γεωμετρια α λυκειου

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Επιμέλεια
Νίκος Κ. Ράπτης
Αναλυτική Θεωρία
360 Ασκήσεις

ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2

∎ Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει :
α) Τρεις κορυφές , τα σημεία Α , Β , Γ
β) Τρεις πλευρές , τα τμήματα ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ ή α , β , γ
γ) Τρεις γωνίες , τις ΒΑΓ� , ΑΒΓ� , ΑΓΒ� ή Α� , Β� , Γ�
Κύρια Στοιχεία Τριγώνου
Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου αποτελούν τα κύρια στοιχεία
του τριγώνου
∎ Τα είδη τριγώνου ως προς τις πλευρές του είναι :
α)
Είδη Τριγώνου
Σκαληνό , είναι το τρίγωνο που έχει όλες του τις πλευρές άνισες .
β) Ισοσκελές , είναι το τρίγωνο που έχει δύο πλευρές του ίσες .
γ) Ισόπλευρο , είναι το τρίγωνο που έχει όλες του τις πλευρές ίσες .
∎ Τα είδη τριγώνου ως προς τις γωνίες του είναι :
α) Οξυγώνιο , είναι το τρίγωνο που έχει όλες τις γωνίες του οξείες .
β) Αμβλυγώνιο , είναι το τρίγωνο που έχει μια γωνία αμβλεία .
γ) Ορθογώνιο , είναι το τρίγωνο που έχει μια γωνία ορθή . Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία ,
ονομάζεται υποτείνουσα και οι άλλες δύο πλευρές λέγονται κάθετες .
ΤΡΙΓΩΝΑ

Δευτερεύοντα Στοιχεία Τριγώνου
Διάμεσος : Λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς
Οι διάμεσοι που αντιστοιχούν στις πλευρές α , β , γ συμβολίζονται με μα , μβ , μγ .
Διχοτόμος : Λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με την απέναντι πλευρά και χωρίζει τη γωνία
της κορυφής σε δύο ίσες γωνίες .
Οι διχοτόμοι που αντιστοιχούν στις πλευρές α , β , γ συμβολίζονται με δα , δβ , δγ .
Ύψος : Λέγεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που φέρεται από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς
Τα ύψη που αντιστοιχούν στις πλευρές α , β , γ συμβολίζονται με υα , υβ , υγ .
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μια προς μια και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες , τότε είναι ίσα .
1ο Κριτήριο Ισότητας Τριγώνων Π-Γ-Π
ΑΒ = Α′Β′
ΑΓ = Α′Γ′
Α� = Α′�
Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο :
α) Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες .
β) Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος .
Ιδιότητες Ισοσκελών Τριγώνων
Απόδειξη
Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ , φέρνω τη διχοτόμο ΑΜ .
α) Θα αποδείξουμε ότι Β� = Γ� . Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΓΜ :
1. ΑΒ = ΑΓ , αφού το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές
2. ΑΜ κοινή πλευρά
3. Α1
� = Α2
� αφού η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας Α�
Οπότε από το 1ο Κριτήριο Ισότητας Τριγώνων(Π-Γ-Π) ,
τα τρίγωνα είναι ίσα , άρα όλα τα στοιχεία τους είναι ίσα , οπότε και Β� = Γ�
β) Αφού τα τρίγωνα είναι ίσα (ΑΒΜ = ΑΓΜ) ,τότε όλα τα στοιχεία τους
είναι ίσα , άρα και ΒΜ = ΜΓ , οπότε η ΑΜ είναι και διάμεσος .
Επίσης από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ότι και ΑΜΒ� = ΑΜΓ� και αφού ΑΜΒ� + ΑΜΓ� = 180°
ως
παραπληρωματικές γωνίες , θα είναι ΑΜΒ� = ΑΜΓ� = 90°
, άρα το ΑΜ είναι και ύψος .

Οι γωνίες ενός ισοπλεύρου τριγώνου είναι ίσες .
Ιδιότητα Ισοπλεύρων Τριγώνων
Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του.
Ιδιότητα Μεσοκάθετου Ευθυγράμμου Τμήματος
Απόδειξη
Αν Γ τυχαίο σημείο της μεσοκαθέτου (ε) ενός ευθυγράμμου
τμήματος ΑΒ , τότε θα αποδείξουμε ότι ΓΑ = ΓΒ .
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΓΜ και ΒΓΜ :
1) ΑΜ = ΜΒ αφού Μ μέσο του τμήματος ΑΒ
2) ΓΜ κοινή πλευρά
3) ΓΜΑ� = ΓΜΒ� = 90°
τα τρίγωνα είναι ίσα , άρα όλα τα στοιχεία τους είναι ίσα ,
άρα και ΓΑ = ΓΒ .
Αν δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα , τότε και οι χορδές τους είναι ίσες .
Ιδιότητα Τόξων Κύκλων
Απόδειξη
Αν τα τόξα ΑΒ και ΓΔ είναι ίσα θα αποδείξουμε και οι αντίστοιχες
χορδές ΑΒ και ΓΔ είναι ίσες . Φέρνουμε τις ακτίνες ΟΑ , ΟΒ , ΟΓ , ΟΔ .
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ :
1) ΟΑ = ΟΓ ως ακτίνες του ίδιου κύκλου
2) ΟΒ = ΟΔ ως ακτίνες του ίδιου κύκλου
3) ΑΟΒ� = ΓΟΔ� ως επίκεντρες γωνίες που βαίνουν στα
ίσα τόξα ΑΒ και ΓΔ .
άρα και ΑΒ = ΓΔ .
ΑΒΓ ισόπλευρο ⇔ Α� = Β� = Γ�

Αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μια προς μια , τότε τα τρίγωνα είναι
ίσα .
2ο Κριτήριο Ισότητας Τριγώνων Γ-Π-Γ
ΒΓ = Β′Γ′
Β� = Β′�
Γ� = Γ′�
Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία , τότε τα τρίγωνα είναι ίσα .
3ο Κριτήριο Ισότητας Τριγώνων Γ-Γ-Γ
ΑΒ = Α′Β′
ΑΓ = Α′Γ′
ΒΓ = Β′Γ′
Η διάμεσος ενός ισοσκελούς τριγώνου , που αντιστοιχεί στη βάση του , είναι και ύψος και διχοτόμος . .
Πόρισμα I
Απόδειξη
Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΜ διάμεσος .
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΓΜ :
1) ΑΒ = ΑΓ , αφού το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές
2) ΑΜ κοινή πλευρά
3) ΒΜ = ΜΓ αφού ΑΜ διάμεσος του τριγώνου
Οπότε από το 3ο Κριτήριο Ισότητας Τριγώνων(Π-Π-Π) , τα τρίγωνα είναι ίσα ,
άρα όλα τα στοιχεία τους είναι ίσα , άρα Α1
� = Α2
� οπότε ΑΜ διχοτόμος .
Επίσης από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ότι και ΑΜΒ� = ΑΜΓ� και
αφού ΑΜΒ� + ΑΜΓ� = 180°
ως παραπληρωματικές γωνίες ,
θα είναι ΑΜΒ� = ΑΜΓ� = 90°
, άρα το ΑΜ είναι και ύψος .

Κάθε σημείου που ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος ανήκει στη μεσοκάθετό του .
Πόρισμα II
Απόδειξη
Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και σημείο Μ για το οποίο
ισχύει ΜΑ = ΜΒ και Κ το μέσο του ΑΒ .
Αφού ΜΑ = ΜΒ , το τρίγωνο ΜΑΒ είναι ισοσκελές και αφού
η ΜΚ είναι διάμεσός του , η ΜΚ θα είναι και ύψος , άρα η ΜΚ
είναι η μεσοκάθετος του ΑΒ .
Αν ο χορδές δύο τόξων ενός κύκλου , μικρότερων του ημικυκλίου , είναι ίσες , τότε και τα τόξα είναι ίσα .
Πόρισμα III
Απόδειξη
Αν οι χορδές ΑΒ και ΓΔ είναι ίσες , συγκρίνουμε τα τρίγωνα
ΟΑΒ και ΟΓΔ :
1) ΟΑ = ΟΓ ως ακτίνες του ίδιου κύκλου
2) ΟΒ = ΟΔ ως ακτίνες του ίδιου κύκλου
3) ΑΒ = ΓΔ από υπόθεση
Οπότε από το 3ο Κριτήριο Ισότητας Τριγώνων(Π-Π-Π) ,
άρα ΑΟΒ� = ΓΟΔ� και αφού είναι επίκεντρες , θα είναι ίσα
και τα αντίστοιχα τόξα ΑΒ και ΓΔ .
Αν ο χορδές δύο τόξων ενός κύκλου , μεγαλύτερων του ημικυκλίου , είναι ίσες , τότε και τα τόξα είναι ίσα .
Πόρισμα IV
1) Δύο ορθογώνια τρίγωνα , που έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μια προς μια , είναι ίσα .
Κριτήρια Ισότητας Ορθογωνίων Τριγώνων

2) Δύο ορθογώνια τρίγωνα , που έχουν μια κάθετη πλευρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία ίσες μια προς
μια , είναι ίσα .
3) Δύο ορθογώνια τρίγωνα , που έχουν την υποτείνουσα και μια οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μια προς μια ίσες ,
τότε είναι ίσα .
4) Δύο ορθογώνια τρίγωνα , που έχουν την υποτείνουσα και μια κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μια προς μια ,
τότε είναι ίσα .
Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα , όταν έχουν :
∎ Δύο ομόλογες πλευρές τους μια προς μια ίσες .
∎ Μια πλευρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μια προς μια .
Ανακεφαλαίωση
Το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στην βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής .
Πόρισμα I

Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο
τόξο της . .
Πόρισμα II
Απόδειξη
Θεωρούμε μια χορδή ΑΒ και την κάθετη ΟΚ της ΑΒ , που τέμνει τον
κύκλο στο σημείο Μ .
Το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές (αφού ΟΑ = ΟΒ ως ακτίνες) , και
το τμήμα ΟΚ είναι ύψος του , τότε θα είναι και διάμεσος
και διχοτόμος .
Αφού ΟΚ διάμεσος , τότε Κ μέσο της ΑΒ , άρα η κάθετος
διχοτομεί την χορδή .
Αφού ΟΚ διχοτόμος θα είναι Ο�1 = Ο�2 , οι οποίες είναι επίκεντρες
στον κύκλο , άρα τα τόξα στα οποία βαίνουν ΑΜ και ΜΒ θα είναι ίσα.
Οπότε η κάθετος διχοτομεί και το τόξο της .
Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα .
Θεώρημα
Απόδειξη
ΟΡΘΟ :
θα αποδείξουμε ότι και τα αποστήματα ΟΚ και ΟΛ είναι ίσα .
Αν οι χορδές ΑΒ και ΓΔ είναι ίσες ,
Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΚΑ και ΟΛΓ :
1) ΟΑ = ΟΓ ως ακτίνες του κύκλου
2) ΑΚ = ΓΛ ως μισά των ίσων χορδών ΑΒ και ΓΔ .
Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΚΑ και ΟΛΓ είναι ίσα ,
οπότε ΟΚ = ΟΛ
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ :
τότε θα αποδείξουμε ότι και οι χορδές ΑΒ και ΓΔ είναι ίσες
Αν τα αποστήματα ΟΚ και ΟΛ είναι ίσα ,
Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΚΑ και ΟΛΓ :
1) ΟΑ = ΟΓ ως ακτίνες του κύκλου
2) ΟΚ = ΟΛ από υπόθεση
Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΚΑ και ΟΛΓ είναι ίσα ,
οπότε ΑΚ = ΓΛ ⇔
ΑΒ
2
=
ΓΔ
2
⇔ ΑΒ = ΓΔ

Ασκήσεις στα Τρίγωνα
1. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ , ΓΑ των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε τμήματα
ΑΔ = ΑΒ , ΑΕ = ΑΓ αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι ΒΕ = ΓΔ ( Σχολικό / 1 / Εμπέδωσης / σ.38 )
2. Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ και στις προεκτάσεις τους θεωρούμε
τμήματα ΒΚ = ΓΛ = ΑΜ . Να δείξετε ότι τι τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο ( Σχολικό / 2 / Εμπέδωσης / σ.38 )
3. Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι .
( Σχολικό / 3 / Εμπέδωσης / σ.38 )
4. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διχοτόμος της Α� στην οποία θεωρούμε τμήματα ΑΕ = ΑΒ και ΑΖ = ΑΓ .
Να αποδείξετε ότι ΑΓ�Ε = ΑΖ�Β . ( Σχολικό / 4 / Εμπέδωσης / σ.38 )
5. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ . Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών του ΒΑ , ΓΑ θεωρούμε ίσα τμήματα
ΑΔ , ΑΕ αντίστοιχα . Αν Μ το μέσο της βάσης ΒΓ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές .
( Σχολικό / 2 / Αποδεικτικές / σ.38 )
6. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και χορδή του ΑΒ . Προεκτείνουμε την ΑΒ και προς τα δύο άκρα , κατά ίσα τμήματα
ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ΟΓ�Α = ΟΔ�Β ( Σχολικό / 3 / Αποδεικτικές / σ.38 )
7. Στις ίσες πλευρές ΑΒ , ΑΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε αντίστοιχα τα τμήματα ΑΔ =
1
3
ΑΒ και
ΑΕ =
1
3
ΑΓ . Αν Μ το μέσο της ΒΓ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΜΕ είναι ισοσκελές . ( Τράπεζα Θεμάτων )
8. Στην προέκταση της διαμέσου ΑΔ τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε τμήμα ΔΕ = ΑΔ . Να αποδείξετε ότι :
α) ΕΓ = ΑΒ
β) τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΕΓ είναι ίσα .
9. Να αποδείξετε ότι τα μέσα ενός ισοσκελούς τριγώνου , σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο .
10. Έστω δύο ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Α΄Β΄Γ΄(Α΄Β΄ = Α΄Γ΄ ) .
α) Αν ισχύει ΑΒ = Α΄Β΄ και Α� = Α�΄ να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα .
β) Αν ισχύει ΑΓ = Α΄Γ΄ και Β� = Β�΄ να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα ( Τράπεζα Θεμάτων )
11. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ . Προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ κατά τμήμα ΑΔ = ΑΓ και την πλευρά ΓΑ κατά τμήμα
ΑΕ = ΑΒ . Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΕΔ είναι ίσα .
12. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) και η διχοτόμος του ΑΔ . Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ
κατά ίσα τμήματα ΒΕ και ΓΖ αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΓΔΖ είναι ίσα .
13. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) και Μ μέσο της ΒΓ . Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ
κατά ίσα τμήματα ΒΔ και ΓΕ αντίστοιχα. Αν Ζ είναι τυχαίο σημείο της ΑΜ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΖΔΕ
είναι ισοσκελές .
14. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) και Μ μέσο της ΒΓ . Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ
κατά ίσα τμήματα ΒΔ και ΓΕ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΒΕ = ΓΔ.
Ασκήσεις στο Κριτήριο Π-Γ-Π

15. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ). Στις ίσες πλευρές ΑΒ , ΑΓ παίρνουμε τα σημεία Δ , Ε αντίστοιχα
ώστε ΑΔ = ΑΕ . Αν Μ μέσο του ΔΕ , να δείξετε ότι :
α) το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές
β) η ΑΜ είναι διχοτόμος της Α�
16. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ). Στην προέκταση της πλευράς ΒΓ και προς τα δύο άκρα της ,
θεωρούμε τα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ = ΓΕ . Να αποδείξετε ότι :
α) Β�εξωτ . = Γ�εξωτ .
β) τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα .
γ) η διάμεσος ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ είναι και διάμεσος στο τρίγωνο ΑΔΕ ( Τράπεζα Θεμάτων )
17. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΚΑΒ (ΚΑ = ΚΒ ) και ΚΓ διχοτόμος της γωνίας Κ� . Στην προέκταση της ΒΑ
παίρνουμε σημείο Λ και στην προέκταση της ΑΒ παίρνουμε σημείο Μ , έτσι ώστε ΑΛ = ΒΜ . Να δείξετε ότι :
α) το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισοσκελές
β) η ΚΓ είναι διάμεσος του τριγώνου ΚΛΜ ( Τράπεζα Θεμάτων )
18. Δίνεται γωνία xO�y και η διχοτόμος της Οδ . Θεωρούμε σημείο Μ της Οδ και σημεία Α και Β στις ημιευθείες
Οx και Οy αντίστοιχα , τέτοια ώστε , ΟΑ = ΟΒ . Να αποδείξετε ότι :
α) ΜΑ = ΜΒ
β) Η Οδ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΜ�Β ( Τράπεζα Θεμάτων )
19. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) . Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών του ΒΑ , ΓΑ θεωρούμε
τα σημεία Ε και Δ έτσι ώστε ΑΔ = ΑΕ . Να αποδείξετε ότι :
α) ΒΕ = ΓΔ
β) ΒΔ = ΓΕ
γ) ΔΒ�Γ = ΕΓ�Β ( Τράπεζα Θεμάτων )
20. Σε μια χορδή ΑΒ ενός κύκλου κέντρου Ο παίρνουμε σημεία Γ και Δ για τα οποία είναι ΑΓ = ΒΔ .
Να αποδείξετε ότι ΑΟ�Γ = ΔΟ�Β . Τι είδους τρίγωνο είναι το ΟΓΔ ;
21. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ). Προεκτείνουμε την ΑΓ κατά ίσο τμήμα ΓΔ και την ΓΒ κατά ίσο
τμήμα ΒΕ . Να αποδείξετε ότι ΑΕ = ΒΔ
22. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) και οι διάμεσοί του ΒΜ και ΓΝ .
α) Να αποδείξετε ότι ΒΜ = ΓΝ
β) Προεκτείνουμε τις πλευρές ΒΑ και ΓΑ κατά ίσα τμήματα ΑΔ και ΑΕ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα
ΒΜΔ και ΓΝΕ είναι ίσα .
23. Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες .
24. Σε ένα κυρτό τετράπλευρο είναι ΑΒ = ΓΔ και Β� = Γ� . Να αποδείξετε ότι Α� = Δ�
25. Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε την διάμεσο ΑΜ κατά ίσο τμήμα ΜΔ . Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα
ΑΒΓ και ΒΓΔ είναι ίσα . ( Σχολικό / 3 / Εμπέδωσης / σ.43 )
Ασκήσεις στα Κριτήρια Γ-Π-Γ και Π-Π-Π

