7. ما هو عدد الخطوات الضرورية للحصول
10 للعدد 12 ،105 ،10 على قيمة مقربة إلى 2
؟ 30
. عددا حقيقيا موجبا تماما ويختلف عن 2 a 5( ليكن
حـلّ مسألة إدماجيـة

18. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
41
و a أ( بيّن أنّ
a
2
. يحصران 2
ب( قارن 




a
a
2
2
1
العدد 2 و ( 




a
a
2
2
1
و a هو الوسط الحسابي للعددين
a
2
.)
، a 7( علّم على المستقيم العددي النقط ذات الفواصل
a
2
، 




a
a
2
2
1
. 2 ،
لوّن بالأزرق أصغر مجال يشمل 2 . ما هو الحصر المحصل عليه عندئذ ؟
1 ( انطلاقا من 3  a وبتعويض a بالقيمة المضبوطة للعدد 




a
a
2
2
1
، اوجد باستعمال النتائج
السابقة حصرا جديدا للعدد 2 . هل هذا الحصر أفضل من الحصر المحصل عليه في السؤال
؟ )7
5( أ( للإجابة، نميّز حالتين:
<0 2 <a 
بالمرور إلى مقارنة المقلوبين، نجد
a
1
2
1
<
وبالتالي
a
2
2
2
>. وكون 2
2
2
نحصل 
على:
a
2
2 > ومنه الحصر
a
2
. a < 2 <
< 2 a 
نجد بالمثل
2
1
a
1
> ومنه
2
2
a
2
> أي أنّ:
< 2 < a
a
2
.
و a هكذا يكون في الحالتين
a
2
. يحصران 2
ب( لمقارنة العددين 




a
a
2
2
1
و 2 ، ندرس
إشارة فرقهما:
 
 2
2
2
2
1
2 2 2
2
1
2 2
2
2
1
2
2
2
1
 
  




    




a
a
a a
a
a
a
a
a
  موجب وكذلك a وباعتبار أنّ 2
فيكون a  2
الفرق موجبا، وبالتالي:





a
a
2
2
1
< 2
: a < 5( في الحالة 2
للعدد 2 a من أجل كلّ قيمة مقربة 
يمكن أن نعطي قيمة مقربة أخرى للعدد 2
تكون أفضل هي الوسط الحسابي





a
a
2
2
1
.
نجد: ، a  3( انطلاقا من 1
2
2 3
2
1
 




a
وبالتالي a
2
3
5 < 2 <
بالقيمة المضبوطة للعدد a وبتعويض





a
a
2
2
1
، أي
2
3
، نجد:
3
2 4

a
و
12
17
3
4
2
3
2
2 1
2
1
 



  




a
a
وبالتالي:
12
17
< 2 <
3
4
هذا الحصر أفضل من الحصر الأوّل لأنّ
طول المجال الموافق له أصغر.
أصحيح أم خطأ؟ 53 . أدرج عددا عشريا بين:
تمـارين ومسـائل
×
a 2
a
2





a
a
2
2
1

19. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
42
ــــــــــــــــــــــــــ
أجب بنعم أو لا على الأسئلة الآتية:
5. العدد ومقلوبه من إشارتين متعاكستين.
7. العدد هو دائما أصغر من أو يساوي مربعه.
3. جداء عددين حقيقيين كلّ منهما أكبر من 7 أكبر
. من 7
. x   فإنّ 3  2x  8. إذا كان 6
7  13  20 .1
2;53;8 )5 .6
. x3;7  فإنّ 3  x 7( إذا كان 8
من إشارتين مختلفتين، c و a 2. إذا كان
موجب.  25a3b2c : b مهما كان
x2  x 2 : x 5. من أجل كلّ عدد حقيقي
1 2x  1 2x فإنّ x  9. إذا كان 2
.50
4
1
هو مركز المجال 



3
1
;
5
1
.
الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية
ــــــــــــــــــــــ
55 . رتّب تصاعديا الأعداد الآتية:
. 0,557؛ 0,57؛ 0,577؛ 0,77 ؛ 0,757
57 . رتّب تنازليا الأعداد الآتية:
 2,022 ؛  2,2 ؛  2,22 ؛  2,202 ؛  2,02
5( نريد ترتيب الأعداد .77
15 1 4 10   و   15 2 1 4 10 و 15   1 4 10
1
  
