Μαθηματικά ΣΤ΄. Επανάληψη 6ης ενότητας: ΄΄Γεωμετρία, κεφ. 56 - 71΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
http://st-taksh.blogspot.gr
Μαθηματικά ΣΤ΄
Επανάληψη 6ης Ενότητας :
΄΄Γεωμετρία΄΄
κεφ. 56 - 71

Περιεχόμενα
Θεωρία - Φύλλα εργασιών
σελ. 3 - 127
Επαναληπτικά
σελ. 128 - 137

Aνακεφαλαίωση
ΠOΛYΓΩNA TETPAΠΛEYPA ΓΩNIEΣ
KYBOΣ OPΘOΓΩNIO KYΛINΔPOΣ
ΠAPAΛΛHΛEΠIΠEΔO
Γεωμετρία
Σχημα...τίζω άποψη
τρίγωνο
άθροισμα γωνιών
τριγώνου
άθροισμα γωνιών
τετράπλευρου
τετράπλευρο
πεντάγωνο
κανονικό πεντάγωνο
εξάγωνο
οκτάγωνο
τετράγωνο
ορθογώνιο
παραλληλόγραμμο
ρόμβος
παραλληλόγραμμο
τραπέζιο
τετράπλευρο
EMBAΔO ΣYMMETPIA KΛIMAKA
MEΓEΘYNΣH-ΣMIKPYNΣH
στη φύση
στις ανθρώπινες κατασκευές
στα σχήματα
Κλίμακα είναι ο λόγος:
απόσταση στο σχέδιο
απόσταση στην πραγματικότητα
Για τη μεγέθυνση ή τη σμίκρυνση
ενός σχήματος τηρούμε αναλογία
με την κλίμακα
6 έδρες, 12 ακμές, 8 κορυφές
Όγκος κύβου (με ακμή α) = α3
( Η χωρητικότητα του κ. δεκ.
είναι 1 λίτρο.)
6 έδρες, 12 ακμές, 8 κορυφές
Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου
(με διαστάσεις μήκος α, πλά
τος β, ύψος γ) = α . β . γ
Όγκος κυλίνδρου (με ύψος υ
και ακτίνα βάσης α) = π . α2 . υ
169
10_0169_MATHIMATIKA_ST_DHM.indb 169 1/20/14 4:23 PM

1
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες
Σημείο
Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί
αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο .
Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ’ αυτό ένα κεφαλαίο γράμμα
της αλφαβήτου.
π.χ. Α
•
Ευθύγραμμο τμήμα
Το τμήμα της ευθείας γραμμής που ενώνει δύο σημεία, λέγεται ευθύγραμμο
τμήμα. Στο ευθύγραμμο τμήμα γνωρίζω την αρχή και το τέλος του.
π.χ. Α Β
• •
Το ευθύγραμμο τμήμα συμβολίζεται με τα δύο γράμματα που μας δείχνουν την αρχή
και το τέλος του, π.χ. ΑΒ
Ημιευθεία
Ένα ευθύγραμμα τμήμα που έχει μόνο αρχή, αλλά δεν έχει τέλος ή έχει τέλος
και δεν έχει αρχή, λέγεται ημιευθεία.
π.χ. Α
• x
y • Β
Η ημιευθεία συμβολίζεται με το κεφαλαίο γράμμα, που δηλώνει την αρχή ή το τέλος
και ένα μικρό γράμμα, Αx , yB κ.λ.π.
Ευθεία
Εάν προεκτείνω απεριόριστα ένα ευθύγραμμα τμήμα, ώστε να μη γνωρίζω
την αρχή και το τέλος του, το νέο σχήμα λέγεται ευθεία.
π.χ. ε
Την ευθεία την συμβολίζω με ένα μικρό γράμμα της αλφαβήτου.
Δημιουργός: Θεόδωρος Αρβανιτίδης http://atheo.gr/

2
Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο :
• θα είναι παράλληλες x // y
• θα τέμνονται σε ένα σημείο : η ευθεία ε1 τέμνει την ε2 στο σημείο Α.
• θα τέμνονται κάθετα : η ευθεία θ τέμνει κάθετα την ζ στο σημείο Β.
Σχέση σημείου και ευθείας
Από ένα σημείο περνάνε άπειρες ευθείες, ενώ από δύο σημεία περνάει μόνο
μία ευθεία.
Απόσταση σημείου από ευθεία
Απόσταση σημείου από ευθεία ονομάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει
κάθετα το σημείο με την ευθεία. Από το σημείο Α φέρνω την κάθετη στην ευθεία ε.
Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι η απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ε.
Μέσο ευθύγραμμου τμήματος - Μεσοκάθετος
Μέσο ευθυγράμμου τμήματος είναι το σημείο του ευθυγράμμου τμήματος
που ισαπέχει από τα άκρα του. Το μέσο είναι μοναδικό σημείο σε κάθε ευθύγραμμο
τμήμα. Το σημείο Μ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.
Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος είναι η ευθεία που διέρχεται από το
μέσο του και σχηματίζει με το ευθύγραμμο τμήμα ορθή γωνία. Κάθε σημείο της
μεσοκαθέτου έχει την ιδιότητα να ισαπέχει από τα άκρα του ευθυγράμμου
τμήματος. Η ευθεία ε είναι η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.
Α
ε
Α
ΒΜ
Β
Μ
x
ε1ε2
θ
ζΑ
y
Β

3
Γωνία
Γωνία είναι το σύνολο των σημείων που περιέχεται ανάμεσα σε δύο
ημιευθείες με κοινή αρχή. Η κοινή αρχή λέγεται κορυφή της γωνίας. Την κορυφή
της γωνίας τη συμβολίζουμε με κεφαλαίο γράμμα της αλφαβήτας.
Συμβολισμός : Οι γωνίες συμβολίζονται συνήθως με τα μικρά γράμματα φ,
θ, ω και από πάνω το γωνιακό σύμβολο ^. Π.χ.
ϕ , θ .
Μονάδα μέτρησης της γωνίας είναι η μοίρα.
Κάθε γωνία που είναι μικρότερη από 90ο
λέγεται οξεία γωνία. Η γωνία xÂy
είναι οξεία γωνία.
Κάθε γωνία που είναι ίση με 90ο
λέγεται ορθή γωνία. Η γωνία κ B λ είναι
ορθή γωνία.
Κάθε γωνία μεγαλύτερη από 90ο
λέγεται αμβλεία γωνία. Η γωνία μΓ ν είναι
αμβλεία γωνία.
Κατασκευή γωνίας
Για να κατασκευάσω μία γωνία πρέπει να ξέρω πόσες μοίρες είναι. Φτιάχνω
τη βάση της γωνίας και σημειώνω την κορυφή της γωνίας. Κατόπιν τοποθετώ το
μοιρογνωμόνιο στην κορυφή και σημειώνω το μέτρο της γωνίας. Μετά ενώνω την
κορυφή με το σημείο που μέτρησα ως μέτρο της γωνίας. Έτσι σχηματίζω τη γωνία
που θέλω.
π.χ. Θέλω να κατασκευάσω μία γωνία 70ο
, με βάση το ευθύγραμμο τμήμα
ΑΒ μήκους 4 εκατ. Πρώτα σχεδιάζω το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Με κορυφή το Α
τοποθετώ το μοιρογνωμόνιό μου και σημαδεύω τις 70ο
. Ενώνω το σημείο Α με το
σημάδι και σχηματίζω τη γωνία των 70ο
.
x
νΓ
κ
Β
y
μ λ
A

4
Γωνία – Διχοτόμος γωνίας
Η διχοτόμος ευθεία ή απλά διχοτόμος μιας γωνίας στην ευκλείδεια
γεωμετρία είναι μια ημιευθεία που ξεκινά από την κορυφή της γωνίας, βρίσκεται
στο εσωτερικό της και την χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.
Η γωνία xÔy, έχει την Οz διχοτόμο της.
Η γωνία Ô χωρίζεται σε δύο ίσες γωνίες.
Κατασκευή Διχοτόμου γωνίας
Για να κατασκευάσω τη διχοτόμο ακολουθώ τους παρακάτω τρόπους :
1. Σχεδιάζω τη γωνία σε ένα φύλλο χαρτιού. Κατόπιν διπλώνω το χαρτί έτσι
ώστε η ευθεία της τσάκισης να περάσει από την κορυφή της γωνίας και
ταυτόχρονα η μία πλευρά της γωνίας να συμπέσει με την άλλη πλευρά της. Η
γραμμή που σχηματίζεται στο δίπλωμα του χαρτιού είναι και η διχοτόμος
της γωνίας.
2. Μετράω τη γωνία xÔy και βρίσκουμε το μέτρο της. Με το μοιρογνωμόνιο
βρίσκω και σημαδεύω το μέσο της γωνίας xÔy. Κατόπιν ενώνω και
σχηματίζω τη διχοτόμο της γωνίας.
3. Ακολουθώ με προσοχή τα παρακάτω βήματα :
Η xÔy γωνία την οποία θα διχοτομήσουμε.

5
Με κέντρο το σημείο Ο γράφουμε τυχαίο κύκλο.
Έστω Α και Β τα σημεία τομής του κύκλου με τις
πλευρές τις γωνίας.
Σχεδιάζω το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ( χορδή του
κύκλου ) και έστω Μ το μέσον αυτής.
Σχεδιάζω την ημιευθεία η οποία ξεκινάει από το Ο
και περνάει από το σημείο Μ. Η ημιευθεία
διχοτομεί την γωνία xΟy.
Αφού σβήσω τον κύκλο που σχεδίασα, τα σημεία
και τα ευθύγραμμα τμήματα μένει μόνο η
διχοτόμος που σχεδίασα.
Τρίγωνο
Στοιχεία του τριγώνου
Κάθε τρίγωνο έχει :
• Τρεις πλευρές : ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ.
• Τρεις γωνίες : Α , B , Γ .
• Τρεις κορυφές : Α, Β, Γ.

6
Α). Κατάταξη τριγώνων σύμφωνα με τις πλευρές
• Ισόπλευρο είναι το τρίγωνο που έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες. ( ΠΡΣ )
• Ισοσκελές είναι το τρίγωνο που έχει δύο μόνο πλευρές του ίσες. ( ΝΞΟ )
• Σκαληνό είναι το τρίγωνο που έχει τις τρεις πλευρές του άνισες. ( ΚΛΜ )
ισόπλευρο ισοσκελές σκαληνό
Β). Κατάταξη τριγώνων σύμφωνα με τις γωνίες τους
• Οξυγώνιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο που έχει όλες τις γωνίες του οξείες.
• Αμβλυγώνιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο που έχει μία του γωνία αμβλεία.
• Ορθογώνιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο που έχει μία ορθή γωνία.
οξυγώνιο αμβλυγώνιο ορθογώνιο
Κατασκευή τριγώνου
Για να κατασκευάσω ένα τρίγωνο πρέπει :
• Να γνωρίζω δύο του πλευρές και την περιεχόμενη σ’ αυτές γωνία.
π.χ. Να κατασκευάσεις το τρίγωνο ΑΒΓ, που έχει ΑΒ=4 εκ., ΑΓ=3 εκ. και
γωνία Α =70ο
.
Σχεδιάζω το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους 4 εκατ.

7
Τοποθετούμε το μοιρογνωμόνιο στην κορυφή Α και
κατασκευάζουμε τη γωνία Α =70ο
.
Μετράμε με το χάρακα πάνω στην πλευρά Αχ 3 εκ.
και σημειώνουμε την κορυφή Γ.
Ενώνουμε τις κορυφές Β και Γ.
• Να γνωρίζω τη βάση του και τις δύο γωνίες που βρίσκονται σ’ αυτή.
π.χ. Να κατασκευάσεις το τρίγωνο ΔΕΖ, που έχει ΔΕ=4 εκ., γωνία Δ =70ο
και
γωνία Ε =40ο
.
Χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ=4 εκ.
Τοποθετούμε το μοιρογνωμόνιο στην κορυφή Δ και
κατασκευάζουμε τη γωνία Δ=70ο
.
Τοποθετούμε το μοιρογνωμόνιο στην κορυφή Ε και
κατασκευάζουμε τη γωνία Ε =40ο
.
Στο σημείο που τέμνονται οι πλευρές Δχ και Εψ των
γωνιών σημειώνουμε την κορυφή Ζ.

