Barem Culegere evaluare nationala 2012

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro
Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 1 Prof Andone Elena
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 02012=0, 20120=1,mai mic este numărul 0 5p

ro
2. Resturile ce se pot obţine la împărţirea cu 6 sunt 0, 1, 2, 3, 4,5.Suma lor este 5p
15

75
Amplificăm raportul cu 25 şi se obţine 100 , ceea ce înseamnă 75%

o.
3. 5p

4. 900- 39045’=50015’ 5p

5. V cub =l3=125, l=5, d=5 3

nf 5p

6.
ei
Dacă notăm cu x numărul total de persoane ce participă la sondaj, atunci 5p

10
=
228 ⋅ x , x=2280; 25% din 2280 înseamnă 570 de persoane ce răspund
at
100
cu „Nu”
.m

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

1. Patrulaterul ortodiagonal este patrulaterul ce are diagonalele perpendiculare 5p
w

2. 42-13=29 cărţi se găsesc pe raftul al doilea, 29+5=34 cărţi pe raftul al treilea, 2p
42+29+34=105 cărţi în total 3p
w

3. Notăm cu „a” numărul răspunsurilor corecte şi cu „b” numărul răspunsurilor 2p
greşite.Din textul problemei rezultă relaţiile: a+b=30 şi 5a-3b=110.
w

Inmulţind prima relaţie cu 3 şi adunând-o cu a doua, se obţine a=25 3p
răspunsuri corecte

4. a) f(x) = 3x-3. Se aleg de exemplu punctele de intersecţie cu axele de 2p
coordonate A(0, -3) şi B(1,0)
3p
şi se reprezintă într-un sistem de axe, dreapta AB

b) Pentru a determina punctul de coordonate egale, situat pe graficul funcţiei, 2p
3 3 3
rezolvăm ecuaţia f(x) =x; se obţine x = deci punctul va fi M( , )
2 2 2 3p

1

Modele de subiecte

5 x 2 + 11x + 30 x 2 + 6 x + 5 x + 11 2p
= =
x 2 + 12 x + 35 x 2 + 7 x + 5 x + 35
3p
( x + 6)( x + 5) x+6
= , (∀) x ∈  − {−7}
( x + 7)( x + 5) x+7

SUBIECTUL III (30 de
puncte)

ro
V cutie = 48∙ 24 ∙ 1 = 1152cm3
1. a) l=240 mm=24 cm; h=0,1 dm =1 cm; 3p

o.
2p

b) O duzină are 12 cutii de chibrite;

V cub =12∙V cutie =22∙ 3 ∙ 24∙ 3 ∙ 3 ∙ 23=29∙ 33= (23∙ 3 )3→ latura cubului va fi
2p

egală cu23∙ 3 =24 cm

nf
P P P 3p
P
ei
c) Aria totală a unei duzini este 6l2=6∙242=3456 cm2 2p

Dacă pentru ambalarea unei duzini sunt necesari 3456 cm2 hărtie atunci 3p
pentru 125 duzini vor fi necesari 125∙3456 cm2=432000cm2=43,20 m2
at
2. a) 21+15+9+9+11+5=70 stâlpi 5p
.m

b) A ABEF =372 m2, A BCDE =432 m2,A totală =804 m2; 2p
p
⋅ 804= 432 → p= 53, 73
100 3p
w

c) BE= 6 13 ≅ 6 ⋅ 3,5 =21m, 2p

3p
w

BE=28 ⋅10−4 ⋅t , t=15000s
w

2

Modele de subiecte

Varianta 2 Prof. Andone Elena
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. -2 5p

ro
2. Fals;dacă ultima cifră a unui număr este 2, acesta nu poate fi pătrat perfect 5p

3. (68, 88)=4 5p

o.
4. P=4l=36, l=9 5p

nf
5. l 3 2 27 2 9 2 5p
V= = =
12 12 4

Din cele 100 pătrăţele ale figurii sunt colorate 52; p%100=52; p=52
6.
ei 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

1. Se desenează un cub cu muchia de 4 cm 5p
.m

2. Notăm cu „m” preţul unei mese şi cu „s” preţul unui scaun. 2p

3m+12s=576; m=4s; s=24 lei, m=96 lei 3p
w

3. 7a+5b+3c= 2p

(a+b+3c)+(3a+2b)=108+132=240 3p
w

4. a) f(2)=1→a+b+2=1→a+b=-1 1p
w

2p
g(2)=1→3b-a=1. Se rezolvă sistemul format din cele două ecuaţii şi se obţine
a=-1 şi b=0→f(x)=-x+3 şi g(x)=1 2p

b) Se obţine după reprezentarea într-un acelaşi sistem de axe, un trapez 2p
5
dreptunghic cu bazele 2 şi 3 , înălţimea 1→A =
2 3p

3

Modele de subiecte

5 (a + 3) 2 − (a − 3) 2 2p
=
(2a + 3) 2 + (2a − 3) 2
(a + 3 − a + 3)(a + 3 + a − 3) 6 ⋅ 2a 6a
= =
4a + 12a + 9 + 4a − 12a + 9 8a + 18 4a 2 + 9
2 2 2
3p

puncte)

a) A t = 2∙ (𝐿𝐿 ∙ 𝑙𝑙 + 𝐿𝐿 ∙ ℎ + 𝑙𝑙 ∙ ℎ)=35100 cm2

ro
1. 5p

b) V=𝐿𝐿 ∙ 𝑙𝑙 ∙ ℎ =450 dm3=450 l

o.
5p

c) preţ total= 6 ∙ 3,51 ∙ 25 = 526,5 𝑙𝑙 𝑙𝑙 𝑙𝑙 5p

2.

nf
a) 72=(x+7)(x+1)→x=5→ AB=12 cm şi AD=6 cm

b) A ABC = A ABCD =36, EC mediană în triunghiul ABC→A AEC=18
5p

1
ei 5p
2

c) DF este bisecroarea unghiului ADC; aplicănd teorema bisectoarei în
at
5p
AF AD AF 1
triunghiul ADC→ = → = , AC = 6 5 → AF = 2 5
CF DC FC 2
.m
w
w
w

4

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. -24+4= -20 5p

ro
2. 123, 153, 183 5p

3 {0,1,2,3,4} 5p

o.
4. m(B) = 0 − 240 ) : 2 = 0
(180 78 5p

nf
5. b=6, B=20, linia mijlocie va fi egală cu 13 5p

6. 32 8 5p
=P =
100 25
ei
SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

1. Se va desena un paralelipiped dreptunghic respectând dimensiunile date 5p
.m

2. 1 5 5p
f(x) =ax+b, f(1) =2, f(-2) =1→a+b=2 şi -2a+b=1→ a = şi b =
3 3
w

3. x 2 7x 14 5p
Dacă = , atunci x =2k,y=3k→ =
y 3 7 x + y 17
w

4. a) 107: 3=35 rest 2, 107:4=16 rest 3, deci în sac pot fi 107 jucării 5p

b) x=3c 1 +2, x=4c 2 +3, x+1=12k, 300<12k-1<350, x+1∈{312,324,336,348} 5p
w

x∈{311, 323, 335,347}

5 9 x 2 + 12 x + 4 4 x − 5 (3 x + 2) 2 4x − 5 3x + 2 5p
⋅ = ⋅ =
16 x − 25 9 x + 6 (4 x − 5)(4 x + 5) 3(3 x + 2) 4 x + 5
2

puncte)

1. a) d2=L2+l2+h2→h=30 cm 5p

5

Modele de subiecte

b) CS ⊥ ( ESU ), SD ⊥ EU ; EU , ES ⊂ ( ESU ) → 5p

CD ⊥ EU (teorema celor trei perpendiculare); EU=50 cm, SD=24 cm, CD=
2 481

c) V apă =50∙ 40 ∙h apă , h apă =7,5 cm 5p

ro
2. a) ABCD trapez isoscel ortodiagonal→h=(b+B):2→CD=20 m 5p

o.
A ABCD =10000 m2=100 ari

b) A BMC =4000 m2=40% A ABCD 5p

c) P AMCD =220 +60 5 m

nf 5p
ei
(220 +60 5 ) ⋅ 12,5 ≅ 4427 lei
at
.m
w
w
w

6

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. x= -9 5p

ro
2. 5 zile 5p

3. 160 lei 5p

o.
4. 4 cm 5p

nf
5. 600 5p

6. 6 elevi 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Se va desena o prismă hexagonală regulată ce va fi notată 5p
ABCDEFA’B’C’D’E’F’
.m

2. Prin cardinalul unei mulţimi înţelegem numărul de elemente al acelei 1p
mulţimi.

1 4
Numerele raţionale din mulţimea A sunt -12; 3; 2,94; 0; şi .
w

2 2 3

Cardinalul mulţimii A ∩  este 6. 1
w

3. Dacă fiecare elev ar cunoaşte o singură limbă străină, atunci în clasă ar fi 35 2p
de elevi.
w

3p
Diferenţa 35-25=10 reprezintă numărul elevilor ce cunosc ambele limbi

4. a) A(1,4) ∈ G f ⇔ f(1) =4, B(-2,2) ∈ G f ⇔ f(-2) =2, 1p

după înlocuire se obţin relaţiile a+b=-4, -2a+b=2 2p

se rezolvă sistemul format din cele două ecuaţii→a=-2, b=-2 2p

b) Se reprezintă într-un sistem de axe, de exemplu, punctele A(1,4) şi B(-2,2). 4p

7

Modele de subiecte

Dreapta AB reprezintă graficul funcţiei 1p

5 x2 + 6x + 5 x2 + x + 5x + 5 ( x + 5)( x + 1) x + 1 5p
= 2 = =
x + 2 x − 15 x + 5 x − 3 x − 15 ( x + 5)( x − 3) x − 3
2


ro
puncte)

1. a) CDAM este un trapez dreptunghic cu bazele AM=x, CD=9m şi înălţimea 2p
AD=8m.

o.
( B + b) ⋅ h
Aria unui trapez se calculează cu formula A=
2 1

nf
Înlocuind se obţine A DAMC = 4x+ 36 2

b⋅h 1p
ei
b) Aria triunghiului MBC poate fi calculată cu formula ,
2

înălţimea din C a triunghiului coincide cu înălţimea trapezului, deci are
at
lungimea 8 m şi baza este MB=15-x 2p

înlocuind se obţine A MBC = 4(15-x) 2p
.m

c) Fie MN ⊥ CD; CN=9-x=9-3=6m, MN=AD=8m 3p

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul MNC se obţine CM= 10 2p
w

2. a) A l =2(Lh+lh)=1600 m2 5p

b) Suprafaţa vopsită este egală cu 2A l =3200 m2
w

2p

3200 ⋅ 0,025=80 kg 3p
w

c) 80 ⋅ 40=3200 lei ar costa vopseaua necesară 2p

20% din 3200=640 lei reducere

2p
3200-640=2560 lei a costat vopseaua
1p

8

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 17 5p

ro
2. 24 5p

3. 7 5p

o.
11

4. 1420 5p

5. 27 cm3

nf 5p

6. -30
ei 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

1. Se desenează tetraedrul CORP 5p
.m

2. Numărul fetelor este 2 ⋅ 9=18 fete 2p

Numărul eelevilor este 9+18=27 elevi 3p
w

3. 7 5p
n= 63 − 7 3 + 147 − 2 7 − = 3 7 −7 3 +7 3 −2 7 − 7 = 0
7
w

4. x 3 2p
− 2 x =−6 − ⇒
2 4
w

3x 27 2p
a) − = ⇒ −
2 4 1p
x = 4,5

x y y 1p
= ⇒x=
2 4 2
x+ y 1p
b) = 12 ⇒ x + y = 24
2 2p
y
+ y = 24 ⇒ y = 16, x = 8
2 1p

9

Modele de subiecte

=
z xy= 16 ⋅ 8 8 2
=

5 (x+3)3- 25(x+3)= (x+3)(x+3-5)(x+3+5)= (x+3)(x-2)(x+8) 5p

puncte)

ro
1. a) A-B-C-D-E-F 22 km 5p

d 2p
b) d=v ⋅ t ⇒ t=
v

o.
1 1
distanţa AC=11 Km ⇒ t= h= ⋅ 60=10 minute 1p
6 6

nf
1p
1 1
distanţa CE=7 km ⇒ t= h= ⋅ 60=5 minute
12 12
ei
distanţa AE va fi parcursă în 15 minute 1p
at
c) 12800:500=25,6 4p

deci sunt necesare 26 de drumuri 1p
.m

2. a) A t =6l2=216 dm2=2,16 2p

216 dm2=2,16 m2 2p
w

deci sunt suficinţi 3 m2 1p
w

b) 2,16m2 ⋅ 3= 6,48 lei 5p

c) V=216 cm3=0,216 dm3<1 dm3 Deci nu încape 1l de suc. 5p
w

10

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 8 5p

ro
2. 2 5p
−
9

o.
3. -2,-1,0,1,2,3 5p

4. x2
x +1
nf 5p
ei
5. 36 2 5p
at
6. 3 feţe laterale şi două baze 5p

SUBIECTUL II (30 de
.m

puncte)

1. desen 5p
w

2. a+b=15, 1p

a=4b, 1p
w

Se rezolvă sistemul format din cele două ecuaţi ⇒ a=12, b=3 3p

3. 1− 3 = 3 −1 1p
w

1+ 3 = 3
1+ 1p

1 − 3 + 1 + 3= 3 − 1 + 1 + 3= 2 3 2p

1p
Rezultatul este număr iraţional

4. a)preţul după prima scumpire este de 300+20%300= 360 lei; 2p

preţul după a doua scumpire este de 360+ 10%360=396 lei 3p

11

Modele de subiecte

b) 300+30%300=390 lei 5p

5 256= (a-b)2=a2+b2-2ab; 2p

256=706-2ab 1p

2ab=450 1p

ro
ab=225 1p


o.
puncte)

1. a) ADCE=paralelogram; AD ⊥ DE, AD  CE ⇒ CE ⊥ DE ⇒  DCE 3p

nf
dreptunghic ⇒ DE= 5 3

tg (  DAB)= 3 ⇒ m(∢DAB)=600 2p
ei
b) EC=EB=5 cm, 2p

m(∢CBE) =600,deci triunghiul BEC este echilateral
at
3p

125 3 2p
c) Aria trapezului ABCD este cm2
.m

4

125 3 2p
Aria colii de hârtie este de 600 cm2>
4
w

1p
Deci poate fi decupat

a) V=L ⋅ l ⋅ h:2=4950 cm3
w

2. 5p

b) V 1 =22 ⋅ 15 ⋅ 20=6600 cm3 3p
w

V piatră =6600-4950=1650 cm3 2p

c) A sticla =A t -A b = 2550 cm2 5p

12

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 7,(3) 5p

ro
2. 12 5p

3. 92,5g 5p

o.
4. 300 5p

nf
5. 9 3 5p

6. 6,65 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Inecuaţia este echivalentă cu 6x+2-10<4x+1 ⇒ 6x-4x<1+10-2 ⇒ 2x<9 4p

x este număr natural ⇒ x ∈ {0,1,2,3,4} 1
.m

2. Fie a preţul unui kg de banane şi b preţul unui kg de portocale 1p

14a+8b=86 1p
w

22a+24b=158 1p
w

Rezolvând sistemul format din cele două ecuaţii obţinem că 1 kg de banane 1p
costa 5 lei, un kg de portocale 2 lei,
1p
deci, 3kg banane şi 1 kg de portocale costă 17 lei
w

3. Raţionalizăm fiecare din termenii sumei cu expresiile conjugate 4p

Se obţine 121 − 1 =10 1p

4. a)2 x+1 ∈ { ± 1, ± 2, ± 3, ± 6} ⇒ 2x ∈ {-2,-3,-4,-7,0,1,2,5} ⇒ x ∈ {-1,-2,0,1} 2p
⇒ A={0,1}
2p
ecuaţia (2x+ 3 )(2-x 3 )=1 are soluţia x=1
1p

13

Modele de subiecte

A ∩ B={1}

b) -2 5p

5 (x+1)2+(y+3)2=0 3p

x= -1, y= - 3 2p

ro
puncte)

o.
1. a) A DMN = A ABCD – A DCM - A ADN –A MNB = 2p

=600-150-10(30-x)-5x= 150+5x 3p

b)150+5x=200 ⇒ 5x=50 ⇒ x=10

nf
aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ADN şi obţinem
2p

DN = 20 2
ei 3P

c) Se verifică cu reciproca teoremei lui Pitagora ca triunghiul DMN este un 5p
at
triunghi dreptunghic în N

2. a) V=L ⋅ l ⋅ h=240000 cm3 5p
.m

b) Dreptele D’B şi AD sunt necoplanare, AD  BC, D’B ∩ BC={B} ⇒ unghiul 2p
dintre cele două drepte este unghiul D’BC.
2p
√5
w

Triunghiul D’BC este dreptunghic în C; D’B=50 5
cos D’BC= 5 ⋅ 1p
w

c)A t =2(l ⋅ L+L ⋅ h+l ⋅ h)= 1p

= 23600 cm2 4p
w

14

Modele de subiecte

Varianta8 Prof. Andrei Lenuţa
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 102 5p

2. 0 5p

ro
3. 770 5p

4. 25 5p

o.
5. 13 5p

nf
6. 30 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)
ei
1. Desenează tetraedrul regulat 4p
Notează tetraedrul regulat MNPQ 1p
at
2. 10a-16b=a-b+9a-15b 2p
=17+3(3a-5b) 2p
=17+3·23=86 1p
.m

3. Notăm cu x numărul de probleme rezolvate în prima zi de Andrei ⇒ 2p
x+x+5+x+10+x+15= 110
4x+30=110 ⇒ 4x = 80 ⇒ x = 20 (probleme a rezolvat Andrei în prima zi) 2p
In nicio zi numarul problemelor rezolvate nu este prim. 1p
w

4. a) f ( 0 ) = ⋅ 0 − 3 =−3 ⇒ A ( 0, −3)
3 1p
1p
f (1) = 3 ⋅1 − 3 = 0 ⇒ B (1, 0 )
w

Reprezentarea celor două puncte sau alte două puncte de pe grafic corect în 2p
sistemul de axe xOy
Trasarea graficului funcţiei f 1p
w

b) A ( x, y ) ∈ G f ⇔ f ( x ) =
y 1p
x = y ⇒ f ( x ) = y ⇒ 3x − 3 = x 2p
3 3 3
2x = 3 ⇒ x = ⇒ A ,  2p
2 2 2

5 1  1
2

x + 2 = x +  − 2
2
3p
x  x
1
x 2 + 2 =7 2 − 2 =47 2p
x

15

Modele de subiecte

puncte)

1. DM ⊥ AB, M ∈ ( AB ) 

2p
a)  ⇒ AM =NB = m 10
CN ⊥ AB, N ∈ ( AB ) 

În ∆ADM m ( M ) = 900 şi m ( A ) = 450 ⇒ ∆ADM dreptunghic şi
1p
isoscel ⇒ AM = MD = 10 m

ro
= = 900m 2
AABCD
( AB + CD ) ⋅ DM 2p
2

AB ⋅ CN

o.
5p
=
b) A∆ABC = 500m 2
2

c) PABCD = AB + DC + 2 AD =180 + 20 2 3p

2.
2 PABCD = + 40 2 ≈ 416, 4m
360

T .P

nf
a) ∆ABC , m ( B ) = 0 ⇒ AC 2 =AB 2 + BC 2 =
2p

90
ei 10000 + 6400 =16400 2p
=
⇒ AC = 20 41 cm
16400
T .P
∆ACA′ , m ( A ) = 0 ⇒ AA′ 2 =A′C 2 − AC 2 = 20000 − 16400 = 3600 ⇒ AA′ =
at
90 60 cm 3p

b)Fie DM ⊥ D′ B, M ∈ ( D′ B ) ⇒ d ( D, D′ B ) =DM 1p
.m

DD′⋅ BD
DM = 2p
D′ B
60 ⋅ 20 41 12 41
= = = 6 82 cm
100 2 2 2p
w

c) 40l = 40000cm3 1p
Fie x înălţimea la care se ridică apa ⇒ V AABCD ⋅ x
= 1p
w

40000cm3 8000 ⋅ x ⇒ = 40000 : 8000
= x 2p
x = 5cm 1p
w

16

Modele de subiecte



SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. 42 5p

2. (-∞;1] 5p

o.
3. 4 5p

nf
4. 192 5p

5. 26 5p
ei
6. 6 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

1. Desenează prisma triunghiulară regulată 4p
.m

Notează prisma triunghiulară regulată 1p

2. x 2p
Fie x suma pe care o are Nicoleta ⇒ 3 x + + 27 =
287
3
w

10 x 10 x
⇒ + 27 = 287 ⇒ = 260 2p
3 3
3
⇒ x= 260 ⋅ = 78 1p
w

10

3. 1 a− b 1p
=
w

a+ b a −b

2 −1 3− 2 2012 − 2011 3p
=
E + + ... +
2 −1 3− 2 2012 − 2011
1p
E =−1 + 2012

4. a) f ( 0 ) = ⋅ 0 − 2 = 2 ⇒ A ( 0, −2 )
3 − 1p
f (1) = 3 ⋅1 − 2 = 1 ⇒ B (1,1) 1p
Reprezentarea celor două puncte sau alte două puncte de pe grafic corect în 2p

17

Modele de subiecte

sistemul de axe xOy

b) Aflăm punctul de intersecţie al graficului funcţiei f cu axa Oy ⇒ A ( 0, −2 ) 1p
Aflăm punctul de pe graficului funcţiei f care are ordonata egală cu 1
1p
⇒ B (1,1)
∆MAB este dreptunghic, deci distanţa de la M la graficul funcţiei f este

ro
înălţimea corespunzătoare ipotenuzei, MC ⊥ AB, C ∈ ( AB ) 1p

⇒ d (M ,Gf ) =
MC
Aplicăm teorema lui Pitagora în ∆MAB pentru a afla lungimea lui

o.
1p
AB ⇒ AB 2 = MA2 + MB 2 = 32 + 12 = 10 ⇒ AB = 10
MB ⋅ MA 3 ⋅1 3 10
MC = ⇒ MC = =

nf
AB 10 10 1p

5 4 x2 − 4 x + 9 y 2 + 6 y + 5 = 4 x2 − 4 x + 1 + 9 y 2 + 6 y + 1 + 3 1p
4 x2 − 4 x + 1
= ( 2 x − 1)
2
ei 1p
9 y 2 + 6 y + 1 ( 3 y + 1)
=
2
1p

( 2 x − 1) ≥ 0, ( 3 y + 1) ≥ 0
2 2
1p
at
4 x − 4 x + 9 y + 6 y + 5 >0
2 2 1p

.m

puncte)

1. a) Notăm VABCD piramida, O centrul bazei ABCD, M mijlocul laturii BC 1p
w

În ∆VOM ( m ( O ) = 900 ) ⇒ VO 2 = VM 2 − OM 2 2p

1p
OM apotema bazei ⇒ OM =
4m
w

1p
VO 2 = 2 − 42 = ⇒ VO = m
5 9 3
w

pb ⋅ a 1p
b) At =+ Ab , Al = p , Ab =
Al l2
2
2p
4 ⋅8⋅5
= = 80m 2
Al
2
Ab 64m 2 ⇒ A= 80m 2 + 64m 2 144m 2
= t = 1p
8 ⋅144m + 8 ⋅1m = m
2
11602 2 1p

Ab ⋅ h 1p
c) V =
3
64 ⋅ 3
= = 64m3
V 3p
3

18

Modele de subiecte

64:3=21,(3), deci pot sta 21 de personae în cort.
1p

2. a)Fie ABCD trapezul dreptunghic, AB=10m,CD=8m, m ( B ) = 600 , 1p
1p
CM ⊥ AB ⇒ MB=2m ⇒ BC=4 m
În ∆CMB, m ( M ) = 0 ⇒ CM 2 = 2 − MB 2 ⇒ CM 2 = 42 − 22 = 12
90 BC 2p
⇒ CM =
2 3
( )

ro
1p
PABCD = AB + BC + CD + AD = 10m + 4m + 8m + 2 3m = 2 11 + 3 m

b) AABCD =
( AB + CD ) ⋅ CM 2p

o.
2

=
(=
10 + 8 ) ⋅ 2 3
18 3m 2 ≈ 32m 2 3p

nf
2

c)32·17,50=580 lei<590 lei, deci sunt suficienţi 5p
ei
at
.m


w

SUBIECTUL I (30 de
puncte)
w

1. -3 5p

2. 9 5p
w

3. 5 5p

4. 44 5p

5. 6 5p

6. 169 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

19

Modele de subiecte

1. Desenează paralelipiped dreptunghic 4p
Notează paralelipiped dreptunghic 1p

2. Fie a,b,c suma primită de ocupantul locului I, al II-lea respectiv al III-lea 1p
⇒ a+b+c = 330
k k
{a, b, c} i.p {1, 2,3} ⇒ a = 2b = 3c ⇒ a= k , b= , c= 1p
2 3
k k 6k + 3k + 2k 11k
k + + = 330 ⇒ = 330 ⇒ = 330 ⇒ k= 180

ro
2p
2 3 6 6
1p
⇒ a = lei, b = 90 lei, c = 60 lei
180

3. Notăm a = n 2 + 5n + 2 1p

o.
⇒ = a ( a + 2 ) + = a 2 + 2a + 1
x 1
2p
( a + 1) = ( n 2 + 5n + 3) , deci x este pătrat perfect pentru orice n ∈  .
2 2
2p

4.
E (1)
a) = 
 1
+
1  2 ⋅1
:
 1+ 2 1− 2  1− 2
nf 1p

1 1  2 1 3 2
ei
= :
 + = :
 − 1p
 3 −1  −1  3 3  −1
2  1
=− ⋅  − 
at
3  2 2p
1
= 1p
3
.m

x−2+ x+2 2x 2p
b) E ( x ) = :
( x + 2 )( x − 2 ) x − 2
2x 2x
= : 1p
w

( x + 2 )( x − 2 ) x − 2
2x x−2 1
= ⋅ =
( x + 2 )( x − 2 ) 2 x x + 2 2p
w

5 A (1, m ) ∈ G f ⇔ f (1) =
m 2p
w

f (1) = 2 ⋅1 + 1 = 3 2p
m=3 1p

puncte)

1. a)A=L·l 1p
A=1500·100=150000 m 2 2p
A=15 ha 2p

b)9,375 tone grâu obținute de pe 3,75ha 5p

20

Modele de subiecte

c) 9,375t=9375kg 5p

2. AB
a) MN linie mijlocie în ∆ABC ⇒ MN || AB, MN
= = 3 cm, dar 2p
2
AB ⊥ AC ⇒ MN ⊥ AC
ME ⊥ ( ABC )  Th.3⊥

 ⇒ NE ⊥ AC ⇒ d ( N , AC ) =
NE 1p
MN ⊥ AC  

ro
Th. Pitagora
În ∆EMN , m ( EMN ) = 0
90 ⇒ EN 2 = 2 + MN 2 = 16 + 9 = 25
EM 2p
EN=5 cm

o.
AC ⊥ MN 
 5p
b) AC ⊥ EN  ⇒ AC ⊥ ( EMN )

nf
MN , EN ⊂ ( EMN ) 


( EAC ) ∩ ( ABC ) =
AC 

ei 3p
c) MN ⊥ AC , MN ⊂ ( ABC )  ⇒  ( ( EAC ) , ( ABC ) ) = , NE ) =
 ( MN MNE

EN ⊥ AC , EN ⊂ ( EAC ) 
at
cat.opusă ME 4
sin ( MNE ) = = = 2p
ip. NE 5
.m
w
w
w

21

Modele de subiecte

Prof. Anghel Mihăiţă Giorgică

VARIANTA 11
SUBIECTUL I 30 de
puncte
1 18 5p

ro
2 5 5p

3 10/3 5p

o.
4 3 5p

nf
5 14 5p

6 a=6 si b=2 5p

SUBIECTUL al II-lea
ei 30 de
puncte
1 Reprezentarea corectă a desenului 5p
at
2 ( 3 + 2 +1)2=6+2 6 +2 3 +2 2 2p
3p
2[(1+ 2 )(1+ 3 )+2]= 6+2 6 +2 3 +2 2
.m

3 l=0,25 3p
A=0,0625m2 2p
w

4 a) f(2)=2 3p
2+m=10 , m=8 2p
b) A(0,6) B(3,0) 3p
w

Reprezentarea corectă a graficului 2p
5 15 lei 5p

SUBIECTUL al III-lea 30 de
w

puncte
1 a) BC=4 2 cm 5p

b) A=(B+b)h/2 3p
A=24 cm2 2p
c) 450 5p

2 a) AB=12m 3p
h=3 3 m 2p
b) A t =A l +2A b 3p
A t =12(18+ 3 )m2 2p
c) V=108 3 m3 3p
486 duble 2p

22

Modele de subiecte

VARIANTA 12

SUBIECTUL I 30 de
puncte

ro
1 2 5p

2 b 5p

o.
3 x=11 si y=1 5p

4 1 5p

5 d= 119 cm

nf 5p

6 A=3 3 cm2
ei 5p

SUBIECTUL al II-lea 30 de
at
puncte
1 Realizarea corectă a desenului 5p

2 x+y=30; 15x+20y=500 2p
.m

20 duble 3p
3 2+3*5+4*7=45 2p
a=2, b=5, c=7 3p
4 a) 4 a=6b 2p
w

a=3 si b=2 3p
b)M a = (a+b)/2 2p
M a =2,5 3p
w

5 E(x)=(4x2+4x)(4x2+4x+2) 2p
E(x)=8x(x+1)(2x2+2x+1) 3p
w

puncte
1 a) 2a+b=0 ; - a+b= - 6 3p
f(x)=2x- 4 2p
b) A(0; - 4) B(2; 0) 3p
Reprezentarea corecta a graficului 2p
c) x=4 5 /5 u 5p

2 a) V=A b h=80m3 3p
80: 40=2m3 2p
b) V=A b h 3p
V=32 3 m3 2p
c) A=64m2 3p
1920 ţigle 2p

23

Modele de subiecte


VARIANTA 13

SUBIECTUL I 30 de
puncte

ro
1 6 5p

2 8 5p

o.
3 15 5p

4 л 5p

nf
5 22 5p

6 2ha 5p
ei
SUBIECTUL al II-lea 30 de
puncte
1 72m2 5p
at
2 t=12 5p
.m

3 M+C=4,10 (1) 3p
M+D=4,30 (2)
C+D=5,20 (3)
Adunând cele trei relaţii obţinem
w

2M+2C+2D=13,60 ⇒ M+C+D= 6,8 înlocuind în această relaţie relaţia (1)
obţinem D= 2,70 lei
Din relaţia (2) obţinem M= 1,60 lei 2p
w

Din relaţia (3) obţinem C= 2,50 lei

4 a) f(6)=6m+5=8 3p
w

m=0,5 2p
T .P 3p
Fie B = prOx A ⇒  AOB, m ( B ) = 0 ⇒ AO 2 = 2 + AB 2 ⇒
90 BO 2p
AO 2 = 62 + 82 = 100 ⇒ AO = 10 u.m
5 5. z − 1 ≤ 8 ⇒ −8 ≤ z − 1 ≤ 8 ⇒ −7 ≤ z ≤ 9 ⇒ z ∈ [ −7,9] 5p

pu
nc
te
1
( ) 3p
T .P
a) VOM , m ( O ) = 900 ⇒ VM 2 = 242 + 3 3
2
= 603 ⇒ a p = 3 67 dm 2p

24

Modele de subiecte
3 ⋅18 ⋅ 3 67
=Al = 81 67 dm 2
2
l2 3 3p
b) Ab = 81 3dm 2
= 2p
4
At = Al + Ab = 81 67 dm 2 + 81 3dm 2 = 81 ( )
67 + 3 dm 2
Ab ⋅ h 3p
=
c) V = 648 3dm3 2p
3

ro
2 a) (AB+MC) CB=3AD*DM 3p
DM=30cm 2p

o.
b) Perimetru AB+BC+CM+MA 3p
P=180cm 2p
c) PQ=(AB+MC)/2 2p
PQ=45cm 3p

nf
ei
at
.m
w
w
w

25

Modele de subiecte

Varianta 14 Prof. Badea Daniela
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. -99 5p

2. -4 5p

ro
3. 20 5p

4. 36 5p

o.
5. 12 5p

500

nf
6. 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)
ei
1. Desenează tetraedrul 4p
Notează tetraedrul 1p
at
2. 2
S suma primită; mama îi dă S + 5 lei 1p
3
60  1  S
tata îi dă ⋅  S − 5  + 3 = lei
.m

1p
100  3  5
2 S 2S 2p
ecuaţia este S + 5 + + 25 = S ⇔ = 30
3 5 15
S = 225 lei. 1p
w

3. 11x − 2 y = 40 3p

20 x − 19 y =42
w

x = 4 2p

y = 2
w

4. a) x ∈  − {0;1} 1p
x ( x − 1)
E ( x ) = ( x + 1) : ( x − 1) − 1 ⋅
  2p
8
x + 1 − x + 1 x ( x − 1)
E ( x)
= ⋅ 1p
x −1 8
Finalizare 1p

42012 − 1 3p
( ) ( ) ( )
b) E ( 4 ) +E 42 +E 43 +....+E 42012 =1+4+42 + ... + 42011 =
3

26

Modele de subiecte

4 ⋅ E ( x − 1)
4 x −1 x −1 1p
=⋅ =
3 3 4 3
4 −1 x −1
2012 1p
= ⇔ = 42012
x
3 3

5. f :  → , f ( x ) =
ax + b 1p
G f ∩ Ox = { A ( 2, 0 )} ⇔ f ( 2 ) = 0 ⇔ 2a + b = 0 1p

ro
G f ∩ Oy = B ( 0, −6 )} ⇔ f ( 0 ) = 6 ⇔ b = 6
{ 1p
− −
a=3 1p
f ( x= 3 x − 6
) 1p

o.
puncte)

1.
At = 2 ( Ll + Lh + lh )= 796cm 2
nf
a) d 2 = L2 + l 2 + h 2 ⇔ 676 = 64 + 36 + h 2 ⇔ h = 25 2p
2p
= Llh 1200cm
V = 3
ei
1p

b) PQ ⊥ D`B, Q ∈ D`B ⇒ d ( P, D`B ) =
PQ 1p
at
D`P 2 D`P 2
= ⇔ = D`P=10cm
⇒ 1p
DP 3 D`D 5
∆D`PQ  ∆D`BD ( caz I ) 1p
.m

D`P PQ D`Q 10
⇒ = = = 1p
D`B BD D`D 26
50 1p
PQ= cm
13
w

(
AAPD' ⋅ d M , ADD ' )
w

VAMPD' =VMAPD' = 1p
3

c)
( )
d M , ADD ' = MN , N mijlocul lui AD ' ⇒ MN = ( ) AB
= 3cm 2p
w

2
AD ⋅ PD ' 1p
=
AAPD' = 40cm 2
2
1p
VMAPD' = 40cm3

2. a)AM=MT= 4 2m ; TN=NB= 2 2m 2p
(
L= 2 4 2 + 2 2 =12 2m) 3p

b) R ` = 6m; R=4m; r=2m 1p

27

Modele de subiecte

π
=
S1
2
( )
R `2 + r 2 − R 2 12π m 2  37,8m 2
= 2p

S 2 = 2TN ⋅ 0,5 = 2 2m  2,82m 2 1p
S =  37,8 − 2,82=34,98m 2
S1 − S 2 1p

c) Lr = 2π R`=12π m  37,8m=3780cm 1p
3780:30=126 (arbuşti pe circumferinţa rondului) 1p

ro
La = π ( R+r ) =6π m  18,9m=1890cm 1p
1890:30=63(arbuşti) 1p
Finalizare: 126+63-1= 188 arbuşti 1p

o.

nf

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. x
ei 5p

2. 9 5p
at
3. 2 5p

4. 7 5p
.m

8

5. 36 5p
w

6. 36 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)
w

1. Desen 4p
Notaţii 1p
w

2. x+ y+ z +t 1p
= 1904
4
3 3 3
= = =
x y; y z; z t 1p
5 5 5
27 9 3
t + t + t +t= 1904 ⇔ t 875
= 2p
125 25 5
= 189; y 315; z
x = = 525 1p

3. a + 6b = 77 ⇔ a + 2b = 77 − 4b 1p
( a + 2b )11 ⇔ ( 77 − 4b )11 1p

28

Modele de subiecte

( 77 − 4b )11
 1p
 ⇒ 4b 11
77 11 

finalizare 2p

4. a) G f  Gg =} ⇒ f ( 5 ) = g ( 5 ) =
{M 6⇒ 6 1p
1p
N (1;-2 ) ∈ Gg ⇔ g (1) =
−2
5m + n =

ro
6
 2p
m + n = 2
−
g ( x) 2x − 4
= 1p

o.
b) G f  Oy = ⇒ f ( 0 ) = A ( 0;1)
{A} 1⇒ 1p
1p
Gg  Oy = B} ⇒ g ( 0 ) = 4 ⇒ B ( 0; − 4 )
{ −

nf
AB ⋅ hM 2p
AMAB =
2
25
AMAB = 1p
2
ei
5 2p
( x − 2) + 9 ≥ 9= 3, ( ∀ ) x ∈ 
2
x 2 − 4 x + 13=
at
( y + 3) + 25 ≥ 25 = 5, ( ∀ ) y ∈ 
2p
2
y 2 + 6 y + 34 =
N ≥ 8, ( ∀ ) x, y ∈  ⇒ valoarea minimã este 8. 1p
.m

puncte)

1. a) cercurile au diametrul de 24 cm 1p
w

120:24=5 1p
85=24 ּ◌3+13=24 ּ◌3+12+1 1p
Total 35 coşuleţe (semidiscuri) 2p
w

b) ∆VAB isoscel cu m ( AVB ) =
450 1p
∆VNB dr.isoscel ⇒ VN=NB=6 2 1p
w

∆ANB dr. ⇒ AB = 12 2- 2cm
l= 1p
1, 41 < 2 < 1, 42 ⇒ 0,58 < 2 − 2 < 0,59 1p
⇒ 83,52 < l < 84,96 ⇒ 9 < l < 10 ⇔ 9 < l < 10
2 2 2 2 1p

c) ∆MAB echilateral 1p
din b )
p = 4MB = 4l ⇒ 36cm < p < 40cm 1p
1p
1260cm < 35 p < 1400cm
1p
1260cm 12, 6m > 12m
=
1p
Nu sunt suficienţi 12m de pamblică

29

Modele de subiecte

2. a) DB l = 24 2cm
= 2 1p
∆BCD echilateral ⇒ BC = 2cm
24 1p
( ) (
PABCD =2 ( AB+BC ) 2 24 + 24 2 =48 1+ 2 cm
= ) 1p

= AO+OC 12 2+12 6cm
AC = 1p
(
L=PABCD +BD+AC = 12 4 + 7 2 + 6 cm) 1p

ro
b) SABCD =SABD + S BCD 1p
l2
=
SABD = 288cm 2 1p
2

o.
S BCD = 288 3cm 2 1p

(
S= 288 1 + 3 cm 2
ABCD ) 2p

nf
c) SMNPQ =AC ⋅ BD 2p
AC ⋅ BD
ABCD ortodiagonal ⇒ SABCD = 1p
2
ei
SABCD 1 2p
=
SMNPQ 2
at
.m


SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 1 5p
w

2
2. 6 5p
w

3. 20 5p

4. 7 5p
w

5. 12 2 5p

6. 2200 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

1. Desen 4p
Notaţii 1p

30

Modele de subiecte

2.
( ) 3p
2
7− 3 − 7 + 2 21
10 − 2 21 − 7 + 2 21 =3 2p

3. E ( x ) =8 x + 16
− 3p
1p
E ( x ) = 0 ⇔ −8 x + 16 = 0
1p
x=2

ro
4. a) x = nr. vaze cu câte 3 fire; y = nr. vaze cu câte 5 fire 1p
x + y = 40
 2p
3 x + 5 y =154

o.
 x = 23

 y = 17
2p

nf
b) 154 = 2 ⋅ 7 ⋅11 1p
mulţimea divizorilor lui 154 mai mici ca 17 este {1, 2, 7,11,14} 2p
nr. minim de vaze : 154:14=11 2p
ei
5 f ( −2 ) =5 ⇒ A ( −2;5 ) ∈ G f , 1p
Reprezentarea punctului A 1p
at
f ( 3) = 5 ⇒ B ( 3; −5 ) ∈ G f
− 1p
Reprezentarea punctului A 1p
1p
.m

Trasarea graficului

puncte)

a) 2 = a 2 ⇔ a x 2
=
w

1. x 3p
l = 2 ( x + a ) = 2x 1+ 2 ( ) 2p
w

b) P = ⋅ 2 ( x + a ) = x 1 + 2
8 16 ( ) 2p

P = ⋅10
16 ( )(
2 −1 1+ 2 ) 1p
w

P = 160cm 1p

( )
a2 1p
c) S ABCDEFGH = l − 4 ⋅ = 8 x 2 1 + 2
2

2
( )
1p
S paralelogram= ( 2 x + a ) ⋅ a ⋅ sin 450= x 2 2 + 2

( ) (
St = 8 x 2 1 + 2 + 8 x 2 2 + 2 = 8 x 2 3 + 2 2 ) ( ) 1p

( ) (3 + 2 2 ) =
2
St =
8 ⋅100 2 −1 800cm 2 2p

31

Modele de subiecte

2. a) 2p
MN ⊥ ( ABC ) 
 T 3⊥
PN ⊥ BD  ⇒ MP ⊥ BD ⇒ d ( M , BD ) =
MP

PN , BD ⊥ ( ABC ) 

∆MNP, N = 1dr 
 T . P. 3p
= 6  ⇒ MP 3 6cm
=

ro
MN
AC 
NP = 3 2 
=
4 

o.
b)
( DÀC )  ( ABC ) = AC 

DÒ ⊥ AC , DÒ ⊂ ( DÀC )  ⇒ m (  ( DÀC ) , ( ABC ) ) = )
m ( DÒD

nf
2p

DO ⊥ AC , DÒ ⊂ ( ABC ) 
T . P. 1p
∆DÒD, D = dr ⇒ DÒ = 6
1 6
ei
DD` 12 6
=
sin O = = 2p
DÒ 6 6 3
at
DE ⊥ DÒ  3p

c) AC ⊥ ( DÒD ) 
  ⇒ DE ⊥ ( DÀC ) ⇒ d ( D, ( DÀC ) ) =
DE
 ⇒ AC ⊥ DE 
.m

DE ⊂ ( DÒD ) 
 
DO ⋅ DD`
= = 4 3cm
DE 2p
DÒ
w
w
w

32

Modele de subiecte

Varianta 17 Prof. Badea Ion
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 2 5 5p

ro
2. 75 5p

3. 1 5p

o.
4. 8 5p

nf
5. 18 2 5p

6. 893 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Desen cercuri tangente exterioare 3p
Desen tangentă comună 2p
.m

2. 10 muncitori.............. 7 zile  i. p. 2p
⇒
14muncitori............... x zile 
10 ⋅ 7
=x = 5 2p
w

14
3 + 5 = zile
8 1p
w

3. 13 | abc ⇔ 13 |100a + 10b + c 1p
⇔ 13 | 91a + 13b + ( 9a − 3b + c ) 2p
⇔ 13 |13 ( 7 a + b ) + ( 9a − 3b + c )
w

1p
⇔ 13 | 3a − 3b + c 1p

4. a) G f  Gg ={M } ⇔ f ( x ) =g ( x ) 1p
⇔ 3x + 1 = 1 − 3x 1p

⇔ 2 3x = 0 ⇔ x = 0 2p

⇒ M ( 0,1) 1p

33

Modele de subiecte

b) A ( )
3, 4 ∈ G f 1p

( )
1p
B − 3, 4 ∈ Gg
1p
∆MAB isoscel (MN înălţime şi mediană)
∆MAN dr.  1p
 MN 3
N=1dr  ⇒ tgA = = = 3
 AN 3
MN=3,AN= 3 

ro
1p
⇒ m ( A ) = ⇒ m ( AMB ) =
600 600

5
(1 + ) (
2 − 3 + 11 + 7 1 + 2 − 3 + 11 )

o.
A= 1p
1 + 2 − 3 + 11
1p
⇔ A=+ 7
1

nf
22 < 7 < 32 ⇔ 2 < 7 < 3 / + 1 1p
⇔ 3 < 1+ 7 < 4 1p
⇔ A ∈ ( 3; 4 )
ei 1p

at
puncte)

1. a) fie SO ⊥ ( ABD )
.m

⇒ ∆SOA ≡ ∆SOB ≡ ∆SOC ≡ ∆SOD ( I.C.) 2p
⇒ OA = OB = OC = OD ⇔ O centrul bazei
(pătrat)
⇒ SABCD regulată
w

1p
∆SBD dr.is ⇒ SO=5 2 2p
Ab ⋅ h 102 ⋅ 5 2 500 2
= = =
w

V cm3
3 3 3

b) PPBD minim ⇔ PB şi PC au lungime minimă 1p
w

⇔ PB ⊥ SC şi PD ⊥ SC 1p
∆SBC echilateral ⇒ BP mediană 1p
⇒ P mijlocul lui ( SC )
1p
1p
⇔ SP=5 cm

c) ∆PBD isoscel ⇒ PO ⊥ BD 1p
( PBD )  ( ACD ) = BD 

PO ⊥ BD, PO ⊂ ( PBD )  ⇒ m (  ( PBD ) , ( ACD ) ) = )
m ( POC 2p

CO ⊥ BD, CO ⊂ ( ACD ) 

34

Modele de subiecte

∆SOC dr.is. ⇒ m ( POC ) =
450 2p

2. a) EG l 3 ≅ 20, 76cm; 103800:20,76=50 plăci încap pe lungime
= 1p
600=36 ⋅16+24 ⇒ 16 ⋅ 2+1=33 rânduri de plăci încap pe lăţime 1p
33 ⋅ 50 = plăci (din care 16 sunt tăiate pe jumătate) ⇒ 1636 plăci întregi
1650 1p
100 4
1650 + =1666+ 1p
6 6

ro
⇒ 1667 nr. total de plăci 1p

b) plăcile închise la culoare se află:
la fiecare rând cu număr impar din cele 33 rânduri ⇒ 17 rânduri

o.
2p
pe rândurile menţionate plăcile cu număr împar ⇒ 25 plăci 2p
17 ⋅ 25 = plăci închise la culoare
425 1p

nf
c) A=62,28m 2 1p
62,28 ⋅1,2=74,736 ⇒ 75 saci ⇒ 75 ⋅14=1050 lei 1p
1p
63 ⋅ 30=1890 lei costă gresia
65
ei
⋅ (1050+1890 ) = 1911 lei costă manopera 1p
100
St =4851 lei 1p
at
.m



SUBIECTUL I (30 de
w

puncte)

1. 5 5p
w

2. 0 5p
w

3. A 5p

4. 38 5p

5. 12π − 9 3 5p

6. 35 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

35

Modele de subiecte

1. Desen 4p
notaţii 1p

2. x = nr. kg fursecuri de18 lei/kg 1p
18 x + 250 =( x + 10 ) ⋅ 20 2p
⇔x=25 2p

3. N = 8 − 2 15 + 8 + 2 15 − 15 + 3 + 5 + 15 3p

ro
N 24 ∈ 
= 2p

4. a) A ( 0; 2 ) ∈ G f ⇔ f ( 0 ) = 2 ⇔ a = 2 1p

o.
f ( −2 ) 6, f = 0, f = 3
= (1) ( 4) 1p
Trasarea graficului 3p

nf
b) x ∈ [ −2;1] avem f ( x ) = 2 ⇔ −2 x + 2 = 2 1p
⇔ x = 0 ∈ [ −2;1] ⇒ S1 = {0} 1p
x ∈ (1; 4] avem f ( x ) = 2 ⇔ x − 1 = 2 1p
ei
⇔ x =3 ∈ (1; 4] ⇒ S 2 ={3} 1p
⇒ = S1  =
S3 S2 {0;3} 1p
at
5 E ( x)= (x 4
) ( )
+ 2 x3 + x 2 + 4 x 2 − 4 x + 1 + ( m − 5 ) x 2 2p

m ≥ 5 ⇔ m − 5 ≥ 0 ⇒ E ( x )  ( x + 1) + ( 2 x − 1) + ( m − 5 ) 
2 2
= x2 x2
.m

   
≥0
  ≥0
2p
≥0 ≥0 ≥0

⇒ E ( x ) ≥ 0, ( ∀ ) x ∈  şi ( ∀ ) m ≥ 5 1p

w

puncte)

1. a) CD  AB, AB ⊂ α ⇒ CD  α 1p
w

CD  α , ( CDD`)  α =⇒ CD  C `D`⇒ ABC `D` trapez
C `D` 1p
DD`⊥ α  R T 3⊥
 1
w

DA ⊥ AB  ⇒ D`A ⊥ AB 2p
AB, D`A ⊂ α 

⇒ ABC `D` trapez dreptunghic 1p

b) m (  ( ABC ) , α ) 300 m ( DAD`)
= = 1p

ΔDAD` dr.,DD`=CC` ⇒ AD=8cm, AD`=4 3 1p
T . P. 1p
ΔC`MB dr. ⇒ BC`=8cm
PABC`D` =AB+BC`+C`D`+AD`=4 7 + 3 cm ( ) 2p

36

Modele de subiecte

c) St = S ABCD + S ABC `D ` + S DCC `D ` + S ADD ` + S BCC ` 1p

SABCD =
( AB+CD ) ⋅ AD =80cm 2 ; S =
( AB+C`D`) ⋅ AD` =40

3cm 2 
2
ABC`D`
2  3p

DD`⋅ AD` CC `⋅BC ` 2 
2
SDCC`D` =32cm ; SADD` = =8 3cm= = 16cm
2
; SBCC`
2 2 

(
= 16 8 + 3 3 cm 2
St ) 1p

ro
2. a) l = 484 = 22 ⇒ 4l = 2 ( 2 x + 8 ) = 88 ⇔ x = 18, x + 8 = 26 1p
S = A1 + A2 + A2 = 468ha 1p

o.
A1 3 A2 4 A A A S
= , = ⇔ 1= 2 = 3= =39
A2 4 A3 5 3 4 5 12 1p
S S 5S
=
A1 = 117ha, A= = 156ha, A= = 195ha 2p

nf
2 3
4 3 12

b)
v r c v r c v + r + c A1 3p
= = ⇔ = = = = =9
ei
4 1 6 4 3 6 13 13
9 3 9
2p
v=36ha, r=27ha, c=54ha.
at
c) 195 ⋅= 975t 975000kg, 975000 ⋅1,5 1462500lei (costă grâul)
5 = = 1p
156 ⋅ 40=6240t=6240000kg, 6240000 ⋅ 2=12480000lei(costă fructele) 1p
.m

1
12480000 ⋅ = 1560000lei(costă legumele)
8 1p
Stotală = 15502500lei. 2p
w

w


SUBIECTUL I (30 de
puncte)
w

1. 3 5p

2. 200 5p

3. S= {−2;8} 5p

4. 14 5p

5. 0,3 5p

37

Modele de subiecte

6. 60 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

1. Desen 3p
Notaţii 1p
denumire 1p

ro
2. a = 15 + 8 =2 15 + 8
2 1p

b = 2 15 − 8 =8 − 2 15

o.
1p

mg = a ⋅b = (8 + 2 15 )(8 − 2 15 ) 2p

nf
mg = 2 1p

3. 92
⋅150t rămân după spălare
100
ei 1p
95  92 
⋅ ⋅150  t rămân după strivire
100  100  1p
at
12  95  92 
⋅ ⋅ ⋅150   t zahăr= 1p
100  100  100 
.m

