educatie

1. Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare
BACALAUREAT 2010 - barem de corectare şi de notare Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică.
Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.
1
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2010
Proba E c)
Probă scrisă la MATEMATICĂ Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică.
Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.
BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE
♦ Pentru orice soluŃie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
♦ Nu se acordă fracŃiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parŃiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
♦ Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărŃirea punctajului obŃinut la 10.
SUBIECTUL I 30 de puncte
1. 3 3
2 6 48=
3 3
3 3 81=
3
2 6 < 3
3 3
2p
2p
1p
2. [ )0, Im 0,≥ ∀ ∈ ⇒ ⊂ +∞ℝx x f
0≥ ⇒x ( ) [ )0, Im= ⇒ +∞ ⊂x f x f
Imf = [ )0,+∞
2p
2p
1p
3. 2
1 4m∆ = −
EcuaŃia are două soluŃii egale 0⇔ ∆ =
1
0
2
m∆ = ⇔ = ±
2p
1p
2p
4.
4 4
1 41 12 2
k
k k k
k kT C C+ += =
1+ ∈ ⇔ℚkT 4 divide k
Sunt 11 termeni raŃionali
2p
1p
2p
5. AB CDm m=
1
2
ABm = − şi
3
3
CD
a
m
+
=
Finalizare:
9
2
a = −
1p
2p
2p
6. 3 3
sin cos 1,+ = ∈x x x A , numai pentru 0;
2
x
π 
∈ 
 
2
5
P =
3p
2p
SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte
1.a)
2
0 0 1
0 0
0 0
A a
a
 
 =
 
 
3
3A aI=
( )
670
2010 3 670
3= =A A a I
1p
2p
2p

2. Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare
BACALAUREAT 2010 - barem de corectare şi de notare Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică.
Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.
2
b)
2 3
1
1 1
1
 
 
= + + =  
 
 
a
B A A A a a
a a a
( ) ( )2
1det 1= −B a a
( )1det 0 0= ⇔ =B a sau 1a =
2p
2p
1p
c) 1
1
−
= n
nB A B
nB inversabilă ( )det 0⇔ ≠nB
( )2
det 1= −n
nB a a
{ } 0; 1a∈ℝ
1p
1p
2p
1p
2.a) 3 3 3
2 6
2 2 2
  
∗ = − − + + −  
  
x y x y m
Dacă 6=m , atunci oricare ar fi , ∈x y M rezultă că
3
2
∗ ≠x y , adică ∗ ∈x y M
Dacă 6≠m , atunci
2 3 3
0
6 2
−
∗ =
m
Cum
2 3
0,
6
−
∈
m
M rezultă
2 3
0
6
−
∗ ∉
m
M , deci 6m =
1p
2p
1p
1p
b) Asociativitatea
Justificarea faptului că elementul neutru este 2
Justificarea faptului că pentru x M∈ , există
3 4
'
2 3
x
x M
x
−
= ∈
−
astfel încât ' ' 2x x x x∗ = ∗ =
1p
2p
2p
c) Verificarea relaŃiei ( ) ( ) ( )f x y f x f y∗ = ⋅ , ,x y M∀ ∈
Justificarea faptului că f este bijectivă
3p
2p
SUBIECTUL al III-lea 30 de puncte
1.a)
( )
( ) ( )2 23 3
2 2 1
' ,
23 2 1 3 2 1
f x x
x x
= − ≠ ±
− +
( )0 2f = − şi ( )' 0 0f =
2 0y + =
2p
2p
1p
b) ( )lim 0
x
f x
→+∞
=
0y = asimptotă orizontală spre +∞
3p
2p
c) ( ) ( ) ( ) 3
1 2 ... 1 2 1f f f n n+ + + = − +
3
3 3
2
2 1 2 1
3
1
lim 1
2 1
n
n n
n n
− + − +
→∞
 
  − =  +   
3
3
2
lim
2 1n
n
n
e
→∞
 
 −
 + = =
1 1
e
e
−
= =
2p
1p
1p
1p
2.a) 1 3 2
1 2 3 2
0 1
x x x
I I I dx
x x
+ +
+ + = =
+ +
∫ 2p

3. Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare
BACALAUREAT 2010 - barem de corectare şi de notare Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică.
Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.
3
1
0
1
2
xdx= =∫ 3p
b) 1
0 1 n n
x x x +
≤ ≤ ⇒ ≥
2
1 0,x x x+ + > ∀ ∈ℝ
[ ]
1
2 2
, 0,1
1 1
n n
x x
x
x x x x
+
≥ ∀ ∈
+ + + +
1,n nI I n ∗
+⇒ ≥ ∀ ∈ℕ , adică şirul este descrescător
1p
2p
2p
c)
2
1 1, 0x x x+ + ≥ ∀ ≥ [ ]2
0 , 0,1
1
n
nx
x x
x x
⇒ ≤ ≤ ∀ ∈ ⇒
+ +
2p
1
0
1
0
1
n
nI x dx
n
⇒ ≤ ≤ =
+∫ 2p
lim 0n
n
I
→∞
= 1p