8
Ύψος – ύψη του τριγώνου :
Από την κορυφή Γ φέρνουμε κάθετο στην πλευρά ΑΒ. Αυτή τέμνει την
ΑΒ στο σημείο Δ. Το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ είναι το ύψος του τριγώνου και η
πλευρά ΑΒ η βάση του. Σε κάθε τρίγωνο μπορούμε να φέρουμε τρία ύψη από
τις τρεις κορυφές. Αν χαράξουμε τα τρία ύψη (ΑΕ, ΒΖ, ΓΔ) του τριγώνου ΑΒΓ
παρατηρούμε ότι τέμνονται στο σημείο Ο.
Διχοτόμος – Διάμεσος ενός τριγώνου
Διάμεσος ονομάζουμε το ευθύγραμμο που ενώνει την κορυφή του
τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Σε κάθε τρίγωνο ορίζονται τρεις
διάμεσοι, που διέρχονται από ένα κοινό σημείο το οποίο ονομάζεται κέντρο
βάρους του τριγώνου.
Διχοτόμο ονομάζουμε την ευθύγραμμο τμήμα που χωρίζει την γωνία του
τριγώνου σε δύο ίσα μέρη. Σε κάθε τρίγωνο ορίζονται τρεις διχοτόμοι, που
διέρχονται από ένα κοινό σημείο το οποίο ονομάζεται έγγεντρο του τριγώνου.
ΑΗ = Διάμεσος, ΔΘ = Διχοτόμος της γωνίας Δ
Περίμετρος του τριγώνου
Το άθροισμα των μηκών των πλευρών ενός τριγώνου λέγεται περίμετρος.
ισόπλευρο ισοσκελές σκαληνό
Τρίγωνο ΠΡΣ : ΠΡ + ΡΣ + ΣΠ = 5 + 5 + 5 = 15 εκατ.
Τρίγωνο ΝΞΟ : ΝΞ + ΞΟ + ΟΝ = 5 + 6,5 + 6,5 = 18 εκατ.
Τρίγωνο ΚΛΜ : ΚΛ + ΛΜ + ΜΚ = 5 + 4,5 + 3,5 = 13 εκατ.
διάμεσος διχοτόμος
Α
Β ΓΗ
Δ
Ε ΖΘ

9
Άθροισμα γωνιών τριγώνου
Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180ο
.
οξυγώνιο αμβλυγώνιο ορθογώνιο
τρίγωνο ΑΒΓ : Α + Β + Γ = 50ο
+ 60ο
+ 70ο
= 180ο
τρίγωνο ΔΕΖ : Δ + Ε + Ζ = 30ο
+ 50ο
+ 100ο
= 180ο
τρίγωνο ΗΘΙ : Η + Θ + Ι = 90ο
+ 40ο
+ 50ο
= 180ο
Εμβαδό τριγώνου
Για να βρω το Εμβαδό ενός τριγώνου πρέπει να ξέρω τη βάση του και το
ύψος του. Αν τα γνωρίζω αυτά, τότε αντικαθιστώ
στον τύπο :
Ε =
2
υβ •
( β = βάση, υ = ύψος ), Ε =
2
ΓΔ•ΑΒ
Τετράπλευρα
Τα τετράπλευρα τα χωρίζουμε σε τρεις κατηγορίες :
• Παραλληλόγραμμα :
τετράγωνο ρόμβος
ορθογώνιο παραλληλόγραμμο πλάγιο παραλληλόγραμμο

10
Έχουν όλες τις απέναντι πλευρές τους παράλληλες.
• Τραπέζια :
απλό τραπέζιο ορθογώνιο τραπέζιο ισοσκελές τραπέζιο
Έχουν τις δύο μόνο απέναντι πλευρές τους παράλληλες.
• Απλό τετράπλευρο :
Τα απλά τετράπλευρα δεν είναι ούτε παραλληλόγραμμα ούτε τραπέζια
Βασικά στοιχεία παραλληλογράμμων
• Έχουν τέσσερις κορυφές. Α, Β, Γ, Δ.
• Έχουν τέσσερις πλευρές. ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ.
• Έχουν τέσσερις γωνίες. Α , B , Γ , Δ .
• Έχουν δύο διαγώνιες. ΑΓ, ΒΔ.
Βασικές ιδιότητες παραλληλογράμμων
• Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες.
• Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.
• Το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει όλες τις γωνίες του ορθές.
• Μία διαγώνιος χωρίζει το παραλληλόγραμμο σε δύο ίσα τρίγωνα.
• Το τετράγωνο έχει όλες τις πλευρές του ίσες και οι γωνίες του είναι ορθές.
• Ο ρόμβος έχει όλες του τις πλευρές ίσες και τις απέναντι γωνίες του ίσες.

11
Άθροισμα γωνιών παραλληλογράμμων
Χαράζω τη διαγώνιο ΑΓ και το τετράπλευρο ΑΒΓΔ χωρίζεται σε δύο
τρίγωνα, ΑΒΓ και ΑΔΓ, άρα 180ο
+ 180ο
= 360ο
.
Διαγώνιος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τις απέναντι γωνίες του
τετράπλευρου και δεν είναι πλευρά.
Τετράγωνο
Τετράγωνο είναι το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος.
Σε κάθε τετράγωνο ισχύει :
• Οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες.
• Όλες οι πλευρές είναι ίσες.
• Όλες οι γωνίες του είναι ορθές.
• Οι διαγώνιοι είναι ίσες, κάθετες, διχοτομούνται, διχοτομούν τις γωνίες
του και είναι άξονες συμμετρίας του.
Κατασκευή τετραγώνο
Α Β Σχεδιάζω ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 4 εκατ..
Με τη βοήθεια του τριγώνου
και από το σημείο Β φέρνω κάθετη
και σχεδιάζω την ΒΓ = 4 εκατ.
η οποία είναι ίση με την ΑΒ = 4 εκατ..
και από το σημείο Γ φέρνω κάθετη
και σχεδιάζω την ΓΔ = 4 εκατ.
η οποία είναι ίση με την ΑΒ = ΒΓ = 4 εκατ..
και από το σημείο Δ φέρνω κάθετη
και σχεδιάζω την ΔΑ = 4 εκατ.
η οποία είναι ίση με την ΑΒ = ΒΓ = ΓΔ = 4 εκατ..

12
Περίμετρος τετραγώνου
Για να υπολογίσω την περίμετρο ενός τετραγώνου :
• Προσθέτω τις τέσσερις πλευρές του.
• Πολλαπλασιάζω την πλευρά του με το 4.
• Περίμετρος τετραγώνου = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 εκατ. ή
• Περίμετρος τετραγώνου = 4 • 3 = 12 εκατ.
Εμβαδό τετραγώνου
Για να υπολογίσω το εμβαδό του τετραγώνου, πολλαπλασιάζω την βάση
με το ύψος του. Επειδή όμως στο τετράγωνο οι τέσσερις πλευρές του είναι ίσες,
πολλαπλασιάζω την πλευρά του επί την πλευρά του.
Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
Το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει όλες του τις γωνίες του ορθές και
τις απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες.
Κατασκευή ορθογωνίου παραλληλογράμμου
Για να κατασκευάσω ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ακολουθώ την
παρακάτω σειρά :
• π.χ. Να κατασκευάσεις το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΔΕΖΗ,
που έχει πλευρές ΔΕ=4 εκ., ΔΗ=3 εκατ. .

13
Χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ=4 εκ.
Τοποθετούμε το τρίγωνό μας στην κορυφή Δ
και φέρνουμε την κάθετο ΔΗ=3 εκ.
Τοποθετούμε το τρίγωνό μας στην κορυφή Η
και φέρνουμε την κάθετο ΗΖ=4 εκ.
Ενώνουμε τις κορυφές Ε και Ζ.
Περίμετρος ορθογωνίου παραλληλογράμμου
Για να βρω την περίμετρο ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου,
προσθέτω τις τέσσερις πλευρές του ή προσθέτω το διπλάσιο των δύο πλευρών
του ή πολλαπλασιάζω το άθροισμα μήκος και πλάτος επί 2.
Περίμετρος ορθογωνίου παραλληλογράμμου = 5 + 3 + 5 + 3 = 16 εκατ. ή
Περίμετρος ορθογωνίου παραλληλογράμμου = 2 • 5 + 2 • 3 = 10 + 6 = 16 εκατ. ή
Περίμετρος ορθογωνίου παραλληλογράμμου = ( 5 + 3 ) • 2 = 8 • 2 = 16 εκατ.

14
Εμβαδό ορθογωνίου παραλληλογράμμου
Για να βρω το εμβαδό ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου
πολλαπλασιάζω τη βάση με το ύψος του, το μήκος με το πλάτος.
Πλάγιο Παραλληλόγραμμο
Ένα παραλληλόγραμμο έχει :
• Τις απέναντι πλευρές του ίσες.
• Τις απέναντι γωνίες του ίσες.
• Μία διαγώνιος χωρίζει το παραλληλόγραμμο σε δύο ίσα τρίγωνα.
Κατασκευή πλάγιου παραλληλογράμμου
Για να κατασκευάσω ένα παραλληλόγραμμο πρέπει να ξέρω τις δύο πλευρές του
και την περιεχόμενη σ’ αυτές γωνία.
π.χ. Να κατασκευάσεις το πλάγιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, που έχει
πλευρές ΑΒ=4 εκ., ΑΔ=3 εκ. και γωνία Α =70ο
.
Χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=4 εκ.
Τοποθετούμε το μοιρογνωμόνιο στην κορυφή Α
κατασκευάζουμε τη γωνία Α =70ο
.

15
Μετράμε με το χάρακα πάνω στην πλευρά Αχ
3 εκ. και σημειώνουμε την κορυφή Δ.
Από την κορυφή Δ φέρνουμε παράλληλο
ευθύγραμμο τμήμα ΔΓ=4 εκ.
Ενώνουμε τις κορυφές Β και Γ.
Περίμετρος πλάγιου παραλληλογράμμου
Για να βρω την περίμετρο ενός παραλληλογράμμου, κάνω ότι έκανα και
με το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
Περίμετρος παραλληλογράμμου = 5 + 3,5 + 5 + 3,5 = 17 εκατ. ή
Περίμετρος παραλληλογράμμου = 5 • 2 + 3,5 • 2 = 10 + 7 = 17 εκατ. ή
Περίμετρος παραλληλογράμμου = ( 5 + 3,5 ) • 2 = 8,5 • 2 = 17 εκατ.
Εμβαδό πλάγιου παραλληλογράμμου
Για να βρω το εμβαδό παραλληλογράμμου πολλαπλασιάζω τη βάση επί το
ύψος του.
Ε = β • υ
Ε = ΔΓ • ΑΕ

16
Τραπέζιο
Τα τραπέζια είναι τα τετράπλευρα που έχουν δύο πλευρές τους
παράλληλες.
Περίμετρος τραπεζίου
Για να βρω την περίμετρο ενός τραπεζίου προσθέτω τις τέσσερις πλευρές
του. π.χ. περίμετρος = ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΑ
Εμβαδό τραπεζίου
Για να βρω το εμβαδό ενός τραπεζίου, προσθέτω τις δύο βάσεις του και
τις πολλαπλασιάζω με το ύψος του. Μετά διαιρώ το γινόμενο με το 2.
Ε =
2
)( υβ •Β+
Ε =
2
)( ΑΗ•ΔΓ+ΑΒ
Ρόμβος
Ένας ρόμβος έχει :
• Όλες τις πλευρές του ίσες.
• Είναι παραλληλόγραμμο με τις διαγώνιούς του κάθετες.
ΑΒ = ΒΓ = ΓΔ = ΔΑ
ΑΓ είναι κάθετη στην ΒΔ

17
Περίμετρος ρόμβου
Για να βρω την περίμετρο ενός ρόμβου, προσθέτω τις τέσσερις πλευρές
του ή πολλαπλασιάζω την πλευρά του επί 4.
Περίμετρος ρόμβου = 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 = 10 εκατ.
Περίμετρος ρόμβου = 2,5 • 4 = 10 εκατ.
Εμβαδό ρόμβου
Για να βρω το εμβαδό ενός ρόμβου, πολλαπλασιάζω τις δύο διαγωνίου
του και διαιρώ με το 2.
Ε =
2
21 δδ +
π.χ.
Πολύγωνα
Τι είναι πολύγωνο;
Πολύγωνο είναι το γεωμετρικό
σχήμα που έχει πολλές πλευρές και
γωνίες.
Τα πολύγωνα ονομάζονται ανάλογα
με τον αριθμό των γωνιών και των
πλευρών που έχουν
Το σχήμα που βλέπεται δίπλα είναι
ένα πεντάγωνο, γιατί έχει πέντε
γωνίες και πλευρές.
Κανονικά πολύγωνα
Κανονικά πολύγωνα λέγονται αυτά
που έχουν όλες τις γωνίες και τις
πλευρές τους ίσες μεταξύ τους.
Το σχήμα αυτό είναι ένα κανονικό
εξάγωνο, γιατί κάθε γωνία του είναι
120ο
και κάθε πλευρά του 3 εκ.