12 95 92
⋅ ⋅ ⋅150000 =
15732kg/zi 1p
100 100 100
15732 ⋅ 5=78660kg=78,66t 1p
w

4. (1 − 3x ) 3p
2
3x 2 + 5 x
= a) E ( x ) ⋅
(1 − 3x )(1 + 3x ) 2 x ( 3x + 5)
x ( 3x + 5) (1 − 3x )
w

E ( x)
= ⋅ 1p
(1 + 3x ) 2 x ( 3x + 5)
1p
w

finalizare

1 − 3x 1 1 − 3x 1 1p
b) ≤− ⇔ + ≤0
2 (1 + 3 x ) 2 2 (1 + 3 x ) 2
1 − 3x + 1 + 3x 1
⇔ ≤0⇔ ≤0
2 (1 + 3 x ) 1 + 3x 1p
1
1 + 3x < 0 ⇔ x < −
3 1p
 1   5
⇒ x ∈  −∞, −  −  2p
 3   3

38

Modele de subiecte

5 f ( a − 1)= ( )
3 − 1 ( a − 1) − 2 3 1p

= (1 − a ) + 3 ( a − 3) 1p
f ( a − = 2b 3 ⇔ (1 − a ) + 3 ( a − 3) 2b 3, a şi b ∈ 
1) = 1p

1 − a =0 1p
⇔
a − 3 =b
2
a = 1

ro
⇔ 1p
b = −1


o.
puncte)

1. 3l ⋅ a p
l2 3 l 3

nf
a) A l = 2 Ab ⇔ =
⇔ ap = 2p
2 2 3
2 2
9l l
x 2 = a 2 − ab ⇔ x 2 =
p
2
= 2p
36 4
ei
⇔ l =x 2 1p

l2 3 1p
b) Ab = 324 3cm 2
=
at
4
2p
= 2= 628 3cm 2
Al Ab
324 3 ⋅18 2p
.m

=V = 1944 3cm3
3

c) OT ⊥ VM
BC ⊥ VM 
 ⇒ BC ⊥ (VOM ) , OT ⊂ (VOM ) ⇒
w

1p
BC ⊥ OM 
⇒ BC ⊥ OT
⇒ OT ⊥ (VBC ) ⇔ pr(VBC )VO =
w

VT
2p
⇒ m ( VO, (VBC ) ) =
m ( OVT )
w

VO x 3
∆VOMdr. ⇒ cos V = = = 1p
VM 2 x 3 2
3
m ( OVT ) = 30 0 1p

2.
(
a) Pb 2 2 x 2 + x + 2 x 2 + 2 x + 3 x 2 + 2 x + 3 x 2 + 5 x + 2 x
= ) 3p

(
= 2 10 x 2 + 12 x
Pb ) 1p
= 4x 5 2 + 6
Pb ( ) 1p

39

Modele de subiecte

b) S1 = 4 x 2 + 9 x 2 + 16 x 2 + 25 x 2 − ( 2 x 2 + 4 x 2 ) = 48 x 2 3p
S2 = 4 x 2
1p
= 52 x 2 52cm 2
Sb = 1p

QL WL 10 x 5x
c) ∆QLW  ∆QIT ⇒ = ⇔ QK = ⇒ TJ = 1p
QK IT 3 3

ro
QL WL 10 x 5x
∆QLW  ∆QIT ⇒ = ⇔ QK = ⇒ TJ = 1p
QK IT 3 3
5x 74 x
TS = + 3 ⋅ 6 x + 5 x=
3 3 1p

o.
2
740 x
=
A ; A b 48 x 2 ⋅= 192 x 2 ⇒
= 4
3 1p
Ab 144
= = 77, ( 837 ) % ≅ 78%

nf
A 185
1p
⇒ p= 22%
ei
at
.m
w
w
w

40

Modele de subiecte

Varianta 20 Prof Silvia Brabeceanu
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 19 5p

ro
2. A ∩ B = −1, 2}
{ 5p

3. 2 5p

o.
4. 500cm 5p

nf
5. 00 5p

6. 150 C 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Desenează piramida 4p
.m

Notează piramida 1p

2. Pe al doilea raft sunt 3 ⋅ 27 =
81 2p
w

2 2p
Pe al treilea raft sunt ( 27 + 81) =
72
3
1p
w

Nr. total de cărţi 27 + 81 + 72 =
180

3. n + ( n + 1) + ( n + 2 ) + ( n + 3) + ( n + 4 ) =
50 2p
w

1p
5n = 40 ⇒ n = 8
1p
numerele: 8,9,10,11,12
1p
10 ⋅11 ⋅12 =
1320

4. a)Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului 4p

Trasarea graficului funcţiei 1p

41

Modele de subiecte

b) P ( m + 2, m − 1) ∈ G f ⇔ f ( m + 2 ) = m − 1 2p

f ( m + 2) = ( m + 2) + 3
−5 1p

−5 ( m + 2 ) + 3 = m − 1 1p

m = −1 1p

ro
5
( ) 1p
2
7+ 5 = 7 + 2 35 + 5 = 12 + 2 35

o.
( )
1p
5 7 + 5 = 35 + 5

nf
1p
7 ( )
5 − 2 7 = 35 − 14
1p
a = + 2 35 − 35 − 5 − 35 + 14
12
ei
1p
a 21 ∈ 
=
at
puncte)
.m

1. a) lungimea diagonalei cubului d = 6 3dm 2p

2p
SA SD SA′ SD′ 3 3dm
= = = =
w

1p
SA + SD + SA′ + SD′ = 3dm
12
w

b) lungimea apotemei piramidei a p = 3 2dm 2p

1p
Pb ⋅ a p
w

Al =
2

24 ⋅ 3 2 2p
=Al = 36 2dm3
2

c) BC ′ ⊂ ( ABD′ ) 1p

3p
B′C ⊥ BC ′ şi B′C ⊥ AB ⇒ B′C ⊥ ( ABD′ )

42

Modele de subiecte

 900
( A′B′C ) ⊥ ( ABD′) ⇒ m ( A′B′C )( ABD′)  = 1p
 

2. =
a) FM ( AB − EF ) : 2 3p

2p
FM =12 − 6 ) : 2 =m
( 3

ro
b) Aria suprafeţei haşurate este de două ori aria trapezului ABFE 1p

( AB + EF ) ⋅ BM 1p

o.
AABFE =
2
2p
BM = 3 3m

nf
1p

AABFE = 27 3m 2
ei
c) ABFC = 9 3m 2 1p

4p
1
at
Raportul celor două arii este
4
.m
w
w
w

43

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 2 5p

ro
2. 4 5p
3

o.
3. 11 5p
20

nf
4. 5 2cm 5p

5. BC ′ 5p
ei
6. −40 C 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m


w

2. 2 2p
sticle îmbuteliate a doua zi: 1250 − ⋅1250 =750
5
2p
w

3
sticle îmbuteliate a treia zi: 750 + ⋅ 750 =
975
10
1p
w

total: 1250 + 750 + 975 =
2975

3. x+ y 5 1p
= ⇔ 6 ( x + y ) =5 ( x − y )
x− y 6

x 3y
20% x =4 + 30% y ⇒ =4 + 2p
5 10

44

Modele de subiecte

  88
 x = −11 y
 x = 5

 ⇒ 2p
2= 40  y = −8
x − 3y

 
 5

4. a) A ( 0, 2 ) ∈ G f ⇔ f ( 0 ) = 2 ⇒ −1 ≠ 2 2p

ro
2p
B ( −1, −4 ) ∈ G f ⇔ f ( −1) = −4 ⇒ −3 − 1 = −4
1p
A ( 0, 2 ) ∉ G f şi B ( −1, −4 ) ∈ G f

o.
b) f ( m + 2 )= 3 ( m + 2 ) − 1= 3m + 5 2p

f ( m − 3)= 3 ( m − 3) − 1= 3m − 10

nf 2p
ei 7
3m + 5 + 3m − 10 = 9 ⇒ 6m = 14 ⇒ m =
3 1p
at
5 1 1 8 2p
− =
3 x − 4 3 x + 4 ( 3x − 4 )( 3x + 4 )
.m

9 x 2 + 24 x + 16 ( 3 x + 4 )
2
1p
=
4 4

( 3x + 4 ) 2 ( 3x + 4 )
2
w

8
⋅ = 1p
( 3x − 4 )( 3x + 4 ) 4 3x − 4
w

2 ( 3x + 4 ) 4 − 3x 3 ( x + 4 )
+ = 1p
3x − 4 3x − 4 3x − 4
w

puncte)

1. a) MABB′A′ - piramidă regulată 1p

MO ⊥ ( ABB′ ) unde {= AB′ ∩ A′B
O} 1p

3p
Înălţimea MO = 5 3cm

b) O apotemă a piramidei este ( MD ) cu D mijlocul lui ( AB ) 1p

45

Modele de subiecte

a p = 10cm 2p

1p
Pb ⋅ a p
Al =
2

20 ⋅10 1p
=Al = 100cm 2
2

ro
c) V prismei = Ab ⋅ h = 25 3 ⋅10 = 250 3cm3 2p

o.
2p
A ⋅ h 100 ⋅ 5 3 500 3 3
V piramidei =
= b = cm
3 3 3

nf
500 3 250 3 3 1p
Volumul de metal ce se pierde 250 3 − =cm
3 3
ei
2. a) Ariile celor 4 porţiuni haşurate sunt egale fiecare cu 12m 2 4p

Suprafaţa haşurată este de 48m 2 1p
at
b) AABCD = 112m 2 2p
.m

3p
Suprafaţa aleilor este 112m 2 − 48m 2 =
64m 2

c) Volumul de pietriş este produsul dintre suprafaţa aleilor şi înălţimea 3p
pietrişului
w

2p
Volumul de pietriş este: 64 ⋅ 0, 05 =
3, 2m 2
w
w

46

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. −5 5p

ro
2. 108 5p

3. 1 5p

o.
2

4. P = 38cm 5p

5. 600

nf 5p

6. 25%
ei 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

1. Desenează trunchiul de piramidă 4p
.m

Notează trunchiul 1p

2. −1 ≤ 2 x + 3 ≤ 7 ⇒ x ∈ [ −2.2] 3p
w

2p
A ∩  = 2}
{0,1,
w

3. ( x − 1) − ( y + 2 ) = ( x + y )( x − y ) + 3 ⇒ − x − 2 y = 3 2p
2 2

1p
3 x − 2 ( y + 1) =5 ⇒ 3 x − 2 y =7
w

− x − 2 y 3= 1
=  x
 ⇒ ⇒S= {(1, −2 )} 2p
3x − 2 y =  y =
7 −2

4. a) fie M G f ∩ Gg
= 1p

 x −1 y = 4
= x
 ⇒
2 x= 5 = 3
−y y 3p

47

Modele de subiecte

Punctul de intersecţie M ( 4,3) 1p

b) ( f ( x ) + 2 ) ⋅ g ( x ) = ( x + 1)( 2 x − 5 ) = 2 x 2 − 3 x − 5 2p

1p
2 ( x − 1) + 6 x + 3 2 x 2 + 2 x + 5
=
2

1p

ro
2 x − 3 x − 5 2 x + 2 x + 5 ⇒ −5 x 10
2
= 2
=
1p
soluţia ecuaţiei: x = −2

o.
5 Formula de calcul prescurtat: a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b ) 1p

2p

nf
( 3x 2 + 2 ) − 25x= ( 3x 2 + 2 ) − 5x  ⋅ ( 3x 2 + 2 ) + 5x 
   
2 2

2p
E ( x )= ( 3x 2
− 5 x + 2 )( 3 x 2 + 5 x + 2 )
ei
puncte)
at
1. Ab ⋅ h 1p
a) V piramidei =
.m

3
2p
Ab = 36 3cm 2

V p = 72 3cm3
w

2p

b) V prismei Ab ⋅ h
= 5p
w

V prismei = 432 3cm3
w

Volumul de material ce se pierde 432 3 − 2 ⋅ 72 3 =288 3cm3

c) Piramidele cu vârful în V şi bazele ABB′A′ , BCC ′B′ , respectiv ACC ′A′ au 3p
volumele egale

288 3
=
VVABB′A′ = 96 3cm3 2p
3

2.
a) Atrapez =
( B + b) ⋅ h 1p
2

48

Modele de subiecte

CE ⊥ AB şi CE = 3 3cm 2p

2p
Atrapez = 27 3cm 2

6⋅3 3 3p
b)=
AMCD = 9 3cm 2
2

ro
9 3 1
Raportul ariilor = 2p
27 3 3

o.
c) Justificarea faptului că BMDC este romb 3p

MC  AD justificat

nf
1p

BD ⊥ MC ⇒ BD ⊥ AD 1p
ei
at
.m
w
w
w

49

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 6 5p

ro
2. A ∩ B = 4}
{0, 5p

3. y = 1, 45 5p

o.
4. A = 36π cm 2 5p

5.

6.
SM şi MC

27,5%
nf 5p

5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Desenează trunchiul de piramidă 4p
.m

Notează trunchiul de piramidă 1p

2. Amplificarea fracţiilor 1p
w

5 x − 5 + 2 x = 10 − 2 x − 3 1p

5 x + 2 x + 2 x = 10 − 3 + 5 1p
w

9 x = 12 1p

4 1p
w

soluţia: x =
3

3. a+b+c =
180 2p
⇒b=45
a+c =3b

cel mai mic număr prim de 2 cifre este 11 1p
a = 11 ⇒ c = 3b − a ⇒ c = 135 − 11 = 124 sau 1p
c = 11 ⇒ a = 3b − c ⇒ a = 135 − 11 = 124
1p

50

Modele de subiecte

= 11, b 45, c 124 sau a 124, b 45, c 11
a = = = = =

4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului 4p


b) f ( −2 ) + f ( −1) + f (1) + f ( 2 ) + f ( n ) = − 1 − 5 − 7 − 2n − 3 = 2n − 15
1 − 3p

ro
1p
−2n − 15 =
15
1p

o.
n =15 ∈ 
−

5
( ) ( )( ) ( ) =( ) 3p
2 2 2
3+ 2 +2 3+ 2 ⋅ 5− 2 + 5− 2 3+ 2+ 5− 2

nf
1p
( )
2
p= + 5
3 =2 15
8+
ei
p∉ 1p
at
puncte)
.m

1. a) Proiecţia lui A′B pe planul ( ADD′ ) este A′A 2p

( )
1p
Măsura unghiului dintre A′B şi planul ( ADD′ ) este m 
AA′B
w

tg (
AA′B
= ) 9 3
=
12 4
2p
w

b) Dacă h este înălţimea apei atunci Vapă = 12 ⋅ 6 ⋅ h = 432 3p

2p
w

h = 6dm

c) Notăm h′ înălţimea cu care creşte apa 12 ⋅ 6 ⋅ h′ = 63 = 216dm3 3p

h′ =
= 216 : 72 3dm 2p

2. a) Toate cele 6 pătrate sunt congruente 2p

Aria unui pătrat este 62 = 36m 2 2p

Aria căutată 6 ⋅ 36 = 2
216m 1p

51

Modele de subiecte

b) Cele 6 triunghiuri haşurate sunt echilaterale 3p

Perimetrul este 12 ⋅ 6 =72m 2p

c) Hexagonul se poate descompune în 6 triunghiuri echilaterale congruente cu 4p
cele haşurate
1p
Cele două arii sunt egale

ro
o.
nf
ei
at
.m
w
w
w

52

Modele de subiecte

Varianta 24 Prof Ionel Brabeceanu
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 89 5p

ro
2. 36 5p

3. 3 5p

o.
4

4. 10cm 5p

5. 900

nf 5p

6. 100 C
ei 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

1. Desenează un paralelipiped dreptunghic 4p
.m

Notează paralelipipedul 1p

2. a+b+c = 210 2p
⇒ 7c 210 ⇒ c 30
= =
w

a + b =c
6
1p
cel mai mare număr prim de 2 cifre este 97 1p
w

a = 97 ⇒ b = 180 − 97 ⇒ b = 83 1p
= 97, b 83, c 30 sau a 83, b 97, c 30
a = = = = =
w

3. x 2 − 4 − x 2 + 10 x − 25 ≤ 7 x + 13 2p

3 x ≤ 42 ⇒ x ≤ 14 2p

x ∈ ( −∞,14] 1p

4. 20 S S 1p
a) în prima zi cheltuieşte: 20% S
= =
100 5
1p

53

Modele de subiecte

35S 7 S
în a doua zi cheltuieşte: 35% S
= =
100 20
2p
1 S
în a treia zi cheltuieşte: S = 25% S
= 1p
4 4

în cele 3 zile cheltuieşte: 20% S + 35% S + 25% S =
80% S

ro
 S 7S S  2p
b) S −  + + = 100
 5 20 4 

o.
4S
S− =
100 2p
5

nf
1p
S = 500

5 ( 4 x + 1)(1 − 4 x ) = 16 x 2
1− 1p
ei
1p
( 4 x − 3) = 16 x 2 − 24 x + 9
2
at
1p
( 4 x + 3) = 16 x + 24 x + 9
2 2

2p
.m

−32 x 2 + 2 + 32 x 2 + 18 =20

puncte)
w

1. x 2p
a) Notez cu x lungimea laturii unui triunghi echilateral şi BH =
2
w

x
x+x+ =20 1p
2
w

2p
x = 8cm

b) ∆HBC - dreptunghic în B şi BC 2 CH 2 − HB 2
= 2p

BC 2 = 82 − 42 = 48 2p

1p
BC = 4 3cm

c) ∆AOD - echilateral 2p

54

Modele de subiecte

AD 2p
=
AO = 4 3
2

(=
4 3) ⋅ 3
2
1p
=AAOD 12 3cm 2
4

ro
2. a) Pe lungime încap 10 pătrate 2p

Pe lăţime încap 60 :10 = 6 pătrate 2p

o.
Lăţime = ⋅ 20 = cm = 2m
6 120 1, 1p

b) Cele 4 arce formează un cerc cu raza de 10cm 2p

nf
Lungimea arcelor dintr-un pătrat este 2π ⋅10 =π cm

Lungimea tuturor arcelor este 12π m
20 2p

1p
ei
c)Lungimea tuturor arcelor este cuprinsă între 37, 68 şi 37,8 3p
at
Nr. minim de bare de 2m este 19 2p
.m
w
w
w

55

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 2,1 5p

ro
2. 180 5p

3. 3 5p

o.
4. L = 21m 5p

nf
5. 600 5p

6. x =1 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Desenează piramida regulată 4p
.m


2. Notăm cu x - nr. de zile pentru finalizarea lucrării; lucrarea se termină în 1p
x − 3 zile
1p
w

56 ( x − 3) reprezintă nr. de butuci altoiţi în loc de 50x

punerea în ecuaţie: 56 ( x − 3) = 50 x + 120
w

2p

6 x= 288 ⇒ x= 48 zile 1p
w

3. x2 − 9 = ( x − 3)( x + 3) 1p

1p
x 2 − 25 = ( x − 5 )( x + 5 )
1p
x + 10 x + 25 = ( x + 5 )
2 2

1p

x2 + 6 x + 9 = ( x + 3)
2

1p

56

Modele de subiecte

(x 2
− 9 )( x 2 − 25 )
=
( x − 3)( x − 5)
(x 2
+ 10 x + 25 )( x + 6 x + 9 )
2
( x + 5)( x + 3)

4. a) A ( −2,1) ∈ G f ⇔ f ( −2 ) =
1 2p

1p
f ( −2 ) =2a + 5
−

ro
1p
−2a + 5 =
1
1p

o.
a=2

b) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului 4p

nf

5 12 − 3 x − 12 ≤ −5 x + 6 1p
ei
−3 x + 5 x ≤ 6 1p
at
2x ≤ 6 1p

x≤3 1p
.m

x ∈ ( −∞,3] 1p

w

puncte)

1. a) Dacă a şi b sunt celelalte două dimensiuni, volumul de apă se scrie 2p
a ⋅ b ⋅ 2 , a ⋅12 ⋅ 3 , b ⋅12 ⋅ 4
w

1p
2= 36a 48b
ab =
2p
w

a = 24cm , b = 18cm

b) Vapă = 24 ⋅18 ⋅ 2 4p

1p
Vapă = 864cm3

c) Vcutie = 24 ⋅18 ⋅12 = 5184cm3 3p

1p
5184cm3 = 5,184l

57

Modele de subiecte

5,184 < 5, 2 1p

2. a) ∆AMS este echilateral 3p

AM = MS şi MS = MN atunci AM = MN 2p

b) Analog BN = MN 2p

ro
1 3p
=
MN = 4cm
AB
3

o.
122 ⋅ 3 2p
c) AABC = 36 3cm 2
=
4

AAMS
42 ⋅ 3
= = 4 3cm 2
4
nf 1p
ei 1p
AMNPQRS 36 3 − 3 ⋅ 4 = 24 3cm
= 3 2

1p
at
2
⋅ 36 3 =
24 3
3
.m
w
w
w

58

Modele de subiecte


SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. 4, 4 5p

2. 4535 5p

o.
3. x= 4 ∈  5p

nf
4. [ MN ] = 3 2cm 5p

5. [ AE ] = 6cm 5p
ei
6. x =1 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. Desenează prisma triunghiulară regulată 4p

Notează prisma 1p
w

2. Notăm cu x - nr. merelor din al doilea sac 1p

3x 3x 3 1p
+x+ ⋅ = 460
w

4 4 2

x = 160 mere în al doilea sac
w

1p
3
⋅160 = mere în primul sac
120 1p
4
1p
3
⋅120 = mere în al treilea sac
180
2

3. x - preţul mărfii 1p

12 1p
⋅x =25,8
100

59

Modele de subiecte

= 25 ⋅ 8, 6
x 2p

x = 215 1p

4. a) M ( 0,3m ) ∈ G f ⇔ f ( 0 ) =
3m 1p

1p
1

ro
m + 1 3m ⇒ m=
=
2

1  1
f ( x) =  + 2  x + +1 2p

o.
2  2

5 3
f (=
x) x+

nf
2 2 1p

5 3 1p
b) f (1) = + =4
2 2
ei
−5 3
f ( −1) = + =−1 ⇒ f ( −1) =−1 =1 2p
at
2 2

f (1) + f ( −1) 4 + 1 5
=
ma = =
.m

2 2 2 2p

5 x +1 + 2x + 2 = x +1 + 2 x +1 1p

1p
w

3 x +1 =3
1p
x +1 =
1
w

1p
x=0
1p
w

x = −2

puncte)

1.
=
a) V
h
3
(
AB + Ab + AB Ab ) 1p

AB = 1600cm 2
1p

60

Modele de subiecte

Ab = 400cm 2 1p

24 2p
=V (1600 + 400 + 40= 22400cm3
⋅ 20 )
3

b) Al =
( PB + Pb ) ⋅ at 1p

ro
2
2p
at2 = 102 + 242 = 676 ⇒ at = 26cm

o.
=Al
(=
160 + 80 ) ⋅ 26
3120cm 2
2p
2

nf
c) Notăm cu x latura pătratului ce reprezintă suprafaţa apei

( 400 + x 2 + 20 x )
18 1p
=
Vapă
3
ei
2p
6 ( 400 + x 2 + 20 x ) =
13950
at
( x + 10 ) =
2
2025 1p
.m

1p
x = 35 ⇒ x 2 = 1225cm 2

2. = =
a) Apătrat 152 225m 2 1p
w

1p
Acurte = 25 ⋅ 40 = 1000m 2
2p
w

p 225
=
100 1000 1p

p = 22,5%
w

b) ∆ADR - dreptunghic isoscel, AD DR 25m
= = 1p

CR = 40 − 25 = 15m 1p

ABCR - trapez dreptunghic 1p

AABCR =
( 40 + 15) ⋅ 25 1p
2
1p

61

Modele de subiecte

AABCR = 687,5m 2

c) {= MP ∩ CD , PE = 10m
E} 2p

1p
ER = 25 − 15 = 10m
2p

ro
PR = 10 2m

o.
nf
ei
at
.m
w
w
w

62

Modele de subiecte


SUBIECTUL I (30 de

ro
puncte)

1. 1 5p

o.
2. −2 5p
3

a ⋅b =

nf
3. 6 5p

4. A = 50cm 2 5p
ei
5. 900 5p
at
6. x = −3 5p
.m

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

1. Desenează prisma patrulateră regulată 4p
w

Notează prisma 1p
w

2. x - nr. necunoscut 1p

12 ( x − 8 ) + 2 x =
44 2p
w

1p
14 x = 140
1p
x = 10

3. 128 p 1p
=
800 100

400
=p = 16 2p
25

63

Modele de subiecte

128 costume reprezintă 16% din cele 800 costume 2p

4. a) A ( 2,3) ∈ G f ⇔ f ( 2 ) =
3 2p

2p
2m + 1 =3
1p
m =1

ro
b) f ( 0 ) = 1 ; f (1) = 2 ; f ( 2 ) = 3 ; ….. f ( 69 ) = 70 2p

o.
3p
1+ 2 + 3=
+  + 69
(1 + 69 ) ⋅ 69
= 2415
2

nf
5 x −1 − 2 x − 2 + 5x − 5 = x −1 − 2 x −1 + 5 x −1 = 4 x −1 2p

1p
4 x −1 =4
ei
1p
x −1 =
1
1p
at
x =0;x = 2
.m

puncte)

1. a) Dacă CE ⊥ AB ⇒ ∆BEC - dreptunghic şi isoscel 2p
w

AB = 2 + 3 + 2 = 7 m 1p

AABCD =
( AB + CD ) ⋅ CE 1p
w

2
1p
AABCD = 10m 2
w

b) Vbeton AABCD ⋅ BB′
= 3p

2p
Vbeton = ⋅100 =
10 1000m3

= densitatea × volum
c) G 2p

1000m3 = 1000000dm3 2p

G=
2,5 ⋅1000000 Kg =
2500t 1p

64

Modele de subiecte

2. a) = V prismă + V piramidă
Vcort 2p

V prismă = 16 ⋅ 2 = 32m3
1p
16 ⋅1,5
V= = 8m3
piramidă
3 1p

ro
Vcort = 32 + 8 = 40m3 1p

b) Scort Al prismă + Al piramidă
= 1p

o.
1p
Al prismă = 16 ⋅ 2 = 32m 2
1p

nf
a p = 2,5m
1p
16 ⋅ 2,5
Al= = 20m 2
piramidă
2
ei 1p

Scort = 32 + 20 = 52m 2
at
c) S pânză = Scort 1p
.m

2p
S pânză= L ⋅1,3
1p
L ⋅1,3 =
52
1p
w

L = 40m
w
w

65

Modele de subiecte

Varianta 28 Prof. Breazu Nicolae
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 2 3 5p

ro
2. 30 5p

3. 50 5p

o.
4. 6 3 5p

nf
5. 90 5p

6. 220 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Desen trapez 3p
Trapezul este dreptunghic 2p
.m

2. Ridicare corectă la pătrat 2p
Rezolvare până se obţine x ≤ 5 2p
A = {0;1; 2;3; 4;5} 1p
w

3. 23 1 1p
2, ( 5 ) = şi 0, ( 3) =
9 3

w

23
a + 3b =
 9
 1p
b − 3a = 1

w

 3
Cunoaşterea unei metode de rezolvare a sistemului
1p
7 4
a= şi b = 2p
45 5

4. a) două puncte corect determinate pe graficul funcţiei f 2p
două puncte corect determinate pe graficul funcţiei g 2p
trasarea dreptelor prin punctele determinate 1p

b) f ( x ) = g ( x ) 1p
2p
x − 5 = 2x + 1 ⇒ x =
− 2
2p

66

Modele de subiecte

y = −3 şi M ( 2; −3)

5 Calcule şi rezultatul împărţirii egal 3 2p
Calcule şi rezultatul înmulţirii egal 4 2p
Rezultat final 7 ∈  1p

puncte)

ro
1. a)notam cu x, muchia tetraedrului înlăturat 1p
muchia rosie este egala cu 3-2x, de unde concluzia 4p

o.
b) muchia unui tetraedru înlăturat este o treime din muchia pietrei originale,
adică de 1 cm; 2p
l3 2
Formula pentru volumul tetraedrului regulat V =

nf
; 2p
12
2 1p
Volumul total cm3
4
ei
27 2 9 2 3p
=
c) Vinitial = ;
12 4
at
9 2 2
Vfinal = Vinitial − Vtetraedre = − = 2 2 cm3 2p
4 4
.m

2. a) diagonala pătratului este de 4 2 dm 1p
AC
EH = 2 2 dm, ca linie mijlocie în triunghiul ADC
= 2p
2
EH=2R
1p
w

R = 2 dm 1p

= =
b) A patrat AB2 16dm 2 2p
w

πR 2 2p
=
Asemidisc = π
2
=− 4Asemidisc =
16 − 4π
w

A nehaşurată A patrat 1p

AB 1p
=
c) OE = 2 dm
2
1p
OE − R 2dm − 2dm
=
1p
2  1.41...
OE − R  0, 6dm < 1dm , deci decuparea nu este posibilă 2p

67

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 1 5p
2

ro
2. 160 5p

o.
3. 9800 5p

4. 2 5p

5. 60

nf 5p

6. 0,4
ei 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

1. Desen unghi diedru 3p
.m

Precizarea unghiului plan al diedrului 2p

Ecuaţia x − 3x + 2 =
2. 2
0 2p
{x1; x 2 } = {1; 2} 2p
w

x1 − x 2 =
1 1p

3. a
 b = 0,8
w


 2p
 a + b = 4,5
 2

w

a+b= 1,8b
1p
= 5, a 4
b =
2p

4. x +1 x 2x − 1 2p
a) − =
x − 2 x − 1 ( x − 2 )( x − 1)
2x − 1 2x − 1
= 2p
x − x − 2 ( x + 1)( x − 2 )
2

Împărţirea şi rezultatul final 1p

b) a − 1 ∈ D 2 = {±1; ±2} 3p

68

Modele de subiecte

soluţii acceptate a ∈ {0;3} 2p

5 2p
6 + 2 5 = 5 + 1, 6 − 2 5 = 5 −1
x= 5 1p

(x )
2011
2
+x− 5 − 1 52011 − 1
= 1p

ro
52011 − 1 are ultimele două cifre 24 , de aici divizibilitatea cu 4 1p


o.
puncte)

1. a) Vparalelipiped = L ⋅ l ⋅ h = 20 ⋅ 8 ⋅ 8 = 1280 m3 2p

nf
8 1 1 MN 2 3 2p
lhexagon = =
MN = Vacoperis = hex. =
4 m; Vprisma ⋅6 =;
12 3 m3
2 2 2 4
Vhală = Vparalelipiped + Vacoperis = + 12 3 m
1280
ei 1p

4 3
b) h stâlp = + a 6 = +
h 8 = +2 3m
8 5p
at
2

c) A pereti= ( 2L + 2l ) ⋅ h= 448m 2 2p
.m

3 ⋅ 42 3 2p
A acoperiş A hexagon + 3A fata=
= lat. + 3 ⋅ 4 ⋅= 24 3 + 240 m 2
20
2
( )
Cantitate vopsea 24 3 + 240 ⋅ 0, 2 ≈ 56,31litri 1p
w

2. a) Aplicarea teoremei Pitagora 3p

= =
AD AE 10 3 2p
w

b) A ADCE = 2A ADC = AD ⋅ DC = 10 3 ⋅10 = 100 3 2p
w

50π
Aria sector cerc de centru A este A1 = 1p
3

100π 1p
Aria sector de cerc de centru C este A 2 =
3

A hasurata A ADCE − A1 − A 2 100 3 − 50π
= = 1p

2 3−π 3p
c) A hasurata = r 2
2

69

Modele de subiecte

1 2p
r=
2 3−π


ro
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

o.
1. 30 5p

nf
2. 16 5p

3. 3 5p
ei
4. 4,5 5p
at
5. 3+ 6 5p

6. 2,3,1 5p
.m

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

1. Desen trunghi isoscel 3p
w

Triunghiul are un unghi obtuz 2p

2. 4x 2 − 12x + 10 = ( 2x − 3)2 + 1 2p
w

3
2x − 3 = 0 ⇒ x = 1p
2
w

3 1p
3 − 5y = 0 ⇒ y =
5
E min = 1 1p

3. a b 1p
=
3 7
Substituie b cu 2a+4 1p
a=12 2p
b=28 1p

4. a) f ( a ) = 16 1p
2p
calcule ce duc la a 2 = 16

70

Modele de subiecte

a = ±4 2p

b) f ( x )= x + 2 1p
20 ⋅ 21
1 + 2 + ... + 20
= = 210 2p
2 2p
Calcule şi rezultat S=250

5 1 3 1p

ro
2− =
2 2
k k +1
3 3 2
  :  = 2p
2 2 3

o.
1004
2
Produsul este egal cu   <1 2p
3

nf
puncte)

1. a) diagonala cubului d = 3 3 m
ei 1p
1p
diagonala unei feţe d ' = 3 2 m
at
6 3p
cos α =
3

1p
.m

d 3 3
=
b) lcablu = m
2 2
l total = cablu =3 m
4⋅l 6 4p

c) împărţire a cubului în 27 cuburi congruente cu latura de 1m 2p
w

din principiul lui Dirichlet, există cel puţin 2 fluturi într-un cub mic 2p
diagonala cubului mic este 3 < 1,8 , de unde concluzia 1p
w

2. a) FE = 2 2 ; 1p
1p
HG = 2 ;
3p
= = 13
w

FH EG

b) EH = 17 1p
HI HG HI 1
= , deci = 1p
EI FE EI 2
EH 3
Folosind proporţii derivate, = 1p
EI 2
2 17 17
EI = ; IH =
3 3 2p

71

Modele de subiecte

c) A ABCD = 16 1p
1
A DEF = 2 ; A BGH = = =
; A AFH A ECG 3 3p
2
A piesa = A ABCD − A DEF − A BGH − 2A AFH = 7,5 1p

ro

o.
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1.

2.
40

10
nf 5p

5p
ei
3. 1600 5p
at
4. 3 5p
.m

5. 4 3 5p

6. 200 5p
w

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

Desen drepte paralele tăiate de o secantă
w

1. 3p

Unghiuri alterne-interne marcate corect 2p
w

=2. A {= {0;7;14; 21; 28;35; 42; 49;56}
0;5;10;15; 20; 25} ; B 2p
A∪B = {0;5;7;10;14;15; 20; 21; 25; 28;35; 42; 49;56} are 14 elemente 2p
A ∩ B =} are un element
{0 1p

3. a + b =64 2p

= 3b + 8
a

Substituim a în prima ecuaţie şi obţinem 4b = 56 1p

72

Modele de subiecte

b=14; a=50 2p

4. a) desfacere paranteze 3p

reducere a termenilor asemenea şi obţinere a rezultatului 2p

b) se foloseşte punctul a) 1p

ro
1
Calcule şi obţinerea rezultatului F ( a ) = −
( a + 1) ( a 2 + a − 1) 2p

1
Rezolvarea ecuaţiei F ( a ) = −
2p
şi rezultatul a=0

o.
a −1
3

5 2+ 3 1p
= 2+ 3

nf
2− 3
2+ 2 1p
= 2 +1
2− 2
ei
5+ 2 6 = 2 + 3 1p
Calcule şi rezultat 3∈ 
at
2p

puncte)
.m

1. Ab ⋅ h 1p
a) Vpiramida =
3
2
= EO
h =
w

2p
2
2 1p
VABCDE = cm3
w

6
2
Vcorp = cm3 1p
3
w

= = =
b) EF AC BD 2 cm 5p

c) ABCD ≡ BDEF , pătrate cu latura de 1cm 3p
= =
A ABCD A BDEF 1cm 2 2p

2. a) ∆ ABC isoscel cu h B = 12 3p
AC ⋅ h B
= = 60
A ABC 2p
2

73

Modele de subiecte

2A ABC 120 2p
b) Dacă CC ' ⊥ AB , atunci CC '
= =
AB 13
CC ' 60 1p
=
MN =
2 13
13 60
A MNPQ = L ⋅ l = ⋅ = 30 2p
2 13

CC '− MN NC NP 2p

ro
c) din asemănări de triunghiuri = =
CC ' AC AB
13y x
notăm NP=x; MN=y şi atunci obţinem 1 − =
120 13

o.
1p
120 169  13  
2
A MNPQ = xy =  −x −   1p
169  4 
 2  

nf
13
Aria este maximă pentru x = , adică A max = 30
ei 2 1p
at
.m
w
w
w

74

Modele de subiecte

Varianta 32 Prof. Bulgăr Delia Valentina
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 57 5p

ro
2. 5,5 5p

3. 384 5p

o.
4. 30 5p

nf
5. 60 5p

6. 10 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at

.m

2. 2 a 2 2 13 2a + 3b 2a 3b 2 a 2p
⋅ +1 = ⋅ +1 = = + = ⋅ +1
3 b 3 3 9 3b 3b 3b 3 b
w

6 1
0,(6)= = 1p
9 3
w

2 a 2 2 13
⋅ +1 = ⋅ +1 =
3 b 3 3 9 2p
w

3. Se notează cu x timpul parcurs pe jos în drum spre şcoală, cu y timpul parcurs
cu maşina spre şcoală. Ţinând cont că elevului îi trebuie acelaşi timp la dus ca
şi la întors (mergând cu acelaşi mijloc de transport), scrie:

x + y = 45 2p

 2 y = 20 1p
y=10

x=35 1p

75

Modele de subiecte

2x=70 (adică drumul dus-întors parcurs pe jos) 1p



b) x=0 ⇒ f(0)=-2; A(0,-2) 2p

ro
y=0 ⇒ f(x)=0 ⇒ 2x-2=0 ⇒ x=1,B(1,0) 3p

o.
5 1 − 2a + a 2 = (1 − a ) 2 = − a
1 1p

1 + 2a + a 2 = (1 + a ) 2 = + a
1

nf
1p
a>1 ⇒ 1 − a =a-1; 1 + a =1+a
1p
2
ei
x= ⋅ (a − 1 + 1 + a ) =4 1p
a
at
x= 4= 2 ∈  1p

.m

puncte)

1. a) L=50cm=5dm,l=40cm=4dm 1p
w

35 l =35dm 3 1p

Notând cu x înălţimea la care ajunge apa, avem: 35=5·4·x, 2p
w

x=1,75dm (17,5cm) 1p
w

b) Vac v = 5 ⋅ 4 ⋅ 3dm3 = 60dm3 = 60l 4p

1p
V1 = 60l − 35l = 25l

c) V acv= 60dm3 60000cm3
= 60l = 2p

2p
V cub 2= 8cm3
= 3
1p
Vor intra 60000:8=7500 cubuleţe

76

Modele de subiecte

2. a) MP=8m 1p

NQ=6m 1p

MP ⋅ NQ 2p
A rond =
2

8⋅6
= 24m 2

ro
A rond = 1p
2

o.
b) A dr = AB ⋅ BC = 16 ⋅ 6 = 96m 2 1p

1p

nf
A haş= Adr − 2 ⋅ Arond
1p
2·A rond = ⋅ 24 = m 2
2 48
ei 1p
A haş = 96 − 48 = 48m 2
1p
at
A haş= 2 ⋅ Arond

c) Cea mai mare distanţă dintre două puncte ale dreptunghiului este lungimea 2p
.m

diagonalei [AC]

Folosind teorema lui Pitagora se obţine:AC= 162 + 62 =292
2p
w

Finalizare 292 < 324 =
18 1p
w
w

77

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 2 5p

ro
2. 8 5p

3. 144 5p

o.
4. 6 5p

nf
5. 1 2 5p
sau
2 2

6. joi
ei 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

.m


2. 1+3x 11 2p
Prelucrează relaţia <4 şi obţine x <
w

3 3

11
A=(- ∞ , ) 1p
w

3
1p
B={1,2,3,4,6,12}
w

A ∩ B={1,2,3} 1p

3. 1 1 1 2p
x+ x+ x =
17,5
4 8 16
2p
5x=280
1p
x=56

4. a)A(0,-3) ∈ G f ⇒ f(0)=-3 ⇒ b=-3 2p

78

Modele de subiecte

B(2,1) ∈ G f ⇒ f(2)=1 ⇒ 2a+b=1 2p

a=2 1p

b) Fie M(x,y) ∈ G f cu x=y 2p

2x-3=x 1p

ro
x=3 1p

1p

o.
M(3,3)

5 Raţionalizează numitorii obţinând:

nf
2 − 1 3 − 2 47(6 2 − 5) 2p
N= ( + − )⋅7
1 7 7 ⋅ 47
ei
Aduce la acelaşi numitor obţinând:

7 2 −7 +3− 2 −6 2 +5
⋅7 2p
at
N=
7
1p
Finalizare N=1 ∈ 
.m

puncte)
w

1. a)P b =2 ⋅ (6 + 5) =22 ) (m) 2p

2p
A l Pb ⋅ h =22·4=88 (m 2 )
=
w

1p
88:2=44 (m liniari)
w

b)V=L·l·h 3p

V=6·5·4=120 (m 3 ) 2p

c) Notând cu x înălţimea la care ajunge nisipul, avem: 75=6·5·x, 2p

75 2p
x=
30
1p
x=2,5 (m)

79

Modele de subiecte

2. a)Raza cercului cu diametrul AB= 20m 1p

Raza cercului cu diametrul BC= 10m 1p

Lungimea a două semicercuri opuse este egală cu lungimea cercului. 2p
Lungimea cercului = 2π R
1p
Lungimea gardului= (60 π +120) m

ro
b)Aria dreptunghiului=800m 2 1p

Aria a două dintre semidiscuri (cu raza 10m)=100 π m 2 1p

o.
1p
Aria celorlalte două semidiscuri (cu raza 20m)=400 π m 2

nf
1p
Aria terenului =(800+500 π )m 2
1p
800+500 π <800+500·3,15=2375<2400
ei
c)Notând cu N mijlocul lui [DC], avem PN ⊥ DC 1p

şi PN ∩ AB =} , PM ⊥ AB şi PM=40m
at
{M 2p

MB=20m 1p
.m

Aplică teorema lui Pitagora în  PMB , obţine PB= 20 5 m 1p
w
w
w

80

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. -2 5p

ro
2. 2 5p

3. 27 5p

o.
4. 12 5p

nf
5. 90 5p

6. 2 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at

.m

2. Notând cu x numărul de găini şi cu y numărul de iepuri 1p

Numărul de capete=x+y 1p
w

Numărul de picioare=2x+4y 1p
w

 x+ y = 20 2p
Rezolvă sistemul  şi află x=8, y=12
2 x + 4 y =64
w

3. 12 = 2 3 1p

1p
27 = 3 3
1p
48 = 4 3
1p
75 = 5 3
1p
a=0

81

Modele de subiecte

4. a) Calculează f(-5)=14, 1p

f(4)=-4 1p

Reprezintă A(-5,14) şi B(4,-4) 2p

Trasează segmentul închis [AB] 1p

ro
b) 4-2x+2 2 =4 1p

2p
-2x=-2 2

o.
2p
x= 2 ∈ [−5, 4]

nf
5 E(n)= (n 2 + 2n − 3)(n 2 + 2n − 5) + 1 = [(n 2 + 2n) − 3][(n 2 + 2n) − 5] +1 1p

1p
E(n)= (n 2 + 2n) 2 − 3(n 2 + 2n) − 5(n 2 + 2n) + 15 + 1
ei
1p
E(n)= (n 2 + 2n) 2 − 8(n 2 + 2n) + 16
2p
at
E(n)= (n + 2n − 4) , pătrat perfect , ∀n ∈ 
2 2

.m

puncte)

1. 3 2p
a) înălţimea blocului = ⋅16 = m)
24(
2
w

2p
Pb =4 ⋅16 =64 (m)
1p
w

aria laterală a blocului = Pb ⋅ h =64 ⋅ 24=1536(m 2 )

b)diagonala bazei piramidei=16 2 (m) 1p
w

1 1p
înălţimea piramidei= ⋅16 =m)
4(
4

aplică teorema lui Pitagora:

muchia laterală a piramidei= 42 + (8 2) 2 =12(m) 3p

c)apotema piramidei= 144 − 64 =5 (m 2 )
4 1p

82

Modele de subiecte

16 ⋅ 4 5 2p
Arie acoperiş= 4 ⋅ = 2)
128 5(m
2

Număr ţigle= 128 5= 2560 5
⋅20 = 25602 ⋅ 5 5724 ţigle
= 2p

2. a) A disc = π R 2 2p

ro
2p
Adisc = 4050π
1p
Adisc = 12757,5cm 2

o.
b) Aneacoperită Apătrat − Adisc
= 1p

Apătrat = 18225cm 2

nf 3p

1p
Aneacoperită = 5467,5cm 2
ei
2p
c) Latura pătratului haşurat= (45 2) 2 + (45 2) 2 =
at
90cm
2p
Sunt necesare 9 plăci.
.m

1p
Preţul= 378 lei
w
w
w

83

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 3 5p
2

ro
2. 10 5p

o.
3. 1 5p
6

nf
4. 4 5p
5

5. 60
ei 5p

6. 14 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. Desenează prisma 4p

Notează prisma 1p
w

2. 1 1p
3 −2 =
9
1p
w

1
2−4 =
16
w

1p
5
obţine a=
12

1 5 1 1p
aduce , , la acelaşi numitor
3 12 2
1p
finalizare

3. Notând 2n= numărul poşetelor (n ∈  ), x = preţul poşetei

84

Modele de subiecte

2n ⋅ x+2 ⋅ 25=340 3p

n ⋅ x=145 1p

Din condiţia x>100 ⇒ x=145 (lei) 1p

ro


o.
b) Notând G f OY = { A} , G f OX = {B} , f(0)=-3, A(0,-3) 1p

nf
OA ⋅ OB 1p
A =
2

3 ⋅ OB
ei
4,5 = 1p
2
2p
OB=3 ⇒ B(3, 0) ⇒ f (3) =0 ⇒ m =1
at
5 (3 x − 7) 2 = x 2 − 6 7 x + 7
9 1p
.m

1p
( 7 + 3 x)( 7 − 3 x) =− 9 x 2
7
1p
(3 x + 7) 2 = x 2 + 6 7 x + 7
9
w

2p
S= 9 x − 6 7 x + 7 +2 ⋅ (7 − 9 x ) + 9 x + 6 7 x + 7 =28
2 2 2
w

puncte)
w

1. a) Cum din datele problemei cele 16 cuburi sunt aşezate pe un pătrat, avem pe 1p
lungimea prismei 4 cuburi, pe lăţimea prismei 4 cuburi.
3p
L=12cm, l=12cm, h=3cm
1p
V= L ⋅ l ⋅ h = cm
432 3

b) Pentru a avea la bază un pătrat cu latura de 6cm sunt necesare 4 cuburi, iar 4p
pentru a avea înălţimea cubului de 6cm sunt necesare 2 cuburi suprapuse.
1p
Total cuburi=8

85

Modele de subiecte

c) Drumul minim de la F la I este „drumul drept”, adică ipotenuza  FF1 I1 , 2p
unde F1 I1 coincide cu FI din desfăşurarea laterală a cubului.

