Dokumen tersebut membahas tentang geometri netral dan beberapa teorema yang terkait dengan geometri netral seperti teorema tentang jumlah sudut dalam segitiga, sifat-sifat persegi panjang, dan hubungan antara keberadaan persegi panjang dengan jumlah sudut dalam segitiga.
Assalamualaikum Wr. Wb.
Alhamdulillah jika power point ini bisa bermanfaat untuk semuanya. Karena saya masih belajar mohon tidak memakan mentah-mentah konten dari tayangan ini. Kritik dan saran sangat diharapkan. Terima Kasih.
Muhamad Husni Mubaraq
@ID_baraq
Mohon tinggalkan komentar atau pesan
Assalamualaikum Wr. Wb.
Alhamdulillah jika power point ini bisa bermanfaat untuk semuanya. Karena saya masih belajar mohon tidak memakan mentah-mentah konten dari tayangan ini. Kritik dan saran sangat diharapkan. Terima Kasih.
Muhamad Husni Mubaraq
@ID_baraq
Mohon tinggalkan komentar atau pesan
Tugas Matematika Peminatan Materi Vektor Kelas X IPA 1
SMA YPI TUNAS BANGSA PALEMBANG
Guru Pembimbing : Nurbahari Martlan,S.Pd
Tahun Pelajaran 2017/2018
Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.
Tugas Matematika Peminatan Materi Vektor Kelas X IPA 1
SMA YPI TUNAS BANGSA PALEMBANG
Guru Pembimbing : Nurbahari Martlan,S.Pd
Tahun Pelajaran 2017/2018
Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.
materi statistik dasar
BAB I
Pengertian Statistik, Statistika, Statistik Deskriptif dan Statistik Inferensial, Macam-Macam Data ..........................................................
BAB II
Penyajian Data dan aplikasi pada data penelitian ..........................................................
BAB III
Daftar Distribusi Frekuensi dan aplikasi pada data penelitian ..........................................................
BAB IV
Ukuran Pemusatan, Ukuran Penyebaran ..........................................................
BAB V
Ukuran keruncingan ..........................................................
BAB VI
Distibusi Binomial, Poisson ..........................................................
BAB VII
Distribusi Normal dan aplikasinya ..........................................................
BAB VIII
Uji Normalitas dan Homogenitas ..........................................................
BAB IX
Uji Hipotesis ..........................................................
BAB X
Uji Hipotesis satu rata-rata ..........................................................
BAB XI
Uji Hipotesis dua rata-rata ..........................................................
DAFTAR PUSTAKA ..........................................................
Sebagai salah satu pertanggungjawab pembangunan manusia di Jawa Timur, dalam bentuk layanan pendidikan yang bermutu dan berkeadilan, Dinas Pendidikan Provinsi Jawa Timur terus berupaya untuk meningkatkan kualitas pendidikan masyarakat. Untuk mempercepat pencapaian sasaran pembangunan pendidikan, Dinas Pendidikan Provinsi Jawa Timur telah melakukan banyak terobosan yang dilaksanakan secara menyeluruh dan berkesinambungan. Salah satunya adalah Penerimaan Peserta Didik Baru (PPDB) jenjang Sekolah Menengah Atas, Sekolah Menengah Kejuruan, dan Sekolah Luar Biasa Provinsi Jawa Timur tahun ajaran 2024/2025 yang dilaksanakan secara objektif, transparan, akuntabel, dan tanpa diskriminasi.
Pelaksanaan PPDB Jawa Timur tahun 2024 berpedoman pada Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan RI Nomor 1 Tahun 2021 tentang Penerimaan Peserta Didik Baru, Keputusan Sekretaris Jenderal Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi nomor 47/M/2023 tentang Pedoman Pelaksanaan Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Nomor 1 Tahun 2021 tentang Penerimaan Peserta Didik Baru pada Taman Kanak-Kanak, Sekolah Dasar, Sekolah Menengah Pertama, Sekolah Menengah Atas, dan Sekolah Menengah Kejuruan, dan Peraturan Gubernur Jawa Timur Nomor 15 Tahun 2022 tentang Pedoman Pelaksanaan Penerimaan Peserta Didik Baru pada Sekolah Menengah Atas, Sekolah Menengah Kejuruan dan Sekolah Luar Biasa. Secara umum PPDB dilaksanakan secara online dan beberapa satuan pendidikan secara offline. Hal ini bertujuan untuk mempermudah peserta didik, orang tua, masyarakat untuk mendaftar dan memantau hasil PPDB.