18
Άθροισμα γωνιών πολυγώνου
Χαράζουμε τις διαγώνιες από μια
κορυφή προς τις άλλες κορυφές του
πολυγώνου
Παρατηρούμε ότι σχηματίζονται
τρίγωνα.
Στο παράδειγμά μας
δημιουργούνται τρία τρίγωνα.
Γνωρίζουμε ότι το
άθροισμα των γωνιών ενός
τριγώνου είναι 180ο
.
Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό των
τριγώνων
επί 180ο
.
άρα: το άθροισμα των γωνιών του
πενταγώνου ΑΒΓΔΕ είναι...
180ο
Χ 3 = 540ο
Περίμετρος Πολυγώνων
Για να υπολογίσουμε την περίμετρο
ενός πολυγώνου, προσθέτουμε όλες
τις πλευρές του.
άρα, Περίμετρος=
2,2+3+3,2+3+3,4= 14,8 εκ.
Για να υπολογίσουμε την περίμετρο
ενός κανονικού πολυγώνου,
πολλαπλασιάζουμε το μήκος μιας
πλευράς επί τον αριθμό των
πλευρών του.
άρα, Περίμετρος= 6 Χ 3 = 18 εκ.

19
Άλλα πολύγωνα
Χαρακτηριστικά πολυγώνων
Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα χαρακτηριστικά των πιο κοινών πολυγώνων.
Πολύγωνο πλευρές γωνίες διαγώνιοι* τρίγωνα άθροισμα γωνιών
τρίγωνο 3 3 0 1 1X180ο
= 180ο
τετράπλευρο 4 4 1 2 2X180ο
= 360ο
πεντάγωνο 5 5 2 3 3X180ο
= 540ο
εξάγωνο 6 6 3 4 4X180ο
= 720ο
επτάγωνο 7 7 4 5 5X180ο
= 900ο
οκτάγωνο 8 8 5 6 6X180ο
=1080ο
* διαγώνιες από μία κορυφή
πεντάγωνο εξάγωνο επτάγωνο οκτάγωνο
Πηγές : http://11dim-evosm.thess.sch.gr/
Κύκλος
Κύκλο ονομάζουμε το σχήμα που όλα του τα σημεία ισαπέχουν από ένα
σταθερό σημείο. Το σταθερό σημείο ονομάζεται κέντρο του κύκλου και η
σταθερή απόσταση ακτίνα. Ακτίνα του κύκλου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που
ενώνει το κέντρο του κύκλου με ένα σημείο της περιφέρειάς του. Κυκλικός
δίσκος είναι όλα τα σημεία της επιφάνειας του κύκλου. Τόξο ονομάζουμε το
τμήμα του κύκλου που ορίζεται από δύο σημεία του. Χορδή ονομάζουμε το
ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του κύκλου. Διάμετρο ονομάζουμε την
χορδή του κύκλου που περνά από το κέντρο του.

20
Κατασκευή κύκλου
Για να σχεδιάσουμε έναν κύκλο κέντρου ( Ο ) και ακτίνας ( α ), χρησιμοποιούμε
τον διαβήτη. Τοποθετούμε τη μύτη του διαβήτη στο κέντρο ( Ο ), κανονίζουμε το
άνοιγμά του να είναι όσο η ακτίνα ( α ) και γράφουμε τον κύκλο.
ακτίνα του κύκλου : ΟΒ, ΟΓ
διάμετρος του κύκλου : ΒΓ
Μήκος κύκλου
Για να υπολογίσουμε το μήκος του κύκλου πολλαπλασιάζουμε τη
διάμετρο ( δ ) με τον αριθμό 3,14 ( π ).
Μήκος κύκλου = π • δ ή
Μήκος κύκλου = π • ( 2 • α )
Εμβαδό κυκλικού δίσκου
Το εμβαδό του κυκλικού δίσκου είναι ίσο με το γινόμενο του αριθμού π
επί το τετράγωνο της ακτίνας του.
Ε ( κυκλικού δίσκου ) = π • α2
ή
Ε ( κυκλικού δίσκου ) = π • α • α
όπου π = 3,14 και α η ακτίνα του κυκλικού δίσκου
Στερεά
Τα γεωμετρικά στερεά που μαθαίνουμε στο Δημοτικό σχολείο είναι ο
κύβος, το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, ο κύλινδρος και η σφαίρα.

21
Ο παραπάνω κύβος: Το παραπάνω ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο:
Έχει 3 διαστάσεις
(μήκος, πλάτος, ύψος)
Έχει 3 διαστάσεις:
(μήκος, πλάτος, ύψος)
Έχει 6 έδρες, ίσες μεταξύ τους Έχει 6 έδρες, οι απέναντι ίσες
Έχει 12 ακμές, ίσες μεταξύ τους Έχει 12 ακμές, οι απέναντι ίσες
Έχει 8 κορυφές Έχει 8 κορυφές
Εμβαδό στερεών σωμάτων
Αν ¨ ξεδιπλώσουμε ¨ τα στερεά εμφανίζονται τα παρακάτω σχήματα :
Ε ( κύβου ) = 6 • α2
( όπου α η πλευρά του
τετραγώνου )
( ο κύβος αποτελείται από 6
ίσα τετράγωνα )
Ε ( τετραγώνου ) = α 2
Ε (ορθ. παρ/δου ) = Ε1 + Ε2 + Ε3
Ε1 = Εμβαδό 2 βάσεων
Ε2 = Εμβαδό 2 πλαγίων
Ε3 = Εμβαδό 2 β
( το ορθογώνιο
παραλληλεπίπεδο έχει τις
απέναντι βάσεις του ίσες )
Ε = βάση • ύψος
Ε ( κυλίνδρου ) = Ε ( βάσεων ) + Ε (παρ. επιφάνειας)
Ε ( βάσεων ) = π • α2
Ε (παρ. επιφάνειας) = β • υ
( όπου β = π • δ )
( α = ακτίνα του κύκλου,
δ = διάμετρος, δ = 2 • α )
Όγκος στερεών

ΦΩΤΗΣ ΣΤΑΜΟΣ
 Περίμετρος τετραγώνου = _____________________________
 Εμβαδόν τετραγώνου = _______________________________
 Περίμετρος παραλληλογράμμου = ______________________
 Εμβαδόν παραλληλογράμμου = ________________________
 Εμβαδόν τριγώνου = _________________________________
 Εμβαδόν τραπεζίου = ________________________________
 Εμβαδόν κύκλου = __________________________________
Προβλήματα
1.Το σχήμα δείχνει έναν κήπο σχήματος τραπεζίου. Να βρεις το εμβαδόν του κήπου.
24,5μ.
ύψος:12μ
36μ.
2.Το τραπέζι του σπιτιού της Μαρίας έχει διάμετρο 1,20μ. Πόσο είναι το εμβαδόν
του;
3.Ένα πεζοδρόμιο μήκους 75 μ. και πλάτους 20 δεκ. πρόκειται να στρωθεί με
τετράγωνες πλάκες πλευράς 50 εκατοστών. Πόσες πλάκες θα χρειαστεί;
Όνομα______________
Επώνυμο____________
Ημερομηνία _________
Βαθμός __

4. Να βρεις το εμβαδόν των τριγώνων:
Α ΑΒ= 3εκ.
ΒΓ= 4εκ.
ΑΓ=5εκ.
Β Γ
Ύψος= 2,6 εκ.
Α ΑΓ=7εκ.
ΒΓ=4εκ.
Δ ΑΒ=5εκ.
ΒΔ=3εκ.
Β Γ
5. Να βρεις το εμβαδόν (κίτρινο χρώμα) που είναι το παρτέρι ενός σιντριβανιού. Να
βρεις τις πραγματικές του διαστάσεις όταν η κλίμακα σχεδίασης είναι 1/50.
ΟΑ=3εκ.
ΟΒ=7εκ.
Β
Α
Ο

Λαμπριάδου Μαρία
ΟΝΟΜΑ: ………………………………..
Περίμετρος τετραγώνου = …………………………….
Εμβαδόν τετραγώνου = ………………………………….
Περίμετρος παραλληλογράμμου =……………………………..
Εμβαδόν παραλληλογράμμου = ………………………
Εμβαδόν τριγώνου =………………………………….
Εμβαδόν τραπεζίου =……………
Εμβαδόν κύκλου = ………………
Προβλήματα
1.Το σχήμα δείχνει ένα κήπο σχήματος τραπεζίου, μέσα σε μια τετράγωνη πλατεία.
Να βρεις το εμβαδόν του κήπου.
14,5μ.
26μ.
2.Το τραπέζι του σπιτιού της Άννας έχει διάμετρο 1μ. Πόσο είναι το εμβαδόν του;
1
3.Ένα πεζοδρόμιο μήκους 15μ και πλάτους 0,8μ. πρόκειται να στρωθεί με
τετράγωνες πλάκες πλευράς 0.5μ. Πόσες πλάκες θα χρειαστεί;

ΜΑΚΡΥΓΙΑΝΝΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
ΤΑΞΗ ΣΤ’
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
«ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»
(ΜΕΤΡΩ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ)
 Βασική μονάδα μέτρησης εμβαδού είναι το τετραγωνικό μέτρο (τ.μ. ή m2)
 Υποδιαιρέσεις του τετραγωνικού μέτρου είναι:
το τετραγωνικό δεκατόμετρο (τ.δεκ.) για το οποίο ισχύει:
1 τ.μ.= 100 τ.δεκ. ή 1τ.δεκ.= τ.μ.
το τετραγωνικό εκατοστόμετρο (τ.εκ.) για το οποίο ισχύει:
1 τ.μ.= 10.000τ.εκ. ή 1 τ.εκ.= τ.μ.
το τετραγωνικό χιλιοστόμετρο (τ.χιλ.) για το οποίο ισχύει:
1 τ.μ.= 1.000.000 τ.χιλ. ή τ.μ
 Πολλαπλάσια του τετραγωνικού μέτρου είναι:
Το τετραγωνικό χιλιόμετρο (τ.χμ.) για το οποίο ισχύει:
1 τ.χμ.= 1.000.000 τ.μ. ή 1 τ.μ.= τ.χμ.
το στρέμμα για το οποίο ισχύει:
1 στρέμμα= 1.000 τ.μ.
1τ.μ.=100τ.δεκ.=10.000τ.εκ.=1.000.000τ.χιλ.
1τ.δεκ.=100τ.εκ.=10.000τ.χιλ.
1τ.εκ.=100τ.χιλ.

ΜΑΚΡΥΓΙΑΝΝΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
● 1.000.000
● 10.000
● 1.000.000 ● 100 ● 100 ● 100
1τ.χμ. 1τ.μ. 1 τ.δεκ 1τ.εκ 1τ.χιλ.
: 1.000.000 : 100 : 100 : 100
: 10.000
: 1.000.000
 Για να πάμε από μεγαλύτερη μονάδα σε μικρότερη, πολλαπλασιάζουμε με
κατάλληλο αριθμό.
 Για να πάμε μικρότερη μονάδα σε μεγαλύτερη, διαιρούμε με κατάλληλο
αριθμό.
Εκφράζουμε το εμβαδό με :
συμμιγή: 18τ.μ. 5.000τ.εκ.
δεκαδικό: 18,5τ.μ.
φυσικό: 185.000τ.εκ.
μεικτό: 18 τ.μ
κλασματικό τ.μ.
Όταν κάνουμε πράξεις ανάμεσα σε εμβαδά, πρέπει να είναι όλα στην ίδια
μονάδα και εκφρασμένα με την ίδια μορφή αριθμού.
 ΕΜΒΑΔΟΝ (ορθογωνίου παραλλη/μου)= μήκος χ πλάτος
 ΕΜΒΑΔΟΝ (τετραγώνου) = πλευρά χ πλευρά ή (πλευρά)2
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1) Το πάτωμα στο δωμάτιο του Γιώργου είναι τετράγωνο με πλευρά 6,5 μ. Πόσα τ.μ. είναι
το εμβαδόν του δωματίου του;
2) Ένα οικόπεδο έχει σχήμα τετραγώνου με περίμετρο 96 μ. Πόσα τ.μ. είναι το εμβαδόν
του οικοπέδου;
3) Ένα οικόπεδο έχει σχήμα ορθογωνίου με μήκος 32 μ. και πλάτος 24 μ. Αν ο ιδιοκτήτης
του το πούλησε προς 350€ το τ.μ., να βρείτε πόσα χρήματα πήρε.
4) Θέλω να τοποθετήσω στο πάτωμα της κουζίνας μου τετράγωνα πλακάκια, που το καθένα
έχει περίμετρο 58 εκ. Αν χρειάστηκα 384 τέτοια πλακάκια, τότε ποιο είναι το εμβαδόν
του πατώματος της κουζίνας μου;
5) Ο κ. Γιώργος έχει ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου με μήκος 24μ. και πλάτος 18μ.
Λόγω διαπλάτυνσης του δρόμου που περνάει μπροστά από το οικόπεδο, θα χάσει τα
του οικοπέδου. Πόσα τ.μ. είναι το οικόπεδο που μένει;

ΣΧΕΔΙΑΖΩ ΓΩΝΙΕΣ
ΚΕΦ. 58 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
5. Μπορείς να σχεδιάσεις δυο γωνίες: η μια 400 και η άλλη 600 . Να σχεδιάσεις
τώρα το άθροισμα και τη διαφορά τους.
6. Να σχεδιάσεις ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 2,5 εκ.
7. Να σχεδιάσεις ένα τρίγωνο με μια πλευρά 3 εκ. και με προσκείμενες γωνίες
500 και 700 .
1. Με ποια όργανα σχεδιάζουμε μια γωνία;
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
2. Πώς προσθέτουμε δυο γωνίες;
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
3. Πώς αφαιρούμε δυο γωνίες;
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
4.  Το άθροισμα γωνιών τριγώνου είναι ________ .
 Το άθροισμα γωνιών οποιουδήποτε τετραπλεύρου
είναι ________ .

