Μια ενδιαφέρουσα παρουσίαση για την παράγωγο

1. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ
ΚΑΙ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ

2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ
Έστω η συνάρτηση y=f(x)
Ορίζουμε την παράγωγο της συνάρτησης:
dx
dy
xx
xfxf
xfy
xx





12
12
12
'' )()(
lim)(

3. φ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ
x
y = f(x)y
Δx
Δy
x1 x1+Δх
Δx
Δy
x1+Δх
φ φ
ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ
Ο στιγμιαίος «ρυθμός» μεταβολής ενός μεγέθους σε
σχέση με κάποιο άλλο (όχι απαραίτητα το χρόνο).
Ταχύτητα
dx
dt
  Επιτάχυνση
d
a
dt


x
y



dx
dy

Γωνιακή ταχύτητα:
dt
d
 

4. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.
Στο διάγραμμα δίνεται η
γωνιακή ταχύτητα ενός υλικού
σημείου που εκτελεί κυκλική
κίνηση.
Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της
γωνιακής ταχύτητας;
dω
dt
rad/s2 ==
30-10
5
4rad/s2
30
10
0 5 t(s)
ω (rad/s)
θ
dω
dt
=εφθ=
Δω
Δt
Ο ρυθμός αυτός είναι η γωνιακή επιτάχυνση, συνεπώς η
κίνηση είναι κυκλική ομαλά επιταχυνόμενη

5. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2
Στο διάγραμμα δίνεται η
ταχύτητα ενός σώματος.
Ποια η επιτάχυνση τη στιγμή 2s;
Π.χ. στην α.α.τ. όταν το σώμα περνά από τη θέση
ισορροπίας και έχει μέγιστη ταχύτητα έχει μηδενική
επιτάχυνση
20
υ m/s
0 2 4 t(s)
a=
dυ
dt
= 0
Αφού η εφαπτόμενη στην καμπύλη
έχει μηδενική κλίση.

6. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3
Αν υ = 20ημπt/4 (S.I)
Ποια η επιτάχυνση τη στιγμή 4s;
a=
dυ
dt
=(20ημπt/4)’ =
=20∙π/4 συν(πt/4) =
= -5π m/s2.
20
υ m/s
0 2 4 t(s)

7. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ
Έστω μια ανεξάρτητη μεταβλητή x.
Έστω Δх μια μεταβολή της x.
Αν Δх 0 χρησιμοποιούμε το συμβολισμό dx και ονομά-
ζουμε το dx διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής x.
ΕΡΩΤΗΜΑ
Εάν έχω συνάρτηση y=f(x) και η ανεξάρτητη
μεταβλητή x μεταβληθεί κατά dx, πόσο θα μεταβληθεί
η y;

8. x1
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ
x
y=f x( )y
x + x1 Δ
Δx
Δyφ
Βλέπουμε ότι αν το x μεταβληθεί
κατά Δx, τότε θα έχουμε:
Και για Δх 0
 xy 
dxydx
dx
dy
dxdyy  '

9. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ
ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Έστω συνάρτηση y=f(x)
3
y x
Τότε y΄=f(x+Δx)
3
( )y x Δx  
Με τι ισούται η διαφορά
Δy=y΄ y=f(x+Δx)  f(x);
3 3
( ) ;Δy x Δx x   
Αποδεικνύεται ότι
Δy=ΑΔx+ο(Δx)
όπου Α=Α(x) (δεν εξαρ-
τάται από το x) και ο(Δx)
συνάρτηση του Δx δύνα-
μης μεγαλύτερης της 1ης
Για Δx 0 A=(dy/dx) και
ο(Δx)  0
dy
dy dx
dx

3 3 3 2
( ) 3x Δx x x x Δx   
2 3 3
3 ( ) ( )+ x Δx Δx x  
2 2 3
3 [3 ( ) ( ) ]x Δx+ x Δx Δx 
Για Δx 0
2
3dy x dx 
dy
dy dx
dx


10. ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Ο γενικός τύπος μας επιτρέπει να θεωρούμε
την παράγωγο ως λόγο.
dy
dy dx
dx

r
drΈστω κύκλος ακτίνας r.
Πόσο θα αυξηθεί το εμβαδόν του,
αν η ακτίνα του αυξηθεί κατά dr ;
Συμβατική απάντηση:
2 2
( )dS r dr r    
2
2 ( )rdr dr 
2
S r
Διαφορικό: 2
dS
dS dr rdr
dr
 
2 rdr
0

11. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να
απαντήσουμε στο ερώτημα, πόσο θα
αυξηθεί ο όγκος σφαίρας, αν η ακτίνα του
αυξηθεί κατά dr ;
34
3
V r
2
4
dV
dV dr r dr
dr
 

12. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του διαφορικού
για μερικές ΠΟΛΥ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ προσεγγίσεις.
Από τον γενικό τύπο του διαφορικού μπορούμε να περάσουμε
στον προσεγγιστικό
dy
dy dx
dx
 ( ) ( )
dy
Δy y x Δx y x Δx
dx
    
( ) ( )
dy
y x Δx y x Δx
dx
  

13. εφαρμογές
Αν φ→0 τότε ημφ ≈ 0 και συνφ ≈1
Αλλά και γενικότερα και η ανάλυση της
σειράς Taylor
2 31 1 1
( ) (0) (0) (0) (0) ...
1! 2! 3!
f x f f x f x f x      
e±a ≈ 1 ± a

14. Αρκετά στοιχεία στηρίζονται
σε μια παρουσίαση
του Χ. Τρικαλινού
από το Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας:
www.mie.uth.gr/ekp_yliko/Coordin
ate_Systems.ppt