"Γεωμετρία 3.1 - 3.2"

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΤΡΊΓΩΝΑ
Υπεύθυνος Καθηγητής: Χαντόγλου Παναγιώτης
1

2. 3.1 ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΚΑΙ ΕΊΔΗ ΤΡΙΓΏΝΟΥ
3.2 1Ο ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΙΣΌΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΏΝΩΝ
2

3. 3.1 ΣΤΟΙΧΕΊΑ ΚΑΙ ΕΊΔΗ ΤΡΙΓΏΝΟΥ
Κάθε τρίγωνο ΑΒΓ αποτελείται από
 3 κορυφές: Α, Β, Γ
 3 πλευρές : ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ
 3 γωνίες:
Σημείωση:
 Κάθε γωνία μπορούμε να την συμβολίσουμε με τρία
γράμματα, δηλαδή:
 Κάθε πλευρά μπορούμε να την ονομάσουμε με το
αντίστοιχο μικρό γράμμα της απέναντι πλευράς, δηλαδή:
ΑΒ = γ, ΒΓ = α, ΑΓ = β
ˆ ˆ ˆ, ,  
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,        
3

4.  Ποια είναι τα κύρια στοιχεία του τριγώνου;
Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι
γωνίες του.
Η περίμετρος του τριγώνου δίνεται από τον τύπο:
2τ = α + β + γ ή
1
( )
2
     
4

5. Ανάλογα με τις πλευρές ενός τριγώνου, προκύπτουν 3 είδη
τριγώνου:
 Σκαληνό: Είναι το τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές
άνισες.
 Ισοσκελές: Είναι το τρίγωνο που έχει δύο πλευρές ίσες.
Δηλαδή: ΑΒ = ΑΓ
και
Η ΒΓ λέγεται βάση του τριγώνου και το Α κορυφή του.
ˆ ˆ 
5

6.  Ισόπλευρο: Είναι το τρίγωνο που έχει όλες του τις
πλευρές ίσες.
Δηλαδή: ΑΒ = ΒΓ = ΓΑ και
Ανάλογα με τις γωνίες ενός τριγώνου, προκύπτουν 3 είδη
τριγώνου:
 Οξυγώνιο: Είναι το τρίγωνο που έχει 3 γωνίες οξείες.
 Ορθογώνιο: Είναι το τρίγωνο που έχει 1 γωνία ορθή και
δύο γωνίες οξείες.
 Αμβλυγώνιο: Είναι το τρίγωνο που έχει 1 γωνία αμβλεία
και δύο γωνίες οξείες.
ˆ ˆ ˆ 60
     
6

7.  Ποια είναι τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου;
 Διάμεσος ενός τριγώνου, είναι το ευθύγραμμο τμήμα που
ενώνει μία κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς.
Συμβολισμός:
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ το σημείο τομής των διαμέσων είναι
εσωτερικό του τριγώνου.
7
 






 
 
 

8. 8
 Διχοτόμος μιας γωνίας ενός τριγώνου, είναι το
ευθύγραμμο τμήμα με άκρα την κορυφή της γωνίας και
κάποιο σημείο της απέναντι πλευράς, που χωρίζει τη
γωνία σε δύο ίσες γωνίες.
Συμβολισμός:
ΑΔ = δα
Α1 = Α2
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ το σημείο τομής των διχοτόμων είναι
εσωτερικό του τριγώνου.
ΑΔ = δα
ΒΕ = δβ
ΓΖ = δγ

9. 9
 Ύψος από μία κορυφή ενός τριγώνου είναι το κάθετο
ευθύγραμμο τμήμα, που φέρεται από μία κορυφή προς
την απέναντι πλευρά.
Συμβολισμός:
ΑΔ = υα
ΑΔ ┴ ΒΓ
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο το σημείο τομής των υψών είναι
εσωτερικό του τριγώνου.

10.  Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το σημείο τομής των υψών
είναι εξωτερικό του τριγώνου.
 Σε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο το σημείο τομής των υψών
είναι εξωτερικό του τριγώνου.
10

11. Κριτήρια Ισότητας Τριγώνων
 Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν τις πλευρές τους και τις
γωνίες τους ίσες μία προς μία.
 Δύο τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται
ίσες γωνίες και αντίστροφα.
11

12. Θεώρημα Ι (1ο Κριτήριο: Π – Γ – Π ): Αν δύο τρίγωνα
έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις
περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα.
12
3.2 1Ο ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΙΣΌΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΏΝΩΝ
ˆ ˆ
 
   
 
       
    

13. ΠΌΡΙΣΜΑ Ι
Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο:
 Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες.
 Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και
ύψος.
Επομένως έχουμε:
13
ˆ ˆ  
1 2
ˆ ˆ       
  