ΣΧΕΔΙΑΖΩ ΓΩΝΙΕΣ
8. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις δίνονται οι δυο γωνίες ενός τριγώνου.
Να υπολογίσεις την τρίτη γωνία και να συμπληρώσεις το είδος του τριγώνου.
Α΄ ΓΩΝΙΑ Β΄ ΓΩΝΙΑ Γ΄ ΓΩΝΙΑ ΕΙΔΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
600
600
400
500
1000
300
9. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις δίνονται οι τρεις γωνίες ενός
τετραπλεύρου. Να υπολογίσεις την τέταρτη γωνία.
Α΄ ΓΩΝΙΑ Β΄ ΓΩΝΙΑ Γ΄ ΓΩΝΙΑ Δ΄ ΓΩΝΙΑ
800
1000
1200
650
1100
1000
900
1250
850
650
1050
850
10. Στο παρακάτω σχήμα είναι: ΒΑΓ=300 και ΓΑΔ=700. Να βρεις τη γωνία ΒΑΔ.
Β Γ
Α Δ
11. Στο επόμενο σχήμα είναι: ΧΟΨ=460 και ΧΟΖ=700. Να βρεις τη γωνία ΨΟΖ.
Ζ Ψ
Χ
Ο

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:____________________________ ΤΑΞΗ ΣΤ΄
Παλάνης Αθανάσιος
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Κεφ. 62 Βρίσκω το εμβαδό του παραλληλογράμμου
1. Συμπληρώνω τον πίνακα που αναφέρεται σε παραλληλόγραμμο.
βάση ύψος εμβαδό
3,2 μ. 22,88 τ. μ.
5,4 μ. 25,92 τ. μ.
2,4 μ. 0,25 μ.
0,12 μ. 0,0384 τ. μ.
5 μ. 62 τ. μ.
2. Βρίσκω το εμβαδό του πλάγιου παραλληλογράμμου.
ΛΥΣΗ
3. Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα οικόπεδο σχήματος
παραλληλογράμμου που πουλιέται προς 200 ευρώ το τ. μ. Πόσο
κοστίζει για να το αγοράσουμε;
ΛΥΣΗ
Κλίμακα 1 : 1.000
Δ
ΓΒ
Α
υ = 2 εκ.
β = 5,8 εκ.
Δ
ΓΒ
Α

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
5 . Μπορείς να υπολογίσεις το εμβαδόν των τριγώνων που
υπάρχουν στο εσωτερικό ενός ορθογωνίου;
12 εκ. 8 εκ.
10 εκ.
20 εκ.
 Τι διαπιστώνεις;
………………………………………………………………
………………………………………………………………
1. Τι ονομάζουμε ύψος ενός τριγώνου;
………………………………………………………
………………………………………………………
2. Πόσα ύψη υπάρχουν σε ένα τρίγωνο;
………………………………………………………
………………………………………………………
3. Πώς υπολογίζεται το εμβαδόν ενός τριγώνου;
………………………………………………………
………………………………………………………
4. Μπορείς να γράψεις τον τύπο;
………………………………………………………
………………………………………………………
1 2 3

Πορθογωνίου=30εκ.
3 εκ
8 εκ.
6. Μπορείς να βρεις το εμβαδόν του σχήματος;
5εκ.
5εκ.
7. Να υπολογίσεις το εμβαδόν του εγχρώμου σχήματος.
7εκ.

8. Μπορείς να χαράξεις τα ύψη στα παρακάτω τρίγωνα;
Χρησιμοποίησε τα κατάλληλα όργανα.

Δ
Ζ
Α
Η Ι
Θ Γ
Α
ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΟΥ-ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ
διάμετρος
ακτίνα
Ο
ΚΥΚΛΟΣ είναι το σύνολο
των σημείων του επιπέδου
που απέχουν από το
κέντρο Ο απόσταση ίση με
το ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ.
ΑΚΤΙΝΑ είναι οποιοδήποτε
ευθύγραμμο τμήμα 0Α που έχει
ως αρχή του το κέντρο του
κύκλου και τέλος του
οποιοδήποτε σημείο του κύκλου.
ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ είναι
οποιαδήποτε ΓΔ που συνδέει
δύο σημεία του κύκλου και
περνάει από το κέντρο του.
ΧΟΡΔΗ είναι οποιοδήποτε
ευθύγραμμο τμήμα ΖΗ που
συνδέει δύο σημεία του κύκλου
χωρίς να περνά από το κέντρο
του.
ΤΟΞΟ είναι ένα τμήμα του
κύκλου ανάμεσα σε δύο σημεία
ΘΙ και συμβολίζεται ΘΙ.
Ο
ΚΥΚΛΙΚΟΣ ΔΙΣΚΟΣ είναι το
τμήμα του επιπέδου που
περικλείει ο κύκλος με κέντρο Ο
και ακτίνα ΟΑ μαζί με τη γραμμή
του κύκλου.
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ
 Όλες οι ακτίνες του κύκλου είναι ίσες μεταξύ τους.
 Η διάμετρος (δ) είναι διπλάσια της ακτίνας (α). Άρα η ακτίνα (α) είναι το μισό της διαμέτρου (δ).
ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ
- ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ λέγεται η περίμετρος του κυκλικού δίσκου και δίνεται από τον τύπο Κ= π • δ
- το π είναι το πηλίκο της διαίρεσης του μήκους του κύκλου δια το μήκος της διαμέτρου του και είναι ίσο
πάντα, περίπου με 3,14. (ισχύει σε όλους τους κύκλους ανεξαρτήτως ακτίνας).
- Άρα ισχύει:
δ = Κ : π
Διάμετρος = Κύκλος : 3,14
Κ = π • δ
Κύκλος = διάμετρος • 3,14
Ε(κυκλικού δίσκου) = π • α
2
(Το εμβαδόν κυκλικού δίσκου είναι ίσο με το γινόμενο του αριθμού π επί το τετράγωνο της ακτίνας.)
Μακρυγιάννης Γιάννης

ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1) Να κατασκευάσετε σε μιλιμετρέ χαρτί 3 κύκλους με ακτίνα 4 εκ, 5 εκ, και 6 εκ.
2) Μια κυκλική πλατεία έχει διάμετρο 50 μ. Να βρεθεί το εμβαδόν της.
3) Να κατασκευαστεί κύκλος με εμβαδόν 28,26 τ.εκ.
4) Να βρεθεί το μήκος (περίμετρος) μιας κυκλικής πλατείας που έχει εμβαδόν 200,96τ.μ.
5) Να κατασκευαστεί κύκλος που έχει μήκος 43,96 εκ.
6)
1) Να βρεθεί το εμβαδόν κυκλικού
δίσκου με ακτίνα 4 εκ.
Α
Ο
Ε = π • α2
Ε = 3,14 • 42
Ε = 3,14 • 16
Ε = 50,24 τ.εκ.
2) Να βρεθεί το μήκος κύκλου με ακτίνα 5 εκ.
Α
Ο
Αφού η ακτίνα είναι 5 εκ., η
διάμετρος θα είναι 10 εκ.
Από τον τύπο ισχύει:
Κ = π • δ
Κ = 3,14 • 10
Κ = 31,4 εκ.
3) Να κατασκευαστεί κύκλος με εμβαδόν 78,5 τ.εκ.
Για να κατασκευάσουμε έναν κύκλο πρέπει να γνωρίζουμε την ακτίνα του. Από τον τύπο ισχύει:
Ε = π • α2
Το τετράγωνο του 25 είναι ο αριθμός 5. Άρα η ακτίνα του κύκλου είναι 5 εκ.
α 2
= Ε : π
α2
= 78,5 : 3,14
α 2
= 25
78 τ.εκ.
Ο
Σε μια τριγωνική πλατεία με βάση 36μ. και ύψος
12μ. θα κατασκευαστούν: ένα κυκλικό σιντριβάνι
διαμέτρου 10μ. και 4 παρτέρια με λουλούδια
σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου 5μ. επί
3,5μ. Αν το υπόλοιπο μέρος της πλατείας
πλακοστρωθεί με πλάκες πεζοδρομίου
διαστάσεων 50εκ. επί 30εκ. να βρεθεί πόσο
κοστίζουν οι πλάκες αν η μία κοστίζει 72,4€.
Μακρυγιάννης Γιάννης

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ
6 . Μπορείς να υπολογίσεις το εμβαδόν του ζωτικού χώρου για
τα ζωάκια και το μήκος της περίφραξης που απαιτείται αν η
κλίμακα σχεδίασης είναι 1/50;
1. Σε τι διαφέρει ο κύκλος από τον κυκλικό δίσκο;
………………………………………………………
………………………………………………………
2. Ποια είναι η σχέση ακτίνας και διαμέτρου ;
………………………………………………………
………………………………………………………
3. Πώς υπολογίζεται το μήκος του κύκλου;
………………………………………………………
………………………………………………………
4. Πώς υπολογίζεται το εμβαδόν κυκλικού δίσκου;
………………………………………………………
………………………………………………………
5. Μπορείς να γράψεις τον τύπο;
………………………………………………………
………………………………………………………
3εκ.

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ
7. Μπορείς να βρεις πόσα λουλούδια θα χρειαστούν για να
φυτέψουμε το χώρο της τετράγωνης πλατείας που φαίνεται στο
σχέδιο με κίτρινο χρώμα αν για κάθε 2 τ.μ. θέλουμε τέσσερα
λουλούδια;
15 μ.
8. Να υπολογίσεις το εμβαδόν και το μήκος μιας ρόδας
ποδηλάτου όταν έχει ακτίνα 26 εκ..
3,5 μ.

ΟΓΚΟΣ – ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ – ΚΥΒΙΚΟ ΜΕΤΡΟ
ΓΕΡΟΝΤΑΚΗ ΑΥΓΟΥΣΤΙΝΑ – 2Ο ΔΗΜ. ΣΧΟΛΕΙΟ ΝΑΞΟΥ
Όνομα: ________________________________ Ημερομηνία: ________________________
1. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:
1μ.=_____________ δεκ.= ______________ εκ.= _________________ χιλ.
1τ.μ.= ____________τ.δεκ.= _____________ τ.εκ.= _______________τ.χιλ.
1κ.μ.= ____________κ.δεκ.= ______________κ.εκ. =______________ κ.χιλ.
2. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:
κ.μ. κ.δεκ. κ.εκ. κ.χιλ
6 ……………….. ……………….. ………………..
……………….. 8.000 ……………….. ………………..
……………….. ……………….. 3.000.000 ………………..
……………….. ……………….. ……………….. 9.000.000.000
……………….. ……………….. ……………….. 12.500.000.000
3. Να συμπληρώσετε τις ισότητες:
6.000κ,δεκ.=………………… κ.μ 3.000κ.εκ= …………………. κ.χιλ
4.000κδεκ.= ………………… κ.μ. 7.000κ.χιλ= ………………… κ.εκ
1000κ.δεκ.= ………………… κ.μ 4.000.000κ.χιλ= …………….. κ.δεκ
4.Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τις διάφορες ποσότητες νερού:
Όγκος Χωρητικότητα Βάρος
2 κ.δεκ ……… λίτρα ………..κιλά
……….. κ.δεκ 25 λίτρα …………κιλά
………… κ.δεκ .……... λίτρα 100 κιλά
4. Γράψε τους παρακάτω συμμιγείς με μορφή δεκαδικού και τους δεκαδικούς με μορφή
συμμιγών
2κ.μ 250κ.εδεκ 300κ.εκ = …………………. 6,754302κ.μ=………………………………
6κ.μ 75κ.δεκ 80κ.εκ=…………………….. 15,004025626κ.μ=…………………………
380κ.δεκ 850κ.εκ 150κ.χιλ=……………… 76,098120κ.δεκ=…………………………...
8κ.μ 45κ.εκ 12κ.χιλ=………………………. 0,760050κ.δεκ=…………………………….
87κ.εκ 453κ.χιλ=…………………………….. 0,328κ.εκ=………………………………….
4κ.μ 78κ.εκ=………………………………….. 0,000001κ.μ=………………………………
5.Το δεκαδικό αριθμό 8,673 με ποιο συμμιγή αριθμό θα τον γράψεις, ώστε να φανερώνει:
α) μέτρα; …………………………………………………………………………………….
β)τετρ.μέτρα; ……………………………………………………………………………….
γ)κυβικά μέτρα;……………………………………………………………………………..

