Aυθορμητο Σπασιμο Συμμετριας και Μηχανισμος Higgs (new)John Fiorentinos
Στις θεωρίες που έχουμε αυθόρμητο σπάσιμο (συνεχούς) συμμετρίας (spontaneous symmetry breaking of continuous symmetry), το θεώρημα Goldstone μας λέει ότι εμφανίζεται ένα άμαζο σωματίδιο μηδενικού spin (Nambu – Goldstone) που ονομάζουμε Goldstone boson.
Τώρα αν η θεωρία μας είναι αναλλοίωτη σε κάποιο τοπικό μετασχηματισμό βαθμίδας (local gauge invariance), το άμαζο σωματίδιο Goldstone, απορροφάται από το μποζόνιο βαθμίδας, οδηγώντας στην εμφάνιση ενός (επί πλέον) “διάμηκους” βαθμού ελευθερίας για το μποζόνιο βαθμίδας, δηλαδή πλέον το gauge bozon αποκτά μάζα. (Το άμαζο μποζόνιο βαθμίδας …«τρώει» το Goldstone…και βαραίνει!)-
Aυθορμητο Σπασιμο Συμμετριας και Μηχανισμος Higgs (new)John Fiorentinos
Στις θεωρίες που έχουμε αυθόρμητο σπάσιμο (συνεχούς) συμμετρίας (spontaneous symmetry breaking of continuous symmetry), το θεώρημα Goldstone μας λέει ότι εμφανίζεται ένα άμαζο σωματίδιο μηδενικού spin (Nambu – Goldstone) που ονομάζουμε Goldstone boson.
Τώρα αν η θεωρία μας είναι αναλλοίωτη σε κάποιο τοπικό μετασχηματισμό βαθμίδας (local gauge invariance), το άμαζο σωματίδιο Goldstone, απορροφάται από το μποζόνιο βαθμίδας, οδηγώντας στην εμφάνιση ενός (επί πλέον) “διάμηκους” βαθμού ελευθερίας για το μποζόνιο βαθμίδας, δηλαδή πλέον το gauge bozon αποκτά μάζα. (Το άμαζο μποζόνιο βαθμίδας …«τρώει» το Goldstone…και βαραίνει!)-
Μια άσκηση στα βαρυτικά κύματα. Ξεκινώντας από την εξίσωση του κύματος που μας δίνεται και ακολουθώντας τις οδηγίες της άσκησης παίρνουμε πληροφορίες για η μάζα, την ελικότητα και το spin του (υποθετικού) βαρυτονίου.
Θεωρούμε το σύστημα ενός σωματιδίου, το οποίο κινείται σε μια διάσταση και του οποίου η συνάρτηση Lagrange δεν εξαρτάται μόνον από τη θέση του σωματιδίου καιτην ταχύτητά του (όπως απαιτούμε για για μια Lagrangian) αλλά και από την επιτάχυνσή του.
1. ΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕ ΔΥΟ ΒΑΘΜΟΥΣ
ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ
Ένα σύστημα με δύο βαθμούς ελευθερίας (x,y) περιγράφεται
από την Lagrangian:
2 2 2 2 1 1
( 2 ) ( 2 )
2 2
L m ax bxy cy k ax bxy cy
(1)
όπου a,b και c είναι σταθερές, με 2 ac b . Να γραφούν οι
εξισώσεις κίνησης του συστήματος.
