Θεωρούμε το σύστημα ενός σωματιδίου, το οποίο κινείται σε μια διάσταση και του οποίου η συνάρτηση Lagrange δεν εξαρτάται μόνον από τη θέση του σωματιδίου καιτην ταχύτητά του (όπως απαιτούμε για για μια Lagrangian) αλλά και από την επιτάχυνσή του.

1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ (EULER-LAGRANGE)
ΣΤΗΝ ΥΠΟΘΕΤΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΟΥ Η LAGRANGIAN
ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ!
ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ
Θεωρούμε το σύστημα ενός σωματιδίου, το οποίο κινείται σε μια διάσταση και του
οποίου η συνάρτηση Lagrange δεν εξαρτάται μόνον από τη θέση του σωματιδίου ( )x t και
την ταχύτητά του ( )x t (όπως απαιτούμε για μια Lagrangian) αλλά και από την επιτάχυνσή
του (t)x . Έχουμε δηλαδή την (υποθετική) Lagrangian , )x xL(x, .
Ξεκινώντας από την αρχή του Hamilton:
, ) 0dt x x  L(x, (1)
βρείτε την εξίσωση της κίνησης του εν λόγω σωματιδίου.
Η ΛΥΣΗ
Η δράση κατά την κίνηση του σωματιδίου από την αρχική θέση (χρονική στιγμή 1t ) στην
τελική (χρονική στιγμή 2t ), είναι:
2
1
1 2[ ; , ] , )
t
t
S x t t dt x x  L(x, (2)
Θεωρώντας μια άλλη δυνατή κίνηση του σωματιδίου που ξεκινάει από την ίδια θέση και
καταλήγει στη ίδια θέση, η νέα δράση θα είναι:
2
1
1 2[ ; , ] , )
t
t
S x t t dt x x x x      L(x+ x, (3)
όπου:
( ) ( ) ( )x t x t x t  
( ) ( ) ( )x t x t x t  
( ) ( ) ( )x t x t x t  

2. Επιπλέον θα έχουμε και τις ακόλουθες συνοριακές συνθήκες:
1 2( ) ( ) 0x t x t  
1 2( ) ( ) 0x t x t  
(4.1)
(4.2)
Η μεταβολή στη δράση θα δίνεται από τη σχέση:
1 2 1 2[ ; , ] [ ; , ]S S x t t S x t t   ή
2
1
, ) , )]
t
t
S dt x x x x x x       [L(x+ x, L(x, (5)
Αναπτύσσοντας σε σειρά Taylor την Lagrangian , )x x x x   L(x+ x, και
κρατώντας μόνο τους όρους πρώτης τάξης, έχουμε:
, ) , )x x x x x x x x
x x x
     
  
     
  
L L L
L(x+ x, L(x, x (6)
Βάζοντας τη σχέση (6) στη σχέση (5), έχουμε:
2
1
, ) , )]
t
t
S dt x x x x x x
x x x
   
  
    
  
L L L
[L(x, x L(x, ή
2
1
]
t
t
S dt x x
x x x
   
  
  
  
L L L
[ x (7)
Είναι: ( )
d dx
x
dt dt
   x και επίσης: ( )
d dx
x
dt dt
   x
Από τους κανόνες παραγώγισης έχουμε:
( ) ( )
d d
x
dt x x dt x
  
  
 
  
L L L
x x ή
( ) ( )
d d
x
x dt x dt x
  
  
 
  
L L L
x x (8)

3. Και επίσης:
( ) ( )
d d
x
dt x x dt x
  
  
 
  
L L L
x x ή
( ) ( )
d d
x
x dt x dt x
  
  
 
  
L L L
x x (9)
Εισάγοντας τις σχέσεις (8) και (9) στη σχέση (7) παίρνουμε:
2
1
]
t
t
S dt x x
x x x
   
  
  
  
L L L
[ x ή
2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ]
t
t
d d d d
S dt
x dt x dt x dt x dt x
     
    
    
    
L L L L L
[ x x x x x (10)
Οι όροι: ( )
d
dt x



L
x και ( )
d
dt x



L
x όταν ολοκληρωθούν ως προς t καταλήγουν
στους:
x



L
x και
x



L
x αντίστοιχα, οι οποίοι λόγω των συνοριακών συνθηκών (4.1) και
(4.2) έχουν μηδενική συνεισφορά στη μεταβολή της δράσης. Πράγματι είναι:
22 2
11 1
( ) ( ) 0
tt t
tt t
d
dt d
dt x x x
  
  
  
   
L L L
x x x
Και επίσης:
22 2
11 1
( ) ( ) 0
tt t
tt t
d
dt d
dt x x x
  
  
  
   
L L L
x x x
Έτσι λοιπόν η σχέση (10) απλουστεύεται στη μορφή:
2
1
( )] ( )
t
t
d d
S dt
x dt x dt x
  
  
  
  
L L L
{[ x x} (11)

4. Ο όρος: ( )
d
dt x



L
x γράφεται:
2
2
( ) [ ( ) ( )
d d d d
dt x dt dt x dt x
  
  

  
L L L
x x] - x (12)
Με τη βοήθεια της σχέσης (12), η σχέση (11) γράφεται:
2
1
2
2
( )] [ ( ) ( )
t
t
d d d d
S dt
x dt x dt dt x dt x
   
