Geometria plană și în spațiu

1. GEOMETRIE

4. •
•
Toate corpurile din jurul nostru
au o anume formă.

6. CU FIGURI GEOMETRICE
PLANE:
pătrat
Corpurile geometrice
se aseamănă

7. DREPTUNGHI

8. TRIUNGHI

10. • RECUNOA TE IŞ Ţ
PUNCTUL IŞ
LINIA

11. RECUNO TEMPRINTREŞ
ACESTEA:
DREAPTA ESTE
NESFÂR IT , SE POATEŞ Ă
PRELUNGI LA AMBELE
CAPETE.
SEMIDREAPTA ESTE O
DREAPT M RGINIT LAĂ Ă Ă
UN CAP T.Ă
SEGMENTUL DE DREAPTĂ
ESTE LIMITAT, M RGINITĂ
LA AMBELE CAPETE, NU
POATE FI PRELUNGIT.
se denumesc simplu
drepte.

12. DUP FORMA LORDREPTELE POTĂ
FI:
LINII FRÂNTE
deschise închise

13. LINII CURBE
deschise
închise

14. DUP POZI IA LORDREPTELEĂ Ţ
POT FI:
• ORIZONTALE
• VERTICALE
• OBLICE

15. DUP POZI IA A DOU DREPTE,Ă Ţ Ă
ELE POT FI:
DREPTELE
PERPENDICULARE
SUNT FORMATE DIN
DREAPTE
ORIZONTALE IŞ
VERTICALE .

16. DREPTE PARALELE
DREPTELE CARE NU
SE ÎNTÂLNESC
NICIODAT .Ă

17. DREPTELE OARECARE
SUNT DREPTELE CARE
NU SUNT NICI
PARALELE NICI
PERPENDICULARE.

18. LINIA FRÂNT ÎNCHISĂ Ă
SE NUME TEŞ
POLIGON.
SEGMENTELE DE
DREAPT DIN CAREĂ
ESTE FORMAT UN
POLIGON SUNT
LATURILE
POLIGONULUI.

19. TIPURI DE POLIGOANE:
• TRIUNGHIUL ESTE POLIGONUL CU 3
LATURI ,
• PATRULATERUL ESTE POLIGONUL CU 4
LATURI ,
• PENTAGONUL ESTE POLIGONUL CU 5
LATURI ,
• HEXAGONUL ESTE POLIGONUL CU 6
LATURI ,
• HEPTAGONUL ESTE POLIGONUL CU 7
LATURI ,

22. SUMA LATURILORDREPTUNGHIULUI SE
NUME TEŞ PERIMETRULDREPTUNGHIULUI,
SE NOTEAZ CUĂ P
P= L + L + L + L SAU
P= 2 L + 2 L SAU P= 2•L
+ 2•L
P= 2 X( L + L )
Semiperimetrul este jumătate din perimetru, se notează cu Sp. (Sp=L+l)

23. Pătratul este figura formată din patru segmente egale
Segmentele se numesc laturi şi le notăm cu l.
Suma celor patru laturi se numeşte perimetrul
P = l + l + l + l sau
P= 4 x l

24. TEOREMA FUNDAMENTALA
A ASEMANARII
O PARALELA DUSA LA UNA DINTRE LATURILE UNUI
TRIUNGHI, FORMEAZA CU CELELALTE DOUA LATURI
(SAU CU PRELUNGIRILE LOR) UN TRIUNGHI ASEMENEA
CU CEL DAT.
A
B C
M
N
P
NP
BC
MP
AC
MN
AB
==
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

25. CRITERII DE ASEMANARE A
TRIUNGHIURILOR
CRITERIUL DE
ASEMANARE I (U.U.)
Doua triunghiuri cu doua
perechi de unghiuri
corespondente congruente
sunt asemenea.
CRITERIUL DE
ASEMANARE II (L.U.L.)
Doua triunghiuri cu doua
perechi de laturi
corespondente
proportionale si unghiurile
dintre ele congruente sunt
asemenea.
CRITERIUL DE
ASEMANARE III (L.L.L.)
Daca laturile corespondente a
doua triunghiuri sunt
proportionale, atunci cele doua
triunghiuri sunt asemenea.
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

26. TEOREMA BISECTOAREI
Intr-un triunghi, bisectoarea unui unghi, imparte latura opusa
in doua segmente proportionale cu laturile unghiului.
A
B
C
D
DC
BD
AC
AB
=
.
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

27. RAPORTUL ARIILOR
TRIUNGHIURILOR ASEMENEA
B
A
B`
A`
C
C`
Daca triunghiul ABC este asemenea cu
triunghiul A`B`C`, atunci raportul ariilor
celor doua triunghiuri este egal cu:
2
```
k
A
A
CBA
ABC
=
∆
∆
unde k (raportul de asemanare) este egal cu:
`````` CA
AC
CB
BC
BA
AB
k ===
.

28. PROIECTII ORTOGONALE PE
O DREAPTA
Proiectia ortogonala a
unui punct pe o dreapta
este piciorul
perpendicularei duse din
acel punct pe dreapta
data.
d
A (punctul dat)
A` (proiectia punctului)
dAA ⊥`
Proiectia ortogonala a unui segment de
dreapta [AB] pe o dreapta este
segmentul [A`B`], unde punctele A` si
B` sunt proiectiile punctelor A si B pe
dreapta data.
A
B
A`
B`
d
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

29. PROPRIETATILE PROIECTIILOR
ORTOGONALE PE O DREAPTA
1. Daca AB este paralela cu dreapta d, atunci proiectia ortogonala a lui [AB] pe
dreapta d este un segment [MN] congruent cu [AB] .
2. Daca AB nu este paralela cu dreapta d, atunci proiectia ortogonala a lui [AB]
pe dreapta d este un segment [MN] mai mic decat segmentul [AB] .
A B
M N
A
B
M
N
3. Daca punctul P este
mijlocul segmentului [AB]
atuci si proiectia acestui
punct pe dreapta d,
punctul Q este mijlocul
segmentului [MN]
P
Q
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

30. TEOREMA INALTIMII
Intr-un triunghi dreptunghic, lungimea inaltimii din varful unghiului
drept este media geometrica a lungimilor proiectiilor ortogonale ale catetelor
pe ipotenuza.
Sau : Intr-un triunghi dreptunghi patratul lungimii inaltimii duse din varful
unghiului drept este egal cu produsul dintre lungimile proiectiilor catetelor pe
ipotenuza.
A
B
CD
DCBDAD ⋅=
DCBDAD ⋅=2
APLICATIE:
Daca BD=3cm si DC=12cm
Atunci:
cm
DCBDAD
636123 ==⋅=
=⋅=
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

31. TEOREMA CATETEI
Intr-un triunghi dreptunghic,
lungimea unei catete este media
geometrica a lungimii ipotenuzei
si a lungimii proiectiei ei
ortogonale pe ipotenuza.
Intr-un triunghi dreptunghic
patratul lungimii unei catete este
egal cu produsul dintre lungimea
ipotenuzei si lungimea proiectiei
catetei pe ipotenuza.
SAU
A
B
C
D
;BDBCAB ⋅= BDBCAB ⋅=2
La fel se aplica teorema catetei pentru AC!
Aplicatie: Daca BD = 6cm si BC = 18cm
.36
108618
cm
BDBCAB
=
==⋅=
=⋅=
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

32. TEOREMA LUI PITAGORA
Intr-un triunghi dreptunghic, suma
patratelor lungimilor catetelor este
egala cu patratul lungimii
ipotenuzei.
A
B C
222
ACABBC +=
Problema 1.
Problema 2.
In triunghiul dreptunghic ABC, AB =
4cm si AC = 8cm. Aflati lungimea
ipotenuzei BC.
Rezolvare:
.5480
.80641684 22
222
cmBC
ACABBC
==
=+=+=
=+=
In triunghiul dreptunghic ABC, AB =
6cm si BC = 12cm. Aflati lungimea
catetei AC.Rezolvare:
.36108
.10836144612 22222
cmAC
ABBCAC
==
=−=−=−=
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

33. FUNCTII TRIGONOMETRICE
1. Sinusul masurii unui unghi ascutit al unui
triunghi dreptunghic este raportul dintre lungimea
catetei opuse acestui unghi si lungimea ipotenuzei.
2.Cosinusul masurii unui unghi ascutit al unui
triunghi dreptunghic este raportul dintre lungimea
catetei alaturate acestui unghi si lungimea
ipotenuzei.
3. Tangenta masurii unui unghi ascutit al unui
triunghi dreptunghic este raportul dintre
lungimea catetei opuse acestui unghi si lungimea
catetei alaturate acestui unghi.
4. Cotangenta masurii unui unghi ascutit al unui
triunghi dreptunghic este raportul dintre
lungimea catetei alaturate acestui unghi si
lungimea catetei opuse acestui unghi.
AB
C
BC
AC
B =sin
BC
AB
B =cos
AB
AC
tgB =
AC
AB
ctgB =
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

34. INTOCMIREA TABELULUI CU VALORI PENTRU: sin,
cos, tg, ctg.
300
600
1
2
3
450
450
1
1 2
Pentru a intocmi tabelul de valori a
functiilor trigonometrice,
construim doua triunghiuri
dreptunghice, unul cu un unghi de
300
si celalalt de 450
.
300
450
600
sin 1/2 √2/2 √3/2
cos √3/2 √2/2 1/2
tg √3/3 1 √3
ctg √3 1 √3/3
Se aplica teorema lui
Pitagora si se afla
lungimile laturilor, in
prealabil stabilim o cateta
de lungime 1.
Aplicam relatiile din
lectia precedenta si
aflam valorile functiilor
trigonometrice pentru
diferite valori (300
, 450
,
600
)
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

35. ARIA UNUI TRIUNGHI
C
A
B
D
h
b
1. Daca se cunoaste lungimea unei
laturi (baza) si inaltimea , h,
corespunzatoare lui b, atunci:
2
hb
A
⋅
=
a
α
2. Daca se cunosc
lungimile a doua laturi
(a si b) si masura
unghiului cuprins intre
ele, atunci: 2
sinα⋅⋅
=
ba
A
c
3. Daca se cunosc lungimile celor trei
laturi, a, b si c, atunci:
))()(( cpbpappA −−−=
Unde p este semiperimetrul triunghiului.
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

36. ARIA UNUI PARALELOGRAM
A B
CD
bE
h
1. Daca se cunoste
lungimea unei laturi, b, si
inaltimea, h, pe aceasta,
atunci:
A =
b⋅h
a
α
2. Daca se cunosc lungimile a doua
laturi consecutive si masura unghiului
cuprins intre ele, atunci:
A =
a⋅b⋅sinα
d1d2
β
3. Daca se cunosc lungimile
diagonalelor, d1 si d2, si
masura unghiului cuprins
intre ele, β, atunci:
2
sin21 β⋅⋅
=
dd
A
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

37. ARIA DREPTUNGHIULUI
A B
CD
O
L
l
1. Daca se cunosc
dimensiunile dreptunghiului,
lungimea si latimea, atunci:
A = L ⋅ ld
β
2. Daca se cunoste lungimea diagonalei si masura unghiului
cuprins intre diagonale, atunci:
2
sin2
β⋅
=
d
A
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

38. ARIA PATRATULUI
A B
C
D
l
1. Daca se cunoaste lungimea
laturii patratului, atunci:
A = l2
2. Daca se cunoste lungimea
diagonalei , atunci:d
2
2
d
A =
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

39. ARIA ROMBULUI
A
B
C
D
l
h
d2
1. Daca se cunoaste lungimea unei laturi si
lungimea inaltimii pe o latura, atunci:
A = l ⋅ hd1
α
2. Daca se cunosc lungimile celor doua
diagonale, atunci:
2
21 dd
A
⋅
=
3. Daca se cunoaste lungimea laturii si masura
unghiului cuprins intre doua laturi, atunci:
A = l2
⋅ sinα .Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

40. ARIA TRAPEZULUI
B
b
h
1. Daca se cunoaste lungimea bazei mari,
lungimea bazei mici si a inaltimii, atunci:
2
)( hbB
A
⋅+
=
βd1
d2
2
sin21 β⋅⋅
=
dd
A
2. Daca se cunosc
lungimile diagonalelor
si masura unghiului
cuprins intre ele,
atunci:
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

41. CERCUL. DEFINITIE. ELEMENTE
Definitie. Fie O un punct intr-un plan si r un
numar pozitiv. Cercul cu centrul O si raza r, notat
C(O;r), este multimea tuturor punctelor din plan
care se afla la distanta r de punctul O.
Cercul reunit cu interiorul lui se numeste disc.
interior
exterior
O
r
Raza cercului
Diametrul cercului
Centrul cercului
Coarda
Unghi inscris in cerc cu
varful in centrul cercului
Arc de cerc
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

42. Cercurile cu razele egale sunt congruente.
In acelasi cerc sau in cercuri congruente,
daca doua coarde sunt congruente, atunci
arcele corespunzatoare sunt congruente.
In acelasi cerc sau in cercuri congruente,
daca doua arce sunt congruente, atunci
coardele corespunzatoare sunt congruente.
In acelasi cerc sau in cercuri congruente,
orice doua coarde congruente sunt egal
departate de centru.
Perpendiculara prin centrul unui cerc pe o
coarda a lui imparte aceasta coarda si arcele
corespunzatoare in parti congruente.
A B
C
D
O
M
N
Daca [AB] ≡ [CD] ⇒ arcul AB ≡ arcul CD (reciproca este adevarata)
Daca [AB] ≡ [CD] ⇒ [OM] ≡ [ON], unde OM ⊥ AB si ON ⊥ CD.
Daca OM ⊥ AB ⇒ [AM] ≡ [MB]
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

43. Cercul care contine cele trei varfuri ale unui
triunghi se numeste cercul circumscris
triunghiului.
O
A
B
C
Mediatoarea unui segment de dreapta
este dreapta perpendiculara pe
segment in mijlocul acestuia.
Centrul cercului circumscris unui
triunghi se afla in intersectia
mediatoarelor triunghiului.
Centrul cercului circumscris unui triunghi
se afla egal departat de varfurile acestuia.
R
R
A
abc
R
4
=
Unde:
a,b,c sunt lungimile laturilor
triunghiului;
A = aria triunghiului.
R
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

44. POZIŢIILE RELATIVE A UNEI
DREPTE FAŢĂ DE UN CERC
a
b
c
d O
A
B
M
P
Q
a – este dreapta exterioara cercului;
b; c – drepte tangente la cerc;
d – dreapta secanta la cerc;
PROPRIETĂŢI:
1. [AM] ≡ [BM]
2. OA ⊥ MA
DEFINITII:
O dreapta care intersecteaza cercul in doua puncte se
numeste secanta a cercului.
O dreapta care intersecteaza cercul intr-un singur punct se
numeste tangenta la cerc.
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

45. POZIŢIILE RELATIVE A DOUĂ CERCURI
O
O
O
O
O
O
O`
O`
O`
O`
O`
CERCURI EXTERIOARE
OO` > r + r`
CERCURI TANGENTE
EXTERIOARE
OO` = r + r`
CERCURI SECANTE
r – r` < OO` < r + r`
CERCURI
TANGENTE
INTERIOARE
OO` = r – r`
CERCURI
INTERIOARE
OO` < r–
r`
CERCURI
CONCENTRICE
Au
acelasi
centru
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

46. UNGHIURI INSCRISE IN CERC
A
B
O
m(<AOB) = masura arcului AB
M
m(<AMB) = (masura arcului AB) : 2
P
C
D
m(<CPD) = (masura arcului CM – masura arcului AB) : 2
E
W
m(<CWE) = (masra arcului AB + masura arcului CE) : 2
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

47. TRIUNGHI CIRCUMSCRIS
UNUI CERC
A
B C
O
D
E
Centrul cercului inscris
intr-un triunghi se afla in
intersectia bisectoarelor.
OD ⊥ BC; OE ⊥ AB.
[OE] = [OD] = raza cercului.
A∆ABC = p⋅r
Unde: p = semiperimetru triunghiului ABC;
r = raza cercului inscris. .Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

48. PATRULATER INSCRIS INTR-UN CERC
A
B
C
D Patrulaterul cu
varfurile pe un cerc se
numeste patrulater
inscris in cerc.
Unghiurile opuse la un
patrulater inscris in cerc
sunt complementare.
Intr-un patrulater inscris in
cerc, diagonalele formeaza cu
laturile opuse perechi de
unghiuri congruente.
<DBC ≡ <CAD;
<CDB ≡ <CAB
si altele.
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

49. LUNGIMEA SI ARIA CERCULUI
O
A
R
LUNGIMEA CERCULUI:
L = 2πR
ARIA DISCULUI (CERCULUI):
A = πR2
B
LUNGIMEA ARCULUI DE CERC AB:
α
0
180
απR
LAB =
ARIA SECTORULUI DE CERC
CUPRINS INTRE OA SI OB:
0
2
360
απR
Asc =
.Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

50. POLIGON REGULAT. ELEMENTE GEOMETRICE
OA
B
C
D
R
Ra
M un
Un poligon este regulat daca este convex,
are toate laturile congruente si toate
unghiurile congruente.
Distanta de la centrul unui poligon regulat
la oricare din laturile sale se numeste
apotema poligonului.
Daca l este lungimea laturii, n = numarul
de laturi, atunci:
Perimetrul, P = n⋅l
2
Pa
An
⋅
=
n
n
un
180)2( ⋅−
=
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

51. TRIUNGHIUL ECHILATERAL
A
B
C
D
h3
l
AD ⊥ BC;
2
3
3
l
h =
O
R
3
3l
R =
a3
6
3
3
l
a =
4
32
3
l
A =
.
P = 3⋅l
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

52. PATRATUL
A
B
CD
O
R
2
2
lR
sau
d
R
=
=
E
a4
2
4
l
a =
A4 = l2
2ld = P = 4⋅l
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

53. HEXAGONUL REGULAT
A B
C
D
E
F
O
l
R
R = l
M
a6
2
3
6
l
a =
2
33 2
6
l
A =
d = 2l P = 6⋅l
Tit Cuprian – Sarichioi - 2007

54. 54
Cubul este un corp
geometric cu:
-6 fe eț
-12 muchii egale
-8 vârfuri
-toate fe ele sunt pătrateț

55. 55

56. CLĂDIRI ÎN FORMĂ DE CUB
56

57. • ESTE UN CORP GEOMETRIC CU:
3 DIMENSIUNI - LUNGIMEA
- LĂTIMEA
- ÎNĂL IMEAȚ
6 FE EȚ
8 VÂRFURI
12 MUCHII
TOATE FE ELE DREPTUNGHIURIȚ 57

58. 58
Este unic deoarece peretii
complexului, care seamana cu un
mozaic, primesc energia solara care este
folosita la incalzirea apei din bazin, iar
in zilele calduroase apara de
temperaturile ridicate.

59. WORLD TRADE CENTER
59

60. 60
Este un corp geometric care are ca
elemente:
-o bază (un poligon)
-minim 3 fe e laterale (triunghiuri )ț
-1 vârf

61. • MAREA PIRAMIDA DE LA GIZA
• PIRAMIDA LUI CHEPHREN
61

62. PIRAMIDELE
MAYASE CHICHEN
ITZA DIN MEXIC LONDRA-LUVRUL
62

63. 63
-Are ca bază un cerc

64. AQUADOM BERLIN
64

65. • COLOSSEUM-UL, ITALIA
65

66. • BAZA ESTE TOT UN CERC
• ARE UN VARF
66

67. • CASE DIN ORASUL
VECHI ALBEROBELLO
ITALIA CU ACOPERI EȘ
ÎN FORMĂ DE CON.
67

68. SFERA DE RAZĂ R
68