FF1 =4 ⋅ 6=24 (cm) 1p

F1 I1 =6cm 1p

ro
1p
Aplicând teorema lui Pitagora în  FF1 I1 , FI1 = 6 17 cm

2. a) A disc = π R 2 2p

o.
2p
Adisc = 400π

nf
1p
Adisc = 1260m 2

b) Agazon A − Adisc
= 1p
ei
3p
= 2500 3 ≈ 4375m 2
A
at
1p
Agazon = 3115m 2
.m

c) Punctele situate la distanţă maximă sunt vârfurile triunghiului 2p

100 3 2p
OA= R = m
3
1p
w

Finalizare
w
w

86

Modele de subiecte

Varianta 36 Prof. Burlăciuc Maria
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 10101 5p

ro
2. 3 5p

3. 14 5p

o.
4. 121 5p

nf
5. 90o 5p

6. 7 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at

.m

2. 12 ⋅ 3 =36 2p

( 30 − 12 ) ⋅ 0, 75 = ⋅ 0, 75 =
18 13,5 2p
w

1p
10 + 36 − 13,5 =
32,5
w

3. =
mg a ⋅b a > 0, b > 0 1p

2p
(4 )( )
w

=
mg 3 + 23 4 3 − 23 = 16 ⋅ 3 − 23

mg = 48 − 23 = 25 = 5 2p

4. a) x 2 − 4 = ( x − 2 )( x + 2 ) 1p

2p
x 2 − 2 x − 3 x − 6 + 12 x2 − 5x + 6
=
( x − 2 )( x + 2 ) ( x − 2 )( x + 2 )

87

Modele de subiecte

( x − 2 )( x − 3) = x − 3 2p
( x − 2 )( x + 2 ) x + 2

x−3 1p
b) ∈  ⇔ ( x + 2 ) ( x − 3) x ∈  −3; −2;0; 2;3}
−{
x+2

( x + 2 ) ( x − 3)

ro
⇒ ( x + 2 ) ( x + 2 − x + 3) ⇒ ( x + 2 ) 5 2p
( x + 2) ( x + 2)

o.
A ={−7; −1} 2p

5 A = ⋅ 32 n +1 ⋅ 22 n + 32 n + 2 ⋅ 22 n +3 2p

nf
7

= 32 n +1 ⋅ 22 n ⋅ ( 7 + 3 ⋅ 23 )
A 2p
ei 1p
A = 32 n +1 ⋅ 22 n ⋅ 31 31
at
puncte)

1. a) V cutie = a ⋅ b ⋅ c 2p
.m

V cutie = 2cm∙4cm∙6 cm = 48 cm3 3p

b) V cub = l 3 1p
w

V cub =23 =8 (cm3) 2p
w

48: 8 = 6 bucăţele zahăr cubic 2p

c) După 4 zile Ioana consumă 2 bucăţele de zahăr cubic 1p
w

6-2=4 bucăţele de zahăr cubic i-au rămas 2p

p 2p
⋅ 6 = 4 ⇒ p = 66, ( 6 ) %
100

2. a) P = 2 ⋅ L + 2 ⋅ l 1p

EF = 2R = 2∙2 cm = 4 cm 1p

DE = 3∙2R = 3∙2∙2 cm = 12 cm 1p

88

Modele de subiecte

P DEFG = 2∙4 cm + 2∙12 cm = 8 cm + 24 cm = 32 cm 2p

AB ⋅ DH AD ⋅ DB ⋅ sin ADB 2p
=
b) A ADB = {H }
unde AB ∩ DG =
2 2
1p
din  ADH cu m ( AHD ) 90o ⇒ AD = 2 2
=

ro
din  BDH cu m ( BHD ) = 90o ⇒ BD = 2 10 1p

1p
5

o.
sin ADB =
5

c) Acarton ramas ADEFG − 3 ⋅ Adisc
= 1p

ADEFG = L ⋅ l = 4 ⋅12 = 48 (cm2)

nf 1p
ei 1p
Adisc π= 4π cm2
= R2
2p
Acarton ramas = 48 − 3 ⋅ 4π = 48 − 12π ≈ 10 cm 2
at
.m


w

SUBIECTUL I (30 de
puncte)
w

1. 5 5p

2. 5 5p
w

11

3. (0; 4) 5p

4. 0,18 5p

5. 10 5p

6. 19 5p
29

89

Modele de subiecte

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

1. Desenează trunchiul de piramida patrulatera regulată 4p

Notează trunchiul de piramida patrulatera regulată 1p

2. ( a, b ) = 11 ⇒ a = 11k , b = 11l , ( k , l ) = 1 2p

ro
1p
2 ⋅11k + 5 ⋅11l 176 ⇒ 2k + 5l 16
= =

o.
2p
( a, b ) ∈ {( 33, 22 )}

3. 5∙(3a+4b+c) =5∙14 ⇒ 15a + 20b +5c = 70 2p

15a + 20b +5c – (2a-b+3c) = 70-9

nf 2p

13a + 21b + 2c = 61
ei 1p

4.
( ) =2 7 )
(3 +
2p
2 2
a) 37 + 12 7
at
( )
2
37 + 12 7 = 32 + 2 ⋅ 3 ⋅ 2 7 + 2 7 2p
.m

1p
37 + 12 7 =12 7 + 28
9+

(3 − 2 7 )
2p
w

2
b) = 7
3− 2
1p
3 < 2 7 ⇒ 3− 2 7 < 0 ⇒ 3− 2 7 = 3− 2 7 = 7 −3
− ( )
w

2

x = 2 7 + 2 7 −3 =7
3+ 4 1p
w

(x − 4 ) ( )
1p
=)
( −1
2012 2012
7 −1 = 7 − 4 7 −1 =
2012
4 1

5 f ( −1) = −2 ⇒ −a + b = −5 1p

1p
f (1) = 4 ⇒ a + b = 3

−a + b = 5,
− a =4
 ⇔ 2p
a + b =3 b = 1
−

90

Modele de subiecte

f ( x= 3 x + 1
) 1p

puncte)

1. a) Vcusca Vcuboid + V prisma
= 1p

ro
1p
Vcuboid = a ⋅ b ⋅ c = 0,8 ⋅1 ⋅ 0,8 = 0, 64 m3

o.
l2 3
=
Ab = 0,16 3 m 2
4 1p

1p
V prisma = Ab ⋅ h = 0,16 3 m3

Vcusca = m3 + 0,16 3 m3 = 4 + 3 m3
0, 64 0,16

nf ( )
1p
ei
b)= AMNPQ + APQ
Ausa 
1p
at
1p
AMNPQ = MN ⋅ NP = 60 cm ⋅ 30 cm = 1800 cm 2

π R2 900π
.m

=
APQ
 = = 450π cm 2 1p
2 2
2p
Ausa = 1800 cm 2 + 450π cm 2 ≈ 1800 cm 2 + 1413 cm 2 = 3213 cm 2
w

c) Ade vopsit Al cuboid Pb ⋅ h
= = 1p
w

2p
Al cuboid = 3, 6 ⋅ 0,8 = 2,88 m 2
2p
2,88 ⋅ 0,3 = litri vopsea
0,864
w

2. GH  CF 1p
a) ⇒ CFGH paralelogram ⇒ GH = = m si GF =
CF 2 CH
GF  CH

BH = AB – HG – GA = 24 m – 2 m – 2 m = 20 m 1p

Din  HCB cu m ( HCB ) = 90o ⇒ HC =16 m 2p

Lungimea gardului este GF=HC=16 m 1p

91

Modele de subiecte

b ⋅ i DE ⋅ AA ' 1p
=
b) A ADE =
2 2

Fie CC’ şi DD’ înălţimi în trapez

c1 ⋅ c2 HC ⋅ BC
 HCB cu m ( HCB ) =90o ⇒ CC ' = = =9, 6 m 2p
ip BH

ro
1p
 HCB cu m ( HCB ) = 90o ⇒ BC 2 = BH ⋅ BC ' ⇒ BC ' = 7, 2 m

DC=24-7,2-7,2=9,6 m ⇒ DE=DC-EF-FC =9,6-2-2=5,6 m ⇒

o.
9, 6 ⋅ 5, 6 1p
= = 26,88 m 2
A ADE
2

nf
c1 ⋅ c2 BC ⋅ CH 12 ⋅16 2p
= =
c) Aterasa A BCH = = = 96 m 2
2 2 2

10
ei
96 + ⋅ 96 = 96 + 9, 6 = 105, 6 m 2 gresie 2p
100
1p
105,6∙40 = 4224 lei costă gresia
at
.m


w

SUBIECTUL I (30 de
puncte)
w

1. 8 5p

2. 3 5p
w

3. -4 5p

4. 1 5p
4

5. 75 5p

6. 6,3 5p

92

Modele de subiecte

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

1. Desenează prisma dreaptă cu baza triunghi echilateral 4p

Notează prisma 1p

2. a 2011 a b 2p

ro
= ⇔ = = k ⇒= 2011k , = 2012k
a b
b 2012 2011 2012

2a − b 2 ⋅ 2011k − 2012k 2010k
= = = 2010

o.
3p
b−a 2012k − 2011k k

3. F echiunitară ⇔ 3n + 2 + 4 ⋅ 3n +1 + 2 ⋅ 3n + 149 =2012 1p

3n + 2 + 4 ⋅ 3n +1 + 2 ⋅ 3n =

3n ( 32 + 4 ⋅ 3 + 2 ) =
1863

nf 1p

1p
1863
ei
1p
3n ⋅ 23 =
1863
at
1p
3 = 81 ⇒ n = 4
n
.m

4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul funcţiei f 2p

Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f 2p

w
w

b) f ( n= 3n + 2
) 1p

1p
f ( n + 2 ) = 3 ( n + 2 ) + 2 = 3n + 6 + 2 = 3n + 8
w

2p
f ( n ) ⋅ f ( n + 2 ) + 9= ( 3n + 2 )( 3n + 8) + 9= 9n + 30n + 25
2

f ( n) ⋅ f ( n + 2) + 9
= ( 3n + 5) este patrat perfect, ∀n ∈ N
2
1p

5  1
2 1p
x+  =
25
 x

93

Modele de subiecte

1 1 1 1p
x 2 + 2 ⋅ x ⋅ + 2 = 25 ⇔ x 2 + 2 = 23
x x x

 1  2 1 
 x +   x + 2  =23
5⋅ 1p
 x  x 

x x2 1

ro
x + 2+ + 3=
3
115
x x x 1p

1 1 1p
x3 + = 115 − 5 ⇔ x3 + 3 = 110

o.
3
x x


nf
puncte)

1.
a) =
V
ht
(AB + Ab + AB ⋅ Ab ) 1p
3
ei
1p
A= L2 20= 400 cm 2
B = 2
1p
at
A= l = 10= 100 cm 2
b
2 2
.m

30 2p
V = ( 400 + 100 + 200 ) = ⋅ 700 =
10 7000 cm3
3

b)
M ' F FN 5 ⋅ 24
w

{F }
M ' E ⊥ OM , M ' E ∩ QN = , M ' FN M ' EM ⇒ = ⇒ FN = = 4 cm 1p
M ' E ME 30

QN = QF + FN = 5 + 4 = 9 1p
w

= = =
APRST ST 2 182 324 cm 2
w

1p
24
=
V (100 + 324 + 180 ) 4832 cm3
=
3 1p

= 4832 cm3 4,832 dm3 4,832 litri
V = = 1p

BC ⊥ OM 1p
BC ⊥ ( OMM ')
c) Fie OL ⊥ MM ' ; BC ⊥ OO ' ⇒ BC ⊥ ( OMM ') ; ⇒ BC ⊥ OL
OL ⊂ ( OMM ')
OM , OO ' ⊂ ( OMM ')

94

Modele de subiecte

OL ⊥ MM '
OL ⊥ BC
⇒ OL ⊥ ( BCC ') ⇒ d ( O; ( BCC ') ) =
OL 2p
BC , MM ' ⊂ ( BCC ')
{M }
BC ∩ MM ' =

1p
OM ⋅ M ' E MM '⋅ OL
= =

ro
AOMM '
2 2

OM ⋅ M ' E 10 ⋅ 30 60 37 1p
= cm ⇒ d ( O; ( BCC ') ) = cm
60 37
OL = =

o.
MM ' 5 37 37 37

2. DC 10 2p
= = = = 5 cm; ADE şi BCE sunt dreptunghice isoscele

nf
a) DE EC
2 2
1p
m ( AED ) = m ( BEC ) = 45 ⇒ m ( AEB ) = 180 − 45 − 45 = 90
o o o o o
ei
A AEB = 25 cm 2 2p
at
b) Agalben Adisc − A AEB
= 1p

ABE dreptunghic înscris în cerc ⇒ AB = 2R= 10 cm ⇒ R= 5 cm 1p
.m

1p
Adisc = π R 2
1p
Adisc = 25π
w

1p
Agalben = 25π − 25 = 25 (π − 1) cm 2
w

Adisc 1p
c) Aalbastru AABCD −
=
2
1p
w

AABCD = L ⋅ l = AB ⋅ BC = 10 ⋅ 5 = 50 cm 2

25π 100 − 25π
Aalbastru = −
50 = cm2 1p
2 2

100 − 25π
π > 3,14 ⇒ −25π < −78,5 ⇒ 100 − 25π < 21,5 ⇒ < 10, 75 < 11
2 2p

95

Modele de subiecte

Varianta 39 Prof: Burlăciuc Maria
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 37 5p

ro
2. ( −3; 2] 5p

3. 16 5p

o.
4. 81 3 5p

nf
5. 4 3 5p

6. 29 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Desenează trunchiul de piramidă triunghiulară regulată 4p
.m

Notează prisma 1p

2. x = 10 ⋅ c1 + 9 ⇔ x − 9 = 10 ⋅ c1 3p
x = 14 ⋅ c2 + 9 ⇔ x − 9 = 14 ⋅ c2 ⇒ x − 9 = [10,14, 20] ⋅ k
w

x = 20 ⋅ c3 + 9 ⇔ x − 9 = 20 ⋅ c3
2p
x −= 140k ⇒ = 140k + 9 < 150 ⇒ = 149 mere
w

9 x x

3. a b c 3p
= = = k ⇒ a = 3k , b = 6k , c = 2k
w

3 6 2

a 2 + b 2 + c 2 = 9k 2 + 36k 2 + 4k 2 = 49k 2 = ( 7k ) este pătratul unui număr
2
2p

4. a) Adunând cele două ecuaţii obţinem 4023a + 4023b 12069 ⇔ a + b 3
= = 1p

Scăzând cele două ecuaţii obţinem −a + b =1 1p

a + b 3, = 1,
= a 2p
 ⇔
−a + b 1 = 2
= b

96

Modele de subiecte

f : R → R, f ( x ) =
x+2 1p

b) G f ∩ Ox = { A ( −2;0 )} 2p

G f ∩ Oy =( 0; 2 )}
{B
2p

1p

ro
c1 ⋅ c2 AO ⋅ OB
=
A AOB = = 2 u2
2 2

o.
5
( n + 2 )( n + 5 )  ( n + 3)( n + 4 )  + 1
   = (n 2
+ 7 n + 10 )( n 2 + 7 n + 12 ) + 1
2p

2p
Notam n + 7 n = a ⇒
2
( a + 10 )( a + 12 ) + 1 = a + 22a + 121
2

A= ( a + 11)
2
= (n 2

nf
+ 7 n + 11) = n 2 + 7 n + 11 este număr natural, ∀n ∈ N
2
1p
ei
puncte)
at
1. Ab ⋅ h 1p
a) V =
3
.m

A= l = 100 cm2
b
2
1p

VO ⊥ ( ABC ) ⇒ pr( ABC )V = O 1p
⇒ pr ABC VA =  (VA; ( ABC ) ) = ; AO ) =
w

OA ⇒  (VA VAO
A ∈ ( ABC ) ⇒ pr( ABC ) A = ( )
A
w

l 2 1p
VOA dreptunghic isoscel ⇒ AO =VO = = 5 2 cm
2
w

500 2
V= cm3 1p
3

b) VA AB VB ⇒VAB echilateral
= = 1p

Dacă M mijloc VB ⇒ AM şi CM sunt înălţimi în triunghiurile echilaterale VAB şi VBC

97

Modele de subiecte

(VAB ) ∩ (VBC ) =
VB
AM ⊥ VB; AM ⊂ (VAB ) ⇒  ( (VAB ) ; (VBC ) )
=  ( AM ; CM ) AMC
= 1p
CM ⊥ VB; CM ⊂ (VBC )

AC ⋅ OM AM ⋅ MC ⋅ sin AMC
=
A MAC = 1p
2 2

ro
AC ⋅ OM 10 2 ⋅ 5 2 2
=
sin AMC = =
AM ⋅ MC 5 3 ⋅ 5 3 3 2p

o.
nf
ei
2p
c) Drumul cel mai scurt este egal cu lungimea segmentului BD pe
at
desfăşurarea piramidei

Fie BP înălţime în triunghiul VAB echilateral ⇒ BP = cm
5 3 1p
.m

Din  BPD cu m ( BPD ) = 90o ⇒ BD = 10 3 cm (lungimea drumului) 2p

2. a) AABCD = L ⋅ l = AB ⋅ BC 1p
w

BT şi BM tangente la acelaşi cerc ⇒ BT=BM=12 cm ⇒ AB =⋅ BM = cm
2 24 1p
w

1p
120o
OB bisectorea TOM ⇒ m ( BOM ) =
m ( BOT ) = 60o=
2
w

BT
 BOT cu m ( BTO ) =90o ⇒ tg BOT = ⇒ OT = 4 3 ⇒ BC = 2 R =8 3 cm 1p
OT
1p
AABCD = 192 3 cm 2

b) Lcerc 2= 8 3π
= πR 2p

1p
u
Asec tor circular π R 2 ⋅
=
360o

98

Modele de subiecte

( )
2 1200 2p
π⋅
Asec tor circular = 4 3 ⋅ 16π
=
360o

c) Atrapez =
( B + b) ⋅ i 1p
2
1p
OM ⊥ AB, OT ⊥ BE ⇒ m ( MBT ) = 360o − ( 900 + 90o + 120o ) = 60o

ro
EE ' ⊥ AB, FF ' ⊥ AB; EE ' = 8 3
2R = 1p

o.
EE ' 1p
 BEE ' cu m ( E ') = 90 ⇒ tg B = o
⇒ BE ' = 8 ⇒ EF = E ' F ' = 24 − 8 − 8 = 8
BE '

nf
AABEF = 128 3 ei 1p
at
.m
w
w
w

99

Modele de subiecte

Varianta 40 Prof: Burlacu Daniel
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 13 5p

ro
2. 2 5p

3. 5 5p

o.
4. 12 5p

nf
5. 6 5p

6. 25 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Realizare desen. 3p

Notare 2p
.m

2. Notăm cu x prețul inițial al televizorului.

10 2p
x− x=
990
w

100

90 x = 99000
w

2p
x = 1100 lei (prețul inițial al televizorului)
1p
w

3. a+b+c =30 1p

a = 2k
a b c
= = = k ⇒ b = 3k
2 3 5 2p
c = 5k
1p
2k + 3k + 5k = 30 ⇒ k = 3
1p
= 6; b 9; c 15
a = =

100

Modele de subiecte

4. f (3) =−3 + 2 ⇒ f (3) =−1 3p
a)
⇒ A(3; −1) ∈ G
2p

b)Reprezentarea corectă a unui punct de pe grafic. 2p

Reprezentarea corectă a celui de-al doilea punct de pe grafic. 2p

ro
Trasarea graficului funcției. 1p

5 A = 4 + 4 3 + 3 + 3 − 3 − 3 3 + 3 = 13 4p

o.
A∈  1p

nf
puncte)

1. ∆AMQ : m( A) = o ⇒ MQ 2 = 2 + AQ 2 ⇒ MQ 2 = 25 ⇒ MQ = 3p
a)
90
ei AM 5
Lgard 4= 20m
= MQ
2p
at
d d 68 3p
b) AMNPQ =1 2 ⇒ AMNPQ = = m 2
24
2 2
2p
.m

2410 = 240 euro costă plantarea întregi zone cu flori

S pavaj = AABCD − AMNPQ ⇒ S pavaj = 48 − 24 = 24m 2 5p

c) AABCD = 48m 2
w

AMNPQ = 24m 2
w

2. a) V Ll h ⇒ V 106= 240m3
= = 4 5p

b) Al = Pb h ⇒ Al = 324= 128m 2 3p
w

128 : 4 = 32l de vopsea 2p

c) c) V cub = 503 = 125000 cm3 3p

V camera de depozitat = 240 m3=240 000 000 cm3 2p

240 000 000 : 125 000 = 1920 cutii cubice

101

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 5 3 5p

ro
2. 0, 1, 2, 3 5p

3. 6 5p

o.
4. 4 5p

nf
5. 45o 5p

6. Vineri 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
.m

Notare 2p

2. Notăm cu x suma inițială

30 2p
w

x− x=
1400
100

70 x = 140000
w

2p
x = 2000 lei (suma inițială)
1p
w

3. Notăm cu n − numărul de copii din șscoală

= [4;5;6] + 3
n 2p
= 60 + 3
n
2p
n = 63 (numărul minim de copii din școală)
1p

4. M (a; a ) ∈ G f ⇒ f (a ) =
a 2p
a)
2a − 4 = a ⇒ a = 4
2p

102

Modele de subiecte

M (4; 4) este punctul de pe grafic cu abscisa egală cu ordonata 1p

∩Ox ⇒ f ( x) = ⇒ A(2;0)
0 2p
b) ∩Oy ⇒ f (0) = 4 ⇒ B (0; −4)
−
2p
c c2 24
= 1 = = 4u 2
A AOB
2 2 1p

ro
5 E ( x) 4 x 2 − 12 x + 9 − 3x 2 + 12 x − 12 − x 2 + 3
= 3p
⇒ Expresia nu depinde de x
E ( x) = 0
2p

o.
puncte)

1. 10 x

nf
a) ∆MBC : m( B) = o ⇒ A MBC = = m 2
90
2
5x
5p
ei
AABCD = 100m 2 2p
b) 30
at
=
A MBC  AABCD = 30
⇒ 5x 2p
100
1p
x=6
.m

(10 + 4) 3p
=
c) AAMCD = 70m 2 10
2
w

70m 2 29 = 2030 lei costă gresia pentru cameră
2p
w

2. ∆VOA : m(O) =90o ⇒ VO 2 =VA2 − AO 2 2p
a)
VO 2 = 144 − 72 ⇒ VO = 6 2m 3p
w

l2 3 4p
= 4= 144 3m 2
Al 
b) 4
1p
Al ≅ 250m 2

25020 = 5000lei 2p
50
c) 5000 = 2500lei 2p
100
5000 + 2500 = 7500lei 1p

103

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 2 2 5p

ro
2. 3 5p

3. 11 5p

o.
4. 28 5p

nf
5. 48 5p

6. 7 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
.m

Notare 2p

2. 5 3p
5000 = 250
100
2p
w

2502 = 500lei ( va fi penalizat muncitorul)

3. Notăm cu x − numărul apartamentelor cu 2 camere
w

y − numărul apartamentelor cu 3 camere
w

x + y = 56 2p

2 x + 3 y =144
 x = 24
 2p
 y = 32

În bloc sunt 24 de apartamente cu două camere si 32 de apartamente cu trei
camere.
1p

104

Modele de subiecte

4. f (3) =−1 ⇒ A(3; −1) ∈ G f 
 2p
⇒
a) g (3) =−1 ⇒ A(3; −1) ∈ Gg  2p
⇒ A(3; −1) ∈ G f ∩ Gg
1p

A(3; −1) ∈ G f ∩ Gg 1p
G f ∩ Oy ⇒ f (0) = ⇒ B(0; 2)

ro
2
2p
b) Gg ∩ Oy ⇒ g (0) = 4 ⇒ C (0; −4)
−
BC = 6u 1p

o.
bh 63
= = = 9u 2
A ABC 1p
2 2

nf
5 7 − 4 3 = (2 − 3) 2 = − 3 =− 3
2 2 2p

A= 7 + 3 + 2 − 3 = 9= 3 2p
A∈
ei
1p

at
puncte)

1. ∆AMF : m( M ) = o ⇒ AF 2 =AM 2 + MF 2
90 5p
.m

a)
AF = 500m
w
w
w

= 800600 480000m 2 48ha
A = = 3p
b) ABCD cost plantare, întreținere și recoltare.
481500 = 72000lei
2p

c) 483,5t = 168t 2p

168800 = 134400lei 2p

105

Modele de subiecte

134400 − 72000 = rămân agricultorului
62400lei 1p

2. = 203040 24000cm3 24dm3 24l
a) V = = = 3p

24l 2 48l ∠50l . Deci nu sunt suficiente două canistre.
= 2p

b) 300 : 50 = 6lei / litru 2p

ro
6lei 24 = 144lei costă canistra de benzină 3p

o.
A 2( Ll + hl + Lh)
= 2p
c)
= 2= 5200cm 2
A 2600
3p

nf
ei
at
.m
w
w
w

106

Modele de subiecte

Varianta 43 Prof. Ileana Cernovici
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 4 5p

ro
2. 21 5p

3. 42 5p

o.
4. 25 5p

nf
5. 60 5p

6. 7,40 5p
ei
(30 de
SUBIECTUL II
puncte)
at

Notează piramida
.m

1p

2. A= [ −2;5 ] 1p

numerele întregi din mulţimea A sunt : {−2;0;1; 2;3; 4;5}
w

1p

B= ( −3;3) 1p
w

numerele întregi din mulţimea B sunt: {−2; −1;0;1; 2} 1p
w

cel mai mare număr întreg care aparţine lui A şi B este 2 1p

3. Notăm cu a şi b cele 2 numere

a+b 1p
= 12
2

a+b =24
1p
a 5
=
b 7

107

Modele de subiecte

a = 10 1p

b = 14 1p

1p

a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului

ro
4. 4p


o.
b) f ( x )= 3 − 2 x

⇒a= f ( 2) = 3− 2⋅ 2 şi 1p

( )
b = − 2 = 2⋅ − 2 = 2 2
f 3− 3+ ( )
nf 1p
ei
=
mg a ⋅b 1p
at
mg = (3 − 2 2 )(3 + 2 2 ) = 9−8 = 1 2p
.m

5. x= 6 + 3 2 şi y = 18 = 3 2
6− 6− 1p

( )( ) ( )
2
x ⋅ y = 6 + 3 2 6 − 3 2 = 62 − 3 2 = 36 − 18 = 18 2p
⇒ x⋅ y =
18
w

( ) + (6 − 3 2 ) ( ) ( )
2 2 2 2
x2 + y 2 = 6 + 3 2 = 36 + 36 2 + 3 2 + 36 − 36 2 + 3 2 =
w

2p
2 ⋅ 36 + 2 ⋅18 108 ⇒ x 2 + y 2= 108
=

(30 de
SUBIECTUL III
w

puncte)

1. a) Atot = 2 ( ab + ac + bc ) = 2 ⋅ ( 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 8 + 4 ⋅ 8 ) = 2 ⋅ 56 = 112cm 2 5p

b) Vcub = V paralelipiped = 2 ⋅ 4 ⋅ 8 = 64cm3 5p

c ) V = l 3 ⇒ l 3 = 64 5p
⇒ l =cm
4
Asec tiunii l 2 ⋅= l 2 2 42 2 16 2cm 2
= l = =

108

Modele de subiecte

2. a )CD = 3m; AD = 2CD ⇒ AD = 6m 1p
ADCE dreptunghi ⇒ CE 6m
= = 1p

În triunghiul CEB avem m ( E ) 90 ; m ( B ) 45 ⇒
= = 1p
Triunghiul CEB este dreptunghic isoscel

⇒ CE = EB = 6m 1p

ro
A=
( CD + AB ) ⋅=
AD 12 ⋅ 6
= 36m 2 1p
ABCD
2 2

o.
b) notăm cu x =cantitatea de gresie cumpărată
10
x− ⋅x =36 2p
100

nf
90 100 ⋅ 36 2p
⋅ x = 36 ⇒ x = = 40
100 90
Deci vom avea nevoie de 40m 2 de gresie 1p
ei
c)In triunghiul CEB dreptunghic isoscel aplic T.Pitagora
1p
⇒ BC = BE + BC = 6 + 6 = 36 + 36 = 72
2 2 2 2 2 1p
at
⇒ BC = 72 = 6 2
1p
PABCD = AB + BC + CD + DA = 9 + 6 2 + 3 + 6 = 18 + 6 2
.m

⇒
PABCD 18 + 6 2 6 3 + 2
= = =
(
3+ 2 ) 2p
AABCD 36 36 6
w
w
w

109

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. -1 5p

ro
2.
(1 + 2 ) 5p
2
=
a

o.
3. 5 5p

4. 600 5p

5.

6.
19,85

33
nf 5p

5p
ei
(30 de
SUBIECTUL II
puncte)
at
.m


2. Notăm cele 2 unghiuri A şi B
w

m ( A ) + m ( B ) =
90 1p

m ( B ) 2p
m ( A )
w

= + 200
4
2p
m ( B ) = 560 şi m ( A ) = 340
w

3.
( x − 1) ( ) ( 3) 2p
2 2 2
= 3 +1 = + 2 3 +1 = 4 + 2 3

2 1 2 3 2+ 3
y= + =+ = 2p
3 3 3 3 3

110

Modele de subiecte

1p
2+ 3
4+2 3 =6⋅
Stabilim egalitatea : 3
(
⇔ 2 2+ 3 = 2 2+ 3 ) ( )
4. a) notăm cu x numărul apartamentelor cu 3 camere şi cu y numărul
apartamentelor cu 2 camere.

ro
5p
3 x + 2 y =76
 ⇒ x = şi y = 8
20
x + y = 28

o.
b) din p% ⋅20 =8 ⇒ p =40
5p

nf
deci 40%

5 2p
E ( x) = x − 2 + ( 3 y + 1)
2
+ 32
ei
2p
Pentru ca E minim ⇒ x − 2 = şi 3 y + 1 =
0 0
at
1p
1
⇒ x = şi y = −
2
3
.m

(30 de
SUBIECTUL III
puncte)

1. 2  ( −2 ) + ( −2 ) + 2 2p
2
 −2
E ( −2 ) 
w

a) = − : =
 −2 + 1 1 + 2  ( −2 ) − ( −2 )
4 2
w

 −2 2  4 − 2 + 2 1p
 − : =
 −1 3  16 − 4
w

 2  4 6 − 2 4 4 12
2− : = : = ⋅ =4 2p
 3  12 3 12 3 4
⇒ E ( −2 ) =
4

x 2 x 2 x ( x − 1) + 2 ( x + 1) x 2 + x + 2 3p
b) − = + = =
x +1 1 − x x +1 x −1 ( x + 1)( x − 1) x2 −1

x 2 + x + 2 x ( x − 1)
2 2

E ( x)
= ⋅ 2 =x 2 2p
x −1
2
x +x+2

111

Modele de subiecte

c ) E ( a + b + 2) = ( a + b + 2 ) = a 2 + b2 + 4 + 2ab + 4a + 4b 2p
2

E ( a + b + 2 ) + E ( a ) − 4b = 2a 2 + b 2 + 2ab + 4a + 4 =

( a 2 + b2 + 2ab ) + ( a 2 + 4a + 4 ) = ( a + b )2 + ( a + 2 )2 1p

( a + b ) + ( a + 2) = 0⇒ a+b = a+2 = 0
2 2
1p

ro
din ⇒ a =2; b =
− 2
1p
deci a = b =soluţie
−2; 2

o.
2. 9 9 3 −b ± b 2 − 4ac 2p
a)l 3 = 9 ⇒ l = = =3 3
3 3 2a

nf
l2 3
= =
Ab 1p
4
(3 3 ) ⋅
2
3 27 3 2
= 2p
cm
ei
4 4

Ab ⋅ h 1p
b ) Vdiamant
at
= =
3
27 3
⋅4 2p
.m

4 =
3
27 3
= 9 3cm3 2p
3
w

c ) Vcutie l = 5= 125cm3
= 3 3 1p
p
⋅125 = 9 3 ⇒
w

100 2p
9 3 ⋅ 4 36 3
=p = ≈ 12, 47 2p
5 5
w

112

Modele de subiecte


(30 de
SUBIECTUL I
puncte)

ro
1. 11 5p

2. 3 3 5p

o.
4

3. 150 5p

4. 300

nf 5p

5. 12
ei 5p

6. 38,5 5p
at
(30 de
SUBIECTUL II
puncte)
.m

1. Realizează desenul şi identifică figura
5p
w

2.
(
2 1− 2 ) +
2− 3
−2 2 + 3 =
(1 + 2 )(1 − 2 ) ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) 1p
w

2 (1 − 2 ) 2 − 3
+ −2 2 + 3 = 2p
−1 1
( )
w

−2 1 − 2 + 2 − 3 − 2 2 + 3 = 1p

−2 + 2 2 + 2 − 3 − 2 2 + 3 = 1p
0∈

3. a+b+2 ( a+b ) +...+100 ( a+b=
) ( a + b )(1 + 2 + ... + 100=
) 2p
100 ⋅101
(a + b) ⋅ = 1p
2
( a + b ) ⋅ 50 ⋅101 = 1p
500 ⋅101 =
50500 1p

113

Modele de subiecte

4. c1 ⋅ c2 1p
=A = 24cm 2
2

=A
(=
x + 4 )( 5 x − 2 )
24
1p
2
( x + 4 )( 5 x − 2 ) =
48
5 x 2 + 18 x − 56 =
0
Solutia care convine este x = 2 1p

ro
⇒ c 1 = 2 + 4 = 6; c2 = 5 ⋅ 2 − 2 = 8
ip 2 =c12 + c2 2 =62 + 82 = 36 + 64 = 100 1p

o.
⇒ ip =10
perimetru = 10 + 6 + 8 = 24cm 1p

nf
Nu trebuie

b) pentru triunghiul dreptunghic avem 5p

c1 ⋅ c2 6 ⋅ 8 48 24
ei
=
h = = =
ip 10 10 5
at
5 f ( x ) = g ( x ) ⇒ 2 − 3x = 2 x − 3 ⇒ x = 1 2p
f (1) = − 3 = 1
2 − 2p
.m

1p
⇒ M (1; −1)

(30 de
SUBIECTUL III
puncte)
w

1. a ) At= 2 ( ab + ac + bc ) 2 (16 ⋅10 + 16 ⋅ 30 + 10 ⋅ 30 ) 2 (160 + 480 + 300 )
= = = 5p
2 ⋅ 940 = m 2
w

1880

b) D′D ⊥ ( ABC ) , DE ⊥ AC ( E ∈ ( AC ) ) ⇒ T 3 ⊥ că D′E ⊥ AC ⇒ 1p
w

distanţa de la D′ la AC este D′E 1p

in triunghiul DAC aplicăm T.Pitagora ⇒ AC = 356 1p

AD ⋅ DC 160
=DE = 1p
AC 356

În triunghiul D′DE , m ( D ) = 90

114

Modele de subiecte

⇒ D′E 2 = D′D 2 + DE 2
Aplicăm TP
D′E = 10 10m 1p

c) Sup.acoperişului S = 16 ⋅10 = 160m 2 1p

intr-o zi un muncitor izolează 4 m 2 ⇒ 5 zile izolează 4 ⋅5 = m 2
20 2p

ro
sunt necesari 160: 20=8 muncitori 2p

2. a ) P =2 ( L + l ) =2 ⋅ ( 20 + 12 ) =64m 2p

o.
⇒ 64 : 4 =
16 2p

deci se folosesc 16 stâlpi 1p

nf
b)Lungimea unui rând de sârmă este 64-4 = 60m 2p

60 m ⋅3 =
ei
180m sârmă necesari pentru cele 3 rânduri 3p

c) 180 ⋅1, 25 =
225lei 5p
at
.m
w
w
w

115

Modele de subiecte

Varianta 46 Prof Ileana Cernovici
(30 de
SUBIECTUL I
puncte)

1. b=5 2 5p

ro
2. 1987 5p

3. 80 5p

o.
4. 12 5p

nf
5. 0 5p

6. 2 5p
ei
(30 de
SUBIECTUL II
puncte)
at
1. Desenează corect 4p
1p
.m

Notează corect

2. a + 6b = 2b + c ⇒ a + 6b − 2b = c ⇒ a + 4b = c 2p
E =+ 4b + 5c − 719 =+ 5c − 719 = − 719 =
a c 6c 2p
w

6 ⋅120 − 719 = 720 − 719 = 1 1p

3. Notăm cu x , lungimea drumului şi avem
w

1
x + 10
În prima etapă: 5 1p
w

1  4
Drum rămas x −  x + 10  = x − 10
5  5 1p
14 
Etapa a doua:  x − 10  + 17 1p
25 

1p

116

Modele de subiecte

1 14 
x + 10 +  x − 10  + 17 + 30 =
x
5 25 
1 2
x + x + 52 = x
5 5
3
x + 52 = x
5

ro
3
52= x − x 1p
5
2x
52 = ⇒ x = 130

o.
5

)  ( A′B, ( ABC ) ) =
a=  ( A′B, prABC A′B )

nf
4. 1p
 ( A′B, AB ) = A′BA 1p

tg ( A′BA )
= 3⇒ 1p
ei
m ( A′BA ) = 60 

2p
at
b ) CE ⊥ AB 1p
AA′ ⊥ ( ABC ) siCE ⊂ ( ABC ) ⇒ AA′ ⊥ CE 1p
.m

{ A}
CE ⊥ AB, CE ⊥ A′A, AA′ ∩ AB = 1p
⇒ CE ⊥ ( A′AB ) ⇒
1p
d ( C , ( A′AB ) ) CE
6 3
= = = 3 3cm 1p
w

2

5 Suma are 333 termeni pe care ii grupăm cîte 3 1p
w

S= 7 (1 + 7 + 7 2 ) + 7 4 (1 + 7 + 7 2 ) + ... + 7331 (1 + 7 + 7 2 )= 1p
57 ( 7 + 7 4 + ... + 7331 ) 57
w

1p

(30 de
SUBIECTUL III
puncte)

1. 3 x − 5 y =−22 3 x − 5 y =−22 x =6 2p
a)  ⇒ ⇒
2 x − y = 4 −10 x + 5 y =−20  y =
8
Atunci AB=6 cm şi AC=8 cm 1p

117

Modele de subiecte

BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇒ BC = 10cm 1p
1p
AB ⋅ AC 6 ⋅ 8
 ABC , m ( A ) = 90 avem Aria
= = = 24cm 2
2 2
Perimetru = AB + AC + BC = 6 + 8 + 10 = 24cm

 ABC ⇒ AB 2 = BD ⋅ BC ⇒ 1p
AB 2 36 2p
b) Fie AD ⊥ BC , aplicăm T.catetei in BD
= = = 3, 6cm

ro
BC 10
2p
DC =BC − BD = − 3, 6 =6, 4CM
10

o.
r⋅P 2 A 48 2p
A= ⇒ r= = = 2
2 P 24
c) ⇒ r = 2 1p

nf
A= π= 4π cm
cerc r 2 2

2p

2. A ( −1; 2 ) ∈ G f ⇔ f ( −1) = 2 ⇔ −a + b = 2 1p
ei
B ( 2; −1) ∈ G f ⇔ f ( 2 ) =−1 ⇔ 2a + b =−1 1p
a)  a = −1 1p
⇒ ⇒
at
b = 1
f ( x) = x +1
− 2p
.m

b) MA= MB= 3 ⇒ ABM dreptunghic isoscel 2p

⇒ m ( ABM ) =
45 ⇒ 2p
tg ( ABM ) = 1
w

1p

c ) AB
= MA2 + MB 2 ⇒ AB 3 2
= 1p
w

2p
P = + AB + MB =+ 3 2
AM 6
c ⋅ c2 3 ⋅ 3 9 2p
= 1= =
A
w

2 2 2

118

Modele de subiecte

Varianta 47 Prof. Ciocănaru Viorica
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 96 5p

ro
2. 5 5p

3. 10 lei 5p

o.
4. 25 cm2 5p

nf
5. 13 5p

6. 48 cm 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Desenează prisma. 3p

Notează prisma. 1p
.m

Trasează diagonala AB’. 1p

2. Scrie mulţimea divizorilor naturali ai lui 5, D 5 = {1, 5}. 1p
w

Rezolvă ecuaţiile x+1 = 1 şi y-1 = 5 şi găseşte x = 0, y = 6. 2p

Rezolvă ecuaţiile x+1 = 5 şi y-1 = 1, găseşte x = 4, y = 2 şi scrie mulţimea
w

2p
soluţiilor S = {(0, 6), (4, 2)}.

Notează cu x preţul iniţial al laptopului; preţul după scumpire este x + 15% x
w

3. 1p
23
= x.
20
23 23 23
Preţul după ieftinire este x – 20%( x) = x. 2p
20 20 25
23
Scrie ecuaţia x = 2300 şi determină x = 2500 lei. 2p
25

4. a) Fie punctul M(a,b) intersecţia celor două grafice. Scrie f(a) = b, g(a) = b 2p
deci f(a) = g(a).
2p
Obţine f(a) = a – 2, g(a) = 2a + 1 şi a – 2 = 2a + 1, de unde a = - 3.

119

Modele de subiecte

Calculează b = - 5 şi finalizează M(-3, -5). 1p

b) Folosirea lui M din rezolvarea punctului a) sau reprezentarea corectă a 2p
unui punct care aparţine graficului funcţiei g.
2p
Reprezentarea corectă a altui punct care aparţine graficului funcţiei g.
1p

ro
Trasarea graficului funcţiei g.

5 Amplifică fiecare fracţie cu expresia conjugată a numitorului adică 2p
3 + 2 respectiv 2 − 1 .

o.
Obţine a = ( 3 + 2 )2 + ( 2 − 1 )2 - 2 2 ( 3 − 1) = 5+ 2 6 + 3- 2 2 - 2 6 +
2p

nf
2 2.
1p
Determină a = 8 şi finalizează a ∈ N.
ei SUBIECTUL III (30 de
puncte)
at
1. a) Scrie L cerc = 2πR. 1p

Calculează L cerc mare = 45π cm, L cerc mijlociu = 30π cm, L cerc mic = 15π cm. 2p
.m

Calculează L panglică necesară pentru cele 3 cercuri: mare, mijlociu, mic 1p

L panglică = L cerc mare + L cerc mijlociu + L cerc mic = 90π cm
w

Calculează lungimea panglicii pentru fragmentul din Figura 1 1p

L = 360π cm.
w

b) Precizează că suprafaţa vopsită corespunde A l a paralelipipedului 1p
dreptunghic (panglica metalică) cu secţiunea având P = 2(2 + 0,3) = 4,6 cm
w

A l panglică mare = 4, 6 ⋅ 45π = 207π cm2, A l panglică mijlocie = 4, 6 ⋅ 30π = 138π
cm2, 2p

A l panglică mica = 4, 6 ⋅ 15π = 69π cm2.

Calculează A culoare 1 = 4(A l panglică mare + A l panglică mica ) = 1104 π cm2 2p

Calculează A culoare 2 = 4 A l panglică mijlocie = 552 π cm2.

c) Scrie V paralelipiped = A bazei ⋅ h. 1p

120

Modele de subiecte

A bazei = 2⋅ 0,3 = 0,6 cm2 1p

Observă că panglica are lungimea totală egală cu L panglică de la punctul a) 3p
deci h = L panglică

Calculează V paralelipiped = 0,6 ⋅ 90π = 54 π cm3.

a) Calculează diagonalele pătratelor

ro
2. 2p

d pătrat mare = 30 2 cm, d pătrat mic = 15 2 cm.

o.
2p
Calculează lungimea L = 5 ⋅ 30 2 + 4 ⋅ 15 2 + 2(5+7) = 210 2 + 24 (cm).
1p
Calculează lăţimea l = 3 ⋅ 30 2 + 2 ⋅ 15 2 + 2(5+7) = 120 2 + 24 (cm).

b) Scrie A pătrat = l2

nf
Calculează A pătrat mic = 152 = 225 (cm2), A pătrat mare = 302 = 900 (cm2).
1p
ei 1p

Calculează A bordură = 2 ⋅ 5 (210 2 + 24) + 2 ⋅ 5 (120 2 + 24 - 10) 1p
at
A bordură = 10 (330 2 + 38) cm2.
1p
Calculează S V = 12 A pătrat mic + A bordură , S V = 12 ⋅ 225 + 10 (330 2 + 38) .
.m

1p
Calculează S M = 12 A pătrat mare , S M = 12 ⋅ 900 cm2.

c) Scrie A dreptunghi = L ⋅ l 1p
w

Calculează, cu rezultatele de la a) A dreptunghi = (210 2 + 24) (120 2 + 24) 2p
w

A dreptunghi ≈ 61843,32 cm2

S motiv geometric = 12 (A pătrat mic + A pătrat mare ) = 12 (225 + 900) = 13500 (cm2). 1p
w

Calculează raportul procentual S motiv geometric / A dreptunghi = 13500/ 61843,32 1p
de unde rezultă 21,82%

121

Modele de subiecte



SUBIECTUL I (30 de

ro
puncte)

1. 24 5p

o.
2. 3 5p

3. 9 cm 5p

4. 15 lei

nf 5p

5.
ei 5p
8 3 cm

6. 248 cm2 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. Desenează cubul şi îl notează. 3p

Trasează diagonala AC’ şi precizează “o diagonală a cubului”. 1p
w

Trasează diagonala AD’ şi precizează “diagonala unei feţe a cubului”. 1p
w

2. Notează cu x costul unei cutii cu bomboane şi cu y costul unei prăjituri 1p

Scrie sistemul 2x + 5y = 35,9 şi îl rezolvă obţinând x = 9,2 şi y = 3,5 3p
w

3x + 2y = 34,6

Finalizează precizând costul unei cutii cu bomboane 9,2 lei şi costul unei 1p
prăjituri 3,5 lei.

3. Scrie mulţimea divizorilor întregi ai lui 3, D 3 = { ± 1, ± 3}. 1p

Rezolvă ecuaţiile a+1 = 1 şi b-1 = 3 şi găseşte a = 0, b = 4, 2p

a+1 = -1 şi b-1 = -3 şi găseşte a = -2, b = -2.

122

Modele de subiecte

Rezolvă ecuaţiile a+1 = 3 şi b-1 = 1 şi găseşte a = 2, b = 2, 2p

a+1 = -3 şi b-1 = -1 şi găseşte a = -4, b = 0 şi scrie
mulţimea soluţiilor S = {(0, 4), (-2, -2), (2, 2), (-4, 0)}.

4. a) Reprezentarea corectă a unui punct care aparţine graficului funcţiei f. 2p

Reprezentarea corectă a altui punct care aparţine graficului funcţiei f.

ro
2p

Trasarea graficului funcţiei f. 1p

o.
b) Determinarea coordonatelor lui A în urma rezolvării ecuaţiei f(x) = 0, 2p
3 3
adică -2x +3 = 0, x = , A( , 0).
2 2

nf
Determinarea coordonatelor lui B în urma calculării lui f(0) = 3, B(0, 3) 1p

3
ei
Observarea catetelor triunghiului dreptunghic AOB, OA = , OA = 3,
2
2p
cc 9
aplicarea formulei A ∆dr = 1 2 şi găsirea rezultatului A ∆AOB =
2 4
at
5 Scrie formula mediei geometrice m g = ab , a,b > 0 2p
.m

2p
Observă a = 1 + 2 + 1 − 2 = 2 2 > 0 şi b = 2 > 0.
1p
Calculează m g = 2
w

puncte)
w

1. a) Scrie V cil = πR2h şi R = 1,5 cm. 2p

Calculează volumul unei alveole V a = π 1,52 ⋅ 2 = 4,5 π (cm3).
w

2p

Calculează volumul tuturor alveolelor V = 15 ⋅ V a = 67,5 π (cm3). 1p

b) Calculează lungimea suportului 0,3 ⋅ 2 + 0,2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 = 16,4 (cm). 1p

Calculează lăţimea suportului 0,3 ⋅ 2 + 0,2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 = 10 (cm). 1p

Observă suprafaţa suportului S = A dreptunghi - 15 ⋅ A disc . 1p

Înlocuieşte şi calculează S = 16,4 ⋅ 10 - 15 ⋅ 1,5 π = 164 – 33,75 π (cm ).
2 2
2p

123

Modele de subiecte

c) Observă că pătratul trebuie să fie înscris în cerc pentru ca A pătrat să fie
maximă şi face desenul corespunzător.
2p

1p
Scrie l 4 = R 2 .

ro
2p
Calculează suprafaţa maximă pe care o pot ocupa bomboanele S max = 15 ⋅ A pătrat

S max = 15 ⋅ 2 R = 30 ⋅ 1,5 = 67,5 (cm ).
2 2 2

o.
2. l 2p
a) Scrie A pătrat = l2, A disc = π ( ) 2 .
2

A petală1 = A disc +
1
4
nf l
2
1
4
l
( A pătrat - A disc ) ⇒ A petală1 = π ( ) 2 + ( l2 - π ( ) 2 ).
2
2p
ei
1p
l 3π + 1
Calculează A petală1 = ( ) 2 .
2 4
at
1 l2 3 3p
b) Scrie A petală2 = A disc + ( A ∆echilat - A disc ), A ∆echilat = , A disc = πR2
3 4
.m

l 3 l 3 2
raza cercului înscris în triunghiul echilateral R = , A disc = π ( ) .
6 6
w

l 3 2 1 l2 3 l 3 2
A petală2 = π ( ) + ( -π ( ) ). 1p
6 3 4 6
w

1p
l 2π + 3 3
Calculează A petală2 = ( ) 2 .
2 9
w

l 3π + 1 l 2π + 3 3 1p
c) Din punctele a) şi b) ⇒ A petală1 = ( ) 2 , A petală2 = ( ) 2 .
2 4 2 9

3π + 1 2 2π + 3 3 2 3p
Scrie A F1 = 4 A petală1 = l , A F2 = 6 A petală2 = l.
4 6

AF 1 3(3π + 1)
⇒ = ≈ 1,76.
AF 2 2(2π + 3 3 ) 1p

124

Modele de subiecte



ro
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 1 5p

o.
10

2. 39 lei 5p

3. 320 cm2

nf 5p

4. -11
ei 5p

5. 32 cm 5p
at
6. 5 3 cm 5p
.m

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

1. Desenează piramida. 2p
w

Notează piramida. 1p
Desenează triunghiul format din înălţimea piramidei, apotema bazei şi
w

apotema piramidei şi îl notează. 2p

2. Scrie formula (a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 . 2p
w

Face înlocuirile şi calculele (2 2 − 3 ) 3 =
(2 2 ) 3 − 3(2 2 ) 2 3 + 3(2 2) ( 3 ) 2 − ( 3 ) 3 = 16 2 - 24 3 +18 2 -3 3 . 2p

Finalizează (2 2 − 3 ) 3 = 34 2 - 27 3 . 1p

3. Scrie ecuaţia dată sub forma echivalentă x -2 = 2(x + 3). 1p

Desface paranteza, separă şi reduce termenii asemenea şi găseşte x = - 8. 3p

Scrie S = {-8} şi precizeză că -8 nu poate reprezenta lungimea unui segment

125

Modele de subiecte

pentru că este negativ.
1p

4. a) Notează f(x) = ax+ b, a, b ∈ R. 1p

Din A, B∈ G f scrie relaţiile f(2) = 4 şi f(-1) = -3 şi apoi 2a + b = 4, 2p
respectiv – a + b = -3.

ro
7 2
Rezolvă sistemul 2a + b = 4 obţine soluţia S = {( ,− )} şi finalizează 2p
3 3

– a + b = -3

o.
7 2
f(x) = x− .
3 3

nf
b) Reprezintă grafic funcţia f folosind oricare două puncte ale sale.