26. Στο διπλανό σχήμα η Οδ είναι η διχοτόμος
της γωνίας xO�y . Να αποδείξετε ότι :
α) τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΒΓ είναι ίσα.
β) η ΑΓ είναι κάθετη στην Οδ .
27. Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ έχουν β = β΄ , Α� = Α�΄ και δα = δα′ . Να αποδείξετε ότι :
α) Γ� = Γ�΄
β) α = α΄ και γ = γ΄ ( Σχολικό / 2 / Εμπέδωσης / σ.43 )
28. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ . Η μεσοκάθετη της πλευράς ΒΓ τέμνει την ΑΓ στο Δ και την προέκταση της ΒΑ
στο Ε . Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΕΔ και ΓΕΔ είναι ίσα .
29. Θεωρούμε δύο ίσα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ . Η διάμεσος ΑΜ και η διχοτόμος ΒΔ του ΑΒΓ τέμνονται στο Θ ,
ενώ η αντίστοιχη διάμεσος Α΄Μ΄ και η διχοτόμος Β΄Δ΄ του Α΄Β΄Γ΄ τέμνονται στο Θ΄. Να αποδείξετε ότι :
α) ΒΔ = Β΄Δ΄
β) ΒΑ�Μ = Β΄Α�΄Μ΄
γ) τα τρίγωνα ΑΒΘ και Α΄Β΄Θ΄ είναι ίσα
δ) ΑΘ = Α΄Θ΄ και ΘΔ = Θ΄Δ΄ ( Σχολικό / 1 / Σύνθετα Θέματα / σ.43 )
30. Αν για το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) του διπλανού
σχήματος ισχύουν α� = β� και γ� = δ� , να αποδείξετε ότι :
α) τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΑΕΓ είναι ίσα .
β) το τρίγωνο ΓΕΒ είναι ισοσκελές
γ) η ευθεία ΑΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΒΓ
( Τράπεζα Θεμάτων )
31. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) και Κ εσωτερικό σημείο του τριγώνου τέτοιο ώστε ΚΒ = ΚΓ .
Να αποδείξετε ότι :
α) τα τρίγωνα ΒΑΚ και ΚΑΓ είναι ίσα
β) η ΑΚ είναι η διχοτόμος της γωνίας ΒΑ�Γ
γ) η προέκταση της ΑΚ διχοτομεί τη γωνία ΒΚ�Γ ( Τράπεζα Θεμάτων )
32. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ , ΓΑ των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε τμήματα
ΑΔ = ΑΒ , ΑΕ = ΑΓ αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι :
α) τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα .
β) η προέκταση της διαμέσου ΑΜ προς την κορυφή Α διχοτομεί την πλευρά ΔΕ του τριγώνου ΔΑΕ
33. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) και Μ εσωτερικό σημείο του τριγώνου τέτοιο ώστε ΜΒ = ΜΓ .
α) τα τρίγωνα ΒΑΜ και ΜΑΓ είναι ίσα
β) η ΑΜ είναι η διχοτόμος της γωνίας ΒΜ�Γ ( Τράπεζα Θεμάτων )

34. Να αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του είναι ίσα.
35. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) και τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ . Να αποδείξετε ότι :
α) τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΓΕΒ είναι ίσα β) ΑΔ = ΑΕ ( Τράπεζα Θεμάτων )
36. Να αποδείξετε ότι τα μέσα των ίσων πλευρών ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχουν :
α) από την βάση β) από τις ίσες πλευρές ( Σχολικό / 2 / Εμπέδωσης / σ.48 )
37. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) και οι διχοτόμοι του ΒΔ και ΓΕ . Να αποδείξετε ότι τα σημεία
Δ και Ε ισαπέχουν από τη βάση ΒΓ .
38. Να αποδείξετε ότι τα άκρα ενός τμήματος ισαπέχουν από κάθε ευθεία που διέρχεται από το μέσο του
39. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ , να αποδείξετε ότι οι κορυφές Β και Γ ισαπέχουν από τη διάμεσο ΑΜ .
40. Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα , να αποδείξετε ότι και τα ύψη τους που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές είναι ίσα
41. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) και Μ μέσο της ΑΒ . Προεκτείνουμε την ΑΓ κατά τμήμα
ΓΝ =
ΑΓ
2
. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ και Ν ισαπέχουν από την ευθεία ΒΓ .
42. Δίνεται οξυγώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ , με βάση ΒΓ και τα ύψη ΒΔ και ΓΕ
α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές
β) Αν τα ΒΔ και ΓΕ τέμνονται στο Μ , να αποδείξετε ότι η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας Α�
43. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Α� = 900
) και η διχοτόμος της γωνίας του Γ� , η οποία τέμνει την πλευρά ΑΒ
στο Δ . Από το Δ φέρουμε ΔΕ κάθετη στην ΒΓ . Να αποδείξετε ότι :
α) τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΔΓΕ είναι ίσα .
β) η ευθεία ΓΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΕ ( Τράπεζα Θεμάτων )
44. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) και Μ το μέσο της βάσης του ΒΓ . Να αποδείξετε ότι :
α) το Μ ισαπέχει από τις ίσες πλευρές του τριγώνου
β) η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζουν οι αποστάσεις του Μ από τις ίσες πλευρές μεταξύ τους .
45. Να αποδείξετε ότι αν σε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α’Β’Γ’ είναι α = α′
, υα = υα′ , μα = μα′
τότε τα τρίγωνα είναι ίσα ( Σχολικό / 2 / Αποδεικτικές / σ.48 )
46. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ . Φέρνουμε ΒΕ κάθετη στην ΑΔ , η οποία τέμνει την ΑΓ
στο Ζ . Να αποδείξετε ότι :
α) ΑΒ = ΑΖ β) το τρίγωνο ΒΔΖ είναι ισοσκελές
47. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Α� = 900
) και η διχοτόμος του ΒΔ. Από το Δ φέρουμε ΔΕ κάθετη στην ΒΓ , που
τέμνει την ΑΒ στο Ζ . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΓΖ είναι ισοσκελές ( Σχολικό / 4 / Αποδεικτικές / σ.48 )
48. Δίνεται κύκλος (Ο , R), οι ίσες χορδές του ΑΒ, ΓΔ και τα αποστήματά τους ΟΚ και ΟΛ αντίστοιχα. Αν οι
προεκτάσεις των ΒΑ και ΔΓ τέμνονται στο Μ , να αποδείξετε ότι :
α) τα τρίγωνα ΜΟΚ και ΜΟΛ είναι ίσα
β) ΜΑ = ΜΓ και ΜΒ = ΜΔ ( Σχολικό / 5 / Αποδεικτικές / σ.48 )
Ασκήσεις στα Κριτήρια Ορθογωνίων

49. Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ κατά ίσο τμήμα ΜΔ . Να αποδείξετε ότι :
α) τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΜΓΔ είναι ίσα
β) τα σημεία Α και Δ ισαπέχουν από την πλευρά ΒΓ . ( Τράπεζα Θεμάτων )
50. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) και Μ το μέσο της βάσης του ΒΓ . Φέρνουμε τις αποστάσεις
ΜΔ και ΜΕ του σημείου Μ από τις ίσες πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ . Να αποδείξετε ότι :
α) ΜΔ = ΜΕ β) το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές ( Τράπεζα Θεμάτων )
51. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) και Μ το μέσο της βάσης του ΒΓ . Φέρνουμε τις αποστάσεις
ΜΚ και ΜΛ του σημείου Μ από τις ίσες πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ . Να αποδείξετε ότι :
α) ΜΚ = ΜΛ β) η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΚΜ�Λ ( Τράπεζα Θεμάτων )
52. Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια κάθετη πλευρά ίση και η περίμετρος του ενός είναι ίση με την περίμετρο
του άλλου , τότε τα τρίγωνα είναι ίσα . ( Σχολικό / 1 / Σύνθετα Θέματα / σ.48 )

∎ Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμιά από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου .
Σχέση Εξωτερικής και Απέναντι Γωνίας
Στο παραπάνω σχήμα ισχύουν οι σχέσεις :
Α�εξωτ > Β� και Α�εξωτ > Γ�
Β�εξωτ > Α� και Β�εξωτ > Γ�
Γ�εξωτ > Β� και Γ�εξωτ > Α� .
∎ Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοιες άνισες γωνίες και το αντίστροφο .
Ανισοτικές Σχέσεις Πλευρών και Γωνιών
Πορίσματα
1) Αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ορθή ή αμβλεία , τότε η απέναντι πλευρά της είναι η μεγαλύτερη πλευρά του
τριγώνου .
2) Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες , τότε είναι ισοσκελές .
3) Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρείς γωνίες του ίσες , τότε είναι ισόπλευρο .
∎ Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη
Τριγωνική Ανισότητα
από την διαφορά τους
Ισχύει : β − γ < α < β + γ .
ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και τις περιεχόμενες γωνίες άνισες , τότε και οι τρίτες πλευρές θα είναι
όμοια άνισες και αντίστροφα.
Εφαρμογή
∎ Αν από σημείο Α , εκτός ευθείας (ε) , φέρουμε προς την (ε) την
Κάθετες και Πλάγιες
κάθετο (δ) και την πλάγια (η) που τέμνουν
στα Μ και Β αντίστοιχα ,
τότε το Μ ονομάζεται προβολή του Α πάνω στην (ε) ή
ίχνος της καθέτου και το Β ονομάζεται ίχνος της (η) πάνω στην (ε) .

1. Στο διπλανό σχήμα είναι Β�1 > Γ�1 .
Να αποδείξετε ότι Β�1 > 90°
2. Αν Μ σημείο της βάσης ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ , να δείξετε ότι : ΑΜ < ΑΒ
3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Α� = 90°
) η διχοτόμος της γωνίας Γ� τέμνει την πλευρά ΑΒ στο Δ .
Να αποδείξετε ότι ΑΔ < ΔΒ ( Σχολικό / 6 / Εμπέδωσης / σ.63 ) ( Τράπεζα Θεμάτων )
4. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει μα <
α
2
να αποδείξετε ότι Α� > Β� + Γ� . Τι ισχύει όταν μα >
α
2
ή μα =
α
2
;
5. Στο διπλανό σχήμα , η ΑΔ είναι η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ και Ε είναι
σημείο στην προέκτασης της ΑΔ , ώστε ΔΕ = ΑΔ .
α) ΑΒ = ΓΕ
β) ΑΔ <
ΑΒ + ΑΓ
2
6. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία την Α .
Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας της Β� , η ΔΕ είναι κάθετη στην ΒΓ και η γωνία
Γ� είναι μικρότερη της γωνίας Β� . Να αποδείξετε ότι :
α) ΑΔ = ΔΕ
β) ΑΔ < ΔΓ
γ) ΑΓ > ΑΒ ( Τράπεζα Θεμάτων )
7. Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει περίμετρο 23 . Αν είναι ΑΒ = 2x + 2 , ΑΓ = x + 3 και ΒΓ = 3x . Να διατάξετε τις γωνίες
του τριγώνου ΑΒΓ από την μικρότερη στη μεγαλύτερη .
8. Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει περίμετρο 15 . Αν είναι ΑΒ = x , ΑΓ = 2x − 2 και ΒΓ = 2x − 3 . Να διατάξετε τις γωνίες
του τριγώνου ΑΒΓ από την μικρότερη στη μεγαλύτερη .
9. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ . Αν οι διχοτόμοι των γωνιών Β� και Γ� τέμνονται στο σημείο Δ
να αποδείξετε ότι ΔΒ < ΔΓ
Ανισοτικές Σχέσεις σε ένα Τρίγωνο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ

10. Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούμε τυχαίο σημείο Ρ στην πλευρά ΒΓ . Να δείξετε ότι ΓΡ < ΑΡ
11. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ , το ύψος του ΑΔ και σημείο Ε του τμήματος ΓΔ . Να αποδείξετε ότι :
α) ΑΒ > ΒΔ
β) ΑΓ > ΓΕ
12. Στον διπλανό κύκλο κέντρου Ο το σημείο Μ βρίσκεται μεταξύ
των σημείων Α και Ο .
Να αποδείξετε ότι ΜΒ < ΜΑ
13. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ , τυχαίο σημείο Δ της πλευράς ΑΓ και τυχαίο σημείο Ε του τμήματος ΒΔ .
Να αποδείξετε ότι ΒΕ�Γ > Α�
14. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ .
α) Να αποδείξετε ότι Β�εξωτ . < Γ�εξωτ .
β) Αν οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών Β και Γ τέμνονται στο Δ , να αποδείξετε ότι ΔΒ > ΔΓ
15. Αν σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ = ΒΓ και Α� = Γ� , να αποδείξετε ότι ΑΔ = ΓΔ.
Τι συμπεραίνετε για την ΒΔ ; ( Σχολικό / 2 / Εμπέδωσης / σ.63 )
16. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ο εσωτερικό σημείο του τριγώνου . Οι ΒΟ και ΓΟ τέμνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα Λ και Μ
αντίστοιχα . Αν ισχύει ότι ΒΟ = ΓΟ και ΟΛ = ΟΜ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές .
17. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) και Κ , Λ τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα .
Να αποδείξετε ότι αν οι εξωτερικοί διχοτόμοι των γωνιών Β� και Γ� τέμνονται στο σημείο Δ , τότε το
τρίγωνο ΔΚΛ είναι ισοσκελές . ( Σχολικό / 8 / Εμπέδωσης / σ.63 )
18. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) και Ι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών Β� και Γ� .
α) το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές
β) η ΑΙ είναι η διχοτόμος της Α� ( Σχολικό / 9 / Εμπέδωσης / σ.63 )
19. Στο διπλανό σχήμα ισχύει ότι ΑΒ = ΓΔκαι ΑΓ = ΒΔ
α) το τρίγωνο ΙΒΓ είναι ισοσκελές
β) τα τρίγωνα ΑΒΙ και ΓΔΙ είναι ίσα .
Ισοσκελή Τρίγωνα

20. Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ για το οποίο ισχύει ΒΑ = ΒΓ και Α� = Γ�
α) ΒΑ�Γ = ΒΓ�Α
β) το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές
γ) η ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ ( Τράπεζα Θεμάτων )
21. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) και Ι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών Β� και Γ� .
α) το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές
β) οι γωνίες ΑΙ̂Γ και ΑΙ̂Β είναι ίσες
γ) η ευθεία ΑΙ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΒΓ ( Τράπεζα Θεμάτων )
22. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Α� = 90°
) και από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ φέρουμε κάθετα τμήματα
ΜΔ και ΜΕ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι :
α) αν ΜΔ = ΜΕ τότε τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα , καθώς και το ΑΒΓ είναι ισοσκελές .
β) αν ΑΒ = ΑΓ , τότε ΜΔ = ΜΕ ( Τράπεζα Θεμάτων )
23. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) και τις διαμέσους του ΒΚ και ΓΛ οι οποίες τέμνονται στο Θ .
α) οι διάμεσοι ΒΚ και ΓΛ είναι ίσες .
β) τα τρίγωνα ΑΒΘ και ΑΓΘ είναι ίσα . ( Τράπεζα Θεμάτων )
24. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και Μ μέσο της ΒΓ . Να αποδείξετε ότι : AΜ�Γ > 𝛢𝛢Μ�Β
25. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και Δ ένα σημείο της διαμέσου του ΑΜ . Να αποδείξετε ότι :
α) AΜ�Γ > ΑΜ�Β
β) ΒΔ < ΓΔ
26. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ , Ε των πλευρών ΑΒ , ΑΓ αντίστοιχα ώστε ΒΔ = ΓΕ . Να δείξετε ΔΕ < ΒΓ
27. Να εξετάσετε αν υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές :
α) α = 3 , β = 5 , γ = 9
β) α = 4 , β = 6 , γ = 8
28. Να εξετάσετε αν υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α =
7γ
5
και β =
γ
3
29. Να αποδείξετε ότι κάθε χορδή ενός κύκλου , που δεν διέρχεται από το κέντρο του , είναι μικρότερη από την
διάμετρο του κύκλου .
30. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ , προεκτείνουμε τη ΒΑ κατά τμήμα ΑΔ και την ΓΑ κατά τμήμα ΑΕ .
Να αποδείξετε ότι ΒΔ + ΓΕ > ΒΓ + ΔΕ
31. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε ένα σημείο Δ στην πλευρά ΒΓ . Από το Δ φέρνουμε καθέτους στις πλευρές
του ΑΒ και ΑΓ , οι οποίες τις τέμνουν στα Ε και Ζ αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι ΕΖ < ΒΓ
Ανισοτικές Σχέσεις σε δύο Τρίγωνα
Τριγωνική Ανισότητα

∎ Θεωρούμε έναν κύκλο (Κ , ρ) , μια ευθεία (ε) και την απόσταση δ = ΚΜ , δηλαδή την απόσταση του κέντρου
από την ευθεία (ε)
Σχετικές Θέσεις Ευθείας – Κύκλου
1) Η ευθεία (ε) είναι εξωτερική του κύκλου ( κανένα κοινό σημείο ) αν και μόνο αν δ > ρ .
2) Η ευθεία (ε) εφάπτεται του κύκλου ( ένα κοινό σημείο ) αν και μόνο αν δ = ρ .
3) Η ευθεία (ε) τέμνει τον κύκλο ( δύο κοινά σημεία ) αν και μόνο αν δ < 𝜌𝜌 .
Παρατηρήσεις
α) Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτόμενη .
β) Η εφαπτόμενη του κύκλου σε κάθε σημείο του είναι μοναδική .
γ) Μια ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία .
Εφαπτόμενα Τμήματα
Από το σημείο Μ φέρνουμε δύο εφαπτομένες
που τέμνουν τον κύκλο στα σημεία Α και Α′
.
Τα ευθύγραμμα τμήματα ΜΑ και ΜΑ′
λέγονται
εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου από το σημείο Μ
και η ευθεία ΜΟ λέγεται διακεντρική ευθεία
του σημείου Μ .
ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ

Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους .
Θεώρημα
Απόδειξη
Θα αποδείξουμε ότι ΡΑ = ΡΒ .
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΡΟΑ , ΡΟΒ :
1) ΡΟ κοινή πλευρά
2) Α� = Β� = 90°
αφού η ακτίνα που καταλήγει στο
σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτόμενη .
3) ΟΑ = ΟΒ ως ακτίνες του κύκλου
Οπότε από το 1ο Κριτήριο Ισότητας Τριγώνων
(Π-Γ-Π) , τα τρίγωνα είναι ίσα ,
άρα όλα τα στοιχεία τους είναι ίσα , άρα και ΡΑ = ΡΒ
Παρατηρήσεις
α) Η διακεντρική ευθεία είναι μεσοκάθετος της χορδής του κύκλου με άκρα τα σημεία επαφής .
β) Η διακεντρική ευθεία διχοτομεί την γωνία των εφαπτόμενων τμημάτων και την γωνία των ακτίνων που
καταλήγουν στα σημεία επαφής .