ΟΓΚΟΣ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ
3. Μια βιομηχανία ντομάτας τυποποιεί το προϊόν της σε κυλινδρικά
κουτάκια διαμέτρου βάσης 8 εκατοστών και ύψους 10 εκατοστών και
τα τοποθετεί σε κιβώτια διαστάσεων 40, 64 και 20 εκατοστά.
Μπορείτε να βρείτε τα κουτάκια των 6 κιβωτίων που θα μεταφέρει το
κλάρκ;
1. Πώς υπολογίζω τον όγκο ενός κυλίνδρου;
………………………………………………………
………………………………………………………
2. Μπορείς να γράψεις τον τύπο υπολογισμού του όγκου
ενός κυλίνδρου;
………………………………………………………
………………………………………………………
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ ……………………………………………………………

4. Η τιμή του αργού πετρελαίου υπολογίζεται σε δολάρια ανά
βαρέλι. Ένα βαρέλι έχει ακτίνα βάσης 21 εκατοστά και ύψος
114,823 εκατοστά. Σήμερα (10/5/ 2008) η τιμή του βαρελιού είναι
120 δολάρια, ενώ η σχέση ευρώ-δολαρίου είναι:
1ευρώ – 1,6δολάρια .
α) Μπορείτε να βρείτε ποια είναι η τιμή του λίτρου του αργού
πετρελαίου σε ευρώ;
β) Αφού διαβάσετε τις πληροφορίες του πλαισίου να βρείτε πόσα
λίτρα βενζίνης, αποστάγματος πετρελαίου και κηροζίνης μας δίνει ένα
βαρέλι αργού πετρελαίου με χωρητικότητα 159 λίτρα.
Να τι δίνει ένα βαρέλι αργού πετρελαίου:
43% βενζίνη, 21.5% απόσταγμα πετρελαίου, 11.5% υπολείμματα
πετρελαίου, 6.9% καύσιμο κινητήρα αεροσκαφών,
4.7% πρώτες ύλες για την παρασκευή προϊόντων γενικής χρήσης
(π.χ. καθαριστικά, πλαστικά, υφαντικές ίνες κτλ ),
3.8% φυσικό αέριο, 3.1% άσφαλτος, 2.6% κοκ, 2.3% υγραέριο(LPG), 1.3%κηροζίνη,1.3%
λιπαντικά, 0.67% άλλα
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ • …………………………………………………….
• ……………………………………………………
• ……………………………………………………

5. Μια δεξαμενή νερού σε σχήμα κυλίνδρου έχει ακτίνα 4 μέτρα και
ύψος 9 μέτρα. Πόσες φορές μπορεί να γεμίσει το πυροσβεστικό όχημα
τη δεξαμενή του πλήρως, η οποία έχει σχήμα ορθογωνίου
παραλληλεπιπέδου και διαστάσεις 6μ., 1,5μ. και 2 μ.;
6. Ένα εργοστάσιο αναψυκτικών γέμισε με αναψυκτικά κυλινδρικά
κουτάκια ακτίνας 0,02μ. και ύψους 0,09μ.. Πόσα τέτοια κουτάκια
χρησιμοποίησε για να συσκευάσει 25.000 λίτρα αναψυκτικών;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ ……………………………………………………………………….
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ …………………………………………………………

Γεώργιος Π. Μαυροειδάκος

Μαθηματικά ΣΤ΄ Δημοτικού Φροντιστήριο "Η Ευθεία της Γνώσης"
http://www.eytheia.blogspot.com/ Αγγέλης Αλέξανδρος

273
273
56. ÃåùìåôñéêÜ ó÷Þìáôá - Ðïëýãùíá
ÃåùìåôñéêÜ ó÷Þìáôá
Ôá êëåéóôÜ ó÷Þìáôá ðïõ Ý÷ïõí ôïõëÜ÷éóôïí 3 ðëåõñÝò êáé 3 ãùíßåò ëÝãïíôáé ðïëýãùíá.
Ôá ðïëýãùíá ðïõ Ý÷ïõí üëåò ôéò ðëåõñÝò êáé ôéò ãùíßåò ôïõò ßóåò ìåôáîý ôïõò ëÝãïíôáé
êáíïíéêÜ ðïëýãùíá. Óôá ðïëýãùíá ôï åõèýãñáììï ôìÞìá ðïõ åíþíåé äýï êïñõöÝò,
üôáí äåí åßíáé ðëåõñÜ, ëÝãåôáé äéáãþíéïò.
Ôá ïíüìáôá ôùí ðïëõãþíùí, åêôüò áðü ôï ôåôñÜðëåõñï, ó÷çìáôßæïíôáé áðü ôïí áñéèìü
ôùí ãùíéþí ðïõ Ý÷ïõí êáé ôçí êáôÜëçîç -ãùíï.
¢óêçóç 1
Íá ó÷åäéÜóåôå Ýíá êáíïíéêü ïêôÜãùíï.
ëýóç
Ó÷åäéÜæù äõï êÜèåôåò äéáãþíéåò. Åíþíù ôá óçìåßá ðïõ
áõôÝò ôÝìíïõí ôïí êýêëï êáé ó÷çìáôßæù ôåôñÜãùíï. Áðü
ôï êÝíôñï ôïõ êýêëïõ öÝñíù êÜèåôåò óôéò ðëåõñÝò ôïõ
ôåñáãþíïõ êáé ôéò ðñïåêôåßíù ìÝ÷ñé íá êüøïõí ôçí
ðåñéöÝñåéá.Åíþíù ôá óçìåßá ðïõ ïñßóôçêáí óôçí
ðåñéöÝñåéá êáé ó÷çìáôßæù ôï êáíïíéêü ïêôÜãùíï.

274
274
57. Ãùíßåò
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò 1
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 11
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò 2
Ìéá ãùíßá ìðïñåß íá åßíáé:
• ïîåßá (ìéêñüôåñç áðü 90°),
• ïñèÞ (ßóç ìå 90°) Þ
• áìâëåßá (ìåãáëýôåñç áðü 90°).
3 oñèÝò: ηθι
∧
, Χ ΨΩ
∧
, αβγ
∧
3 ïîåßåò: ΗΘΙ
∧
, ΠΡΣ
∧
, οξ ν
∧
3 áìâëåßåò: Τ ΥΦ
∧
, ∆Ε Ζ
∧
, κλ µ
∧
.
Óýãêñéóç êáé ìÝôñçóç ãùíéþí
Ìðïñïýìå íá óõãêñßíïõìå äýï ãùíßåò ìåôáîý ôïõò áí ôïðïèåôÞóïõìå ôç ìßá ðÜíù óôçí Üëëç, ìå
ôçí êïñõöÞ êáé ôç ìßá ðëåõñÜ ôïõò íá óõìðßðôïõí.
Ãéá íá ìåôñÞóïõìå ìßá ãùíßá áñêåß íá âÜëïõìå åðÜíù ôçò ôï ìïéñïãíùìüíéï. ÌïíÜäá ìÝôñçóçò
ôùí ãùíéþí åßíáé ç ìïßñá (1°): 1° = 60' (ðñþôá ëåðôÜ), 1' = 60'' (äåýôåñá ëåðôÜ). Ìßá ãùíßá ìðïñåß
íá åßíáé ïîåßá (ìéêñüôåñç áðü 90°), ïñèÞ (ßóç ìå 90°) Þ áìâëåßá (ìåãáëýôåñç áðü 90°).
Ôï ìÝãåèïò ìéáò ãùíßáò åîáñôÜôáé áðü ôï Üíïéãìá ôùí ðëåõñþí ôçò êáé ü÷é áðü ôï ìÞêïò ôïõò.
Ïé ìðÜñåò êáé ôï óÞìá ó÷çìáôßæïõí ïñèÞ ãùíßá.

275
275
58.Ó÷åäéÜæù ãùíßåò
ÁðÜíôçóç
ðñïâëÞìáôïò 1
Ï ó÷åäéáóìüò èá ãßíåé ùò åîÞò: ÖÝñíïíôáò ôéò äýï
êÜèåôåò ðïõ ïñßæïõí ôïõò áñéèìïýò 12, 3 êáé 9,
Ý÷ù ÷ùñßóåé ôçí ðëÜêá óå 4 ôåôáñôçìüñéá. Óå êÜèå
ôåôáñôçìüñéï èá ó÷åäéÜóù 3 ãùíßåò 30° ç êÜèå
ìßá. ÖÝñíù ëïéðüí ôï ìïéñïãíùìüíéï óôï êÝíôñï
êáé ÷áñÜæù ôéò ãùíßåò 30°, 60°, 120° êáé 150°. Èá
ðñïåêôåßíù óôç óõíÝ÷åéá ôéò ðëåõñÝò ðïõ ó÷çìá-
ôßæïõí ôéò ãùíßåò áõôÝò êáé ó÷åäéÜæù ôéò ãùíßåò óå
ïëüêëçñï ôï ó÷Þìá.
ÁðÜíôçóç
23°+ã=115°
ã= 115°- 23°
ã= 92°
ÊáôáóêåõÞ ãùíéþí, Üèñïéóìá êáé äéáöïñÜ ãùíéþí
Ìðïñïýìå íá ó÷åäéÜóïõìå ãùíßåò óôï ìÝãåèïò ðïõ èÝëïõìå ÷ñçóéìïðïéþíôáò ôï ìïéñïãíùìüíéï êáé
ôï ÷Üñáêá. Âñßóêïõìå ôï Üèñïéóìá äýï Þ ðåñéóóüôåñùí ãùíéþí áí áèñïßóïõìå ôá ìåãÝèç ôïõò Þ áí
ôéò ôïðïèåôÞóïõìå ôç ìßá äßðëá óôçí Üëëç êáé ìåôñÞóïõìå ôï óõíïëéêü ìÝãåèïò.
Âñßóêïõìå ôç äéáöïñÜ äýï ãùíéþí áí áöáéñÝóïõìå ôï ìÝãåèïò ôçò ìéáò áðü ôï ìÝãåèïò ôçò Üëëçò Þ áí
ôéò ôïðïèåôÞóïõìå ôç ìßá ðÜíù óôçí Üëëç êáé ìåôñÞóïõìå ôç äéáöïñÜ ôïõò.

276
276
Èá õðïëïãßóù ôç ãùíßá ΑΟ∆
∧
.
ΑΟΒ ΑΟΓ ΒΟΓ 112 81 31
∧ ∧ ∧
= − = ° − ° = °
ΑΟ∆ ΑΟΓ ΟΓ ∆ 112 31 143
∧ ∧ ∧
= + = ° + = °
Ç óôÝãç åßíáé áêáôÜëëçëç áöïý ó÷çìáôßæåé
ãùíßá ìåãáëýôåñç ôùí 90°.
Ôï 1cm → 50cm
Ôá 2cm → 100cm Þ 1m.
Ôï ýøïò ôçò óôÝãçò
áðü ôç ãñáììÞ ÁÄ
èá åßíáé 3,1 ì.
ÁðÜíôçóç
äñáóôçñéüõçôá
ìå ðñïåêôÜóåéò
Ó÷åäéÜæù ãùíßåò

277
277
59. Måãåèýíù - ìéêñáßíù ó÷Þìáôá
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò 1
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò 2
Êëßìáêá: 1:4
¼ôáí ìåôáöÝñïõìå Ýíá ó÷Þìá óôï ÷áñôß, ìðïñïýìå íá äéáôçñÞóïõìå ôéò ðñáãìáôéêÝò ôïõ äéáóôÜóåéò,
ìðïñïýìå üìùò íá ôï ó÷åäéÜóïõìå åßôå ìåãáëýôåñï åßôå ìéêñüôåñï áð' üôé åßíáé ðñáãìáôéêÜ.
Ìåãáëþíù Þ ìéêñáßíù ó÷Þìáôá
Ãéá íá ìåãåèýíïõìå Þ íá ìéêñýíïõìå Ýíá ó÷Þìá ðñÝðåé íá êñáôÞóïõìå ôçí áíáëïãßá,
óýìöùíá ìå ôç ó÷Ýóç ðïõ èÝëïõìå íá Ý÷åé ôï ó÷Ýäéï ìáò ìå ôï ðñáãìáôéêü ó÷Þìá.
Êëßìáêá
Êëßìáêá ïíïìÜæïõìå ôï ëüãï, äçëáäÞ ôç ó÷Ýóç, ôçò áðüóôáóçò äýï óçìåßùí ôïõ ó÷åäßïõ
ðñïò ôçí ðñáãìáôéêÞ áðüóôáóç. ÃñÜöïõìå ðÜíôá ôçí êëßìáêá ðÜíù óôï ó÷Ýäéï, ìå ìïñöÞ
äéáßñåóçò Þ êëÜóìáôïò.

278
278
Måãåèýíù - ìéêñáßíù ó÷Þìáôá
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò 3
Êëßìáêá: 1:4
Ãéá íá ìåãåèýíïõìå Þ íá ìéêñýíïõìå Ýíá ó÷Þìá ðñÝðåé íá êñáôÞóïõìå ôçí
áíáëïãßá, óýìöùíá ìå ôç ó÷Ýóç ðïõ èÝëïõìå íá Ý÷åé ôï ó÷Ýäéü ìáò ìå ôï
ðñáãìáôéêü ó÷Þìá.
Êëéìáêá ïíïìÜæïõìå ôï ëüãï, äçëáäÞ ôç ó÷Ýóç, ôçò áðüóôáóçò äýï
óçìåßùí ôïõ ó÷åäßïõ ðñïò ôçí ðñáãìáôéêÞ áðüóôáóç. ÃñÜöïõìå ðÜíôá ôçí
êëßìáêá ðÜíù óôï ó÷Ýäéï, ìå ìïñöÞ äéáßñåóçò Þ êëÜóìáôïò.