Duce perpendicularele din A pe Ox şi din B pe Oy, le prelungeşte până se
3p

2p
ei
intersectează în C şi scrie coordonatele sale C(2, -3)

5 Scrie ecuaţia x + 2 2 − 3 = ± 2 . 1p
at
2p
Obţine x + 2 2 = 3 ± 2 şi apoi x + 2 2 = ± ( 3 ± 2 ) .
.m

Obţine x 1 = 3 − 2 , x2 = - 3 − 3 2 , x3 = 3 − 3 2 , x 4 = - 3 − 2 şi apoi 2p

S = {- 3 − 3 2 , 3 −3 2 , - 3 − 2, 3 − 2 }.
w

puncte)
w

1. a) Scrie L sector cerc = πRu/ 1800 1p
w

A suprafeţelor plane = 3 ⋅ 20 ⋅ 800 = 48000 (cm2), pentru o coloană. 2p

A suprafeţelor circulare = 3 ⋅ 10 π ⋅ 800 = 24000 π (cm2), pentru o coloană. 1p

Suprafaţa pictată este 2 ⋅ (48000 + 24000 π) = 48000(2 + π) (cm2). 1p

b) Din punctul a) rezultă k = A suprafeţei circulare / A suprafeţei plane 2p

Calculează k şi obţine k = π/ 2. 2p

Raportul procentual este 157,14%. 1p

126

Modele de subiecte

c) Scrie A ∆echilat = l2 3 / 4 şi A sector cerc = πR2u/ 3600 2p

Calculează A secţiunii = A ∆echilat mare - 3 A ∆echilat mic + 3 A sector cerc
2p

A secţiunii = 602 3 / 4 - 3 ⋅ 202 3 / 4 + 3 ⋅ 102π/ 2 = 150 (4 3 - π) (cm2).
1p
V coloane = 2 ⋅ A secţiunii ⋅ h, V coloane = 240000 (4 3 - π) (cm3).

ro
2. a) Observă faptul că cele 4 sectoare de cerc scoase din pătratul albastru 2p
formează un cerc L cerc = 2πR iar segmentul rămas din latura pătratului are
lungimea 60 - 2 ⋅ 12= 36

o.
Calculează L cerc = 24π cm , Lsegmente = 4 ⋅ 36 = 24 (cm). 2p

nf
Calculează lungimea conturului exterior (albastru) 24π + 144 = 24(π + 6). 1p

b) Observă faptul că motivele geometrice roşii au aceeaşi formă cu motivul 3p
albastru de la punctul a) deci L cerc = 8π cm, L segmente = 4 ⋅ 12 = 48 cm
ei
L formă = 8π + 48 = 8(π + 6) (cm).
1p
at
Observă faptul că motivul nu are lungimea laturii modificată, deci P
= 4 ⋅ 20 = 80

Calculează lungimea conturului motivului geometric (roşu) 4 ⋅ 8(π + 6) + 80
.m

1p
= 16(2π + 17) (cm)

c) Scrie A pătrat = l2, foloseşte punctul a) pentru A cerc = πR2. 1p
w

Calculează aria figurii A 1 = 202- π42 = 42(52- π). 1p

Calculează aria figurii A 2 = 202- 4 ⋅ 42 = 42(52- 4) = 21 ⋅ 42. 1p
w

Calculează aria motivului geometric (roşu) A motiv roşu = 4 ⋅ A 1 + A 2 2p

A motiv roşu = 4 ⋅ 42(52- π) + 21 ⋅ 42 = 42( 121- 4 ⋅ π) (cm2).
w

127

Modele de subiecte


Varianta 50 Prof. Ciocǎnaru Viorica
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. 28 5p

2. 80% 5p

o.
3. 8 2 5p

nf
4. 6,2 5p

5. 26 5p
ei
6. 0 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)

Deseneazǎ tetraedrul
.m

1. 4p

Noteazǎ tetraedrul 1p

2. Aduce pe a la forma: 2 2 - 2 2p
w

1p
Calculeazǎ a2 = 12 – 8 2
w

1p
-1 1
Scrie a =
2( 2 − 1)
w

2 +1 1p
Raţionalizeazǎ şi obţine a-1 =
2

3. Calculeazǎ cât costǎ minifelicitǎrile: 1,8 lei 2p

Calculeazǎ cât costǎ plicurile: 15,6 lei 2p

Calculeazǎ cât costǎ minifelicitǎrile cu plicuri: 17,4 lei 1p

4. a) Alege corect perechile de puncte pentru f. 2p

128

Modele de subiecte

Traseazǎ drepta corespunzǎtoare lui f şi o noteazǎ. 1p

Alege corect perechile de puncte pentru g. 1p

Traseazǎ drepta corespunzǎtoare lui g şi o noteazǎ. 1p

b) Scrie ecuaţiei f(x) = g(x). 1p

ro
Rezolvǎ ecuaţia şi gǎseşte x = 1. 2p

Aflǎ f(1) sau g(1) = 3. 1p

o.
Scrie coordonatele punctului de intersecţie (1, 3). 1p

Rezolvǎ ecuaţia |x – 2| - 5 = 3

nf
5 1p

Gǎseşte soluţiile 10 şi - 6 1p
ei
Rezolvǎ ecuaţia |x – 2| - 5 = - 3 1p

Gǎseşte soluţiile 4 şi 0 1p
at
Scrie mulţimea de soluţii S = {- 6, 0, 4, 10} 1p
.m

puncte)

1. a) Scrie formula volumului 1p
w

Calculeazǎ volumul bazinului 3600 m3 2p

Calculeazǎ volumul apei 2400 m3 2p
w

b) Scrie formula volumelor trunchiului de piramidǎ şi cubului 2p
w

Calculeazǎ volumele trunchiului de piramidǎ şi cubului V t = 84 m3, V cub = 2p

216 m3

Aflǎ înǎlţimea apei în care s-au introdus corpurile: 9 m 1p

84 2p
c) Scrie şi calculeazǎ 0,035
2400

216
Scrie şi calculeazǎ 0,06 2p
3600

129

Modele de subiecte

Exprimǎ rezultatele conform cerinţelor: 3,5%, respectiv 6% 1p

2. a) Scrie formula pentru lungimea cercului 1p

Calculeazǎ lungimea celor 4 cercuri: 8 π R 1p

Scrie formula pentru perimetrul pǎtratului şi-l calculeazǎ: 4R 2 1p

ro
Calculeazǎ lungimea materialului pentru 60 de elemente decorative: 2p

240 R (2 π + 2 )

o.
b) Calculeazǎ lungimea celor 4 arce de cerc: 6 π R 2p

nf
Scrie formula pentru perimetrul pǎtratului şi-l calculeazǎ: 8R 1p

Calculeazǎ lungimea materialului pentru 60 de elemente decorative: 2p
ei
120 R (3 π + 4)

c) Calculeazǎ lungimea materialului din figura A: 360 (3 π + 4) 2p
at
Calculeazǎ lungimea materialului din figura B: 720 (2 π + 2 ) 1p
.m

360(3π + 4) 3π + 4 2p
Raportul =
720(2π + 2) 2(2π + 2)
w

w

SUBIECTUL I (30 de
w

puncte)

1. 1 5p
4

2. 6 2 5p

3. -2 5p

4. 2 10 5p

130

Modele de subiecte

5. 1200 5p

6. 36 2 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

ro
1. Deseneazǎ piramida 3p

Noteazǎ piramida 1p

o.
Traseazǎ diagonalele bazei 1p

2. Observǎ numitorul comun şi amplificǎrile 1p

Obţine inecuaţia 4x-2 < 9x+6

8
nf 1p

2p
Aduce la forma x > -
ei
5
1p
8
Finalizeazǎ x ∈ (- , + ∞ ).
at
5

3. Aflǎ costul obiectului dupǎ prima ieftinire 18- 15% ∙ 18 = 15, 3 3p
.m

Aflǎ costul obiectului dupǎ a doua ieftinire 15,3- 10% ∙ 15,3 = 13,77 2p

4. a) Alege corect perechile de puncte 3p
w

Trasarea semidreptelor corespunzǎtoare 2p
w

b) Ridicǎ binomul la pǎtrat 1p

Aduce ecuaţia la forma: 4x2 + 10x -1 = 0 2p
w

− 5 ± 29 2p
Calculeazǎ soluţiile x 1,2 =
4

5 Ridicǎ la pǎtrat numǎrǎtorul 1p

Restrânge diferenţa de pǎtrate de la numitor 1p

5+2 6 1p
Obţine numǎrul
2
2p

131

Modele de subiecte

Încadreazǎ numǎrul între 4 şi 5.

puncte)

1. a) Scrie formula ariei laterale 2p

ro
Calculeazǎ aria bazei 1p

Efectueazǎ calculele şi gǎseşte rezultatul 4600 cm2. 2p

o.
b) Calculeazǎ lungimea diagonalei d a paralelipipedului 3p

302 + 202+ 402 = 2900; d = 10 29 cm.

nf
Explicǎ: bagheta se sprijinǎ cu un capǎt într-un colţ al bazei cutiei şi cu

celǎlalt capǎt pe muchia lateralǎ opusǎ colţului considerat.
2p
ei
c) Screie formula volumului paralelipipedului 1p
at
Calculeazǎ volumul: 30 ∙ 20 ∙ 40 = 24000 (cm3) 1p

Calculeazǎ volumul unui cub 53 = 125 (cm3) 1p
.m

Calculeazǎ numǎrul de cuburi cu latura de 5 cm: 192 1p

Calculeazǎ numǎrul de cuburi cu latura de 2 dm: 2 1p
w

2. a) r este jumǎtate din latura pǎtratului; r = 6 cm 1p

R este jumǎtate din diagonala pǎtratului; R = 6 2 cm 2p
w

r 6 1 1p
= =
w

R 6 2 2

2 1p
Raţionalizeazǎ .
2

b) Scrie formula pentru aria pǎtratului: l 4 2. 1p

Calculeazǎ aria pǎtratului144 cm2. 1p

Scrie formula pentru aria cercului: π r2. 1p

132

Modele de subiecte

Calculeazǎ aria cercului 36 π cm2. 1p

Aria delimitatǎ de pǎtrat şi cercul de razǎ r 36(4 - π ) cm2. 1p

c) Scrie formula pentru perimetrul pǎtratului: 4l 4 1p

Calculeazǎ perimetrul pǎtratului 48 cm. 1p

ro
Scrie formula pentru lungimea cercului: 2 π R. 1p

Calculeazǎ lungimea cercului 12 2 π cm. 1p

o.
1p
2 2
Calculeazǎ raportul .
π

nf
ei

at
SUBIECTUL I (30 de
puncte)
.m

1. -2 5p

2. 29,62 5p
w

3. 1200 5p

4. 5p
w

48 3

5. 108 5p
w

6. 6 5 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

1. Deseneazǎ prisma 3p

Noteazǎ prisma 2p

133

Modele de subiecte

2. Scrie mulţimea A ca interval (3- 2,3+ 2) 2p

Scrie mulţimea B ca interval [-3, 2] 2p


1p
A B = (3- 2 , 2]

3. Stabileşte necunoscutele: numǎrul de covrigi x; numǎrul de pâini y 1p

ro
Scrie sistemul de ecuaţii 6x + 7y = 11,4 1p

7x + 6y = 10,7

o.
Rezolvǎ sistemul. 2p

Interpreteazǎ rezultatele: x = 0,5 lei, y = 1,2 lei

nf
1p

4. a) Scrie ecuaţia a ∙ 2 + b = -6 1p
ei
Scrie ecuaţia a ∙ (-5) + b = -9 1p

3
Rezolvǎ sistemul format cu cele douǎ ecuaţii şi gǎsirea lui a = şi
at
7
2p
− 48
b= .
.m

7
1p
3 48
Scrie lui f(x) = x -
7 7
w

3 48 3p
b)  cu Ox ⇒ f(x) = 0,
7
x-
7
= 0 ↔ x = 16 ⇒ M (16, 0)
w

48 48
 cu Oy ⇒ f(0) = -
7
⇒ P(0, -
7
) 2p
w

5 Calculeazǎ x = 5 - 2 6 2p

2p
Calculeazǎ y = 5 + 2 6
1p
Calculeazǎ xy = (5 - 2 6 )(5 + 2 6 ) = 1 ⇒ xy = 1

puncte)

134

Modele de subiecte

1. a) Determinǎ razele cercurilor circumscrise bazelor R = 5 2 , r = 4 2 . 2p

Scrie formula care dǎ legǎtura între R, r, h, m. 1p

2p
Înlocuieşte, efectueazǎ calculele, obţine rezultatul m2 = (5 2 - 4 2 )2

+ 62 de unde m = 38 .

ro
b) Observǎ o pereche de triunghiuri asemenea. 1p

x 4 2p
Scrie proporţia = cu x înǎlţimea piramidei mici.

o.
x+6 5

Aflǎ x şi înǎlţimea piramidei din care provine rezervorul; înǎlţimea

nf
2p
piramidei este 30 m.

c) Volumul trunchiului de piramidǎ: formulǎ şi calcul, V t = 488 m3. 3p
ei
1
Scrie volumul bazinului piramidal, V p = A b ∙ h p , înlocuieşte, calculeazǎ
3
at
2p
3 ⋅ 488
hp= , h p = 8 m.
183
.m

2. a) Observǎ cele 12 unghiuri la centru congruente şi m ( ∠ AOM) = 300 2p

Observǎ cele 6 unghiuri la centru de tipul ∠ AOB şi m ( ∠ AOB) = 600 2p
w

m ( ∠ MOR) = 1200 1p
w

b) Aria triunghiului AOM = OA ∙ OM sin ( ∠ AOM)/ 2 1p

1 1 2p
A ∆AOM = 6 3 ∙ 6 ∙ =9 3
w

2 2

Aria figurii cerute 12 ∙ 9 3 = 108 3 (cm2).
2p

c) Figura AMBNCPDQERFS are laturile congruente cu lungimea de 6 cm. 1p

Calculeazǎ perimetrul figurii este 72 cm. 1p

Scrie formula lungimii cercului de razǎ 6 3 şi calculeazǎ 12 π 3 2p

1p

135

Modele de subiecte

72 2 3
Calculeazǎ raportul , ajunge la rezultatul
12π 3 π

ro

o.
SUBIECTUL I (30 de

nf
puncte)

1. 0 5p
ei
2. 8,25 5p
at
3. 5,5 5p

4. 24 5p
.m

5. 48 5p

6. 64 5p
w

SUBIECTUL II (30 de
puncte)
w

1. Deseneazǎ conul 4p

Noteazǎ conul
w

1p

2. Stabileşte necunoscutele: x metri de material pentru bluzǎ, y mertri de 1p
material pentru rochie

Scrie sistemul de ecuaţii 3x + 5y = 17
1p
4x + 3y = 13,5
2p
Rezolvǎ sistemul.
1p
Interpreteazǎ rezultatele: x = 1,5 m, y = 2,5 m

136

Modele de subiecte

3. 4 2p
Transformǎ numǎrul 0,2(6) în fracţia ordinarǎ
15

4
Transformǎ numǎrul 1,(3) în fracţia ordinarǎ 1p
3
1p
Rezolvǎ ecuaţia

ro
6
Scrie mulţimea de soluţii S = { }
5 1p

o.
4. a) Ridicǎ fiecare binom la pǎtrat 1p

2x 2 − 4 2p
Calculeazǎ E (x) =

nf
x2 +1
2p
Rezolvǎ ecuaţia x2 – 2 = 0 ⇒ x 1,2 = ± 2
ei
b) Calculeazǎ E (1) = -1 2p
at
1 2p
Calculeazǎ E ( 3 ) =
2
.m

E( 3) 3
Calculeazǎ = 1p
3 6

5 a2 + b2 a b 2p
Observǎ cǎ
w

= +
ab b a

b 1 3+ 5
Calculeazǎ 1p
w

= =
a 3− 5 4

a b 15 − 3 5
w

Efectueazǎ + = 2p
b a 4

puncte)

1. a) Scrie formula ariei totale a prismei pǎtratice drepte A t prismǎ = P b h p + 2A b 1p

Calculeazǎ aria totalǎ a prismei A t prismǎ = 800 cm2 1p

Scrie formula ariei totale a cilindrului A t cil = 2 π R (G + R) 1p

137

Modele de subiecte

Calculeazǎ aria totalǎ a cilindrului A t cil = 981,25 cm2 2p

b) Scrie formula volumului prismei pǎtratice drepte V prismǎ = A b h p 1p

Calculeazǎ volumul prismei V prismǎ = 1500 cm3 1p

Scrie formula volumului cilindrului drept V cil = π R2 h cil 1p

ro
Calculeazǎ volumul cilindrului V cil = 1177,5 cm3 2p

c) Scrie numǎrul de globuri: 12 1p

o.
Scrie formula şi determinǎ volumul unui glob V g = 57,87648 cm3 2p

nf
Scrie raportul V prismǎ / V cil = 1500/ 1177,5 = 200/ 157 2p

2. a) Observǎ cǎ baza fiecǎrui triunghi isoscel este de 2 dm şi înǎlţimea este de 3 1p
ei
Calculeazǎ aria unui triunghi isoscel: 3 dm2 1p

Calculeazǎ aria triunghiului echilateral 3 dm2 2p
at
1p
Calculeazǎ aria triunghiurilor isoscele şi echilaterale 4(3 + 3 ) dm2
.m

b) Scrie formula perimetrului pǎtratului şi o aplicǎ: P p = 24 dm 1p

Calculeazǎ lungimea laturilor congruente din triunghiurile isoscele: 10 2p
w

1p
Calculeazǎ perimetrul triunghiurilor isoscele: P t = 8( 10 +1) dm
1p
10 + 1
w

Scrie raportul P p / P t =
3

c) Scrie formula ariei pǎtratului şi o aplicǎ: A p = 36 dm2
w

2p

Scrie aria triunghiurilor isoscele: A t = 12 dm2 1p

1 2p
Scrie raportul A t / A p = ; 33,33%
3

138

Modele de subiecte

ro
o.
nf
ei
at
.m
w
w
w

139

Modele de subiecte

Varianta 54 Prof. Cocalea Rodica
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 11 5p

ro
2. 0,5 5p

3. 13,75 5p

o.
4. 12 5p

nf
5. 15 5p

6. 630 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at

Notează prisma 1p
.m

2. a b 2p
= = k
3 5
1p
w

a = 3k şi b = 5k

2a + 3b 21k
= = −3
w

2p
a − 2b −7 k

3. Fie x şi y numărul de kilometri parcurşi în prima, respectiv a doua zi. 1p
w

x+ y 1p
numărul de kilometri parcurşi în a treia zi.
2
1p
x+ y
x+ y+ =291
2
2p
x+ y
= 97 numărul de kilometri parcurşi în a treia zi.
2

140

Modele de subiecte



b) f (3) =−3 + 3 =0 3p

P=0 2p

ro
5 (a + b)(a − b) = , dar a − b =, atunci a + b =
12 2 6 2p

2(a + b) 2 − 3a + 7 + 3(b − 2) = 2(a + b) 2 − 3(a − b) + 1 = 67 3p

o.
puncte)

1.

nf
a) 2,4 m=24 dm; 3,6 m=36 dm; 30 cm=3 dm; 20 cm=2 dm

A b = L l = 864 dm2; Aria unei plăci de gresie = 6 dm2
1p
ei 2p

864: 6 = 144 plăci de gresie 2p
at
b) Dacă VO este înălţimea piramidei VABCD, în triunghiul dreptunghic VAO, 2p
cu AO = 10 2 şi cu teorema lui Pitagora obţinem VO = 10 2
.m

AABCD = 400dm 2
1p

AABCD ⋅ VO 4000 2 2p
=
VVABCD = dm3
w

3 3

c)Volumul apei dislocate =Volumul piramidei VABCD 1p
w

4000 2 2p
V = Ab ⋅ x = 864 ⋅ x = dm3 , unde x este diferenţa de înălţime
3
w

= 3, 24 2dm 32, 4 2cm
x = 2p

2. a) VA = 12cm 2p

Al = 144 3cm 2 2p

1p

b)proiecţia lui DM pe planul(ABC) este DE, unde E este mijlocul lui [OC]; 2p
unghiul este MDE

141

Modele de subiecte

= 6= 3 2cm
VO 2cm; ME 3p

6
sin(MDE ) =
6

= 288 2dm3 288 2l
c) V = 2p

ro
2p
288 2 < 288 ⋅1, 42 408,96 < 410 , deci nu încap 410 litri
=
1p

o.
nf

ei SUBIECTUL I (30 de
puncte)
at
1. 31 5p

2. 3 5p
.m

3. 30 5p

4. 49 5p
w

5. 10 5p
w

6. 14 5p

SUBIECTUL II (30 de
w

puncte)

1. desenează tetraedrului 4p

notează tetraedrului 1p

2. cu x, y şi z numere întregi, deci y 2 2p

2( x + z ) = 3( y + 4 z ) cu x, y şi z numere întregi, deci ( x + z ) 3 2p

1p
y ( x + z ) 6

142

Modele de subiecte

3. x+ y+z =81 1p

x y z x + y + z 81 3p
= = = = = 9
2 3 4 2+3+ 4 9
1p
z = 36

ro
4. a) f (0) = 4 ; f (−1) =6 2p

f (0) − 3 ⋅ f (−1) = 20
− 3p

o.
b) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului 4p

Trasarea graficului funcţiei

nf
1p

5  1
2 2p
a −  =
144
 a
ei
2 2
1 1 1 2p
a 2 − 2a ⋅ +   = , de unde a 2 − 2 +   =
144 144
at
a a a

1
a2 + =
146 1p
.m

a2

puncte)
w

1. a) = 6= 216dm 2
At l2 3p
w

2p
120= 25920dm 2 259, 2m 2
⋅ 216 =

b) Volumul cutiei l3 = 603 = 216000 cm3 2p
w

Volumul cutiuţei 153 = 3375 cm3 2p

216000 : 3375 = 64 cutiuţe 1p

c) Mulţimea divizorilor lui 60 este{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}. 2p
Trei numere consecutive pentru volum maxim sunt 4, 5 şi 6.
2p
V=120 cm3
1p
216000:120 = 1800 cutiuţe

143

Modele de subiecte

2. a) AABCD = 144cm 2 2p

2p
AMBC = 6 xcm 2
AMBC = AABCD : 4 1p

AAMCD = 144 − 6 x = 6(24 − x)cm 2

ro
b) AMBC = AABCD : 4 2p

x = 6 dm 3p

o.
c) Drumul minim este DE, unde DE perpendiculara din D pe MC. 2p

nf
MC = 6 3cm 1p

Din aria triunghiului MDC scris în două moduri, cu baza DC, respectiv MC, 2p
rezultă DE = 8 3cm
ei
at
.m



SUBIECTUL I (30 de
w

puncte)

1. 30 5p
w

2. 3 5p
w

3. 13 5p

4. 16π 5p

5. 48 5p

6. 11 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

144

Modele de subiecte


Notează prisma 1p

2. 4a − 3b =
6 1p

(11 − 8a + 6b) 2012 = [11 − 2(4a − 3b)]2012 2p

ro
2p
Finalizare (−1) 2012 =
1

3. Fie x numărul de nepoţi 1p

o.
5x + 3 = 6 x − 4 2p

nf
x=7 2p

ei

f (a) = −a 2p
at
1
b) f (=
a) a −3 3p
2
.m

1
a − 3 = a, deci : a =
− 2
2

5 x 2 + x − 12 = ( x − 3)( x + 4) 2p
w

x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3) 2 2p
x 2 + x − 12 x + 4
=
x2 − 6 x + 9 x − 3 1p
w

puncte)
w

1. = =
a) DO R 2 5m 2p

Formula ariei cercului şi calculul ei, A= 20π m2 3p

Aria semicercului 10π m2

= =
b) În triunghiul dreptunghic AOD avem DO R 2 5m . 2p

Dacă AO = x, atunci AD = 2x şi cu teorema lui Pitagora obţinem x = 2 şi 2p

145

Modele de subiecte

AD = 4 m

1p

c) Suprafaţa plantată cu lalele A ABCD = 16 m2 3p

Suprafaţa plantată cu panseluţe 10π - 16 este aproximativ 31,4 - 16 = 15,4m2 2p

ro
Finalizare: 15,4 m2 < 16 m2 , deci suprafaţa plantată cu panseluţe este mai
mică decât cea plantată cu lalele

o.
2. a) m(ABC ) = 600 1p

nf
fie CE perpendicular pe AB; CE = 5 3m
2p

2p
AABCD = 175 3m 2
ei
= 100 3m 2 ; AACD 75 3m 2
b) AABC = 2p
at
3p
p%=75%
.m

c) AD=BC=10m 2p

PABCD = 90m 2p
w

90 : 2,5 = 36 stâlpi 1p
w
w

146

Modele de subiecte

Varianta: 57 Prof: Constantin Corina

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 10 5p

ro
2. 5 5p
9

o.
3. 66 5p

4. 13 5p

nf
5. 26 5p

6. 48 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
.m


2. 2 x − 1 ∈ D3 = {±1, ±3} 3p
w

2p
Finalizare x ∈ {−1,0,1, 2}
w

3. 1507 = x ⋅ c1 + 7 2p

Scrierea datelor cu ajutorul teoremei împărţirii cu rest: 364 = x ⋅ c2 + 4
458 = x ⋅ c + 8

w

3

unde x > 8
2p
Aflarea (1500, 360, 450) = 30
1p
Finalizare x ∈ {10,15,30}

4. a) f ( −1) =1, f (1) = f ( 3) =
− 5, 11 3p

2p
Mulţimea valorilor este {−1,5,11}

147

Modele de subiecte
b) 3x + 2 ≤ 1 1p

1p
−1 ≤ 3x + 2 ≤ 1
2p
1
−1 ≤ x ≤ −
3 1p
Finalizare x = −1

ro
5 ( x − 1) 1p
2
= x2 − 2 x + 1

o.
1p
( x + 3)( x − 3) = x2 − 9
1p
( x + 2)
2
= x2 + 4 x + 4

( x − 3)
2
= x2 − 6x + 9

nf 1p
ei
Finalizare x 2 − 6 x − 12 = x 2 − 6 x − 12 1p
at
puncte)
.m

1. BC  AD 5p
a) ⇒ BC  ( AMN )
AD ⊂ ( AMN )

MA ⊥ ( ABC )
w

b) AS ⊥ BD ⇒ MS ⊥ BD ⇒ MS = , BD )
d (M 2p
AS , BD ⊂ ( ABC )
w

1p
BD = 10 m ( T .P. )
w

AS = 4,8 m ( T . I . ) 1p

1p
4 61
MS = m (T .P. )
5

c) MN ∩ ( ABC ) ={P}, P ∈ AD 1p

1p
 DP = 8 m
[ ND ] linie mijlocie ∆MAP ⇒ 
 AP = 16 m

148

Modele de subiecte

MP = 4 17 m ( T .P. ) 1p

1p
PC = 10 m ( T .P. )
1p
MP + PC = 4 17 + 10 m  26, 48 m  26 m

ro
2. a) OA= r= 2 m 5p

= =
b) OB R 5 m 2p

o.
Lăţimea este R − r =m
3 3p

21π m 2
c) Adisc mare − Adisc mic =  65,94 m 2

nf
2p

2p
Se folosesc 65,94 : 20 = 3, 29 kg gazon
ei 1p
Gazonul costă 3, 29 ⋅ 25 = 25lei
82,
at
.m
w
w
w

149

Modele de subiecte


SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 42 5p

ro
2. 0 şi 1 5p

3. 4 5p

o.
4. 73,5 5p

nf
5. 512 5p

6. 14 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at

.m

2. a − 1 =1 5p
 ⇒a=2
a + 3 =5
w

3. Notăm cu x preţul fără TVA al televizorului 1p

124 2p
w

x= 992 ⇒ x= 800 lei
100
2p
992 – 800 = 192 lei reprezintă TVA-ul
w




b) Fie A şi B punctele de intersecţie ale graficului funcţiei f cu axele de 1p
coordonate
2p
OA = OB = 5 ⇒ ∆OAB dreptunghic şi isoscel

150

Modele de subiecte

Deci măsura unghiului este de 450 2p

( )
5 2 2p
19 + 8 3 = 4 + 3 = + 3 =+ 3
4 4
2p
2 3 −1 2 3 −1
=

ro
Deci numărul 4 + 3 − 2 3 + 1 + 3 = este natural
5 1p


o.
puncte)

1. a) Se arată prin T.P. că apotema piramidei este de 4 m 5p

b) Ab = 36 m 2

nf 1p

2p
Pb ⋅ a p
ei
=Al = 48 m 2
2
at
At = Al + Ab = 84 m 2 2p

c) Pe desfăşurarea feţelor laterale VBC şi VCD se duce BD 1p
.m

AVBC = 12 m 2 1p

5⋅ h 1p
AVBC =
w

2 2p
Deci h = 4,8 m, iar BD = 9,6 m
w

2. a) Adisc mic = π m 2 1p
w

2p
4π
R = ⇒ Adisc mare =m 2
2m
2p
Suprafaţa este Adisc mare + 2 ⋅ Adisc mic =π m 2
6

b) Suprafaţa grădinii este 84 m2 1p

Suprafaţa aleilor este 12 m2 1p

Suprafaţa gazonului este 72 − 6π m2 1p

Cum 3,14 < π < 3,15 ⇒ 18,84 < 6π < 18,90 1p

151

Modele de subiecte

Deci suprafaţa gazonului este mai mică decât 53,16 m2, adică mai mică decât 1p
54 m2

c) AO = 58 m ( T .P. ) 2p

2p
BO = 13 m ( T .P. )
1p

ro
AO + BO  7,6 + 3,6 = m
11, 2

o.
nf
ei
at
.m
w
w
w

152

Modele de subiecte


SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 7 5p

ro
2. 2 5p

3. 8 5p

o.
4. 16 5p

nf
5. 5 5p

6. 100 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Desenează cubul 4p

Notează cubul 1p
.m

2. −7 ≤ 5 x + 3 ≤ 7 2p
4
−2 ≤ x ≤ 2p
5
w

 4
B =  −2,  1p
 5
w

3. = 3c1 + 2
D 2p

Conform teoremei împărţirii cu rest, avem = 5c2 + 2
D
= 4c + 2
w

D 3

1p
D – 2 se divide cu 3, 5 şi 4
1p
[3,5, 4] = 60

Deci D − 2 ∈ {120,180} ⇒ D ∈ {122,182} 1p



153

Modele de subiecte


G f ∩ Gg ={ A}, g ( x ) = f ( x ) ⇒ x =1 ⇒ A (1,1) 3p
b) Gg ∩ Oy = , B ( 0,1)
{B}
G f ∩ Oy {C }, C ( 0, −1)
=

ro
Deci= 2, AB 1
BC =
1p
AB ⋅ BC
=
Deci AABC = 1 1p
2

o.
5 Notăm = x 2 + x
y 1p

nf
Fracţia devine
=
y2 − 4 (=y − 2 )( y + 2 ) y+2
2p
y ( y + 1) − 6 ( y + 3)( y − 2 ) y+3
ei
x2 + x + 2 2p
Deci obţinem fracţia 2
x + x+3
at
puncte)
.m

1. a) 27 cm3 5p

b) L = 60 cm 2p
w

l = 30 cm 2p

h = 9 cm 1p
w

( ABC ') ∩ ( ABC ) =
AB 3p
c) BC ⊥ AB ⇒  ( ( ABC ') , ( ABC ) ) =
C ' BC
w

BC ' ⊥ AB

 CC ' 3
tg C '=
BC = 2p
BC 10

2. a) Apătrat = 25 cm 2 2p

3p
Suprafaţa pavată este 25000000 cm 2 = 2500 m 2

b) Piatra costă 112500 lei 2p

154

Modele de subiecte

Manopera este 11250 lei 2p

Deci pavarea străzii costă 123750 lei 1p

V piatră = 125 cm3 3p
c)
= 125000000 cm3 125 m3
V pietre =

ro
Toată piatra cântăreşte 250 tone 1p

250 : 15 = 16 rest 10, deci camionul face 17 transporturi 1p

o.
nf
ei
at
.m
w
w
w

155

Modele de subiecte


SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 100 5p

ro
2. 236, 238 5p

3. 14 5p

o.
4. 32 5p

nf
5. 243 3 5p

6. -12 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at

.m

2. Se pun 27 ⋅ 15 = mere în pungi
405 3p

Rămân 10 mere în ladă 2p
w

3. Notăm cu x preţul unui kg de mere şi cu y preţul unui kg de portocale 1p
w

5 x + 4 y =
20,50 2p
Avem sistemul de ecuaţii: 
6 x + 8 y =
31
2p
w

Rezolvând sistemul, obţinem x = 2,50 şi y = 2

4. a) Din f ( x ) = 0 2p

2p
Obţinem x = −2
1p
Deci A ( −2,0 )

b) Din f ( x ) = g ( x ) 2p

156

Modele de subiecte

Obţinem x = 1 2p

Deci B (1,3) 1p

5 2 x + 34 = 2 ( x + 17 ) 1p

5 4 x + 17

ro
− =
x − 3 x + 1 ( x − 3)( x + 1) 2p

2 ( x + 17 ) ( x − 3)( x + 1) 2p
⋅ =
2x + 2

o.
x−3 x + 17


nf
puncte)

1. l2 3 2p
a) V prismă = Ab ⋅ h = ⋅h = 3⋅h
ei
4

V paralelipiped = Ab ⋅ h = l 2 ⋅ h = 4h 1p
at
Vcort = 4h + 3 ⋅ h = 12 + 3 3 1p
.m

1p
Deci h = 3 m

b) AABC = 3 ; AABB ' A ' = 4 ; ABCEF = 6 2p
w

2p
At = + 2 AABB ' A ' + 5 ABCEF = 2 3 m 2
2 AABC 38 +
1p
w

At  42 m 2

c) Fie DT  AE . Obţinem ATDE paralelogram
w

= =
Avem DT CD 13 m (T .P.) 1p

1p
Se demonstrează că ∆TCB dr. în C ⇒ TC = m (T .P.)
2 3

TC ⋅ DP
=
Fie DP ⊥ TC . Avem DP = 10 m (T .P.) . Deci ADTC = 30 m 2
2 1p

DT ⋅ DC ⋅ sin D 2 30 2p
ADTC = . Deci sin D =
2 13

157

Modele de subiecte
2. a) AC = 30 m (T .P.) 5p

b) Se determină lungimea înălţimii ∆ACB de 24 m (T . Î .) , deci AD = 24 m 1p

Se determină proiecţia segmentului AC de 18 m (T .C.) , deci DC = 18 m 1p

1p
PABCD = 132 m

ro
2p
Deci se folosesc 132 ⋅ 5 = m de sârmă
660

ACB ≡ D ( drepte ) 2p

o.
c) ⇒ ∆CDA  ∆ACB
CAB ≡ ACD ( alt. in. )

nf
CD 3 1p
=
Deci k =
AC 5

Şi atunci
ACDA
= k=
2 9
ei
2p
AACB 25
at
.m
w
w
w

158

Modele de subiecte

Varianta 61 Prof Conţu Valentin
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. x = -1,5 5p

ro
2. 40 ore 5p

3. 1440 lei 5p

o.
4. 400 5p

nf
5. 900 5p

6. 95 camere 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. A’ C’ 5p

B’
.m

A C
w

B

 2x + 3  2x + 3
w

2. 5p
A x ∈ R /
= ≤ 5 ⇒ −5 ≤ ≤ 5 ⇒ −10 ≤ 2 x + 3 ≤ 10 ⇒
 2  2
3p
13 7  13 7 
⇒ −13 ≤ 2 x ≤ 7 ⇒ − ≤ x ≤ ⇒ A =  − ; 
w

2 2  2 2

 13 7 
Finalizare A  Z = − ;   Z − = {− 6; − 5; − 4; − 3; − 2; − 1 } 2p
 2 2

3. 1 1 3 5p
Obţine ecuaţia x + x + 120 = sau altă ecuaţie echivalentă , de exemplu
x
3 6 4
1 1  1
x −  x + x + 120  = x 3p
3 6  4

159

Modele de subiecte

Finalizează x = 480 km 2p

4. a) Reprezintă grafic .Ex determină două puncte dele graficului 5p
Gf  Oy ⇒ ............. A(0;6)
4p
Gf  Ox ⇒ .............B (3;0)

Trasează graficul 1p

ro
b) justifică înălţimea în triunghiul dreptunghic AOB 2p 5p

o.
6 5
calculează distanţa de la O la AB =
5

nf
5 Aplică formulele şi aduce la forma pătratului unui binom 3p 5p

Determină n = 62 2p
ei
puncte)
at
1. a) V piesei = 27 dm3 3p 5p

Masa piesei 189 Kg 2p
.m

b) V lingou : V piesă = 35 piese rest 15 dm3 5p

c) Masa fontei neturnate 105 Kg 5p
w

2. a) Grupează tribunele două câte două sau calculează fiecare tribună separat 5p
w

şi obţine A totala tribune = π ⋅ R 2 + π ⋅ r 2 = 320π m2

sau dacă aproximăm π ≅ 3,14 obţinem 1004,8 m2
w

b) A teren = 512 m2 5p
Calculează şi concluzionează că aria tribunelor de 1004,8 m2 este mai mică
decât dublul ariei terenului (A teren = 512 m2)

c) Justifică distanţa maximă ( dintre mijloacele semicercurilor opuse ) şi 5p
calculează 48 m (în ambele cazuri)

160

Modele de subiecte



SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. 9 5p

2. 8 numere 5p

o.
3. 10 5p

nf
4. 10 3 5p

5. 3 5p
ei
6. 27 copii 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. 5p
w
w

2. 6a + 4b + 2c = 68 Scriem relaţia „pe jumătate” şi obţinem 5p
w

3a + 2b + c = 34

a + 2b + 3c = 38
3a + 2b + c = 34
4a + 4b +4c = 72 ∕ 4 ⇒ a + b +c = 18

3. În data de 30 decembrie pînă la ora 24:00:00 mai sunt 15h şi 25 min 5p

Data de 31 decembrie este o zi întreagă

În data de 1 ianuarie sunt 20h şi 20 min

161

Modele de subiecte

15h şi 25 min + 20h şi 20 min = 1 zi 11 h şi 45 min

+ 50 min întârziere = 1 zi 12 h şi 35 min

Timpul total (cu ziua de 31 dec)= 2 zile 12 h şi 35 min

4. a) Reprezintă grafic .Ex determină două puncte dele graficului 5p
Gf  Oy ⇒ A(0;8)

ro
4p
Gf  Ox ⇒ B(6;0 )

Trasează graficul 1p

o.
b) justifică înălţimea în triunghiul trapezului = 4 2p 5p

nf
Determină punctul de intersecţie a graficelor C (3;4)

sau utilizează linia mijlocie în trapez 2p
ei
Calculează aria a =
(6 + 3) ⋅ 4 = 18 cm 2 a = ( 6 + 3) ⋅ 4 u 2 1p
2 2
at
5 5p
Scoate de sub radicali 14 − 6 5 = (3 − 5 ) 2 = 3 − 5 = 3 − 5 2p
.m

9 − 4 5 = (2 − 5 ) 2 = 2 − 5 = 5 − 2 2p

Determină n = 3 − 5 + 5 − 2 ⇒ n=1 ∈N 1p
w

puncte)
w

1. a) Egalăm numeric formulele L3 = 6 ∙ L2 ⇒ 3p 5p
w

L=6m 2p

b) Masa cubului = volumul ∙ densitatea = 63∙0,9 [ m3∙ t/m3] = 194,4 t 5p

c) 194,4 t apă= 194,4 m3 5p

V apă = L paralelipipsed ∙ l paralelipiped ∙ h apă ⇒ 194,4 = 12∙ 8,1 ∙ h apă ⇒ h apă =
2m

2. Aria totală celor două alei = 2 ∙ A dreptunghi – A pătrat ( suprapunerea din 5p
centru) ⇒ A totală alei = 2∙100∙4 –42 = 784 m2

162

Modele de subiecte

100 5p
b) Diagonala pătratului = 100 m ⇒ Latura pătratului = ⇒ l patrat = 50 2
2

Aria ocupată de alei din pătrat este 2 ∙ 50 2 ∙4 – 42 = 400 2 – 16

După înlocuirea lui 2 cu 1,4 ⇒ A alei = 544 m2

( )

ro
2
A flori = A pătrat – A alei = 50 2 –544= 5000 -544 = 4456 m2

Nr de trandafiri = 4456 ∙4 = 17824

o.
Preţul trandafirilor 17284 ∙ 12 = 213 888 lei

c) Necesar de apă la o stropire π ⋅ R 2 ⋅ 2 litri = 3,15∙2500∙2 = 15750 litri = 5p

nf
15,75 m3 de apă

Numărul zilelor cu irigare este 5 zile în aprilie, 31 zile în mai, 30 zile în
ei
iunie , 31 zile în iulie şi 31 în august – 20 zile cu precipitaţii = 108 zile

Cantitatea de apă necesară pentru 108 zile este 15,75 m3 de apă ∙108 = 1701
m3 apă
at
V bazin = 20 ∙ 6 ∙ 3,15 = 378 m3
.m

1701 : 378 = 4,5 Bazinul se va umple de 5 ori ( nu se umple pe jumătate)
w
w
w

163

Modele de subiecte


Varianta 63 Prof. Conţu Valentin

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. 3 5p
+
5

o.
2. 2 5p

3. [− 1; 3 ] 5p

4. 26

nf 5p

5. 48
ei 5p

6. 22 000 lei 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. 5p
w
w
w

2. „ Un produs este egal cu 0 dacă cel puţin un factor este 0 ” ⇒ 5p

x−3 = 0 ⇒ x = 3
sau
x + 5 = 0 ⇒ x = −5 3p
sau
3x − 6 = 0 ⇒ x − 2 = 0 ⇒ x = 2

A = { − 5, 2 , 3 } 2p

164

Modele de subiecte

3. a − 2 + b − 5 + c + 16 5p
ma = = 10
3
a − 2 + b − 5 + c + 16 = 30
a + b + c = 21
a + b + c 21
ma = = =7
3 3

ro
4. A(0,−6) ⇒ Gf  Oy = (0,−6) ⇒ f (0) = −6 ⇒ 0 ⋅ a + b = −6 ⇒ b = −6 5p
3
a) B(8,0) ⇒ Gf  Ox = (8,0) ⇒ f (8) = 0 ⇒ 8a − 6 = 0 ⇒ 8a = 6 ⇒ a =
4

o.
3
f ( x) = x−6
4

nf
b) justifică în triunghiul dreptunghic AOB că OM este mediana din unghiul 5p
drept şi proprietatea medianei de a împărţi aria triunghiului în două arii
egale 3p
ei
c1 ⋅ c 2 6 ⋅ 8
calculează aria Δ AOB = = = 24
2 2
at
calculează aria Δ OMA = A ΔAOB : 2 = 24 : 2 = 12

5
(2 x + 1)2 + 4 x + 7 ∈ Z 5p
.m

„
2x + 1
şi x ∈ Z ” ⇔ 2 x + 1 [(2 x + 1) 2
+ 4x + 7 ]
Dar 2 x + 1 (2 x + 1) 2 ⇒ trebuie ca 2 x + 1 4x + 7
w

Însă 4 x + 7 = 4 x + 2 + 5 = 2(2 x + 1) + 5 şi condiţia devine 2 x + 1 5 3p
w

2 x + 1 ∈ { − 5, − 1, 1, 5 } −1
w

2 x ∈ { − 6, − 2, 0, 4 } − 2p

x ∈ { − 3, − 1, 0, 2 }

puncte)

1. a) Numărul maxim de îngheţate este = 5caserole ∙6 straturi∙ 20 îngheţate = 5p

600 de îngheţate

165

Modele de subiecte

b) Aria bazei = 5∙ Aria bazei unei caserole = 5 ∙ 60 ∙ 60= 18000 cm2 5p

c) Volumul frigorifer = Aria bazei∙ 6 ∙ înălţimea caserolei= 3p 5p

18000 ∙ 6∙ 20 = 2160000 cm3 = 2160 dm3= 2160 litri 2p

2. a) L porţiuni de drum = 2∙L segment + Lungimea unui cerc de rază medie 5p

ro
L porţiunii de drum = 2 ∙ 20 + 2∙ π ∙(8+4) = 40 + 2∙ 3,14∙ 12 = 115,36 m

b) Aria porţiunii de drum= 2∙Aria dreptunghi + A cerc mare – A cerc mic ⇒ 5p

o.
Aria porţiunii de drum = 2∙20∙8 + π ∙162 – π ∙ 82 = 3p

Aria porţiunii de drum = 2∙20∙8 + 3,14∙256 –3,14∙ 64=

nf
Aria porţiunii de drum = 320 +803,84 – 200,96 = 922,88 m2

c) Lungimea bordurii = 4 ∙ Lungime segment + L cerc mare + L cerc mic
2p

2p
ei 5p

Lungimea bordurii= 4 ∙ 20 +2∙ π ∙16 + 2∙ π ∙ 8 ⇒ 1p
at
Lungimea bordurii= 80 +2∙3,14∙16 + 2∙ 3,14∙ 8 ⇒

Lungimea bordurii= 80 +100,48 + 50,24 =230,72 metri de bordură 2p
.m
w
w
w

166

Modele de subiecte



SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. 1 5p

2. a=3 5p

o.
3. 14 lei 5p

nf
4. 32 cm 5p

5. 6 cm 5p
ei
6. 29 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

1. V 5p
.m
w

D
C
w

A B
w

2. Calculaţi 6a + 8b– 2 c , ştiind că
9a2 +24ab + 16b2 = 36 ⇒ (3a+4b)2 = 6 2 ⇒ 3a + 4 b = 6 pt că a, b, c∈ℝ + 2p
Din 3a + 4 b = 6 ⇒ 4c = 6 ⇒ 2c = 3 1p
Suma 6a + 8b– 2 c = 2 ∙ 6 – 3 = 9 2p

3. Din staţia de plecare A urcă în tramvai x călători 5p

In staţia terminală K vor fi în tramvai

x +3 –1+3 – 2 + 3 – 3 +3 – 4 + 3 – 5 + 3 – 6 + 3– 7 + 3– 8 + 3 – 9 =2 călători

167

Modele de subiecte

x + 3 ∙ 9 – (1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 2

x +27–45 = 2

x = 20 In staţia de plecare (A) au urcat 20 de călători în tramvai

4. a) f : ℝ→ ℝ , cu f(x) = ax+1 şi A( 2 ; 2) aparţine graficului funcţiei f 2p

ro
1
⇒ f(2)= 2a+1=2 ⇒ 2a= 1 ⇒ a =
2
g : ℝ→ ℝ , cu g(x) = –x+ b şi B(6 ; 1) aparţine graficului funcţiei g 2p

o.
⇒ g(6)= –6+b= 1 ⇒ b=7
1 7 1p
a·b = ·7 =
2 2

nf
Y
Gg
ei
Gf
at
B(4;3)

A(0;1)
.m

E(- C(7;0) X
2 0) O(0;0)
w

Determinăm coordonatele punctului B , unde Gf  Gg = {B}
w

x x
În B avem f(x) = g(x) ⇒ + 1 = − x + 7 ⇒ + x = 7 − 1 ⇒ 1,5 x = 6 ⇒ x = 4
2 2
w

4
f (4) = + 1 = 2 + 1 = 3 ⇒ B(4;3) 2p
2

x x
Gf  OX ⇒ y = 0 ⇒ f ( x) = 0 ⇒ + 1 = 0 ⇒ = −1 ⇒ x = −2 ⇒ E (−2;0)
2 2
0
Gf  OY ⇒ x = 0 ⇒ f (0) = + 1 = 1 ⇒ A(0;1) 1p
2

Gg  OX ⇒ y = 0 ⇒ g ( x ) = 0 ⇒ − x + 7 = 0 ⇒ − x = −7 ⇒ x = 7 ⇒ C (7;0)
Gg  OY ⇒ x = 0 ⇒ g (0) = 0 + 7 = 7 ⇒ F (0;7) 1p

168

Modele de subiecte

b1 ⋅ h1 b2 ⋅ h2 9 ⋅ 3 2 ⋅ 1 25
A OABC = A ΔEBC – A ΔEOA = − = − = = 12,5
2 2 2 2 2
2p

5 a 2 + 4a + 4b 2 + 4b + 5 = 0 ⇒ a 2 + 4a + 4 + 4b 2 + 4b + 1 = 0 ⇒ 1p

1p
⇒ (a + 2 ) + (2b + 1) = 0 Dar orice număr real ridicat la putere pară este
2 2

ro
pozitiv sau nul ⇒ fiecare termen al sumei este egal cu 0

⇒ a + 2 = 0 ⇒a = – 2 1p

o.
1p
2b+1= 0 ⇒b = – 0,5
1p

nf
Produsul a∙b = – 2 ∙ (– 0,5) = 1

ei puncte)

1. 5p
at
.m

a)
w

AB= 0,8m = 8 dm

VO = 0,6m = 6 dm
w

OM = AB:2 = 4 cm

ΔMOV aplicăm teorema lui Pitagora şi obţinem VM = 2 13 dm
w

Ab ⋅ h 64 ⋅ 6 5p
b) V = = = 64 ⋅ 2 = 128 dm 3
3 3

Masa = volumul ∙ densitatea = 128 ∙1,3 kg = 166,4 kg ciocolată

c) V baton = L∙l∙h = 20∙10∙2 cm3= 400 cm3 = 0,4 dm3 5p

Numărul de batoane se obţine împărţind volmul piramidei la volumul unui
baton 128 : 0,4 = 320 de batoane de ciocolată

169

Modele de subiecte

320∙8 = 2560 lei

2. a) Aria unei celule = A cerc 5p

A cerc = πR 2 = π ⋅ 10 2 = 100π

Suprafaţa activă = 4 ∙ A cerc = 400π

ro
400 ∙3,14 < S activă < 400 ∙ 3,15

1256 cm2 < S activă < 1260 cm2

o.
nf
b) A panou = L ∙ l = 1,2 ∙1,6 = 1,92 m2 = 19200 cm2 5p

Lungimea şi lătimea panoului sunt multipli ai laturii bateriei solare
ei
A baterie solară = 40 ∙40 = 1600 cm2

Numărul de celule = A panou : A baterie = 19200 : 1600 = 12 celule
at
A activă a panoului = 12 ∙S activă celulă

12∙1256 cm2 < A activă panou < 12∙1260 cm2
.m

15072 cm2 < A activă panou < 15120 cm2

c) Arăt că ABCD este un pătrat cu
w

latura 20 cm.
A B
w

L conductori = P pătrat + L diagonale

L conductori = 4∙20 + 2∙ 20 2 2p
w

D C
4 ⋅ 20 + 40 2 < 140 − 80

40 2 < 60 : 20

2 2 <3
8< 9 3p

Adevărat

170

Modele de subiecte

Varianta 65 Prof. Dima Paraschiva
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 2 5p

ro
2. 24 5p

3. 36 cm2 5p

o.
4. 600 5p

nf
5. 4 cm 5p

6. 36 puncte 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Desen 4p

Notație 1p
.m

2. Fie n numărul căutat, n=9 c 1 + 5, n=12 c 2 +5 2p

n-5=9 c 1, n-5=12 c 2 1p
w

n-5=[9;12](cel mi mic multiplu comun al lui 9 și 12), n-5 =36, 1p

dar cum trebuie să fie format din trei cifre, n-5=108, n=113
w

1p

3. −3 ≤ 2 x − 1 ≤ 3 1p
w

−3 + 1 ≤ 2 x ≤ 3 + 1 1p

−2 ≤ 2 x ≤ 4 1p

−1 ≤ x ≤ 2, x ∈ Z 1p

x ∈ {−1, 0,1, 2} 1p

4. a) fie x prețul inițial

171

Modele de subiecte

5 4 5 2p
x+ x+ (x + x) =
546
100 100 100
3p
Rezolvarea ecuației și aflarea lui x=500 lei

b)546-500=46(diferența dintre prețul final și cel inițial) 1p

ro
p 2p
500 = 46
100
46 2p
= = 9, 2%
p ,p

o.
5

5 x 2 ( x + 2) − ( x + 2) = 2p

nf
1p
( x + 2)( x 2 − 1) =
2p
( x + 2)( x + 1)( x − 1)
ei
at
puncte)

1. a) cea mai mare distanță este diagonala pătratului
.m

AC = 100 2m 3p

2p
100 2 > 140
w

b) aria grădinii de zarzavat este aria semidiscului cu raza r=50 m

π r2 3p
w

=
Aria = 1250π m2
2
2p
3925 < 1250π < 3938
w

c) lungimea gardului=3AB+lungimea arcului BC 1p

lungimeagardului 300 + 50π
= 2p

=300=157+457m 2p

172

Modele de subiecte

2. 3 2p
a) Vcub = 384
4
2p
Vcub = 512 litri
1p
Vcub = 512 dm3=51200 cm3

ro
b) Vcub = l 3 1p

2p
l 3 = 512

o.
2p
l = 8 dm

c) aria unei fețe=82=64 dm2

nf
2p

aria celor cinci fețe=320 dm2 2p

prețul materialului= 480 lei
ei 1p
at
.m


SUBIECTUL I (30 de
puncte)
w

1. 1 5p

2. 7 5p
w
w

3. 60 5p

4. 6 5p

5. 2 3 5p

6. 700 kg 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

173

Modele de subiecte

1. Desen 4p

Notație 1p

2. 
15 2p
2 
2) 3 −1)

 3 −1  =
−
 2 3 +1
 

ro
15
 6− 2− 6+ 2
  = 0 = 0∈Z
15
 2  3p
 

o.
3. Notăm cu x lungimea drumului

nf
1 1 2p
x+5 =x
3 2

x = 30 km
ei 3p

4. a) determinarea a două puncte de pe grafic 3p
at
trasarea graficului 2p
.m

b) A(a;3a ) ∈ G f 1p

2a − 5 =a
3 2p

a = −5 1p
w

A(−5; −15) 1p
w

5 18 < 4 x + 8 < 27 1p

10 < 4 x < 19 1p
w

10 19 1p
<x<
4 4

x ∈ {3; 4}
2p


174

Modele de subiecte

puncte)

1. a)aria peretelui= 52 − 21 = 2p

=8 m2 3p

b)aria unei placi=100 cm2 2p

ro
8 m2=80000 c m2 2p

Nr.plăci=800 1p

o.
c) prețul fară reducere=1000 lei 2p

prețul după aplicarea reducerii=950 lei

nf
3p

2. a) V = Ab h 1p
ei
l2 3
=
Ab = 3
4 2p
at
V = 3 3 m3 2p

b) aria unei fețe=6 m2
.m

1p

costul fără reducere=900 lei 2p

costul după reducere=810 lei 2p
w

3p
c)lungimea= 13
w

13 ≈ 3, 6 2p
w

175

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 3 5p

ro
2. 20 5p

3. 160 5p

o.
4. 6 3 5p

nf
5. 13 5p

6. 9 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Desen 4p

Notație
.m

1p

2. Fie x cantitatea maximă dintr-o lădiță

59 = xn1 + 3, 67 = xn2 + 4 2p
w

= xn1 , 63 xn2
56 = 2p
w

x=cel mai mare divizor comun al nr. 56 și 63
1p
x=7
w

3. fete=21 3p

nr. elevi=21=7=28 2p

4. a)2a+b=7 2p

-1a+b=-8

a=5, b=-3 2p

f(x)=5x-3 1p

176

Modele de subiecte

3 3p
b) intersecția cu axa O x este punctul M ( ;0)
5
2p
intersecția cu axa O y este punctul N (0; −3)

ro
5 x +1) x −1) 2p
1 1 2
− =
x −1 x +1 x −1
2

o.
x +1− x +1 2
= 2 2p
( x + 1)( x − 1) x − 1

nf
2 2
= 2
x −1 x −1
2
1p
ei
puncte)
at
1. a)raza unui rond=2 m 1p

aria = π r 2 2p
.m

aria = 4π m2 2p

b) aria parcului=48 m2 2p
w

aria cu iarba= 48 − 8π = m2
22,88 3p

c) preț lalele=720 lei 2p
w

preț panseluțe=450 lei 2p
w

preț total=2340 lei 1p

2. a) latura pătratului de la suprafața apei=0,6 m 1p

aria =0,36 m2=36 dm2 2p

volumul apei=240 litri 2p

b)volumul pamânt= 1,92 m2 3p

înălțimea stratului de pământ=0,0768 m= 7,68 cm 2p

177

Modele de subiecte

c) apotema= 16,36 2p

3p
aria laterală=2,4 16,36 =9,70 m2


ro
Varianta68 Prof. Dima Paraschiva
SUBIECTUL I (30 de

o.
puncte)

1. 100 5p

2. 50

nf 5p

3. 3
ei 5p
4
at
4. 24 5p

5. 3 5p
.m

6. 340 5p

SUBIECTUL II (30 de
w

puncte)