1. Αν έχουμε δύο ομόκεντρους κύκλους , να εξηγήσετε γιατί όλες οι χορδές του μεγάλου κύκλου που εφάπτονται
στον μικρό κύκλο είναι ίσες . ( Σχολικό / 1 / Εμπέδωσης / σ.69 )
2. Δίνεται κύκλος (Ο , ρ) , μια διάμετρός του ΑΒ και οι εφαπτόμενες ε1 , ε2 του κύκλου στα Α , Β . Αν μια Τρίτη
εφαπτομένη του κύκλου ε τέμνει τις ε1 , ε2 στα Γ , Δ να δείξετε ΓΟ�Δ = 90°
3. Να αποδείξετε ότι δύο σημεία μιας εφαπτομένης κύκλου , τα οποία ισαπέχουν από το σημείο επαφής , απέχουν
ίση απόσταση από τον κύκλο . ( Σχολικό / 1 / Αποδεικτικές / σ.69 )
4. Από σημείο Μ εξωτερικό του κύκλου ( Ο , R) φέρουμε τις εφαπτομένες ΜΑ , ΜΒ του κύκλου . Προεκτείνουμε
το ΟΒ κατά ίσο τμήμα ΒΓ . Να αποδείξετε ότι ΑΜ�Β = 3ΒΜ�Γ ( Σχολικό / 2 / Αποδεικτικές / σ.69 )
5. Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ . Σε σημείο Ν του κύκλου φέρουμε
την εφαπτόμενη του , και εκατέρωθεν του Ν θεωρούμε σημεία Α και Β
τέτοια , ώστε ΝΑ = ΝΒ .
Οι ΟΑ και ΟΒ τέμνουν τον κύκλο στα Κ και Λ αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι :
α) το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισοσκελές
β) το σημείο Ν είναι το μέσο του τόξου ΚΛ ( Τράπεζα Θεμάτων )
6. Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο , ρ)
φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ .
Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του
ευθυγράμμου τμήματος ΟΡ , να αποδείξετε ότι :
α) τα τρίγωνα ΡΑΜ και ΡΒΜ είναι ίσα .
β) οι γωνίες ΜΑ�Ο και ΜΒ�Ο είναι ίσες . ( Τράπεζα Θεμάτων )
7. Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ .
Από σημείο Α εκτός του κύκλου , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΑΒ και ΑΓ
Τα σημεία Ε και Δ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία των Β και Γ αντίστοιχα .
α) τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι ίσα
β) τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα ( Τράπεζα Θεμάτων )
ΑΣΚΗΣΕΙΣ

8. Θεωρούμε κύκλο κέντρου Ο και εξωτερικό σημείο του Ρ . Από το Ρ φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα
ΡΑ και ΡΒ . Η διακεντρική ευθεία ΡΟ τέμνει τον κύκλο στο σημείο Λ . Η εφαπτόμενη του κύκλου στο Λ τέμνει
τα ΡΑ και ΡΒ στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι :
α) το τρίγωνο ΡΓΔ είναι ισοσκελές
β) ΓΑ = ΔΒ
γ) η περίμετρος του τριγώνου ΡΓΔ είναι ίση με ΡΑ+ ΡΒ ( Τράπεζα Θεμάτων )
9. Θεωρούμε κύκλο κέντρου Ο και εξωτερικό σημείο του Μ . Από το Μ φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα
ΜΑ και ΜΒ . Προεκτείνουμε τα ΜΑ και ΜΒ κατά ίσα τμήματα ΑΓ και ΒΔ . Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΜΟ είναι
μεσοκάθετη του ευθυγράμμου τμήματος ΓΔ .
10. Στο διπλανό σχήμα οι ΑΓ , ΑΕ και ΓΔ είναι εφαπτόμενες του κύκλου
με κέντρο το Ο .
α) ΑΕ + ΓΔ = ΑΓ
β) ΑΔ + ΕΓ < 3𝛢𝛢𝛢𝛢
11. Στο διπλανό σχήμα τα ΜΑ , ΜΒ , ΜΓ είναι εφαπτόμενα τμήματα των δύο
κύκλων . Να αποδείξετε ότι ΜΑ = ΜΓ
12. Στο διπλανό σχήμα η ΔΕ εφάπτεται του κύκλου κέντρου Ο στο σημείο Α .
Αν ΑΔ = ΑΕ , να αποδείξετε ότι ΓΔ = ΒΕ

∎ Θεωρούμε δύο κύκλους (O1 , R1) , (O2 , R2) .Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα κέντρα των δύο κύκλων
ονομάζεται
Σχετική Θέση Δύο Κύκλων
διάκεντρος
1)
και συμβολίζεται με δ .
Κύκλοι χωρίς κανένα κοινό σημείο
α) Ο κύκλος με ακτίνα R1 βρίσκεται εξωτερικά του κύκλου με ακτίνα R2 αν και μόνο αν ισχύει δ > R1 + R2
β) Ο κύκλος με ακτίνα R2 βρίσκεται εσωτερικά του κύκλου με ακτίνα R1 αν και μόνο αν ισχύει δ < R1 − R2
2)
α) Ο κύκλος με ακτίνα R2 εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου με ακτίνα R1 αν και μόνο αν ισχύει δ = R1 − R2
β) Ο κύκλος με ακτίνα R1 εφάπτεται εξωτερικά του κύκλου με ακτίνα R2 αν και μόνο αν ισχύει δ = R1 + R2
Κύκλοι με ένα κοινό σημείο (Εφαπτόμενοι Κύκλοι)
3)
Οι κύκλοι τέμνονται αν και μόνο αν R1 − R2 <δ < R1 + R2 .
Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που ενώνει τα κοινά σημεία των δύο κύκλων λέγεται
Κύκλοι με δύο κοινά σημεία ( Τεμνόμενοι Κύκλοι )
κοινή χορδή των δύο κύκλων .
Η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής τους .
Στην περίπτωση που οι κύκλοι είναι ίσοι τότε η κοινή χορδή είναι η μεσοκάθετος της διακέντρου .
ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ

1. Να προσδιορισθούν οι σχετικές θέσεις των κύκλων (Κ , ρ) και (Λ , 2ρ) αν :
α) ΚΛ =
ρ
2
β) ΚΛ = ρ γ) ΚΛ = 2ρ δ) ΚΛ = 3ρ ε) ΚΛ = 4ρ ( Σχολικό / 1 / Εμπέδωσης / σ.71 )
2. Δίνονται δύο κύκλοι (Κ , 3) και (Λ , 5) . Να βρείτε το μήκος της διακέντρου των δύο κύκλων αν αυτοί :
α) εφάπτονται εξωτερικά
β) εφάπτονται εσωτερικά
3. Δίνονται δύο κύκλοι (Κ , 4) και (Λ , 7) . Να βρείτε τη σχετική θέση των δύο κύκλων , όταν :
α) δ = 13 β) δ = 11 γ) δ = 6 δ) δ = 3 ε) δ = 1
4. Στο διπλανό σχήμα οι κύκλοι με κέντρα Κ , Λ και Μ
εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο . Επίσης οι κύκλοι με κέντρα Λ και Μ είναι ίσοι .
Αν Α , Β , Γ είναι τα σημεία επαφής , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ
είναι ισοσκελές .
5. Δίνονται δύο ίσοι κύκλοι (Κ , ρ) και (Λ , ρ) με ΚΛ > 2ρ . Έστω Μ σημείο της
μεσοκάθετης της διακέντρου ΚΛ . Να αποδείξετε ότι από το Μ άγονται ίσα εφαπτόμενα τμήματα
προς τους δύο κύκλους .
6. Δύο κύκλοι με κέντρα Κ και Λ εφάπτονται εξωτερικά στο λσημείο Α . Μια κοινή εξωτερική εφαπτομένη (ε)
των δύο κύκλων εφάπτεται στους δύο κύκλους στα σημεία Β και Γ . Αν η κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο
κύκλων τέμνει την (ε) στο Μ ,να αποδείξετε ότι :
α) το Μ είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΒΓ
β) ΚΜ�Λ = 90°
7. Να αποδείξετε ότι αν τρεις ίσοι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο , τότε τα σημεία επαφής αποτελούν
κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου .
8. Δίνονται δύο ίσοι κύκλοι (Κ , ρ) και (Λ , ρ) με ΚΛ > 2𝜌𝜌 . Μια τυχαία ευθεία διέρχεται από το μέσο Μ της
διακέντρου ΚΛ και τέμνει τον κύκλο (Κ , ρ) στα σημεία Α ,Β και τον κύκλο (Λ , ρ) στα σημεία Γ , Δ .
Να αποδείξετε ότι ΑΒ = ΓΔ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών , οι οποίες βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο , είναι :
Σχετική Θέση Δύο Ευθειών
α) Ταυτίζονται
β) Τέμνονται , έχουν δηλαδή ένα κοινό σημείο
γ) Δεν τέμνονται . Στην περίπτωση αυτή οι ευθείες δεν έχουν κανένα κοινό σημείο και λέγονται παράλληλες .
Για να δηλώσουμε ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες γράφουμε ε1 ∥ ε2
Ας θεωρήσουμε δύο ευθείες ε1 , ε2 του
επιπέδου οι οποίες τέμνονται από μια
τρίτη ευθεία ε3 .
Τέμνουσα δύο Ευθειών
Παρατηρούμε ότι σχηματίζονται οκτώ
γωνίες .
α) Οι γωνίες γ , δ , ε , ζ λέγονται εντός .
β) Οι γωνίες α , β , η , θ λέγονται εκτός .
γ) Δύο γωνίες που βρίσκονται προς το ίδιο
μέρος της τέμνουσας ε3 λέγονται επί τα
αυτά μέρη .
δ) Δύο γωνίες που βρίσκονται εκατέρωθεν της τέμνουσας ε3 λέγονται εναλλάξ .
ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες , τότε είναι παράλληλες .
Θεώρημα Ύπαρξης Παραλλήλων
Απόδειξη
Έστω ότι ω = φ . Αν οι ευθείες ε1 , ε2 δεν είναι
παράλληλες , τότε θα τέμνονται σε ένα σημείο Γ .
Η γωνία φ τότε θα είναι εξωτερική του τριγώνου ΑΒΓ
άρα θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την απέναντι
εσωτερική ω .
Αυτό όμως είναι άτοπο αφού έχουμε υποθέσει ω = φ
Άρα ε1 ∥ ε2 .
Πορίσματα
1) Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο εντός , εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες ή δύο
εντός και επί τα αυτά μέρη παραπληρωματικές , τότε είναι παράλληλες .
2) Δύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία , σε διαφορετικά σημεία της , είναι μεταξύ τους παράλληλες .
Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μια μόνο παράλληλη προς αυτή .
Αίτημα Παραλληλίας
Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη , σχηματίζουν :
α) τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες
β) τις εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες
γ) τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές .
Ιδιότητες Παραλλήλων Ευθειών
Προτάσεις
1) Αν δύο διαφορετικές ευθείες είναι παράλληλες προς μια τρίτη ευθεία , τότε είναι και μεταξύ τους παράλληλες .
2) Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες και μια τρίτη ευθεία τέμνει τη μια από αυτές , τότε θα τέμνει και την άλλη .
3) Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε μια από τις δύο παράλληλες ευθείες , τότε θα είναι κάθετη και στην άλλη .
4) Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα
μικρότερο από δύο ορθές , τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες .
Αν δύο γωνίες έχουν τις πλευρές τους παράλληλες μια προς μια , τότε :
α) είναι ίσες αν και οι δύο γωνίες είναι οξείες ή αμβλείες
β) είναι παραπληρωματικές αν η μια είναι οξεία και η άλλη είναι αμβλεία .
Γωνίες με πλευρές Παράλληλες

Αξιοσημείωτοι Κύκλοι Τριγώνου
Ο Περιγεγραμμένος Κύκλος
α) Ο κύκλος που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου , λέγεται
περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου .
β) Οι τρεις μεσοκάθετοι των πλευρών ενός τριγώνου διέρχονται
από το ίδιο σημείο , το οποίο είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου
κύκλου του τριγώνου .
γ) Το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών ενός τριγώνου
, λέγεται περίκεντρο
Ο Εγγεγραμμένος Κύκλος
α) Ο κύκλος που βρίσκεται στο εσωτερικό ενός τριγώνου και
εφάπτεται των πλευρών του , λέγεται εγγεγραμμένος κύκλος
του τριγώνου .
β) Οι διχοτόμοι των γωνιών τριγώνου διέρχονται από το ίδιο
σημείο το οποίο είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του
τριγώνου .
γ) Το σημείο τομής των διχοτόμων λέγεται έγκεντρο .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και ευθεία ε παράλληλη προς τη βάση του ΒΓ , που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ
στα Δ και Ε αντίστοιχα . Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές . ( Σχολικό / 1 / Εμπέδωσης / σ.87 )
2. Δίνεται γωνία xO�y και σημείο Α της διχοτόμου της . Αν η παράλληλη από το Α προς την Ox τέμνει την Oy
στο Β , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές . ( Σχολικό / 2 / Εμπέδωσης / σ.87 )
3. Δίνεται γωνία xO�y και η διχοτόμος της ΟΔ . Από σημείο Α της Oy φέρνουμε παράλληλη προς την ΟΔ που τέμνει
την προέκταση της Ox στο Β . Να αποδείξετε ότι ΟΑ = ΟΒ ( Σχολικό / 3 / Εμπέδωσης / σ.87 )
4. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και η διάμεσός του ΑΜ . Φέρνουμε Γx ⊥ ΒΓ προς το ημιεπίπεδο που
δεν ανήκει το Α και παίρνουμε σε αυτή τμήμα ΓΔ = ΑΒ . Να αποδείξετε ότι η ΑΔ είναι η διχοτόμος της ΜΑ�Γ
5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διχοτόμος του . Από την κορυφή Β φέρνουμε ΒΕ παράλληλη στην ΑΔ που τέμνει
την προέκταση της ΓΑ στο Ε . Να δείξετε ότι : ΕΓ = ΑΒ + ΑΓ ( Σχολικό / 2 / Αποδεικτικές / σ.87 )
6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και η εξωτερική του διχοτόμος Αx . Από την κορυφή Β φέρνουμε ΒΔ ∥ Αx
που τέμνει την ΑΓ στο Δ . Να δείξετε ότι : ΔΓ = ΑΓ − ΑΒ ( Σχολικό / 3 / Αποδεικτικές / σ.88 )
7. Από το έγκεντρο Ι , τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε ευθεία παράλληλη της ΒΓ που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία
Δ και Ε αντίστοιχα . Να δείξετε ότι : ΔΕ = ΒΔ + ΓΕ ( Σχολικό / 4 / Αποδεικτικές / σ.88 )
8. Από το έγκεντρο Ι , τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε ΙΔ ∥ ΑΒ και ΙΕ ∥ ΑΓ . Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του
τριγώνου ΔΙΕ ισούται με τη ΒΓ . ( Σχολικό / 5 / Αποδεικτικές / σ.88 )
9. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) , ΑΔ η διχοτόμος του και ευθεία ε παράλληλη προς τη βάση του ΒΓ ,
που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα Ε και Ζ αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι :
α) το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές
β) τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΑΖΔ είναι ίσα . ( Τράπεζα Θεμάτων )
10. Αν ε1 ∥ ε2 να βρείτε το x σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα :
11. Σε δύο παράλληλες ευθείες ε1 ∥ ε2 θεωρούμε δύο ίσα
ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα όπως φαίνεται στο
διπλανό σχήμα . Να αποδείξετε ότι :
α) τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ είναι ίσα .
β) ΑΓ = ΒΔ
Με δοσμένη Παραλληλία

Χωρίς Δοσμένη Παραλληλία
12. Αν ε1 ∥ ε2 να βρείτε το x σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα :
13. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και ευθεία ε ∥ ΒΓ που διέρχεται από το Α . Να αποδείξετε ότι η
ευθεία (ε) διχοτομεί την Α�εξωτ .
14. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο , μια διάμετρός του ΑΒ και μια χορδή του ΑΓ . Φέρουμε ευθεία ε ∥ ΑΓ , που διέρχεται
από το Ο και τέμνει το τόξο ΒΓ στο Δ . Να αποδείξετε ότι το Δ είναι μέσο του ΒΓ .
15. Από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ φέρουμε προς το ίδιο ημιεπίπεδο δύο παράλληλες ημιευθείες
Αx και Βy . Παίρνουμε Γ τυχαίο σημείο του ΑΒ , και στις Αx , Βy τα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα , ώστε ΑΔ = ΑΓ
και ΒΕ = ΒΓ . Να αποδείξετε ότι η γωνία ΔΓ�Ε είναι ορθή . ( Σχολικό / 2 / Σύνθετα Θέματα / σ.88 )
16. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Δ σημείο της πλευράς ΑΒ . Αν ο κύκλος (Δ , ΔΒ) τέμνει τη ΒΓ
στο Ε , να αποδείξετε ότι ΔΕ ∥ ΑΓ ( Σχολικό / 4 / Εμπέδωσης / σ.87 )
17. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ και ΓΑ ενός τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε αντίστοιχα τα τμήματα ΑΔ = ΑΒ
και ΑΕ = ΑΓ . Να αποδείξετε ότι ΔΕ ∥ ΒΓ ( Σχολικό / 5 / Εμπέδωσης / σ.87 ) ( Τράπεζα Θεμάτων )
18. Δίνεται κύκλος (Ο , ρ) και Μ μέσο της χορδής του ΑΒ . Φέρνουμε Οx ⊥ ΟΜ .
Να αποδείξετε ότι Οx ∥ ΑΒ . ( Σχολικό / 6 / Εμπέδωσης / σ.87 )
19. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ �Α� = 90°
� . Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΓΕ = ΓΒ , κάθετο στην ΑΓ .
Να αποδείξετε ότι η ΒΕ είναι διχοτόμος της γωνίας Β�
20. Δύο κύκλοι (Κ , R) και (Λ , ρ) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Α . Φέρνουμε ευθεία (ε) που διέρχεται από
το Α και τέμνει τον κύκλο (Κ , R) στο Β και τον κύκλο (Λ , ρ) στο Γ . Να αποδείξετε ότι ΚΒ ∥ ΛΓ
21. Δίνεται κύκλος (Ο , R) και τα εφαπτόμενα τμήματα στον κύκλο αυτόν ΜΑ και ΜΒ . Προεκτείνουμε την ΑΜ
κατά τμήμα ΜΓ = ΜΑ και την ΟΜ κατά τμήμα ΜΔ = ΟΜ
α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΜΒ και ΜΓΔ είναι ίσα .
β) Να αιτιολογήσετε ότι ΟΑ ∥ ΓΔ ( Τράπεζα Θεμάτων )