14. ΑΠΌΔΕΙΞΗ ΠΟΡΊΣΜΑΤΟΣ 1
 Έστω ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο, με
ΑΒ = ΑΓ. Φέρουμε τη διχοτόμο ΑΔ.
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ
• ΑΔ κοινή πλευρά
• Α1 = Α2 (ΑΔ διχοτόμος)
• ΑΒ = ΑΓ (υπόθεση)
Άρα από Π – Γ – Π προκύπτει ότι ΑΒΔ = ΑΔΓ και άρα:
Από την παραπάνω ισότητα προκύπτει ότι:
ΒΔ = ΓΔ, άρα ΑΔ διάμεσος.
Άρα ΑΔ είναι και ύψος. 14
ˆ ˆ  
1 2 1 2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ180 2 180 90  
            

15. ΠΌΡΙΣΜΑ ΙΙ
Οι γωνίες ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες και μάλιστα
60ο η κάθε μία.
15
ˆ ˆ ˆ 180 180ˆ ˆ ˆ3 180 60
ˆ ˆ ˆ 3
 
 
      
       
     
ˆ ˆ ˆ 60
     

16. ΠΌΡΙΣΜΑ ΙΙΙ
Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος
ισαπέχει από τα άκρα του.
Απόδειξη
Θεωρούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.
Φέρουμε τη μεσοκάθετο ε και θεωρούμε Μ ένα σημείο της.
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΚΜ και ΜΚΒ:
• ΜΚ κοινή
• Κ1 = Κ2 = 90ο
• ΑΚ = ΚΒ (ε μεσοκάθετος)
Επομένως: ΜΑ = ΜΒ.
16
Άρα από Π – Γ – Π, προκύπτει
ότι: ΑΚΜ = ΜΚΒ

17. ΠΌΡΙΣΜΑ ΙV
Αν δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, τότε και οι χορδές τους
είναι ίσες.
Γνωρίζουμε ότι:
Απόδειξη
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ:
• ΑΟ = ΟΔ (ως ακτίνες)
• Ο1 = Ο2 (γιατί βαίνουν σε ίσα τόξα)
• ΒΟ = ΓΟ (ως ακτίνες)
Άρα από Π – Γ – Π έχουμε: ΑΟΒ = ΓΟΔ και συνεπώς:
ΑΒ = ΓΔ 17
ˆ ˆ      
Έστω: ΑΒ=ΓΔ δύο τόξα

18.  Σε τι μας χρησιμεύει η ισότητα τριγώνων;
Η ισότητα τριγώνων θα την χρησιμοποιούμε κυρίως όταν:
 Θέλουμε να αποδείξουμε ότι δύο ευθύγραμμα τμήματα
είναι ίσα.
 Θέλουμε να δείξουμε ότι δύο γωνίες είναι ίσες.
18

19. 19
Ερωτήσεις Κατανόησης

20. Σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις να εντοπίσετε
τις κορυφές, τις γωνίες και τις πλευρές του κάθε
τριγώνου. Ποιο είναι το είδος του κάθε τριγώνου;
20

21. Σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις να εντοπίσετε
τις κορυφές, τις γωνίες και τις πλευρές του κάθε
τριγώνου. Ποιο είναι το είδος του κάθε τριγώνου;
21

22. Σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις να εντοπίσετε
τις κορυφές, τις γωνίες και τις πλευρές του κάθε
τριγώνου. Ποιο είναι το είδος του κάθε τριγώνου;
22

23. Σε ποια από τις ακόλουθες περιπτώσεις τα δύο τρίγωνα
είναι ίσα; Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
23

24. Σε ποια από τις ακόλουθες περιπτώσεις τα δύο τρίγωνα
είναι ίσα; Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
24

25. Σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις να εξηγήσετε
γιατί τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα:
25

26. Σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις να εξηγήσετε
γιατί τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα:
26

27. 27
Ασκήσεις Εμπέδωσης

28. 1. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ, ΓΑ ενός τριγώνου ΑΒΓ
θεωρούμε τμήματα ΑΔ = ΑΒ και ΑΕ = ΑΓ αντίστοιχα. Να
αποδείξετε ότι: ΒΕ = ΓΔ.
Υπόθεση:
ΑΒ = ΑΔ και ΑΓ = ΑΕ
Συμπέρασμα:
ΒΕ = ΓΔ
Ιδέα
Για να δείξουμε ότι δύο ευθύγραμμα τμήματα είναι ίσα, αρκεί
να βρούμε δύο τρίγωνα που να περιέχουν αυτά τα
ευθύγραμμα τμήματα και να αποδείξουμε ότι είναι ίσα. 28