279
279
60. ÁîïíéêÞ óõììåôñßá
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò 1
Ôüóï óôç öýóç üóï êáé óôéò áíèñþðéíåò êáôáóêåõÝò, õðÜñ÷ïõí ó÷Þìáôá Þ áíôéêåßìåíá ðïõ "áðïôåëïýíôáé"
áðü äýï üìïéá ôìÞìáôá.
ÁîïíéêÞ óõììåôñßá
¼ôáí Ýíá ó÷Þìá ìðïñåß íá ÷ùñéóôåß ìå ìéá åõèåßá ãñáììÞ óå äýï ôìÞìáôá, Ýôóé þóôå ôï Ýíá ôìÞìá íá
åßíáé ç áíôáíÜêëáóç ôïõ Üëëïõ, ôüôå ôï ó÷Þìá áõôü åßíáé óõììåôñéêü ùò ðñïò Üîïíá óõììåôñßáò.
Ç åõèåßá ãñáììÞ ðïõ ÷ùñßæåé ôï ó÷Þìá áõôü óôá äýï ïíïìÜæåôáé Üîïíáò óõììåôñßáò.
¸íá ó÷Þìá ìðïñåß íá Ý÷åé ðïëëïýò Üîïíåò óõììåôñßáò.
ÊÜðïéá óõììåôñéêÜ ó÷Þìáôá Ý÷ïõí Üîïíá óõììåôñßáò ðïõ ôá ôÝìíåé, åíþ Üëëá åßíáé óõììåôñéêÜ ùò
ðñïò Üîïíá óõììåôñßáò ðïõ âñßóêåôáé Ýîù áðü áõôÜ.

280
280
ÓõíÝ÷åéá
áðÜíôçóçò
Üóêçóçò 2
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò 3
ÁðÜíôçóç
ÁîïíéêÞ óõììåôñßá
Èá ðñÝðåé êÜèå óçìåßï ôïõ åíüò ó÷Þìáôïò íá åßíáé óõììåôñéêü ìå áíôßóôïé÷ï óçìåßï
ôïõ Üëëïõ.
á) Å, Á, Â, Ä, Ê, Ë, Ì, Ð, Ó, Ô, Õ, Ö, Ø, Ù
â) Ç, È, É, Î
ã) Ï, ×
Ôá ó÷Þìáôá â êáé ã.

281
281
61. Ìåôñþ åðéöÜíåéåò
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò 1
Åìâáäü ìéáò åðßðåäçò åðéöÜíåéáò åßíáé ï áñéèìüò ðïõ åêöñÜæåé ôï áðïôÝëåóìá ôçò ìÝôñçóÞò ôçò.
á. Èá ìåôñÞóù ôï ìÞêïò êáé ôï ðëÜôïò êáé âñßóêïíôáò ôï ãéíüìåíï õðïëïãßæù ôï åìâáäüí ôçò ôÜîçò.
â. Èá ìåôñÞóù ôï ìÞêïò êáé ôï ðëÜôïò ôïõ èñáíßïõ ìïõ êáé ðïëëáðëáóéÜæïíôÜò ôá, âñßóêù ôï
åìâáäüí ôïõ.
ð.÷
á. áí ôï ìÞêïò åßíáé 6ì. êáé ôï ðëÜôïò 4ì. , ôüôå: ÅôÜîçò = 6x 4=24ô.ì.
â. áí ôï ìÞêïò åßíáé 1,5ì., êáé ôï ýøïò 0,50ì. , ôüôå : Åèñáíßïõ = 1,5 x 0,50= 0,75ô.ì.
ÁðÜíôçóç: ÅôÜîçò = 6x 4=24ô.ì., Åèñáíßïõ = 1,5x 0,50= 0,75ô.ì.
ÌÝôñçóç åðéöÜíåéáò - åìâáäÜ
ÅìâáäÜ ìéáò åðßðåäçò åðéöÜíåéáò åßíáé ï áñéèìüò ðïõ åêöñÜæåé ôï áðïôÝëåóìá ôçò ìÝôñçóçò ôçò.
ÌïíÜäá ìÝôñçóçò åðéöáíåéþí åßíáé ôï ôåôñáãùíéêü ìÝôñï (ô.ì.). ÕðïäéáéñÝóåéò ôïõ ô.ì. åßíáé: ôï
ôåôñáãùíéêü äåêáôüìåôñï (ô.äåê.), ôï ôåôñáãùíéêü åêáôïóôüìåôñï (ô.åê.) êáé ôï ôåôñáãùíéêü
÷éëéïóôüìåôñï (ô.÷éë.)
(1 ô.ì. = 100 ô.äåê. = 10.000 ô.åê. = 1.000.000 ô.÷éë.).
ÐïëëáðëÜóéï ôïõ ô.ì. åßíáé ôï ôåôñáãùíéêü ÷éëéüìåôñï (ô.÷ì.)
(1 ô.÷ì. = 1.000.000 ô.ì.)
Ãéá íá åêöñÜóïõìå ôá åìâáäÜ ìðïñïýìå íá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå óõììéãÞ,äåêáäéêü, öõóéêü, ìåéêôü Þ
êëáóìáôéêü áñéèìü. Ãéá íá êÜíïõìå üìùò ðñÜîåéò áíÜìåóá óôéò ìåôñÞóåéò ðñÝðåé áõôÝò íá åêöñÜæïíôáé
ìå ôçí ßäéá ìïñöÞ áñéèìïý êáé óôçí ßäéá õðïäéáßñåóç.

282
282
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò 2
Ôá èñáíßá ôçò ôÜîçò åßíáé 12 êáé ï áñéèìüò ôùí ìáèçôþí åßíáé 24.
1. Èá õðïëïãßóù ôï óõíïëéêü åìâáäüí üëùí ôùí èñáíßùí.
2. Èá áöáéñÝóù áðü ôï åìâáäüí ôçò ôÜîçò ôïõ åìâáäüí ðïõ õðïëüãéóá óôï âÞìá 1.
3. èá äéáéñÝóù ôï åìâáäüí ôïõ ÷þñïõ ðïõ áðïìÝíåé ìå ôï 24 ðïõ ìáò äåß÷íåé ôïí áñéèìü ôùí
ìáèçôþí êáé Ýôóé èá õðïëïãßóù ôï ÷þñï ðïõ áíôéóôïé÷åß óôïí êÜèå ìáèçôÞ.
Áí õðïèÝóïõìå üôé Ý÷åé ìÞêïò 25ì. êáé ðëÜôïò 12ì. ôüôå:
á. 25÷12 = 300ô.ì.
Aí ôá ðáéäéÜ åßíáé 300,ôüôå:
â. 300:150=2ô.ì.
ÁðÜíôçóç: Ï ÷þñïò ðáé÷íéäéïý ðïõ áíôéóôïé÷åß óôï êÜèå ðáéäß åßíáé 2ô.ì.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò 3
Ìåôñþ åðéöÜíåéåò

283
283
62. Âñßóêù ôï åìâáäüí ðáñáëëçëïãñÜììïõ
Ôï åìâáäüí åíüò ðáñáëëçëïãñÜììïõ åßíáé ßóï ìå ôï ãéíüìåíï ìéáò âÜóçò ôïõ åðß ôï áíôßóôïé÷ï
ýøïò.
Áõôü åêöñÜæåôáé óýíôïìá ìå ôïí ôýðï: ¡ Å(ðáñáëçëëïãñÜììïõ) = â ÷ õ
Ãéá íá âñïýìå ôï ýøïò ôïõ ðáñáëëçëïãñÜììïõ, ðñÝðåé íá ôñáâÞîïõìå Ýíá êÜèåôï åõèýãñáììï
ôìÞìá ðñïò Ýíá áðü ôá æåõãÜñéá ôùí ðáñÜëëçëùí ðëåõñþí ôïõ. ÁõôÝò ïé ðëåõñÝò ôüôå ëÝãïíôáé
âÜóåéò ôïõ êáé ôï êÜèåôï ôìÞìá, ýøïò.
Å(ðáñáëçëëïãñÜììïõ) = â ÷ õ=4÷2= 8ô.åê.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò 1
Åìâáäüí ðáñáëëçëïãñÜììïõ
Ôï åìâáäü åíüò ðáñáëëçëïãñÜììïõ åßíáé ßóï ìå ôï ãéíüìåíï ìéáò âÜóçò ôïõ åðß ôï áíôßóôïé÷ï ýøïò.
Áõôü åêöñÜæåôáé óýíôïìá ìå ôïí ôýðï:
Å(ðáñáëçëëïãñÜììïõ) = â ÷ õ
Ãéá íá âñïýìå ôï ýøïò åíüò ðáñáëëçëïãñÜììïõ, ðñÝðåé íá ôñáâÞîïõìå Ýíá êÜèåôï åõèýãñáììï
ôìÞìá ðñïò Ýíá áðü ôá æåõãÜñéá ôùí ðáñÜëëçëùí ðëåõñþí ôïõ. ÁõôÝò ïé ðëåõñÝò ôüôå ëÝãïíôáé
âÜóåéò ôïõ ðáñáëëçëïãñÜììïõ êáé ôï êÜèåôï åõèýãñáììï ôìÞìá, ýøïò.

284
284
Âñßóêù ôï åìâáäüí ðáñáëëçëïãñÜììïõ
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò 2
Ôï åìâáäüí åíüò ðáñáëëçëïãñÜììïõ åßíáé ßóï ìå ôï ãéíüìåíï ìéáò âÜóçò
ôïõ åðß ôï áíôßóôïé÷ï ýøïò.
Áõôü åêöñÜæåôáé óýíôïìá ìå ôïí ôýðï: ¡ Å(ðáñáëçëëïãñÜììïõ) = â ÷ õ
E=â ÷ õ
38,25=â÷4,5
â=38,25:4,5
â=8,5åê.
ÁðÜíôçóç: Ç âÜóç åßíáé 8,5åê.
9
15
45
75 3
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò 3
ÊáèÝíá áðü ôá ðáñáëëçëüãñáììá Ý÷åé âÜóç
12ì. êáé ýøïò 16ì. Âñßóêù ôï åìâáäüí ôïõ êáé
ðïëëáðëáóéÜæïíôÜò ôï ìå ôï 24, áöïý ï ðýñ-
ãïò áðïôåëåßôáé áðü 6 ßäéá ðáñáëëçëüãñáììá
óå êÜèå ìßá áðü ôéò ôÝóóåñéò ðëåõñÝò ôïõ, âñß-
óêù ôç óõíïëéêÞ åðéöÜíåéá ôïõ ìåôáëëéêïý óêå-
ëåôïý ðïõ ðñÝðåé íá êáëýøïõìå ìå ðñïóôá-
ôåõôéêü ýöáóìá.
Å(ðáñáëëçëïãñÜììïõ)=12÷16=192ô.ì.
192÷24=4.608 ô.ì.
ÁðÜíôçóç: Èá ðñÝðåé íá
êáëýøïõìå 4.608 ô.ì. ìå
ðñïóôáôåõôéêü ýöáóìá.
ÁðÜíôçóç

285
285
Ôï ó÷Þìá åßíáé óõììåôñéêü ùò ðñüò Üîïíá. Èá õðïëïãßóù ëïéðüí ôï åìâáäüí ôïõ ó÷Þìáôïò
ðïõ âñßóêåôáé áñéóôåñÜ Þ äåîéÜ ôïõ Üîïíá óõììåôñßáò êáé èá ôï äéðëáóéÜóù.
Èá ðñïóèÝóù ôÝëïò ôï 18% ôïõ ðáñáðÜíù õöÜóìáôïò ðïõ èá ÷ñåéáóôïýìå.
Ãéá ôçí áðÜíôçóç ôïõ 2ïõ åñùôÞìáôïò èá õðïëïãßóù ôï êüóôïò åýêïëá áöïý ãíùñßæù ôï
êüóôïò ôïõ 1ô.ì.
Á ó÷Þìá: 84÷39= 3.276ô.ì.
Â ó÷Þìá: 120÷60=7.200ô.ì.
Ã ó÷Þìá:
1
69 64 2.208τ.µ.
2
⋅ =
3.276 7.200 2.208 12.684+ + =
12.684 2 25.368τ.µ.⋅ =
Âñßóêù ôï åìâáäüí ðáñáëëçëïãñÜììïõ
Èá ÷ñåéáóôþ 18% ðáñáðÜíù ýöáóìá, Üñá:
18
25.368 4.566,24
100
⋅ =
25.368 4.566,24 29934,24τ.µ.+ =
Ôï óõíïëéêü êüóôïò ãéá ôï ýöáóìá èá åßíáé:
29934,24 15 449.013,6€⋅ =
ÁðÜíôçóç

286
286
ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò
1. Íá óõíå÷ßóåéò ôï ó÷Ýäéï:
................................................
2. ÐáñáôÞñçóå ôá ðñþôá ó÷Þìáôá êáé äéÜëåîå áðï ôá Üëëá ôñßá ðéï áêïëïõèåß ãéá íá äçìéïõñ-
ãçèåß ìïôßâï.
3. ÓõìðëÞñùóå ôá êåíÜ ìå ôïí êáôÜëëçëï áñéèìü:
á. 4 16 64 ..... â. 5 ..... 35 50
4. Ðüóá êïõôÜêéá èá Ý÷åé óõíïëéêÜ ôï åðüìåíï ó÷Þìá;
5. Ó÷åäßáóå Ýíá ßäéï ó÷Þìá ìå: á. Ýíá öýëëï ÷áñôß.
â. Ýíá êÝñìá.

