1.2 synartiseis

ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
1.2 - Συναρτήσεις

Έστω Α ένα υποσύνολο του R.
Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο
ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f , με την οποία
κάθε στοιχείο x A αντιστοιχίζεται σεϵ ένα μόνο
πραγματικό αριθμό y.
Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με
f(x).

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε:
f : A → R
x → f (x)
— Το γράμμα x, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α
λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή,
ενώ το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της f στο x, λέγεται
εξαρτημένη μεταβλητή.

— Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f συνήθως συμβολίζεται
με Df
.
— Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα x
A, λέγεταιϵ σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με f (A). Είναι
δηλαδή:
f (A) = { y / y = f(x) για κάποιο x A}.ϵ
Α
Β
f(Α)
x
y=f(x)

Έστω ƒ η συνάρτηση με την οποία κάθε ημέρα μιας
ορισμένης εβδομάδας ενός μήνα αντιστοιχίζεται στην
υψηλότερη θερμοκρασία της.

Συνήθως, όμως, αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση f δίνοντας μόνο τον
τύπο με τον οποίο εκφράζεται το f(x).
Έτσι, για παράδειγμα, αντί να λέμε "δίνεται η συνάρτηση
f : ( −∞, 2] → R , με " θα λέμε "δίνεται η
συνάρτηση f με τύπο " ή, πιο απλά, "δίνεται η
συνάρτηση ", ή "δίνεται η συνάρτηση
".

Πεδία ορισμού
βασικών συναρτήσεων:
Εκθετική αx
, ex
: Df=R
Λογαριθμική lnx : Df=R+
*
ημx , συνx : Df=R
εφx : Df=R- {κπ+π/2, κЄΖ}
σφx : Df=R- {κπ, κЄΖ}

( ) 1
1 `1 0
1 1 0
... ,
, ,.., ,
f x x x x
R
ν ν
ν ν
ν ν
α α α α ν
α α α α
−
−
−
= × + × + + × + ∈ Ν
∈
1. Πολυωνυμική
Df = R

2. Ρητή (πηλίκο πολυωνύμων)
Df = {xÎR/Q(x)¹0}
( )
( )
( )
x
f x
Q x
Ρ
=

3. Άρρητες
Df = {xÎR/Ρ(x)³0}
( ) ( )f x x= Ρ

4.
Df = {xÎR/g(x)>0}
( ) ( )( )lnf x g x=

5.
Df = Dg
( ) ( )( ) ( ) ( )( ),f x g x f x g xηµ συν= =

6.
( ) ( )( )f x g xεϕ=
Df = {xÎR/συν(g(x))¹0}

7.
( ) ( )( ) ( )h x
f x g x=
Df = {xÎR/g(x)>0}

8. Πολλαπλού τύπου.
Df = Α1ÈΑ2
( )
( )
1 1
2 2
,
( )
,
f x x
f x
f x x
∈Α
= 
∈Α

Γραφική παράσταση συνάρτησης
Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α
Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο.
Το σύνολο των σημείων M(x, y) για τα
οποία ισχύει y = f(x), δηλαδή το σύνολο
των σημείων M(x, f(x)), x A, λέγεταιϵ
γραφική παράσταση της f και
συμβολίζεται συνήθως με Cf .

Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της f το πολύ
ένα κοινό σημείο

Οταν δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f, τότε:
α) Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α των
τετμημένων των σημείων της Cf .
β) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο f(A) των
τεταγμένων των σημείων της Cf .

2
2 2
( )
1
x x
f x
x
− +
=
−

γ) Η τιμή της f στο x0 A είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας x = xϵ 0
και της Cf
Οταν δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f, τότε:

To μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ στο διπλανό σχήμα είναι:
y x=
Α. 4 Β. Γ. Δ. 8 Ε.4 2+ 4 2− 8

Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε το μήκος του τμήματος ΑΒ.
Παράδειγμα:

Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων −f και | f |.
α) Η γραφική παράστασης της
συνάρτησης −f είναι συμμετρική,
ως προς τον άξονα x΄x, της
γραφικής παράστασης της f, γιατί
αποτελείται από τα σημεία M΄(x,
−f(x)) που είναι συμμετρικά των
M(x, f(x)), ως προς τον άξονα
x΄x.

Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων −f και | f |.
β) Η γραφική παράσταση της | f |
αποτελείται από τα τμήματα της Cf
που βρίσκονται πάνω από τον
άξονα x΄x και από τα συμμετρικά,
ως προς τον άξονα x΄x, των
τμημάτων της Cf που βρίσκονται
κάτω από τον άξονα αυτόν.

Παράδειγμα 1:
Να σχεδιάσετε
την γραφική
παράσταση της
συνάρτησης -f

C-f

Παράδειγμα 2:
Να σχεδιάσετε
την γραφική
παράσταση της
συνάρτησης |f|

Μερικές βασικές συναρτήσεις

Η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = αx + β

Η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = αx 2
, α ≠ 0 .

Η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = αx 3
, α ≠ 0 .

Η ρητή συνάρτηση f(x) = α/x , α ≠ 0 .

Οι συναρτήσεις

Οι τριγωνικές συναρτήσεις : f(x) = ημx, f(x) = συνx, f(x) = εφx

Η εκθετική συνάρτηση f(x) = α x
, 0 < α ≠1 .

Η λογαριθμική συνάρτηση f(x) = logαx, 0 < α ≠1 .

Μετατόπιση γραφικής παράστασης συνάρτησης

ΠΕΡΙΚΛΗΣ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣH γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι:( )
1
2
f x
x
=
+
Α
Β
Γ Δ

Α Β
Γ
Δ
H γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι:( ) 3f x x= −

Α
Β
Γ Δ
H γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι:( ) ln( 1)f x x= −

Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις:
( )1 1f x x= − ( )2
1
lnf x
x
=
( )3 2
1
f x
x
= ( ) ( )
2
4f x x=

ΑΣΚΗΣΗ 1
i.Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 0.
ii.Να βρείτε τα διαστήματα στα
οποία η γρ. παράσταση της f
βρίσκεται πάνω από τον άξονα
xx΄.
iii.Να βρείτε τα διαστήματα στα
οποία η γρ. παράσταση της f
βρίσκεται κάτω από τον άξονα
xx΄.
iv.Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 3.
v.Να λυθεί η εξίσωση f(x) = -2.
vi.Να λυθεί η ανίσωση f(x) < 3.
vii.Να λυθεί η ανίσωση f(x) > 3.

ΑΣΚΗΣΗ 2
i.Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση f(x) = 0;
ii.Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση f(x) =
6;
iii.Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 4.
iv.Να λυθεί η ανίσωση f(x) < 4.
v.Να λυθεί η ανίσωση f(x) > 4.

≥
≥
ΑΣΚΗΣΗ 4
•Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 0.
•Να λυθεί η εξίσωση g(x) = 0.
•Να λυθεί η εξίσωση g(x) = 6.
•Να λυθεί η ανίσωση f(x) < 6.
•Να λυθεί η εξίσωση f(x) = g(x).
•Να βρείτε τα διαστήματα στα
οποία η γραφική παράσταση της f
βρίσκεται πάνω από την γραφική
παράσταση της g.
•Να λυθεί η ανίσωση f(x) < g(x).

ΑΣΚΗΣΗ 4
i. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 0.
ii. Να λυθεί η ανίσωση f(x) < 0.
iii. Να λυθεί η ανίσωση f(x) > 0.
iv. Να λυθεί η ανίσωση f(x) < g(x).
v. Να λυθεί η ανίσωση f(x) ³ g(x).
≥

( ) 2 3f x x= + ( ) 2
g x x=
Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική
παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την γραφική

( ) 1f x x= − ( ) 1g x x= +
Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική
παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την γραφική

Άρτια συνάρτηση
Μια συνάρτηση ƒ, με πεδίο
ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται
άρτια, όταν για κάθε xÎΑ ισχύει:
-xÎΑ και ƒ(-x) = ƒ(x)
Η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y'y

Περιττή συνάρτηση
Μια συνάρτηση ƒ, με πεδίο
ορισμού ένα σύνολο Α, θα
λέγεται περιττή, όταν για κάθε
xÎΑ ισχύει:
-xÎΑ και ƒ(-x) = - ƒ(x)
Η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.

Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες
όταν:
● έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και
● για κάθε x A ισχύει f(x) = g(x).ϵ
Ίσες συναρτήσεις

Σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις οι
συναρτήσεις f και g είναι ίσες;
( ) 2
f x x= ( )
2
g x x=
( ) 2
f x x= ( ) ( )
2
g x x=

Σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις οι
συναρτήσεις f και g είναι ίσες;
Στην περίπτωση που f¹g να βρείτε το ευρύτερο δυνατό
υποσύνολο του R για το οποίο ισχύει f(x)=g(x)
( ) 2
2 1f x x x= + +
( ) 1g x x= +
( ) ( ) ( )ln 1 2f x x x= − −  
( ) ln x
f x e= ( )g x x=
( ) 2
lnf x x= ( ) 2lng x x=
( ) ( ) ( )ln 1 ln 2g x x x= − + −

Πράξεις με συναρτήσεις
Έστω δύο συναρτήσεις f, g με π. ο. Α και Β αντίστοιχα:
Ορίζουμε ως άθροισμα f + g τη συνάρτηση με τύπο :
και πεδίο ορισμού την τομή ΑÇΒ των Α και Β
Ορίζουμε ως διαφορά f - g τη συνάρτηση με τύπο :
Ορίζουμε ως γινόμενο f  g τη συνάρτηση με τύπο :

Ορίζουμε ως πηλίκο τη συνάρτηση με τύπο :
και πεδίο ορισμού το σύνολο: {x /x A και x Β, με g(x) ≠ 0 }.ϵ ϵ

Η παρουσίαση είναι διαθέσιμη στη
διεύθυνση:
http://users.sch.gr/perigian/wordpress/

1.2 synartiseis

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 1.2 synartiseis

Similar to 1.2 synartiseis (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

1.2 synartiseis