1. Desen 3p
w

Notaţie 2p
w

2. x = lungimea drumului

2 2p
x− x =
15
3

1
x = 15 2p
3
1p
x = 45 km

3. 3 x 2 x − 2 18 2p
− =
6 6 6

178

Modele de subiecte

x+2=
18 2p

x = 16 1p

4. a) A(3,3) ∈ G f ⇔ f (3) =
3 2p

3x − 6 =3 2p

ro
x=3 1p

b)determinarea a două puncte care aparţin graficului

o.
3p

trasarea dreptei care reprezintă graficul 2p

nf
5 x2 − 9 ( x + 3)( x − 3) 4p
=
x − 8 x + 16 ( x − 5)( x − 3)
2
1p
ei
finalizare

at
puncte)

1. a) calculul înălţimii din A, AD=24cm 1p
.m

b ⋅î 2p
A= , A = 360cm 2
2
1p
Calculul înălţimii din B
w

AE 2p
b) Fie BE înălţimea din B. În triunghiul dreptunghic ABE, cos(BAE ) =
w

AB
calculul lui AE folosind teorema lui Pitagora 2p
finalizare
w

1p

c) calculul razei cercului 3p

Lcerc = 2π R şi finalizare 2p

2. a) apotema bazei OM= 3 3 cm 2p

VO=3cm 3p

179

Modele de subiecte

Ab ⋅ h 1p
b) V =
3

Ab = 81 3 cm2
2p

V = 81 3 cm3 2p

ro
c) At Al + Ab
= 1p

2p
calculul ariei totale = 162 + 81 3 cm2
At

o.
2p
finalizare

nf
ei
SUBIECTUL I (30 de
at
puncte)

1. 18 5p
.m

2. 2,3,6,9; 5p

3. 21000 5p
w

4. (x-2)(x+2) 5p
w

5. 3 2 5p

6. -4 5p
w

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

1. Desen 3p

Notaţie 2p

2. Numărul întrebărilor la care nu ştie răspunsul = 14 2p

3p

180

Modele de subiecte

14 1
probabilitatea să primească o întrebare pe care nu o ştie = =
42 3

3. 6 x 3p
=
10 8

x = 4,8ore

ro
2p

4. 80 1p
b= a

o.
100
75 1p
a) a,b,c,d = cele patru numere c= b
100

nf
75 80 60
c= ⋅ a= a
100 100 100 3p

1p
b) d =
36
a
ei
100
a+b+c+d = 690 1p
at
80 60 36
a+ a+ a+ a=
690 1p
100 100 100
2p
= 250, b 200, c 150, d 90
a = = =
.m

5 E ( x= 4 x 2 + 4 x + 1 − ( x 2 − 2 x + 1) + x 2 − 4 − 3 x 2 + 15
) 2p
E ( x) = 4 x 2 + 4 x + 1 − x 2 + 2 x − 1 + x 2 − 4 − 3x 2 + 15 2p
w

E(x) = x2 +6x +11. 1p
w

puncte)
w

1. a) raza cercului este R=2m 1p

Lcerc = 2π R 2p
Lcerc = 4π m 2
2p

181

Modele de subiecte

AABCD AB ⋅ AD
= 2p
AABCD = 600m 2
Acerc = π R 2
b)
Acerc = 4π m 2 2p

Agazon (600 − 4π )m 2
= 1p

ro
c)suprafaţa piscinei= 4π m 2 ,dacă

π = 3,14

o.
aria = 12,56m 2
1p
Aria unei plăci=900cm2

nf
2p

900 ⋅ 20 = cm 2
18000
18000 ⋅ 7 126000cm 2 12, 6m 2
= =
ei
2p

2. a)apotema piramidei=8 cm 3p
at
Al = 192m 2 2p
.m

b)aria laterală a prismei Al Pb ⋅ h
= 2p

3p
Al = 144m 2
w

c)aria unei plăci=2400cm2=0,24m2 2p

aria podelei=144m2
w

2p

nr plăci=600 1p
w


SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. -240 5p

2. 5 5p

182

Modele de subiecte

3. 2a 5p

4. 2 5p

5. 18 5p

6. 240 5p

ro
SUBIECTUL II (30 de
puncte)

o.
1. Desen 3p

Notaţie 2p

2. A= {−1, 0,1, 2,3, 4,5, 6}

nf 2p

B = {0,1, 2,3, 4}
ei 2p

A ∪ B = −1, 0,1, 2,3, 4,5, 6}
{
at
1p
A ∩ B = 2,3, 4}
{0,1,
A − B = −1,5, 6}
{
.m

3. Numărul bomboanelor lui Viorel=6 3p

împreună au 15 bomboane 2p
w

4. A(a, a ) ∈ G f ⇔ f (a ) =
a 2p
a) 2a − 5 =a 2p
w

a=5 1p

5  2p
w

G f ∩ Ox =, 0 

b) 2 
2p
G f ∩ Oy = ( 0, −5 )

25 2
Aria = u 1p
4

183

Modele de subiecte

5 8 2p
a =3 2 + −5 2
2 2
2p
a = 3 2 + 2 2 −5 2
a= 0 ∈ N 1p


ro
puncte)

1. a)AE=5-x, AG=3-x 1p

o.
Perimetru=2(5-x)+2(3-x 2p

Perimetru=16-4x 2p

b)(5-x)(3-x)=8

nf 2p

x2 − 8x + 7 =0
ei 1p

x =1 2p
at
c) suprafaţa podelei = 15m2 2p

cantitatea de vopsea folosită = 20 l
.m

2p

preţul total = 240lei 1p

2. a) V = 80 m3 5p
w

b)V apă = 60 m3 2p
w

h apă = 3 m 3p

c) într-o secundă se elimină 40 l apă 1p
w

timpul necesar pentru eliminarea apei = 1500 s 2p

1500secunde = 25 minute 2p

184

Modele de subiecte

Varianta71 Prof. Dima Paraschiva
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 14 5p

ro
2. 2 5p

3. 5 5p

o.
3

4. 600 cm2 5p

5. 72 cm2

nf 5p

6. 7 elevi
ei 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

.m

Notează cubul 2p

2. 3x+6 2 x 2 x + 3 1p
− =
w

6 6 6

3x + 6 − 2 x = 2 x + 3
1p
w

x + 6 = 2x + 3
1p
x=3
w

2p

3. A(a,5) ∈ G f ⇔ f (a ) =
5 2p

f ( a ) 2a − 1
= 1p

1p
2a − 1 =5
1p
a=3

4. a)verificare 242:4 = 60 rest 2 2p

185

Modele de subiecte

242:5 = 48 rest 2 2p

242:6 = 40 rest 2 1p

b)teorema împărţirii cu rest D = Î × C + R 1p

x=nr. Timbre

ro
= 4c1 + 2 ,= 5c2 + 2 ,= 6c3 + 2
x x x 1p

1p
x − 2 =c1 , x − 2 = 2 , x − 2 =c3
4 5c 6

o.
1p
x − 2 =m.m.m.c(4,5, 6)
c.
1p

nf
x = 62

5 2 x − 4 + ( 3x + 2 y − 8) = 1p
2
0
ei
2p
2 x − 4 = 2 x − 4 =, x = 2
0, 0
at
2p
( 3x + 2 y − 8) =3 x + 2 y − 8 = , y = 1
2
0, 0
.m

puncte)

1. a) AMNPB = x 2 5p
w

AABCD AD ⋅ AB
= 1p
AABCD = 6400m 2
w

1p
1 1p
b) ) x 2= ⋅ 6400
4 1p
w

x 2 = 1600
1p
x = 40m

c) AAMNPCD AABCD − AMNPB
= 2p

2p
= =
AAMNPCD 4800m 2 48ha
1p
Cantitatea recoltată=2400 tone

2. Ab ⋅ h 1p
a) V =
3

186

Modele de subiecte

2p
Ab = 36dm 2

V = 48dm3 2p

b) volumul unei tablete=30cm3=0,03dm3 3p

2p
numărul de tablete=1600

ro
c) nr. de cutii mici=16 3p

o.
nr. minim cutii mari=2 2p

nf
ei
at
.m
w
w
w

187

Modele de subiecte


Varianta 72 Prof. Dobre Andrei Octavian
SUBIECTUL I (30 de

ro
puncte)

1. x = -3 5p

o.
2. 10 lei 5p

3. 2700 lei 5p

4. 54 m2

nf 5p
ei
5. 1000 l 5p

6. 25% 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. Desen cub 2

Desen desfasurare cub 3
w

2. A={2} 2p
w

B=[0;4] 2p

A ∩ B={2} 1p
w

3. Profesori = 0,(3) ⋅ 9000=3000 2p

Părinţi = 25% ⋅ 9000 = 2250 2p

Elevi = 9000 – 5250 = 3750 1p

4. a) f(a) = 16 2p

(a-5)(a+3) = 0 1p

a 1 =5, a 2 =-3 2p

188

Modele de subiecte

1 2p
b) A(0,1) ; B( − ,0)
3

10
AB= 1p
3

AO AB OB 2 10
Fie CD ⊥ AB ,  AOB ~ ADC ⇒ = = ⇒ DC =

ro
AD AC DC 5 2p

5 2 3 − 3 +1 − 2 3 + 3 + 3 −1 3 2p
= ∈

o.
x+2 x+2

x + 2 ∈ D3 ={−3; −1;1;3} ⇒ x ∈ {−5; −3; −1;1}
2p

nf
A = {1}
ei 1p

puncte)

1. a) 1200000:3000 = 400 luni 1p
at
400 luni = 33ani si 4 luni 2p
.m

Construcţia a fost finalizată în luna iunie 2p

b) Notăm piramida VABCD şi alegem un punct P ∈ (VO) astfel încât VP =
AP=BP=CP=DP=a
w

VO ⊥ ( ABC ),V ∉ ( ABC ), B ∈ ( ABC ) ⇒
pr( ABC )VB = , ( ABC )) =) =
OB ⇒ m(VB m(VB, OB 1p
w

m(VBO) = 600
w

2p
138
În VOB, m(O) = 900 ⇒ tg 600 = ⇒ OB = 46 3m
OB

189

Modele de subiecte

În  POB aplicam Teorema lui Pitagora 2p

⇒ a 2 = (138 − a ) 2 + (46 3) 2
a = 92m

ro
c) 5p

d l 2 ⇒ = 46 6m
= l

o.
Abaza l = 12696m 2
= 2
Abaza hpir
=
V piramidei = 594016m3
3

nf
Vcalcar= V piramida − Vspatii= 500000m3= 500dam3
ei
2. a) Unghiul dintre dreapta şi plan este CAB 1p

CB 1p
tg 300 =
at
AB

3 CB
=
.m

1p
3 30
2p
CB = 10 3m
w

b) MN = 10 m (se află prin asemanarea triunghiurilor sau cu ajutorul 5p
funcţiilor trigonometrice)
w

3+2,5+2,5+2,5=10,5

(10,5-3):2,5=3 (B 3 B 4 = etajul 3)
w

c) A dr =200m2 2p

A bloc =336m2 2p

A alee =136m2 1p

190

Modele de subiecte


SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. -8 5p

2. 9 zile 5p

o.
3. 1200 lei 5p

nf
4. 36 cm2 5p

5. 960 3 cm2 5p
ei
6. 6000 vizitatori 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. Desen trunchi 3p

Notare MATEINFO 2p

2. 10 – x + x +15-x +14 = 30 3p
w

x =9 2p
w

3. Datorii = 240 + 15 + 10 +35 = 300 € 1

Fiecare student poate plăti 60 € 2
w

Toţi pot plăti 180 € 1

Mai au nevoie de 300 – 180 = 120 € 1

4. a) f (0) = -6 ; f(3) = 0 2p

a=2, b= - 6 2p

f(x) = 2x-6 1p

191

Modele de subiecte

C1 ⋅ C2 2p
b) Aria =
2

Aria = 9 u.m.2

5 3 x 2 + 10 3 x + 25 + 12 x 2 − 4 3x + 1 − 15 x 2 + 9 3 3 x + 26
= 3p

2p

ro
3 3 x = −9
1p
x= − 3

o.
puncte)

nf
1. a) V apă = 10 ⋅ 5 ⋅ hapă 3p

2p
hapă = 2dm (cel mai scurt drum)
ei
b) V cub = 64dm3 2p
at
V acvariu = 200 dm3 2p

V apă + V cub =164 dm3<V acvariu => apa nu va ieşi din acvariu 1p
.m

c) 5p

0,3l...........1 s
w

90l............x s

x= 300s = 5minute
w

2. a) l = 2R = 14 cm 5p

b) A dreptunghi =224 𝛑𝛑 cm2 ; A cerc1 +A cerc2 =98 𝛑𝛑 cm2
w

A rest = 224 𝛑𝛑 - 98 𝛑𝛑 = 126 𝛑𝛑 cm2
2p

A patrat = 9 cm2
1p

Număr bijuterii = 14 𝛑𝛑 cm2 ≈ 43 piese
1p

1p

c) 1cm2………200€ 2p

9 cm2 …….. x

192

Modele de subiecte

x = 1800 € (valoarea unei bijuterii)

Patru bijuterii costa 7200 €
2p

1p


ro
SUBIECTUL I (30 de

o.
puncte)

1. -2 5p

2. 11

nf 5p

3. 9,604
ei 5p

4. π 5p
at
5. 64 000 l 5p
.m

6. 1000 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)
w

1. Desen 3p

Denimre trunchi 2
w

2. x + 1/ 2 x − 4 2p
x + 1/ 2 x + 2
w

1p
⇒ x + 1/ −6 ⇒ ( x + 1) ∈ {−6; −3; −2; −1;1; 2;3;6}
x ∈ {−7; −4; −3; −2;0;1; 2;5} 1p
A = {0;1; 2;5}
1p

193

Modele de subiecte

3. a1 + a2 + ... + a10 =40 2p
a1 + a2 + ... + a8 =4
2p
a9 + a10 =
36
a9 + a10 1p
=ma = 18
2

4. a) 1p

ro
f ( x) = g ( x) 1p
−3 x =−9

o.
1p
x=3
f (3) = 0 1p

nf
A(3, 0) 1p

A(0;6), B(3;0) 2p
b)
ei
A' (3;0), B ' (0; −3)
2p

1p
at
Baza ⋅ înălţime 9 ⋅ 3 27
=
A = =
2 2 2
.m
w
w
w

5 5p
9−4 5 = ( 5 − 2) 2 = | 5 − 2 |= 5 −2

a=

5 − 4 + (6 + 4 2)(6 − 4 2) =
1 + 36 − 32 = ∈ 
5

194

Modele de subiecte

puncte)

1. a) V paralelip = 15 ⋅10 ⋅ 20 =3000 cm3 2p

Valoare lingou = 600 000 € 3p

b) V cub =125 cm3 3p

ro
Număr lingouri = 3000:125= 24 2p

o.
c) Piramida patrulateră regulată de volum maxim are baza egală cu baza 1p
cubului si inalţimea egală cu muchia cubului.

nf
5 5
ap = cm 1p
2
1p
A b = 25 cm2
ei
1p
Pb ⋅ ap
= = 25 5cm 2
Al
2
at
= 25(1 + 5)cm 2
At 1p
.m

2. Acerc π= 3, 24π m 2
= R2 2p
a)
Asemicerc = 1, 62π m 2 3p
w

( B + b) ⋅ h 2p
= =Atrapez
b) 2
(6 + 3, 6) ⋅ 5,8 3p
= 27,84m 2
w

2

c)PQ = 5,8 – (1,2 + R) = 3p
w

5,8 – (1,2+1,8) =2,8m 2p

195

Modele de subiecte

Varianta75 Prof Dorneanu Bogdan
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 1054 + 1054 : 2 = 1054 + 527 = 1581 5p

ro
2. −2 ≤ x − 1 < 3 ⇒ −1 ≤ x < 4 ⇒ A = [ −1; 4 ) 5p

3. x = preţ caiet; y = preţ creion 5p

o.
x + 3y = 12 ⇒ 3 x + 9 y = ( x + 3 y ) = ⋅12 =
3 3 36

nf
4. 6 cm 5p

5. A ' C '  AC ⇒ m ( ( A ' C ', BD ) ) = AC , BD ) ) =
m ( ( m ( AOD ) =
90o 5p
ei
6. −2 + 0 + 3 + (−2) + 4 + 5 + (−1) 7 5p
=
tm = = 1
at
7 7

SUBIECTUL II (30 de
.m

puncte)

1. Desen piramidă 3p

Apotemă 1p
w

Înălţime 1p
w

2. x = preţ castraveţi, y = preţ morcov 1p

2x + 3y = 12 1p
w

4x + 2y = 16 : 2 ⇒ 2 x + y =8 ⇒ 2 x =8 − y 1p

1p
2x + 3y = 12 ⇒ 8 − y + 3 y = 12 ⇒ 2 y = 4

y=2
1p
x=3

3. (x, y, z) d.p. (4, 6, 7) şi x + y + z = 170 1p

196

Modele de subiecte

x y z x + y + z 170 1p
= = = = = 10
4 6 7 4 + 6 + 7 17
1p
x
= 10 ⇒ x = 40
4
1p
y
= 10 ⇒ y = 60

ro
6

z 1p
= 10 ⇒ z = 70

o.
7

4.  2 3 x  5  2 x + 2 3x − 3 x  ( x − 1)
E ( x) =  − + 2 : 2 =  2 − 2 + 2 ⋅

nf
 x −1 x +1 x −1  x − 2x +1  x −1 x −1 x −1  5
a) 3p
2 x + 2 − 3 x + 3 + x ( x − 1) ( x −=
1)
2 2
5 x −1
= ⋅ = ⋅
x2 −1 5 ( x + 1)( x − 1) 5 x +1 2p
ei
x −1 x +1− 2 2 2p
b) E ( x) ∈  ⇔ ∈ ⇔ ∈  ⇔ 1− ∈
x +1 x +1 x +1
at
2 
1− ∈  2 2p
x +1 ⇒ ∈  ⇒ x + 1 ∈ D2 ⇒ x + 1 ∈ {−2; − 1; 1; 2}
.m

 x +1
1∈  

x ∈ {−3; − 2; 0; 1} 1p
w

x 2 − 4 x + 3 + y 2 + 10 y + 21 ≤ 0 
5 2p
  2
  x − 4x + 3 = 0
x − 4x + 3 ≥ 0 ⇒  2
w

2

  y + 10 y + 21 =
 0
y 2 + 10 y + 21 ≥ 0 

w

x 2 − 4 x + 3 =0 ⇒ x 2 − 4 x + 3 =0 ⇒ ( x − 2 ) − 1 =0 ⇒ ( x − 2 ) = ⇒
2 2
1
1p
x = 3
x − 2 =±1 ⇒ 
x = 1

y 2 + 10 y + 22 = ⇒ y 2 + 10 y + 21 = ⇒ ( y + 5 ) − 4 = ⇒ ( y + 5 ) = ⇒
2 2
0 0 0 4
 y = −3 1p
y+5= 2⇒ 
±
 y = −7

197

Modele de subiecte

S = 3; − 3) ; ( 3; − 7 ) ; (1; − 3) ; (1; − 7 )}
{( 1p

puncte)

1. a) ∆ADC dreptunghic isoscel 2p
⇒ m ( DAC ) = m ( DCA ) = 45o 

ro

 ⇒ m ( CAB ) =
45o
m ( A ) = 90 0



m ( CAB ) = 45o 

o.

 ⇒ m ( CBA ) =
450 ⇒ 1p
∆ACB
isoscel  
AB

nf
∆ACB dreptunghic ⇒ AC = BC = = 5 2m
2

AC
∆ADC dreptunghic isoscel ⇒ AD = DC = = 5m
ei 2
1p
=
( AB + DC ) ⋅ AD
=
(= 37,5m2
5 + 10 ) ⋅ 5
at
AABCD
2 2 1p

AD ⋅ DC 5p
.m

A 2 = 25 1
=
b) ∆ADC =
A∆ABC AC ⋅ BC 50 2
2
w

c)Suprafaţă parchet cumpărat:

x – 10% din x = 50 y – 10% din y = 25
w

10 10 3p
x− x =⇒
50 y− y =⇒
25
100 100
w

9 9
= 50 ⇒
x = 25 ⇒
y
10 10
500 250
x= y=
9 9

1 m 2 ..............................27 lei 1 m 2 ..............................54 lei 1p
500 2 250 2
m ............................x lei m ............................x lei
9 9
500 3 250
=x ⋅ 27 = 1500 lei x= ⋅ 54 = 1500 lei
9 9

198

Modele de subiecte

Suma totală = x + y = 3000 lei 1p

2. {Q}
a) Fie NP ∩ B ' C ' = 5p

∆NB ' C ' echilateral  B 'C ' 3
 ⇒ NQ = = 2 3 = 3, 4
NP ⊥ B ' C '  2

ro
BB’ = NP – NQ = 8,4 – 3,4 = 5 m

Suprafaţa văruită = 2 ⋅ A= 2 ( Ll + Lh + lh ) 148 m 2 .
=

o.
l

Cantitate var = 148 kg.

nf
b) Suprafaţă ţiglă = 2 ⋅ AMNA ' B ' = 2 A ' B '⋅ A ' M = 2 ⋅ 6 ⋅ 4 = 48m 2 5p

preţ ţiglă = 48 ⋅ 56lei = 2688 lei
ei
c) pr( ABC ) D ' P =' P, ( ABC ) ) =
DP ⇒ m ( D m ( D ' PD ) 1p
at
TP
D ' D ⊥ ( ABC ) ⇒ D ' D ⊥ DP ⇒ D ' P 2 = DP 2 + D ' D 2 = DC 2 + PC 2 + D ' D 2 ⇒
2p
D ' P 2 = 62 + 22 + 52 = 65 ⇒ D ' P = 65
.m

DD ' 5 65
sin ( D ' PD )
= = =
D'P 65 13 2p
w
w
w

199

Modele de subiecte



SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. ( −2 + 3 − 4 + 5) : ( 2 − 3 + 4 − 5) =2 : ( −2 ) =−1 5p

ro
2. x 2 − 4 = ⇔ x 2 = ⇔ x = 2
0 4 ± 5p
⇒ x =2
x∈

o.
3. 100kg grâu...................................90kg făină 5p

nf
50 kg grâu.......................................x kg făină
90 ⋅ 50
=x = 45 kg 4500 dag
=
100
ei
4. m ( A ) 600 ⇒ ∆ABD echilateral ⇒ AB 6cm ⇒ PABCD 24cm
= = = 5p
at
5. d= 32 + 42 + 52 = 50 = 5 2 5p
.m

6. 1 ⋅ 0 + 2 ⋅1 + 3 ⋅1 + 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 3 + 6 ⋅ 2 + 7 ⋅ 3 + 8 ⋅ 4 + 9 ⋅ 5 + 10 ⋅ 3 162 5p
=
map = = 6, 48
1+1+ 3 + 3 + 2 + 3 + 4 + 5 + 3 25

SUBIECTUL II (30 de
w

puncte)

1. Desen piramidă 5p
w

2. 4x + 9z = 4 x − 6 y + 6 y + 9 z = 2p
w

1p
2(2 y − 3 y ) + 3(2 y + 3 z ) =
1p
2 ⋅12 + 3 ⋅ (−2) =
1p

18

3. x + y + z + t = 150 1p

200

Modele de subiecte

 x = 2k
x y z 
= = = ⇒  y =k
k 3
2 3 4  z = 4k 1p


z t  z = 2q
z ⋅ 0,5 = ⋅ 0, (3) ⇔
t = = ⇒
q
2 3 t = 3q

ro
1p
2q = 4k ⇒ q = 2k ⇒ t = 6k
1p
2k + 3k + 4k + 6k = 150 ⇒ 15k = 150 ⇒ k = 10

o.
1p
x = 20; y = 30; z = 40; t = 60

nf
 A ( 2, 1) ∈ G f
  f ( 2) = 1

4.  2m − n 1 = 1
= m 5p
a)  ⇔ ⇔ ⇔
 B ( 0, − 1) ∈ G f
  f ( 0 ) = 1 −n = 1
 − − n =1
ei
b) f ( x )= x − 1
at
Fie G f ∩ Ox = , C ( x, 0 )
{C}
2p
C ∈ G f ⇔ f ( x ) = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ C (1, 0 )
.m

G f ∩ Oy
= {B} , B ( 0, − 1) 2p

BO ⋅ CO 1 1p
w

Triunghiul căutat este ∆BOC , dreptunghic în O ⇒ A∆BOC
= = u.a.
2 2

5 2p
w

2
 1 1
( y − 2 )( y + 2 ) ( y 2 + 4 )
1
E ( x, y )= x − x + + y 4 − 16=
2
x−  + +
2  2 4
w

2
 1 1
Deoarece  x −  + şi ( y − 2 )( y + 2 ) ( y 2 + 4 ) sunt nenegativi, valoarea
 2 4 2p
minimă a expresiei se obţine pentru ( y − 2 )( y + 2 ) ( y 2
+ 4 ) = 0 şi pentru
2
 1
 x −  = 0.
 2

1 1p
Astfel Emin =
2

201

Modele de subiecte

puncte)

1. a) F la egală distanţă de A, B, respectiv C, atunci F se găseşte la intersecţia
mediatoarelor.

Fie AF ∩ BC = {M } ⇒ AM ⊥ BC ⇒ d ( A, BC ) = AM
2p

ro
∆ABC isoscel 
 ⇒ BM = MC = 6m
AM ⊥ BC 

o.
TP
AM ⊥ BC ⇒ AB 2 = AM 2 + BM 2 ⇒ AM 2 = 100 − 36 = 64 ⇒ AM = 8 3p

nf
b) Focul trebuie aşezat in centrul cercului circumscris triunghiului ABC. 2p

Notăm FA = FB = FC = x ⇒ FM = x .
8− 1p
ei
Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul FMB obţinem:

FB 2 = FM 2 + MB 2 ⇔ x 2 = ( 8 − x ) + 62 ⇔
2
at
100
x 2 = 64 − 16 x + x 2 + 36 ⇔ 16 x = 100 ⇔ x = m 2p
16
.m

100 128 − 100 28 7 1p
c)distanţa foc – râu = FM = 8 – x = 8 - = = = = 1, 75 m.
16 16 16 4
w

5000
număr parcurgeri foc – râu = = 20 1p
250
1p
distanţa parcursă = 20 ⋅1, 75 =
35m
w

d
v= ⇒ t = d : v = 35 ⋅ 4 = 140 s
w

t 2p

2. a) Fie CE ⊥ AB ⇒ CE = AD = 11m 5p

Aplicăm T.P. în
∆CEB ⇒ CB 2 = CE 2 + EB 2

⇒ EB 2 =169 − 121 =48 ⇒ EB =4 3

DC = AE = AB – EB = 4 3

202

Modele de subiecte

PABCD = AB + BC + CD + AD = 12 3 + 24 = 12 ( 3+2 )
b)
 LB ⊥ BA ⇒ LA
= LB 2 + BA2= 217
 4p

LB ⊥ ( ABC ) ⇒  LB ⊥ BC ⇒ LC= LB + BC =
2 2
194


ro
 LB ⊥ BD ⇒ LD=

LB 2 + BD 2= LB 2 + AD 2 + AB 2= 338
1p
Lungimea cablurilor = 217 + 194 + 338

o.
( AB + CD ) ⋅ AD ⋅ 5 5p
2
12 3 ⋅11
⋅5
Ab ⋅ h

nf
2 2
=
c) V = = = 110 3m3
3 3 ei 3
at
.m
w
w
w

203

Modele de subiecte



SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 1 3 6 1 3 4 1 1
1 1 5p

ro
+ : = + ⋅ = + =1
2 4 4 2 1 4 62 2 2

2. (12, 20) = 4 5p

o.
3. 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 = ( 2 x + 3 y ) 5p
2

nf
4. Fie rombul ABCD, BE înălţimea căutată. 5p

AC ⋅ BD AC ⋅ BD
AABCD = = BE ⋅ CD ⇒ BE =
ei
2 2CD

TP
CO ⊥ DO ⇒ CD 2 = CO 2 + OD 2 ⇒ CD = 5
at
8⋅6
=
BE = 4,8cm
2⋅5
.m

5. pr( A ' B 'C ') AC ' = ( AC ', ( A ' C ' B ') ) ≡  ( AC ', A ' C ') ≡ AC ' A '
A 'C ' ⇒ 5p
w

AA ' a1 3
AA ' ⊥ ( A ' C ' B ') ⇒ AA ' ⊥ A ' C ' ⇒ sin ( AC ' A ') = = =
AC ' a 3 3
w

6. Se observă că funcţia f ( x= 3 x + 1 .
) 5p

( 4)
Deci x f= 13
=
w

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

1. Desen 5p

2. 1  1
2
1 1 1 2p
x + = 4 ⇒  x +  = 16 ⇒ x 2 + 2 x ⋅ + 2 = 16 ⇒ x 2 + 2 = 14
x  x x x x

204

Modele de subiecte

1  1 
2
1 1 2p
x + 2 = 14 ⇒  x 2 + 2  = 196 ⇒ x 4 + 2 x 2 ⋅ 2 + 4 = 196 ⇒
2

x  x  x x

1
x4 + =
194 1p
x4

Fie numărul căutat x.

ro
3.

( x + 5 ) 2 − 4  : 5 =
1 1p
 
1p

o.
( x + 5) − 4 =
2
5
1p
( x + 5) =
2
9
1p
x+5 =

nf
3
1p
x = −2

4. a) B = [ a; 5 ) conţine exact trei numere întregi
ei
5 ∉ [ a; 5 ) 

 ⇒ a = 2 ⇒ B = [ 2; 5 )
at
a ∈ [ a; 5 ) 
 3p

2p
A ∩ B = −2, 4] ∩ [ 2, 5 ) = 2, 4]
( [
.m

b) A ∩ B are un singur element.

a ∈ [ a, 5 ) ; 4 ∈ ( −2, 4] 1p
w

φ
Dacă a > 4 ⇒ A ∩ B =, deci nu are nici un element întreg.
3p
w

Dacă a < 4 ⇒ A ∩ B =, 4] , deci are cel puţin două elemente.
[a
1p
w

Concluzie: a = 4.

5 Trebuie observat că dacă numerele sunt consecutive, resturile obţinute prin 1p
împărţirea celor 2012 numere la 2012 sunt numere diferite şi conform teoremei
împărţirii cu rest aceste sunt 0, 1, 2, ……, 2011.

x + ( x + 1) + ( x + 2 ) + ... + ( x + 2011) = ⋅ ( 0 + 1 + 2 + ... + 2011)
3 1p
2012 x + (1 + 2 + 3 + ... + 2011) = 3 ⋅ (1 + 2 + 3 + ... + 2011)
2012 x = 2 ⋅ (1 + 2 + 3 + ... + 2011)
1p

205

Modele de subiecte

2012 ⋅ 2011 1p
2012 x= 2 ⋅
2
x = 2011 1p

puncte)

ro
1. L =2 AB + 2l  =
AMD 1p
a) 2 AB + 2π ⋅ O1 A = 2p
2 ⋅10 + 2π ⋅ 3 = 20 + 6π

o.
2p

Apatinuar = AB ⋅ AD + π O1 A2 = 2p

nf
b) 10 ⋅ 6 + π ⋅ 3 = 2
2p
( 60 + 9π ) m 2
1p
ei
m ( NO1 A ) = 900 ⇒ NO1 ⊥ AD ⇒ NO1  AB 

1p
c)  ⇒ M , O2 , O1 , N coliniare
m ( MO2 B ) = 90 ⇒ MO2 ⊥ BC ⇒ MO2  AB 
0

at
∆NO1 D dreptunghic isoscel ⇒ ND DO1 = 3 2
= 2 1p
.m

∆MO2 B dreptunghic isoscel ⇒ MB BO2 = 3 2
= 2
1p
NO2 =NO1 + O1O2 = + 10 = = 1
3 13 MO
w

TP
∆NO2 B dreptunghic ⇒ NB 2 = NO2 + O2 B 2 = 132 + 32 = 169 + 9= 178
2
1p
w

⇒ NB= 178 = MD

1p
Lungime traseu = ND + DM + MB + BN = 6 2 + 2 178
w

2. a) ABCDA ' B ' C ' D ' prismă patrulater regulată ⇒ A ' B ' C ' D ' 2p
pătrat ⇒ A ' C ' = 12 2 ⇒ A ' O = 6 2

TP
VO ⊥ A ' O ⇒ VA '2 = VO 2 + OA '2 ⇒ VO 2 = 100 − 72 = 28 ⇒ VO = 2 7 3p

4 AB ⋅ a p 1p
b) suprafaţă= Al piramida
pânză =
3

206

Modele de subiecte

a p= h 2 + ab 2 
2


 ⇒ a p = 28 + 36 = 64 ⇒ a p = 8
2
l 12
ab = = 6 
= 3p
2 2 

4
4 ⋅ 12 ⋅ 8
Al piramida = = 128m 2 1p
3

ro
c) V piscina =2 ⋅ h = 2 ⋅ 2,5 = ⋅ 2,5 = m 2 =
l 12 144 360 360000dm 2 =360000l 4p

o.
1p
Concluzie: În piscină încap 360000l de apă.

nf
ei
at
.m
w
w
w

207

Modele de subiecte

Varianta 78 Prof…GAGA LOGHIN
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 0 5p

ro
2. 3 5p

3. 45 5p

o.
4. 430 5p

nf
5. 150 5p

6. 16 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at

Efectuează notațiile 1p
.m

2. Transformă numerele în fracții ireductibile 1p

a b 2p
Scrie relația de invers proporționalitate și aducere la forma simplă =
w

6 5
1p
Scrie media aritmetică a + b =44
w

1p
Finalizează calculele
w

3. Se notează cu x numărul de elevi și cu y numărul de calculatoare. Se scriu 3p
 y= x − 4

relațiile corespunzătoare 
2 ( y − 3) =
 x
2p
Rezolvare sistem și rezultat.

4. a) f(0) = 0; f(-2) = 4. 1p

Rezolvare sistem și scriere funcție 2p

Trasare grafic funcție, folosind intersecția cu axele 2p

208

Modele de subiecte

b) Trasare dreapta y=4. 1p

Formula arie 2p

Calcul arie și rezultat 2p

5 1 1 1 1 1p
E ( x) = x + x 2 + + 2 = x + + x2 + 2
x x x x

ro
2
1  1 1 1
x + = 5 ⇒  x +  = 25 ⇒ x 2 + 2 + 2 = 25 ⇒ x 2 + 2 = 23 3p
x  x x x

o.
1 1
E ( x) = x + + x 2 + 2 =5 + 23 = 28
x x 1

nf
puncte)
ei
1. a) 50cm = 0,5m; 1p

( 0,5) 4p
at
3
= =
V L3 m= 0,125m3
3

b) Demonstrează că ∆MBD′ este isoscel, cu [ MB ] ≡ [ MD′] 2p
.m

Observă că MN este mediana corespunzătoare laturii BD′ într-un triunghi
isoscel, deci MN este și înălțime ⇒ MN ⊥ BD′
2p
w

Calculează MN
1p

c) Calculează suprafața vopsită S = 2 =⋅ 502 =⋅ 2500 =
w

5L 5 5 12500 cm 2 2p

Calculează câte grupe de câte 5cm2 are suprafața: 12500 : 125 = 100 1p
w

Calculează cantitatea de substanță nutritivă folosită: 1p
100= 5000 ml 5 litri
⋅ 50 =
1p
Calculează suma necesară

2. L2 3 100 3 5p
a) A = = = 25 3 m 2 = 25 ⋅1, 7 = 42,5 m 2
4 4

209

Modele de subiecte

b) Calculează suma lungimilor aleilor :
L2 3 L ⋅ TN L ⋅ TP L ⋅ TM L
= + + = (TN + TP + TM ) 2p
4 2 2 2 2

L 3
⇒ TN + TP + TM= = 50 3= 85 m
2 1p

ro
Suprafața aleilor: 85 ⋅ 0,3 = m 2
25,5 1p

Suprafața rămasă : 42,5 – 25,5 = 17 m2 1p

o.
c) 17m2 = 170000 cm2 3p

170000 : 400 = 425 fire de roșii 1p

425 x 0,75 = 318,75 lei

nf 1p
ei
at
.m
w
w
w

210

Modele de subiecte


Varianta 79 Prof…GAGA LOGHIN

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. 1 5p

2. 42 5p

o.
11

3. 19 5p

4.

5.
24

5
nf 5p

5p
ei
6. 6 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. Desenează triunghiul oarecare 1p

Se trasează bisectoarele unghiurilor triunghiului (sau se enunță faptul că centrul 2p
cercului înscris se află la intersecția bisectoarelor)
w

2p
Se trasează cercul înscris
w

2. 2 x − 1 ≤ 5 ⇔ −5 ≤ 2 x − 1 ≤ 5| + 1 ⇒ −4 ≤ 2 x ≤ 6|:2 ⇒ 2p

−2 ≤ x ≤ 3 ⇒ A =[ −2,3]
w

1− 2x
> 1 ⇔ 1 − 2 x > 3 ⇔ {1 − 2 x < −3} ∪ {1 − 2 x > 3}
3

2p
⇔ {4 < 2 x} ∪ {−2 > 2 x} ⇔ { x > 2} ∪ { x < −1} ⇒ B =( −∞, − 1) ∪ ( 2, + ∞ )
1p
A ∩ B =[ −2, − 1) ∪ ( 2,3]

3. Mai întâi aflăm numărul de apartamente cu 2 și 3 camere. Fie x numărul de
apartamente cu 3 camere și y numărul de apartamente cu 2 camere. Avem:

211

Modele de subiecte

= 15 = 5
x + y x
 ⇒
3 x + 2 y 35 = 10
= y 2p
Fie a costul unui apartament cu 3 camere și b costul unui apartament cu 2 camere.
= 2= 60000 euro
5b a a
Avem:  ⇒
10b + 5a 540000 b 24000 euro
= =

ro
3p

4. 5 1p
a) f (1) =

o.
2
2p
5 5 1
2+a = ⇒ a = −2=

nf
2 2 2
2p
1
f ( x ) 2 x + și reprezentare grafica
=
2
ei
3 3  3  1 2p
b) . x +1 ≤ 4x +1 ⇒  − 4  x ≤ 0 ⇔ −x ≤ 0 ⇒ x ≥ 0 x +1 ≤ 2  2x + 
at
2 2  2  2

3
x +1 ≤ 4x +1 ⇒ −x ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 2p
.m

2
1p
x ∈ [ 0, + ∞ )

x 2 + 3 x + 2 = x 2 + x + 2 x + 2 = x ( x + 1) + 2 ( x + 1) = ( x + 1)( x + 2 )
w

5 1p

x+2 x−2 1 1 x + 2 − x −1 1
E ( x) = − = − = =
w

( x + 1)( x + 2 ) ( x − 2 )( x + 2 ) x + 1 x + 2 ( x + 1)( x + 2 ) ( x + 1)( x + 2 ) 2p

( ) ( x + 1)( x + 2 ) = x + 1)( x + 2 ) ⋅ ( x + 1)( x + 2 ) = ∈ 
E ( x) = x 2 + 3 x + 2 ⋅
1
(
1 2p
w

1

puncte)

1. a) At = Al + Ab ⇒ Ab = 48 3 − 36 3 = 12 3 dm 2

1p
AB 2 3
Ab = =12 3 ⇒ AB 2 =48 ⇒ AB =4 3 dm
4

212

Modele de subiecte

Ab ⋅ hp Pb ⋅ a p 12 3 ⋅ a p
V= ; hp = a 2 − ab2 ; Alat =
p ⇒ 36 3 = ⇒ a p = VM = 6 dm
3 2 2

Notez cu M mijlocul laturii AB
AB 3
ab = OM = = 2 dm ⇒ hp = VO = 36 − 4 = 4 2 dm Deci 3p
6

ro
12 3 ⋅ 4 2
= = 15 6 dm3
V
3

36 litri = 36 dm3 = 1296 dm3 < 15 3 =

o.
1350 dm3 . Deci încap 36 litri apă

1p

= 36= 61, 2dm 2 6120 cm 2
b) Alat 3 dm 2 =

nf 2p
ei
6120 : 30 = 204 grupe de câte 30 cm2.
1p

1p
30 x 100 = 3000 gr = 3Kg
at
1p
3 x 25 = 75 lei
.m

MO ' 1 MO OO ' 1 2p
c) Deoarece = = ⇒ OO '  CV ⇒ =
MV 3 MC cf . reciprocei Teoremei lui Thales CV 3

Dar CV = BV = VM 2 + BM 2 = VM 2 + BM 2 = 36 + 12 = 4 3 dm 2p
w

CV 4 3 1p
⇒ OO ' = = ≈ 2, 27 dm = 22, 7cm
3 3
w

2. a) Notăm OM = x , raza cercului mic. Cele două cercuri egale au razele de 15m 1p
w

∆APO este dreptunghic în P, cu AO = AP = = x
x + 15; 15; OP 30 − 1p

2p
Aplicăm Teorema Pitagora în ∆APO : ( x + 15 ) = 152 + ( 30 − x )
2 2

⇒ x 2 + 30 x + 225 = 225 + 900 − 60 x + x 2 ⇒ 90 x = 900 ⇒ x = 10m
1p
= π= 100π m 2
A x2

π (
b) Anefolosita = ⋅ 302 − 2π ⋅152 + 100π = π m 2
350 ) 5p

213

Modele de subiecte

c) Anefolosita= 350π= 350 ⋅ 3 1050 m 2
= 1p

2p
1050 : 12 = 87,5 = 88 pomi
2p
88 x 16,5= 1452 lei

ro
o.
nf
ei
at
.m
w
w
w

214

Modele de subiecte

Varianta 80 Prof. Ghidu Mihaela Alexandra
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 20 5p

ro
2. 5 5p

3. 50 5p

o.
4. 4 5p

nf
5. 13 5p

6. 9 5p
ei
SUBIECTUL II

Desenează piramida
at
1. 5p

Notează piramida
.m

2. 20122 − 2 ⋅ 2012= (2012 − 1) 2
+1 5p
20122 − 2 ⋅ 2012 + 1 = (2012 − 1) 2 = 20112 =2011
Finalizare :2011 ∈ N
w

3. Se notează cu x , numărul de CD-uri cu preţul de 30 leri si cu y numărul de 5p
x + y = 10
CD-uri cu preţul de 40 lei ⇒ 
30 ⋅ x + 40 ⋅ y =325
w

15 5
⇒ x =
= ;y
2 2
Finalizare: x ∉ N , y ∉ N ⇒ nu poate cumpara exact 10 CD-uri cu exact 325
w

lei

Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f
Trasarea graficului functiei

b) G f  Oy = B(0, 4) ⇒ OA =
4 5p
G f  Ox = A(4, 0) ⇒ OB =
4
Folosind Teorema lui Pitagora in ∆AOB ⇒ AB =
4 2

215

Modele de subiecte

OC ⊥ AB. ⇒ d (o, G f ) =
OC
OA ⋅ OB 4 ⋅ 4
=
OC = = 2 2
AB 4 2

5 x2 + 3 y 2 − 4x + 2 3 y + 5 = x2 − 4 x + 4 + 3 y 2 + 2 3 y + 1 5p
=( x − 2) 2 + ( 3 y + 1) 2

ro
( x − 2) 2 ≥ 0, ∀x ∈ R;( 3 y + 1) 2 ≥ 0, ∀y ∈ R
Finalizare x 2 + 3 y 2 − 4 x + 2 3 y + 5 ≥ 0, ∀x, y ∈ R

o.
SUBIECTUL III

1. a) Alab = L ⋅ l ⇒ Alab = 60m 2 5p

nf
Aplaca = Aplaca = cm 2 = m 2
l2 ⇒ 1600 0,16
Numărul de plăci necesare este : 60 : 0,16 = 375
10%din375 37,5 ≈ 38
=
ei
Numărul total de plăci achiziţionate : 375 + 38 = 413 plăci

Plab = 2( L + l ) ⇒ 5p
at
b)
Plab= 2(10 + 6)= 32m 2

c) Suprafaţa totală de gresie este 0,16m 2 ⋅ 413 = m 2
66, 08 5p
.m

Costul gresiei este 130 ⋅ 66, 08 =40lei
8590,
Costul plintei este 5 ⋅ 32 =160lei
Costul total este de 8590, 40 + 160 = 40lei
8750,
w

2. a) Notăm prisma ABCA’B’C 5p
V = Ab ⋅ h ⇒ V = 864 3cm 2 ≈ 1, 494dm3 ≈ 1, 494l
Finalizare : Nu este sufficient 1l de apa pentru a umple vaza de flori
w

b) Avaza Al + Ab
= 5p
Al = Pb ⋅ h ⇒ Al = 864cm 2
w

Ab = 36 3cm 2
Avază = + 36 3 ≈ 927cm 2 ≈ 0, 0927 m 2
864
Finalizare : se pot confectiona 3 : 0, 0927 ≈ 32,36 ≈ 32vaze

c) At = Al + 2 Ab ⇒ At = (864 + 72 3)cm 2 ≈ 988,56cm 2 5p
Finalizare : suprafaţa de hârtie necesară este ≈ 1977,12cm 2

216

Modele de subiecte


Varianta 81 Prof. . Ghidu Mihaela Alexandra

SUBIECTUL I (30 de

ro
puncte)

1. 8 5p

o.
2. 4 5p

3. 8 5p

4. 24

nf 5p

5. 125
ei 5p

6. 32 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m


w

2. a 3 3b 2p
= ⇒a=
b 7 7
w

b 7 9b
= ⇒c= 2p
c 9 7
w

1p
a 1
Finalizare : =
c 3

3. 8 2p
∈ Z ⇒ 3 x + 1 ∈ D8 ={−8, −4, −2, −1,1, 2, 4,8}
3x + 1
2p
⇒ x ∈ {−3, −1, 0,1}

Finalizare : A ={−3, −1, 0,1} 1p

217

Modele de subiecte

Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul funcţiei f
2p
1p

b) S = 1 + (−3 ⋅1) + 1 + (−3 ⋅ 2) + 1 + ... + (−3 ⋅ 2012) + 1 2p

ro
S = −2013 ⋅ 3017 3p

5 2 1 3 2 2012 2011 2p
c) A = − + − + ... + −

o.
2 2 6 6 2011 ⋅ 2012 2011 ⋅ 2012

1
A= 1 − 2p

nf
2012

1
0≤ ≤ 1 ⇒ A ∈ (0,1)
2012
ei 1p

at
puncte)

1. a) P= 2( L + l ) ⇒ P= 10m 2p
.m

A = L ⋅ l ⇒ A = 6m 2 3p

b) 10%dinA = 0, 6m 2 1p
w

1p
Cantitatea cumpărată : 6 + 0, 6 = 2
6, 6m
1p
w

Aplaca = L ⋅ l ⇒ Aplacă = 3000cm 2 = 0,3m 2
1p
Număr de plăci : 6,6:0,3 = 22 plăci
w

1p
22 :8 ≈ 2,7 ⇒ 3 pachete

c) Costul unui pachet : 30 ⋅ 0,3 ⋅ 8 =72lei 3p

Costul total : 3 ⋅ 72 =
216lei 2p

2. a) hmachetă hprisma + htr
= 2p

3p
htr = 16 + 12 = 28cm

218

Modele de subiecte

b) Fie ABCDA ' B ' C ' D ' trunchiul de piramidă regulată 1p
⇒ Ltr = 40 + 2 ⋅ 2 = 44cm
2p
= 22cm, ab 2cm
aB =
2p
h 7
Tangenta unghiului cautat este =
aB − ab 5

ro
c) Acarton= Al prismă + Altr + Abtr + ( ABtr _ Abprismă ) 2p

1p

o.
atr = 4 34

(44 + 4) ⋅ 4 34
Acarton= 160 ⋅ 6 + + 42 + (442 − 42 ) ≈ 5055, 68cm 2

nf
2 2p
ei
at
.m
w
w
w

219

Modele de subiecte


Varianta 82 Prof. Ghidu Mihaela Alexandra

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. 12 5p

2. 0 5p

o.
3. 125 5p

nf
4. 40 5p

5. 5 5p
ei
6. 30 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

.m

Notează prisma
1p

2. 1x ∈ {11,13,17,19} 1p
w

1x 3
= ⇒ a =3 ⋅1x
a 9
w

2p

⇒ a ∈ {33,39,51,57} 1p
w

1p
Finalizare : A = {33,39,51,57}

3. Valoare TVA : 24%din820 = 196,8lei 1p

Preţul maşinii de spălat cu TVA : 820+ 196,8=1016,8lei 1p

Valoare avans : 25%din1016,8 = 254, 2lei 1p

Suma de plătit in rate : 1016,8 − 254, 2 =
762, 6lei 1p

220

Modele de subiecte

Valoarea unei rate : 762, 6 : 6 = 127,1lei 1p

4. a) ) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul funcţiei f 2p
1p

ro
2 2p
b) f ( 2 − 1) =− +2
2

o.
2
f ( 2 − 3) =− +4 2p
2
1p

nf
a= -2 ∈ Z

5 Ridicând la pătrat relaţia se obţine : 2(c + b) = c + a + c − a + 2 (c + a )(c − a ) 2p
ei
1p
⇒ 2b 2 c 2 − a 2
=
1p
at
b= c 2 − a 2
2

1p
Conform reciprocei teoremei lui Pitagora , triunghiul e dreptunghic
.m

1p
Finalizare : Unghiul drept este B

puncte)
w

1. a) Al = Pb ⋅ h ⇒ Al = 120m 2 1p
w

1p
Afereastră = 2,1m 2
1p
w

Auşa = 1,8m
2p
Av ăruibilă= 120 − 2 ⋅ 2,1 − 1,8 114m 2
=

b) 80 ⋅ 114 = 9120 g = 9,12kg 5p

c) 2 ⋅ 9,12 kg = 18,24 kg 2p

4 ⋅ 18,24 = 72,96 lei 3p

221

Modele de subiecte

2. a) 140 : 30 ≈ 4 postere 2p

140 : 21 ≈ 6 postere 2p

Numar maxim de postere : 6 ⋅ 4 = postere
24 1p

= =
b) Apanou 1, 42 1,96m 2 2p

ro
1p
Aposter = 30 ⋅ 21 = 630cm 2 = 0, 063m 2
1p

o.
At postere =⋅ 0, 063 = m
24 1,512 2

1p
Ahartie =1,96 − 1,512 = 448m 2
0,

c) 140-4 ⋅ 30 = 20 cm

140-6 ⋅ 21 = 14 cm
nf 2p
ei 2p

⇒ d max = 20cm ⇒ rmax = 10cm 1p
at
.m
w
w
w

222

Modele de subiecte

Varianta 83 Prof. Grecu Maria
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 16 5p

ro
2. 5 5p

3. 15 5p

o.
4. 144 5p

nf
5. 56 5p

6. 0,03 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1p
Notează cubul
.m

99 ⇒
2. 10 1p
Notează cu x preţul la primul magazin : x + x =x = 90
100

99 ⇒
w

10 1p
Notează cu y preţul la al doilea magazin magazin : y − y =y = 110
100
w

Diferenţa dintre preţuri : 110 − 90 =
20 1p

20 p
=
w

Transformare în raport procentual : 1p
90 100

Finalizare: p = 22, (2)% 1p

3. Calculează : a = 3b 2p

2 ⋅ 3b + b 7b 2p
Înlocuieşte în raport: =
3 ⋅ 3b − b 8b

2a + b 7
Finalizare: = 1p
3a − b 8

223

Modele de subiecte

4. 1 2p
a)Calculează: E ( x + 1) = 2 x + 1 şi E ( x + ) =
2x
2

2x −1 + 2x +1
Aplică inegalitatea mediilor: (2 x − 1)(2 x + 1) ≤ 2p
2

Finalizare 1p

ro
1 2p
b)Calculează: E ( x − 1) = 2 x − 3 şi E ( x − ) = 2 x − 2
2

o.
Înlocuieşte: (2 x − 1)(2 x − 3) + 1
= (2 x − 2) 4 1p

Calculează: 4 x 2 − 8 x + 4= 4( x − 1) 2 1p

nf
Finalizare: 4 x 2 − 8 x + = 4( x 2 − 2 x + 1)
4 1p
ei
5 A = ( −6,3) 1p

−3 ≤ x − 2 ≤ 3 ⇒ B =−1,5]
[ 2p
at
[
A ∩ B =−1,3) 1p
.m

A − B =( −6, −1) 1p

w

puncte)