تصاعديا. هل يكون ذلك ممكنا بالحاسبة ؟
؛ 32,528 و 32,509
3
1
و
2
1
17
31
و
99
181
؛
6
57
و 92
حيث: d 58 . عيّن قيم الرقم العشري
25,d 22  25,22 ؛ 40,501 40,6d 9
51 . من بين الأعداد الآتية، عيّن الأعداد المحصورة
: بين 0 و 1
  2 10  3 ؛  10
1
؛ 
5
3
4




؛ 25% ؛ 
10
3
1



 .
56 . قارن، دون استعمال الحاسبة، كلّ عددين فيما
يلي:
22
17
و
23
17
؛
11
9
و 
11
8
10 و 4 10 3 ؛ 
52 . نفس السؤال من أجل:
2 3
1
و
3 2
1
2 و 1 ؛
2 1
1

5  2 و 2 6  3 ؛ 2 7  1 و 8  7
عدد حقيقي كيفي، قارن العددين a 5( بفرض .55
.  و 16 a2  8a الحقيقيين
7( استنتج، دون استعمال الحاسبة، مقارنة
.  2 و 16  العددين الحقيقيين 8 2
ثم x  y 59 . احسب بالاستعانة بحاسبة الفرق
. y و x استنتج مقارنة
و x  2
31
138
. y 
70 . رتب، باستعمال حاسبة، من الأصغر إلى الأكبر
؛ 50 ؛ 7,07 ؛ 2 : الأعداد
181
1258
؛
587
4109
.
75 . ما هو أكبر العددين:
19 1 10   110 و 18   
أعداد حقيقية موجبة تماما. c و b و a .30
فإنّ ، a b 5( بيّن أ نّه إذا كان
c
b
c
a
. 
فإنّ ، a b 7( بيّن أنّه إذا كان
b
c
a
c
.

20. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
43
ما هو المطلوب . a  410 7( نضع 15
عندئذ ؟ استخلص.
:  أو  أو  5( أكمل باستعمال .73
9  16 ... 25
B  a  b و A  a  b 7( نعتبر
. B و A ثم قارن B و 2 A احسب 2
a و 3 a و 2 a 78 . رتّب تصاعديا الأعداد
في الحالتين:
a  2 1 

3
3  3
a 
قارن ، x0 ; 1  عدد حقيقي حيث x .71
. 1 x و 3 1 x العددين
نعتبر العبارتين . x  عدد حقيقي حيث 2 x .76
 2 . B  x  2 و 2 A  x 1
. A B 5( حلل الفرق
. B و A ثم قارن A B 7( استنتج إشارة
أنقل وأكمل الجدول: ، y و 0  x 72 . بفرض 0
صحيح خاطئ لا يمكن
الحكم
 2x 0
 x  y 0
 x  y 0
- x  y 0
x  y  0
بيّن أنّ: ،a b 75 . بفرض
2a 1 2b 1 )5
3 a  3b )7
79 . برهن أنّ:
2 x 1  معناه 7 x  3 )5
 x  4   معناه 1 x  5 )7
32 . عيّن المجالات الآتية
0 ; 21; 6 )5
 2 ; 2 2 ;  )7
1; 33 ;  )3
رباعي ABCD.35
. P محيطه
برهن أنّ:
 AC  BD P
37 . أين الخطأ في الاستدلال التالي:
3  2 9  وبالتالي 2 3 وبالتالي 9  3 "
وبالتالي 3   3 3  وبالتالي
."0 وبالتالي 3  3
المجالات
ــــــــــــــــــــــ
33 . عيّن المجالات الموافقة للأعداد الحقيقية:
.  5( الأكبر من أو المساوية 2
. 7( المحصورة تماما بين 8 و 2
. 3( الأصغر تماما من 5
. 8( السالبة تماما أو الأكبر من أو المساوية 3
38 . بفرض قائمة أعداد حقيقية:
؛ 2 ؛ 5 ؛  ؛  2,2
3
11