Το άθροισμα γωνιών κάθε τριγώνου είναι ίσο με 2 ορθές .
Άθροισμα Γωνιών Τριγώνου
Απόδειξη
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ . Από μια κορυφή του , την Α
φέρνουμε παράλληλη ευθεία xy προς την βάση του
τριγώνου ΒΓ . Τότε :
∎ Β� = ω� (1) ως εντός εναλλάξ γωνίες των
παραλλήλων xy και ΒΓ
∎ Γ� = φ� (2) ως εντός εναλλάξ γωνίες των
παραλλήλων xy και ΒΓ
Ισχύει όμως : Α� + ω� + φ� = 180°
⇔ Α� + Β� + Γ� = 180°
από τις σχέσεις (1) και (2) .
Ιδιότητα Εξωτερικής Γωνίας Τριγώνου
Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου .
Απόδειξη
Ισχύουν οι σχέσεις : Α� + Β� + Γ� = 180°
(1)
και Γ� + Γ�εξωτ . = 180°
(2)
Οι σχέσεις (1) και (2) έχουν τα δεύτερα
μέλη ίσα , άρα :
Α� + Β� + Γ� = Γ� + Γ�εξωτ . ⇔ Γ�εξωτ . = Α� + Β� .
Πορίσματα
α) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία , τότε θα έχουν και τις τρίτες τους γωνίες ίσες .
β) Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές .
γ) Κάθε γωνία ενός ισοπλεύρου τριγώνου είναι 60°
.
Άθροισμα Γωνιών Πολυγώνων

1) Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού ν-γώνου είναι ίσο με (2ν − 4) ∙ 90°
ή (ν − 2) ∙ 180°
Άθροισμα Γωνιών Κυρτού ν – γώνου
2) Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κάθε κυρτού πολυγώνου είναι ίσο με 360°

ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του είναι ίση με τα 2/3 της άλλης γωνίας του . Να υπολογισθούν όλες οι
γωνίες του (δύο περιπτώσεις ) ( Σχολικό / 1 / Εμπέδωσης / σ.92 )
2. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) με Α� =
Β�
2
. Αν Ι το έγκεντρο του τριγώνου να υπολογισθεί
η γωνία ΒΙ̂Γ ( Σχολικό / 2 / Εμπέδωσης / σ.92 )
3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α� είναι τετραπλάσια της γωνίας Β� . Αν Γ�εξωτ . = 144°
να βρεθεί το είδος του τριγώνου
ως προς τις πλευρές του . ( Σχολικό / 3 / Εμπέδωσης / σ.92 )
4. Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = ΑΓ = ΔΒ και xΑ�Γ = 108°
.
Να βρείτε τη γωνία Δ�
5. Στο διπλανό σχήμα είναι Α� = 90°
, ΑΔ διχοτόμος , ΔΕ ∥ ΑΒ .
Αν η γωνία Β� είναι 20°
από τη γωνία Γ�
να υπολογίστε τις γωνίες ω και φ .
6. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α� = 60°
και Β� = Γ� + 20°
.
α) Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ
β) Αν το ύψος ΑΔ και η διχοτόμος ΒΕ τέμνονται στο Κ , να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΑΕΚ .
7. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α� = 75°
και Β� = 2Γ� .
β) Αν τα ύψη ΑΔ και ΓΕ τέμνονται στο Κ , να βρείτε τη γωνία ΑΚ�Γ
8. Στο διπλανό σχήμα οι ΑΔ και ΒΕ είναι παράλληλες .
Επίσης είναι ΑΔ = ΑΖ , ΒΕ = ΒΖ , Α� = 70°
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων
ΑΔΖ και ΒΖΕ
β) Να αποδείξετε ότι ΔΖ�Ε = 90°

9. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α� + Γ� = 120°
και Α� = 3Γ� .
β) Αν οι διχοτόμοι των γωνιών Β�εξωτ . και Γ�εξωτ . τέμνονται στο Ι , να βρείτε τη γωνία ΒΙ̂Γ
10. Στο διπλανό σχήμα να αποδείξετε ότι :
α) το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές
β) η γωνία ΑΕ�Δ = 90°
11. Στο διπλανό σχήμα είναι ΒΓ παράλληλη στην ΔΕ .
Να βρείτε το x .
12. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α� = 90°
) με Γ� = 40°
. Έστω Δ τυχαίο σημείο της πλευράς ΑΓ από το
οποίο φέρουμε κάθετη ΔΕ στην ΒΓ . Να υπολογίσετε :
α) τις γωνίες του τριγώνου ΔΕΓ
β) τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΔΕΒ ( Τράπεζα Θεμάτων )
13. Nα υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ του παρακάτω σχήματος
14. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) στο οποίο ισχύει Α� = Β� + 30°
.
β) Αν οι διχοτόμοι ΒΔ και ΓΕ τέμνονται στο Ι , να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΙΓΔ .
15. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) με Α� = 78°
. Στις προεκτάσεις της βάσεις του παίρνουμε τμήματα
ΒΔ = ΑΒ και ΓΕ = ΑΓ αντίστοιχα . Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων ΑΒΓ και ΑΔΕ .

16. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και η διάμεσός του ΑΔ τέτοια , ώστε ΒΑ�Δ = 30°
. Θεωρούμε
σημείο Ε στην ΑΓ τέτοιο , ώστε ΑΔ = ΑΕ .
α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο
β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΔΕ
γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΔ�Γ ( Τράπεζα Θεμάτων )
17. Nα υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ του παρακάτω σχήματος
. Στην προέκταση της ΓΒ παίρνουμε τμήμα ΒΔ = ΑΒ
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ
β) Να βρείτε τη γωνία ΔΑ�Γ ( Τράπεζα Θεμάτων )
19. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α� = 2Β� και Γ� − Β� = 36°
. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές .
20. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και ΒΔ , ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β� και Γ� αντίστοιχα . Αν Ο το
σημείο τομής των διχοτόμων , να αποδείξετε ότι ΒΟ�Γ = Γ�εξωτ .
21. Στο διπλανό σχήμα ισχύουν :
ΔΒ = ΒΑ = ΑΓ = ΓΕ και ΒΑ�Γ = 40°
α) ΑΒ�Δ = ΑΓ�Ε = 110°
β) το τρίγωνο ΔΑΕ είναι ισοσκελές .
. Έστω Δ το σημείο της πλευράς ΑΓ τέτοιο ,
ώστε ΒΔ = ΒΓ .
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες Β� και Γ� του τριγώνου ΑΒΓ .
β) Να αποδείξετε ότι ΔΒ�Γ = Α� ( Τράπεζα Θεμάτων )
23. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει :
Α�εξ .
2
=
Β�εξ .
3
=
Γ�εξ .
4
β) Αν το ύψος ΑΔ και η διχοτόμος ΒΕ τέμνονται στο Κ , να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΑΚΕ .
24. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α� = 80°
, Β� = Γ� + 20°
και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας Α�
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες Β� και Γ�
β) Φέρνουμε από το Δ ευθεία παράλληλη στην ΑΒ , που τέμνει την ΑΓ στο Ε . Να υπολογίσετε τις γωνίες ΑΔ�Ε , ΕΔ�Γ
25. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ)
α) Να δείξετε ότι τα μέσα Δ και Ε των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα , ισαπέχουν από τη βάση ΒΓ .
β) Αν Α� = Β� + 75°
να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ . ( Τράπεζα Θεμάτων )

26. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Β�εξωτ . = 90°
+
Α�
2
. Να δείξετε ότι : ΑΒ = ΑΓ ( Σχολικό / 1 / Αποδεικτικές / σ.92 )
27. Από τυχαίο σημείο της βάσης ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε ΔΕ ⊥ ΑΓ .
Να αποδείξετε ότι : Α� = 2ΕΔ�Γ ( Σχολικό / 5 / Αποδεικτικές / σ.92 )
) . Έστω ότι η διχοτόμος της γωνίας Α� και η ΔΕ ∥ ΑΒ .
Αν ισχύει : Β� = Γ� + 20°
:
α) να βρείτε τις γωνίες Β� και Γ� του τριγώνου ΑΒΓ .
β) να βρείτε τις γωνίες ΑΔ�Ε και ΓΔ�Ε
γ) να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές . ( Τράπεζα Θεμάτων )
29. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν : Α� = 2Β� και Γ� − Β� = 36°
. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές .
30. Δίνεται κύκλος (Ο , ρ) και ΑΒ μια διάμετρός του . Αν ΓΔ είναι μια χορδή του έτσι , ώστε : ΑΟ�Γ = ΒΟ�Δ
Να αποδείξετε ότι ΓΔ ∥ ΑΒ
31. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Δ , Ε τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ ώστε να ισχύει ΑΔ = ΑΕ
Να αποδείξετε ότι ΔΕ ∥ ΒΓ
32. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν : Α� = 3Β� και Γ� + Α� = 2Β� .
α) Να αποδείξετε ότι Β� = 60°
β) Αν το ύψος του ΑΔ και η διχοτόμος του ΒΕ τέμνονται στο σημείο Ζ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΖΕ
είναι ισόπλευρο ( Τράπεζα Θεμάτων )
. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και
κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι , ώστε ΒΔ = ΒΕ και ΓΕ = ΓΖ . Να βρείτε :
α) τις γωνίες των τριγώνων ΒΔΕ και ΓΖΕ
β) τη γωνία ΔΕ�Ζ ( Τράπεζα Θεμάτων )
) και ΑΔ η διχοτόμος της Α� . Από το σημείο Δ φέρουμε
παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την ΑΓ στο Ε .
α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΔΓ είναι ορθογώνιο
β) Να υπολογίσετε τη γωνία ΑΔ�Ε
γ) Αν η γωνία Β� είναι 20°
μεγαλύτερη της γωνίας Γ� , να βρείτε τη γωνία ΕΔ�Γ ( Τράπεζα Θεμάτων )
35. Για τις γωνίες ενός κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ ισχύει ότι :
Α�
3
=
Β�
4
=
Γ�
5
=
Δ�
6
. Να βρείτε τις γωνίες του ΑΒΓΔ
36. Σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι Α� = 120°
και Β� = 100°
. Αν οι διχοτόμοι των γωνιών Γ� και Δ� τέμνονται
στο Ε , να βρείτε τη γωνία ΔΕ�Γ
37. Το άθροισμα γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου είναι 900°
. Να βρεθεί το πλήθος των πλευρών του .
38. Να βρείτε το πλήθος των πλευρών ενός κυρτού πολυγώνου που έχει άθροισμα γωνιών :
α) 12 ορθές β) 720°
39. Καθεμιά από τις γωνίες ενός κυρτού πολυγώνου είναι ίση με 144°
. Να βρείτε το πλήθος των πλευρών
του πολυγώνου .

Ορισμός : Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες .
ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο ⇔ �
ΑΒ ∥ ΓΔ
ΑΔ ∥ ΒΓ
∎ Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ λέγονται διαγώνιες του παραλληλογράμμου και το σημείο τομής τους
λέγεται κέντρο του παραλληλογράμμου .
∎ Η απόσταση των δύο απέναντι παραλλήλων πλευρών του λέγεται ύψος του παραλληλογράμμου .
∎ Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι κέντρο συμμετρίας του .
Α)
Ιδιότητες Παραλληλογράμμου
Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες . .
Απόδειξη
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ :
1) ΑΔ κοινή πλευρά
2) Β�1 = Δ�1 = ω� ως εντός εναλλάξ γωνίες αφού ΑΒ ∥ ΓΔ
3) Δ�2 = Β�2 = φ� ως εντός εναλλάξ γωνίες αφού ΑΔ ∥ ΒΓ
άρα από το Γ-Π-Γ , τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ είναι ίσα , οπότε θα είναι
ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ .
ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ
Το Παραλληλόγραμμο

Β) Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες .
Απόδειξη
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ :
2) Β�1 = Δ�1 = ω� ως εντός εναλλάξ γωνίες αφού ΑΒ ∥ ΓΔ
3) Δ�2 = Β�2 = φ� ως εντός εναλλάξ γωνίες αφού ΑΔ ∥ ΒΓ
άρα από το Γ-Π-Γ , τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ είναι ίσα , οπότε θα είναι
Α� = Γ� και Β� = Δ� = ω� + φ� .
Γ) Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται .
Απόδειξη
Θα αποδείξουμε ότι Ο μέσο των ΑΓ, ΒΔ.
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ :
1) ΑΒ = ΓΔ ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου
2) Β�1 = Δ�1 ως εντός εναλλάξ γωνίες αφού ΑΒ ∥ ΓΔ
3) Α�1 = Γ�1 ως εντός εναλλάξ γωνίες αφού ΑΒ ∥ ΓΔ
άρα από το Γ-Π-Γ , τα τρίγωνα ΑΒΟ και ΟΓΔ είναι ίσα ,
οπότε θα είναι ΑΟ = ΟΓ και ΒΟ = ΟΔ .
Α)
Κριτήρια Παραλληλογράμμου
Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν οι απέναντι πλευρές του είναι ανά δύο ίσες .
Απόδειξη
Αν ΑΒ = ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ θα αποδείξουμε ότι το ΑΒΓΔ είναι
παραλληλόγραμμο , αποδεικνύοντας ότι οι απέναντι πλευρές του
είναι παράλληλες.
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ :
2) ΑΔ = ΒΓ από υπόθεση
3) ΒΔ κοινή πλευρά
άρα από το κριτήριο Π-Π-Π τα τρίγωνα είναι ίσα ,
οπότε θα είναι και Β�1 = Δ�1 , Β�2 = Δ�2 οι οποίες είναι εντός εναλλάξ , άρα θα πρέπει ΑΒ ∥ ΓΔ και ΑΔ ∥ ΓΒ ,
οπότε το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο .

Β) Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν οι απέναντι γωνίες του είναι ανά δύο ίσες .
Απόδειξη
Έστω ότι Α� = Γ� = ω� και Β� = Δ� = φ� .
Ισχύει : Α� + Β� + Γ� + Δ� = 360°
⇔ 2ω� + 2φ� = 360°
⇔
ω� + φ� = 180°
δηλαδή Α� + Δ� = 180°
οι οποίες είναι εντός και
επί τα αυτά μέρη γωνίες άρα ΑΔ ∥ ΓΒ
Επίσης Α� + Β� = 180°
οι οποίες είναι εντός και επί τα αυτά
μέρη γωνίες άρα ΑΒ ∥ ΓΔ
Οπότε το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο .
Γ) Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες .
Απόδειξη
Έστω ότι ΑΒ ∥= ΓΔ. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ :
1) ΒΔ κοινή πλευρά
3) Β�1 = Δ�1 ως εντός εναλλάξ αφού ΑΒ ∥ ΓΔ
άρα από το κριτήριο Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα άρα και Β�2 = Δ�2
οι οποίες είναι εντός εναλλάξ , άρα ΑΔ ∥ ΓΒ . Οπότε το ΑΒΓΔ είναι
παραλληλόγραμμο .
Δ) Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν οι διαγώνιοί του διχοτομούνται .
Απόδειξη
Έστω ότι ΟΑ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ .
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ :
1) ΟΑ = ΟΓ από υπόθεση
2) ΟΒ = ΟΔ από υπόθεση
3) ΑΟ�Β = ΔΟ�Γ ως κατακορυφήν γωνίες
άρα τα τρίγωνα είναι ίσα , οπότε ΑΒ�Ο = ΓΔ�Ο οι οποίες είναι εντός
εναλλάξ , άρα ΑΒ ∥ ΓΔ
Ομοίως και τα τρίγωνα ΑΟΔ και ΒΟΓ είναι ίσα , άρα ΔΑ�Ο = ΒΓ�Ο
οι οποίες είναι εντός εναλλάξ , άρα ΑΔ ∥ ΒΓ
Οπότε το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο .

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ
Έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΡΙΤΗΡΙΑ
Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες Οι απέναντι πλευρές ανά δύο ίσες μια προς μια
Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται Οι απέναντι γωνίες ανά δύο ίσες μια προς μια
Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες Δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες
Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται
1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ . Η διχοτόμος της γωνίας Α� τέμνει τη ΔΓ στο Ε .
Να αποδείξετε ότι : ΔΕ = ΒΓ ( Σχολικό / 1 / Εμπέδωσης / σ.104 )
2. Να υπολογιστούν οι γωνίες ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ αν είναι :
α) Α� = 50°
β) Β� = 2Γ�
3. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Β� = (4x − 50)°
και Δ� = (2x + 10)°
. Να βρείτε τις γωνίες του ΑΒΓΔ.
4. Αν τα παρακάτω τετράπλευρα ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμα , να βρείτε τα x , y
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Με δοσμένο το παραλληλόγραμμο

5. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 2ΒΓ και Ε το μέσο της πλευράς του ΑΒ . Να δείξετε ότι :
α) το τρίγωνο ΕΑΔ είναι ισοσκελές
β) η ΔΕ είναι η διχοτόμος της γωνίας Α� ( Τράπεζα Θεμάτων )
6. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 2ΑΔ . Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας Δ� του παραλληλογράμμου ,
η οποία τέμνει την ΑΒ στο Ε .
α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές
β) Είναι το σημείο Ε μέσο της ΑΒ ; ( Τράπεζα Θεμάτων )
7. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ . Να αποδείξετε ότι :
α) οι διχοτόμοι των γωνιών Α� και Β� τέμνονται κάθετα .
β) οι διχοτόμοι των γωνιών Α� και Γ� , αν δεν ταυτίζονται , είναι παράλληλες .
8. Σε ένα κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι Α� = x°
, Β� = (2x + 30)°
, Γ� = (2x − 50)°
και Δ� = (3x − 20)°
.
Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο .
9. Έστω Ο το κέντρο παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ . Αν Ε και Ζ σημεία των ΟΑ και ΟΓ αντίστοιχα , ώστε ΟΕ = ΟΖ ,
να αποδείξετε ότι το ΒΕΔΖ είναι παραλληλόγραμμο . ( Σχολικό / 2 / Εμπέδωσης / σ.104 )
10. Έστω Ε και Ζ τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ . Να αποδείξετε ότι :
α) το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο
β) οι ΑΓ , ΒΔ και ΕΖ συντρέχουν ( Σχολικό / 3 / Εμπέδωσης / σ.104 )
11. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ . Η παράλληλη από το Δ προς την ΑΒ τέμνει την ΑΓ στο Ε . Αν η
παράλληλη από το Ε προς τη ΒΓ τέμνει την ΑΒ στο Ζ , να δείξετε ότι ΑΕ = ΒΖ ( Σχολικό / 4 / Εμπέδωσης / σ.104 )
12. Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος.
α) Να δείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο
β) Να βρείτε το x και τις γωνίες του ΑΒΓΔ .
13. Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ του διπλανού
σχήματος.
α) Να δείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο
β) Να βρείτε τα x , y κ αι τις γωνίες του ΑΒΓΔ .
14. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ΑΒ = ΑΓ ) και σημείο Μ της βάσης του ΒΓ . Φέρουμε ΜΕ ∥ ΑΒ (Ε σημείο ΑΓ)
και ΜΔ ∥ ΑΓ (Δ σημείο ΑΒ) . Να δείξετε ότι : ΜΔ + ΜΕ = ΑΒ ( Σχολικό / 1 / Αποδεικτικές / σ.105 )
15. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Ε , Ζ οι προβολές των Α , Γ αντίστοιχα στη διαγώνιο ΒΔ .
α) τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΓΖ είναι ίσα
β) το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο . ( Τράπεζα Θεμάτων )
Να αποδείξουμε ότι είναι παραλληλόγραμμο

16. Στο διπλανό σχήμα είναι ε1 ∥ ε2 και το σημείο Ο είναι το
μέσο της ΒΔ . Να αποδείξετε ότι :
α) τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ είναι ίσα
β) το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο
17. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ . Αν οι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών Δ� και Β� τέμνουν τις πλευρές ΑΒ
και ΓΔ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα , να αποδείξετε ότι :
α) τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΒΓΖ είναι ίσα
β) το τετράπλευρο ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο ( Τράπεζα Θεμάτων )
18. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ . Προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ και την πλευρά ΔΓ κατά τμήματα ΑΕ = ΑΒ
και ΓΖ = ΔΓ . Να αποδείξετε ότι :
α) ΒΖ = ΕΔ
β) το τετράπλευρο ΕΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο ( Τράπεζα Θεμάτων )
19. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ . Προεκτείνουμε την διαγώνιο ΒΔ κατά ίσα τμήματα ΒΕ κα ΔΖ .
Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο .
20. Έστω Ο το κέντρο παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ . Αν Ε και Ζ σημεία των ΟΑ και ΟΓ αντίστοιχα , ώστε ΟΕ = ΟΖ .
α) ΒΖ = ΔΕ
β) το ΒΕΔΖ είναι παραλληλόγραμμο . ( Τράπεζα Θεμάτων )
21. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < 𝛢𝛢𝛢𝛢 και το Μ μέσο της ΒΓ . Προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ κατά τμήμα ΜΔ = ΜΑ
Από το Α φέρουμε παράλληλη προς τη ΒΓ η οποία τέμνει την προέκταση της ΔΓ στο σημείο Ε . Να δείξετε ότι :
α) το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμο
β) ΒΜ=
ΑΕ
2
22. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΒΓ = 2ΑΒ και έστω Μ το μέσο της ΒΓ . Αν η ΑΔ είναι η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΜ
και Ε σημείο στην προέκτασή της , ώστε : ΑΔ = ΔΕ να αποδείξετε ότι :
α) το τετράπλευρο ΑΒΕΜ είναι παραλληλόγραμμο
β) ΜΕ = ΜΓ ( Τράπεζα Θεμάτων )
23. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α� > 90°
. Φέρουμε τις ΑΕ ⊥ ΓΔ και ΓΖ ⊥ ΑΒ . Να δείξετε ότι :
α) τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΓΖΒ είναι ίσα
β) το τετράπλευρο ΒΖΔΕ είναι παραλληλόγραμμο .
24. Δύο ίσοι κύκλοι (Ο , ρ) και (Κ , ρ) εφάπτονται εξωτερικά στο Α . Θεωρούμε σημεία Β και Γ των κύκλων (Ο ,ρ)
και (Κ , ρ) αντίστοιχα , ώστε ΒΑ�Γ = 90°
. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΟΒΓΚ είναι παραλληλόγραμμο .
25. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 2ΒΓ . Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ = ΑΔ και
φέρουμε τη ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η . Να αποδείξετε ότι :
α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές
β) το τετράπλευρο ΔΕΓΒ είναι παραλληλόγραμμο
γ) η ΑΗ είναι η διάμεσος του τριγώνου ΒΑΕ ( Τράπεζα Θεμάτων )
26. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΜ . Στην προέκταση της διαμέσου ΜΔ του τριγώνου ΑΜΓ
θεωρούμε σημείο Ε ώστε ΜΔ = ΔΕ . Να αποδείξετε ότι :
α) το τετράπλευρο ΑΜΓΕ είναι παραλληλόγραμμο
β) η ΒΕ διέρχεται από το μέσο της διαμέσου ΑΜ ( Τράπεζα Θεμάτων )

Συνευθειακά Σημεία
27. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ . Προεκτείνουμε την ΔΓ κατά ίσο τμήμα ΓΕ και τη ΔΑ κατά ίσο τμήμα ΑΖ .
Να δείξετε ότι τα σημεία Ζ , Β , Ε είναι συνευθειακά . ( Σχολικό / 3 / Αποδεικτικές / σ.105 )
28. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ . Στις προεκτάσεις των διαμέσων ΒΔ και ΓΕ παίρνουμε σημεία Η και Ζ αντίστοιχα τέτοια,
ώστε ΔΗ = ΒΔ και ΖΕ = ΓΕ . Να αποδείξετε ότι :
α) ΑΗ = ΑΖ
β) τα σημεία Ζ , Α και Η είναι συνευθειακά ( Σχολικό / 4 / Αποδεικτικές / σ.105 ) ( Τράπεζα Θεμάτων )
29. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Μ το μέσο της ΒΓ . Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά ίσο τμήμα ΜΕ .
Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ , Γ , Ε είναι συνευθειακά και ότι το Γ είναι το μέσο του ΔΕ .
30. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ . Από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα ΜΔ ίσο και παράλληλο
προς την πλευρά ΒΑ και ευθύγραμμο τμήμα ΜΕ ίσο και παράλληλο προς την πλευρά ΓΑ . Να δείξετε ότι :
α) ΔΑ = ΑΕ
β) τα σημεία Δ , Α , Ε είναι συνευθειακά
γ) ΔΕ = ΒΓ ( Τράπεζα Θεμάτων )

Ορισμός : Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει μια γωνία του ορθή .
Όλες οι γωνίες του ορθογωνίου είναι ορθές , αφού ως
παραλληλόγραμμο έχει τις απέναντι γωνίες ίσες και τις
uδιαδοχικές του γωνίες παραπληρωματικές .
Ιδιότητα Ορθογωνίου
Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσοι .
Απόδειξη
Θα αποδείξουμε ότι ΑΓ = ΒΔ .
Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ :
2) ΑΒ = ΓΔως απέναντι πλευρές ορθογωνίου παραλληλογράμμου
άρα τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ είναι ίσα ,
οπότε και ΑΓ = ΒΔ .
Α)
Κριτήρια Ορθογωνίου
Ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο αν είναι παραλληλόγραμμο και έχει μια ορθή γωνία .
Β) Ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο αν είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του είναι ίσες .
Απόδειξη
Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ :
2) ΑΒ = ΓΔως απέναντι πλευρές ορθογωνίου παραλληλογράμμου
3) ΑΓ = ΒΔ από υπόθεση
άρα από το Κριτήριο Π-Π-Π τα τρίγωνα είναι ίσα , οπότε Α� = Δ� ,
όμως Α� + Δ� = 180°
⇔ Α� = Δ� = 90°
Επομένως το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο .
Το Ορθογώνιο

Γ)
Αν έχει τρεις γωνίες ορθές τότε και η τέταρτη γωνία είναι ορθή αφού το άθροισμα των γωνιών ενός
τετραπλεύρου είναι 360°
Ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο αν έχει τρεις γωνίες ορθές
Δ)
Αν όλες του οι γωνίες είναι ίσες, τότε αφού το άθροισμα των γωνιών ενός τετραπλεύρου είναι 360°
, όλες του οι
γωνίες θα είναι ορθές .
Ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο αν όλες του οι γωνίες είναι ίσες
ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ
Είναι παραλληλόγραμμο με μια ορθή γωνία
Έχει όλες τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου Είναι παραλληλόγραμμο και έχει μια ορθή γωνία
Οι διαγώνιοί του είναι ίσες Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του ίσες
Έχει τρεις γωνίες ορθές
Όλες του οι γωνίες είναι ίσες

Ορισμός : Ρόμβος λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες .
Επειδή στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες , προκύπτει ότι στον ρόμβο
όλες οι πλευρές του θα είναι ίσες .
Ιδιότητες Ρόμβου
Οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα και διχοτομούν τις γωνίες του .
Απόδειξη
Αφού ΑΒΓΔ είναι ρόμβος τότε ΑΒ = ΑΔ , άρα το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές
οπότε η διάμεσος του ΑΟ είναι ύψος του και διχοτόμος .
Επομένως οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα και η ΑΓ διχοτομεί την γωνία Α� .
Ομοίως η ΑΓ διχοτομεί και την Γ� και η ΒΔ τις γωνίες Β� και Δ�
Α)
Κριτήρια Ρόμβου
Β)
Ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος όταν έχει όλες του τις πλευρές ίσες .
Γ)
Ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος , όταν είναι παραλληλόγραμμο και έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες .
Ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος , όταν είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα .
Απόδειξη
Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΓ ⊥ ΒΔ . Αφού οι διαγώνιοί του
παραλληλογράμμου διχοτομούνται και υποθέσαμε ότι είναι και κάθετες , τότε στο
τρίγωνο ΑΔΒ η ΑΟ είναι διάμεσος και ύψος .
Οπότε το τρίγωνο ΑΔΒ είναι ισοσκελές άρα ΑΒ = ΑΔ , επομένως το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος .
Ο Ρόμβος

Δ) Ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος , όταν είναι παραλληλόγραμμο και μια διαγώνιός του διχοτομεί μια γωνία του
Έστω ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο και ΑΓ διχοτόμος της Α� . Τότε η ΑΟ είναι διάμεσος και
διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΔ , οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές άρα ΑΒ = ΑΔ , επομένως
το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος .
Απόδειξη
ΡΟΜΒΟΣ
Είναι παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες
Έχει όλες τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου Είναι παρ/μο και έχει 2 διαδοχικές πλευρές ίσες
Οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα Είναι παρ/μο και οι διαγώνιοί τέμνονται κάθετα
Οι διαγώνιοί του διχοτομούν τις γωνίες του Είναι παρ/μο και η διαγώνιός του διχοτομεί γωνία
Όλες του οι πλευρές είναι ίσες

Ορισμός : Τετράγωνο λέγεται το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος .
Α)
Ιδιότητες Τετραγώνου
Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες
Β) Όλες του οι πλευρές είναι ίσες
Γ) Όλες του οι γωνίες είναι ορθές
Δ) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες , τέμνονται κάθετα , διχοτομούνται και διχοτομούν τις
γωνίες του .
Ένα παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο αν ισχύει ένα από τα παρακάτω :
Α) Μια γωνία του είναι ορθή και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες .
Β) Μια γωνία του είναι ορθή και μία διαγώνιός του διχοτομεί μία γωνία του .
Γ) Μια γωνία του είναι ορθή και οι διαγώνιές του είναι κάθετες .
Δ) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες .
Ε) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και η μία διχοτομεί μία γωνία του .
Ζ) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και κάθετες .
Κριτήρια Τετραγώνου
Το Τετράγωνο

1. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ φέρουμε ΑΕ ⊥ ΔΓ και ΓΖ ⊥ ΑΒ . Να αποδείξετε ότι το ΑΖΓΕ είναι ορθογώνιο .
2. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με κέντρο Ο και ΒΔ = 2ΑΓ . Αν Ε , Ζ τα μέσα των ΟΒ και ΟΔ αντίστοιχα ,
να αποδείξετε ότι το ΑΕΓΖ είναι ορθογώνιο . ( Σχολικό / 2 / Εμπέδωσης / σ.109 )
3. Να αποδείξετε ότι ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος αν και μόνο αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών
του είναι ίσες . ( Σχολικό / 4 / Εμπέδωσης / σ.109 )
4. Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ και Ο το κέντρο του . Παίρνουμε δύο σημεία Ε και Ζ της ΑΓ , ώστε ΟΕ = ΟΖ = ΟΒ = ΟΔ .
Να αποδείξετε ότι το ΔΕΒΖ είναι τετράγωνο . ( Σχολικό / 5 / Εμπέδωσης / σ.109 )
5. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ . Στις πλευρές του ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ παίρνουμε σημεία Κ , Λ , Μ και Ν αντίστοιχα
τέτοια ώστε ΑΚ = ΒΛ = ΓΜ = ΔΝ . Να αποδείξετε ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο .
6. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α� = Β� = Γ� = 90°
και ΑΓ = x + 6 , ΒΔ = 3x + 2 . Να βρείτε το x .
7. Να βρείτε τις γωνίες του ρόμβου ΑΒΓΔ αν ΑΓ�Β = 35°
8. Στο τετράπλευρο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος
είναι ΟΑ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ .
Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος .
9. Το τετράπλευρο του διπλανού σχήματος είναι
παραλληλόγραμμο .
α) Να βρείτε το φ
β) Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος
γ) Να βρείτε το μήκος της διαγωνίου ΑΓ .
10. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με περίμετρο ίση με 20 και ΑΒ = α + 2 , ΒΓ = 2α − 1 , ΓΔ = 3α − 4 , ΔΑ = 8 − α .
Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος .
11. Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ , αν Μ και Ν τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα , να αποδείξετε ότι :
α) ΜΔ = ΜΓ .
β) η ευθεία ΜΝ είναι η μεσοκάθετος του τμήματος ΓΔ . ( Τράπεζα Θεμάτων )
12. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και τα μέσα Μ και Ν των ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα . Προεκτείνουμε
την ΜΝ κατά ίσο τμήμα ΝΚ . Να αποδείξετε ότι το ΑΜΓΚ είναι ορθογώνιο .
13. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες ενός κύκλου στα άκρα δύο κάθετων διαμέτρων του ,
σχηματίζουν τετράγωνο .
14. Αν μια γωνία ενός ρόμβου είναι διπλάσια από την άλλη , τότε η περίμετρός του είναι τετραπλάσια της μικρής
διαγωνίου του .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ

15. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ > 𝛢𝛢𝛢𝛢 . Η διχοτόμος της γωνίας Α� τέμνει τη ΓΔ στο Ε . Από το Δ
φέρνουμε ευθεία κάθετη στην ΑΕ , που τέμνει την ΑΕ στο Κ και την ΑΒ στο Ζ . Να αποδείξετε ότι :
α) τα τρίγωνα ΚΑΖ και ΚΔΕ είναι ίσα .
β) το τετράπλευρο ΑΔΕΖ είναι ρόμβος .
16. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΒΔ . Από το Δ φέρουμε παράλληλη προς τη ΒΓ , που τέμνει την ΑΒ
στο Ε . Αν η ΕΜ τέμνει την ΒΓ στο Ζ , να δείξετε ότι το ΔΕΒΖ είναι ρόμβος . ( Σχολικό / 1 / Αποδεικτικές / σ.109 )
17. Στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ παίρνουμε τα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα ώστε ΑΕ = ΒΖ .
α) ΑΖ = ΔΕ
β) ΑΖ ⊥ ΔΕ ( Σχολικό / 2 / Αποδεικτικές / σ.109 )
18. Σε κύκλο κέντρο Ο φέρουμε δύο διαμέτρους του ΑΒ και ΓΔ . Να αποδείξετε ότι :
α) οι χορδές ΑΓ και ΒΔ του κύκλου είναι ίσες .
β) το τετράπλευρο ΑΓΒΔ είναι ορθογώνιο . ( Τράπεζα Θεμάτων )
19. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο
και το ΑΓΔΕ είναι ορθογώνιο . Να αποδείξετε ότι :
α) το σημείο Α είναι μέσο του ΒΕ
β) το τρίγωνο ΒΓΕ είναι ισοσκελές
γ) ΒΓ�Α = ΑΔ�Ε ( Τράπεζα Θεμάτων )
20. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ μέσο της ΒΓ .
Στα σημεία Β και Γ φέρουμε κάθετες στη ΒΓ προς το ίδιο μέρος
και θεωρούμε σε αυτές σημεία Δ και Ε αντίστοιχα τέτοια ,
ώστε ΜΔ = ΜΕ .
α) τα τμήματα ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα .
β) το τετράπλευρο ΒΔΕΓ είναι ορθογώνιο .

