Geometri Euclid adalah sistem aksiomatik yang dikembangkan oleh matematikawan Yunani Euclid dari Alexandria, yang menjelaskan geometri planar dan solid melalui lima postulat utama termasuk postulat paralel. Geometri ini menjadi standar selama 2000 tahun sampai pengembangan geometri non-Euclidean pada abad ke-19.

1. SEJARAH GEOMETRI EUCLID
0
Geometri Euclid merupakan sebuah sistem matematik yang disumbangkan oleh seorangahli
matematik Yunani bernama Euclid dari Alexandria. Teks Euclid, Elementsmerupakan sebuah
kajian sistematik yang terawal mengenai geometri. Ia sudah menjadi salah satu buku-buku yang
paling berpengarh di dalam sejarah, sama banyaknya dengan kaedahnya yang mempunyai isi
kandungan matematik. Kaedah cara yang mengandungi andaian satu setaksiom secara intuitif
yang sangat menarik, dan kemudiannya membuktikan banyak usul(teorem-teorem) daripada
aksiom-aksiom berkenaan. Walaupun banyak daripada keputusan-keputusan oleh Euclid sudah
dinyatakan oleh ahli-ahli matematik Yunani sebelumnya, Euclid merupakan orang yang pertama
untuk menunjukkan bagaimana usul-usul ini diletakkan secara sempurna membentuk satu
deduksi dan sistem logik yang komprehensif.
Buku Elements ini bermula dengan geometri satah, yang masih lagi diajar di sekolah
menengah sebagai satu sistem aksioman dan contoh-contoh pembuktian formal yang pertama.
Kemudiannya, Elements merangkumi geometri pepejal dalam tiga dimensi, dan seterusnya
geometri Euclid telah dipanjangkan kepada satu bilangan dimensi yang terhingga. Kebanyakan
daripada Elements menyatakan keputusan-keputusan dalam apa yang kini disebut sebagai teori
nombor, yang boleh dibuktikan menerusi kaedah geometri.
Selama dua ribu tahun, kata adjektif “Euclid” tidak diperlukan kerana pada masa itu tiada
geometri lain dapat dibayangkan. Aksiom-aksiom Euclid nampak seperti sangat jelas
sehinggakan apa-apa teorem lain yang dibuktikan daripadanya dianggap benar secara mutlak.
Hari ini, bagaimanapun, banyak geometri bukan Euclid sudah diketahui, yang pertamanya telah
dijumpai pada awal abad ke-19. Ia juga tidak boleh diambil mudah bahawa geometri Euclid
hanya menggambarkan ruang fizikal. Satu implikasi daripada teori Einsteinmengenai
teori kerelatifan umum bahawa geometri Euclid merupakan satu anggaran yang baik kepada
sifat-sifat ruang fizikal hanyak sekiranya medan graviti tidak terlalu kuat.
Pendekatan aksioman
Geometri Euclid merupakan satu sistem aksioman, yang mana semua teorem (“penyataan
benar”) adalah diambil daripada satu bilangan aksiom-aksiom yang terhingga. Pada permulaan
buku Elements yang pertama, Euclid memberikan lima postulat (aksiom):
1. Apa-apa dua titik boleh dihubungkan dengan satu garis lurus.
2. Apa-apa tembereng garis lurus boleh dipanjangkan di dalam satu garis lurus.
3. Satu bulatan boleh dilukis dengan menggunakan satu garis lurus sebagai jejari dan satu
lagi titik hujung sebagai pusat.
4. Semua sudut serenjang adalah kongruen.

2. 5. Postulat selari. Jika dua garis bersilangan dengan yang ketiga dalam satu cara yang
jumlah sudut dalaman adalah kurang daripada satu lagi, maka dua garis ini mesti
bersilangan di atas satu sama lain sekiranya dipanjangkan secukupnya.
Aksiom-aksiom ini menggunakan konsep-konsep berikut: titik, tembereng garis lurus dan garis,
sebahagian daripada satu garis, bularan dengan jejari dan pusat, sudut serenjang, kongruen,
sudut-sudut dalaman dan serenjang, jumlah. Kata-kata kerja yang berikut muncul: sambung,
dipanjangkan, lukis, silang. Bulatan ini digambarkan dengan menggunakan postulat 3 adalah
sangat unik. Postulat-postulat 3 dan 5 hanya boleh digunakan untuk geometri satah; dalam tiga
dimensi, postulat 3 mentakrifkan suatu bulatan.
Satu bukti daripada buku Euclid “Elements” bahawa apabila diberikan satu tembereng garis, satu
segitiga sama wujud termasuklah tembereng sebagai salah satu daripada tiga sisi. Buktinya
adalah dengan cara binaan: Satu segitiga sama ΑΒΓ dibuat dengan melukis bulatan Δ dan Ε
berpusat pada titik-titik Α dan Β, dan dengan mengambil satu persilangan bulatan sebagai
puncak sudut ketiga bagi segitiga tersebut.
Postulat 5 membawa kepada geometri yang sama sebagai penyataan yang berikut, dikenali
sebagai Aksiom Playfair, yang hanya boleh dipegang hanya konsep di dalam satah itu:
Menerusi satu titik yang tidak terletak di atas satu garis lurus, hanya satu sahaja garis yang boleh
dilukis tidak akan bertemu garis yang diberi.
Postulat-postulat 1, 2, 3, dan 5 menegaskan bahawa kewujudan dan keunikan rajah-rajah
geometri, dan peegasan ini adalah satu binaan semulajadi: iaitu, kita tidak diberitahu bahawa ada
perkara tertentu wujud, tetapi kaedah-kaedah diberi untuk mencipta dengan tidak lebih daripada
satu kompas dan satu pinggiran lurus yang tidak bertanda. Dalam kes ini, geometri Euclid adalah
lebih konkrit daripada kebanyakan sistem-sistem aksiom moden seperti teori set, yang mana
kebiasaannya menegaskan kewujudan objek-objek tanpa mengatakan bagaimana untuk membina
mereka, atau menegaskan kewujudan objek-objek yang tidak boleh dibina di dalam ruang teori
berkenaan.
Sebenarnya, binaan-binaan garis di atas kertas dan sebagainya adalah model-model objek yang
lebih baik ditakrifkan di dalam sistem formal, daripada hanya contoh-contoh objek berkenaan.
Sebagai contoh, satu garis lurus Euclid tidak mempunyai lebar, tetapi apa-apa garis yang benar
akan menjadi lebar.
Elements juga memasukkan lima “notasi biasa”:
1. Perkara yang sama dengan benda yang sama tetapi juga setara antara satu sama lain.
2. Jika setara ditambahkan kepada persamaan, maka jumlah keseluruhan juga adalah setara.
3. Jika setara ditolak daripada persamaan, maka bakinya juga adalah setara.
4. Perkara yang bertembung di antara satu sama lain juga setara antara satu sama lain that
coincide with one another equal one another.

3. 5. Jumlah keseluruhan juga lebih besar daripada bahagian berkenaan.
Euclid juga menggunakan sifat-sifat lain yang berkaitan dengan magnitud. 1 adalah satu-satunya
bahagian daripada dasar logik yang Euclid lahirkan dengan terang dan jelas. 2 dan 3 adalah
prinsip-prinsip “aritmetik”; perhatikan bahawa makna-makna “tambah” dan “tolak” di dalam
konteks geometri asli ini telah diberi sama seperti diambil. 1 hingga 4 secara takrifan
mempunyai persamaan, yang mana boleh juga diambil sebagai bahagian pendasaran logik atau
sebagai satu keperluan hubungan kesetaraan , seperti “pertembungan,” definisi yang sangat teliti.
5 adalah satu prinsip mereologi. “Keseluruhan”, “sebahagian”, dan “baki” memerlukan takrifan
yang tepat.
Geometri Euclides
Geometri Euclides sering disebut juga geometri parabolik, yaitu geometri yang mengikuti satu
himpunan proposisi yang didasarkan pada lima postulat Euclid yang telah didefinisikan dalam
bukunya The Elements. Lebih khusus, geometri Euclid berbeda dari jenis geometri lain dalam
dalil kelima, sering disebut dengaan postulat paralel. Non-Euclidean geometri menggantikan
postulat kelima ini dengan salah satu dari dua alternatif postulat dan mengarah ke geometri
hiperbolik atau geometri eliptik. Ada dua jenis geometri Euclidean: geometri bidang, yang
merupakan dimensi Euclidean geometri-dua, dan geometri padat, yang merupakan dimensi
Euclidean geometri-tiga.
Lima postulat Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut :
1) Hal ini dimungkinkan untuk menggambar segmen garis lurus bergabung dengan dua titik.
2) Hal ini dimungkinkan untuk selamanya memperpanjang himpunaniap segmen garis lurus
secara terus menerus dalam garis lurus.
3) Mengingat himpunaniap segmen garis lurus, adalah mungkin untuk menggambarlingkaran
memiliki segmen sebagai jari-jari dan satu titik akhir sebagai pusatnya.
4) Semua sudut kanan sama satu sama lain atau kongruen.
5) Jika dua garis yang ditarik sehingga mereka berpotongan sepertiga sedemikian rupa sehingga
jumlah dari sudut interior pada satu sisi kurang dari dua sudut yang tepat, maka mereka dua
baris, jika diperpanjang cukup jauh, harus berpotongan satu sama lain pada sisi tertentu.
Dalil kelima dikenal sebagai postulat paralel. Paralel ini menyatakan bahwa postulat diberikan
himpunan tiap segmen garis lurus dan titik tidak bahwa segmen garis, ada satu dan hanya satu
garis lurus yang melewati titik itu dan tidak pernah memotong baris pertama, tidak peduli
seberapa jauh segmen garis yang diperpanjang. Meskipun kelima postulat Euclid tidak dapat
dibuktikan sebagai teorema, selama bertahun-tahun banyak bukti diklaim diterbitkan. Banyak
usaha yang ditujukan untuk merumuskan teorema untuk mendalilkan ini karena diperlukan untuk

4. membuktikan hasil penting dan itu tidak tampak sebagai intuitif sebagai dalil-dalil lainnya. Lebih
dari dua ribu tahun penelitian dalil kelima ditemukan untuk menjadi independen dari empat
lainnya. Ini adalah postulat kelima ini yang harus terus untuk geometri untuk dipertimbangkan
Euclidean.
Pada tahun 1826 Nikolay Lobachevsky dan pada tahun 1832 János Bolyai, dikembangkan secara
independennon-Euclidean geometri yang konsisten diri sepenuhnya di mana postulat kelima
tidak menjadi pegangan. Johann Carl Friedrich Gauss pernah menemukan ini tapi hasilnya tidak
dipublikasikan. Euclid berusaha menghindari menggunakan postulat kelima dan berhasil dalam
proposisi pertama 28 The Elements, tetapi untuk proposisi 29 ia membutuhkannya. Bagian dari
geometri yang dapat diturunkan hanya dengan menggunakan empat pertama postulat Euclid
kemudian dikenal sebagai geometri absolut. Sebagaimana dinyatakan di atas, dalil kelima dan
karenanya paralel dalil menggambarkan geometri Euclidean. Jika bagian dari postulat paralel
diganti dengan “garis tidak ada yang melewati titik” geometri maka elips atau bulat
dijelaskan.Jika bagian dari postulat paralel diganti dengan “minimal dua baris ada terjadilah
bahwa melalui titik bahwa” maka geometri hiperbolik dijelaskan.
Seperti dinyatakan di atas, dua jenis geometri Euclidean, geometri bidang dan geometri padat,
yang jelas berbeda. Geometri bidang adalah bagian dari geometri dalam ruang dua dimensi yang
berhubungan dengan gambaran dari bidang, seperti garis, lingkaran dan poligon. Geometri padat
adalah bagian dari geometri dalam ruang tiga-dimensi yang berhubungan dengan makanan padat,
seperti polyhedra, bola, dan garis dan bidang. Dalam kedua jenis kelima postulat Euclidean
geometri Euclid sesuai, tetapi masing-masing menggambarkan tokoh dalam berbagai jenis ruang.
Ruang Euclidean adalah ruang semua-tuple n bilangan real dan dilambangkan sebagai R^n.
Ruang ini adalah ruang vektor dan memiliki dimensi topologi (Lebesgue dimensi meliputi) n
(lihat topologi). Contravariant dan jumlah kovarian yang himpunanara dalam ruang Euclidean.
R^1 adalah garis yang nyata, yaitu garis dengan skala tetap yang nomor sesuai dengan poin yang
unik pada baris. Generalisasi garis nyata di-dimensi ruang dua disebut bidang Euclidean dan
dinotasikan R^2.