وقائمة مجالات:
.  ;  ؛  4 ;  ؛ 1; 5 ؛  2 ; 2 
بيّن بالنسبة إلى كلّ مجال إن كان كلّ عدد ينتمي
إليه أو لا ينتمي.
31 . مثّل على المستقيم العددي المجالات الآتية:
  4 ; 1 ؛   1 ; 2   ؛ 



;  
2
1
؛ 



  
2
3
. ;
36 . عيّن كلّ الأعداد الطبيعية ثم كلّ الأعداد
لتي تنتمي إلى المجال الصحيحة النسبية ا 




2
9
. 2 ;
81 . أنقل ثم أكمل الجدول.
x  المتباينات
 2 x 3
3 ; 0
5 ;  
x   2

21. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
44
)8 



   



  ;
2
1
2
1
;
35 . أكتب على شكل مجالات مجموعات الأعداد
الحقيقية الممثلة والملونة على المستقيم العددي.
39 . أكتب على شكل مجالات مجموعات الأعداد
الحقيقية المعرفة بالمتباينات الآتية:
x   2,5 )3 2 x 6 )5
 x 3 )8  4  x3 )7
80 . نفس السؤال السابق من أجل:
x   و 1  x 2 )5
1 x  أو 5  4   x 1 )7
85 . اكتب على شكل مجالات المجموعات الآتية:
R ؛ R ؛ R ؛ R ؛ R
87 . عيّن مركز وطول كلّ مجال:
 1; 1 ؛  0,5 ; 0,1 ؛  2 ; 2
 83 . ما هما حدا المجال المغلق الذي مركزه 5,3
؟ وطوله 0,7
88 . أنقل ثم أكمل الجدول.
المجال مجموعة الأعداد
x الحقيقية
1; 2
2 x5
x0




 
2
1
;
للعدد الحقيقي d 13 . أنقل ثم أكمل الجدول بالمسافة
. إلى 0 x
2 x 1,5 0 3 10
d
ثلاث نقاط ذات الفواصل P و N وM 18 . بفرض
86 . عيّن المجالات الآتية:
 ; 00 ;    ; 32 ;  
 ; 11;    2 ; 3 4 ; 6 
82 . أنقل ثم أكمل الجدول.
I J I J I J
2 ; 5 1; 
1 ; 3  5 ; 5





3
1
;
2
5




 
2
1
;




; 2
2
1
1; 2
المسافة والقيمة المطلقة
ـــــــــــــــــــــــ
للعدد الحقيقي d 85 . أنقل ثم أكمل الجدول بالمسافة
. إلى 0 x
2 x 1,5 0 3 10
d
ثلاث نقاط ذات الفواصل P و N وM 89 . بفرض
على الترتيب من المستقيم العددي. 3 ، 0 ،  4
.MP و NP وMN أحسب المسافات
10 . أحسب المسافة بين كلّ عددين حقيقيين فيما يلي:
3 و 9  ؛ 2 و 3 ؛  و 2 3 ؛ 5 و 11
15 . مثل على المستقيم العددي مجموعة الأعداد
 x 1 )7 ، x  3 ) الحقيقية حيث: 5
حيث: x 17 . عيّن في كلّ حالة الأعداد الحقيقية
1 )3 x  2 )7 x  4 )5 2 x 
حيث: x مجموعة الأعداد الحقيقية K 65 . بفرض
3 x  1
على شكل مجال. K أكتب
67 . بالاستعانة بالحاسبة ب يّن إن كان العدد 7 أقرب
. من 5 أو من 3
. 3  5 و 2  قارن عندئذ 2
من أجل A أحسب ، A  3x  2  4x 63 . بفرض

22. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
45
على الترتيب من المستقيم العددي. 3 ، 0 ،  4
.MP و NP وMN أحسب المسافات
11 . أحسب المسافة بين كلّ عددين حقيقيين فيما
يلي:
3 و 9  ؛ 2 و 3 ؛  و 2 3 ؛ 5 و 11
16 . مثل على المستقيم العددي مجموعة الأعداد
الحقيقية حيث:
 x 1 )7 x  3 )5
على مستقيم عددي، M فاصلة نقطة x 12 . بفرض
أحسب المسافات الآتية:
3
1
؛ AM  x 
3
2
CM  x  2 ؛ BM  x 
. x   من أجل 3
15 . لحلّ كلّ من المعدلات أو المتراجحات الآتية
ترجم العلاقات الآتية في عبارات المسافة ، R في
ومثّل الوضعية على مستقيم عددي قبل
الاستخلاص.
؛ x 3  2
2
5
x  2  1 ؛ x 2 
علّم O; I  19 . على المستقيم المزود بالمعلم
و 5 على  ذات الفاصلتين 2 B و A النقطتين
نقطة M . AB منتصف J الترتيب والنقطة
. x متحركة فاصلتها
عيّن في كلّ حالة من الحالات الآتية موضع
عندما تحقق فاصلتها الشرط M ) )أو مواضع
المعين:
x  2  x  5  7 )7 x  2  x  5 )5
 x  2 x  5 )3
للحاسبة، أحسب abs 60 . باستعمال اللمسة
5 . قارن النتائج.  5 و 3  5 و 3   3
4,4721  20  69 . باستعمال الحصر 4,4722
أحصر كلا من الأعداد الآتية:
2
20
 20 ؛ 6  20 ؛ 10 20 ؛
. 1  a عدد حقيقي حيث 2 a .20
. x  3
المعرف بالشكل: A 68 . أحسب العدد
A  a  b  a 1  2 2  b
في الحالات الآتية:
)5
2
1
b  و 4 a  3 )7 a  b 
.b  و 3 a  2 )3
61 . ما هي القيمة المطلقة لكل من الأعداد:
2 ؛ 5  7 ؛  23 ؛ 5 )5 10
1

x2  عندما 9 x )7
66 . أحسب القيم المطلقة:
)3  2  )7 2  5 )5
5
4
 2 
)8
5
1
)1  0,4 
2
3
3 5
3
1
  
62 . أحسب القيم المطلقة:
  )5 2
 2 2 1 )7 2  3
  )8 2 6  2 5 )3 2
7  5
65 . برر المساويتين:
1 2 1 2 2 1 )5
2
    
4  2 3  1 3  3 1 )7
الحصر
ـــــــــــــــــــــــــ
في الحالات الآتية: x 25 . أعط حصرا للعدد
10,1  x  8  10,2 )5
 x  3 2,5 )7
  )3 2 5; 10 d x 
29 . عيّن حصرا لكلّ من محيط ومساحة قرص
. 2,1  r علما أنّ 2,2 ، r نصف قطره
.) cm )الوحدة
.3,14   يعطى 3,15

23. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
46
استنتج من هذا الحصر حصرا لكلّ من الأعداد
الآتية:
؛ 7  3a ؛ 5a  2 ؛ 2a 1
2 5
1
a 
. 2 b عدد حقيقي حيث 3 b .25
أعط حصرا للعدد
5
2 2  b
.
.1  a حيث 2 a يعطى أيضا عدد حقيقي
. b  2a أعط حصرا للعدد
27 . أحصر
2
1 A
.2,36  A علما أنّ 2,37
أحصر
10
5  2B
.3,16  B علما أنّ 3,17
1,7  و 3 1,8  2 1,4 23 . بفرض 1,5
B  2 3  3 2 ؛ A  2 3  أحصر: 3 2
عددان حقيقيان حيث: y و x .28
2,4  y 2,5 ؛ 1,2   x 1,3
xy ؛ 5x  4 y ؛ x  y ؛ x  y أحصر
y 3 ; 4 و x 2 ; 1 21 . بفرض
y2 ؛ x2 ؛ x  2y ؛ y  x أحصر
.25  z عدد حقيقي يحقق 36 z 26 . بفرض
أحصر
z
1
2 ؛
1
z
؛
z
1
5( عيّن باستعمال الحاسبة قيما عشرية مقربة .22
10 للأعداد:  بالزيادة وبالنقصان إلى 4
 sin 71 a  sin71 2 b
 cos 71 c  cos71 2 d
 sin 71 cos 71 2 2 e
و. 5 e 7( قارن العددين
في الحالات a 56 . أعط حصرا للعدد المجهول
الآتية:
.10 إلى 3 a 2,715 قيمة مقربة عشرية للعدد 
.10 إلى 4 a 3,1416 قيمة مقربة عشرية للعدد 
عدد صحيح. برهن أنّ: n 5( بفرض .52
1 2 n  p n  p 4 n 4 n معناه 1 2
حيث: n 7( استنتج ذهنيا قيمة
B و b مساحة شبه منحرف قاعدتاه A 50 . أحصر
حيث: h وارتفاعه
10  h 11 ؛ 29  B 30 ؛ 19 b 20
.) cm )الوحدة
r حجم مخروط نصف قطره V 55 . أحصر
؛ 3,14   علما أنّ: 3,15 h وارتفاعه
5,10  h 5,11؛ 3,530 r 3,531
.) cm )الوحدة
52cm 51 و 2 cm 57 . مثلث مساحته محصورة بين 2
.8,1 cm 7,9 و cm وقاعدته محصورة بين
أحصر الارتفاع الموافق.
ما يلي: x  a   53 . ترجم في الشكل
x4,1; 4,2  )7 x3 ; 5  )5
58 . ترجم في شكل حصر ما يلي:
x  5,4  0,1 )7 x  3  2 )5
51 . أنقل ثمّ أكمل الجدول التالي:
الحصر المجال المسافة القيمة
المطلقة
... ... d... ; ...... x.. .  2  x  6
x1;5 
2
7
2
3
;  



d x
2
3
2
5
x  
حيث  و L 95 . باستعمال صفيحة معدنية بعداها
يمكن أن نصنع نوعين من الأسطوانات  L
)الشكل( وذلك باللف
حسب الطول
أو العرض.
 و L 5( عبّر بدلالة
عن حجم كلّ من
الأسطوانتين.
7( قارن الحجمين.
محصور a الوتر . A مثلث قائم في ABC .97
)5(
(
)7(

24. أحمد الناجي أستاذ مادة الرياضيات
47
1 2 n  27 n 2
حيث: n 3( أوجد
1 2 n  3 000 n 2
مسائل
ــــــــــــــــــــــ
ABCD وقاعدته مربع S 55 . هرم منتظم رأسه
2,4 مدور ضلع المربع cm بفرض .O مركزه
حجم V بيّن أنّ ، SO 3,5 مدور الارتفاع cm و
. 6,72 ; 7,5  الهرم ينتمي إلى المجال
59 . هل يمكن تفريغ قارورة حليب مملوءة سعتها
r 1,8 في إناء أسطواني الشكل نصف قطره 
حيث: h وارتفاعه
8 r 8,1
و
8 h  8,1
) cm )الوحدة
. 3,14    اعتبر 3,15
90 . قارن المساحات الكلية لمتوازيات المستطيلات
الآتية:
.a و 5 cm وحدة الأطوال هي
محصور بين b طوله AC بين 3 و 3,1 والضلع
.) cm 1,5 و 1,6 . )الوحدة
5( أعط حصرا للضلع الثالث.
نقطة تقاطع الارتفاع المتعلق H 7( نسمي
. ABC في المثلث CB مع A بالرأس
بكيفيتين، برهن أنّ: ABC بكتابة مساحة المثلث
BC AH  AB AC
. AH 7( استنتج حصرا للطول
1 x 93 . الهدف هو حصر
عددا حقيقيا موجب تماما، نضع: x بفرض
؛ A  1 x
2
1
x
؛ B  
x
x
C   1
8
2
أكبر تماما من C و B و A 5( بيّن أنّ كلا من
.1
واستنتج أنّ: B و 2 A 7( قارن 2
2
1
x
 1 x 
3( بيّن أنّ:
 


 


    1
16.
1
4
2 2
2 2 x
x
x
C B
واستنتج أنّ: C و 2 B 8( قارن 2
2
1
x
1 x  
2 8
1
2 x x
  
تطبيق:
دون الاستعانة بحاسبة، أعط حصرا لعدد
. 1,000 2
a
a
a
a
5
5
a
a
5
  