1. Geometri Netral ?
• Geometri yang dilengkapi dengan sistem
aksioma-aksioma insidensi, sistem
aksioma-aksioma urutan, sistem aksioma
kekongruenan (ruas garis, sudut, segitiga)
dan sistem aksioma-aksioma archiemedes
2. A. Jumlah Sudut dalam Segitiga
• Teorema 1
Jumlah dua sudut dalam segitiga kurang dari
1800
.
Bukti:
9. Definisi: Sebuah segiempat dinamakan persegi
panjang apabila besar setiap sudutnya 900
.
Oleh karena geometri yang kita bicarakan
adalah geometri netral yang tidak menganut
aksioma kesejajaran euclides, maka sifat-sifat
dalam persegi panjang yang kita kenal harus
dibuktikan tidak dengan menggunakan sifat-
sifat yang ada pada persegi panjang.
10. Teorema 1
Jika ada sebuah persegi panjang dalam
geometri netral, maka akan ada juga sebuah
persegi panjang dengan salah satu sisinya lebih
panjang dari ruas garis tertentu.
Bukti:
Andaikan diketahui persegi panjang ABCD dan
ruas garis yang diketahui adalah XY. Harus
dibuktikan adanya persegi panjang dengan
panjang salah satu sisi melebihi XY.
11. B C C1
C2 Cn
A D D1
D2
Dn
x Y
Perpanjang AD sampai DD1 sehingga AD = DD1. Perpanjang BC
sampai CC1 sehingga BC = CC1. Artinya ada D1 dengan ADD1
sehingga panjang AD = DD1 dan ada C1 dengan BCC1 sehingga
panjang BC = CC1. Tarik C1D1 maka AD1C1B adalah sebuah
persegi panjang. Proses ini kita lanjutkan. Jadi ada D2 dengan
DD1D2 sehingga panjang DD1 = D1D2 dan ada C2 dengan CC1C2
sehingga CC1 = C1C2. Tarik C2D2 maka AD2C2B suatu persegi
panjang. Menurut aksioma archimides (aksioma kekontinuan),
ada Dn sehingga ADn = n x AD dan ADn > XY, maka ADnCnB suatu
persegi panjang. Persegi panjang inilah yang dicari.
Bukti Teorema 1
12. Teorema 2
Jika ada sebuah persegi panjang dalam
geometri netral maka ada persegi panjang
yang panjangnya dua sisi yang bersisihan
masingmasing melebihi panjang dua ruas garis
yang diketahui.
Bukti:
Andaikan diketahui persegi panjang ABCD dan
ruas garis XY dan PQ.
13. G H
F
E
C
D
B
A
Q
P
X Y
Dengan menggunakan teorema 1 dua kali maka kita
peroleh persegi panjang ABEF dengan AF > XY. Kemudian
ada persegi panjang AGHF dengan AG > PQ. Maka
persegi panjang AGHF adalah persegi panjang yang dicari
Bukti Teorema 2
14. Teorema 3
Jika dalam suatu geometri netral ada persegi
panjang, maka jumlah besar sudutsudut dalam
segitiga sikusiku sama dengan 1800
Bukti :
Prosedur pembuktiannya adalah dengan cara
menunjukkan bahwa:
1. Setiap segitiga sikusiku adalah tiruan dari segitiga
yang dibentuk dengan cara membelah persegi
panjang pada diagonalnya.
2. Segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut 1800
15. Misalkan segitia ABC sikusiku di B, menurut teorema 2, maka
terdapat persegi panjang A’B’C’D’ sedemikian hingga A’B’ = AB dan
B’C’ = BC.
Hubungkan A’ dan C’, maka segitiga ABC kongruen dengan
segitiga A’B’C’.
Sehingga kedua segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut yang
sama.
Perhatikan gambar berikut:
A
B C
A’
B’ C,
D’
p q
Bukti Teorema 3
16. Misalkan p adalah jumlah sudut segitiga ABC dan
q adalah jumlah sudut segitiga A’B’C’
maka menurut definisi segi empat semua
sudutnya adalah 900
, maka p + q = 4 x 900
…………
(1)
Menurut teorema 3, maka p ≤ 1800
.
Andaikan p < 1800
.
Sedangkan menurut persamaan (1), p + q = 3600
,
maka diperoleh q > 1800
.
Hal ini bertentangan dengan teorema 3.
Jadi p = 1800
(terbukti)
Bukti Teorema 3
17. Teorema 4
Jika dalam geometri netral ada persegi panjang
maka jumlah besar sudutsudut dalam segitiga
1800
Bukti :
Perhatikan gambar berikut: C
A B
D
18. • Akan ditunjukkan segitiga ABC memiliki jumlah sudut 1800
.
• A + B + C = 1800
Tarik garis tinggi CD, sehingga membagi segitiga ABC menjadi
dua segitiga sikusiku yaitu segitiga ACD dan BCD.
Jumlah sudut ACD = ABD = 1800
. (menurut teorema 3)
Sehingga
( A + C1 + D1) + ( B + C2 + D2) = 2 x 1800
= 3600
↔ ( A + C1 + 900
) + ( B + C2 + 900
) = 3600
↔ ( A + C1 + 900
) + ( B + C2 + 900
) = 3600
↔ A + B ( C1 + C2) = 1800
Jadi A+B + C = 1800
(terbukti)
Bukti Teorema 4
19. Teorema 5
Jika dalam geometri netral ada sebuah segitiga
dengan jumlah sudut 1800
, maka akan ada
sebuah persegi panjang.
Bukti :
20. Perhatikan gambar berikut:
• Misalkan segitiga ABC mempunyai jumlah sudut 1800
.
Pertama kita tunjukkan bahwa ada segitiga siku-siku
dengan jumlah sudut 1800
.
Potong segitiga ABC menjadi dua segitiga siku-siku yang
masing-masing mempunyai jumlah sudut p dan q,
dengan menarik garis tinggi tertentu, tulis AD.
Maka p + q = 2 x 900
+ 1800
= 3600
C
A B
D
p q
Bukti Teorema 5
21. Kita tunjukkan p = 1800
, menurut teorema 3, p =
1800
Jika p < 1800
, q > 1800
maka ini bertentangan
dengan teorema 3.
Jadi ada dua segitiga siku-siku, misalnya segitiga
ABD dengan sudut siku-siku di D yang mempunyai
jumlah sudut 1800
.
Sekarang kita mengambil dua segitiga siku-siku,
kemudian kedua segi tiga siku-siku tersebut kita
tempelkan bersama untuk membentuk sebuah
persegi panjang.
Bukti Teorema 5
22. • Lukis segitiga BAE kongruen dengan segitiga ABD
dengan E berlainan pihk dengan D dari sisi AB,
dengan BE bersesuaian dengan AD. (lihat gambar di
atas)
• Karena jumlah sudut segitiga ABD adalah 1800
, maka
B D
2’
E
1
2
1’
A
Bukti Teorema 5
23. • 1 + 2 = 900
, karena 1 = 1’, 2 = 2’, maka kita
peroleh 1 + 2’ = 900
dan 1’ + 2 = 900
.
• Tetapi 1 + 2’ = EAB
1’ + 2 = EAD
• Jadi EAB = EAD = 900
, berarti ADBE persegi
panjang (definisi persegi panjang)
Bukti Teorema 5
24. Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 1800
, maka
setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 1800
.
Bukti :
Diketahui sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut
1800
.
Akan ditunjukkan bahwa setiap segitiga mempunyai
jumlah sudut 1800
.
Misalkan ada sebuah segitiga yang mempunyai jumlah
sudut 1800
, maka menurut teorema 5 akan ada sebuah
persegi panjang.
Sedangkan menurut teorema 4, jika ada sebuah persegi
panjang maka setiap segitiga memiliki jumlah sudut 1800
.
(terbukti)
25. Jika sebuah segitiga ABC mempunyai jumlah sudut kurang
dari 1800
, maka setiap segitiga mempunyai jumlah sudut
kurang dari 1800
.