1. a)Aria dreptunghiului : Adr= L ⋅ l 1p
w

Aria unei dale: AABCD = AB ⋅ BC = 30 ⋅ 20 = 600cm 2 = 0, 06m 2 2p
w

Află numărul de dale: 15 : 0, 06 = 250 2p

c1 ⋅ c2 1p
b)Aria triunghiului dreptunghic : A =
2

AD ⋅ AE 20 ⋅15 1p
=
AADE = = 150cm 2
2 2
1p
Congruenţa triunghiurilor ADE , BCE , BPF , AQF
1p

224

Modele de subiecte

AAEBF ADCPQ − 4 ⋅ AADE 1200 − 4 ⋅150
= = 1p

AAEBF = 1200 − 600 = 2
600cm

c) Calculează numărul necesar de cutii: 250 : 20 = 12rest10 2p

Numărul necesar de cutii va fi 13.

ro
1p
Calculează preţul: 13 ⋅ 50, 4 =2lei
655, 2p

o.
2. a) d 2 = L2 + l 2 + h 2 1p

BH 2 = AB 2 + BC 2 + BF 2 1p

nf
1p
BH 2 = 1502 + 602 + 402
2p
BH = 10 277cm
ei
b) Adr= L ⋅ l 1p
at
1p
Acoala = 30 ⋅ 20 = 600cm 2
1p
.m

AABFE = 6000cm 2 , ABCGF = 2400cm 2 , AABCD = 9000cm 2
1p
Atotala = 2 ⋅ AABFE + 2 ⋅ ABCGF + AABCD = 25800cm 2
w

25800 : 600 = 43 coli 1p

c)Calculează câte coifuri încap pe lungime: 150 : 20 = 7 rest10
w

1p
1p
Calculează câte coifuri încap pe lăţime: 60 : 20 = 3
w

1p
Câte coifuri încap în cutie: 3 ⋅ 7 =21

225

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 2 5 5p

ro
2. 8, 775 5p

3. 1 5p

o.
150

4. 26cm 5p

5. 90 3cm 2

nf 5p
ei
6. 416.984 telespectatori 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)

.m

Notează cubul 1p

Construieste centrul bazei 1p
w

Notează centrul bazei 1p
w

2. 2010 ⋅ 2011 1p
1 + 2 + 3 + .......... + 2010 =
2
2 ⋅ (1 + 2 + 3 + .......... + 2010) + 2011 2010 ⋅ 2011 + 2011
= 2p
w

2010 ⋅ 2011 + 2011 = 2011(1 + 2010) = 2011 ⋅ 2011 1p
2011 ⋅ 2011 =
2011 2

1p

3. 100% − 60% =
40% 1p

60 20 40 1p
Notează cu x numărul de pagini al cărţii : x − x− ⋅ x=
48
100 100 100
1p
100 x − 60 x − 8 x =
4800
1p

226

Modele de subiecte

x = 150 1p

150 − 48 =
102

4. a) A(3m + 2, m 2 ) ∈ G f ⇒ f (2m + 3) =2
m 1p

1p
2(3m + 2) + 3 = 2
m

ro
1p
m 2 − 6m − 7 =0
1p

o.
(m − 7)(m + 1) =
0
1p
m=7

b) x =
f ( x)
3

nf 1p
ei
2x + 3
x= 1p
3
at
1p
x=3
1p
f (3) = 9
.m

1p
P(3,9) ∈ G f

5 x 2 − 8 x + 16 + y 2 + 12 y + 36 =
4 1p
w

1p
( x − 4) 2 + ( y + 6) 2 =
4
w

1p
x − 4 ≤ 2 şi y + 6 ≤ 2

x ∈ [ 2, 6]
w

1p
y ∈ [ −8, −4] 1p

puncte)

1. a) Adr= L ⋅ l 1p

1p
Ateren = AB ⋅ BC = 15m 2

227

Modele de subiecte

Adisc = π R 2 1p

1p
Abazin = 3,14m 2
1p
A= Ateren − Adisc = 11,86m 2
gazon

ro
b)Află raza fundului bazinului: R = 1 1p

Vbazin = 3,14 ⋅1, 20 = 3, 768m3 1p

o.
2p
3, 768m3 = 3768l
1p
3768 :1,5 = 2512 secunde

c) 2512 :120 = 20rest112

nf 3p
ei
Finalizare: apa îşi schimbă culoarea de 20 de ori 2p

2. a) Adr= L ⋅ l 1p
at
2p
Aacoperiş = ⋅ BP ⋅ BE = m 2
2 45
.m

2p
Află preţul ţiglei: 45 ⋅ 4 = lei
180

b) Al 2h( L + l )
= 1p
w

1p
Calculează suprafaţa pereţilor: = 2 BC ( AB + CN ) 91m 2
Al =

20 4
w

Notează cu x suprafaţa acoperită de soluţia dintr-un flacon: =
300 x 1p

x = 60m 2 1p
w

Calculează câte flacoane sunt necesare: 91: 60 1rest 31 ⇒ sunt necesare 2
= 1p

c) Pdr 2( L + l )
= 1p

Calculează lungimea aleii: L = 8 + 2 ⋅ 0,5 = 9m 1p

1p
Calculează lungimea aleii: l = 5 + 2 ⋅ 0,5 = 6m
1p
Calculează perimetrul pe care se pun felinare: P = 30m

228

Modele de subiecte

Află numărul felinarelor: 30 : 3 = 10 1p


ro
SUBIECTUL I (30 de

o.
puncte)

1. 19x 5p

2. −15

nf 5p

3. 34
ei 5p

4. 2 6 5p
at
5. 3 5p
3
.m

6. 8 5p

SUBIECTUL II (30 de
w

puncte)

1. Desenează şi notează piramida 3p
w

Desenează şi notează apotema 2p
w

2. Notează cu x, y şi z cantităţile de hrană pe care le primesc lunar un pui de 1p
leu, un leu, respectiv un tigru.

x y z x + 2 y + 2z 200
= = = =
24 100 80 24 + 2 ⋅100 + 2 ⋅ 80 384 1p

x = 12,5kg 1p

= 52, 08(3) ≈ 52kg
y 1p

1p
= 41, (6) ≈ 42kg
z

229

Modele de subiecte

3. Determină corect două puncte ale graficului 2p

Reprezintă corect cele două puncte 2p

Trasează dreapta 1p

4.  2 4 2   x  1p
a) E ( x ) = −
 +  : 1 − 
 x − 1 ( x − 1)( x + 1) x + 1   x + 2 

ro
 2x + 2 4 2x − 2   x + 2 x 
E ( x) =  − + : − 
1p
 ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1)   x + 2 x + 2 

o.
 4x − 4   2 
E ( x) =  :  1p
 ( x − 1)( x + 1)   x + 2 

E ( x) =
4
:
2
x +1 x + 2
nf 1p
ei
2( x + 2) 1p
E ( x) =
x +1
at
2x + 4 1p
b) E ( x ) =
x +1
.m

2
E ( x) =
2+ ∈ 1p
x +1
1p
x + 1 ∈ {−2, −1,1, 2} ⇒ x ∈ {−3, −2, 0,1}
w

1p
x ∈ { {−2, −1,1}} ∩ {−3, −2, 0,1}
w

x ∈ {−3, 0}
1p
w

5. x 2 − 4 3 x + 12 = ( x − 2 3) 2 1p

1p
y 2 − 12 3 y + 108 = y − 6 3) 2
(
1p
x−2 3 + y−6 3 ≤ 0

x = 2 3 si y = 6 3 1p

1p

230

Modele de subiecte

=
mg x ⋅ y ⇒ mg = 6

puncte)

1. a) V Ab ⋅ h
= 1p

ro
1p
AB = l 2
1p
Calculează Ab = 400cm 2

o.
2p
V = 400 ⋅10 = 4000m3

nf
b) Desenează desfăşurarea prismei si indică traseul cel mai scurt AE'.
ei 2p
at
.m

1p
= 4= 80
AE AB
1p
w

AE ′2 = AE 2 + EE ′2 =6500
1p
AE ′ = 10 65
w

c)Fie AR ║ PQ, R ∈ DD′ ⇒ AR = ( AP, PQ)] =,
PQ ⇒ m[ m(PAR ) 1p
w

= =
RD PB 2,5 1p

5 65
= =
AR AP
2 1p
= =
RP BD 20 2

Fie PS ⊥ AR , S ∈ AR ⇒ PS =
20 66
1p
65

231

Modele de subiecte

PS 8 66 1p
=
sin A =
AP 65

2. a) A = L ⋅l 1p
dreptunghi
1p
AABCD = 16 ⋅10 = 160m 2

ro
d1 ⋅ d 2
Aromb =
2 1p
d1 = 12

o.
d2 = 6
1p
12 ⋅ 6

nf
Aromb = 36m 2 parchet colorat
=
2

160 − 36 = 2 parchet alb
124m 1p
ei
36 p 2p
b) =
at
160 100

36 ⋅100
p= 1p
160
.m

1p
p = 22,5
1p
Finalizare
w

Aromb = d1 ⋅ d 2
1p
c) = 80
2
w

Notăm cu x = distanţa cerută , x < 5
w

d= 16 − 2 x
1
1p
d= 10 − 2 x
2

1p
(16 − 2 x)(10 − 2 x) =
160
1p
4 x − 52 x = 0 ⇒ x ∈ {0,13}
2

1p
Soluţie: x = 0

232

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 4 5p
3

ro
2. 12 5p

o.
3. 5 5p

4. 120 5p

nf
17

5. 108 5p
ei
6. Vlad 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. Desenează şi notează paralelipipedul 3p

Duce diagonala 2p

3x−1 (33 + 2 ⋅ 32 − 1) =
w

2. 396 2p

1p
3x−1 ⋅ 44 =
396
w

1p
3x−1 = 9
1p
x=3
w

3. 8 x − 4 y + 4 = 3x + 3 y 2p
x2 − 4 x + 4 + y 2 = x2 + 2 x + 1 + y 2 − 9
1p
5x − 7 y =−4 1p
−6 x = −12
1p
x=2

y=2

233

Modele de subiecte

4. a) Calculează câte 2 puncte pentru fiecare funcţie 2p

Reprezintă câte 2 puncte pentru fiecare funcţie 2p

Desenează dreptele 1p

b) Determină coordonatele punctelor A(2,0) , B(0,-2),D(-2,0) 1p

ro
Determină coordonatele punctului C 1p

2 8
f ( x) = ) ⇒ G f  Gg = , − )}
g(x {(

o.
3 3

AOBCA A ACD − A BOD
=
1p

nf
8
4⋅
AD⋅ | yC | 3 16
A ACD = = =
2 2 3 1p
ei
| OD | ⋅ | OB |
=
A BOD = 2
2
at
1p
16 10
AOBCA = −2= 1p
3 3
.m

5 1 1 1 2p
x2 + 2
= ( x + ) 2 − 2 x ⋅ = 14
x x x
w

1 1 1 1
x3 + 3
= ( x + )3 − 3 x ⋅ ( x + ) = 52 2p
x x x x
w

1 1 1 1 1
( x2 + 2
)( x3 + 3 ) = x5 + 5 + x + = 728 ⇒ x5 + 5 = 724
x x x x x 1p
w

puncte)

1. a) A = L ⋅l 1p
dreptunghi

A = 240 ⋅120 = 28800cm 2
2p
A = 2,88m 2

2p

234

Modele de subiecte

b) Fie Q şi R proiecţiile lui P pe [AD], respectiv [DC] şi S punctul în care 1p
tacul intersectează [DC].

PQDR − dreptunghi ⇒ DQ = PR =40cm
1p
AQ = AD − DQ = 80cm
1p
 PAQ e dreptunghic isoscel ⇒ m(PAQ= 45°
)

ro
1p
Din triunghiul DAS se calculează m(DAS= 45°
)
1p

o.
c) Calculează distanţa parcursă în timpul unei rotaţii complete: Lcerc = 2π R 1p

Lcerc = 18,84cm 1p

nf
Calculează distanţa parcursă pâna la orificiu: PA = 80 2
1p

1p
PA = 112,8cm
ei
1p
112,8 :18,84 5,98 ≈ 6 rostogoliri
=
at
2. a) Al = PB ⋅ h 1p
prismă
.m

= 72 ⋅ 3 = 216cm
2
Al
prismă
1p

hpiramidă = 5 − 3 = 2 ⇒ Ap = 85 1p
w

PB ⋅ Ap 72 85
Al piramidă = = = 36 85cm 2
w

2 2 1p

=
Aprelată = Al prismă + Al piramidă 36(6 + 85)cm 2 1p
w

b) Calculează volumul prismei

V prismă AB ⋅ h
= 1p
V prismă = 972m3

Calculează volumul piramidei

235

Modele de subiecte

AB ⋅ hpiramidă 1p
V piramidă =
3
324 ⋅ 2
V piramidă = 216m3
=
3

Calculează volumul de aer din cort 1p

ro
Vcort = 972 + 216 = 1188m3

Cât volum de aer este necesar pentru personal si cât volum de aer rămâne 1p

o.
15 ⋅ 4 = m3
60
1188 − 60 = m3
1128

1128 : 4 = 282
nf
Numărul maxim de bilete care pot fi vândute 1p
ei
c) Notăm cu “d” distanţa cerută 1p
at
Aplasă d 1p
=( )2
Abază hpiramidă
.m

225 d 2 1p
=
324 4
1p
225 ⋅ 4
d2 =
w

324

15 ⋅ 2 1p
= = 1, (6)m
w

d
18
w

236

Modele de subiecte


Varianta87 Prof GRIGORAȘ CAMELIA

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 4,6 5p

ro
2. -1 5p

3. 800 kilograme 5p

o.
4. 2400 cm 2 5p

nf
5. 600 cm 2 5p

6. +20 C 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Desenul piramidei patrulatere regulate realizat corect. 3p
.m

Notațiile corecte. 2p

2. Scrie relația sub forma: x 2 − 6 x + 9 + y 2 − 10 y + 25 =0 1p
w

Restrânge pătratele și scrie relația sub forma:
1p
( x − 3) 2 + ( y − 5) 2 = ( x − 3) 2 ≥ 0, ( y − 5) 2 ≥ 0
0,
w

1p
( x − 3) 2= 0 şi ( y − 5) 2= 0 de unde x − 3 == 0 și y − 5 == 0, deci, x=3 și
0 0
y= 5
w

Calculează perimetrul P = 2(3 cm +5 cm) = 16 cm și aria A = 3 cm∙5cm = 2p
15 cm 2

3. 10 1p
Notează corect : x - lungimea traseului de parcurs, x - distanța parcursă
100
10
în prima zi, 4∙ x - distanța parcursă a doua zi
100

237

Modele de subiecte

10 10 2p
Scrie relația corectă: x + 4⋅ x = km
60
100 100
1p
Rezolvă ecuația și scrie soluția algebrică x = 120
1p
Scrie concluzia finală: traseul are lungimea 120 kilometri

ro
4. a) Reprezintă corect două puncte care aparțin graficului funcției f; 2p

trasează corect G f 1p

o.
2p
Reprezintă corect graficul funcției Gg ;

nf
b) Identifică suprafața determinată de graficele funcțiilor f și g ca fiind 3p
trapezul dreptunghic cu baza mare de lungime 4 u.m., baza mică 2 u.m. și
înălțimea 2 u.m.
ei
( B + b) ⋅ î 1p
Scrie formula de calcul a ariei trapezului A=
2
1p
at
Calculează A = 6 u.m 2
.m

5 Scrie a+b = 25, a 2 + b 2 = 425 1p

Scrie (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab 2p

1p
Înlocuiește 625 = 425 +2ab
w

1p
Calculează a ⋅ b = 100
w

puncte)
w

1. a) Scrie formula pentru At = 6 ⋅ l 2 2p

Calculează At = 6 ⋅ 62 = 216 dm 2
1p
216 dm 2 = 2,16 m 2 , 2,16 m 2 < 3m 2
1p
Concluzia finală: hârtia cumpărată ajunge

238

Modele de subiecte

5 2p
b) Calculează cât reprezintă 5% din hârtia folosită ⋅ 2,16m 2 =2
0,108m
100
2p
Calculează necesarul de hârtie 2,16 m 2 + 0,108 m 2 = 2,268 m 2
1p
Calculează costul hârtiei folosite 2,268 m 2 ⋅ 3,5lei = 7,938 lei

ro
c) Calculează diagonala cutiei d = l dm = 6 dm 2p

Aproximează 3 ≈ 1,73 , 6 dm ≈ 1,73 6 dm = 10,38dm =1,038 m 2p

o.
1p
Concluzia finală: umbrela de lungime 1,2 m >1,038 m, deci nu încape în acea
cutie

2.

A∆ABC =
AB ⋅ BC
;
nf
a) Scrie formula de calcul a ariei terasei sub formă de triunghi dreptunghic 2p

2
ei
AB ⋅ BC 6 ⋅ 24 3p
Calculează aria A∆ABC
= = = 72m 2
at
2 2
.m

b) Notează CN = x 1p
Scrie
1p
2
A∆CMN  x 
= 
w

A∆ABC  4 
1p
A∆CMN x2 A x2
⇒ = ⇒ ∆CMN = ⇒
A∆ABC − A∆CMN 242 − x 2 AABNM 576 − x 2
w

1p
⇒ x = 576 − x ⇒ x= 12 2m
w

2 2

1p
Concluzionează că MN se află la 24 − 12 2m metri faţă de AB.

c) Suprafața mochetată va fi cea a trapezului AMNB 1p

Pentru NB = 24 − 12 2m , suprafața va fi jumătate din suprafața întreagii 2p
terase, adică 36 m 2
2p
Calculează că mocheta va costa 36 m ⋅18, 2lei = 655,20 lei.
2

239

Modele de subiecte


Varianta88 Prof. GRIGORAȘ CAMELIA

ro
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

o.
1. 1 5p

2. 3 5p

3. 2

nf 5p

4. 25 cm 2
ei 5p

5. x(x+4) 5p
at
6. 11 elevi 5p
.m

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

1. Desenează corect cubul 2p
w

Notează cubul după cerință 1p

Desenează o diagonală a cubului 2p
w

2. Calculează suma cu care s-a redus prețul de sărbători: 10% din 120 = 2p
10
w

⋅120 =12lei
100

Stabilește prețul după reducere 120 lei – 12 lei = 108 lei 1p

10 1p
Calculează suma cu care s-a majorat prețul ⋅108lei =
10,8lei
100
2p
Stabilește prețul după majorare 108 lei + 10,8 lei =118,8 lei

240

Modele de subiecte

3. L 1 1p
Scrie relațiile între dimensiunile dreptunghiului = , L+ l = 16 cm
l 3
2p
Află dimensiunile dreptunghiului L = 3 l, 3 l + l = 16 l = 4 cm și L = 12
cm 1p

Scrie formula de calcul a ariei dreptunghiului A = L l 1p

ro
Calculează aria dreptunghiului A = L l = 4cm ⋅ 12cm = 48 cm 2

4. a) Reprezintă corect două puncte care aparțin graficului funcției f 4p

o.
Trasează dreapta deteminată de cele două puncte 1p

nf
b) Observă că punctul de pe grafic egal depărtat de axele Ox și Oy este 2p
punctul care are coordonatele egale x = y = α
2p
M( α , α ) ∈ G f ⇒ f (α ) = α ⇒ 2 ⋅ α − 5 = α ⇒ α = 5
ei
Concluzia finală: punctul M(5;5) ∈ G f și se află la egala distanță de Ox și Oy
1p
at
5 Descompune numărătorul:
.m

x4 − 5x2 + 4 = x4 − x2 − 4 x2 + 4 = 2p
x 2 ( x 2 − 1) − 4( x 2 − 1) = ( x 2 − 1)( x 2 − 4) = ( x − 1)( x + 1)( x − 2)( x + 2)

Descompune numitorul:
2p
w

x3 − x 2 − 4 x + 4 = x 2 ( x − 1) − 4( x − 1) = ( x − 1)( x − 2)( x + 2)
w

Simplifică raportul (ținând cont de condițiile date ) obținând x+1 1p

(30 de
w

puncte)

1. a) Calculează apotema piramidei care va fi egală cu 20 2 cm 2p

2
Calculează aria laterală a piramidei A l = 4· A VBC = 4 · 40 ·20 · =
2 2p
1600 2 cm2,

Calculează necesarul de glazură = 1600 2 · 10 g = 16000g 2 = 16 2 kg
de glazură 1p

241

Modele de subiecte

b) Scrie formula de calcul a volumului paralelipipedului dreptunghic 2p

Calculează volumul cutiei de împachetat tortul V cutiei = 40 · 40 ·20 = 32000 3p
cm3

c) Scrie volumul de calcul al piramide regulate 2p

ro
3200 2p
Calculează volumul tortului V tort = cm3,
3
1p
Concluzionează că tortul va ocupa 33,(3) % din volumul cutiei

o.
2. a) Scrie perimetrul trapezului dreptunghic 1p

25 3 2p
Calculează laturile trapezului astfel : AB = 25 m, BC = 25 m, DC =

nf
2
25
m, AD = m
2 2p
ei
25
Calculează perimetrul grădinii 50 + (1 + 3)m (lungimea gardului);
2
at
b) Calculează aria suprafeței cultivate cu ceapă 2p

625 3 78,125 3
= = 78,125 3m 2 ; 78,125 3m 2 =
.m

AADC ha
8 104
Calculează cantitatea de ceapă recoltată
cantitatea de ceapă recoltată
3p
78,125 3
w

= ⋅ 5000kg 7,8125 ⋅ 5 3 ≈ 67,578kg
=
104

c) Consideră punctul E [BC] situat la distanța notată x față de C 1p
w

Exprimă aria trapezului AECD în funcție de x astfel:

1 25 25 3
AAECD = (x + ) ⋅
w

1p
2 2 2
1p
1 25 3
Exprimă aria triunghiului ∆AED astfel: A∆AED = ⋅ (25 − x) ⋅
2 2
2p
25
Egalează cele două arii și obține x = m (distanță față de punctul C)
4

242

Modele de subiecte


Varianta 89 Prof: GRIGORAȘ CAMELIA

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 4 5p

ro
2. 1 5p

3. 4 elemente 5p

o.
4. 8 dm 2 5p

nf
5. 3 cm 5p

6. 8 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Desenează corect prisma 3p
.m

Notează corect prisma 2p

2. Calculează numărul fetelor 12 + 8 = 20 fete 1p

Calculează numărul elevilor din clasă 12 băieți + 20 fete = 32 elevi
w

2p

numărulcazurilorfavorabile 1p
Scrie probabilitatea realizării evenimentului
w

numărulcazurilorposibile
1p
numărulcazurilorfavorabile 12 3
Calculează = =
w

numărulcazurilorposibile 32 8

3. Scrie expresia E(x) = x 2 − 4 x + 5 = x 2 − 4 x + 4 + 1 = 1p

Restrânge pătratul x 2 − 4 x + 4 = ( x − 2) 2 1p

1p
Observă că ( x − 2) 2 ≥ 0
1p
Valoarea minimă a expresiei scrisă sub forma E(x) =( x − 2) 2 + 1 se obține
pentru ( x − 2) 2 =
0 1p

243

Modele de subiecte

Găsește x = 2

4. a) Notează lungimile laturilor triunghiului cu a, b, c 1p

Află lungimile laturilor:

a b c 1p

ro
Scrie relația de directă proporționalitate = = = k
3 4 5
1p
Scrie a = 3k, b = 4k, c = 5k

o.
1p
Scrie perimetrul a + b+ c = 3k + 4k +5k = 24 m
1p
Află k = 2 și a = 6 m, b = 8m, c = 10m

nf
b) Scrie o formulă de calcul a ariei triunghiului ( fie observă că triunghiul este
dreptunghic aplicând Reciproca Teoremei lui Pitagora, fie aplicând formula
3p

lui Heron A∆ =
ei
p ( p − a )( p − b)( p − c) , unde p este semiperimetrul )

2p
Calculează A∆ = 24m 2
at
5 Scrie relația impusă dintre coordonatele punctului y = 3x 2p
.m

Află coordonatele punctului 3x = 2x+5 de unde, x = 5u.m. și y = 15u.m. 2p

Concluzionează în final că : punctul P(5;15) ∈ G f și are ordonata egală cu 1p
triplul abscisei
w

puncte)
w

1. 3 2p
a) Calculează înălțimea clădirii hclădire =⋅ 24m = m
18
4
w

3p
Calculează suprafața laterală a clădirii Alcladire = 4 ⋅24m ⋅18m = m 2
1728

b) Calculează diagonala acoperișului și lungimea muchiei acoperișului și 5p
obține 313m

c) Calculează aria laterală a acoperisului care va fi egală cu 3p
Alacoperis = 24m ⋅13m = m 2
4⋅ 624

2p
Află numărul de țigle necesare 624m 2 ⋅ 20 ţigle =
12480 ţigle

244

Modele de subiecte

2. a) Notează AD DE AE EF FC FB BC a
= = = = = = = 1p
Scrie că ∆ADE echilateral,
a 3 a 3
Exprimă PM = PE + EF + FM = +a+ = a ( 3 + 1)dam
2 2 2p
Egalează a ( 3 + 1) 8( 3 + 1)dam ⇒ = 8dam
= a
Calculează
2p
ADEFC 32 + 16 3dam 2 ,
=

ro
Calculează aria porţiunii haşurate 32 + 16 3dam 2 .

o.
b) Calculează aria porţiunii nehaşurate =AAED = + 3)dam 2 ;
2⋅ 32(2 2p

3p
Calculează raportul

nf
Anehasurat 3 − 3
= ;
Adreptunghi 4
ei
c) Calculează în m 2 suprafața cultivată 3p
32(2 + 3)dam 2 = 3200(2 + 3)m 2 ;
2p
producţia = 3200(2 + 3) ⋅ 5, 25 = 525 ⋅ 32(2 + 3)kg ≈ 62664kg de tomate
at
.m
w
w
w

245

Modele de subiecte


Varianta90 ăă
Prof.Isofache Cătălina Anca

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. (-2)(+2)-(-12):(+3)=0 5p

2. 9870 5p

o.
3. 4 1 5p
P= = .
12 3

4. P=20 2 cm.

nf 5p

5. A=9 3 cm 2 .
ei 5p

6. 9 lei. 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. ă
Reprezentarea corectă a prismei triunghiulare regulate. 5p

2. x 2 +4x+10=(x+2) 2 +6 ≥ 0 +6 5p
w

ţ ă
Pentru x=-2,obţinem valoarea minimă=6.
w

3. n=vârsta bunicii
â 5p

n=4x+3;n=6y+3;n=10z+3 x;y;z ∈ N * .
w

n-3=4x; n-3=6y; n-3=10z.

[4;6;10]=60.

ă ţ
Rezultă n-3 ∈ M 60 .Deci n-3=60.Obţinem n=63.

4. a) A(0 ; 2 ) si B( 2 ;0) 5p

ă
Reprezentarea grafică este dreapta AB.

246

Modele de subiecte

ă
b)In triunghiul dreptunghic AOB,OA=OB= 2 ;AB=2,rezultă 5p
QA ⋅ OB
d(0;AB)= =1
AB

5 n 2 +6n + 9 = (n + 3) 2 ; n 2 − 9 = (n − 3)(n + 3) ; n 2 − 4n + 3 = (n − 1)(n − 3) 5p

(n + 3) 2 (n − 1)(n − 3)
⋅ ⇒ E(n)=n+3 ∈ Z , ∀n ∈ Z /{-3 ;1 ;3}.

ro
E(n)=
(n − 3)(n + 3) n −1


o.
puncte)

1. a)A 1 = 110 ⋅ 90 = 9900 m 2 ;A 2 = 100 ⋅ 80 = 8000 m 2 .Deci Azgura = A1 − A2 5p

nf
Azgura =1900 m 2 .

b) A flori = 4 ⋅ 5 2 = 100m 2 ; Asport = 2 ⋅ 30 ⋅ 20 = 1200m 2 ; A fan tan a = π ⋅ 5 2 = 25π m 2 5p
ei
Agazon = A2 − ( A flori + Asport + A fan tan a ) .Deci Agazon = (6700 − 25π )m 2 .
at
c) Agazon = 6700 − 78,5 = 6621,5 m 2 5p
.m

ţ
6621,5:0,5=13243 ladiţe de gazon

13243 ⋅ 12 =158916 lei
w

2. Ab ⋅ h 5p
a)V l = ă ă
reprezintă volumul lichidului ce se acumulează în pâlnie,când
â â
3
ţ ă ă
pompele A’ si O funcţionează simultan.Rezultă Vl = 6dm 3 .
w

ă â
1,5dm 3 / min -0,5dm 3 / min =1dm 3 / min este debitul de lichid ce rămâne în
ţ ă
pâlnie,când pompele A’si O funcţionează simultan.
â â
w

ţ ă
6dm 3 :1dm 3 / min =6 minute funcţionează simultan pompele A’ si O.

6 ⋅ 0,5 = 3dm 3 esenţă de vanilie se imbuteliază când pompele A’ si O
ţ ă â
ţ ă
funcţionează simultan.

ţ ă
6dm 3 : 0,5dm 3 /min=12minute este timpul în care funcţionează numai pompa O

6min+12min+2min=20minute

ă
In 20 min se îmbuteliază 6dm 3 +3dm 3 =9dm 3 lichid.

247

Modele de subiecte

60min:20min=3

9dm 3 x3=27dm 3 =27litri=27000 ml de esenţă de vanilie se ambalează într-oră.
ţ ă ă

27000:250=108 sticluţe de esenţă de vanilie.
ţ ţ

ţ ă
b) 5 ⋅ 108 = 540 sticluţe/oră 5p

ro
540 ⋅ 6 = 3240 sticluţe de esenţă de vanilie/zi
ţ ţ

3240:30=108 cutii /zi

o.
ţ ă ţ
c) x=preţul de fabrică al unei sticluţe de vanilie 5p

nf
124
x = 1,86 .Rezulta x=1,50lei.
100

ţ
TVA=1,86-1,50=0,36lei/sticluţa
ei
3240 ⋅ 0,36 = 1166,40 lei TVA/zi.
at
.m
w
w
w

248


Varianta 91 Prof Lica Roxana

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 2,5 − 3 = 0,5
− 5p

ro
2. 1 5p
102

o.
3. 1 5p
2

nf
4. 2012 5p
2011
ei
5. 3 2 5p

6. 4π dm 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. 5p

2. OA ⋅ OB 3 ⋅12 5p
w

G f ∩ Ox = 0) ; G f ∩ Oy = B(0, −12) ; A=
A(3, ∆OAB = = 18
2 2
w

3. Fiecare dintre membrii familiei „imbatraneste” cu 15 ani, prin urmare suma 5p
varstelor este 53+15+15+15=98ani.

( 7 + 7 + 8 + 9 ) : 4 ⋅ 3 + x ≥ 7,5 ;
w

4. 2p
a) 8,5 > 34> 31: 4 ⋅ 3 + x ≥ 30 ;
4
34> 7, 75 ⋅ 3 + x ≥ 30 ; 34> 23, 25 + x ≥ 30 ; 34-23,25> x ≥ 30 − 23, 25 ; 3p
11, 75 > x ≥ 6.75 . Notele sunt 10, 9, 8 si 7.

( 7 + 7 + 8 + 9 + y ) : 5 ⋅ 3 + 9 ≥ 8,5 ;
b) O nota: ( 31 + y ) : 5 ⋅ 3 + 9 ≥ 34 ; 3p
4
( 31 + y ) : 5 ⋅ 3 ≥ 25 ; ( 31 + y ) : 5 ≥ 8,3 ; 31 + y ≥ 41,5 ; y ≥ 10, 25 2p

Raspuns: doua note

249

5 x 2 + 5 x + 6 x 2 + 2 x + 3x + 6 x ( x + 2 ) + 3 ( x + 2 ) 2p
= = =
x2 + 4 x + 4 ( x + 2) ( x + 2)
2 2

.
=
( x + 2 )( x + 3) = x + 3 = 1 + 1
2p
( x + 2) x+2 x+2
2

x ∈  − {−2} x + 2 1 ⇒ x + 2 ∈ {1, −1} ⇒ x ∈ {−1, −3}

ro
, 1p


o.
puncte)

1. a)Perimetrul este 2 ⋅ 3 x + 2 ⋅ 2 x = x
10 5p

b)Aria totala este 62 + 3 ⋅ 6 =54m2

nf
3p

Lungimea foliei este 54:3=18m. 2p
ei
c)In triunghiul AEM cu masura unghiului E de 90°, din teorema lui Pitagora 2p
obtinem AM= 3 10 . Asadar, DM+AM=6 10 . Costul total este 186lei.
at
3p

2. l2 3 400 3 5p
.m

=
a) V = h 10cm3 1000 = 1700cm3 1, 7l
= 3cm3 =
4 4

A ' A ⊥ ( ABC ) 2p
b) AM ⊥ BC ⇒ A ' M ⊥ BC ⇒ d ( A ', BC ) = , unde M este
w

A'M
AM , BC ⊂ ( ABC )
2p
mijlocul lui [BC]. In ∆A ' AM , m( A= 90° ,
ˆ) A ' M 2 = A ' A2 + AM 2 =
w

100+300=400, deci A’M=20cm 1p
w

c)Masura unghiului plan al diedrului este egala cu masura unghiului A’MA. 2p

A' A 10 3 3p
tg 
A '=
MA = =
AM 10 3 3

250



SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 9-8:2=9-4=5 5p

ro
2. 720 5p

3. 11 5p

o.
4. 3 2 5p
2
R=3cm, deci latura patratului este cm. Aria patratului este 18cm .

5.

nf
Atotala = 2 Ll + 2 Lh + 2lh = 2 ⋅ 8 ⋅ 7 + 2 ⋅ 8 ⋅ 6 + 2 ⋅ 7 ⋅ 6 = 112 + 96 + 84 = 292cm 5p
ei
6.
0 + 1 + 2 + ... + 9
=
(1 + 9 ) ⋅ 9
= 45
5p
2
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. Desen. 5p

2. G f ∩ Ox = 0) ; G f ∩ Oy B(0,12). OA 3, OB 12
A(3, = = = 5p
w

In triunghiul OAB, dreptunghic in O, se calculeaza lungimea lui AB-
AB = 153
ipotenuza, . Distanta de la O la AB este inaltimea din O a
w

36
triunghiului OAB si are lungimea 153 .
w

3. V V 5p
Primul robinet are debitul d1 = , al doilea d 2 = . Debitul comun este
4 6

V V 5 12
d1 + d 2 =+ = V . Prin urmare sunt necesare ore, adica 2 ore si 24
4 6 12 5
minute pentru a umple bazinul folosind ambele robinete.

4. 2 x ( x + 1) 5p
2

a) E ( x) = ⋅ = 2 ( x + 1) = 2 x + 2 .
x +1 x

251

b) −2 ≤ 2 x + 2 ≤ 2 ⇒ −4 ≤ 2 x ≤ 0 ⇒ −2 ≤ x ≤ 0 ⇒ x ∈ {−2} 5p

5 a1 + a2 + ... + a10 2p
= 15 ⇒ a1 + a2 + ... + a10 = 150
10
a1 + a2 + a3 = 87
a4 + a5 + ... + a10 = 150 − 87= 63 2p

ro
a4 + a5 + ... + a10 63
= = 9
7 7 1p

o.
puncte)

1.
500000:25 adica 20000.

nf
a)Aria livezii este 0,5km2, adica 500000m2. Numarul de copaci este 5p
ei
b) 1002•502-1000•500=3004m2 este suprafata luciului de apa. 3p

Volumul de apa este 3004•0,5=1502m3. 2p
at
c) Intretinerea livezii costa 500000lei. 2p
.m

Apa din canal valoreaza 1502•3 adica 4506lei. 2p

Costul total 500000+2•4506=509012 lei. 1p
w

2. a) V = 0, 2 ⋅ 0, 7 = m3.
1⋅ 0,14 5p

b) diagonala televizorului este diagonala unei suprafete laterale.
w

d= 1002 + 702= 14900= 10 149  122cm. 3p
w

2p
d = 122 : 2,54  48".

c) Volumul paletului este 2•3•1,4=8,4m3 2p

Nr de televizoare este 8,4:0,14=60. 3p

252



SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 0,5 + 1 =1,5 5p

ro
2. 1 5p
987

o.
3. 1 5p
2

nf
4. 2011 5p
−
2012
ei
5. 100cm2 5p

6. 2500пcm2 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. 5p

2. OA ⋅ OB 2 ⋅ 8 5p
w

B(0,8) ; A∆=
G f ∩ Ox = A(−2, 0) ; G f ∩ Oy = OAB = = 8
2 2

3. Diferenta de varsta intre copii este de 7 ani. Prin urmare baiatul are 14 ani iar 5p
w

fata 7 ani.

4.  c+z = 100 2p
w

a) 
2 z + 8c =260

z=90, c=10 3p
b) 10 buchete formate dintr-un crin si 8 zambile 5p

5 x 2 − 10 x + 26 1 2p
= 2 ∈
1+
x − 10 x + 25 ( x − 5)
2
daca

253

( x − 5) 1 ⇒ 2p

x − 5 ∈ {−1,1} ⇒ x ∈ {4, 6} 1p

puncte)

ro
1. a) π 202 − π 162 = m2
144π 5p

b) 2π 16m = 32π m 5p

o.
nf
c) 40π ⋅1 = 6 m2 suprafata gardului
125, 2p

In total, 251,2litri. 3p
ei
2. a) 5p
1000cm3
at
b)1000:16=62,5cm 5p
.m

c) volumul tetraedrului este aprox. prin lipsa 155cm3 2p
w

In total 1000:155=6,45 3p

Raspuns:6.
w
w

254

Modele de subiecte


Varianta 94 Prof. Corneliu Mănescu-Avram
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. ⋅,:,− 5p

o.
2. 17 5p

3. 13,75 5p

4.

5.
34

6
nf 5p

5p
ei
6. 5 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. Desenul corect 4p

Notarea corectă 1p
w

2. 1 ∈ A ⇒ 2∈ B 2p

4∈ A ⇒ 5∈ B 2p
w

3 ∈ A ⇒ 4 − 3 =1 ∈ A; 3 ∈ B ⇒ 5 − 3 = 2 ∈ B. 1p
w

3. x = distanţa parcursă, y = lugimea drumului în pantă 1p

x x
−y −y
2 y y
ecuaţia + + +2 =
5 2p
4 3 6 4

x = 20 km. 2p

4. 3x − 1 1p
a) f ( x ) =
2
4p

255

Modele de subiecte

trasarea graficului

x −1 2p
b) f ( x ) = x + ∈  ⇔ x = 2k + 1, k ∈ 
2

Ak ( 2k + 1,3k + 1) , k ∈ , sunt toate punctele de coordonate întregi de pe
3p
graficul funcţiei

ro
5 55 + 5 + 1= (5 2
+ 5 + 1)( 53 − 52 + 1)= 2p

o.
1p
= 31 ⋅101
2p
numerele 31 şi 101 sunt prime, deoarece nu se divid cu 2, 3, 5, 7 < 101.

nf
puncte)
ei
1. a) orice linie mijlocie a ΔABC 5p
at
b) triunghiul trebuie să fie dreptunghic 2p

şoseaua este paralelă cu una dintre catete 2p
.m

staţia se construieşte la mijlocul ipotenuzei 1p

c) 17 2= 82 + 152 ⇒ ∆ABC dreptunghic în B 2p
w

d = 17:2 = 8,5 km 3p

2. a) 120 5p
w

b) 8 5p
w

c) 8 cuburi mari 2p

2 ⋅ 8 + 8 ⋅ 5 = cuburi mici
56 2p

8+56=64 cuburi 1p

256

Modele de subiecte



ro
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 0 5p

o.
2. 107 5p

nf
3. 4,2 5p

4. 4 5p
ei
5. 1 5p
at
6. - 1,3 5p

SUBIECTUL II (30 de
.m

puncte)

w

2. 6 5p

3.
(3 + 3 ) a 2 5p
w

2

a) f ( 0 ) = 2 f ( 0 ) ⇒ f ( 0 ) = 0 ⇒ 0 ∈ E
w

4. 5p

b) x ∈ E − {0} ⇒ − x ∈ E − {0} 2p

3p
Card E = 2 Card { x ∈ E x > 0} + 1

5 5p

257

Modele de subiecte

6 7 2
1 5 9
8 3 4

puncte)

ro
1. a) 210 : 3 = 70 mm 5p

b) 0,343 dm3 = 0,343 l 5p

o.
c) 7 ⋅ 7 cm – 49 cm 1p

nf
29,7 cm - 14 cm = 15,7 cm 1p

2 ⋅ 15,7 cm = 31,4 cm 1p

49 cm + 31,4 cm = 80,4 cm
ei 2p

2. a) 7 ⋅ 6 = 42 5p
at
b) 11 ⋅ 7 ⋅ 6 = 462 2p
.m

77 + 55 = 132 1p

462 – 132 = 330 2p
w

c) 5,4 ⋅ 10,5 ⋅ 24 ⋅ 1800 : 104 = 2,44kg 3p

2,44 ⋅ 462 = 1131,6 kg 2p
w
w

258

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 10 5p

ro
2. 14 5p

3. 1 5p

o.
4. 1+ 5 5p
2

5. 2,4

nf 5p

6. 2
ei 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

.m

2. = 13k + 10 ∈ B ⇒ 5n + 2 5 (13k + 10 ) + 2 13 ( 5k + 4 ) se divide cu 13
n = = 5p

⇒ n∈ A
w

3. 18 şi 6 5p
w

4. 2 2p
1 1 1  xy + yz + xz 
a) a = =
= ,b ,c , A= x + y + z +
2 2 2
 =
x y z  x+ y+z 
w

x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz + xz 3p
=
x+ y+z

1 − ab 1p
b) c =
a+b

(1 + a )(1 + b ) ( a + b ) + (1 − ab ) 
2

2 2 2

(1 + a )(1 + b )(1 + c )
= 2 2 2
=
a+b
2p

259

Modele de subiecte

=
(1 + a )(1 + b )
2 2

a+b 2p

5 x4 + x2 − x + 1 5p

ro
x2 + 1


o.
puncte)

1. a) tangentele duse dintr-un punct exterior la un cerc sunt congruente 2p

nf
x, y, z, t lungimile segmentelor cuprinse între vârfuri şi punctele de tangenţă

AB = x + y, BC = y + z , CD = z + t , AD = x + t
a= b= c= d= 2p
ei
a+c = b+d = x+ y+ z +t 1p
at
b) Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiurile dreptunghice formate de 5p

laturi cu diagonalele
.m

c) ( a − c ) =( b − d ) 2p
2 2

1p
a − c = (b − d )
±
w

1p
a b, c d ⇒ BD este mediatoarea lui [AC]
= =
1p
w

a= d , b= c ⇒ AC este mediatoarea lui [BD]

2. l 2h 2p
w

a) =
V =
3
3p
= 2574467 m3

b) = V ρ
M = 2p

= 6693614 t 3p

c) 2308142 5p

260

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 10301 5p

ro
2. 11 5p

3. 1,2% 5p

o.
4. a b c d 5p
a  ⊥  ⊥

nf
b ⊥  ⊥ 

c  ⊥  ⊥
ei
d ⊥  ⊥ 
at
5. 4 5p
.m

6. 2 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)
w


2. 11 ⋅182 < n < 11 ⋅183 2p
w

2003 ≤ n ≤ 2012 3p
w

3. sunt 10 băieţi 1p

sunt 10 fete 1p

numărul elevilor creşte cu 5% 3p

4. a) m=1, f 1 (a) = 2a ⇒ orice punct de pe grafic e de forma M(a, 2a) 2p

m≠1, f m ( a ) − 2a =m − 1)( a + 1) = ⇒ a =1
( 0 − 2p

1p
mulţimea căutată este o dreaptă, graficul funcţiei f 1

261

Modele de subiecte

b) f m ( −1) =2
− 2p

P ( −1, −2 )
3p

5 N 2525 + 26
= = ( M 3 + 1) + M3+ 2 M3
= 3p
25

ro
N
N = 3⋅
3 2p

o.
puncte)

nf
1. a) 15 ⋅ 20 − (15 − x )( 20 − x ) =
75 2p

35 − 5 37
x=
ei
2 2p

x ≈ 2, 29 m 1p
at
b) (15 + x )( 20 + x ) − 15 ⋅ 20 =
75 2p
.m

−35 + 5 61
x=
2 2p

x ≈ 2, 02 m
w

1p

c) 17,29 ⋅ 22,29 −300 =
85,39 2p
w

85,39 : 75 = 1,1385 2p

1p
w

13,85 %

2. a) 33124 = 182 1p

182 : 2 = 91 1p

1002 + 912 ≈ 135, 2
1p
135,2 ⋅182 ⋅ 2 =
49212,8 m2
2p

262

Modele de subiecte

33124 ⋅100 5p
b) V =
3

V ≈ 1104133 m3

c) 2500000 : 1104133 ≈ 2,26 5p

ro
o.
nf
ei
at
.m
w
w
w

263

Modele de subiecte

Varianta98 Prof Maniţiu Blandina
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 19 5p
2

ro
2. 1 5p
2

o.
3. 4 5p

nf
4. 24 5p

5. 45 0 5p
ei
6. 7,00 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m



3 x  4  8sau 3 x  4  8
w

2. 2p

3 x  4  8  3 x  4  8  3 x  12  x  4   1p
w

4 1p
3 x  4   8  3 x  4  8  3 x  4  x    
3
w

A={4} 1p

3. Notăm x preţul iniţial 1p

15 2p
x x  21  2
100

3x
x  23  20 x  3 x  460  23 x  460 2p
20
1p
x  460 : 23  x  20lei preţul iniţial

264

Modele de subiecte

4. a) f (0)  3  0  6  6 1p

f (1)  31  6  3  6  3 1p

f (2)  3  2  6  6  6  0
1p
f (0)  f (1)  f (2)  6  3  0  9

ro
2p

b) A(1, m)  G f  f (1)  m 2p

o.
3(1)  6  m 2p

1p
3 6  m  9  m  m  9

5

nf
( 2 1) 2  ( 2) 2  2  2 1  12  2  2 2  1  3  2 2 2p
ei 2p
( 2  1) 2  ( 2) 2  2  2 1  12  2  2 2  1  3  2 2
1p
( 2 1)  ( 2  1)  3  2 2  3  2 2  6
2 2
at
.m

puncte)

1. a) Desenează şi notează paralelipipedul. 1p
w

At  2( L  l  L  h  l  h) . 1p

At  2(3 1,5  3  0, 75  1,5  0, 75)  2(4,5  2, 25  1,125)  2  7,875 2p
w

1p
At  15, 75m 2 .
w

b) Aria unei plăci de faianţă  15 5 15 5  1125cm 2 . 1p

1p
1,5  0, 75m 2  1,125m 2  11250cm 2
Ariile feţelor laterale sunt:
3  0, 75m 2  2, 25m 2  22500cm 2 1p

11250:1125=10bucăţi şi22500:1125=20bucăţi 1p

Avem nevoie de 10  2  20  2  20  40  60 bucăţi faianţă. 1p

c) Volumul bazinului V  L  l  h 1p

265

Modele de subiecte

V  3 1,5  0, 75  4,5  0, 75  3,375m3 1p

1p
3,375m 3 =3375dm 3 şi 1dm 3 =1litru
2p
1
3375:675=5  din volumul bazinului se umple cu apă
5

ro
1 75 1 3 1 3
Înălţimea apei în bazin va fi: 0, 75        0,15m 1p
5 100 5 4 5 20

o.
2. 1 1 2p
a) AM   AB  12  3m  MB  12  3  9m
4 4

nf
A AMND  AM  MN  3 3  9m 2 aria suprafeţei cultivată cu salată.
2p

A MBCN  MB  BC  9  3  27 m 2 aria suprafeţei cultivată cu ridichi. 1p
ei
b) A ABCD  AB  AD  12  3  36m 2 1p
at
p 27 100 3p
Notăm p procentul cerut   36  27  p   75
100 36
.m

75%din suprafaţa grădinii este cultivată cu salată. 1p

c) 9 12  108 fire salată 1p

27 15  405 fire ridichi  405 : 5  81 legături ridichi 1p
w

108  1,5=162 lei se obţin din vînzarea salatei 1p
w

81 2  162 lei se obţin din vînzarea ridichilor 1p

162+162=324 lei se obţin din vînzare în total. 1p
w

266

Modele de subiecte

Varianta 99 Prof Maniţiu Blandina
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 35 5p

ro
2. 1 5p

3. a  19 5p

o.
4. 5 2 cm. 5p

nf
5. 90 5p

6. 20 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
.m

Notează cubul 1p

2. Notăm numărul cu x 1p

Sfertul numărului 400 este 100
w

1p

3 x  100  130 15. 1p
w

3 x  130 15 100  3 x  15  x  5. 2p

3. Notăm al doilea număr cu b 1p
w

Media geometrică este 15b 1p

1p
15b  75
2p
15b  75  b  75 :15  b  5

4. a) x 2  5 x  6  x 2  2 x  3 x  6 2p

x( x  2)  3( x  2) 2p

267

Modele de subiecte

(x 2)( x  3) 1p

x 2  5 x  6 ( x  2)( x  3) 3p
b) 
x2  4 ( x  2)( x  2)

x 3
Simplificăm prin ( x  2) şi obţinem fracţia . 2p
x2

ro
5 3  2 2 0  3  2 2  3  2 2 1p

o.
2p
1  2 0  1  2  2 1 .
1p

3  2 2  2 1 2  3  2 2  2( 2 1)

nf
ei 1p

3 2 2  2 2  2  3 2  1 
at
puncte)
.m

1. a) Desenează paralelipipedul. 1p

d  a 2  b2  c2 1p
w

1p
d  4 2  82  2 2
1p
w

d  16  64  4  84  2 21.
1p.
d  2 21cm.
w

b) Volumul paralelipipedului V  abc 1p

V=4 8  2  64cm3  jumătate din paralelipiped are volumul 32cm 3 2p

Un cub cu muchia 2 cm are volumul 2 2  2  8cm3 1p

32:8=4 cubuleţe 1p

c) Aria laterală=2(a  c+b  c) unde a si b sunt dimensiunile bazei iar c este 2p
înălţimea.

268

Modele de subiecte

A l  2(4  2  8  2)  2  24  48 cm 2 .

3p

2.
  4p
2
a)A DISC   R 2    3 5  45

ro
A DISC  45 m 2
1p

b) Triunghiul OBC este dreptunghic 1p

o.
Notăm cu l latura pătratului şi aplicăm Teorema lui Pitagora în 1p
triunghiulOBC

OB 2  BC 2  OC 2 
l2
4

nf
 l 2  45 1p
ei 2p
5l 2  180  l 2  36  l  6m

c)A ABCD  l 2  36m 2 1p
at
45 2 1p
A DISC  45  ASEMIDISC  m.
.m

2

36 72 8
Raportul cerut este egal cu   . 1p
45 45 5
2
w

Notăm cu p procentul care trebuie aflat
w

p 45 36  200 160 1p
  36  p    50,95
100 2 45 
w

50,95%din aria semidiscului este aria pătratului
1p

269

Modele de subiecte

Varianta 100 Prof Maniţiu Blandina
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 4 5p

ro
2. 0,1, 2,3, 4,5, 6 5p

3. 9 5p

o.
16

4. 10 5p

5. 64

nf 5p
ei
6. 13 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

.m


2. 86  2  258 banane 1p
w

86 : 2  43 portocale consumate şi 43 portocale rămase 1p

1p
w

2
 258  172 banane consumate
3

258 172  86 banane rămase
w

1p
43+86=129 fructe rămase în coş
1p

3. Notăm numărul copiilor cu x 1p

400  x  2000  500  x  500 2p

400 x  500 x  2000  500  100 x  2500  x  25 copii. 1p

Preţul: 25  400  2000  10000  2000  12000 lei 1p

270

Modele de subiecte

4. a) f (0)  3  0  4  4  A(0, 4)  G f 2p

4 4 4 3p
f ( )  3  ( )  4  0  B ( , 0)  G f
3 3 3

4 4 4 2p
b) Punctul de intersecţie al G f cu Ox este B( , 0)  OB   
3 3 3

ro
Punctul de intersecţie al G f cu Oy este A(0,4)  OA  4 1p

o.
4
4
c c OA  OB 4 1 8
A AOB  1 2  3  4   .
2 2 2 3 2 3 2p

5 2

nf
 x  5  x  5  x 2  2  x  5  52  x  5  x 2 10 x  25  x  5  x 2  9 x  20 2p

2p
ei
 x  4 x  5  x  x  x  5  4  x  4  5  x 2  5 x  4 x  20  x 2  9 x  20.