29. Λύση
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΔΑΓ
• ΑΒ = ΑΔ (υπόθεση)
• (ως κατακορυφήν)
• ΑΕ = ΑΓ
Άρα από Π – Γ – Π, προκύπτει ότι ΑΕΒ = ΔΑΓ και συνεπώς:
ΒΕ = ΓΔ
29
1 2
ˆ ˆ  

30. 2. Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τις πλευρές
ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ και στις προεκτάσεις τους θεωρούμε τμήματα
ΒΚ = ΓΛ = ΑΜ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι
ισόπλευρο.
Υπόθεση:
ΒΚ = ΓΛ = ΑΜ
ΑΒΓ ισόπλευρο: α) ΑΒ = ΒΓ = ΓΑ
Συμπέρασμα:
ΚΛΜ ισόπλευρο
Ιδέα
Αρκεί να δείξουμε ότι έχει 3 πλευρές ίσες.
30
ˆ ˆ ˆ) 60
      

31. 31
 Από ποιες πλευρές αποτελείται το πράσινο
τρίγωνο, ποιες το κίτρινο και ποιες το μωβ;
 Ποιες είναι οι γωνίες του κάθε τριγώνου;
 Τι συμπέρασμα βγάζεται για τις γωνίες Α1, Β1, Γ1;
 Τι συμπέρασμα βγάζεται για τις γωνίες Α2, Β2, Γ2;

32. Συγκρίνω τα τρίγωνα: ΑΜΚ και ΜΓΛ
• ΑΜ = ΓΛ (υπόθεση)
• ΑΚ = ΜΓ (ως άθροισμα ίσων τμημάτων)
• Α2 = Γ2 (ως παραπληρωματικές ίσων γωνιών)
Άρα από Π – Γ – Π, προκύπτει ότι: ΑΜΚ = ΜΓΛ και άρα ΜΚ
= ΜΛ (2)
Από (1) και (2) προκύπτει ότι: ΚΜ = ΜΛ = ΛΚ 32
Λύση
Θέλω να δείξω ότι ΚΜ = ΜΛ = ΛΚ
Συγκρίνω τα τρίγωνα: ΑΜΚ και ΒΚΛ
•ΑΜ = ΒΚ (υπόθεση)
•ΑΚ = ΒΛ (ως άθροισμα ίσων τμημάτων)
•Α2 = Β2 (ως παραπληρωματικές ίσων
γωνιών)
Άρα από Π – Γ – Π, προκύπτει ότι:
ΑΜΚ = ΒΚΛ και άρα ΜΚ = ΚΛ (1)

33. 33
3. Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων
τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι.
Υπόθεση:
ΑΒΓ = ΔΕΖ
ΑΜ, ΔΚ διάμεσοι
ΒΜ = ΜΓ και ΚΕ = ΚΖ
Συμπέρασμα:
ΑΜ = ΔΚ
Ιδέα
Αρκεί να δείξω ότι δύο τρίγωνα, που περιέχουν τις
διαμέσους, είναι ίσα.

34. Τι συμπεράσματα βγάζετε από την ισότητα των τριγώνων
ΑΒΓ και ΔΕΖ;
Λύση
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΔΕΚ
 ΑΒ = ΔΕ (ΑΒΓ = ΔΕΖ)
 (ΑΒΓ = ΔΕΖ)
 ΒΜ = ΕΚ (ως μισά ίσων τμημάτων)
34
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ

 
      
    
             
            
ˆ ˆ  
Από Π – Γ – Π,
προκύπτει ότι:
ΑΒΜ = ΔΕΚ και
άρα ΑΜ = ΔΚ

35. 35
4. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας Α
στην οποία θεωρούμε τμήματα ΑΕ = ΑΒ και ΑΖ = ΑΓ.
Να αποδείξετε ότι οι γωνίες ΑΓΕ και ΑΖΒ είναι ίσες.
Υπόθεση:
ΑΔ διχοτόμος :
ΑΕ = ΑΒ, ΑΖ = ΑΓ
Συμπέρασμα:
Ιδέα
Αρκεί να δείξω ότι τα τρίγωνα που περιέχουν τις γωνίες
είναι ίσα.
1 2
ˆ ˆ  
ˆ ˆ  

36. Λύση
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΖ και ΑΓΕ:
 ΑΒ = ΑΕ (υπόθεση)
 (ΑΔ διχοτόμος)
 ΑΓ = ΑΖ (υπόθεση)
36
1 2
ˆ ˆ  
Άρα από Π – Γ – Π,
προκύπτει ότι ΑΒΖ = ΑΓΕ
και συνεπώς: ˆ ˆ  