Εφαρμογές στα Τρίγωνα
Θεώρημα
Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά
και ίσο με το μισό της .
Απόδειξη
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Δ , Ε τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα .
Θα αποδείξουμε ότι ΔΕ ∥=
ΒΓ
2
.
Προεκτείνουμε την ΔΕ κατά τμήμα ΕΖ = ΔΕ . Το τετράπλευρο ΑΔΓΖ
είναι παραλληλόγραμμο γιατί οι διαγώνιές του διχοτομούνται
( Ε μέσο της ΑΓ , αλλά και της ΔΖ ) . Άρα ΑΔ ∥= ΓΖ ⇔ ΔΒ ∥= ΓΖ
αφού Δ μέσο ΑΒ .
Τότε όμως το ΔΖΓΒ θα είναι παραλληλόγραμμο , οπότε :
− ΔΖ ∥ ΒΓ άρα και ΔΕ ∥ ΒΓ
− ΔΖ = ΒΓ ⇔ 2ΔΕ = ΒΓ ⇔ ΔΕ =
ΒΓ
2
Θεώρημα
Αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του , τότε η ευθεία
αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του .
Απόδειξη
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Δ μέσο της πλευράς ΑΒ . Από το Δ
φέρνουμε παράλληλη προς την ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Ε . Θα
αποδείξουμε ότι το Ε είναι το μέσο της ΑΓ .
Έστω ότι το Ε δεν είναι μέσο της ΑΓ , τότε θεωρούμε Ζ μέσο της ΑΓ .
Το τμήμα ΔΖ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ άρα
θα ισχύει ΔΖ ∥=
ΒΓ
2
. Άτοπο , γιατί έτσι θα έχουμε δύο παράλληλες
από το Δ προς την ΒΓ.
Άρα Ε το μέσο της ΑΓ .
Θεώρημα
Αν τρεις (τουλάχιστον ) παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μία ευθεία ίσα τμήματα , θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε
κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει .

∎ Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι
τα
2
3
του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου .
Βαρύκεντρο Τριγώνου
Το σημείο G , το σημείο τομής των διαμέσων , λέγεται βαρύκεντρο
Ισχύουν λοιπόν οι σχέσεις : ΑΘ =
2
3
ΑΜ , ΒΘ =
2
3
ΒΛ και ΓΘ =
2
3
ΓΚ .
ή κέντρο βάρους του τριγώνου .
Ορθόκεντρο Τριγώνου
Οι φορείς των υψών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο .
Το σημείο αυτό Η λέγεται ορθόκεντρο του τριγώνου .
Θεώρημα I
Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της
υποτείνουσας .
Απόδειξη
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α� = 90°
) και τη διάμεσό του ΑΜ .
Θα δείξουμε ότι ΑΜ =
ΒΓ
2
. Φέρνουμε τη διάμεσο ΜΔ του τριγώνου ΑΜΓ .
Το τμήμα ΜΔ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ άρα θα
ισχύει ΜΔ ∥ ΑΒ . Επειδή όμως ΑΒ ⊥ ΑΓ θα είναι και ΜΔ ⊥ ΑΓ .
Οπότε το ΜΔ είναι διάμεσος και ύψος στο τρίγωνο ΑΜΓ , άρα το τρίγωνο
θα είναι ισοσκελές , οπότε : ΑΜ = ΜΓ ⇔ ΑΜ =
ΒΓ
2
.
Ιδιότητες Ορθογωνίου Τριγώνου

Θεώρημα II
Αν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί , τότε το τρίγωνο είναι
ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή .
Απόδειξη
Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΜ διάμεσο για την οποία ισχύει ΑΜ =
ΒΓ
2
.
Θα αποδείξουμε ότι το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με Α� = 90°
.
Είναι : ΑΜ =
ΒΓ
2
⇔ ΑΜ = ΜΓ άρα το τρίγωνο ΑΜΓ είναι ισοσκελές ,
οπότε Γ� = Α�2 (1)
Είναι : ΑΜ =
ΒΓ
2
⇔ ΑΜ = ΜΒ άρα το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ισοσκελές ,
οπότε Β� = Α�1 (2)
Έχουμε : (1) + (2) ⟹ Β� + Γ� = Α�1 + Α�2 ⇔ Α� = Β� + Γ�
Οπότε : Α� + Β� + Γ� = 180°
⇔ Α� + Α� = 180°
⇔ 2Α� = 180°
⇔ Α� = 90°
.
Θεώρημα III
Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30°
, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της
υποτείνουσας .
Απόδειξη
ΟΡΘΟ : Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο (Α� = 90°
) με Β� = 30°
,
θα δείξουμε ότι ΑΓ =
ΒΓ
2
.
Αφού Β� = 30°
τότε Γ� = 90°
− Β� = 90°
− 30°
= 60°
.
Φέρνουμε την διάμεσο ΑΜ , τότε θα ισχύει : ΑΜ =
ΒΓ
2
⇔ ΑΜ = ΜΓ
άρα το ΑΜΓ είναι ισοσκελές , οπότε Γ� = Α�2 ,
οπότε το ΑΜΓ είναι ισόπλευρο .
Επομένως ΑΓ = ΜΓ =
ΒΓ
2
.
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ : Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο (Α� = 90°
) με ΑΓ =
ΒΓ
2
, θα
δείξουμε ότι Β� = 30°
.
Φέρνουμε την διάμεσο ΑΜ , τότε θα ισχύει : ΑΜ =
ΒΓ
2
⇔ ΑΜ = ΜΓ = ΑΓ
αφού ΑΓ =
ΒΓ
2
.
Άρα το τρίγωνο ΑΜΓ είναι ισόπλευρο , οπότε Γ� = 60°
Επομένως Β� = 90°
− Γ� = 90°
− 60°
= 30°
.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Αν Δ και Ε τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ και Ζ τυχαίο σημείο της ΒΓ , να αποδείξετε ότι
η ΔΕ διχοτομεί την ΑΖ . ( Σχολικό / 1 / Εμπέδωσης / σ.115 )
2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΔ . Αν Ε , Ζ και Η τα μέσα των ΒΔ , ΑΔ και ΑΓ αντίστοιχα ,
να αποδείξετε ότι το ΔΕΖΗ είναι παραλληλόγραμμο . ( Σχολικό / 2 / Εμπέδωσης / σ.115 )
3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με περίμετρο 12 . Αν Κ , Λ , Μ τα μέσα των πλευρών ΑΒ , ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα , να βρείτε
την περίμετρο του τριγώνου ΚΛΜ .
4. Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με Κ , Λ , Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ και ΔΑ αντίστοιχα , να δείξετε ότι το
τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο .
5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ , Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ , ΑΓ αντίστοιχα . Αν ΜΝ = 3x − 4 , ΒΓ = 2x + 12 ,
να βρείτε το x .
6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β� = 50°
. Έστω ότι τα σημεία Δ
και Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα .
α) Να δικαιολογήσετε ότι ΔΕ ∥ ΑΒ
β) Να βρείτε τη γωνία x και τις υπόλοιπες γωνίες του
τριγώνου ΑΒΓ
7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ , Ε , Ζ είναι τα μέσα των
πλευρών ΑΒ , ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα .
α) Να βρείτε τη γωνία Α�
β) Να δείξετε ότι : ΒΔ�Ε = ΕΖ�Γ = 80°
γ) Να βρείτε τη γωνία ΔΕ�Ζ
8. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ , Ν τα μέσα των ΑΒ , ΑΓ αντίστοιχα . Αν Δ , Ε είναι τα μέσα των ΑΜ , ΑΝ
αντίστοιχα , να αποδείξετε ότι ΔΕ =
ΒΓ
4
9. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα μέσα Ε , Ζ των ΒΓ και ΓΔ αντίστοιχα . Αν η ΕΖ τέμνει τη διαγώνιο ΑΓ
στο Η , να αποδείξετε ότι ΓΗ =
ΑΓ
4
10. Αν Ε και Ζ τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ αντίστοιχα , να αποδείξετε ότι οι ΔΕ
και ΒΖ τριχοτομούν τη διαγώνιο ΑΓ . ( Σχολικό / 4 / Αποδεικτικές / σ.116 )
11. Σε τρίγωνο ΑΒΓ το Δ είναι το μέσο της διαμέσου ΑΜ . Αν η ΒΔ τέμνει την πλευρά ΑΓ στο Ε ,
να αποδείξετε ότι ΑΕ =
ΕΓ
2
Τυχαία Τρίγωνα

Ορθογώνια Τρίγωνα
12. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών κάθε κυρτού τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου .
13. Να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι κορυφές ρόμβου .
14. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ , Ε , Ζ των πλευρών ΑΒ , ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι :
α) το τετράπλευρο ΔΒΕΖ είναι παραλληλόγραμμο
β) η ευθεία ΔΖ διχοτομεί το τμήμα ΑΕ ( Τράπεζα Θεμάτων )
15. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) , το ύψος του ΑΔ και τα μέσα Ε και Ζ των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ
αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι :
α) τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΓΔΖ είναι ίσα .
β) το τετράπλευρο ΑΖΔΕ είναι ρόμβος . ( Τράπεζα Θεμάτων )
16. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κάθετες και ίσες διαγωνίους ΑΓ και ΒΔ . Να αποδείξετε ότι τα μέσα των
πλευρών του ΑΒΓΔ είναι κορυφές τετραγώνου .
17. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ , τυχαίο σημείο Ε της πλευράς ΔΓ και τα μέσα Μ , Ν των ΑΕ , ΒΕ αντίστοιχα .
Αν η ευθεία ΝΜ τέμνει τις ΑΔ , ΒΓ στα σημεία Κ , Λ αντίστοιχα , να αποδείξετε ότι ΚΜ + ΝΛ = ΜΝ .
18. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα μέσα πλευρών :
α) ισοσκελούς τριγώνου , είναι ισοσκελές .
β) ισοπλεύρου τριγώνου , είναι ισόπλευρο . ( Τράπεζα Θεμάτων )
19. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ο το κέντρο του . Έστω Ε , Ζ , Η και Θ τα μέσα των ΟΔ , ΟΑ , ΟΒ και ΟΓ
αντίστοιχα .
α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο .
β) Αν η περίμετρος του ΑΒΓΔ είναι 40 , να βρείτε την περίμετρο του ΕΖΗΘ ( Τράπεζα Θεμάτων )
20. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ . Αν τα σημεία Ε και Ζ είναι τα μέσα των πλευρών του ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα ,
να αποδείξετε ότι :
α) το τετράπλευρο ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο
β) ΑΕ�Δ = ΒΖ�Γ
γ) οι ΔΕ και ΒΖ τριχοτομούν τη διαγώνιο ΑΓ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ ( Τράπεζα Θεμάτων )
21. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και φέρουμε τα ύψη ΒΔ και ΓΕ . Αν Μ το μέσο της ΒΓ , να δείξετε ότι : ΜΔ = ΜΕ .
� με Β� = 30°
. Αν Ε κα Ζ τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ ,
να αποδείξετε ότι : ΕΖ = ΑΓ ( Σχολικό / 4 / Εμπέδωσης / σ.115 )
� με Β� = 30°
και Δ , Ε τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα .
Προεκτείνουμε την ΕΔ κατά τμήμα ΔΖ = ΕΔ . Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΓΕΖ είναι ρόμβος .
� με Β� = 30°
. Αν ΓΕ η διχοτόμος της γωνίας Γ� ,
να αποδείξετε ότι ΕΒ = 2ΑΕ .
� με ΒΓ = 12 και τα Μ , Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ , ΑΓ
αντίστοιχα . Αν Κ το μέσο του ΜΝ , να βρείτε το μήκος του ΑΚ .

26. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ , Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα . Επιπλέον ισχύουν :
ΑΔ = ΕΔ = ΔΒ με ΑΕ = 8 και ΔΒ = 10
α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕΒ είναι ορθογώνιο .
β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές
γ) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ ( Τράπεζα Θεμάτων )
� .
Αν Μ το μέσο της ΒΓ , να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ .
� με ΒΓ = 12 και τα Μ , Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ , ΑΓ
αντίστοιχα . Αν Κ το μέσο του ΜΝ , να βρείτε το μήκος του ΑΚ .
� με ΒΓ = 3x + 1 , ΑΒ = 2x − 1 , Β� = 3φ και Γ� = φ + 10°
.
Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ καθώς και το x .
� με Β� = 30°
. Αν τα σημεία Ε και Δ είναι τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ
αντίστοιχα με ΕΔ = 1 , να υπολογίσετε τα τμήματα ΑΓ , ΒΓ , ΑΔ . ( Τράπεζα Θεμάτων )
� με Β� = 35°
και Μ το μέσο της ΒΓ . Να βρείτε :
α) τη γωνία Γ�
β) τις γωνίες του τριγώνου ΑΜΒ ( Τράπεζα Θεμάτων )
32. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύουν Α� + Γ� = 120°
και Α� = 3Γ� .
α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και να υπολογίσετε τις γωνίες του .
β) Αν είναι ΒΓ = 2 , να βρείτε το μήκος της πλευράς ΑΒ . ( Τράπεζα Θεμάτων )
� με ΒΓ = 8 . Έστω ΑΜ διάμεσος του τριγώνου και ΜΔ ⊥ ΑΓ .
Αν η γωνία ΑΜ�Γ είναι ίση με 120°
τότε :
α) να αποδείξετε ότι ΑΒ = 4
β) να βρείτε το μήκος της ΜΔ . ( Τράπεζα Θεμάτων )
� και ΓΔ διχοτόμος της γωνίας Γ� ώστε ΓΔ = ΔΒ = 2 . Να δείξετε ότι :
α) Β� = 30°
β) ΑΒ = 3 ( Τράπεζα Θεμάτων )
35. Στο διπλανό σχήμα είναι ε1 ∥ ε2 και ΑΒ = 6
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ω και φ
β) Να προσδιορίσετε το είδος του τριγώνου ΑΒΚ ως
προς τις γωνίες του
γ) Να βρείτε το μήκος της ΑΚ

� με Β� = 2Γ� . Από το μέσο Μ της ΒΓ φέρνουμε ευθεία παράλληλη
στην ΑΒ , η οποία τέμνει την πλευρά ΑΓ στο Δ .
β) Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΑΜΓ
γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΜΔ είναι μεσοκάθετος του ΑΓ . ( Τράπεζα Θεμάτων )
37. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Β� = 30°
. Θεωρούμε Δ και Ε τα μέσα των ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα
α) το τρίγωνο ΕΔΓ είναι ισοσκελές και να υπολογίσετε τις γωνίες του
β) το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισόπλευρο . ( Τράπεζα Θεμάτων )
38. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με γωνία Α� = 120°
και ΑΒ = 2ΑΔ . Φέρνουμε τη διχοτόμο της γωνίας Δ�
του παραλληλογράμμου , η οποία τέμνει την ΑΒ στο Ε και στη συνέχεια φέρνουμε το κάθετο τμήμα ΑΖ στην ΔΕ .
α) ΑΔ�Ε = 30°
β) ΑΖ =
ΑΒ
4
� με ΒΓ = 2ΑΓ .
β) Αν ΓΕ η διχοτόμος της γωνίας Γ� , να αποδείξετε ότι ΕΒ = 2ΑΕ .
40. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι Β� = 120°
και ΔΕ ⊥ ΒΓ . Έστω ΕΖ η διάμεσος του τριγώνου ΔΕΓ .
α) Να βρείτε τις γωνίες του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ
β) Αν Κ το μέσο της πλευράς ΑΒ , να αποδείξετε ότι ΕΖ = ΑΚ
γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ�Γ ( Τράπεζα Θεμάτων )
41. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα μέσα των πλευρών ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου
είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . ( Τράπεζα Θεμάτων )
42. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ �Α� = 90°
� με ΑΔ διχοτόμος . Από το Δ φέρνουμε παράλληλη
προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Ε . Να αποδείξετε ότι :
α) ΑΔ =
ΒΓ
2
β) το τρίγωνο ΔΕΓ είναι ορθογώνιο
γ) ΔΕ =
ΑΓ
2
� και Μ το μέσο της ΒΓ . Φέρουμε ημιευθεία Αx
παράλληλη στη ΒΓ προς το ημιεπίπεδο που ορίζει η ΑΜ και το σημείο Γ . Να αποδείξετε ότι :
α) ΜΑ�Γ = ΜΓ�Α
β) η ΑΓ είναι διχοτόμος της γωνίας ΜΑ�x ( Τράπεζα Θεμάτων )
44. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Κ , Λ των ΑΒ , ΑΓ αντίστοιχα . Έστω Δ η προβολή του Κ στην ΑΓ
και Μ το μέσο ΚΛ . Να αποδείξετε ότι :
α) ΔΜ =
ΒΓ
4
β) αν η προέκταση του ΔΜ τέμνει τη ΒΓ στο Ε , τότε το τρίγωνο ΕΔΓ είναι ισοσκελές .
45. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β� > Γ� φέρουμε το ύψος του ΑΔ . Αν Ε και Ζ τα μέσα των ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα ,
να αποδείξετε ότι : ΔΕ�Ζ = Β� − Γ� ( Σχολικό / 1 / Σύνθετα Θέματα / σ.116 )
� και το ύψος του ΑΔ . Να αποδείξετε ότι : Β� = 15°
αν και μόνο αν
ΑΔ =
ΒΓ
4
. ( Υπόδειξη : Να φέρετε την διάμεσο ΑΜ ) ( Σχολικό / 2 / Σύνθετα Θέματα / σ.116 )

Βαρύκεντρο - Ορθόκεντρο
47. Δύο ίσοι κύκλοι ( Ο , ρ) και (Κ , ρ) εφάπτονται εξωτερικά στο Ε . Αν ΟΑ και ΟΒ είναι τα εφαπτόμενα τμήματα
από το σημείο Ο στον κύκλο (Κ , ρ) να αποδείξετε ότι :
α) ΑΕ = ΒΕ
β) ΑΟ�Κ = 30°
γ) το τετράπλευρο ΑΚΒΕ είναι ρόμβος . ( Τράπεζα Θεμάτων )
48. Οι κύκλοι (Κ , ρ) και (Λ , 3ρ) εφάπτονται
εξωτερικά στο σημείο Α . Μια ευθεία ε εφάπτεται
εξωτερικά και στους δύο κύκλους στα σημεία Β
και Γ αντίστοιχα και τέμνει την προέκταση της
διακέντρου ΚΛ στο Ε . Φέρουμε από το σημείο Κ
παράλληλο τμήμα στην ε που τέμνει το τμήμα ΛΓ
στο Δ . Να αποδείξετε ότι :
α) το τετράπλευρο ΒΓΔΚ είναι ορθογώνιο
β) ΔΚ�Λ = 30°
γ) ΕΛ = 6ρ ( Τράπεζα Θεμάτων )
49. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι μβ = μγ να δείξετε ότι β = γ ( Σχολικό / 5 / Εμπέδωσης / σ.115 )
� . Προεκτείνουμε τη ΓΑ κατά τυχαίο τμήμα ΑΔ . Από το Δ φέρουμε
κάθετη ΔΗ στην ΒΓ , η οποία τέμνει την ΑΒ στο Ε . Να δείξετε ότι ΓΕ ⊥ ΔΒ ( Σχολικό / 6 / Εμπέδωσης / σ.116 )
51. Αν Ε , Ζ τα μέσα των πλευρών ΒΓ , ΓΔ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ αντίστοιχα , να αποδείξετε ότι οι ΑΕ και ΑΖ
τριχοτομούν τη διαγώνιο ΒΔ ( Σχολικό / 5 / Αποδεικτικές / σ.116 )
� και έστω Θ το σημείο τομής των διαμέσων του ΑΜ και ΒΝ .
Να αποδείξετε ότι : ΘΜ =
ΒΓ
6
53. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και οι διάμεσοί του ΑΜ και ΒΝ , που τέμνονται στο Θ . Έστω επίσης Κ το μέσο του ΒΘ .
α) Αν η ΓΚ τέμνει τη ΘΜ στο Π , να δείξετε ότι : ΠΜ =
ΑΜ
9
β) Αν η ΓΘ τέμνει την ΑΒ στο Λ , να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΛΘΜ είναι παραλληλόγραμμο .

