Teorema lui Pitagora si aplicatii

1. TEOREMA LUI PITAGORA
“GEOMETRIA ESTE CEA MAI BUNĂ ŞI MAI SIMPLĂ
DINTRE TOATE LOGICILE, CEA MAI POTRIVITĂ SĂ
DEA INFLEXIBILITATE JUDECĂŢII ŞI RAŢIUNII.”
DENIS DIDEROT
Prof. Iuliana TRAȘCĂ
1

2. OBIECTIVE OPERAŢIONALE
 să ştie ce este triunghiul dreptunghic ;
 să identifice catetele si ipotenuza unui triunghi
dreptunghic;
 să identifice triunghiuri dreptunghice pe figurile
geometrice învăţate şi să scrie relaţiile
corespunzătoare între elementele lor ;
 să cunoască şi să utilizeze corect teorema lui
Pitagora şi reciproca în rezolvarea problemelor;
 să identifice situaţii practice care pot fi rezolvate cu
ajutorul acestei teoreme .
2

3. REACTUALIZAREA
CUNOŞTINŢELOR ANTERIOARE
TEOREMA ÎNĂLŢIMII
Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălţimii dusă din vârful unghiului
drept este media geometrică a lungimilor proiecţiilor ortogonale ale catetelor pe
ipotenuza.
𝑨𝑫 𝟐 = 𝑩𝑫 ∙ 𝑫𝑪
TEOREMA CATETEI
Într-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrică a
lungimii ipotenuzei și a lungimii proiecţiei ei ortogonale pe ipotenuză.
𝑨𝑩 𝟐 = 𝑩𝑪 ∙ 𝑩𝑫; 𝑨𝑪 𝟐 = 𝑩𝑪 ∙ 𝑫𝑪
A
C
B
D
3
Problema

4. TEOREMA LUI PITAGORA:
4
PROBLEMA

5. 1. DEMONSTRAŢIE FOLOSIND TEOREMA CATETEI
A
C
D
B
Δ ABC, m(<A)=90º, AD ┴ BC
conform teoremei catetei, avem:
AB² = BC•BD
AC² = BC•CD , adunând membru
cu membru obținem:
AB² + AC² = BC•( BD + DC)
= BC•BC = BC²
Deci, BC² = AB² + AC² c.c.t.d.
5

6. 2. DEMONSTRAŢIE PE BAZA TRIUNGHIURILOR
ASEMENEA
A
BC
D
xa-x
b c
a
ΔABC ~ ΔDBA
(conform cazului U.U.), avem:
1
1
x / c = c / a => c² = ax (1)
ΔABC ~ΔDAC
(conform cazului U.U.), avem
(a-x) / b = b / a => b²= a(a-x)=a²- ax (2)
Adunând membru cu membru relațiile (1) și (2)
obținem:
b²+c² = a²+ax – ax
Deci, a² = b² + c² c.c.t.d.
6

7. 3. DEMONSTRAŢIE PE BAZA DE ARII ALE PATRATELOR
A
B
C
a
b
c
D
E
F
J
K
L
Aria pătratului (ABFJ) = c²
Aria pătratului (ACLK) = b²
Aria pătratului (BCDE) = a²
Aria (BCDE )= Aria (ACLK) + Aria (ABFJ)
Deci: a² = b² + c² c. c. t. d.
a
b
c
7

8. 8
*4. Demonstraţie dată de Euclid in ELEMENTE
A
B
C
DE
I
H
G
F
M
N
Aria(ABE)=1/2 ∙ BE ∙ BN=1/2∙Aria(BEMN)
Aria(BCI)=1/2 ∙ BI ∙ AB=1/2∙Aria(AHIB)
Dar, ΔABE≡ΔBCI(LUL) =>
Aria (BEMN) = Aria (AHIB)(1)
Aria(ACD)=1/2∙CD ∙ CN=
=1/2∙Aria(CDMN)
Aria(BCF)=1/2 ∙ CF ∙ CA=
=1/2∙Aria(CFGA)
Dar, ΔACD≡ΔBCF (LUL)=>
Aria (CDMN) = Aria (CFGA) (2)
Adunând relațiile (1) și (2) obținem:
Aria(BEMN+CDMN)=Aria(AHIB+CFGA)
Deci Aria (BCDE)=Aria (AHIB+CFGA)
BC² = AB² + AC² c.c.t.d.