287
287
6. Ìå ôçí âïÞèåéá ôïõ ãíþìïíá óýãêñéíå êáé ãñÜøå ðüóåò ìïßñåò åßíáé ç êáèåìßá áðü ôéò ðáñá-
êÜôù ãùíßåò.
7. Íá õðïëïãßóåéò óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá ôç ãùíßá “ ÷ “ áí ãíùñßæåéò üôé ç = 0
ΑΒΓ 40 Þ = 0
ΕΒ∆ 80
êáé ç = 0
ΑΒΕ 140 .

290
290
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ
ÃÉÁ ÔÇÍ ÓÔ’ ÔÁÎÇ ÄÇÌÏÔÉÊÏÕ
Ðåñéå÷üìåíá:
63. Âñßóêù ôï åìâáäü ôñéãþíïõ ...................................... óåë. 291
64. Âñßóêù ôï åìâáäü ôñáðåæßïõ ...................................... óåë. 294
65. Âñßóêù ôï åìâáäü êõêëéêïý äßóêïõ .......................... óåë. 297
66. Êýâïò êáé ïñèïãþíéï ðáñáëëçëåðßðåäï:
Ýäñåò êáé áíáðôýãìáôá ............................................... óåë. 299
áêìÝò êáé êïñõöÝò ...................................................... óåë. 302
68. Êýëéíäñïò ................................................................... óåë. 305
69. ¼ãêïò - ×ùñçôéêüôçôá ................................................ óåë. 309
70. ¼ãêïò êýâïõ êáé ïñèïãùíßïõ
ðáñáëëçëåðéðÝäïõ..................................................... óåë. 312
71. ¼ãêïò êõëßíäñïõ........................................................ óåë. 316
Ãéá ðåñéóóüôåñç åîÜóêçóç ........................................... óåë. 320
Áðáãïñåýåôáé ç áíáðáñáãùãÞ ôïõ ðáñüíôïò
âéâëßïõ ìå ïðïéïíäÞðïôå ôñüðï, ÷ùñßò ôçí
Ýããñáöç Üäåéá ôïõ åêäüôç.
Äéåýèõíóç åêðáéäåõôéêÞò óåéñÜò:
ÆÕÑÌÐÁÓ ÁÍÄÑÅÁÓ
Õðåýèõíïé Ýêäïóçò:
ÖÅÔÓÇÓ ÃÅÙÑÃÉÏÓ
ÂÏÕÄÏÕÑÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓ
ÄÅÌÅÑÏÕÔÇ ÁÉÊÁÔÅÑÉÍÇ
ÓõíôáêôéêÞ ïìÜäá:
ÁËÁÌÁÍÇ ÃÅÙÑÃÉÁ
ÂÏÕÄÏÕÑÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓ
ÃÅÑÏÍÔÏÐÏÕËÏÓ ÓÔÅÖÁÍÏÓ
ÄÅÌÅÑÏÕÔÇ ÁÉÊÁÔÅÑÉÍÇ
ÌÏÉÑÁÓ ÐÁÍÁÃÉÙÔÇÓ
ÌÏÕÓÏÕËÇÓ ÉÙÁÍÍÇÓ
ÏÑÓÏÐÏÕËÏÓ ÉÙÁÍÍÇÓ
ÐËÏÕÌÁÊÇÓ ÊÙÍÓÔÁÍÔÉÍÏÓ
ÖÅÔÓÇÓ ÃÅÙÑÃÉÏÓ
×ÁÍÉÙÔÇ ÉÙÁÍÍÁ
Êáëëéôå÷íéêÞ äéåýèõíóç:
FORWARD CREATIVE BUREAU
210 9585645
DTP - ÃñáöéêÜ:
ÔÓÅËÉÊÈÅÏ×ÁÑÉÄÏÕ ÖÙÔÅÉÍÇ
ÅéêïíïãñÜöçóç:
ÊÁËÁÍÔÙÍÇÓ ÅËÅÕÈÅÑÉÏÓ
ÆÏÕËÁÊÇÓ ÅÌÌÁÍÏÕÇË
ÔÓÉÏÌÐÁÍÉÄÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓ
Copyright:
Ç. ÌáíéáôÝáò
ÅêäïôéêÝò Åðé÷åéñÞóåéò Á.Å.
ÈçóÝùò 50, ÊáëëéèÝá
ôçë. 210 9546555

291
291
63. Âñßóêù ôï åìâáäü ôñéãþíïõ
¸íá ôñßãùíï ìå âÜóç â êáé ýøïò õ Ý÷åé ôç ìéóÞ åðéöÜíåéá áðü Ýíá
ðáñáëëçëüãñáììï ìå äéáóôÜóåéò ßóåò ìå â êáé õ.
Ôï åìâáäü åíüò ôñéãþíïõ åßíáé ßóï ìå ôï ìéóü ôïõ ãéíüìåíïõ ôçò âÜóçò ôïõ
åðß ôï áíôßóôïé÷ï ýøïò.
Áõôü åêöñÜæåôáé óýíôïìá ìå ôïí ôýðï : Å(ôñéãþíïõ) = (â x õ) : 2
Ãéá íá âñïýìå ôï ýøïò ôïõ ôñéãþíïõ, ðñÝðåé íá ôñáâÞîïõìå ìéá êÜèåôç
ãñáììÞ áðü ìßá áðü ôéò êïñõöÝò ôïõ ðñïò ôçí áðÝíáíôé ðëåõñÜ. ÁõôÞ ç
ðëåõñÜ ôïõ ôüôå ëÝãåôáé âÜóç ôïõ ôñéãþíïõ.
¢óêçóç 1
Íá âñåèïýí ôá åìâáäÜ ôùí ðáñáêÜôù ôñéãþíùí.
Ãéá ôï (Á) Åôñéã.
= ( 6 ÷ 5 ) : 2 = ( 30 : 2 ) ô.åê. = 15 ô.åê.
Ãéá ôï (Â) Åôñéã.
= ( 4 ÷ 3 ) : 2 = ( 12 : 2 ) ô.åê. = 6 ô.åê.
Ãéá ôï (Ã) Åôñéã.
= ( 8 ÷ 3 ) : 2 = ( 24 : 2) ô.åê. = 12 ô.åê.
ëýóç

292
292
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò 1
Ãéá íá âñïýìå ôá ýøç ôïõ ôñéãþíïõ,ðñÝðåé íá ôñáâÞîïõìå êÜèåôç ãñáììÞ
áðü êÜèå êïñõöÞ ôïõ ðñïò ôçí áðÝíáíôé ðëåõñÜ áõôÞò.
¢óêçóç 2
Óôçí âåñÜíôá ôïõ óðéôéïý ôïõ Êþóôá êÜðïéá ðëáêÜêéá Ýóðáóáí êáé èá
áíôéêáôáóôáèïýí áðü êáéíïýñãéá ôá ïðïßá êïóôßæïõí 15 ôï ô.ì. Ç
âåñÜíôá Ý÷åé ó÷Þìá ïñèïãùíßïõ êáé ç åðéöÜíåéá óôçí ïðïßá èá
ôïðïèåôçèïýí ôá êáéíïýñãéá ðëáêÜêéá åßíáé ôñéãùíéêÞ. Ïé äéáóôÜóåéò
ôçò âåñÜíôáò åßíáé 5÷6, ôï óçìåßï Á áðÝ÷åé áðÝ÷åé áðü ôçí ðëåõñÜ ÄÅ
2 åê. êáé ôï óçìåßï Â êáé Æ áðÝ÷åé 1åê áðü ôçí ÄÇ êáé ÅÆ áíôßóôïé÷á.
á) Íá âñåèåß ðüóï êïóôßæïõí ôá ðëáêÜêéá ðïõ èá áãïñÜóåé ï Êþóôáò.
Ç âÜóç ôïõ ÁÂÃ, ÂÃ åßíáé â = 6 - ( 1 + 1 ) = 4ì.
Ôï ýøïò ôïõ ÁÂÃ åßíáé õ = ( 5 - 2 )ì. = 3ì.
¢ñá Åôñéã. = ( 4 ÷ 3 ):2 = 6ôì. Ïðüôå ôï êüóôïò èá
åßíáé ( 16 ÷ 5 ) = 30
ëýóç
Âñßóêù ôï åìâáäü ôñéãþíïõ

293
293
Âñßóêù ôï åìâáäü ôñéãþíïõ
Ôï ýøïò åßíáé ôï Üèñïéóìá ôçò êáôáêüñõöçò ðëåõñÜò ôïõ
ôåôñáãþíïõ êáé ôçò áðüóôáóçò ôïõ óðéôéïý áðü ôï Ã.
ÄçëáäÞ åßíáé 8 + 8 = 16ì. Ç âÜóç ÁÂ åßíáé 32ì.
¢ñá Å(ôñéãþíïõ)
= (16·32):2=256ô.ì.
Åôåôñ
= 8 · 8 = 64ô.ì. , Å(ôñéã)
- Å(ôåôñ)
= 192ô.ì.
Ôï 1 ô.ì. ÷ëïïôÜðçôá ðùëåßôáé ðñïò 8 , Üñá ôá 192ô.ì. ÷ëïïôÜðçôá èá êïóôßóïõí:192 · 8 = 1.536 .
Ç ðåñéï÷Þ ðïõ øÜ÷íïõí åßíáé ßóç ìå ôï åìâáäü ôïõ ôñéãþíïõ ,äçëáäÞ åßíáé:
( )
( )= ⋅ =τριγώνου
Ε 1.000 866 : 2 433.000 ôåôñáãùíéêÜ íáõôéêÜ ìßëéá.
Ãéá íá óõãêñßíù ôéò äýï åêôÜóåéò èá ìåôáôñÝøù ôá ôåôñáãùíéêÜ íáõôéêÜ ìßëéá
óå ôåôñáãùíéêÜ ÷éëéüìåôñá.
1 ôåôñ.íáõôéêü ìßëé = 1.8092
ô.ì = 3.272.481 ô.ì = 3,272481 ô.÷ì.
¢ñá ôá 433.000 ô.í.ì. = 433.000 ÷ 3,272481 ô.÷ì. = 1.416.984,273 ô.÷ì.
ÅðåéäÞ 1.416.984,273 : 132.000 = 10,7 , ç ðåñéï÷Þ ðïõ øÜ÷íïõí åßíáé ðåñßðïõ 11
öïñÝò ìåãáëýôåñç áðü ôçí Ýêôáóç ôçò ÅëëÜäáò.
ÁðÜíôçóç
Äñáóô/ôáò ìå
ðñïåêôÜóåéò
Èá õðïëïãßóù ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ ÁÂÃ, êáé áðü áõôü èá áöáéñÝóù ôï
åìâáäü ôïõ ôåôñáãþíïõ ðïõ ðáñéóôÜíåé ôï åîï÷éêü óðßôé ôïõ êõñßïõ Êåßóáñç.
ÁðÜíôçóç
ðáñïâëÞìáôïò 1
Ìå ôï ìÜôé öáßíåôáé ðùò ôï ôñßãùíï (ã) Ý÷åé ìåãáëýôåñç åðéöÜíåéá.
ÊÜíù ôïõò õðïëïãéóìïýò:
á.
1
E 2 6 6τ.εκ.
2
= ⋅ = â.
1
E 6 2 6τ.εκ.
2
= ⋅ =
ã.
1
Ε 8 3 12τ.εκ.
2
= ⋅ = ä.
1
Ε 3 4 6τ.εκ.
2
= ⋅ =
Ç ðñüâëåøÞ ìïõ åðáëçèåýôçêå.
ÁðÜíôçóç
ðáñïâëÞìáôïò 2