Bukti :
Misalkan segitiga ABC mempunyai jumlah sudut < 1800
,
perhatikan sebarang segitiga PQR.
Menurut teorema 1, jumlah sudut p ≤ 1800
.
Misalkan p = 1800
, maka menurut akibat 1 dari teorema 5
di atas, sehingga segitiga ABC mempunyai jumlah sudut
1800
.
Hai ini bertentangan dengan pemisalan di atas.
Jadi yang benar adalah p < 1800
.
26. Proposisi-proposisi Geometri Netral
1.Dua garis yang tidak berhimpit mempunyai
paling banyak satu titik potong.
2.Setiap segmen garis mempunyai tepat satu titik
tengah.
3.Setiap sudut mempunyai tepat satu garis bagi.
4.Komplemen dari sudut-sudut yang sama
adalah sama.
5.Sudut yang bertolak belakang besarnya sama.
27. Proposisi-proposisi Geometri Netral
6. Kongrensi dua segitiga adalah SS-SD-SS, SD-SS-SD,
SS-SS-SS.
7. Jika dua sisi suatu segitiga adalah sama, maka
sudut-sudut dihadapanya adalah sama.
8. Jika dua sudut segitiga sama, maka dua sisi
dihadapannya sama.
9. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu
melalui satu titik pada garis tertentu tersebut.
10. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu
melalui satu titik diluar garis tertentu tersebut.
28. Proposisi-proposisi Geometri Netral
11. Titik T terletak pada sumbu segmen garis AB jika dan
hanya jika TA = TB.
12. Jika dua sisi suatu segitiga tidak sama maka sudut-sudut
dihadapannya juga tidak sama, dan sudut segitiga yang
lebih besar berhadapan dengan sisi yang lebih panjang.
13. Jika dua sudut suatu segitiga tidak sama maka sisi-sisi
dihadapannya juga tidak sama, dan sisi yang lebih
panjang berhadapan dengan sudut yang lebih besar.
14. Segmen garis terpendek yang menghubungkan sebuah
titik dan sebuah garis adalah segmen yang tegak lurus.
15. Jumlah panjang dua sisi lebih besar dari sisi ketiga.
29. Proposisi-proposisi Geometri Netral
16.Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-masing
sama dengan dua sisi segitiga yang kedua, dan sudut apit
segitiga pertama lebih besar dari sudut apit segitiga
kedua, maka sisi ketiga dari segitiga yang pertama lebih
panjang dari sisi ketiga dari segitiga kedua.
17.Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-masing
sama dengan dua sisi segitiga yang kedua, dan sisi ketiga
dari segitiga pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari
segitiga yang kedua, maka sudut apit dari segitiga yang
pertama lebih besar dari sudut apit dari segitiga ke dua.
18.Besar sudut luar dari suatu segitiga adalah lebih besar
dari salah satu sudut dalamnya yang tidak bersisian
dengan sudut luar tersebut.
30. Proposisi-proposisi Geometri Netral
19.Jumlah dua sudut dari suatu segitiga adalah
kurang dari 1800
.
20.Jika dua garis dipotong oleh garis lain dan
membentuk sepasang sudut dalam
berseberangan yang sama dua garis tersebut
sejajar.
21.Dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama
adalah sejajar.
22.Sekurang-kurangnya ada satu garis yang sejajar
dengan suatu garis tertentu yang melalui titik di
luar garis tertentu tersebut.
31. Proposisi-proposisi Geometri Netral
23. Misalkan garis 1 melaui titik C yang jaraknya kepusat
lingkaran kurang dari panjang jari-jarinya maka garis
satu memotong lingkaran di dua titik.
24. Sebuah garis merupakan garis singgung lingkaran jika
dan hanya jika garis tersebut tegak lurus pada jari-jari
lingkaran.
25. Jika diketahui segitiga ABC dan segmen garis PQ
sedemikian hingga PQ=AB maka ada titik R di luar PQ
sedemikian sehingga segitiga PQR kongruen segitiga
ABC.
26. Sebuah lingkaran dapat digambarkan melalui
sebarang segitiga.