Avem  x  5  x  5   x  4 x  5
2
at
1p

.m

puncte)

1. a) Dacă notăm cu O ŞI O’centrele bazelor cubului,atunci înălţimea ornamentului va fi 2p
VO   ABCD  , O '  VO  VO  VO ' O ' O
w

Diagonala bazei cubului este 60 2  O ' C '  30 2cm 1p
w

 
2
VO ' C ' dreptunghic  VO '2  VC '2  O ' C '2  452  30 2 = 2252  VO '  15cm. 1p

1p
VO=60+15=75cm.
w

b)Trebuie calculată aria laterală a întregului ornament

Alaterală cub  4  l 2  4  602  4  3600  14400cm 2 . 1p

1p
Perimetrulbazei  apotema piramidei
A laterală piramidă =
2

Apotema piramidei  152  30  1125  15 5 cm
2
1p

271

Modele de subiecte

240 15 5 1p
A lateral piramidei   1800 5cm 2
2

Aria hârtiei colorate este egală cu: (14400+1800 5 )cm 2 . 1p

c)Calculăm volumul întregului ornament,şi avem:

ro
l 2 VO '  VO ' 

2p
l3  volumulcubului  volumulpiramidei  = l 2 l 
 
3 
 3 


o.
602 15 1p
603   3600  65  234000cm3 .
3

nf
1 dm 3 =1litru
1p
234000cm =234dm =234litri de apă
3 3
ei 1p

2. a)Reprezintă segmentul MN  ANMD trapez dreptunghic. 1p
at
Ducem DE  AB, E   AB  )  MN  DE ,AE  120  80 : 2  40 : 2  20 şi din
triunghiul dreptunghic AED aflăm DE 2  AD 2  AE 2  625  400  225 ,deci 2p
.m

DE=15

 AN  MD MN 20  30  3015
AANMD    40 15  600 cm 2
2 2 2p
w

 AB  CD DE 120  8015 2p
b) AABCD    1500cm 2 .
2 2
w

Notăm cu p procentul care se cere,deci:
1p
w

p
1500  600  p  40% 2p
100

c) 50 100  5000lei preţul plăcilor de forma ABCD. 1p

40%din100este egal cu 40lei 2p

25  40=1000lei preţul plăcilor de forma ANMD 1p

Preţul total al pavajului: 5000lei+1000lei=6000lei. 1p

272

Modele de subiecte

Varianta 101 Prof :Maniţiu Blandina
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 2 5p

ro
2. 76 5p

3. 4 5p

o.
7

4. 12 5p

5. 150

nf 5p

6. 38,5
ei 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

.m

Notează prisma 1p

2. Fie x numărul bărbaţilor 1p
w

Vom avea 4x numărul femeilor 1p

4 x  x  60  5 x  60  x  12 2p
w

12 bărbaţi şi 124=48 femei 1p
w

3. x 3 4p
2  5 / 4  8  x  3  20 / 3  5  x  17
4
1p
x  5,17 

4. a) f ( x)  g ( x) 2p

x  4  2x  2  x  6 1p

f (6)  6  4  10 1p

273

Modele de subiecte

P (6,10) este punctual comun 1p

b)G f intersectează Ox în A( 4, 0) 1p

1p
G g intersectează Ox în B(1,0)
1p
Deci AB=1+4=5 şi înălţimea triunghiului ABP cu bază AB va fi 10.

ro
AB 10 5 10
A PAB    25.
2 2 2p

o.
5  x 2  6 x  9   x  32 2p

x 2  9   x  3 x  3

nf
2p
 x  3
2
x2  6x  9 x 3
  1p
x 9
2
 x  3 x  3 x  3
ei
at
puncte)
.m

1. l2 3 2p
a) AABC  .
4

144 3 3p
A ABC   36 3cm 2 .
w

4

b)În , m O   900  VM 2  VO 2  OM 2 . 1p
w

VOM

1p
1 1l 3
Dar OM= AM  2 3
w

3 3 2

 
2
2
VM 2  10  2 3  100  12  112  VM  4 7cm. (apotema piramidei) 1p

1p
Perimetrulbazei  apotema
Alaterală 
2

36  4 7
Alaterala   72 7cm 2 .
2 1p

274

Modele de subiecte

4 2 2p
a) Raportul înălţimilor celor două piramide este 
10 5

VVA ' B 'C '  2 
3
8
  
  . 3p
VVABC  5  125
 

2.  AB  CD AD 2p

ro
a) A 
2

45  35 24 80  24
A   40  24  960cm 2 3p

o.
2 2

b) A NBCM  960 : 2  480cm 2  AANMD  480cm 2 3p

nf
Dacă DM=x,atunci 24  x  480  x  480 : 24  20cm. 2p
ei
c)Fie n pătrate cu latura de lungime l 1p

n  l 2  480, n să fie minim. 2p
at
480=30 16 este descompunerea lui 480 astfel ca n(primul factor) să fie 2p
minim iar al doilea să fie pătrat prfect,deci putem înscrie 30 pătrate cu latura
.m

de 4cm
w
w
w

275

Modele de subiecte

Varianta 102 Prof Marcu Ştefan Florin
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 6 5p

ro
2. 0,07 5p

3. 80 5p

o.
4. 1 5p

nf
5. 60 5p

6. 12 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at

.m

2. 3x+6-1 ≤ x+9 1p

x≤2 2p
w

A={ 0,1,2 } 1p

Numărul de elemente =3
w

1p

3. Notează lungimea drumului=x 1p
w

1 2 2p
x+ x+2=x
2 5
2p
x=20 km



b) 3x-6=x-4 2p

276

Modele de subiecte

x=1 1p

y=-3 1p

A(1,-3) 1p

5 x 2 = 5) 2 = 4 5
(2 − 9− 2p

ro
2p
y 2= 9 + 4 5
1p

o.
x 2 + y 2 =18 ∈ N


nf
puncte)

1. a) Notăm cu a,b,c lungimile muchiilor . Atunci :
ei
a 2 + b2 =
25 1p

b2 + c2 =
34 1p
at
1p
a2 + c2 =
41
.m

1p
a 2 + b2 + c2 =
50
1p
Diagonala=5 2 m
w

b) Folosim a) si avem :

c 2 = 50 − 25 = 25 ⇒ c=5 m 2p
w

a 2 = 50 − 34 = 16 ⇒ a=4 m 2p
w

1p
b 2 = 50 − 41 = 9 ⇒ b=3 m

c) Aria=2 (ab+ac+bc ) 3p

Aria=94 m 2 2p

2. a) Se observă că : AD+BC=AB+CD=12 m 3p

277

Modele de subiecte

Perimetrul=24 m 2p

b) AB=CD=6 m 1p

( AD + BC ) MN 1p
S=
2
2p

ro
MN=4 2 m
1p
S=24 2 m 2

o.
c) Svi sin i =8 π , unde r=2 2 m 2p

1p

nf
Sciresi =24 2 -8 π
2p
Verifică : 24 2 -8 π <8 π
ei
at
.m


Varianta 103 Prof Marcu Ştefan Florin .
w

SUBIECTUL I (30 de
puncte)
w

1. 0 5p

2. 220 5p
w

3. 75 5p

4. 4 5p

5. 90 5p

6. 6 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

278

Modele de subiecte



2. -3<2x-1<3 2p

A=(-1,2) 2p

ro
A ∩( Z − N ) = ∅ 1p

3. Notăm cu x=preţ caiet , şi cu y= preţ pix . 1p

o.
3x+2y=5 lei 1p

2x+3y=5 lei 1p

x=y=1 leu

nf 1p

x+y=2 lei
ei 1p

4. 2 3p
a) A ( ,0)
at
3
2p
B ( 0 ,2 )
.m

b) f(m)=5 3p

m=-1 2p
w

5 2 +1 2p
= 3+ 2 2
2 −1
2p
w

2 −1
= 3− 2 2
2 +1
w

2 +1 2 −1
+ ∈N 1p
2 −1 2 +1

puncte)

1. a) Vom nota cu M=mijlocul laturii BC , cu O=centrul bazei .Ducem
ON ⊥ VM .
2p
Aplic teorema lui Pitagora , în triunghiul VOA

279

Modele de subiecte

VA= 208

3p

Ariabazei ∗ h 2p
b) V =
3
2p

ro
2
Ariabazei =108 3 m
1p

V=288 3 m3

o.
c) Arăt că ON ⊥ (VBC) 1p

nf
VO=8 m , OM=6 m 1p

VM=10 m 1p

ON=4,8 m
ei 2p
at
2. a) Lgard = 70π 3p
.m

2p
Arăt că Lgard = 70π <221 m

b) S parc =1200+625 π m 2 3p
w

2p
S − 1200
=625 = 252
π
w

c) Se observă că întregul parc , poate fi înconjurat cu un gard , în formă de 3p
pătrat , de latură 70 m .
2p
w

Arăt că : 70 2 <105

280

Modele de subiecte


Varianta 104 Prof . Marcu Ştefan Florin .
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. 10 5p

2. 9 5p

o.
3. 160 5p

nf
4. 5 5p

5. 30 5p
ei
6. 13 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

.m

Notează cubul 1p

2. -5<x+1<5 2p
w

-6<x<4 1p
w

A are 9 elemente . 2p

3. Fie x=nr . cămile , y= nr . dromaderi . Atunci : 1p
w

x+y=30 1p

2x+y=50 1p

x=20

y=10 2p

4. a) Rezolvă ecuaţia f(x)=0 , deci x=2 . 2p

Observă că 2 face parte din numerele -2011 , ...,2011 2p

281

Modele de subiecte

Produsul este egal cu 0 . 1p

a) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului 4p


5 M g = ab 2p

ro
2p
ab=1
1p

o.
M g = ab =1


nf
puncte)

1. a) Ducem AM ⊥ BC , VO ⊥ (ABC) , unde O este centrul bazei . 1p
ei
OM= 3 m 2p

2p
at
VM=2 3 m

b) Alaterala =18 3 m2 3p
.m

2p
V=9 3 m3

c) În VOM , OM= 3 m şi VM=2 3 m ,deci m(MVO)= 300 3p
w

2p
Atunci , m(VMO)= 600
w

2. a) Lgard =3 ∗ AB+ Lsemicerc 2p

2p
Lsemicerc =50 π
w

1p
Lgard =300+50 π

b) Slivada = S patrat + S semidisc 1p

1p
S patrat =1 ha
1p
S semidisc =1250 π
2p

282

Modele de subiecte

Arăt că 1250 π <4000

c) S meri = S ADM + S sfertcerc 1p

1p
S ADM =2500 m 2
1p
S sfertcerc =625 π m 2

ro
2p
S peri =7500+1250 π m 2

o.
nf

Varianta 105 Prof : Marcu Ştefan Florin
ei
SUBIECTUL I (30 de
puncte)
at
1. b 5p

2. 490 5p
.m

3. 2,5 5p

4. 40 5p
w

5. 90 5p
w

6. 720 5p

SUBIECTUL II (30 de
w

puncte)



2. -4<2x-1<4 2p

A={-1,0,1,2} 2p

A ∩ N are 3 elemente . 1p

283

Modele de subiecte

3. Notăm cu l=latura pătratului . Atunci , suprafaţa iniţială este l 2 . 1p

3 1p
l+50% l= l
2

9 2
Suprafaţa finală = l 1p
4

ro
5 2
Suprafaţa finală- suprafaţa iniţială= l
4 1p

o.
5 1p
=125%
4

4. a) f(1)=3

f(1)=a-2
nf 3p

1p
ei
a=5 1p
at
b) ) Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului 4p

.m

5 Recunoasterea formulei (a + b) 2 =a 2 + 2ab + b 2 2p

3p
Aplicarea formulei pentru : a= 3 − 2 2 şi b= 3+ 2 2
w

puncte)
w

1. a) Notăm cu : l= muchia tetraedrului , cu R=raza cercului circumscris unei
feţe a tetraedrului , şi cu h= înălţimea tetraedrului .
w

l 3
R= 1p
3
1p
R=10 m
3p
h=10 2m

Ab • h 2p
V=
3

284

Modele de subiecte

l2 3 2p
= = 75 3m 2
Ab
4
1p
V=250 6m3

c) Fie O un punct situat în interiorul tetraedrului . Notăm cu h1 , h2 , h3 , h4 ,

ro
distanţele de la O la feţele tetraedrului . Atunci : 2p
VABCD = VOABC + VOACD + VOABD + VOBCD
h1 + h2 + h3 + h4 =h=10 2m 3p

o.
2. a) S= l 2 = 10000m 2 3p

nf
l=100 m 2p

b) S= π= 2500π
meri R2 2p
ei
1p
= 10000 − 2500π
S pruni
2p
at
Verifică inegalitatea

c) OA=OB=R 2 =50 2 m 3p
.m

AB=100 m 1p

1p
= 100 2 + 100m
Lgard
w
w
w

285

Modele de subiecte

Varianta 106 Prof. Militaru Corina
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 34 5p

ro
2. 0 5p

3. 5 5p

o.
4. 8 3 5p
3

5. 2 29

nf 5p

6. 8
ei 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

1. Realizarea desenului 4p
.m

Notaţia tetraedrului 1p

2. 25 2p
a + b = , b= a +
27 a
w

100

1
a + a + a = 27 ⇒ 9a = 108 2p
w

4
1p
a = 12 şi b = 15
w

3. a + b + c = , 6= 9= 15c k
62 a b = 2p

k k k 31k 2p
+ + =,62 = 62 ⇒ k = 180
6 9 15 90

a = 30, b = 20, c = 12 .

4. a) 10 x −= 5 ( 2 x − 1)
5 2p

286

Modele de subiecte

4 x2 −1
= ( 2 x − 1)( 2 x + 1) 2p

1p
5
E ( x) =
2x +1

5 3p
b) ∈  ⇒ 2 x + 1| 5 ⇒ 2 x + 1 ∈ {±1, ±5}
2x +1

ro
2p
x ∈ {−3, −1, 0, 2}

o.
5 f ( −3) =3 , g ( 2 )= 4 + m
− 3p

2p
4 + m =−3 ⇒ m =−7

nf
puncte)
ei
1. x + y = 7
a) Notăm cu x şi y - lungimile celor două alei ⇒  .
 x= y + 1
at
3p
x = 4 m şi y = 3 m 2p
.m

b) Notăm rombul ABCD şi AC ∩ BD = {O} .

3p
Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul AOB ⇒ AB 2 AO 2 + BO 2
=
w

2p
AB = 2,5 m
w

c) Pe fiecare latură se plantează câte 5 arbuşti ⇒ sunt necesari 20 arbuşti 3p

20 ⋅12,5 =lei costă amenajarea grădinii
250 2p
w

2. a) Vcub mare = 64 ⋅13 = 64cm3 3p

Notăm L = latura cubului mare
2p
L3 = 64 ⇒ L = 4cm .

b) Nr. cuburilor cu trei feţe vopsite = nr. vârfurilor cubului = 8 2p

Nr. cuburilor cu două feţe vopsite = 2 ⋅ nr. muchiilor = 24 2p

287

Modele de subiecte

Nr. cuburilor cu o singură faţă vopsită = 4 ⋅ nr. feţelor = 24. 1p

c) V prismei = Ab ⋅ h = 63cm 2 3p

2p
V prismei < 64 ⇒ cuburile nu încap în cutia în formă de prismă

ro
o.


nf
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 0
ei 5p

2. 4 5p
at
5

3. 72 5p
.m

4. 144° 5p

5. 24 3 5p
w

6. 1 5p
w

2

SUBIECTUL II (30 de
w

puncte)


Notaţia prismei 1p

2. Notăm cu x – preţul iniţial al obiectului

10 2p
x− x=
63
100
2p

288

Modele de subiecte

9x=630 1p

x = 70 lei

3. 1 1 3 +1 1− 3 3p
− = −
3 −1 1+ 3 2 −2

ro
3 +1+1− 3 2p
=1
2

o.

Reprezentarea corectă a celor două puncte 2p

Trasarea graficului

b) M ( a, a − 1) ∈ G f ⇒ f ( a ) = a − 1
nf 1p

2p
ei
1p
f ( a )= 5 − a
at
1p
5 − a = a −1
1p
a=3
.m

5 ( 2 x + 1) 1p
2
= 4 x2 + 4 x + 1
1p
( 3x − 1)( 2 x + 1)=
w

6x2 + x −1
1p
( x − 2)
2
= x − 4x +1
2
w

4 x 2 + 4 x + 1 − 6 x 2 − x + 1 + x 2 − 4 x + 1 =− x 2 − x + 6 1p
w

( 2 − x )( 3 + x ) = x 2 − x + 6
− 1p

puncte)

1.  [ AC ] ≡ [ BC ] 3p

a)  [ AE ] ≡ [ BD ] ⇒
 ( CAE ) ≡  ( CBD )


289

Modele de subiecte

⇒ ∆CAE ≡ ∆CBD ⇒ [CE ] ≡ [CD ] 2p

b) Fie M – mijlocul segmentului [ AB ] şi N – mijlocul segmentului [ ED ] 3p

d ( C , DE ) CM + MN
=
1p

ro
75 3
CM =
2
1p

o.
 75 3 
d ( C , DE ) 
=  + 75  km

 2 

nf
c) Distanţa parcursă de automobil = AE + ED + BD = 225 km 2p

225 9 2p
=t = = 4h şi 30min
50 2
ei
Ajunge la destinaţie la ora 15 şi 25 min
at
2. a) Notăm VABCD – piramida regulată şi VO – înălţimea sa 2p

AC = 4 2 ⇒ AO = dm .
.m

2 2

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul VOA ⇒ 3p

VO = 2 2 dm.
w
w

b) Lungimea apotemei = 2 3 dm . 2p

2p
Al = 16 3 dm2
w

= 16
At ( )
3 + 1 dm 2

32 2 2p
c) V = dm3
3

32 ⋅1,5
V< =
16 dm3 2p
3

290

Modele de subiecte

Sunt suficienţi 18 dm3 . 1p


ro

SUBIECTUL I (30 de

o.
puncte)

1. −4 3 5p

2. [ −2,1)

nf 5p
ei
3. 5 5p

4. 80° 5p
at
5. 9 3 5p
.m

6. 7,00 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)
w

w

Notaţia cubului 1p

2. Fie x – suma iniţială 2p
w

1 1 2 1
I zi – x ; A II-a zi – ⋅ x + 20 = x + 20
3 4 3 6

1 1
x + x + 20 + 127 =
x 3p
3 6

x = 294 lei

3. Fie n – numărul de elevi 2p

291

Modele de subiecte

n = 15a + 3 ; n = 20b + 3 ; n = 24c + 3

Deci , n – 3 este multiplu comun al numerelor 15, 20, 24 3p

[15, 20, 24] = 120 ⇒ n = 123

4. ( x − 1) 2p
2
a) x 2 − 2 x + 1 =

ro
2p
x2 − 5x + 4 = ( x − 1)( x − 4 )
1p

o.
x −1
E ( x) =
x−4

nf
5 −1 2p
b) E ( 5 )
= = 4
5−4

3 −1
ei
E ( 3) = = −2 2p
3− 4
1p
at
E ( 5 ) − E ( 3) =
6

5 Alegerea corectă a două puncte care aparţin graficului 2p
.m


w

puncte)
w

1. l⋅L =2000 5p
a) l L
= = k
w

8 10

k 2 = 25 , k > 0 ⇒ k =
5

L = 50 m , l = 40m

b) Aria locului de joacă = 900 m 2 5p

Aria rondului de flori = 4π m 2

Aria suprafeţei plantată cu gazon = 2000 – 900 – 4π = (1100 − 4π ) m 2

292

Modele de subiecte

c) Lungimea cercului = 1,6 π 2p

1,6 π < 1, 6 ⋅ 3,15 =
5, 04 2p

5,04 < 5,2 , deci sunt suficienţi 5,2 m bordură

2. a) Al = 72m 2 4p

ro
1p
80 – 72 = 8 m 2 mai rămân

b) lungimea barei = diagonala paralelipipedului 2p

o.
d = 2 46 m . 3p

nf
c) Al = 60 ⇒ L + l = 20 ⇒ L = 20 − l 2p

2p
V =l ⋅ ( 20 − l ) ⋅ 2 =(20l − l 2 ) ⋅ 2 = 200 − 2 (10 − l )
2
ei
1p
Volumul ia valoarea maximă dacă (10 − l ) = 0 ⇒ l = L = 10m
2
at
.m
w
w
w

293

Modele de subiecte

Varianta 109 Prof. Mirita Petruta
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 16 5p

ro
2. 80 5p

3. 110 000 5p

o.
4. -2 5p

nf
5. 9 3 cm2 5p

6. 15 5p
cm
2
ei
SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

1. 9 elemente 5p
.m

2. x – nr. de băieţi 5p
y – nr. de fete
 2y = x
 cu soluţia x = 6 şi y = 12 , deci Elena are 5 colege .
 y −1 = x − 7
w

3. 4 3 5p
w

27

4. a) f(1)+f(-3) = 3 ⇒ rezultatul este 1. 5p
w

1 1 5p
b)f(0)= ,deci A(0, ) este punctul de intersecţie cu axa Oy.
2 2

5 . Latura ∆AD 'C - echilateral este egală cu diagonala unui pătrat , deci 12 2 . 5p
A∆AD'C = 72 3cm 2 ..

puncte)

294

Modele de subiecte
1. X +1 1 1 5p
a)Arătăm că : E 1 = = ,iar E 1 ( 2 − 1 )= ;
( X + 1) X +1
2
2

3 5p
b) E 2 (x)= ,
x +1

1 2 x+2 x2 + 5x
2E 1 (x)+ =0 ⇒ + =
0⇒ 2 = x ∈  / {±2}
0

ro
E2 ( x ) x +1 x −1 x −1

Soluţiile sunt: x 1 =0 şi x 2 =-5

o.
3 5p
c) ∈  ⇒ x + 1/ 3 ⇒ x + 1 ∈ {±1, ±3} ⇒ x ∈ {−4; −2;0; 2}
x +1

2. a)

D 10 C
nf 5p
ei
10 M
at
A B
.m

10

F 10 E
w
w
w

b)d(F,CD) =FD ,în  DAF , m ( A ) 900 , DF 10 2 cm.
= = 5p

D(E,AC)=EM înălţime în triunghiul echilateral ACE , AC = 10 2 .

EM=5 6 cm

c) m ( FE , DB ) =450 5p

295

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 20 5p
x+y=6 şi x-y = .Deci x 2 − y 2 =.
40
3

ro
2. 22 + 62 = + 6 este falsă
2 5p

o.
3. (1+ 2 )2+(1- 2 )2 =1+2 2 +2+1-2 2 +2= 6 5p

4. AB= 2 ,AC= 6 ,Aria (  ) = 3 cm2 5p

5. V

nf 5p
ei
E m ( ACB ) = 800

m ( EF , AC ) = 400
at
A F C .Deci

B
.m

m ( EF , BC ) = m ( ABC ) = 600 .

6. 33,3 oC 5p
w

SUBIECTUL II (30 de
puncte)
w

1. x 2 − x − 12 ( x − 4 )( x + 3) x + 3 5p
E(x)= = =
x 2 − 16 ( x − 4 )( x + 4 ) x + 4
w

2. f:  →  , f(x)=3x+2 5p

 −2 
G f ∩Ox = , 0  ;G f ∩Oy =0, 2 )
A A(
 3 

y=f(x)

296

Modele de subiecte

3. 1 1  1 2 1 5p
x+ ≥ 0 Avem x+ = 14 .Calculăm  x +  =x + 2+ x =16.
x x  x

 1 
Deci  x +  =4
 x

ro
4. a)MB = 10 cm şi MC =2 34 cm 5p

o.
b)CB AD ,AD ⊥ MA ⇒ CB ⊥ MA ; 5p
CB ⊥ AB , AB, MA ⊂ ( MAB ) ⇒ CB ⊥ ( MAB ) M

nf B A
ei
at
C D

5 7 5p
A(1;5) ∈ G f ⇔ f (1) =m+1+m—3=5.Deci m= .
5⇔
.m

2

puncte)
w

1. a)x-numărul de zile 2 (82 - 4x) = 100 - 6x ; x= 32 zile 5p
w

1 1 a 2 + b2 3 + 2 2 + 3 − 2 2 5p
b) = = 6
+ 2= 2
a2 b a 2b 2 ( 9 − 8)
w

3a 5p
a+
a b 3a a+b 2 = 5
c) = ⇒ b = . Deci =
2 3 2 3a + 2b 3a + 2 3a 12
2

2. a) At = 24 cm2 5p

297

Modele de subiecte

ro
P

b) AD′ = 2 2 , AM = 5 , AP = 2 5 , PD′ = 4 + 16 = 2 5

o.
5p
PAPD′ 4 5 + 2 2 cm
=

nf
ei
c) DE ⊥ AM si D′E ⊥ AM .Unghiul celor doua plane este DED′ 5p

DD′ 2 AD ⋅ DP 8 4 5 5
tg α
= = ;= = = .Deci tg α =
at
DE .
DE DE AP 2 5 5 2

5p
.m

2 3
2cm ,=
c) OP ⊥ AB, OP = CP = 2 cm,iar CO= 5 cm
2
w

w

SUBIECTUL I (30 de
w

puncte)

1. [x] = 1 5p

2. A∩Z = {−1, 0,1, 2,3} 5p

3. x −1 5p
x +1

4. 3 cm 5p

298

Modele de subiecte
5. 600 5p

6. 80 % 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

1. −6 x 2 + y 2 − 6 xy − 2 x + 6 y − 1 5p

ro
2. Mama:27 ani; fiul : 7 ani ; fiica : 2 ani 5p

o.
3. 5p

nf
ei
h = 15cm
at
.m

4. a) 60 % 5p

b) a=250 ; b=200 ; c=150 ; d=90 5p
w

5 AM MP 40 5p
 AMP  ADC ⇒ = ⇒⇒ MP
=
AC CD 3
w

puncte)
w

1. 24 x 2 + ( 3 − 8 x )( 3 x − 2 ) ( 3 x + 2 ) 5p
2
3x + 2
a) E ( x) =
( 3x + 2 )( 3x − 2 ) 25 x − 6 3x − 2

b) E ( 0 ) = −1 ⇒ 3 x + 2 + 1 ≤ 0 ⇒ x ≤ −1 ⇒ x ∈ ( −∞, −1] 5p

c) x=31 5p

299

Modele de subiecte
2. 5p
a) A b = .Deci Ab =  Ab =  Ab = 9 m2

V

B

ro
A C

o.
M – mijlocul [BC] ⇨ VM = a p
b) VO = h = 12 m 5p

⇨ AM = ⇨ AM = 3

nf
AM = h b = m
OM = · AM  OM = ·3  OM = m

⇨ VM 2 = 122 +
În VOM (m( VOM) = 90°)
ei VM 2 = VO 2 + OM 2

⇨ VM 2 = 144 + 3
2

⇨ VM =
⇨ VM = 7 m
at
.m

c) În VOC (m( VOC) = 90°): 5p

Fie N –mijlocul [AB] ⇨ CN = înălţimea bazei ⇨ CN = AM = 3
tg( ) = tg( ) = tg (∢VCO) =
m
w

OC = · AM  OC = ·3  OC = 2 m

Deci tg( )= = = =2
w
w

300

Modele de subiecte

Varianta 112 Prof Mişca Maria
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 10 5p

ro
2. 3, (4) 5p

3. 10 5p

o.
4. 8 5p

nf
5. 8 2 5p

6. 20 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Desenează corect paralelipipedul 4 puncte, notează 1 punct. 5p
.m

2. 40 5p
40% din420= ⋅ 420 =168; 168 elevi participă la olimpiade şi concursuri.
100

3. Eliminarea numitorilor: 10(x+3)+33=4(3x+2)-6(3-x) 2p; Eliminarea 5p
w

73
parantezelor: 10x+30+33=12x+8-18+6x 2p; Finalizare x= 1p.
8
w

4. a) Alegerea corectă a punctelor de pe grafic (exemplu A(1;1) şi B(0;-1)) 2p; 5p
Reprezentarea corectă a puctelor în sistemul de axe ortogonale 2p
Finalizare 1p
w

b) n=2۰1-1+2۰2-1+2۰3-1+...+2۰2007-1=2(1+2+3+...+2007)-2007 2p 5p
n = 2007۰2008- 2007=20072 3p
P P

5 x 2 + x 2 − 4x + 4 − x 2 + 2x x 2 − 2x + 4 5p
E(x)= : ;
x ( x − 2) x
x 2 − 2x + 4 x 1
E(x)= ⋅ 2 ; E(x)=
x( x − 2) x − 2 x + 4 x−2

(30 de

301

Modele de subiecte

puncte)
SUBIECTUL III

1. a) În ∆ BAD BD2=AB2+AD2; BD=6 2 În ∆MAB, MB2= AB2+AM2, 5p

MB=6 2 = MD deci ∆MBD echilareral

b) Fie AC ∩ BD = {O}, AO ⊥ DB (diagonalele pătratului sunt 5p

ro
perpendiculare) 1p MA ⊥ (ABC), AO ⊥ BD; AO, BD ⊂ (ABC) rezultă
MO ⊥ BD 2p. Calculează MO=3 6 deci d(M, BD) = 3 6 cm 3p

o.
c) Unghiul dintre MC şi (ABC) este egal cu unghiul dintre MC şi AC; 5p
MA 6 3
sin ( ∠ MCA)= = =
MC 6 3 3

2.

(teor. unghiului de 300) EC=
DC
nf
a)Fie DE ⊥ BC, E ∈ BC; ∆ DEC dreptunghic în E şi m( ∠ CDE)=300 ⇒

; DE2=DC2-EC2; DE=4 3 cm rezultă
5p
ei
2
P ABCD =4(9+ 3 )cm
at
(12 + 16)4 3 5p
b)A ABCD = ; A ABCD= 56 3 m2; A=56۰1,7 m2=95,2 m2
P P P P P

2
.m

c) Preţul parchetului este de 95,2۰30 lei=2856 lei<2900 lei. Deci sunt 5p
suficienţi 2900 lei
w
w
w

302

Modele de subiecte


SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. 3 5p

2. 5 2 5p

o.
3. 60 5p

nf
4. 10 3 5p

5. 40 5p
ei
6. 113 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. Desenează corect prisma 4 puncte, notează 1 punct. 5p

2. x2=54+36 2 2p
w

2p
y2=54-36 2
1p
Finalizare
w

3. n=a(a2-1) 1p

n=a(a-1)(a+1) 2p
w

n este produs de trei numere consecutive, deci divizibil cu 3 2p

4. 1 5p
a) Fie x lungimea autostrăzii; În anul I s-a construit x -1p;În anul al doilea
4
60 3 9 1 9
an s-a construit ۰x= x 1p;scrierea ecuaţiei : x + x +72=x 1p;
100 4 20 4 20
rezolvarea ecuaţiei şi scrierea soluţiei; lungimea autostrăzii este 240 km 2p

b) 240 – 72 = 168; Pentru 168 km firma primeşte 168۰3000 : 240 = 2100 5p
milioane euro

303

Modele de subiecte

5 Alegerea corectă a punctelor de pe grafic (exemplu A(2;0) şi B(1;-2)) 2p; 5p
Repreprezentarea corectă a punctelor în sistemul de axe ortogonale 2p
Finalizare 1p

(30 de
puncte)
SUBIECTUL III

ro
1. a) A t = l2 3 2p; A t = 3 dm2 5p

5p

o.
2 3
b) V = l V = 1,41 : 12 dm3 = 0,1175 dm3=117,5 ml
12

nf
c) Cantitatea de lapte necesară pentru o zi este 5p
117,5ml۰650=76375ml=76,375l; 3۰76,375=229,125 deci 229,125 lei costă
cantitatea de lapte pentru o zi.
ei
2. a) Aria teren =50 ۰100 m2 = 5000 m2
R R P P P 5p

b) Aria pistei = ( 100 + 12) ۰ ( 50 + 12 ) - 5000; Aria pistei = 6944 - 5000 5p
at
R R R R

Aria pistei = 1944 m2
R R P
.m

c) Sunt necesare 5000۰30g = 150000g de seminţe = 150 kg seminţe. 5p
w


Varianta 114 Prof. Mişca Maria
w

SUBIECTUL I (30 de
puncte)
w

1. 5 5p

2. 0, 1, 2, 3 5p

3. 22 5p

4. 25 π 5p

5. 13 5p

304

Modele de subiecte

6. 41 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

1. Desenează corect piramida patrulateră 4 puncte, notează 1 punct. 5p

ro
2. 15 5p
340- ۰340 = 289; noul preţ al bicicletei este de 289 lei
100

3. n = 9x2 + 12x + 4 + 9x2 – 4 - 18x2 - 12x; n=0 ∈ Z 5p

o.
P P P P P P

4. a) M(a;-1) ∈G f ⇔ f(a) = -1 ⇔ a2 + 2a = -1 ⇔ a2 + 2a + 1 = 0 ⇔
R R R P P R P P R R 5p
(a + 1)2 = 0 ⇒ a = -1
R R

nf
P P

b) a = -1 ⇒ f(x)= -x - 2 1p alegerea corectă a punctelor de pe grafic 2p 5p
reprezentarea corectă a punctelor şi trasarea graficului 2p
ei
5 Fie n numărul merelor din coş. n = 6c 1 + 2; n = 8c 2 + 2; n-2 = 6c 1 = 8c 2 ; R R R R R R R R 5p
n – 2 = [6,8], n=26, deci cel mai mic număr de mere din coş este 26.
at
puncte)
.m

1. a) DD' ⊥ (ABC); DB ⊥ AC; AC ∩ DB = {O}; DO, AC ⊂ (ABC) ⇒ (teorema 5p
celor trei perpendiculare) D'O ⊥ AC ⇒ d(D', AC)=D'O 3p
DB 8 2
DO = = = 4 2 ⇒ D'O=4 6 m 2p
w

2 2

b) BB' ⊥ (A'B'C') ⇒ BB' ⊥ B'D'; B'D'=8 2 ; BB'=8 ; A BB'D' =32 2 m2. 5p
w

R R P P

c) A l = 4A ABB'A' = 4۰64 = 256; A l = 256m2; 256 : 40=6,4 deci sunt necesare
R R R R R R P P 5p
7 cutii cu vopsea
w

2. a) l = 50 cm ⇒ raza = 25 cm 5p

b) A pătrat - A disc = 2500 - 625 π = 2500 - 1962,5 = 537,5. Pierderea este de
R R R R 5p
537,5 cm2 P

c) L cerc mare + L cerc mic =2 ⋅ 25π +2 ⋅ 10π =50 π +20 π = 70 π = 219,8 ;
R R R R 5p

219,8 cm = 2,198 m

305

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 3 5p

ro
2. 2 5p

3. 995 5p

o.
4. 15 5p

nf
5. 240 5p

6. 39 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Desenează corect 4 puncte, notează corect 1 punct. 5p

5+6+ x
.m

2. 5p
= 7 ⇒ 11 + x = 21 ⇒ x = 10. Trebuie să obţină nota 10.
3

3. Punctul de pe graficul funcţiei care are coordonate egale are forma M(a,a) 5p
w

1
(1p) M ∈ G f ⇔ f(a) = a ⇔ 4a-1= a ⇔ a = (3p). Deci punctul de pe
3
1 1
graficul funcţiei de coordonate egale are forma M ( ; )
w

3 3

4. a) Notăm cu x numărul persoanelor şi cu y preţul obiectului.(1p) Obţinem 5p
25x = y-50 şi 35x = y + 40 (4p)).
w

b) Rezolvarea sistemului şi scrierea soluţiei : x = 9 şi y = 275, deci sunt 9 5p
persoane iar obiectul costă 275 lei.

5 a b c 5p
= = = k ⇒ a = 2k, b = 3k, c = 5k (2p) 2∙2k + 5∙3k + 7∙5k = 108 ⇔
2 3 5
54k = 108 ⇒ k=2 (2p) deci a=4, b=6, c=10. (1p)

puncte)

306

Modele de subiecte

1. AB 2 3 62 3 5p
a) A t = 3∙AB∙ AAʹ+ 2∙ ; A t = 3∙6∙8 + 2∙ ; A t = 18 ( 8 + 3 ) cm2
4 4

b) AAʹ ⊥ ABC), fie AM ⊥ BC, M ∈ BC; AM, BC ⊂ (ABC) ⇒ (T3 ⊥ ) 5p
AʹM ⊥ BC ⇒ d(Aʹ,BC) = AʹM. Aplicând teoreme lui Pitagora în triunghiul
AʹAM avem: AʹM2 = AʹA2 + AM2; AʹM2 = 82 + (3 3 )2, AʹM = 91 cm

ro
c) AM ⊥ BC, AʹM ⊥ BC ⇒ ∠ ((ABC), ( Aʹ BC))= ∠ (AM, AʹM); 5p
AA′ 8 8 3
tg ∠ AʹMA= = ; tg ∠ AʹMA=
AM 3 3 9

o.
2. a) P teren = AB + BE + CE + DC + AD = 120 ∙ 5 = 600. Sunt necesari 600 m de 5p
gard pentru împrejmuirea terenului

l2 3
b) A teren = A ABCD + A BCE = l2 +
4
nf
; A teren = (14400 + 3600 3 ) m2 ;
5p
ei
A teren = 20520 m2 ; 20520∙0,50 = 10260, deci amenajarea cu gazon a costat
10260 lei

c) Fie M un punct în interiorul pătratului ABCD. d(M;AB) + d(M;BC) +
at
5p
d(M;CD) + d(M;AD) = AB + BC = 240 = constant
.m
w
w
w

307

Modele de subiecte


Varianta 116 Prof Molea F Gheorghe
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. 143 5p

2. 1800 5p

o.
3. 0,91 5p

4. 530 5p

5. 100 3

nf 5p
ei
6. 1 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)

Desenează corect paralelipipedul dreptunghic 2p 5p
.m

1.

Desenează corect secţiunea diagonală 2p

Notează corect 1p
w

2. Determină primul număr (15) 2p 5p
w

Determină următoarele două numere (16 şi 17) 2p

Calculează media aritmetică (16) 1p
w

3. 9a-6b=5a+2b 2p 5p

a=2b 1p

b 1
= 1p
a 2

b
Finalizare = 0,5 1p
a

4. a)Determinarea coordonatelor a două puncte care aparţin graficului funcţiei4p 5p

308

Modele de subiecte

Reprezentarea graficului funcţiei f 1p

b) Fie K ∈ G f ∩Gg ⇒ f ( a = g ( a ) ⇒ 2a-1=3a+1
) 2p 5p

Determină a =-2 2p

Obţine K(-2;-5) 1p

ro
5 5p
9 - 4 5 =| 2 - 5 |= 5 - 2 2p

o.
=a 5 -2- 5 +3 1p

=
a = 1
1 1p

a∈N

nf 1p
ei SUBIECTUL III (30 de
puncte)
at
1. 2 5p
a) sin 450 = 1p
2
.m

AB ⋅ AD ⋅ sin BAD
A BAD = 2p
2

3x 2
ABAD = 2p
w

4

b)Calculează BC=5dam 1p 5p
w

AB BD
Aplică corect teorema bisectoarei = 2p
AC DC
w

15
Substituie valorile şi determină BD = dam 2p
7

AC ⋅ AD ⋅ sin 450 5p
= = x 2
c) ACAD 1p
2

AB ⋅ AC
=
AABC = 6dam 2 1p
2

ABAD + ACAD =
AABC 2p

309

Modele de subiecte

12 2
Finalizare x = 1p
7

2. a)Calculează AB=8cm 1p 5p

Deduce că A′BDC ′ este un tetraedru regulat de muchie 8 2cm 1p

ro
256 3
VABDA′ = cm 1p
3

ABDA′ = 32 3cm 2

o.
1p

VABDA′ =d ( A, ( BDA′ ) ) =
⋅ d ( A, ( BDA′ ) ) , de unde
32 3 8 3
cm 1p

nf
3 3
ei
b) Apiesei = 12 ⋅ AABA′ + 4 ⋅ ABDA′ 2p 5p
at
AABA′ = 32cm 2 1p

Apiesei 384 + 128 3cm 2
=
.m

2p

5p
c)Fie O centrul bazei ABCD, A′O C ′O 4 6 cm
= = 1p
w

Demonstrează că  ( ( BDA′ ) ; ( BDC ′ ) )  ( A′O; C ′O ) A′OC ′
= = 1p

AOA′C ′ = 32 2cm 2 1p
w

OA′ ⋅ OC ′ ⋅ sin A′OC ′
AOA′C ′ = 1p
w

2

2 2
Finalizare sin A′OC ′ = 1p
3

310

Modele de subiecte

Varianta 117 Prof.Molea F.Gheorghe
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. -1,0,1 5p

ro
2. 16 5p

o.
3. 5 5p
12

nf
4. 380 5p

5. 16 5p
ei
6. 125 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)

Desenează corect un triunghi dreptunghic 2p
.m

1. 5p

Construieşte înălţimea din vârful unghiului A
ˆ 2p

Specifică proiecţia vârfului unghiului drept pe ipotenuză. 1p
w

2. Condiţiile x ≠ 1; x ≠ 2 1p 5p
w

− x 2 + 4 x − 4 =x 2 + 2 x − 1
− 2p

3
x=
w

1p
2

3
Finalizare S =   1p
2

3. 9 3  3 3
2 5p
A = a + 3a + + =  a +  +
2
3p
4 4  2 4

2
 3
 a +  ≥ 0, pentru ( ∀) a ∈ R 1p
 2

311

Modele de subiecte

Finalizare A > 0, ( ∀ ) a ∈ R 1p

4. a) E ( x ) = x 2 − 4 x + x − 4 2p 5p

= x ( x − 4) + ( x − 4) 1p

= − 4 )( x + 1)
(x

ro
2p

b) E ( x ) = x 2 + x ( a − 4 ) + 4 + b − 2a 2p 5p

o.
a − 4 =−3 ⇒ a =1 1p

4 + b − 2a = 4 ⇒ b = 6
− −

nf
2p

5 B = ( b 2 + 9b + 14 )( b 2 + 9b + 18 ) + 4 2p 5p
ei
Notează b 2 + 9b + 14= c, unde c ∈  ⇒ B= c ( c + 4 ) + 4 1p
at
B = ( c + 2 ) = ( b 2 + 9b + 16 )
2 2
1p

B este pătratul unui număr întreg deoarece b 2 + 9b + 16 ∈ , ( ∀ ) b ∈ 
.m

1p

puncte)
w

1. CD 5p
a) d ( O, CD )
= = 6m 2p
2
w

AB
d ( O, AB )
= = 12m 2p
2
w

d ( AB, CD ) = d ( O, AB ) + d ( O, CD ) = 18m 1p

5p
b) Construieşte DD′ ⊥ AB, D′ ∈ ( AB ) şi calculează AD′ = 6m 2p

Calculează AD = 6 10m 1p

PABCD =AB + BC + CD + DA =36 + 12 10m 2p

c) AAOB = 144m 2 1p 5p

312

Modele de subiecte

ACOD = 36m 2 1p

AABCD = 324m 2 1p

AAOD + ABOC = AABCD − ( AAOB + ACOD ) = 144m 2 1p

Finalizare AAOB AAOD + ABOC
= 1p

ro
2. a) Notăm cu L,l lungimile muchiilor bazelor,iar cu D,d lungimile 5p
D d
diagonalelor bazelor. D L 2, d l 2, = = k , k > 0
= =

o.
1p
3 2

3k 2 2k 2
= =

nf
L , l 1p
2 2

L−l
=
cos 600 ⇒ L − l 4cm
= 1p
2at
ei
k 2
L−l
= ⇒= 4 2
k 1p
at
2

Calculează înălţimea trunchiului 2 3cm ( ) 1p
.m

b)Triunghiul VMM’ este echilateral (isoscel cu un unghi de măsură 600 ) , 5p
unde M şi M’ sunt mijloacele laturilorBC, respectiv AD. 2p
w

VM=MM’ , VM=12cm 1p

PB ⋅ a p
= = 288cm 2
w

Al piramida 2p
2

c) d ( M , (VAD ) ) = d ( M , VM ′ ) 5p
w

2p

d ( M , (VAD ) )
L 3
= = 6 3cm 2p
2

BCII (VAD ) ⇒ d ( M , (VAD ) ) =d ( B, (VAD ) ) =6 3cm 1p

313

Modele de subiecte

Varianta 118 Prof. Molea F. Gheorghe
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 11 5p

ro
30

2. S={-1,0} 5p

o.
3. 5 5p

nf
4. K(3;3) 5p

5. 5 2 5p
ei
6. 27000 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)

Desenează corect trapezul
.m

1. 2p 5p

Desenează corect linia mijlocie 2p

Notează corect 1p
w

2. 2 4 6 5 5p
n=număr natural par ⇒ a =− − − =
1 − 2p
3 5 5 3
w

2 4 6 11
n=număr natural impar ⇒ a =1 + + + = 2p
3 5 5 3
w

 5 11 
Finalizare a ∈ − ;  1p
 3 3

(1 − 3 )
3. 2 5p
=− 3 |=3 − 1
|1 1p

13 − 4 3 = 2 3 |= 3 − 1
|1 − 2 2p

=
b 27 ⋅ | 3 − 1 − 2 3 + 1| 1p

314

Modele de subiecte

b= 81 = ( ±3)
2
1p

4. 1 5p
a) b=0 ⇒ =
1 1p
b +1

1 4
= − 2p
a +1

ro
5

4a+4=-5 1p

o.
9
Finalizare a = − 1p
4

nf
a a +1−1 1 5p
b) = = 1− 1p
a +1 a +1 a +1

b 1
= 1−
ei 1p
b +1 b +1

a b  1 1  9
+ =
at
2− + = 3p
a +1 b +1  a +1 b +1  5
.m

5  3 7 7
2 5p
x − 3x + 4 =  x −  + ≥
2
2p
 2 4 4

2
 1 3 3
y + y + 1=  y +  + ≥
2
2p
w

 2 4 4

3 1 3 1
Expresia are valoare minimă dacă x − = şi y + = ⇒ x = ; y = 1p
0 0 −
w

2 2 2 2

w

puncte)

1. a) PABCD = AB + BC + CD + DA 2p 5p

PABCD = 230 + 120 + 100 + 50 2p

Finalizare PABCD = 500m 1p

b) Demonstreză că patrulaterul AMCD este paralelogram 2p 5p

Determină MB=130m 1p

315

Modele de subiecte

Foloseşte reciproca teoremei lui Pitagora în triunghiul BCM 1p

Deduce m ( BCM ) = 900 1p

c) Construieşte CC ' ⊥ AB 1p 5p

CM ⋅ CB 600
Calculeză CC '
= = m 2p

ro
MB 13

AB ⋅ CC ' 69000 2
=
AABC = m 1p

o.
2 13

Finalizare AABC = 0,53ha 1p

nf
2. a) Fie M mijlocul muchiei BC.Deduce VM=4m folosind T.P.în VMC 1p 5p

Pb ⋅ VM
Abazei = 16m 2 , Alaterala = = 32m 2 , Atotala = Ab + Al = 48m 2
ei 2p
2

5
Pirdere material = ⋅ 48 = 2, 4m 2 1p
at
100

Necesarul de material 50, 4m 2 ⇒ nu sunt suficienţi 50 m 2 de material 1p
=
.m

b)Calculeză înălţimea piramidei ,obţinând 2 3m ,aplicând T.P. în VOM 2p 5p

Ab ⋅ h
Scrie corect formula pentru volumului piramidei V p =
w

1p
3

32 3 3
Deduce V =
w

m 2p
3

c) AC l = 4 2m
= 5p
w

2 1p

AC ⋅ VO
=
AVAC = 4 6m 2 1p
2

VC ⋅ d ( A, CV )
AVAC = 1p
2

4 30
Obţine d ( A, VC ) = m 2p
5

316

Modele de subiecte


Varianta119 Prof.Muşat Claudia

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. −5 3 5p

o.
2. 4 5p

3. 16 5p

4.