9. 9
*5. Demonstraţia lui Leonardo da Vinci
A’
A
B’
C’
B C
D
E
a
a
a
a
bc/2
bc/2
bc/2
bc/2
(b-c)²
În triunghiul dreptunghic ABC,
m<(BAC)=90º
AB=c, BC=a, AC=b, pe ipotenuza BC construim
pătratul BCDE și ducem DB’ ┴AC, EC’┴DB’,
AA’┴EC’.
Pătratul BCDE se descompune în 4 triunghiuri
dreptunghice congruente cu triunghiul
dreptunghic ABC de catete b și c și pătratul
AA’C’B’de latură AB’=AC-B’C’= b-c, deci
Aria (AB’C’A’) = AB’² - (b-c)²
Aria( ABC)=aria (CDB’)=aria( DC’E)=aria
(EA’B)=bc/2
Avem aria (BCDE) = aria (AB’C’A’) +
+ 4 aria (ABC) sau
a² = (b-c)² +4 bc/2 = b² -2bc + c² +2bc
Adică, a² = b ²+ c² c.c.t.d.

10. PROBLEME
1.Fie triunghiul ABC dreptunghic în A:
a) Dacă lungimile catetelor AB şi AC sunt 4 cm, respectiv 3 cm,
determinaţi
lungimea ipotenuzei BC.
b) Dacă cateta AC=6 cm, iar ipotenuza BC= 10 cm, determinaţi
lungimea
catetei AB.
10
Problema 1: rezolvare a)
Problema 1: rezolvare b)

11. 11
A
B C
a) Aplicăm teorema lui Pitagora astfel:
BC2 =AB2 +AC2
Înlocuim:
BC2= 42+32
BC2 = 16+9
BC2 = 25 𝑐𝑚2, de unde BC= 5 cm.
4 cm
3 cm
Problema 1: rezolvare a)
ENUNT PROBLEMA

12. 12
A
B C
b) Aplicăm teorema lui Pitagora astfel:
AB2 = BC2 -AC2
Înlocuim:
AB2= 102 -62
AB2 = 100-36
AB2 = 64 𝑐𝑚2, de unde AB= 8 cm.
6 cm
10 cm
Problema 1: rezolvare b)
Enunt problema

13. 2. Un triunghi dreptunghic are o catetă cu lungimea de 3 cm, şi unghiul
care se opune ei de 300. Calculaţi lungimile ipotenuzei,
a celeilalte catete şi a înălţimii corespunzătoare ipotenuzei.
13

14. A
B CD
În triunghiul dreptunghic ABC, avem: BC=2·AC
(AC se opune unghiului de 300 şi BC este
ipotenuza). Deci : BC= 6 cm
3cm
300
Enunt problema
14

15. În triunghiul dreptunghic ABC, aplicăm
teorema lui Pitagora astfel:
BC2 =AB2 +AC2
Înlocuim:
62= AB2+32; AB2 = 36-9
AB2 = 25 𝑐𝑚2, de unde AB= 5 cm.
În triunghiul dreptunghic ADB:
AB=2·AD
AD=2,5 cm.
Enunț problemă
15

16. 3. O catetă a unui triunghi dreptunghic are
lungimea de 10 cm, iar înălţimea corespunzătoare
ipotenuzei este de 8 cm.
Să se afle lungimile celeilalte catete şi a
ipotenuzei.
16

17. A
BC D
În triunghiul dreptunghic ADB, aplicăm teorema
lui Pitagora astfel:
AB2 =DB2 +AD2
Înlocuim:
102= DB2+82; DB2 = 100-64
DB2 = 36 𝑐𝑚2, de unde DB= 6 cm.
10 cm
8 cm
6 cm
17
Teorema Pitagora

18.  Aplicăm teorema catetei în triunghiul ABC astfel:
AB2 =BD·BC
Înlocuim:
102= 6 ·BC
100 = 6 ·BC, de unde BC = 16,(6) cm.
 În triunghiul dreptunghic ABC, aplicăm teorema lui
Pitagora astfel:
BC2 =AB2 +AC2
Înlocuim:
= 100+AC2
De unde AC2= , deci AC= 13,(6) cm
2
3
50






9
1600
18
Teorema catetei