Από τη Λαγκρανζιανή (1), έχουμε:
1
(2 2 ) ( )
2
L
m ax by m ax by
x
(2)
Οπότε:
( ) ( )
d L
m ax by
dt x
(3)
Και:
1
(2 2 ) ( )
2
L
k ax by k ax by
x
(4)
Η εξίσωση Lagrange για τη συντεταγμένη x, είναι:
( )
d L L
dt x x
(5)
Η (5) μέσω των σχέσεων (3) και (4), γράφεται:
m(ax by) k(ax by) (6)
2. Ομοίως, για τη συντεταγμένη y είναι:
1
(2 2 ) ( )
2
L
m bx cy m bx cy
y
(7)
( ) ( )
d L
m bx cy
dt y
(8)
1
(2 2 ) ( )
2
L
k bx cy k bx cy
y
(9)
Η εξίσωση Lagrange για τη συντεταγμένη y είναι:
( )
d L L
dt y y
(10)
Μέσω των σχέσεων (8) και (9) η σχέση (10) γράφεται:
m(bx cy) k(bx cy) (11)
Έχουμε λοιπόν το ακόλουθο σύστημα διαφορικών εξισώσεων:
m(ax by) k(ax by) (12.1)
m(bx cy) k(bx cy) (12.2)
Ακολούθως θα προσπαθήσουμε να «αποσυμπλέξουμε» τις
εξισώσεις (12.1) και (12.2). Για το σκοπό αυτό, αρχικά
πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της (12.1) με b και έχουμε:
2 2 m(abx b y) k(abx b y) (13.1)
Καθώς και τα δύο μέλη της (12.2) με a , οπότε:
3. m(abx acy) k(abx acy) (13.2)
Αφαιρώντας λοιπόν από την (13.1) την (13.2) βρίσκουμε:
2 2 m(b y acy) k(b y acy) ή
2 2 m(b ac)y k(b ac)y , οπότε με δεδομένο ότι: 2 ac b
έχουμε:
my ky (14)
Ομοίως, πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της (12.1) με c,
παίρνουμε:
m(acx bcy) k(acx bcy) (15.1)
Ενώ πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της (12.2) με b, παίρνουμε:
2 2 m(b x bcy) k(b x bcy) (15.2)
Αφαιρώντας λοιπόν κατά μέλη τις (15.1) και (15.2), έχουμε:
2 2 m(acx b x) k(acx b x) ή
2 2 m(ac b )x k(ac b )x, οπότε με δεδομένο ότι: 2 ac b
έχουμε:
mx kx (16)
Έτσι λοιπόν, οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση του
συστήματος, είναι:
4. mx kx (17.1)
my ky (17.2)
Οι παραπάνω εξισώσεις κίνησης αντιστοιχούν στην περίπτωση
ενός διδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή. Για ένα τέτοιο ταλαντωτή η
Lagrangian δίνεται από τη σχέση:
2 2 2 2 1 1
( ) ( )
2 2
L T V m x y k x y
(18)
Οι Λαγκρανζιανές λοιπόν (1) και (18) οδηγούν στις ίδιες
εξισώσεις κίνησης.
(Συγκρίνοντας τις (1) και (18), παρατηρούμε ότι η (18)
«αντιστοιχεί» στην (1), με a c 1 και b 0 ).
Μπορούμε να «βρούμε» και άλλες Λαγκρανζιανές ξεκινώντας
από την (1), οι οποίες μας δίνουν τις ίδιες εξισώσεις κίνησης. Έτσι
πχ. αν βάλουμε a c 0 και b 1, παίρνουμε:
L mxy kxy (19)
Ένας άλλος τρόπος να «αποσυμπλέξουμε» τις (12.1) και (12.2)
είναι και ο εξής:
Με μορφή πίνακα, οι δύο εξισώσεις γράφονται:
a b x a b x
m k
b c y b c y
(20)
Εφ’ όσον η διακρίνουσα του πίνακα
a b
b c
, είναι μη
μηδενική ( 2 ac b ), υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας. Αυτός είναι:
5. 1
2
a b 1 c b
b c ac b b a
(21)
Πολλαπλασιάζοντας λοιπόν και τα δύο μέλη της (20) με τον
πίνακα (21), έχουμε:
2 2
m a b c b x k a b c b x
ac b b c b a y ac b b c b a y
ή
2 2
2 2 2 2
0 0
0 0
m ac b x k ac b x
ac b ac b y ac b ac b y
ή
1 0 1 0
0 1 0 1
x x
m k
y y
(22)
Από την (22) παίρνουμε τις:
mx kx
my ky
(Δηλαδή τις (17.1) και (17.2), που βρήκαμε και προηγουμένως).
ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2013
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