Ορισμός : Τραπέζιο λέγεται το κυρτό τετράπλευρο που έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες .
Οι παράλληλες πλευρές ΑΒ και ΓΔ λέγονται βάσεις του
τραπεζίου .
Η απόσταση ΚΛ των παραλλήλων πλευρών του λέγεται ύψος
του τραπεζίου .
Το ευθύγραμμο τμήμα ΜΝ που ενώνει τα μέσα των μη
παράλληλων πλευρών του λέγεται διάμεσος του τραπεζίου
Θεώρημα I
Η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους .
Απόδειξη
Θα αποδείξουμε ότι ΜΝ∥ ΑΒ ∥ ΓΔ και ΜΝ =
ΑΒ + ΓΔ
2
Φέρνουμε τη διαγώνιο ΒΔ και από το Μ μέσο της ΑΔ
φέρνουμε παράλληλη των ΑΒ και ΓΔ που τέμνει τις ΒΔ και ΒΓ
στα Κ και Ν αντίστοιχα .
Τότε στο τρίγωνο ΑΒΔ το Μ είναι μέσο της ΑΔ και ΜΚ∥ ΑΒ ,
οπότε το Κ είναι το μέσο της ΔΒ , άρα θα ισχύει ΜΚ =
ΑΒ
2
(1) .
Επίσης στο τρίγωνο ΒΔΓ το Κ είναι μέσο της ΔΒ και ΚΝ∥ ΓΔ,
οπότε το Ν είναι το μέσο της ΒΓ , άρα και ΚΝ =
ΓΔ
2
(2)
Επομένως η ΜΝ είναι διάμεσος του τραπεζίου και ΜΝ∥ ΑΒ ∥ ΓΔ
Επίσης : (1) + (2) ⇒ ΜΚ + ΚΝ =
ΑΒ
2
+
ΓΔ
2
⇔ ΜΝ =
ΑΒ + ΓΔ
2
Το Τραπέζιο

Πόρισμα
Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων τραπεζίου βρίσκεται πάνω στη διάμεσο του
τραπεζίου , είναι παράλληλο προς τις βάσεις και ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεών του .
Απόδειξη
Φέρνουμε τις διαγώνιες ΒΔ , ΑΓ και την διάμεσο ΜΝ που
τέμνει τις ΒΔ και ΑΓ στα Κ και Λ αντίστοιχα .
Τότε στο τρίγωνο ΑΒΔ το Μ είναι μέσο της ΑΔ
και ΜΚ ∥ ΑΒ , οπότε το Κ είναι το μέσο της ΔΒ , άρα θα
ισχύει ΜΚ =
ΑΒ
2
(1) .
Ομοίως στο τρίγωνο ΑΔΓ το Μ είναι μέσο της ΑΔ
και ΜΛ ∥ ΓΔοπότε το Λ είναι μέσο της ΑΓ , άρα θα
ισχύει ΜΛ =
ΓΔ
2
(2) .
Επομένως η διάμεσος ΜΝ διέρχεται από τα μέσα Κ και Λ
των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ και προφανώς ΚΛ ∥ ΑΒ ∥ ΓΔ.
Επίσης : (1) − (2) ⟹ ΜΛ − ΜΚ =
ΔΓ
2
−
ΑΒ
2
⇔ ΚΛ =
ΔΓ – ΑΒ
2
.
Ισοσκελές Τραπέζιο
Ορισμός : Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες .
Α)
Ιδιότητες Ισοσκελούς Τραπεζίου
Αν ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές , τότε οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση είναι ίσες .
Απόδειξη
Έστω ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο με ΑΒ ∥ ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ .
Φέρνουμε τα ύψη ΑΗ και ΒΚ . Τα τρίγωνα ΑΔΗ και ΒΓΚ
είναι ίσα γιατί :
1) Η� = Δ� = 90°
2) ΑΔ = ΒΓ αφού ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο
3) ΑΗ = ΜΚ = υ
άρα θα είναι και Γ� = Δ� .
Επειδή είναι Α� + Δ� = 180°
και Β� + Γ� = 180°
άρα θα είναι Α� + Δ� = Β� + Γ� ⇔ Α� = Β�

Β) Αν ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές τότε οι διαγώνιοί του είναι ίσες .
Απόδειξη
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΓΔ :
1) ΓΔ κοινή πλευρά
2) ΑΔ = ΒΓ αφού ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο
3) ΑΔ�Γ = ΒΓ�Δ ως προσκείμενες στην βάση γωνίες
ισοσκελούς τραπεζίου
άρα από το κριτήριο Γ-Π-Γ , τα τρίγωνα είναι ίσα ,
οπότε και ΑΓ = ΒΔ
Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις :
Κριτήρια για να είναι ένα Τραπέζιο Ισοσκελές
Α)
Β)
Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση του είναι ίσες
Οι διαγώνιοί του είναι ίσες .

Τυχαίο Τραπέζιο
1. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) και η διάμεσός του ΕΖ . Αν οι μη παράλληλες πλευρές του ΑΔ και ΒΓ
τέμνονται στο Κ και Η , Θ είναι τα μέσα των ΚΑ και ΚΒ αντίστοιχα , να αποδείξετε ότι τα Ε , Ζ , Η , Θ είναι
κορυφές τραπεζίου . ( Σχολικό / 1 / Εμπέδωσης / σ. 119 )
2. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) . Αν η διχοτόμος της γωνίας Β� τέμνει τη διάμεσό του ΕΖ στο Η ,
να αποδείξετε ότι ΒΗ�Γ = 90°
( Σχολικό / 1 / Αποδεικτικές / σ. 120 )
3. Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ , η μια από τις μη παράλληλες πλευρές του ΑΔ είναι ίση με το άθροισμα των βάσεων του .
Αν Μ το μέσο της ΒΓ , να αποδείξετε ότι : ΑΜ�Δ = 90°
4. Αν σε τραπέζιο η μία βάση του είναι διπλάσια της άλλης , να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι χωρίζουν τη διάμεσο
σε τρία ίσα τμήματα . ( Σχολικό / 7 / Αποδεικτικές / σ. 120 )
5. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) με ΓΔ = 3ΑΒ και Κ , Λ τα μέσα των διαγωνίων του ΔΒ και ΑΓ αντίστοιχα .
Να αποδείξετε ότι το ΑΚΛΒ είναι παραλληλόγραμμο . Πότε είναι ορθογώνιο ;( Σχολικό / 8 / Αποδεικτικές / σ. 120)
6. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) με ΓΔ =
3
2
ΑΒ . Αν Ε , Ζ , Η είναι τα μέσα των ΑΒ , ΒΓ και ΔΕ αντίστοιχα ,
να αποδείξετε ότι το ΑΒΖΗ είναι παραλληλόγραμμο .
Αν η προέκταση της ΑΗ τέμνει τη ΓΔ στο Θ , τότε ΘΔ = ΔΓ − ΑΒ ( Σχολικό / 9 / Αποδεικτικές / σ. 120)
� και Δ , Ε τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα . Από το μέσο Ζ του ΑΔ
φέρνουμε παράλληλη προς την ΑΓ που τέμνει την ΒΓ στο Η . Αν ΖΗ =
3
8
ΒΓ , να βρείτε τη γωνία Β� .
( Σχολικό / 4 / Σύνθετα Θέματα / σ. 120 )
8. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) με ΑΒ = 3 , ΓΔ = 7 και Ε , Ζ μέσα των διαγωνίων ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα .
Αν Κ , Λ τα μέσα των ΒΔ και ΑΓ , να βρείτε τα μήκη των τμημάτων ΕΖ και ΚΛ
9. Δίνεται το διπλανό τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ)
και Ε , Ζ μέσα των διαγωνίων ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα .
Να βρείτε τα μήκη των τμημάτων ΑΒ και ΕΖ .
10. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) με ΑΒ = x , ΓΔ = x + 6 και ΕΖ διάμεσος του με ΕΖ = 2x − 2 . Να βρείτε το x .
11. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) με ΒΔ = ΒΓ , ΔΒ�Γ = 120°
, ΑΔ�Β = 25°
. Να υπολογίσετε :
α) τη γωνία Γ�
β) τη γωνία Α� ( Τράπεζα Θεμάτων )
12. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με Δ , Ε τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα , ΑΔ = 9 , ΕΓ = 10 , ΒΓ = 30 , ΔΕ = x .
α) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ
β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΕΓΒ είναι τραπέζιο
γ) Να υπολογίσετε το μήκος x ( Τράπεζα Θεμάτων )
ΑΣΚΗΣΕΙΣ

13. Στο διπλανό σχήμα ΑΒ ∥ ΚΛ ∥ ΜΝ ∥ ΔΓ
και ΑΚ = ΚΜ = ΜΔ , ΑΒ = 15 και ΜΝ = 35 .
Να βρείτε τα μήκη των ΚΛ και ΔΓ .
14. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) με ΒΔ = ΑΔ , Γ� = 110°
, ΔΒ�Γ = 30°
. Να βρείτε τη γωνία ΑΔ�Β
15. Στο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος τα σημεία Δ , Ε
είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα .
α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΕΓΒ είναι τραπέζιο
β) Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΒΓ
γ) Να συγκρίνετε τις περιμέτρους του τριγώνου ΑΒΓ
και του τετραπλεύρου ΔΕΓΒ
16. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) με ΑΒ = 3 και ΓΔ = 4 . Θεωρούμε σημείο Ε στην ΑΒ , ώστε ΑΕ = 1 .
Στο τραπέζιο ΕΒΓΔ θεωρούμε τα Κ , Λ μέσα των ΕΔ και ΒΓ αντίστοιχα .
α) Να υπολογίσετε τη διάμεσο ΚΛ του τραπεζίου ΕΒΓΔ
β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΛΚ είναι παραλληλόγραμμο. ( Τράπεζα Θεμάτων )
� . Έστω Κ , Λ τα μέσα των ΑΒ , ΑΓ αντίστοιχα και Μ , Ν τα μέσα των
ΚΒ , ΛΓ αντίστοιχα . Αν Π το μέσο του ΚΛ , να αποδείξετε ότι : ΜΝ = 3ΑΠ
� . Στην πλευρά θεωρούμε τα σημεία Κ , Μ και Λ ώστε να ισχύει :
ΒΚ = ΚΜ = ΜΛ = ΛΓ . Αν τα σημεία Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα , να δείξετε ότι
α) το τετράπλευρο ΔΕΛΚ είναι παραλληλόγραμμο
β) η διάμεσος του τραπεζίου ΚΔΑΜ ισούται με
3
8
ΒΓ ( Τράπεζα Θεμάτων )
19. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) με ΑΒ = ΑΔ + ΒΓ . Αν η διχοτόμος της γωνίας Δ� τέμνει την ΑΒ στο Μ ,
να αποδείξετε ότι :
α) το τρίγωνο ΑΔΜ είναι ισοσκελές
β) το τρίγωνο ΜΒΓ είναι ισοσκελές
γ) η ΓΜ είναι διχοτόμος της γωνίας Γ� του τραπεζίου . ( Τράπεζα Θεμάτων )
20. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) με ΓΔ = 2ΑΒ . Επίσης τα Ζ , Η και Ε είναι τα μέσα των ΑΔ , ΒΓ και ΔΓ
αντίστοιχα . Ακόμη η ΖΗ τέμνει τις ΑΕ και ΒΕ στα σημεία Θ και Ι αντίστοιχα . Να δείξετε ότι :
α) το τετράπλευρο ΑΒΓΕ είναι παραλληλόγραμμο
β) τα σημεία Θ και Ι είναι τα μέσα των ΑΕ και ΒΕ αντίστοιχα .
γ) ΖΗ =
3
2
ΑΒ ( Τράπεζα Θεμάτων )

Ισοσκελές Τραπέζιο
21. Δίνεται κύκλος (Ο , R) με διάμετρο ΑΒ και ευθείες ε1 , ε2 εφαπτόμενες του κύκλου στα άκρα της διαμέτρου ΑΒ.
Θεωρούμε ευθεία ε εφαπτομένη του κύκλου σε σημείο Ε , η οποία τέμνει τις ε1 , ε2 στα Δ και Γ αντίστοιχα .
α) το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο
β) ΓΔ = ΑΔ + ΒΓ
γ) το τρίγωνο ΓΟΔ είναι ορθογώνιο
δ) Αν ΑΔ�Ε = 60°
και η ΟΔ τέμνει τον κύκλο στο Κ , να δείξετε ότι Κ μέσο της ΔΟ . ( Τράπεζα Θεμάτων )
22. Σε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) είναι ΑΒ = 5x , ΔΓ = 3x και Α� = 60°
. Να βρείτε την περίμετρο
του τραπεζίου ΑΒΓΔ ( Σχολικό / 4 / Κατανόησης / σ. 119 )
23. Αν Δ και Ε είναι τα μέσα των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ , να αποδείξετε ότι
το ΔΕΓΒ είναι ισοσκελές τραπέζιο . ( Σχολικό / 2 / Εμπέδωσης / σ. 120 )
24. Σε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) οι διαγώνιοί του τέμνονται στο Ο . Αν Ε , Ζ , Η , Θ τα μέσα των ΟΑ , ΟΒ
ΟΓ , ΟΔ αντίστοιχα , να δείξετε ότι το ΕΖΗΘ είναι ισοσκελές τραπέζιο . ( Σχολικό / 3 / Εμπέδωσης / σ. 120 )
25. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και το ύψος του ΑΕ . Αν Κ , Λ είναι τα μέσα των ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα ,
να αποδείξετε ότι το ΚΛΓΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο ( Σχολικό / 4 / Εμπέδωσης / σ. 120 )
26. Σε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) με ΑΒ < ΓΔ και τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ .
Να αποδείξετε ότι : ΔΕ = ΓΖ =
ΓΔ − ΑΒ
2
( Σχολικό / 5 / Εμπέδωσης / σ. 120 )
27. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) Μ είναι το μέσο της ΑΒ . Αν η μεσοκάθετος της ΑΒ τέμνει την ΑΓ στο Ζ
και η παράλληλη από το Ζ προς τη ΒΓ τέμνει την ΑΒ στο Η , να αποδείξετε ότι ΓΗ = ΑΖ
28. Από το μέσο Ε της πλευράς ΒΓ ισοσκελούς τραπεζίου ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) φέρουμε παράλληλη προς την ΑΔ που
τέμνει τη ΔΓ στο Μ . Να αποδείξετε ότι ΒΜ ⊥ ΔΓ ( Σχολικό / 5 / Αποδεικτικές / σ. 120 )
29. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΗ . Αν Δ , Ε , Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ , ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα ,
να αποδείξετε ότι το ΔΕΖΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο . ( Σχολικό / 6 / Αποδεικτικές / σ. 120 )
30. Δίνεται το ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ)
και Ε , Ζ μέσα των ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα .
Να βρείτε τις γωνίες του τραπεζίου ΑΒΓΔ
31. Δίνεται το ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) με ΑΒ = 5 , ΓΔ = 9 , ΑΔ = ΒΓ = 4 . Να βρείτε τις γωνίες του .
32. Δίνεται το ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ)
και Ε , Ζ μέσα των ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα .
Να βρείτε την περίμετρο του ΑΒΓΔ .