294
294
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò 2
64. Âñßóêù ôï åìâáäü ôñáðåæßïõ
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò 1
Åìâáäü ôñáðåæßïõ
Ôï åìâáäü åíüò ôñáðåæßïõ åßíáé ßóï ìå ôï Üèñïéóìá ìéêñÞò êáé ìåãÜëçò âÜóçò
ôïõ åðß ôï ýøïò ôïõ äéá äýï. Áõôü åêöñÜæåôáé óýíôïìá ìå ôïí ôýðï
Å(ôñáðåæßïõ) = (â + Â) ÷ õ : 2
ÂÜóåéò ôïõ ôñáðåæßïõ åßíáé ïé äýï ðáñÜëëçëåò ðëåõñÝò ôïõ êáé ýøïò ôïõ ôï êÜèåôï
åõèýãñáììï ôìÞìá áíÜìåóá ôïõò
×þñéóá ôï ôñáðÝæéï óå äýï ôñßãùíá , öÝñíïíôáò ôá äýï ýøç áðü ôéò äýï
êïñõöÝò ðñïò ôç ìåãÜëç ôïõ âÜóç êáé Ýíá ïñèïãþíéï ðáñáëëçëüãñáììï.
Ôï åìâáäü ôïõ ôñáðåæßïõ èá åßíáé ôï Üèñïéóìá ôùí åìâáäþí ôùí äýï ôñéãþíùí
êáé ôïõ åìâáäïý ôïõ ïñèïãùíßïõ ðáñáëëçëïãñÜììïõ.
Β 1 3 2 6εκ.= + + =
( )
1ΤΕ 1 2 : 2 1τ.εκ.= ⋅ =
( )
2ΤΕ 2 2 : 2 2τ.εκ.= ⋅ =
Ορθ.Ε 3 2 6τ.εκ.= ⋅ =
τραπεζίουΕ 1 2 6 9τ.εκ.= + + =
Þ
( )
( )
τραπεζίουΕ β Β υ : 2
6 3 2 : 2 9τ.εκ.
= + ⋅ =
= + ⋅ =

295
295
¢óêçóç 3
Íá ÷ùñßóåéò ôá äéðëáíÜ ó÷Þìáôá óå ìéêñüôåñá
ãíùóôÜ ó÷Þìáôá Ýôóé þóôå íá ìðïñåßò íá âñåßò ôï
åìâáäü ôùí áñ÷éêþí ó÷çìÜôùí.
¢óêçóç 4
Íá õðïëïãßóåéò ôï åìâáäü ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò.
×ùñßæù ôï ó÷Þìá óôá ìéêñüôåñá ãíùóôÜ ó÷Þìáôá A,B êáé Ã.
Ãéá ôï (Á): Åôñáðåæßïõ
= ( 5 + 3 ) ÷ 3 : 2 = ( 8 ÷ 3 : 2 )ô.åê. =
= ( 24 : 2 ) ô.åê. = 12 ô.åê.
Ãéá ôï (Â): Åïñèïãþíéïõ
= ( 5 ÷ 2 )ô.åê. = 10 ô.åê.
Ãéá ôï (Ã): Åôñéãþíïõ
= (3 ÷ 2) : 2 = ( 6 : 2 ) ô.åê. = 3 ô.åê.
¢ñá ôï óõíïëéêü åìâáäü ôïõ ìåãÜëïõ ó÷Þìáôïò åßíáé
(12 + 10 + 3 ) ô.åê. = 25ô.åê.
ëýóç
ëýóç

296
296
ÁðÜíôçóç
Âñßóêù ôï åìâáäü ôñáðåæßïõ
Ôï åìâáäü êÜèå ôñéãþíïõ åßíáé:
= = + ⋅ =2 1Τ Τ (17 11) 3 : 2 42τ.µ.
Ôï åìâáäü êÜèå ôñáðåæßïõ åßíáé:
= = ⋅ =1 2Ρ ΡΤ Τ (6 3) : 2 9τ.µ.
êáé ôï óõíïëéêü åìâáäü åßíáé:
1 2σχ. 1 2 Ρ ΡΕ Τ Τ Τ Τ 42 42 9 9 102τ.µ.= + + + = + + + =
Ôï óõíïëéêü åìâáäü ôçò óôÝãçò åßíáé 102 ô.ì.ÁðÜíôçóç:...................................................................................
Ôá Ô1, Ô2 åßíáé ôñáðÝæéá êáé ôá Ôñ1, Ôñ2 åßíáé ôñßãùíá. Áöïý âñþ ôï åìâáäü ôïõ êÜèå
ó÷Þìáôïò èá ôá áèñïßóù êáé Ýôóé èá õðïëïãßóù ôï åìâáäü ôïõ ó÷åäßïõ ðïõ
áðåéêïíßæåôáé.

297
297
65. Âñßóêù ôï åìâáäü êõêëéêïý äßóêïõ
ÁðÜíôçóç
ÊÜëõðôå åðéöÜíåéá ßóç ìå ôï åìâáäü åíüò êõêëéêïý äßóêïõ ìå áêôßíá
1.100ì. Ôï åìâáäü áõôü åêöñÜæåôáé ìå ôïí ôýðï :
= ⋅ = ⋅ =2
κυκλ.δίσκουE π 1.100 3,14 1.210.000 3.799.400τ.χµ.
ÁðÜíôçóç: ÊÜëõðôå ðåñßðïõ 3.799.400 ô.÷ì.
Åìâáäü êõêëéêïý äßóêïõ
Ôï åìâáäü åíüò êõêëéêïý äßóêïõ åßíáé ßóï ìå ôï ãéíüìåíï ôïõ áñéèìïý ð = 3,14 åðß ôï
ôåôñÜãùíï ôçò áêôßíáò ôïõ. Áõôü åêöñÜæåôáé óýíôïìá ìå ôïí ôýðï Å(êõêëéêïý äßóêïõ)
= ð .
á2
¢óêçóç 1
Óôï óðßôé ôçò Êáôåñßíáò ôïðïèÝôçóáí ìéá ìç÷áíÞ ðïôßóìáôïò ãéá íá ðïôßæïõí
ôï ãñáóßäé .
Ôï ãñáóßäé êáëýðôåé ìéá åðéöÜíåéá ó÷Þìáôïò ôåôñáãþíïõ ìå ðëåõñÜ 4 ìÝôñá.
Ôï ðïôéóôéêü ìç÷Üíçìá ôïðïèåôÞèçêå óôï êÝíôñï ôïõ ôåôñáãþíïõ êáé ðïôßæåé
óå áêôßíá 2 ìÝôñùí. Ðüóç åðéöÜíåéá ãñáóéäéïý äåí ìðïñåß íá ðïôéóôåß áðü ôï
ìç÷Üíçìá;
Ôï åìâáäüí ôçò åðéöÜíåéáò ðïõ ðïôßæåé ôï ìç÷Üíçìá åßíáé:
Å(êõêëéêïý äßóêïõ)
= ( 3,14 ÷ 22
) ô.ì. = ( 3,14 ÷ 4) ô.ì. = 12,56 ô.ì.
Ôï åìâáäü ôçò óõíïëéêÞò åðéöÜíåéáò ðïõ êáôáëáìâÜíåé ôï ãñáóßäé
åßíáé ßóï ìå ôï åìâáäü ôåôñáãþíïõ ðëåõñÜò 4 ô.ì. , äçëáäÞ åßíáé :
Å(ôåôñáãþíïõ)
= ( 42
ô.ì.) = 16ô.ì.
¢ñá ôï ìç÷Üíçìá äåí ðïôßæåé ( 16 - 12,56 ) = 3,44 ô.ì.
ëýóç

298
298
á. Ï åóùôåñéêüò êýêëïò ôïõ ó÷åäßïõ öáßíåôáé íá Ý÷åé ìåãáëýôåñï åìâáäü.
â. Èá õðïëïãßóù ôï åìâáäü ôïõ ìéêñïý êýêëïõ, ôïõ ìåãáëýôåñïõ êý-
êëïõ êáé ôïõ ôåôñáãþíïõ. Ôá æçôïýìåíá åìâáäÜ Å2 êáé Å1 ðñïêýðôïõí
áí áðü ôï åìâáäü ôïõ ìåãÜëïõ êýêëïõ áöáéñÝóù ôï åìâáäü ôïõ
ìéêñïý, êáé áðü ôï åìâáäü ôïõ ôåôñáãþíïõ áöáéñÝóù ôï åìâáäü
ôïõ ìåãÜëïõ êýêëïõ.
= ⋅ = ⋅ =2
κύκλου µικρούΕ π 4 3,14 16 50,24τ.µ.
= ⋅ = ⋅ =2
κύκλου µεγάλουΕ π 5,65 3,14 31,9 100,24τ.µ.
τετρ.Ε 11,3 11,3 127,69τ.µ.= ⋅ =
= − =2Ε 100,24 50,24 50 τ.µ.
= − =1Ε 127,69 100,24 27,45τ.µ.
ÁðÜíôçóç: Å1 = 27,45ô.ì., Å2 = 50ô.ì.,Ç õðüèåóÞ ìïõ åðáëçèåýôçêå.
ÁðÜíôçóç
Âñßóêù ôï åìâáäü êõêëéêïý äßóêïõ
• = ⋅ = ⋅ =2
κυκλ.δίσκουE π 5 25 3,14 78,5 τ.µ.
• Ïé äýï þñåò åßíáé 120 ëåðôÜ, èá äéáéñÝóù ôá 120 ëåðôÜ ìå ôï 6 ãéá íá
õðïëïãßóù ðüóá åîÜëåðôá åßíáé ïé 2 þñåò.
120:6=20
ÅðïìÝíùò ï øáñÜò èá ñßîåé 20 öïñÝò ôï äß÷ôõ êáé Ýôóé èá Ý÷åé óáñþóåé:
20 · 78,5 = 1570 ô.ì.
ÁðÜíôçóç
äñáóôçñéüôçôáò
ìå ðñïåêôÜóåéò
• Ôï ìÞêïò ôïõ íÞìáôïò ðïõ áðáéôåßôáé åßíáé:
78,5 · 200 =15.700 ì. íÞìáôïò.
• = ⋅ = ⋅ =2
περ.E π 2 3,14 4 12,56ν.µίλια.

299
299
Ýäñåò êáé áíáðôýãìáôá
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò 1
Êýâïò - Ïñèïãþíéï ðáñáëëçëåðßðåäï
Ç åðéöÜíåéá ôïõ êýâïõ áðïôåëåßôáé áðü 6 Ýäñåò. Ôï ßäéï êáé ç åðéöÜíåéá ôïõ
ïñèïãùíßïõ ðáñáëëçëåðéðÝäïõ.
Óôïí êýâï üëåò ïé Ýäñåò åßíáé ôåôñÜãùíá êáé åßíáé ßóåò ìåôáîý ôïõò, åíþ óôï
ïñèïãþíéï ðáñáëëçëåðßðåäï åßíáé ïñèïãþíéá ðáñáëëçëüãñáììá êáé åßíáé
ßóåò ïé áðÝíáíôé Ýäñåò ôïõ áíÜ äýï. Ç Ýäñá ðÜíù óôçí ïðïßá óôçñßæåôáé ôï
ãåùìåôñéêü óôåñåü êáé ç áðÝíáíôé ôçò ëÝãïíôáé âÜóåéò ôïõ. Ïé õðüëïéðåò
Ýäñåò áðïôåëïýí ôçí ðáñÜðëåõñç åðéöÜíåéá ôïõ. Ïé âÜóåéò êáé ç
ðáñÜðëåõñç åðéöÜíåéá ìáæß áðïôåëïýí ôçí ïëéêÞ åðéöÜíåéá ôïõ óôåñåïý.
ÁíÜðôõãìá åíüò óôåñåïý ëÝãåôáé ôï áðïôýðùìá ôùí åäñþí ôïõ óå Ýíá
åðßðåäï ìå óõíå÷üìåíï ôñüðï, Ýôóé þóôå ìå äßðëùóç íá ó÷çìáôßóïõí ôï
óôåñåü.
¢óêçóç 2
Ï Ëåùíßäáò èÝëåé íá ôõëßîåé Ýíá äþñï ó÷Þìáôïò êýâïõ, ðëåõñÜò 0,3ì. Ðüóá ôåôñáãùíéêÜ
ìÝôñá ÷áñôß ðåñéôõëßãìáôïò ðñÝðåé íá áãïñÜóåé ãéá íá ôõëßîåé ôï äþñï;

Μαθηματικά ΣΤ΄. Επανάληψη 6ης ενότητας: ΄΄Γεωμετρία, κεφ. 56 - 71΄΄

Μαθηματικά ΣΤ΄. Επανάληψη 6ης ενότητας: ΄΄Γεωμετρία, κεφ. 56 - 71΄΄

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Μαθηματικά ΣΤ΄. Επανάληψη 6ης ενότητας: ΄΄Γεωμετρία, κεφ. 56 - 71΄΄

Similar to Μαθηματικά ΣΤ΄. Επανάληψη 6ης ενότητας: ΄΄Γεωμετρία, κεφ. 56 - 71΄΄ (20)

More from Χρήστος Χαρμπής

More from Χρήστος Χαρμπής (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Μαθηματικά ΣΤ΄. Επανάληψη 6ης ενότητας: ΄΄Γεωμετρία, κεφ. 56 - 71΄΄