   
  
   
L L L L
{[ x x]+ x} (13)
Παρατηρούμε και πάλι ότι ο όρος: [ ( )
d d
dt dt x



L
x] όταν ολοκληρωθεί δίνει:
22 2
11 1
[ ( ) ] [ ( ) ] ( ) 0
tt t
tt t
d d d d
dt d
dt dt x dt x dt x
  
  
  
   
L L L
x x x
(λόγω της συνοριακής συνθήκης (4,1)).
Η σχέση λοιπόν (13) καταλήγει στη:
2
1
2
2
( ) ( )]
t
t
d d
S dt
x dt x dt x
 
  
  
  
L L L
[ x (14)
Τώρα και σύμφωνα με την αρχή του Hamilton, η πραγματική τροχιά του σωματιδίου
είναι αυτή για την οποία η δράση καθίσταται στατική ή άλλως η μεταβολή της δράσης
μηδενίζεται. Έχουμε λοιπόν:
0S  ή
2
1
2
2
( ) ( )] 0
t
t
d d
dt
x dt x dt x

  
  
  
L L L
[ x (15)
Η σχέση (15) πρέπει να ισχύει για οιαδήποτε μεταβολή x και αν θεωρήσουμε, οπότε
πρέπει (υποχρεωτικά) να είναι:
2
2
( ) ( ) 0
d d
x dt x dt x
  
  
  
L L L

5. Τελικά λοιπόν η εξίσωση της κίνησης για το σωματίδιο με την υποθετική Lagrangian
, )x xL(x, θα δίνεται από τη σχέση:
2
2
( ) ( ) 0
d d
dt x dt x x
  
  
  
L L L
(16)
Παρατηρήσεις:
Η παραπάνω εξίσωση (16), όπως εύκολα διαπιστώνει κανείς είναι τέταρτης τάξης ως
προς το χρόνο. Έτσι για την λύση θα χρειαζόμασταν τέσσερεις αρχικές συνθήκες (Δεν θα
αρκούσε μόνο η γνώση της αρχικής θέσης και της αρχικής ταχύτητας του σωματιδίου).
Για παράδειγμα ας πάρουμε την περίπτωση του αρμονικού ταλαντωτή και ας
προσθέσουμε έναν επιπλέον όρο της μορφής:
2
2
( )
2
m
x

, όπου το γ είναι μία παράμετρος με
διαστάσεις χρόνου. Έτσι λοιπόν έχουμε την (υποθετική για χάρη του παραδείγματός μας)
Lagrangian:
2 2
2 2 2
, ) ( ) ( )
2 2 2
m m m
x x x x x
 
  L(x, (18)
Έχουμε λοιπόν:
2
m x
x




L
2
2 2
2
( )
d
m x m x
dt
 
mx
x



L
( )
d
mx
dt x



L
2
m x
x


 

L
Η διαφορική εξίσωση (16) γράφεται:
2
2
( ) ( ) 0
d d
dt x dt x x
  
  
  
L L L
ή
2
0m x mx m x    και τελικά:

6. 2 2
0x x x    (19)
Βλέπουμε ότι πράγματι καταλήγουμε σε μια διαφορική εξίσωση τέταρτης τάξης ως προς
το χρόνο. Η χαρακτηριστική εξίσωση της (19) είναι:
2 4 2 2
0      (20)
Προκειμένου να λύσουμε την (20) (διτετράγωνη), θέτουμε:
2
  , οπότε έχουμε τη
δευτεροβάθμια :
2 2 2
0      ,
με λύσεις:
2 2
1 2
1 1 4
2
 


 
 και
2 2
2 2
1 1 4
2
 


 

Οι ρίζες λοιπόν της διτετράγωνης είναι:
2 2
1
1 1 4
2
 


 
 ,
2 2
2
1 1 4
2
 


 
  ,
2 2 2 2
3
1 1 4 1 4 1
2 2
i
   

 
   
  ,
2 2 2 2
4
1 1 4 1 4 1
2 2
i
   

 
   
   
Η γενική λοιπόν λύση της (19) είναι:
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 4 1 1 4 1 4 1 1 4 1
2 2 2 2
1 2 3 4( ) C
t t i t i t
x t e C e C e C e
       
   
       
 
   

7. Βέβαια, όπως γνωρίζουμε από τη θεωρητική μηχανική, η Lagrangian ενός συστήματος
είναι στη γενικότερη περίπτωση συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων και των
γενικευμένων ταχυτήτων (πρώτων παραγώγων των γενικευμένων συντεταγμένων) και
ενδεχομένως και του χρόνου. Δεν υπεισέρχονται όροι δεύτερης (επιτάχυνσης) ή ανώτερης
τάξης παραγώγου. Έτσι, πχ. στην μονοδιάστατη περίπτωση κίνησης ενός σωματιδίου η
εξίσωση Euler-Lagrange έχει τη μορφή:
( ) 0
d
dt x x
 
 
 
L L
(21)
Η διαφορική εξίσωση (21) είναι δεύτερης τάξης ως προς το χρόνο και επομένως η
γνώση δύο αρχικών συνθηκών (αρχική θέση, αρχική ταχύτητα) επαρκούν για την πλήρη
επίλυση του προβλήματος.
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
ΜΑΗΣ 2015