33. Δίνεται το ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) με Α� = 72°
, ΑΔ = ΔΓ = ΓΒ . Να δείξετε ότι ∶ ΑΓ = ΑΒ .
34. Δίνεται το ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) με ΑΒ = 8 και ΔΓ = 12 . Αν ΑΗ και ΒΘ τα ύψη του τραπεζίου :
α) να αποδείξετε ότι ΔΗ = ΘΓ
β) να υπολογίσετε τη διάμεσο του τραπεζίου ( Τράπεζα Θεμάτων )
35. Δίνεται το ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) με Β� = 135°
. Από τις κορυφές Α και Β φέρουμε τα ύψη του
ΑΕ και ΒΖ .
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου
β) Να αποδείξετε ότι : ΑΕ = ΕΔ = ΒΖ = ΓΖ ( Τράπεζα Θεμάτων )
36. Δίνεται το ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) με Γ� = Δ� = 60°
, ΑΔ = 12 και ΓΔ = 20 . Φέρουμε και τα ύψη
ΑΕ και ΒΖ .
α) Να αποδείξετε ότι ΔΕ = ΓΖ και ΑΒ = ΕΖ
β) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τραπεζίου ( Τράπεζα Θεμάτων )
37. Δίνεται το ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) με Γ� = 60°
, ΑΒ = 6 και ΒΓ = 4 . Φέρουμε και τα ύψη
ΑΕ και ΒΖ .
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου
β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΒΖΓ είναι ίσα .
γ) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τραπεζίου ( Τράπεζα Θεμάτων )
38. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ και έστω Ο το κέντρο του . Αν Κ , Λ είναι τα μέσα των ΟΓ , ΟΔ αντίστοιχα , να δείξετε
ότι το τετράπλευρο ΑΒΚΛ είναι ισοσκελές τραπέζιο .
39. Δίνεται το ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ). Αν Μ , Ν είναι τα μέσα των ΑΒ , ΓΔ αντίστοιχα , να δείξετε ότι :
α) τα τρίγωνα ΑΔΝ και ΒΓΝ είναι ίσα .
β) το τμήμα ΜΝ είναι κάθετο στις βάσεις ΑΒ και ΓΔ .
40. Δίνεται το ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) με Γ� = 135°
. Αν ΕΖ η διάμεσος του και ΔΗ το ύψος του ,
να αποδείξετε ότι : ΕΖ + ΔΗ = ΑΒ .
41. Δίνεται το ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) , το σημείο Μ είναι το μέσο της πλευράς ΔΓ και τα σημεία Κ
και Λ είναι τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι :
α) τα τμήματα ΚΜ και ΛΜ είναι ίσα .
β) τα τμήματα ΑΜ και ΒΜ είναι ίσα . ( Τράπεζα Θεμάτων )
� . Θεωρούμε τα μέσα Δ , Ε και Ζ των πλευρών του
ΑΒ , ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα , να αποδείξετε ότι :
α) το τετράπλευρο ΑΕΖΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο .
β) το τετράπλευρο ΕΔΒΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο . ( Τράπεζα Θεμάτων )
� και τυχαίο σημείο Δ της ΑΒ . Έστω Κ , Μ και Ν τα μέσα των ΓΔ , ΒΓ
και ΒΔ αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι :
α) το τετράπλευρο ΚΜΝΔ είναι παραλληλόγραμμο
β) το τετράπλευρο ΑΚΜΝ είναι ισοσκελές τραπέζιο
γ) η διάμεσος του τραπεζίου ΑΚΜΝ είναι ίση με
ΑΒ
2
44. Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου κέντρου Ο φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ , ΡΒ και τη διακεντρική
ευθεία ΡΟ που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Δ και Γ αντίστοιχα . Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Γ τέμνει
τις προεκτάσεις των ΡΑ και ΡΒ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι :
α) ΔΑ�Ρ = ΔΒ�Ρ
β) ΕΑ = ΖΒ
γ) το τετράπλευρο ΑΒΖΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο . ( Τράπεζα Θεμάτων )

Ορθογώνιο Τραπέζιο
45. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με Α� = Δ� = 90°
και Β� = 120°
. Αν ΑΒ = 2α και ΒΓ = α να υπολογίσετε τη διάμεσο ΕΖ
ως συνάρτηση του α . ( Σχολικό / 3 / Αποδεικτικές / σ. 120 )
και ΒΓ = 2ΓΔ. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ ,
να δείξετε ότι ΑΜ�Γ = 3ΜΑ�Β ( Σχολικό / 2 / Σύνθετα Θέματα / σ. 120 )
και Γ� = 60°
, ΔΒ = ΔΓ = 18 . Να βρείτε το ύψος του τραπεζίου .
48. Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓΔ με Α� = Δ� = 90°
και Ε μέσο της ΑΔ με ΕΖ ⊥ ΑΔ .
Να βρείτε τα μήκη των ΒΔ , ΑΒ και ΕΖ .
49. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΓΔ) με Α� = 90°
και Γ� = 60°
, ΑΒ = ΒΓ = 4 και το ύψος ΒΕ από την κορυφή Β .
α) Να υπολογίσετε τις άλλες δύο γωνίες του τραπεζίου ΑΒΓΔ .
β) Να αποδείξετε ότι 2ΕΓ = ΒΓ
γ) Αν Μ , Ν τα μέσα των πλευρών ΑΔ , ΒΓ αντίστοιχα , να βρείτε το μήκος του ΜΝ ( Τράπεζα Θεμάτων )
, ΑΒ > ΓΔ, ΒΓ = 4ΓΔ και Β� = 60°
. Φέρουμε την ΓΗ ⊥ ΑΒ και
θεωρούμε τα μέσα Ε και Ζ των πλευρών ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι :
α) ΑΒ = 3ΓΔ
β) το τετράπλευρο ΕΗΒΖ είναι παραλληλόγραμμο . ( Τράπεζα Θεμάτων )
51. Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓΔ με Α� = Δ� = 90°
, ΒΓ = ΓΔ = 2ΑΒ και Κ , Λ τα μέσα των ΒΓ και ΓΔ .
Η παράλληλη από το Κ προς την ΑΒ τέμνει την ΑΛ στο Ζ . Να αποδείξετε ότι :
α) ΒΓ = 2ΔΖ
β) το τετράπλευρο ΖΚΓΛ είναι ρόμβος
γ) ΑΚ�Λ = 90°
και Γ� = 45°
, ΓΔ = 2ΑΒ . Από την κορυφή Β φέρουμε την ΒΕ κάθετη
στην ΓΔ .
α) Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΕ είναι παραλληλόγραμμο
β) Να αποδείξετε ότι το ΑΒΕΔ είναι τετράγωνο
γ) Αν Ν μέσο του ΑΕ και Μ το μέσο του ΒΕ να δειχθεί ότι ΝΜ =
ΔΓ
4

Επίκεντρη Γωνία
Μια γωνία λέγεται επίκεντρη , όταν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου
και οι πλευρές της ακτίνες του κύκλου
Μια κυρτή γωνία λέγεται
Εγγεγραμμένη Γωνία
εγγεγραμμένη σε ένα κύκλο αν η κορυφή της είναι
σημείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι τέμνουσες του κύκλου .
Το τόξο ΒΓ� που περιέχεται στην εγγεγραμμένη γωνία λέγεται
αντίστοιχο τόξο της ή διαφορετικά λέμε ότι η γωνία Α� βαίνει στο τόξο ΒΓ� .
Γωνία Χορδής και Εφαπτομένης
Αν η κορυφή είναι σημείο του κύκλου , η μια της πλευρά είναι
τέμνουσα και η άλλη εφαπτομένη του κύκλου , τότε η γωνία
λέγεται γωνία χορδής και εφαπτομένης .
ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ
ΣΧΗΜΑΤΑ

Σχέση Εγγεγραμμένης και αντίστοιχης Επίκεντρης
Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης που βαίνει
στο ίδιο τόξο .
Δηλαδή : Α� =
1
2
Ο� αφού βαίνουν στο τόξο ΒΓ� .
Α)
Πορίσματα
Β)
Το μέτρο μιας εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το μισό του μέτρου του αντίστοιχοι τόξου της .
Α� = 90°
ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο .
Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή .
Γ)
Ε� = Ζ� αφού βαίνουν στα ίσα τόξα ΑΒ� , ΓΔ�
Οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα του ίδιου ή ίσων κύκλων είναι ίσες
και αντίστροφα
Δ)
Αν ΑΒ ∥ ΓΔ τότε ΑΓ� = ΒΔ�
Τα τόξα που περιέχονται μεταξύ παραλλήλων χορδών είναι ίσα .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Ε) Η γωνία που σχηματίζεται από μια χορδή κύκλου και την εφαπτομένη στην άκρη της χορδής ισούται με την
εγγεγραμμένη που βαίνει στο τόξο της χορδής .
Η γωνία που σχηματίζεται από μια χορδή κύκλου και την εφαπτομένη
στην άκρη της χορδής ισούται με μισό της επίκεντρης που βαίνει στο τόξο
της χορδής .
Η γωνία που σχηματίζεται από μια χορδή κύκλου και την εφαπτομένη στην άκρη
της χορδής έχει μέτρο όσο με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της
χορδής .
1. Σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα να βρείτε τα x , y . ( Σχολικό / 1 / Εμπέδωσης / σ.134 )
2. Αν στο διπλανό σχήμα είναι Α� = 40°
,
να βρείτε το μέτρο του τόξου ΒΕ.
3. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη στο μέσο ενός από τα τόξα με χορδή ΑΒ κύκλου(Κ) είναι παράλληλη
στην χορδή ΑΒ και αντίστροφα . ( Σχολικό / 1 / Αποδεικτικές / σ.135 )

4. Αν στα παρακάτω σχήματα οι ευθείες ε και ε’ είναι εφαπτόμενες να βρείτε τα x , y .
5. Να βρείτε τα μέτρα των τόξων ΕΒ και ΓΔ του παρακάτω σχήματος . ( Σχολικό / 4 / Εμπέδωσης / σ.134 )
6. Αν στο επόμενο σχήμα τα τόξα ΒΜ και ΜΓ είναι ίσα , να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων ΟΒΓ και ΜΒΓ
7. Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία Α και Β . Αν Γ και Δ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία του Α στους δύο κύκλους ,
να αποδείξετε ότι η ευθεία ΓΔ διέρχεται από το Β . ( Σχολικό / 2 / Αποδεικτικές / σ.135 )
8. Να βρείτε τη γωνία ω στα παρακάτω σχήματα :

9. Στο διπλανό σχήμα , να υπολογίσετε :
α) τη γωνία ΒΓ�Δ
β) τη γωνία ω
10. Να βρείτε τη γωνία ω στα παρακάτω σχήματα :
11. Στο διπλανό σχήμα , να υπολογίσετε :
α ) τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ
β) το μέτρο του τόξου ΑΕΓ
12. Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ
13. Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε το μήκος του τόξου ΑΔ

14. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία εφάπτεται του κύκλου
στο σημείο Γ .
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες x , y και ω
β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΟΑΓ ως προς τις πλευρές του
15. Σε ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ προεκτείνουμε την ΑΒ
προς το μέρος του Α και παίρνουμε ένα σημείο Γ .
Θεωρούμε Ε ένα σημείο του ημικυκλίου και έστω Δ
το σημείο τομής του τμήματος ΓΕ με το ημικύκλιο .
Αν το τμήμα ΓΔ ισούται με το ΟΒ ,
να βρείτε τη γωνία x .
16. Θεωρούμε κύκλο διαμέτρου ΒΓ . Φέρουμε την εφαπτομένη του
κύκλου στο σημείο Α και την παράλληλη ευθεία στη ΒΓ που τέμνει
την ΑΒ στο Δ και την ΑΓ στο Ε .
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΒΑΓ
β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΓΕΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο
και να υπολογίσετε τις γωνίες του .
17. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο διαμέτρου ΑΒ και χορδή ΑΓ τέτοια , ώστε ΒΑ�Γ = 30°
. Στο σημείο Γ φέρνουμε την
εφαπτομένη του κύκλου , η οποία τέμνει την προέκταση της διαμέτρου ΑΒ , προς το Β , στο σημείο Δ .
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΟΓΔ
β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΟΓ και ΓΒΔ είναι ίσα . ( Τράπεζα Θεμάτων )
18. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο διαμέτρου ΑΒ και χορδή ΑΓ τέτοια , ώστε ΒΑ�Γ = 30°
. Στο σημείο Γ φέρνουμε την
εφαπτομένη του κύκλου , η οποία τέμνει την προέκταση της διαμέτρου ΑΒ , προς το Β , στο σημείο Δ .
α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΓΑΔ είναι ισοσκελές
β) Να αποδείξετε ότι ΑΒ = 2ΒΔ
19. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας ρ . Αν η διάμετρος ΑΔ είναι
διχοτόμος της γωνίας ΒΑ�Γ , να αποδείξετε ότι :
α) τα τόξα ΒΔ και ΔΓ είναι ίσα
β) τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ είναι ίσα .

20. Σε κύκλο κέντρο Ο φέρουμε τις διαμέτρους του ΑΓ και ΒΔ .
α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο
β) Ποια σχέση πρέπει να έχουν οι διάμετροι ΑΓ και ΒΔ ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι τετράγωνο . Να
δικαιολογήσετε την απάντησή σας . ( Τράπεζα Θεμάτων )
21. Δίνονται δύο ίσοι κύκλοι (Ο , ρ) και (Κ , ρ) με ΟΚ = ρ , οι οποίοι τέμνονται στα σημεία Α και Δ .
α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΚ είναι ισόπλευρο
β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΒΑΚ . ( Τράπεζα Θεμάτων )
22. Δύο κύκλοι (Ο , ρ) και (Κ , R) εφάπτονται εξωτερικά στο Ν . Μια ευθεία ε εφάπτεται στους δύο κύκλους στα
σημεία Α και Β αντίστοιχα . Η κοινή εφαπτομένη των κύκλων στο Ν τέμνει την ε στο Μ . Να δείξετε ότι :
α) το Μ είναι το μέσο του ΑΒ
β) ΟΜ�Κ = 90°
γ) ΑΝ�Β = 90°
23. Θεωρούμε έναν κύκλο και ένα σημείο Α εκτός αυτού. Από το Α φέρουμε ένα εφαπτόμενο τμήμα ΑΒ και μια
ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Γ και Δ . Αν η διχοτόμος της γωνίας ΓΒ�Δ τέμνει την ΓΔ στο Ε , να
αποδείξετε ότι ΑΒ = ΑΕ .
24. Σε κύκλο διαμέτρου ΑΒ φέρουμε δύο παράλληλες χορδές ΑΓ και ΒΔ . Να αποδείξετε ότι :
α) ΑΓ = ΒΔ
β) η ΓΔ είναι διάμετρος του κύκλου
25. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο, μια χορδή του ΑΒ , η εφαπτομένη του (ε) στο Α και σημείο Γ της (ε) ώστε ΑΓ = ΑΒ.
α) ΔΑ = ΔΓ
β) το τόξο ΑΒ είναι διπλάσιο του τόξου ΑΔ .

Εγγεγραμμένα Τετράπλευρα
Ορισμός : Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραμμένο σε κύκλο
Ο κύκλος στον οποίο είναι εγγεγραμμένο το τετράπλευρο λέγεται
, αν οι κορυφές του είναι σημεία του κύκλου .
περιγεγραμμένος κύκλος του τετραπλεύρου .
Α)
Ιδιότητες Εγγεγραμμένου Τετραπλεύρων
Οι απέναντι γωνίες ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου είναι παραπληρωματικές .
Η γωνία Α� βαίνει στο τόξο ΒΓΔ� ενώ η γωνία Γ� βαίνει στο τόξο ΒΑΔ� για
τα οποία τόξα ισχύει ΒΓΔ� + ΒΑΔ� = 4⊾ , άρα Α� + Γ� = 2⊾
Β) Κάθε πλευρά ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες .
Η πλευρά π.χ. ΓΔ φαίνεται από τις κορυφές Α και Β υπό ίσες γωνίες
αφού είναι εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ΓΔ�
Γ) Κάθε εξωτερική γωνία ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ισούται με την απέναντι εσωτερική γωνία του .
Αφού ΑΒΓΔ εγγεγραμμένο σε κύκλο τότε θα ισχύει : Γ�εξωτ . = Α�

Εγγράψιμα Τετράπλευρα
Ορισμός : Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιμο όταν μπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται και από τις
τέσσερις κορυφές του .
Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο , αν ισχύει μια από τις ακόλουθες προτάσεις :
Κριτήρια Εγγραψιμότητας Τετραπλεύρων
Α)
Β)
Δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές .
Γ)
Μια πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες
Μια εξωτερική του γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική γωνία του τετραπλεύρου .
Περιγεγραμμένα και Περιγράψιμα Τετράπλευρα
Ορισμός : Ένα τετράπλευρο , του οποίου οι πλευρές εφάπτονται στον ίδιο κύκλο , λέγεται περιγεγραμμένο στον
κύκλο αυτό , ενώ ο κύκλος λέγεται εγγεγραμμένος στο τετράπλευρο αυτό .
Α)
Ιδιότητες Περιγεγραμμένων Τετραπλεύρων
Β)
Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός περιγεγραμμένου τετραπλεύρου
διέρχονται από το ίδιο σημείο , το οποίο είναι και το κέντρο του
εγγεγραμμένου κύκλου του .
Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών ενός περιγεγραμμένου
τετραπλεύρου είναι ίσα .
Α)
Κριτήρια Περιγραψιμότητας Τετραπλεύρων
Β)
Ένα τετράπλευρο είναι περιγράψιμο σε κύκλο αν οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο
Ένα τετράπλευρο είναι περιγράψιμο σε κύκλο αν τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι Α� = 120°
και Β�εξωτ . = 80°
. Να βρείτε τις υπόλοιπες γωνίες του
τετραπλεύρου ΑΒΓΔ ( Σχολικό / 1 / Εμπέδωσης / σ.139 )
2. Αν ένας ρόμβος είναι εγγεγραμμένος σε κύκλο, να αποδείξετε ότι είναι τετράγωνο.
3. Να δείξετε ότι κάθε εγγεγραμμένο παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο . ( Σχολικό / 3 / Εμπέδωσης / σ.139 )
4. Να αποδείξετε ότι κάθε περιγεγραμμένο παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος, του οποίου οι διαγώνιοι τέμνονται
στο κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου . ( Σχολικό / 4 / Εμπέδωσης / σ.139 )
5. Δύο κύκλοι τέμνονται στα Α και Β . Από τα Α και Β φέρουμε ευθείες που τέμνουν τον έναν κύκλο στα Γ και Γ ’
ενώ τον άλλον στα Δ και Δ ’ . Να δείξετε ότι : ΓΓ′
∥ ΔΔ′ ( Σχολικό / 1 / Αποδεικτικές / σ.139 )
6. Να αποδειχθεί ότι κάθε ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο
7. Στο παρακάτω σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο . Να υπολογίσετε τη γωνία ω .
8. Στο παρακάτω σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο . Να υπολογίσετε τις γωνίες του .
9. Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε τις γωνίες x , y .

10. Στο παρακάτω σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι περιγράψιμο σε κύκλο. Να υπολογίσετε τα μήκη των
πλευρών του .
11. Στο παρακάτω σχήμα η Αx είναι εφαπτομένη του κύκλου με κέντρο Ο . Να βρείτε τη γωνία Β�1 και την φ�
12. Στο παρακάτω σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει κάθετες διαγώνιους και ΒΑ�Δ = 110°
και ΒΓ�Δ = 70°
. Να
δικαιολογήσετε γιατί το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο και να βρείτε τις γωνίες Β και Δ .
13. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ ∥ ΓΔ , στο οποίο ισχύει ΓΔ = 3ΑΒ και Δ� = 60°
. Να αποδείξετε ότι
το ΑΒΓΔ είναι περιγράψιμο σε κύκλο .
14. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΔ . Προεκτείνουμε το ΑΔ κατά ίσο τμήμα ΔΕ .
Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΕΓ είναι περιγράψιμο σε κύκλο .
15. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ε ένα σημείο του ύψους του ΑΔ . Αν Ζ και Η είναι οι προβολές του Ε στις πλευρές ΑΒ
και ΑΓ αντίστοιχα , να αποδείξετε ότι :
α) ΖΑ�Ε = ΖΗ�Ε
β) το τετράπλευρο ΒΖΗΓ είναι εγγράψιμο

γεωμετρια α λυκειου

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to γεωμετρια α λυκειου

More from Christos Loizos

Recently uploaded

γεωμετρια α λυκειου