37. 37
Αποδεικτικές Ασκήσεις

38. 38
1. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Κ σημείο εξωτερικό του
τριγώνου. Αν στις προεκτάσεις των ΑΚ, ΒΚ, ΓΚ
θεωρήσουμε τμήματα ΚΔ = ΑΚ, ΚΕ = ΒΚ, ΚΖ = ΓΚ, να
αποδείξετε ότι οι γωνίες ΕΔΖ και ΒΑΓ είναι ίσες.
Υπόθεση:
ΚΔ = ΑΚ,
ΚΕ = ΒΚ,
ΚΖ = ΓΚ
Συμπέρασμα:
Ιδέα
Αρκεί να δείξω ότι τα τρίγωνα που περιέχουν τις γωνίες
είναι ίσα. Μπορεί να τύχει να χρειαστούμε
περισσότερες από μία συγκρίσεις τριγώνων.
ˆ ˆ  

39. Λύση
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΚ και ΔΚΕ:
 ΑΚ = ΚΔ (υπόθεση)
 Α1 = Α2 ( ως κατακορυφήν)
 ΒΚ = ΚΔ (υπόθεση)
Άρα από Π – Γ – Π, προκύπτει ότι:
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΓΚ και ΔΚΕ:
 ΑΚ = ΚΔ (υπόθεση)
 Α3 = Α4 ( ως κατακορυφήν)
 ΓΚ = ΚΖ (υπόθεση)
Άρα από Π – Γ – Π, προκύπτει ότι:
Από (1) και (2) προκύπτει ότι: 39
1 1
ˆ ˆ (1)
 
      
2 2
ˆ ˆ (2)
 
       
ˆ ˆ  

40. 40
2. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προεκτάσεις των
ίσων πλευρών του ΒΑ, ΓΑ θεωρούμε ίσα τμήματα ΑΔ,
ΑΕ αντίστοιχα. Αν Μ το μέσο της βάσης ΒΓ, να
αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές.
ΠΡΟΣΟΧΗ
Όταν μας λέει ότι προεκτείνουμε
τις πλευρές ΒΑ και ΓΑ εννοεί ότι
η προέκταση γίνεται από τη
μεριά του σημείου που
εμφανίζεται δεύτερο στην
ονομασία του ευθυγράμμου
τμήματος. Δηλαδή στη
συγκεκριμένη άσκηση από τη
μεριά του σημείου Α.

41. 41
2. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προεκτάσεις των
ίσων πλευρών του ΒΑ, ΓΑ θεωρούμε ίσα τμήματα ΑΔ,
ΑΕ αντίστοιχα. Αν Μ το μέσο της βάσης ΒΓ, να
αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές.
Υπόθεση:
ΑΔ = ΑΕ
Μ μέσο ΒΓ ⇔ ΒΜ = ΜΓ
Συμπέρασμα:
ΜΔΕ ισοσκελές
Ιδέα
Αρκεί να δείξω ότι το τρίγωνο έχει δύο ίσες πλευρές

42. Λύση
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΜΕ:
 ΒΜ = ΜΓ (Μ μέσο της ΒΓ)
 (ΑΒΓ ισοσκελές)
 ΒΔ = ΓΕ (ως άθροισμα ίσων τμημάτων)
Άρα από Π – Γ – Π, προκύπτει ότι:
Άρα το τρίγωνο ΜΕΓ είναι ισοσκελές.
Ερώτηση:
Ποια στοιχεία προκύπτουν επιπλέον από
τη σύγκριση των δύο τριγώνων;
Τα στοιχεία που προκύπτουν είναι: 42
ˆ ˆ  
 
      
ˆ ˆ
ˆ ˆ
    
 
    

43. 43
3. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και χορδή του ΑΒ.
Προεκτείνουμε την ΑΒ και προς τα δύο της άκρα, κατά
ίσα τμήματα ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι
γωνίες ΟΓΑ και ΟΔΒ είναι ίσες.
Υπόθεση:
ΒΔ = ΑΓ
Συμπέρασμα:
Ιδέα
Αρκεί να δείξω ότι τα τρίγωνα που περιέχουν τις γωνίες
είναι ίσα.
ˆˆ  

44. Λύση
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΟΓΑ και ΟΒΔ:
 ΟΑ = ΟΒ (ως ακτίνες)
 Α2 = Β2 (ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών Α1 = Β1)
 ΑΓ = ΒΔ (υπόθεση)
Άρα από Π – Γ – Π, προκύπτει ότι:
44
ˆˆ
 
      

45. Τέλος Παρουσίασης!!!
Επιμέλεια: Χαντόγλου
Παναγιώτης
Τηλέφωνο Επικοινωνίας: