Dokumen tersebut merupakan penjelasan tentang pengertian dasar geometri terurut, meliputi definisi titik, relasi keantaraan, aksioma-aksioma, dalil-dalil yang dibuktikan, dan konsep-konsep geometri dasar seperti garis, segmen, bidang datar, dan segitiga.
Dokumen tersebut membahas tentang geometri bidang dan beberapa dalil geometri bidang seperti dalil titik tengah segitiga, dalil intersep, dan dalil garis sejajar yang dipotong garis ketiga.
Dokumen tersebut membahas tentang aksioma-aksioma dan teorema-teorema dalam geometri netral. Geometri netral tidak memperhatikan pastulat kesejajaran dari geometri Euclides sehingga disebut geometri absolut. Dokumen tersebut menjelaskan 5 aksioma dan 4 teorema dasar dalam geometri netral seperti aksioma kesamaan panjang garis dan sudut, teorema jumlah sudut segitiga kurang 1800, dan teorema jumlah sudut segitiga siku
Matematika Hindu berkembang sejak abad ke-26 SM hingga abad ke-14 M. Peradaban Lembah Sungai Indus pada 2800-1800 SM mengatur kota-kota secara geometris. Bangsa India mengembangkan sistem angka tempat dengan bilangan nol pada abad ke-6 M. Tokoh-tokoh seperti Aryabhata dan Brahmagupta mengembangkan aritmatika dengan bilangan nol dan negatif.
Dokumen tersebut merupakan penjelasan tentang pengertian dasar geometri terurut, meliputi definisi titik, relasi keantaraan, aksioma-aksioma, dalil-dalil yang dibuktikan, dan konsep-konsep geometri dasar seperti garis, segmen, bidang datar, dan segitiga.
Dokumen tersebut membahas tentang geometri bidang dan beberapa dalil geometri bidang seperti dalil titik tengah segitiga, dalil intersep, dan dalil garis sejajar yang dipotong garis ketiga.
Dokumen tersebut membahas tentang aksioma-aksioma dan teorema-teorema dalam geometri netral. Geometri netral tidak memperhatikan pastulat kesejajaran dari geometri Euclides sehingga disebut geometri absolut. Dokumen tersebut menjelaskan 5 aksioma dan 4 teorema dasar dalam geometri netral seperti aksioma kesamaan panjang garis dan sudut, teorema jumlah sudut segitiga kurang 1800, dan teorema jumlah sudut segitiga siku
Matematika Hindu berkembang sejak abad ke-26 SM hingga abad ke-14 M. Peradaban Lembah Sungai Indus pada 2800-1800 SM mengatur kota-kota secara geometris. Bangsa India mengembangkan sistem angka tempat dengan bilangan nol pada abad ke-6 M. Tokoh-tokoh seperti Aryabhata dan Brahmagupta mengembangkan aritmatika dengan bilangan nol dan negatif.
Makalah ini membahas tentang geometri netral, yaitu geometri yang memiliki sistem aksioma kesejajaran, urutan, kekongruenan, dan Archimedes tetapi tidak menentukan banyaknya garis sejajar melalui suatu titik. Makalah ini mengkaji apakah persegi panjang ada dalam geometri netral dan apa yang dapat didasarkan pada persegi panjang tersebut."
Grup 2 terdiri dari 7 anggota. Dokumen menjelaskan pengertian elips sebagai irisan kerucut, dengan unsur-unsurnya seperti titik fokus, sumbu panjang dan pendek, serta titik pusat. Diberikan pula persamaan umum elips dan contoh persamaan elips dengan titik pusat tertentu.
Dokumen tersebut membahas tentang trigonometri, termasuk definisi sudut dalam derajat dan radian, identitas trigonometri, persamaan trigonometri, koordinat kutub dan cartesius, aplikasi trigonometri dalam perhitungan luas segitiga dan gerak benda, serta penggunaan grafik fungsi trigonometri untuk menggambarkan gejala fisika.
Dokumen tersebut membahas tentang prisma sebagai bangun ruang, termasuk definisi, jenis, unsur-unsur, sifat, cara melukis, jaring-jaring, rumus luas permukaan dan volume prisma. Prisma dijelaskan sebagai bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang sejajar dan berhadapan yang sama besar beserta bidang-bidang tegak. Jenis prisma meliputi prisma segitiga, segiempat, segilima, dan segi-n.
Geometri Euclid adalah sistem aksiomatik yang dikembangkan oleh matematikawan Yunani Euclid dari Alexandria, yang menjelaskan geometri planar dan solid melalui lima postulat utama termasuk postulat paralel. Geometri ini menjadi standar selama 2000 tahun sampai pengembangan geometri non-Euclidean pada abad ke-19.
Assalamualaikum Wr. Wb.
Alhamdulillah jika power point ini bisa bermanfaat untuk semuanya. Karena saya masih belajar mohon tidak memakan mentah-mentah konten dari tayangan ini. Kritik dan saran sangat diharapkan. Terima Kasih.
Muhamad Husni Mubaraq
@ID_baraq
Mohon tinggalkan komentar atau pesan
This document discusses the axiomatic system of geometry. It defines the primitive elements, axioms/postulates, propositions/theorems, and corollaries/lemmas that make up an axiomatic system. It provides examples of Euclid's axioms and postulates, as well as definitions, theorems, and proofs within geometry. The key components of an axiomatic system and their relationships are outlined.
This document discusses trigonometric ratios and identities. It defines trigonometric ratios as relationships between sides and angles of a right triangle. Specific ratios are defined for angles of 0, 30, 45, 60, and 90 degrees. Complementary angle identities are examined, showing ratios are equal for complementary angles (e.g. sin(90-A)=cos(A)). Trigonometric identities are derived from the Pythagorean theorem, including cos^2(A) + sin^2(A) = 1, sec^2(A) = 1 + tan^2(A), and cot^2(A) + 1 = cosec^2(A). Examples are provided to demonstrate using identities when
Dokumen tersebut membahas tentang geometri netral dan beberapa teorema yang terkait dengan geometri netral seperti teorema tentang jumlah sudut dalam segitiga, sifat-sifat persegi panjang, dan hubungan antara keberadaan persegi panjang dengan jumlah sudut dalam segitiga.
Hubungan sudut pusat panjang busur dan luas juringadrielyudha
Dokumen tersebut membahas tentang hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring pada lingkaran. Secara khusus dijelaskan bahwa panjang busur dan luas juring berbanding lurus dengan besar sudut pusatnya, dan contoh soal digunakan untuk mendemonstrasikan hubungan tersebut.
Teks tersebut merangkum tentang Euclid dan buku karyanya The Elements. The Elements terdiri dari 13 buku yang membahas geometri bidang, aritmatika, dan geometri ruang, serta tokoh-tokoh yang berkontribusi dalam perkembangan geometri Euclid.
Lingkaran dalam dan luar segitiga dijelaskan. Diberikan definisi, cara melukis, rumus untuk menghitung jari-jari, dan contoh soal untuk latihan. Topik ini membahas unsur-unsur lingkaran yang berhubungan dengan segitiga.
Kesebangunan dua segitiga dan contoh soalnyaMakna Pujarka
The document discusses properties of congruent triangles in three sentences or less:
Two triangles are congruent if (1) their corresponding sides are proportional or (2) their corresponding angles are equal in measure. Several examples demonstrate how to prove triangles are congruent by showing their corresponding sides are proportional or corresponding angles are equal. Proportionality of corresponding sides and equality of corresponding angles are used to determine missing side lengths in various triangle scenarios.
1. The document defines key terms related to circles such as diameter, radius, chord, arc, and sector.
2. Several theorems about circles are presented, including that equal chords of a circle subtend equal angles at the center, and the perpendicular from the center of a circle to a chord bisects the chord.
3. The document summarizes that a circle can be defined as all points equidistant from a fixed point, and introduces various properties and relationships regarding angles, chords, and points on circles.
Kesebangunan dan Garis Istimewa Segitigaeverthing_you
Dokumen tersebut membahas tentang garis-garis istimewa pada segitiga yaitu garis tinggi, garis bagi, garis berat dan garis sumbu. Juga membahas tentang kesebangunan segitiga yang terdiri dari syarat dua segitiga yang sebangun dan kesebangunan khusus pada segitiga siku-siku.
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
(1) Dokumen tersebut membahas tentang teori bilangan dan konsep pembagian bilangan bulat;
(2) Terdapat definisi dan teorema-teorema yang menjelaskan relasi antara bilangan yang membagi bilangan lain;
(3) Beberapa contoh soal dan pembahasan juga disajikan untuk membuktikan teorema-teorema tersebut.
Makalah ini membahas tentang geometri netral, yaitu geometri yang memiliki sistem aksioma kesejajaran, urutan, kekongruenan, dan Archimedes tetapi tidak menentukan banyaknya garis sejajar melalui suatu titik. Makalah ini mengkaji apakah persegi panjang ada dalam geometri netral dan apa yang dapat didasarkan pada persegi panjang tersebut."
Grup 2 terdiri dari 7 anggota. Dokumen menjelaskan pengertian elips sebagai irisan kerucut, dengan unsur-unsurnya seperti titik fokus, sumbu panjang dan pendek, serta titik pusat. Diberikan pula persamaan umum elips dan contoh persamaan elips dengan titik pusat tertentu.
Dokumen tersebut membahas tentang trigonometri, termasuk definisi sudut dalam derajat dan radian, identitas trigonometri, persamaan trigonometri, koordinat kutub dan cartesius, aplikasi trigonometri dalam perhitungan luas segitiga dan gerak benda, serta penggunaan grafik fungsi trigonometri untuk menggambarkan gejala fisika.
Dokumen tersebut membahas tentang prisma sebagai bangun ruang, termasuk definisi, jenis, unsur-unsur, sifat, cara melukis, jaring-jaring, rumus luas permukaan dan volume prisma. Prisma dijelaskan sebagai bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang sejajar dan berhadapan yang sama besar beserta bidang-bidang tegak. Jenis prisma meliputi prisma segitiga, segiempat, segilima, dan segi-n.
Geometri Euclid adalah sistem aksiomatik yang dikembangkan oleh matematikawan Yunani Euclid dari Alexandria, yang menjelaskan geometri planar dan solid melalui lima postulat utama termasuk postulat paralel. Geometri ini menjadi standar selama 2000 tahun sampai pengembangan geometri non-Euclidean pada abad ke-19.
Assalamualaikum Wr. Wb.
Alhamdulillah jika power point ini bisa bermanfaat untuk semuanya. Karena saya masih belajar mohon tidak memakan mentah-mentah konten dari tayangan ini. Kritik dan saran sangat diharapkan. Terima Kasih.
Muhamad Husni Mubaraq
@ID_baraq
Mohon tinggalkan komentar atau pesan
This document discusses the axiomatic system of geometry. It defines the primitive elements, axioms/postulates, propositions/theorems, and corollaries/lemmas that make up an axiomatic system. It provides examples of Euclid's axioms and postulates, as well as definitions, theorems, and proofs within geometry. The key components of an axiomatic system and their relationships are outlined.
This document discusses trigonometric ratios and identities. It defines trigonometric ratios as relationships between sides and angles of a right triangle. Specific ratios are defined for angles of 0, 30, 45, 60, and 90 degrees. Complementary angle identities are examined, showing ratios are equal for complementary angles (e.g. sin(90-A)=cos(A)). Trigonometric identities are derived from the Pythagorean theorem, including cos^2(A) + sin^2(A) = 1, sec^2(A) = 1 + tan^2(A), and cot^2(A) + 1 = cosec^2(A). Examples are provided to demonstrate using identities when
Dokumen tersebut membahas tentang geometri netral dan beberapa teorema yang terkait dengan geometri netral seperti teorema tentang jumlah sudut dalam segitiga, sifat-sifat persegi panjang, dan hubungan antara keberadaan persegi panjang dengan jumlah sudut dalam segitiga.
Hubungan sudut pusat panjang busur dan luas juringadrielyudha
Dokumen tersebut membahas tentang hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring pada lingkaran. Secara khusus dijelaskan bahwa panjang busur dan luas juring berbanding lurus dengan besar sudut pusatnya, dan contoh soal digunakan untuk mendemonstrasikan hubungan tersebut.
Teks tersebut merangkum tentang Euclid dan buku karyanya The Elements. The Elements terdiri dari 13 buku yang membahas geometri bidang, aritmatika, dan geometri ruang, serta tokoh-tokoh yang berkontribusi dalam perkembangan geometri Euclid.
Lingkaran dalam dan luar segitiga dijelaskan. Diberikan definisi, cara melukis, rumus untuk menghitung jari-jari, dan contoh soal untuk latihan. Topik ini membahas unsur-unsur lingkaran yang berhubungan dengan segitiga.
Kesebangunan dua segitiga dan contoh soalnyaMakna Pujarka
The document discusses properties of congruent triangles in three sentences or less:
Two triangles are congruent if (1) their corresponding sides are proportional or (2) their corresponding angles are equal in measure. Several examples demonstrate how to prove triangles are congruent by showing their corresponding sides are proportional or corresponding angles are equal. Proportionality of corresponding sides and equality of corresponding angles are used to determine missing side lengths in various triangle scenarios.
1. The document defines key terms related to circles such as diameter, radius, chord, arc, and sector.
2. Several theorems about circles are presented, including that equal chords of a circle subtend equal angles at the center, and the perpendicular from the center of a circle to a chord bisects the chord.
3. The document summarizes that a circle can be defined as all points equidistant from a fixed point, and introduces various properties and relationships regarding angles, chords, and points on circles.
Kesebangunan dan Garis Istimewa Segitigaeverthing_you
Dokumen tersebut membahas tentang garis-garis istimewa pada segitiga yaitu garis tinggi, garis bagi, garis berat dan garis sumbu. Juga membahas tentang kesebangunan segitiga yang terdiri dari syarat dua segitiga yang sebangun dan kesebangunan khusus pada segitiga siku-siku.
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
(1) Dokumen tersebut membahas tentang teori bilangan dan konsep pembagian bilangan bulat;
(2) Terdapat definisi dan teorema-teorema yang menjelaskan relasi antara bilangan yang membagi bilangan lain;
(3) Beberapa contoh soal dan pembahasan juga disajikan untuk membuktikan teorema-teorema tersebut.
This short document promotes the creation of Haiku Deck presentations on SlideShare by providing an example Haiku Deck presentation and stating that the reader can get started making their own. It encourages the reader to try making a Haiku Deck presentation by providing a simple call to action to get started.
Haiku Deck is a presentation platform that allows users to create Haiku-style slideshows. The document encourages the reader to get started creating their own Haiku Deck presentation on SlideShare by providing a link to do so. It aims to inspire the reader to try out Haiku Deck's unique presentation style.
The document discusses the history and current state of climate change research. It notes that scientific consensus has formed around the occurrence of climate change due to human activity like fossil fuel burning. Recent years have seen increasing temperatures, sea level rise, and more extreme weather events consistent with the scientific predictions about climate change impacts.
This document lists the fuses for an Audi A6 from 1994-1997 with a 1.8 liter engine. It identifies 24 fuses labeled F1 through F24 with their corresponding amperage ratings and the electrical components each fuse powers, such as headlights, interior lights, engine components, and other vehicle systems. The document also provides specifications for the vehicle including the manufacturer, model, engine code, horsepower, emission standard, and year.
The document discusses different types of mass air flow sensors. It describes how a hot wire mass air flow sensor works by using a thermistor and hot wire to measure airflow and output a proportional voltage signal. It also describes how a vane air flow meter and Karman vortex air flow sensor measure airflow and output signals to the ECM to calculate fuel injection. The mass air flow sensor is located in the intake air stream and converts airflow into a voltage signal used by the ECM to determine engine load and calculate fuel injection, ignition timing, and transmission shifting.
Proiect transfrontalier„Povestea are fir bogat”..AngelaButnaru1
Copiii învață din povești cât de mult contează bunătatea, empatia și prietenia, dându-le ocazia să facă diferența între comportamentele pozitive și cele negative.
PROIECT DE PARTENERIAT TRANSFRONTALIER „Educație online fără hotare”DusikaLevinta1
Colaborarea la nivel transfrontalier prin împărtășirea opiniilor, practicilor, metodelor și strategiilor de lucru cu cadrele didactice Republica Moldova și România pentru îmbunătățirea procesului educațional cu finalități comune.
OBIECTIVE Contribuirea la dezvoltarea unei educații de calitate;
Încurajarea formării continue a cadrelor didactice și manageriale;
Facilitarea accesului transfrontalier la resurse educative;
Promovarea dimensiunii interculturale a educației;
Încurajarea inovărilor în elaborarea materialelor didactice;
Utilizarea noilor tehnologii în educație.
Românismul de la Mihai Eminescu la Grigore Vieruinachirilov
Proiect “Educație online fără hotare” 2023 - 2024,
implementat de Direcția Generală Educație, Tineret și Sport a municipiului Chișinău în cadrul Proiectului “Educație online”
Poveștile pentru copii au un rol complex și benefic în dezvoltarea lor, le vor oferi nu doar divertisment, ci și oportunități de învățare și creștere personală.
1. www.mateinfo.ro
1
SINTEZ~ A GEOMETRIEI
de clasa a VII-a
Asem`narea
1) Teorema lui Thales :
O paralel` la o latur` a unui triunghi determin` pe celelalte dou` laturi segmente
proporionale.
DE || BC ⇒
AD AE
=
DB EC
, sau alte variante .
2) Reciproca teoremei lui Thales :
Dac` o dreapt` determin` pe dou` laturi ale unui triunghi segmente proporionale,
atunci ea este paralel` cu a treia latur` a triunghiului.
AD AE
=
DB EC
⇒
DE || BC.
3) Teorema fundamental` a asem`n`rii :
O paralel` la o latur` a unui triunghi formeaz` cu celelalte dou` laturi un triunghi
asemenea cu primul.
DE || BC
⇒
∆ ABC ∼ ∆ ADE din care => [n principal proporionalitatea
laturilor :
AB AC BC
=
=
AD AE DE
4) Cazurile de asem`nare :
Cazul I (UU) : Dac` <A ≡ <A' ]i <B ≡ <B', atunci ∆ ABC ∼ ∆ A'B'C'.
Cazul II (LUL) : Dac` <A ≡ <A' ]i
Cazul III (LLL) : Dac`
5)
AB
AC
=
A' B' A' C'
AB
AC
BC
=
=
A' B' A'C' B' C'
, atunci ∆ ABC ∼ ∆ A'B'C'.
, atunci
∆ ABC ∼ ∆ A'B'C'.
Raportul de asem`nare a dou` triunghiuri asemenea este egal cu raportul a dou`
laturi corespunz`toare, sau a dou` [n`limi corespunz`toare, etc ...
unde l, l’ = laturi corespunz`toare; h, h’ = [n`limi
l h m P
= =
= = . . . = k corespunz`toare; m, m’ = mediane corespunz`toare;
l' h' m' P'
P, P’ = perimetre corespunz`toare, k = valoarea
raportului de asem`nare.
2. 2
6)
Raportul ariilor a dou` triunghiuri asemenea este egal cu p`tratul
A ∆ABC
= k2
A ∆A ' B ' C '
raportului de asem`nare.
7) Teorema bisectoarei : Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determin` pe latura
opusa segmente proporionale cu laturile care formeaz` unghiul (]i reciproc).
.
< ABD ≡ < DBC ⇔
AD AB
=
DC BC
Relaii metrice [n triunghiul dreptunghic :
1) Teorema lui Pitagora :
a) pentru Ipotenuz` :
b) pentru Catete :
2) Teorema catetei :
3) Teorema [n`limii :
2
2
2
Ip = C1 + C2 .
2
2
2
C1 = Ip _ C2 sau
2
C1 = Ip · Pr1
2
sau
H = Pr1 · Pr2
sau
2
2
C2 = Ip
_
2
C1 .
2
C2 = Ip · Pr2.
H=
C1 ⋅ C 2
Ip
4) Teorema medianei : Mediana corespunz`toare ipotenuzei (dus` din varful
unghiului drept) este egal` cu 1/2 din ipotenuz`.
m(<BAC) = 90o, BD = DC => AD =
1
· BC
2
5) Teorema unghiului de 30o : Dac` un triunghi dreptunghic are un unghi cu
masura de 30 o, atunci cateta opus` acestui unghi este egal` cu 1/2 din ipotenuz`.
m(<BAC) = 90o, m(<ABC) = 30o
=>
AC =
1
· BC
2
3. 3
Funcii trigonometrice :
1) Definiii :
sin (<uo) = cateta opus` / ipotenuz` ;
cos (<uo) = cateta al`turat` / ipotenuz` ;
tg (<uo) = cateta opus` / cateta al`turat`;
ctg (<uo) = cateta al`turat` / cateta opus`;
sin (<B) = AC / BC.
cos (<B) = AB / BC.
tg (<B) = AC / AB.
ctg (<B) = AB / AC.
2) Tabelul valorilor funciilor trigonometrice ale unghiurilor uzuale :
45 o
60 o
30 o
sin
1/2
√2 / 2
√3 / 2
cos
1/2
√3 / 2
√2 / 2
tg
1
√3
√3 / 3
ctg
1
√3
√3 / 3
Arii ]i perimetre :
Obs. : Dou` figuri geometrice care au ariile egale se numesc figuri
echivalente.
Notaii : A = aria ;
P = perimetrul
A = L2 ;
1) P`tratul :
2) Dreptunghiul :
P=4L
;
unde L = latura p`tratului.
A=L·l; P=2L+2l
unde L = lungimea ]i l = laimea.
A = B · H ; sau A = l1 · l2 · sin u ; P = 2(l1 + l2)
3) Paralelogramul :
unde B = baza ; H = [naltimea ; u = unghiul ascuit al paralelogramului.
A=
4) Rombul:
d1 ⋅ d 2
; sau A = L · H ; sau A = L2 · sin u ; P = 4 L
2
unde d1, d2 = diagonalele ; L = latura ; H = [n`limea ; u = unghi ascuit.
5) Trapezul :
A=
(B + b) ⋅ H
;
2
P = B + b + l1 + l2 ;
B+b
= Linia mijlocie
2
unde B = baza mare ; b = baza mic` ; H = [n`limea ; l1, l2 = laturile neparalele.
5) Patrulater ortodiagonal (cu diagonalele perpendiculare) :
A=
d1 ⋅ d 2
;
2
P = l1 + l2 + l3 + l4
4. 4
7) Patruleter convex oarecare :
A =
d1 ⋅ d 2 ⋅ sin u
2
unde u = m(<d1, d2).
8) Triunghiul :
A=
a) dreptunghic :
Ip ⋅ h
C1 ⋅ C 2
; sau A =
;
2
2
A=
A=
b) echilateral :
c) isoscel :
L2 ⋅ 3
;
4
B⋅H
;
2
P = C1 + C2 + Ip
P=3L
.
P=B+2L
unde B = baza = latura necongruent` ; L = laturile congruente;
H = [n`limea corespunz`toare bazei (se calculeaz` cu teorema lui
Pitagora in@nd cont c` aceast` [n`lime este ]i median`).
d) oarecare :
A=
B⋅H
2
; unde B = oricare latur` (cunoscut`) ;
H = [n`limea corespunz`toare ;
l ⋅ l ⋅ sin u
A= 1 2
2
;
Formula lui Heron:
A=
unde a, b, c = laturile, iar p =
unde u = unghiul dintre l1 si l2 ;
p( p − a )( p − b)( p − c )
a +b+c
= semiperimetru.
2
9) Cercul :
A = πR2 ;
Ssector circular =
L=2πR;
π ⋅ R2 ⋅ n
360
;
Larc de cerc =
π ⋅ R⋅n
180
Obs. : - Raza cercului circumscris unui triunghi se afl` cu formula :
R =
a ⋅b⋅c
4⋅A
;
sau
R=
a
2 ⋅ sin A
- Raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este egal`
cu 1/2 din ipotenuz` (centrul cercului circumscris este mijlocul
ipotenuzei).
- Raza cercului circumscris unui triunghi echilateral se afl` cu
.
5. 5
2
⋅ H , iar raza cercului [nscris cu formula :
3
formula : R =
r=
1
⋅ H ; (Centrul cercului circumscris coincide cu
3
centrul cercului [ncris, cu ortocentrul ]i cu
centrul de grutate al triunghiului.)
- Raza cercului [nscris [ntr-un triunghi oarecare se afl` cu
formula :
r=
2⋅ A
P
unde A = aria triunghiului ]i P = perimetrul.
Poligoane regulate :
Triunghi echilateral
Patrat
Hexagon regulat
L (latura)
R 3
R 2
R
a (apotema)
(a = r)
R
2
R 3
2
S (aria)
L2 3
4
L 3
H=
2
R 2
L
sau
2
2
L2
Alte formule
R=
3L 2 3
2
D=2L
d= L 3
d= L 2
1
2
⋅ H3 ; r = ⋅ H3
3
3
Obs. : C@nd o coard` a unui cerc corespunde unui arc de :
120o => atunci ea este egal` cu L3 = R √3 ;
90o => este egal` cu L4 = R √2 ;
60o => este egal` cu L6 = R.
Calcularea unei [n`limi dintr-un triunghi :
1. {n`limea unui triunghi echilateral se calculeaz` cu formula
L = lungimea laturii triunghiului.
h=
L 3
2
unde
2. {n`limea corespunz`toare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic se calculeaz` cu
formula
C ⋅C
h= 1 2
Ip
, unde C1 ]i C2 sunt lungimile catetelor triunghiului, iar
Ip este lungimea ipotenuzei,
sau cu
formula
2
h = Pr1 ⋅ Pr2
, unde Pr1 }i Pr2 sunt lungimile proieciilor catetelor pe
ipotenuz`.
3. {n`limea corespunz`toare bazei unui triunghi isoscel ([n`limea principal`), se
calculeaz` cu teorema lui Pitagora, in@nd cont c` ea este ]i median` (are piciorul [n
mijlocul bazei).
Formula este:
B
h 2 = L2 −
2
2
, unde L este lungimea laturilor congruente,
iar B este lungimea bazei.
6. 6
4. {n`limea corespunz`toare uneia dintre laturile congruente ale unui triungi isoscel
([n`limea secundar`):
Dup` ce se calculeaz` [n`limea corespunz`toare bazei ([n`limea principal`),
conform indicaiilor anterioare, se aplic` formula:
L1 ⋅ h1 = L2 ⋅ h2
unde L1 este lungimea bazei, iar h1 este lungimea [n`limii corespunz`toare bazei,
L2 este lungimea uneia dintre laturile congruente, iar h2 este lungimea [n`limii
corespunz`toare acesteia (care trebuie aflat`).
5. O [n`lime dintr-un triunghi oarecare:
L1 ⋅ h1 = L2 ⋅ h2
a) Dac` se cunoa]te o alt` [n`lime, se aplic` formula:
unde h1 este [n`limea cunoscut`, L1 este lungimea
laturii corespunz`toare ei, h2 este lungimea [n`limii de aflat, iar L2 este
lungimea laturii corespunz`toare acesteia.
,
b) Dac` lungimile laturilor sunt numere raionale (f`r` radicali), se va afla aria
triunghiului prin formula lui Heron:
A = p(p − a )( p − b)(p − c)
reprezint`lungimile laturilor triunghiului, iar p este m`rimea
semiperimetrului
,unde a, b, c
A=
triunghiului. Dup` aceea se va [nlocui valoarea g`sit` [n formula
din care se va obine lungimea [n`limii c`utate.
(B este lungimea laturii corespunz`toare [n`limii c`utate.)
B⋅h
2
c) Dac` se cunoa]te m`sura unui unghi al triunghiului (30o, 45o, 60o, 120o, 135o,
150o), iar [n`limea c`utat` este latur` a unui triunghi dreptunghic din care face
parte ]i unghiul cu m`sura cunoscut` (u < 90o), se va folosi definiia funciei
trigonometrice sinus, sau tangent`. Din aceast` definiie se va afla lungimea
[n`limii c`utate ca al patrulea termen al unei proporii.
(Dac` u > 90o, atunci se va folosi [n acela]i fel suplementul s`u.)
d) Dac` se cunoa]te m`sura unui unghi al triunghiului (30o, 45o, 60o, 120o, 135o,
150o), se va afla aria triunghiului prin formula:
L ⋅ L ⋅ sin u
A= 1 2
2
, unde u
este m`sura unghiului cunoscut, iar L1 ]i L2
sunt lungimile laturilor care formeaz` acest unghi. Dup` aceea se va [nlocui
valoarea g`sit` [n formula
A=
B⋅h
2
, din care se va obine lungimea
[n`limii c`utate.
(B este lungimea laturii corespunz`toare [n`limii c`utate.)
e) Dac` nici una din variantele anterioare nu ne convine, se va folosi
"procedeul cu x " :
Dac` BC = a ; AC = b ; AB = c ]i AD ⊥ BC,
Atunci not`m AD = x ]i ⇒ DC = a - x.
Apoi cu teorema lui Pitagora [n ∆ABD ⇒
AD2 = AB2 — BD2 = c2 — x2, iar
Cu teorema lui Pitagora [n ∆ACD ⇒
7. 7
AD2 = AC2 — CD2 = b2 — (a — x)2.
Egal@nd apoi cele dou` expresii ale lui AD2 obinem ecuaia : b2 — (a — x)2 = c2 — x2, care
prin rezolvare d` lungimea segmentului BD ]i aplic@nd din nou teorema lui Pitagora [n
∆ABD vom obine ceea ce dorim (lungimea segmentului AD).
ATEN|IE: Cuno]tinele despre aflarea lungimii unei [n`limi dintr-un triunghi sunt foarte
necesare la rezolvarea problemelor referitoare la distana de la un punct la o dreapt`,
at@t [n cadrul geometriei plane c@t ]i [n cel al geometriei [n spaiu.
CERCUL — definiii ]i teoreme
Se nume]te loc geometric, mulimea tuturor punctelor
din plan sau spaiu care satisfac o condiie dat`.
Cercul este locul geometric al punctelor din plan
situate la distana r (r > 0) fa` de un punct fix.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Punctul fix se nume]te centrul cercului.
Distana de la centrul cercului la un punct de pe cerc
se nume]te raza cercului.
Notaia C(O; r) reprezint` cercul cu centrul O ]i raza r. C(O; r) = {A | AO = r}.
{F | FO < r} = Int C(O; r) este interiorul cercului.
C(O; r) ∪ Int C(O; r) = D(O; r) este discul cu centrul O ]i raza r.
{E | EO > r} = Ext C(O; r) este exteriorul cercului.
Coarda este segmentul determinat de dou` puncte distincte de pe cerc. De exemplu
segmentul [DE] este coard`.
Diametrul este coarda care trece prin centrul cercului. Segmentul [AB] este
diametru. AB = 2 r. Diametrul este cea mai mare coard` dintr-un cerc.
Arcul de cerc este poriunea dintr-un cerc cuprins` [ntre dou` puncte distincte ale
cercului.
TEOREME REFERITOARE LA ARCE }I COARDE
1. {n acela]i cerc sau [n cercuri congruente la arce congruente
corespund coarde congruente ]i reciproc, la coarde
congruente corespund arce congruente.
AB ≡ BC ⇔ [AD] ≡ [BC].
2. Diametrul perpendicular pe o coard` [mparte coarda ]i
arcele corespunz`toare [n p`ri congruente.
Ipotez`: EF = 2 r; EF ⊥ DC; EF ∩ DC = {M}.
Concluzie: [DM] ≡ [MC] ]i DE ≡ EC.
3. Arcele de cerc cuprinse [ntre dou` coarde paralele sunt congruente.
Ipotez`: AB || CD; A, B, C, D ∈ C(O, r).
Concluzie: AD ≡ BC.
4. Coardele egal dep`rtate de centru sunt congruente.
Ipotez`: OP ⊥ AD; ON ⊥ BC; [OP] ≡ [ON].
Concluzie: [AD] ≡ [BC].
8. 8
POZI|IILE RELATIVE ALE UNEI DREPTE FA|~ DE UN CERC
Dac` a este o drepat` ]i C un cerc, numim distan` de la centrul cercului la dreapt`
lungimea perpendicularei din centrul cercului pe dreapt`. OM ⊥ a ⇒ OM = d(O; a) = d.
1. Dac` d > r, dreapta a este
exterioar` cercului.
2. Dac` d = r, dreapta a este
tangent` la cerc.
3. Dac` d < r, dreapta a este
secant` la cerc.
a ∩ C(O; r) = ∅ ⇔ d > r.
a ∩ C(O; r) = {A} ⇔ d = r.
a ∩ C(O; r) = {A; B} ⇔ d = r.
Consecine:
1. O dreapt` care este tangent` la un cerc, este perpendicular` pe raza dus` la punctul
de tangen`.
2. Dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce exact dou` tangente la acel cerc.
3. Lungimile celor dou` tangente duse dintr-un punct exterior la un cerc sunt egale.
4. Dac` un patrulater are toate laturile tangente la un cerc, atunci se nume]te
patrulater circumscris cercului (cercul este [nscris [n patrulater).
5. Dac` un patrulater este circumscris unui cerc, atunci suma lungimilor laturilor sale
opuse este aceea]i.
6. Dac` un patrulater are suma lungimilor a dou` laturi opuse egal` cu suma lungimilor
celorlalte dou` laturi, atunci este un patrulater circumscriptibil.
1. Unghi la centru.
m(∠AOB) = m(AB)
UNGHIURI RAPORTATE LA UN CERC.
3. Unghi cu v@rful [n 4. Unghi cu v@rful [n
2. Unghi [nscris [n
interiorul cercului.
exteriorul cercului.
cerc.
m(∠AMB) =
1
m(AB)
2
m(∠AMB) =
1
⋅[m(AB) + m(CD)]
2
m(∠AMB) =
1
⋅[m(AB) - m(CD)]
+
2
Consecine:
1. Dou` unghiuri [nscrise [n acela]i cerc ]i care cuprind acela]i arc [ntre laturile lor sunt
unghiuri congruente.
2. Un unghi [nscris [ntr-un semicerc are m`sura de 90o.
3. M`sura unui unghi care are v@rful pe un cerc ]i este format de o coard` ]i o tangent`
la un cerc este egal` cu jum`tate din m`sura arcului cuprins [n interiorul unghiului.
3. Un triunghi [nscris [ntr-un semicerc este dreptunghic (ipotenuza lui este diametrul
cercului).
4. Patru puncte aflate pe uncerc se numesc puncte conciclice.
9. 9
5. Dac` un patrulater are toate v@rfurile pe un cerc, atunci este un patrulater [nscris [n
cerc.
6. Dac` un patrulater este [nscris [ntr-un cerc, atunci v@rfurile sale sunt egal dep`rtate
de centrul cercului.
7. Dac` un patrulater este [nscris [ntr-un cerc, atunci unghiurile sale opuse sunt
suplementare.
8. Dac` un patrulater este [nscris [ntr-un cerc, atunci orice unghi exterior al s`u este
congruent cu unghiul opus interior.
9. Dac` un patrulater este [nscris [ntr-un cerc, atunci un unghi format de o diagonal` cu
o latur` este congruent cu unghiul format de cealalt` diagonal` cu latura opus`.
10. Dac` un patrulater are una din propriet`ile 6, 7, 8, 9, atunci este patrulater
inscriptibil ]i are toate celelalte propriet`i ale patrulaterului [nscris [n cerc.
Triunghiul circumscris unui cerc are laturile tangente la
acel cerc. Cercul care este tangent la laturile unui triunghi se
nume]te cerc [nscris [n triunghi, iar centrul s`u I este
intersecia bisectoarelor unghiurilor triunghiului.
• triunghiul ABC este triunghiul circumscris cercului C(I; r).
• C(I; r) este cercul [nscris [n triunghiul ABC.
• r este raza cercului [nscris: IM = IN = IP = r.
•
r=
2⋅A
, unde A este aria triunghiului ABC,
P
iar P = AB + AC + BC.
Triunghiul [nscris [ntr-un cerc are v@rfurile situate pe cerc,
iar laturile sunt coarde ale cercului. Cercul se nume]te
cerc circumscris triunghiului ]i centrul s`u O este punctul
de intersecie al mediatoarelor laturilor triunghiului.
• triunghiul ABC este triunghiul [nscris [n C(O; R).
• C(O; R) este cercul circumscris triunghiului ABC.
• R este raza cercului circumscris:
OA = OB = OC = R.
R=
a⋅b⋅c
, unde
4⋅A
a, b, c sunt lungimile laturilor, iar
A este aria triunghiului ABC.