5.
81

48
nf 5p

5p
ei
6. 4 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. Desenează paralelipipedul 4p

w

2. E(a,b)=4ab 3p

Finalizare E(a,b)=4∙21=84 2p
w

3. a+b=34 1p
w

a-3=b+1 2p

a=19 1p

b=15 1p

4. a) 5 x3 + 10 x 2 − 15 x = 5 x( x + 3)( x − 1) 2p

1p
x 2 + 3 x = x( x + 3)
2p
E (= 5( x − 1)
x)

317

Modele de subiecte

b) 5 x − 5 = 2 x − 14 2p

3 x = −9 2p

x= −3 ∉ R − {0, −3} deci x ∈ ∅ . 1p

5 f (3 x − 1) =6 x + 5
− 2p

ro
f (3 x − 1) − 3 f ( x) = 6 x + 5 + 6 x − 9
− 2p

=−4 ∈ Z 1p

o.
puncte)

1.
a) A =
( B + b) ⋅ h
2

nf 1p

1p
ei
AE = 6m
1p
AB 18 + x
=
at
2p
= 4(30 + x)
A
.m

b) BC 2 CF 2 + FB 2
= 1p

BC= 64 + x 2
2 1p
w

1p
64 + x 2 =
164
1p
x 2 = 100 , x > 0
w

1p
x = 10 .
w

c) Atrapez = 160m 2 2p

1p
160∙18,5=2960 lei
2p
95%∙2960=2812lei

2. l 2 1p
a) OC =
2

318

Modele de subiecte

OC = 4 2 1p

VO 2 VC 2 − OC 2
= 1p

VO = 3m 2p

Ab ⋅ h 1p
b) V =

ro
3

Ab = l 2
1p

o.
Ab = 64m 2 1p

nf
V = 64m3 2p

Pb ⋅ a p 1p
c) Al =
2
ei
Pb 4= 32m
= l
1p
at
VE = 5m 1p

Al = 80m 2
.m

1p

82,5 ⋅ 50 =
4125lei 1p
w

w

Varianta 120 Prof. Muşat Claudia

SUBIECTUL I (30 de
w

puncte)

1. -1 5p

2. 2 5p

3. 2 5p

4. 6 5p

319

Modele de subiecte

5. 27 5p

6. = 2x +1
y 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

ro
1. Desenul 4p

Respectarea dimensiunilor 1p

o.
2. 1 1p
=−1 − 2
x
1p

nf
1< 2 < 2

−2 < − 2 < −1 1p
ei
−3 < −1 − 2 < −2 1p
at
−1 − 2 ∈ (−3, −2) 1p

3. 3x 1p
Notăm cu x suma lui Ionel. reprezintă suma cheltuită în prima zi.
.m

4

x
Restul este 1p
4
w

x
+ 8 reprezintă suma cheltuită în a doua zi
6 1p
w

3x x 1p
+ + 108 =x
4 6
w

1p
x = 1296 lei

4. 3 1p
a) G f ∩ Ox = ;0)
B(
5
1p
G f ∩ Oy =
A(0,3)
2p
Trasarea graficului

320

Modele de subiecte

b) Fie P= prGf M , MP= 2 ⋅ d (O, G f ) 1p

1p
3 26
AB =
5

3 26 2p
d (O, G f ) =
26

ro
3 26
MP = 1p
13

o.
5 E (4) = 2012 − 12012
(−1) 2p

= 1−1

=0
nf 2p

1p
ei
puncte)
at
1. ( B + b) ⋅ h 1p
a) A =
.m

2

(24 + x) ⋅16
A= 2p
2
w

2p
= 8(24 + x)m 2
A

b) A ABC = 192m 2 1p
w

1p
A ADC = 8 x
w

1p
24 x = 192
2p
x = 8m

c)A teren =256m2 1p

256∙4=1024kg roşii 1p

95%∙1024=972,8 kg 2p

972,8∙3=2918,4lei 1p

321

Modele de subiecte

2. a)V=Llh 1p

V=1152m3 4p

b)A l =288m2 3p

288∙2=576m2 1p

ro
576∙2=1152kg vopsea 1p

c)H siloz =BB’+d(F’,B’C’) 2p

o.
12 3
d(F’,B’C’)= = 6 3 (Înălţime în triunghi echilateral)
2
1p
H= 4 + 6 3

6 3 > 6 ⇒ H > 10
nf 1p

1p
ei
at
.m

Varianta 121 Prof. Muşat Claudia

SUBIECTUL I (30 de
puncte)
w

1. 2012 5p
w

2. 1 5p
5
w

3. 63 5p

4. 18 5p

5. 9 5p

6. 81 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

322

Modele de subiecte


Notează prisma 1p

2. a+b =
117 1p

a 5 1p
= ⇒ 4a = b
5
b 4

ro
1p
4a + 4b =
468
1p
b = 52

o.
1p
a = 65

nf
3. Notăm cu x numărul merelor rămase, x<150 1p

x − 4 ∈ M 16 1p
ei
x − 4 ∈ M 18 1p

1p
at
⇒ x − 4 ∈ M 144
1p
x − 4= 144 ⇒ x= 148 , deci a mâncat 2 mere.
.m

4. a) (2 x − y ) 2 = 4 x 2 − 4 xy + y 2 1p

1p
( x − 3 y )( x + 3 y ) =x 2 − 9 y 2
w

1p
( x − 2 y ) 2 = 2 − 4 xy + 4 y 2
x
2p
w

E ( x,= 4 x 2 − 12 y 2
y)

b) 2 x + 5 y = 70 + x + y pătrat perfect, x, y cifre ⇒ 0 ≤ x + y ≤ 18 ⇒ x + y = 3p
w

11

x = 5 şi y = 6 1p

1p
E (5, 6) = −332

5 x x −1 2x +1 1p
≤ ≤
2 5 4

10 x ≤ 4 x − 4 ≤ 10 x + 5 ⇒
1p

323

Modele de subiecte

0 ≤ −6 x − 4 ≤ 5 ⇒ 1p

3 2 1p
− ≤x≤−
2 3
1p
x ∈ Z ⇒ x ∈ {−1, 0}

ro
puncte)

a) m(  ) = m( ACB) =

o.
1. AB 90 ⇒ 45 1p

1p
m(  ) = m( ABC ) =
AC 150 ⇒ 75

nf
1p

m( BAC ) = 60
1p

Fie BE ⊥ AC , E ∈ AC , m( ABE ) = ⇒ AE =⇒
ei 30 x
1p
BE = x 3m
at
.m

b) AC = AE + EC ; BECdr.is. ⇒ BE = EC = x 3m 2p

2p
AC =x(1 + 3) ⇒
1p
w

x = 2m

abc 1p
c) R =
w

4 A ABC

BC = 2 6
w

1p

A= (2 3 + 6)m 2
 ABC 1p

R = 2 2m 2p

2. a) m( ECD) = 60 . Fie Q = prCD E , QC =2m ⇒ DC =5m 2p

1p
EQ = 2 3m

324

Modele de subiecte

( B + b) ⋅ h 1p
A=
2
1p
A = 6 3m 2

b)Pentru 3 = 1, 7 avem A = 10, 2m 2 3p

ro
10,2:2=5,1 litri vopsea 1p

5,1∙20=102 lei. 1p

o.
c)  EQB dreptunghic în Q 1p

nf
EB 2 EQ 2 + QB 2
= 1p

1p
QB 2 = QC 2 + BC 2 ⇒ QB = 29
ei 2p
EB = 41m
at
.m
w
w
w

325

Modele de subiecte

Varianta 122 Prof. Nicolaescu Nicolae
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 8 5p

ro
2. 7 5p

3. -11 5p

o.
4. 48 5p

nf
5. 30 3 cm2 5p

6. 17 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Desenează şi notează triunghiul. 3p

Desenează mediatoarea.
.m

2p

n=15c 1 +1, n=18c 2 +1 1p

n − 1 ∈ M 15 ∩ M 18 1p
w

2. [15,18]=90 1p
w

Cel mai mare multiplu comun de 3 cifre=90·11=990 1p

n=991 1p
w

f(m2)=m 2p

3. m2-6=m 1p

m 1 =-2, m 2 =3 2p

a) După raţionalizare a = 2 + 3 + 2 − 3 = 4 3p

4. 2p
= 2 2 +1
b

326

Modele de subiecte

b) 2 < 1,5 2p

3p
b = 2 2 + 1 < 21,5 + 1 = 4 = a

5. S 1p
Prima zi: 50% din S=
2

ro
5 S 5S
A doua zi: din = 1p
8 2 16
1p

o.
S 5S
S= + + 300
2 16 2p
S=1600

nf
puncte)
ei
1.
at
.m
w

a)

ONAM pătrat cu latura=r.Atunci BP=BM=20-r şi CP=CN=20-r
w

1p
BC=40-2r
w

T Pitagora în ∆ BAC, 202 + 202 = ( 40 − 2r )
2

2p

40 − 2r = 20 2 ⇒ r = − 10 2 (= 20 + 10 2 nu convine)
± 20 r 2p

b) ∆ BMO dreptunghic în M 1p

OM = r= 20 − 10 2 1p

1p
BM = 20 − r = 10 2

327

Modele de subiecte

(10 2 ) + ( 20 − 10 2 )= ( ) 1p
2 2
T. Pitagora în ∆ BMO ⇒ BO =
2
400 2 − 2
1p
= 20 2 − 2
BO

ro
c) Agradina Asec tor circular + A∆BMO + A∆CNO + AONAM
= 1p

π OB 2 ⋅135 (
π ⋅ 400 2 − 2 ⋅135 )=
( )

o.
=
Asec tor circular = 150 2 − 2 π , deoarece
360 360

m( BOC ) = 135o
2p

A∆BMO + A∆CNO + AONAM 100
=

( )
(
( nf
)
2 − 1 + 100

)
(
(
) (
2 − 1 + 200 3 − 2 2 200(2 − 2)

)
= ) 1p

1p
ei
Agradina = 150 2 − 2 π + 200 2 − 2 = 50 2 − 2 ( 3π + 4 ) m2

Barem
at
a) Fie M mijlocul laturii BC.
AM ⊥ BC , A ' M ⊥ BC ⇒ (( ABC ), ( A ' BC )) =' MA
A 2p
AM = 3 3 iar din triunghiul A’AM obţinem A ' M = 127
.m

2. 2p
V piesă AABC ⋅ h 9 3 ⋅10 90 3 cm3
= = =
AABC ⋅ AA ' AM 3 3
=
VA ' ABC = 30 3 cos ( A '=
MA ) =
3 A'M 127
1p
w

x
⋅ 90 3 = 30 3 ≈ 33,3%
100
w

b) ABCC ' B ' A ' = AA ' B 'C ' + ABCC ' B ' + AA ' BC + ABB ' A ' + ACC ' A ' 2p

ABCC ' B ' A ' = 9 3 + 60 + 3 127 + 30 + 30 = 120 + 9 3 + 3 127 3p
w

c) V piesă AABC ⋅ h 9 3 ⋅10 90 3 cm3
= = = 2p
AABC ⋅ AA '
=
VA ' ABC = 30 3 cm3 2p
3
x
⋅ 90 3 = 30 3 ≈ 33,3%
100
1p

328

Modele de subiecte



SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. 11 5p

2. 4 5p

o.
3. 12 5p

nf
4. 5 5p

5. 9 cm2 5p
ei
6. 12,5 mld lei 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

1. Desenează prisma. 4p
.m

Notează prisma. 1p

abc + bca + cab = ⇒ 111(a+b+c)=666
666 2p
w

2. a+b+c=6, a,b,c ≠ 0 1p
w

Cel mai mic număr este 114 2p

f(2)+f(22 )+...+f(210 )=2(2+22 + ... + 210 ) + 3 ⋅10 2p
w

3. 2p
Fie S= 2+22 + ... + 210 , atunci 2S= 22 +23 + ... + 211 ,deci 2S-S=S=211-2=2046
1p
Suma este egală cu 4092+30=4122

 1 1 2x  3
a) E(x)=  + − 2 : 2 =
 x + 2 x −1 x + x − 2  x − 2x +1
4.
 x −1 x+2 2x  3
 + −
 ( x + 2 ) ( x − 1) ( x + 2) ( x − 1) ( x + 2) ( x − 1)  ( x − 1)2
: =

 

329

Modele de subiecte

( x − 1) 2p
2
1 x −1
⋅ =
( x + 2 )( x − 1) 3 3( x + 2)

3p

3 1 3 −1
b) E( 3 + 1 )= = =

ro
(
3 3 + 3 3 1+ 3 ) ( ) 6
5p

5. Cele trei numere sunt 4x,x,4x+6. 2p

o.
9x+6=150,deci x=16 2p

nf
Numerele sunt 64, 16, 70. 1p

puncte)
ei
1. = AABCD + 2 Asemicerc
a) A 2p
at
A=
( 20 + 100 ) ⋅ 30 + 252 π =1800 + 625π 3p
2
.m

Aalee = 30m 2 .1p
b)
= =
Apiatra cubică 400cm 2 0, 04m 2 1p
w

= 30 : 0, 04 750
Nr.buc = 3p

c) P = AB + CD + 2lsemicerc 2p
w

P = 120 + 50π = 120 + 157 = 277 m 3p
w

2. 402 3 2p
=
a) A + 3 ⋅ 30= 400 3 + 3600
⋅ 40
4
3p
A < 400 ⋅1,8 + 3600 = + 3600 =
720 4320 cm2

Nu este suficientă bucata respectivă.

330

Modele de subiecte

2p

1p

1p

ro
1p

o.
b)

Răspunsul este afirmativ, o soluţie ar fi ca în figura de mai sus.Construind

nf
liniile mijlocii, suprafaţa fiecărui triunghi echilateral este partiţionată în patru
suprafeţe echivalente, iar volumul fiecărei prisme triunghiulare asfel formate
este un sfert din volumul cutiei iniţiale.
ei
20 2p
c) Muchia cubului după mărire 50 + ⋅ 50 = cm
at
60
100
Diagonala cubului 60 3 cm < 60 ⋅= 104, 4 cm
= 1, 74
2p
104, 4 < 104,5 , deci în vas nu se poate introduce bagheta
.m

1p
w
w

w


SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. -7 5p

2. 5 5p

3. 28 5p

331

Modele de subiecte

4. 16 3 5p
cm2
3

5. 3 cm 5p

6. 9 mii lei 5p

ro
SUBIECTUL II (30 de
puncte)

Desenează trunchiul de piramidă.

o.
1. 4p

Notează trunchiul de piramidă. 1p

nf
23n = 512 =29, deci n=3 2p

( )
2. 2 2p
3+ m 2 = 2
1+ =2 2
3+
ei
1p
m=2
at
x+3 3p
−1 ≤ < 1 ⇒ -2 ≤ x+3<2 ⇒ -5 ≤ x< -1
2
3. 2p
.m

A ={−5, −4, −3, −2}

a) g(1)=2 ⇒ 3-m=2 3p
w

4. m=1 2p
w

b) G f ∩ Oy =
A(0,3) 1p
w

1p
G f ∩ Ox = 0)
B(3,
1p
Gg ∩ Oy = C (0, −1)
1p
A∆ABC A∆AOB + A∆COB
=

3 ⋅ 3 1⋅ 3
A∆ABC = + =6 1p
2 2

332

Modele de subiecte

5. ( x + 3) − x − 3 =( x + 3) − ( x + 3) = 2p
3 3

3p
( x + 3 ) ( x + 3 ) − 1 = ( x + 2 )( x + 3)( x + 4 )
2

 

puncte)

ro
1.
=
a) AABDE
( 60 + x ) 40
= 20(60 + x)
1p
2

o.
l∆echilateral = 402 + (60 − x) 2 2p

nf
( 60 − x )2 + 402  3 1p
A∆BCD = 
4
ei
( 60 − x )2 + 402  3 1p
= 
Asup rafaţă  + 20(60 − x)
4
at
b) 402 + ( 60 − x ) = 2p
2
502
.m

2p
60 − x = 30
±
1p
x=30 (x=90 nu convine deoarece ED<AB)
w

25 3 25 ⋅1,8 3p
c) r = < =15
w

3 3

Adisc < 225π  706,5m 2 2p
w

Nu se poate înscrie un rond circular cu aria 706,5 m2.

2. a) ((OA ' D '), ( A ' B ' C ' D ')) = OO ' M ,unde M este mijlocul lui A’D’ şi O’ 3p
centrul lui A’B’C’D’
2p
m(OO ' M ) = 45 (OO’M triunghi dreptunghic isoscel)
0

333

Modele de subiecte

AADD ' A ' ⋅ OT 3p
b) V = unde T este proiecţia lui O pe AD
3

1200 ⋅ 30
=V = 12000 cm3 2p
3

c) A= ABCC ' B ' + AABB ' A ' + ACC ' D ' D + AOAA ' + AOA ' D ' + AODD ' 2p

ro
2p
A = 1200 + 1800 + 1800 + 150 13 + 600 2 + 150 13
1p
A = + 300 13 + 600 2 cm2

o.
4800

nf
ei
Varianta 125 Prof: Nicolaescu Nicolae

SUBIECTUL I (30 de
puncte)
at
1. 0 5p
.m

2. 72 5p

3. 12 5p
w

4. 18 5p

5. 5p
w

8 3 cm2

6. 24 5p
w

SUBIECTUL II (30 de
puncte)



2. 2 x − 1 = ±5 2p

x=3 1p

334

Modele de subiecte

x=-2 1p

A ∩ N = {3} 1p

3. a+b=105 2p

a 8
=

ro
b 13

Rezolvare sistem
2p

o.
a=40 b=65
1p

nf
4. a)f(2)=5 2p

m=-9 3p
ei
1  2p
b) G f ∩ Ox = A ,0 
3 
2p
at
G f ∩ Oy = B(0,1)
.m

tg A = 3
ˆ 1p

5 12 5p
E ( x) =
x −4
2
w

puncte)
w

1. a) DC = 25 3 m 2p
w

DA=25 m 2p

Lungimea gardului= 25 5 + 3 m ( ) 1p

625 3 2 5p
b) Aria= m
2

c) CE=x,
(25 + x )25 3
=
25 3 (50 − x ) 3p
2 2

335

Modele de subiecte

25 2p
x=
2

2.
a) V=
3
3
( )
4 + 25 + 4 ⋅ 25 = 39 m 3
3p

V=39000 dm3=39000l

ro
b) Vapă scoasă =
1,5
3
( )
4 + 3,5 2 + 4 ⋅ 3,5 2 = 11,625 m 3
2p

o.
2p
Vcub = 15,625 m 3
1p

nf
Finalizare

c) AC = 5 2 , 1p
ei
134
A’C=
2 3p
at
Distanţa maximă este 5 2 1p
.m
w

w

Varianta 126 Prof: Nicolaescu Nicolae

SUBIECTUL I (30 de
w

puncte)

1. 10 5p

2. 240 5p

3. 2 5p

4. 18 5p

336

Modele de subiecte

5. 5 2 5p
6

6. 5 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

ro
1. Desenează trunchi de piramidă 4p

Notează trunchiul 1p

o.
2. a b 2p
=
3 4

nf
3p
a 2 + b 2 = (5k )
2
ei
3. 11x 2p
x+10%x=
10
at
11x 11x
− 20% ⋅ = 176 2p
10 10
.m

1p
x=200

4. a) m = 4 − 2 5p
w

n = 4+ 2

m+n 5p
b) M a = =4
w

2

Mg = (4 − 2 )(4 + 2 ) =
w

14

5 2011 ⋅ 2012 5p
f(0)+f(1)+…+f(2011)=3(0+1+…+2011)- 2∙2012= 3 ⋅ − 2 ⋅ 2012 =
2

1006∙6029=6065174

puncte)

1. a) 9π + 36π = 45π m 2 5p

337

Modele de subiecte

b) Aria aleii=15 m2 2p

Aria plăcii=0,04 m2 2p

Numărul plăcilor este 375

c) Distanţa maximă se realizează când cercurile sunt tangente colţurilor 5p
dreptunghiului şi este egală cu 41 + 16 = 1937
2 2

ro
o.
2. a)Aria plăcii de tablă=1,5m2 2p

Suprafaţa vasului ==5∙0,25m2=1,25 m2 2p

nf
Finalizare 1p

b)Distanţa maximă este diagonala unui dreptunghi cu dimensiunile 3p
1,5m,respectiv 0,5m
ei
d = 1,5 2 + 0,5 2 = 2,5m
at
2p

c)V cubului=0,125m3 2p
.m

Volumul cubuleţ=0,000125 m3 2p

Numărul cubuleţelor este 1000 1p
w

w

w

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 5 5p

2. 42 5p

3. 2x2+4x+10 5p

4. 25% 5p

338

Modele de subiecte

5. 80 3 cm3 5p

6. 19 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

ro
1. Desenează paralelipipedul 4p


o.
2. n=3 5p

3. f(1)=1 2p

m=1 sau m=-2

nf 3p

4. a) Verificarea relaţiei
ei 5p

b) x + 3 ∈ D3 = {± 1,±3} 2p
at
−2 ∉ R − {−3, −2,3} deci x ∈ {−4, 0, −6}
3p
.m

5 x 1p
Prima zi
4

2 3x x
⋅ =
w

A doua zi 1p
3 4 2

x x
x= + + 80
w

4 2 2p
x=320 1p
w

puncte)

1. a) Diametrul cercului=20 cm 2p

Latura pătratului= 10 2cm 2p

Aria pătratului=200 cm2 1p

339

Modele de subiecte

b) Aria material îndepărtat=(100 π -200)cm2 2p

2p
⋅ 100π = (100π − 200 )
p
100
1p
p ≈ 36,31%

ro
c) l = 288 = 12 2 2p

diametrul cercului=24 cm

o.
r=12 cm, deci trebuie să crească cu 2 cm 2p

1p

nf
2. 16 ⋅ 10 320 3 5p
a) Vmaterial = V paralelipiped − V piramidă = 16 ⋅ 10 − = dm
3 3
ei
10 5 2 5p
b) tg∠O' AO = =
2 2 2
at
16 ⋅ 104
( )
5p
c) At = + 16 = 16 26 + 1 > 96 deci nu este suficientă foiţa
2
.m

respectivă
w
w

w

Varianta 128 Prof Nicolaescu Nicolae
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 8 5p

2. 3 5p
4

3. 24 5p

340

Modele de subiecte

4. 56 cm2 5p

5. 45o 5p

6. 120 5p

SUBIECTUL II (30 de

ro
puncte)


o.
Notează prisma 1p

2.  13 17  3p
A = − ' 

nf
 2 2
2p
A ∩ Z = {− 6,−5....,8}
ei
3. E(x)=x ∈ N 5p
at
4. a)n=12c 1 +7 2p

n=15c 2 +10
.m

n=25c 3 +20

n+5 ∈ M 12 ∩ M 15 ∩ M 25 ⇒ n + 5 ∈ M 300 2p
w

n=295 1p

( )
b) u 2 295 = 8 1p
w

1p
u (3 295 ) = 7
w

1p
u (4 295 ) = 4
1p
u (5 295
)=5
1p
Deci ultima cifră este 4

5 a+r+n=120 1p

a=3n 1p

341

Modele de subiecte

n=5+r 1p

n=25 c=75 r=20 2p

puncte)

ro
3 2 ⋅6
( )
1. 5p
a) A = AABCD + 2 ⋅ A∆BAE = 36 + 2 ⋅ = 18 2 + 2
2

o.
b)BD+CE=6 2 + 6 2 + 6 = 6 + 12 2 5p

180 0 − 135 0 2p
c) ∆BAE isoscel , deci m∠ABE = = 22 0 30 '

nf
2
3p
m∠OBE = m∠OBA + m∠ABE = 45 0 + 22 0 30 ' = 67 0 30 '
ei
2. a) Din ∆ VO’B’,obţinem VO’=2 1p

64 ⋅ 2 1664 3
at
4p
V=83+ = m
3 3
.m

2 1 5p
b) tg∠VMO' = = ,unde M este mijlocul lui A’D’,O’ centrul lui A’B’C’D’
4 2
w

c) DB’= 8 3 <14m 2p

2p
w

DV= VO 2 + DO 2 = 100 + 32 = 132 < 14
1p
Finalizare
w

342

Modele de subiecte

Varianta 129 Prof:Oláh Csaba
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. a = 2,b = 3 5p

ro
( a ⋅b =, a < b ≤ 3 ⇒ a = 2 , b = 3 )
2

2. 2 5p

o.
( n = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅100 + 62 = 3 (1 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅100 + 20 )+ 2 = 3k + 2
=⋅20 + 2
3
k ∈N

nf
Dupa teorema împărţirii cu rest, restul la împărţirea lui n la 3 este 2)

3. 1 5p
ei
( 2012 ⋅101 − 100 ⋅ 2012 − 2011 = 2012 ⋅ (101 − 100 )− 2011 = 1 )
=1
at
4. 20 5p
cm
3
.m

B
B+
B+b 2 =3B ⇒ B =4 ⋅ 5 =20 cm - lungimea bazei mari)
( 5 =l = =
2 2 4 3 3
w

5. 8 5p

( x + x + 1 + x + 2 = 24 ⇒ 3 x + 3 = 24 ⇒ 3 x = 21 ⇒ x = 7 , al doilea număr
w

7 +1 =) 8

6. a>b 5p
w

( a = 27 − 2 = 126 , b = 3 + 9 + 27 + 81 = 120 ⇒ a > b )

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

1. Latura acestui cub va avea lungimea c.m.m.m.c.[12,16,18] = 144 , pentru că 2p

3p
12 22 ⋅ 3 , 16 = 24 , 18= 2 ⋅ 32 , [12,16,18] = 24 ⋅ 32 = 144 .
=

343

Modele de subiecte

2. 1 3 1023 1p
Simplificând cu 2 în b se obţine b = + + ... + ,
2 4 1024

1 1 1 1 3 1023
1 + + + ... + + + + ... + 2p
a+b 2 4 1024 2 4 1024
=
2 2

1 1 3 1  1 1023 

ro
1 +  + +  + + ... +  + 
2 2 4 4  1024 1024 
1 + 10 ⋅1 11
= 1= 1 = 1
= = = 5,5 . 2p
2 2 2

o.
3. m ( A ) m ( B ) m ( C ) m ( A ) + m ( B ) + m ( C ) 180 2p
= = = = = 15
3 4 5 3+ 4+5 12

 m ( A)

 3
 m ( B)
= ⇒ m ( A ) = 
15 45

nf 1p
ei 1p
 = ⇒ m ( B ) =  .
15 60
 4
1p
 m (C )
 = ⇒ m ( C ) = 
at
15 75
 5

a) 2 x ≤ 32 ⇔ 2 x ≤ 25 , x ∈ {0,1, 2,3, 4,5} ⇒ A = 2,3, 4,5}
{0,1,
.m

4. 2p

13
3 y + 1 < 14 ⇒ y < ⇒ y ∈ {0,1, 2,3, 4} ⇒ B = 2,3, 4} .
{0,1,
3 3p
w

b) A B = {5} , B A = ∅ ⇒ 3p
w

2p
⇒ A∆=
B ( A B ) ∪ ( B A) {5} ∪ ∅ {5} .
= =

Desenează trapezul
w

5 3p

Notează trapezul. 2p

puncte)

1. a) dacă R e mijlocul muchiei A′B′ , atunci lungimea drumului furnicii este

AR + RC ′ = 2 AR = 2 122 + 62 = 2 5 ⋅ 62 = 12 5cm . 5p
= 4⋅6 2

344

Modele de subiecte

b) AB ⊥ ( BCC ′B′ ) , C ′B ∈ ( BCC ′B′ ) ⇒ C ′B ⊥ AB , de unde rezultă că 2p

3p
( )
d C ' , AB = C ′B = 122 + 122 = 12 2cm .

c) MN = MB′2 + B′N 2 = 32 + 42 = 25 = 5cm 1p

1p

ro
NP = NB 2 + BP 2 = 82 + 6 2 = 100 = 10cm

C ' MNPA = C ′M + MN + NP + PA = 9 + 5 + 10 + 6 = 30cm
 

o.
2p
AR + RC ′ 12 5cm ≈ 26,83cm
=

nf
30 − 12 5 ≈ 30 − 26,83 = -aproximativ, cu atât e mai lung drumul
3,17 1p
frunicii inapoi, faţă de drumul din a).

2. = ( x +1)
2
ei
2

(= ( x
x + 1) − x )( )
2
x 4 + x 2 + 1 x 4 + 2 x 2 + 1− x 2
2 2 2
+ 1 + x2 + 1 − x
=
a) 2 = =
x + x +1 x2 + x + 1 x + x +1
2
x2 + x + 1
at
1p
= x2 − x + 1

( )
.m

x4 − x2 x2 x2 −1 x 2 ( x − 1)( x + 1)
+1= +1= + 1 = x ( x − 1) + 1 = x 2 − x + 1
x ( x + 1) x ( x + 1) x ( x + 1) 2p

E ( x ) = x2 − x + 1 +
1
( )
⋅ x2 − x + 1 = x2 − x + 1 + 1 = x2 − x + 2 .
w

x − x +1
2
2p

b) E ( 6 ) = 62 − 6 + 2 = 36 − 4 = 32 5p
w

∆ −7 7 3p
c) E ( x ) = x 2 − x + 2 , x ∈ N , min E ( x ) = = = 0 ⇒
− − >
w

x∈R 4a 4 4

⇒ E ( x) ∈ N , x ∈ N .
2p

345

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. a>b 5p

ro
( a = 32 = 38 = 81 ⋅ 81 = 6561 , = 23 2= 512 ⇒ a > b )
= 9
3 2
b

2. 25 5p

o.
1  250 
( ⋅ 2⋅  =)
25
4  5 

3. 3 şi 8

x=6
nf 5p

4.
ei 5p

( x + x + 1 + x + 2 + ... + x + 9= 105 ⇒ 10 x + 1 + 2 + ... + 9= 105 ⇒ x= 6 )
= 45
at
5. 69 pagini 5p
.m

( 9 pagini cu o cifră, 129 − 9 = , 120 : 2 = 60 pagini cu 2 cifre ⇒ 69 pagini)
120

6. BC = 12cm 5p

(Lungimea ipotenuzei este dublu faţă de lungimea catetei opuse unghiului de
w

30 ⇒ BC = 2 ⋅ 6 = 12cm )
w

SUBIECTUL II (30 de
puncte)
w

1. 1 1 1 1 1 1
= − , = − , ...
x ( x + 1) x x + 1 ( x + 1)( x + 2 ) x + 1 x + 2
3p
1 1 1 1 1 1 1 1
E ( x) = − + − + ... + − = − =
x x +1 x +1 x + 2 x + 9 x + 10 x x + 10

10
= .
x ( x + 10 ) 2p

2. Fie m -numărul marinarilor de pe vapor, atunci

346

Modele de subiecte

60 ⋅ m = ( m + 30 ) ⋅ 50 ⇒ 60m= 50m + 1500 ⇒ 10m= 1500 ⇒ m= 150 3p

2p
Numărul persoanelor de pe vapor : 150 + 30 = .
180

3. 1 2p
= x + 1 − x ⇒ E ( x )= x + 1 + x + x + 1 − x= 2 x + 1
x +1 + x

ro
( ) ( )
2 2
În mod similar a =2 ⋅ 3+ 2+ 3− 2 =2 ⋅ 2 3 =2 ⋅12 =24 1p

2p
E (= E ( 24 ) 2 24 + 1 10 .
a)

o.
= =

4. a) analizând datele problemei în sistemul cartezian se observă, că graficul 1p

nf
funcţiei intersectează axele în B ( 2, 0 ) şi C ( 0, 2 )

f ( x= ax + b , f ( 2 ) = 0 ⇒ 2a + b = 0 , f ( 0 ) = 2 ⇒ b = 2 ⇒
) 2p
ei
⇒ 2a = , adică a = −1
−2
at
f ( x) = x + 2 .
− 2p

b) folosind notaţiile din a) se observă că triunghiul OAC este dreptunghic si 3p
.m

OA ⋅ AC 2⋅ 2
= = = 1.
isoscel în A , atunci AOAC 2p
2 2

5 Se poate observa că AB = AC + CB ⇒ C ∈ ( AB ) -punctele A, B şi C sunt 3p
w

coliniare ⇒

⇒ AABC =
w

0.
2p

w

puncte)

1. =0 = 2( x − 2 ) 1p
2 x + 5 2 x −4 + 4+ 5 2 x − 4 9 9
a) = = + =2 + ∈Z ⇒
x−2 x−2 x−2 x−2 x−2

9 2p
∈ Z , D9 ={−9, −3, −1,1,3,9} ⇒ x − 2 ∈ {−9, −3, −1,1,3,9} ,
x−2

x ∈ {−7, −1,1,3,5,11} ∩ N ⇒ x ∈ {1,3,5,11} .
2p

347

Modele de subiecte

5x − 2 3 ⋅ (5x − 2) 1p
b) ∈Z ⇒ ∈Z
3x + 1 3x + 1

=0 = 5( 3 x +1)
3 ⋅ (5x − 2) 15 x − 6 −5 + 5 15 x + 5 11 11
= = − =5 − ∈Z ⇒
3x + 1 3x + 1 3x + 1 3x + 1 3x + 1
1p
11
∈ Z , D11 =−11, −1,1,11} ⇒ 3 x + 1 ∈ {−11, −1,1,11} ,
{

ro
⇒ 2p
3x + 1

 2 10 
x ∈ −4, − , 0,  ∩ N =0} .
{

o.
 3 3 1p

c) probabilitatea ca alegând un element din A , acesta să fie şi în B , înseamnă: 2p

cum A ∩ B = , probabilitatea este zero : p = 0 .
∅
nf
probabilitatea ca alegând un element din A , acesta să fie în A ∩ B

3p
ei
2. a) triunghiul B′C ′M este dreptunghic în B ' , MC ′ = ′ ⇒ m ( B′CM ′ ) = 2p
2 MB 30
at
x x 2 3 2 3
tg ( B′CM ′ ) = ⇒ B′C ′ = = = = 6cm .
B′C ′ tg ( B′CM ′ ) tg 30 3 3p
.m

3

b) triunghiul MBD este dreptunghic în B ( MB ⊥ ( ABCD ) ), 1p
w

( )
MB = ′ − B′M = − 2 3 cm , BD = 6 2cm (diagonala pătratului ABCD )
BB 6
1p
w

Scriem teorema lui Pitagora în triunghiul MBD :

( ) + (6 2 )
2 2
MD 2 = MB 2 + BD 2 = 6 − 2 3 = 36 − 24 3 + 12 + 72 = 3p
w

= − 24 3 = 5 − 3cm .
120 24 ( )
AB′C ′D′ ⋅ BB′ AB′C ′D′ ⋅ MB′ 1p
c) V BMC ' D'  =V[ BB′C ′D′] − V[ MB′C ′D′] = − =
  3 3

62
A
(
= B′C ′D′ ( BB′ − MB′ ) =2 6 − 2 3 = 6 − 2 3 = 3 − 3 cm3
3 3
6 12 ) ( ) ( )
2p

348

Modele de subiecte

V ABCDA' B'C ' D= AB= 6= 216cm3
'
3 3

 

2p
V BMC ' D' 

= = 
(
12 3 − 3 )
3− 3
.
V ABCDA' B'C ' D'  216 18
 

ro
o.


nf
SUBIECTUL I (30 de
puncte)
ei
1. 1 5p

(Ultima cifră a numărului 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 99 este 0 , pentru că e multiplu de 10 ,
at
atunci ultima cifră a numărului 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 99 + 1 este 1 )

2. 1 5p
.m

( 3654 ⋅1236 − 1235 ⋅ 3654 − 3653 = 3654 ⋅ (1236 − 1235 )− 3653 = 1 )
=1
w

3. 35km 5p

(Într-o oră primul biciclist face 15km , iar al doilea 20km , înseamnă că
înainte cu o oră de a se întâlni, distanţa dintre ei va fi 15km + 20km =)
35km
w

4. x=2 5p
w

( 3ax − 12bx = 3 x ⋅ ( a − 4b ) = 3 x ⋅ 6 = 18 x , atunci

3ax − 12bx = 36 ⇔ 18 x = 36 ⇒ x = 2 )

5. 8% 5p

(Dacă produsul costa, iniţial x lei, atunci

120 6x
După scumpirea cu 20% : x= , dupa ieftinirea din urmă, cu 10% :
100 5

349

Modele de subiecte

6 x 9 54 x 108 x
⋅ = = , de unde se vede că preţul de după ieftinire e cu 8%
5 10 50 100
mai mare faţă de preţul iniţial.)

6. 143 5p

( f ( 0 ) + f (1) + ... + f (10 ) = 2 ⋅ ( 0 + 1 + ... + 10 )+ 3 + 3 + ... + 3 =

ro
11− ori
=55

= 2 ⋅ 55 + 11 ⋅ 3 = 143 )

o.
SUBIECTUL II (30 de
puncte)

nf
1. n ( n + 1)( n + 2 ) este un produs de 3 numere consecutive, deci este divizibil
cu 3 , înseamnă că poate fi scris sub forma n ( n + 1)( n + 2 ) = , k ∈ N ⇒
3k 3p
ei
⇒ a = 3k + 1 nu e divizibil cu 3 (la împărţire dă restul 1 ). 2p

Desenează piramida
at
2. 4p

Se notează piramida. 1p
.m

3. Primul număr prim este 2 , deci suma primelor 20 de numere prime o să fie 4p
un număr impar (sumă de 19 numere impare plus un număr impar) rezultă
1p
nu se împarte la 2 .
w

4. a) c.m.m.m.c.[1, 2,3] = 6 , atunci lucrând 6 ore: 1p
w

primul muncitor ar termina de 2 ori , al doilea de 3 ori iar al treilea de 6 ori
lucrarea,
2p
w

daca ar lucra împreună 6 ore ar termina de 2 + 3 + 6 = -ori lucrarea, deci
11

6 360 8
lucrarea ar termina în ore, adică in = 32 minute. 2p
11 11 11

b)dacă ar mai veni un muncitor, în 6 ore ar termina de 2 + 3 + 6 + 6 = ori
17 2p

6 360 3
lucrarea ar termina în ore, adică în = 21 minute.
17 17 17
3p

350

Modele de subiecte

5 Dacă în vârfuri sunt cuburile roşii, numărul cuburilor albe este

12 + 12 + 4 ⋅ 4 + 2 ⋅ 4 = , (12 pe două feţe opuse, 4 în centru si 2 pe margini
48 3p
pe restul de 4 feţe) care este şi numărul total de cuburi albe, după enunţul
problemei

Numărul cuburilor roşii: 125 − 48 = .
77 2p

ro
puncte)

a) dacă raza cercului înscris in triunghiul AOB este r , atunci

o.
1. 5p

O1O2 O2O3 ...O6O1 2r ⇒ O1O2O3O4O5O6 este hexagon regulat.
= = =

nf
b) AO1O2O3O4O5O6 = 6 ⋅ AOO1O2 , OO1O2 este tirunghi echilateral, O1O2 2=
= r 1p

12 3 1
ei
=2⋅ ⋅ = 4 3 cm ( r înseamnă o treime din înălţimea triunghiului
2 3 1p
AOB )
at
(4 3) ⋅
2
(O O )
2
3 3
AO1O2O3O4O5O6 =OO1O2
6⋅ A =1 2
6⋅ =
6⋅ =3cm 2 .
72 3p
4 4
.m

c) fie aria zonei haşurate din interiorul hexagonului S1 , iar cea din exteriorul
hexagonului S 2
w

AAOB − AC ( O1 ,r )
( )
=36 3 − r 2π =36 3 − 2 3 π  =
2 ( )
2
S1 =
6⋅ 2  
3  
2p
w

( ) ( )
= 2 36 3 − 12π = 24 3 3 − π cm ( S1 se compune din 6 ”vârfuri” de
2

triunghi, congruente - aria a trei „vîrfuri” este egală cu diferenta dintre aria
w

triunghiului AOB şi a cercului inscris triunghiului AOB )

S 2 este diferenţa dintre aria cercului circumscris hexagonului ABCDEF 2p
( 144π cm 2 )şi aria hexagonului ABCDEF ( 216 3cm 2 ) AOB ( = 36 3cm 2 )

(
S 2 = π − 216 3 = 2π − 3 3 cm 2
144 72 )
Atunci

351

Modele de subiecte

S1
=
(
24 3 3 − π )
1 3 3 − π  1 5,19 − 3,14 1 2, 05
= ⋅

1p
 ≈ 3 ⋅ 6, 28 − 5,19 = 3 ⋅ 1, 09 = 0, 62  .
(
S 2 72 2π − 3 3 )
3 2π − 3 3  

2. a) G1G2 = C ′B + BF + FD′ = 3 + 6 + 3 = 12cm 1p

ro
6 3 1
înălţimea triunghiului G1G2G3 este h = G3G ' = 2 ⋅ ⋅ = 2 3cm
2 3 2p

G1G2 ⋅ h 12 ⋅ 2 3

o.
=
AG1G2G3 = = 12 3cm 2 .
2 2
2p

nf
b) triunghiul G1G2 D este dreptunghic in G2 , G1G2 = 12cm ,

2p
2 6 3
G2 D = ⋅ = 3cm ,
2
ei
3 2

( )
2
G1 D = G1G2 2 + G2 D 2 = 122 + 2 3 = 12 ⋅12 + 12 = 3 ⋅ 4 ⋅13 = 2 39cm .
3p
at
c) dacă I e centrul cercului înscris în triunghiul G1G2G3 , iar r este raza acestui
cerc, atunci r o să fie înălţime pentru triunghiurile G1G2 I , G2G3 I şi G3G1 I
.m

1p

2 6 3
G1G2 =G2G3 =2 ⋅ BG1 =2 ⋅ ⋅ =4 3cm
3 2
2p
w

G1G2 ⋅ r G2G3 ⋅ r G3G1 ⋅ r
AG1G2G3 = AG1G2 I + AG2G3 I + AG3G1I = + + =
2 2 2
w

r   r
(
=  G1G2 + G2G3 + G3G1  = 12 + 8 3 = 3 + 2 3 ,
⋅
2  =12 
2r ) ( )
 = 4= 4 3  2
3
w

(
dar AG1G2G3 = 12 3cm 2 ⇒ 2r 3 + 2 3 12 3 ⇒=
= r ) 12 3
=
(
2 3+ 2 3 )
( )
2p
6 3 2 3 − 3 36 − 18 3
=
6 3
= = = (12 − 6 3 ) cm .
3+ 2 3 ( )
2
2 3 − 32 3

352

Modele de subiecte


Varianta 132 Prof.Oláh Csaba
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. 8 5p

2. {0,1, 2,3, 4,5, 6} 5p

o.
3. 7 5p

nf
4. 32 5p

5. 16 5p
ei
6. 50 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. Fiecare latura creşte cu 10% , 1p

2 2p
 11a 
= =
Aria 
 10 
w

121a 2 2p
= , aria a crescut cu 21%
100
w

2. ( 20 + x + y ) 9 , 1p
w

2p
x + y ∈ {7,16}
2p
( x, y ) ∈ {( 0, 7 ) , (1, 6 ) , ( 2,5) , ( 3, 4 ) , ( 4,3) , ( 5, 2 ) , ( 6,1) , ( 7, 0 ) , ( 9, 7 ) , (8,8) , ( 7,9 )}

3. 144 = a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b ) = 2p

1p
12 ( a − b ) ⇒ a − b = ,
12
1p
b = 0 , a = 12

353

Modele de subiecte

b
=0
a
1p

4. 3x 3 2p
a) = 3−
x +1 x +1
1p

ro
D3 = {1, 2} ,

A = {0, 2} 2p

o.
= 27,35 243
b) 33 = 2p

nf
2p
27 < 3x < 243
1p
B = {3, 4,5}
ei
5 Ipotenuza este diametrul cercului circumscris 2p
at
Lungimea ipotenuzei 17 2p

17 1p
R=
.m

2

puncte)
w

1. 13 x 1p
a) x preţul iniţial, după scumpire
10
w

7 13 x
⋅ =
91 , 2p
10 10
w

2p
x = 100 , preţul iniţial

p + 100 2p
b) preţul iniţial x se măreşte cu p % , x preţul mărit
100

7 100 + p
⋅ x=
x, 2p
10 100
1p
p = 42,85%

354

Modele de subiecte

3 13 ⋅ 91 2p
c) 91 + ⋅ 91 = preţul nou mărit
10 10

7 13 ⋅ 91
preţul micşorat cu 30% : ⋅ = 2p
10 10

ro
1p
= 82,81

2. a) m ( ( ABCD ) , (VBC ) ) = m (VM 1O ) , O centrul bazei, M 1 piciorul apotemei 2p

o.
VM 1 = VO 2 + OM 12 = 17

nf
1p
OM 1 17
cos (VM 1O )
= = 2p
VM 1 17
ei
b) AVM1M 2 = 4 , M 2 piciorul apotemei pe [ AD ] 2p
at
2p
2 AVM1M 2
d ( M= =
2 , VM 1 )
VM 1
.m

8 17 1p
=
17

M2P 3p
c) sin (VM 2 , VP ) =
w

= ( P proiecţia lui M 2 pe VM 1 )
VM 2
w

8
= 2p
17
w

355

Modele de subiecte


SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. −4000 5p

2. 3 5p

o.
3. 1 5p
2

4.

5.
30

255
nf 5p

5p
ei
6. {2,3, 4} 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. 2k 6k 2 3p
a= ∈ N ⇒ 3a = =2 + ∈N
3k − 1 3k − 1 3k − 1

D2 = {1, 2} ,
w

1p
k =1 1p
w

2. 180 − m ( A ) 2p
m ( IBC ) + m ( ICB )
= =
w

2

180 − 80
m ( BIC ) =
180 − = 1p
2

= 130 , deci măsura unghiului căutat este 180 − 130 =
50
2p

3. Trasarea sistemului 2p

Reprezentarea funcţiilor 3p

356

Modele de subiecte

4. x 3x 1p
a) x numărul elevilor clasei, blonzi, şateni
4 4

x 1 3 x 1 11x
⋅ + ⋅ = 2p
4 2 4 5 40

11x
∈ N ⇒ x este multimplu de 40

ro
40 1p

x este 40 1p

o.
11 ⋅ 40 2p
b) elevi cu ochii albaştri = 11 ( 12,5% + 15% = )
27,5%
40
1p

nf
nu au ochii albaştri: 40 − 11 = , ( 100% − 27,5% =
29 )
2p
în procente: 72,5%
ei
-în paranteză este o altă rezolvare, care nu necesită rezultatul de la punctul
a)., care se punctează la fel, cu 5p in total.
at
5 a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) , 1p

1p
a 2 − c 2 = ( a + c )( a − c )
.m

1p
scoaterea factorului comun şi
2p
scrierea rezultatului ( a − b )( a − c )( c − b )
w

w

puncte)

1. a) forma lui f : f ( x= ax + b , a, b ∈ R, a ≠ 0
) 1p
w

2p
f (1) = 2 , f ( 0 ) = 3
2p
f ( x) = x + 3
−

b)din perpendicularitate rezultă că D ( 0,1) se găseşte pe graficul lui g 1p

2p
g ( 0 ) = 1 , g (1) = 2

357

Modele de subiecte

g ( x )= x + 1 2p

c) AB = 2 1p

1p
AC = 22 + 22 = 2 2 ,
2p

ro
AB ⋅ AC 2 ⋅2 2
= =
AABC =
2 2

=2 1p

o.
2. a) suma distanţelor este triplul laturii 3p

nf
latura are 3cm 2p

b) volumul cubului este 33 = 27cm3 2p
ei
27cm3 = mm3 = mm3 ,
27 ⋅1000 27.000 2p

1p
at
se poate construi din 27.000 cuburi

3 5 2p
c). Înălţimea unei feţe laterale
.m

2

3 5
3⋅ 2p
aria laterală: 4 ⋅ 2 =
w

2 1p

=9 5
w
w

358

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 4 5p

ro
2. 6 5p

3. 0 5p

o.
4. 3 5p
= 0,3
10

5. 432 2

nf 5p

6.
ei 5p
3 5

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

1. = 3= 4= 5k
x k, y k, z 3p
.m

x2 + y 2 =
z2 2p

2. 2p
w

2 a 3 a 3
R=⋅ =
3 2 3
w

1 a 3 a 3
r=⋅ = 1p
3 2 6
w

a 3
2 3 = R−r = ⇒ 1p
6

⇒a=
12 1p

3. P + P2 = ani
1 96 2p

P + P2 + P3 = ani
108 2p
1

1p
P3 = 12 ani

359

Modele de subiecte

4. a)punctele sunt necoliniare, câte două 2p

formează un pentagon convex/concav 1p

in total 10 drepte 2p

b) 4 puncte sunt coliniare 2p

ro
realizarea desenului 3p

5 numărul se împarte la 5 şi 9 1p

o.
y ∈ {0,5} 1p

1p
y =0 ⇒ ( x + 20 ) 9

y = ⇒ ( x + 25 ) 9
5

nf 1p
ei
( x, y ) ∈ {( 7, 0 ) , ( 2,5)} 1p
at
puncte)
.m

1. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2p
a) = − , = − ,..., = −
1⋅ 2 1 2 2 ⋅ 3 2 3 9 ⋅10 9 10

1 1 1 1 1 1
S1 = − + − + ... + − =
w

1p
1 2 2 3 9 10

1
=−
1 =
w

10 1p

9 1p
=
w

10

1 1 1 1 1 1 2p
b) = − ,...., = −
1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 2 ⋅ 3 9 ⋅10 ⋅11 9 ⋅10 10 ⋅11

1 1 1 1
S 2= − + ... + − = 1p
1⋅ 2 2 ⋅ 3 9 ⋅10 10 ⋅11

1 1 27
=− =
2 110 55 2p

360

Modele de subiecte

99 1 1p
c) = 1−
100 100

99 1 1 1 1 1
pornind invers =1 − + − + ... + − = 2p
100 2 2 3 99 100

1 1
= + ... + , are 99 membri
1⋅ 2 99 ⋅100

ro
2p

2. a3 2 4p
a) V = , a = 12cm

o.
12

123 2
=V = 144 2cm 1p

nf
12

b) în triunghiul VMN : G1G2 MN ( G1 , G2 centre de greutate în VAC şi VBC , 2p
M , N sunt mijloacele laturilor [ AB ] şi [ BC ] )
ei
VG1 G1G2 1p
=
at
VM MN

2
=
G1G2 = 4cm
MN
.m

3 2p

c) x, y, z , t distanţele de la feţe, aria unei feţe: 36 3 , 1p
w

2p
36 3
=V ( x + y + z + t ) 12 3 ( x + y + z + t ) ,
=
3
w

144 2 12 6 2p
x + y +=
z +t = = 4 6cm .
cm
12 3 3
w

a 6
(Obs.: caz general - x + y + z + t = , unde a este lungimea unei muchii)
3

361

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 16 5p

ro
2. 5 5p

3. 0 5p

o.
4. 1 5p

nf
5. 3 5p

6. 2 5p
3
ei
SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

1. 10a + b − 18 10b + a
= 1p
.m

a −b =2 2p

a = 7 , b = 5 , numărul este 75 2p
w

2. mediana care porneşte din unghiul drept este jumătate din ipotenuză 1p

lungimea catetei - 8cm 2p
w

aria triunghiului - 24cm 2 2p
w

3. 6 1p
=2 3,
3

2 3 = 12 , 3 2 = 18 2p
6
3 2> 2p
3

4. a)trasarea sistemului cartezian 2p

362

Modele de subiecte

reprezentarea grafică a funcţiei 3p

b) −3 x + 2 = 2 x − 3 3p

x =1 2p

5 AABCD 8= 8 A ,
= ADQP 2p

ro
2p
AAMNCPQ 8 A − 2 A
= =
AABCD 8A

o.
3 1p
=
4

nf
puncte)
ei
1. 1 1 1 2p
a) = 2 −1 , = 3 − 2 ,..., = 10 − 9
2 +1 3+ 2 10 + 9
at
S1= 2 − 1 + 3 − 2 + ... + 10 − 9= 1p
.m

= 10 − 1 2p

1− 2 1 2− 3 1 1 9 − 10 1 1 2p
b) = − 1, = − ,..., = −
2 2 6 3 2 90 10 9
w

1 1 1 1 1
S=
2 −1 + − + ... + − = 1p
2 3 2 10 9
w

1
= −1
2p
w

10

9 1 1 1 1 1 1 2p
c) − = −1
= −1+ − + ... + − =
10 100 2 3 2 100 99

1− 2 2− 3 99 − 100
= + + ... + , 2p
2 6 9900

S 2 are 99 membri.
1p

363

Modele de subiecte

2. a) BU = R ⇒ BM = 3
2 R 2p

= 2R
BC ( 3 + 1 12
= ) 2p

1p
= 3
R ( 3 − 1 cm)

ro
= =
b) BM R 3 3p

2p
= (9 − 3 3)cm

o.
(=
2R ) 3 2p
2

=
c) AUVW R2 3
4

= 
AABC
2R ( 3 +1  3
 )
= R2
2

(
nf
3 +1)
2
3
2p
4
ei
AUVW R2 3 1 1 2− 3 1p
= = = =
( ) ( ) 4+2 3
at
AABC R 2 3 + 1 2 3 3 +1
2
2
.m
w
w
w

364

Modele de subiecte

Varianta136 Prof Păcurar Cornel-Cosmin
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 9 5p

ro
2. 14 5p

3. 7,5 5p

o.
4. 9 3 5p

nf
5. 27 5p

6. 29 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at

Notează piramida
.m

1p

2. Fie x numărul mai mic ⇒ x + 8 este numărul mai mare 1p

x + x +8 1p
w

= 10
2
1p
2x + 8 =20
w

2p
x = 6 e numărul mai mic și 14 e numărul mai mare
w

3. A ( 3;3a ) ∈ G f ⇔ f ( 3) =
3a 2p

2p
(5 − a ) ⋅ 3 + 3 = 3a ⇔ 15 − 3a + 3 = 3a

Finalizare: a = 3

4. 9 2p
a)Se notează cu x pretul inițial al telefonului ⇒ x − 10% ⋅ x = ⋅ x este prețul
10
după prima ieftinire

365

Modele de subiecte

9 9 9  15  153 1p
⋅ x − 15% ⋅ ⋅ x = ⋅ x ⋅ 1 − = ⋅ x este prețul după a doua ieftinire
10 10 10  100  200

153
⋅ x= 153 ⇔ x= 200 2p
200

b) 200 − 153 =
47 1p

ro
p 3p
p % ⋅ 200 =47 ⇔ ⋅ 200 =47 ⇔ p ⋅ 2 =47
100

o.
1p
p = 47 : 2 = 23,5 ⇒ p % = 23,5%

nf
5  1
2 2p
x−  =
14
 x

1
ei
x2 − 2 + =
14 2p
x2
at
1
x2 + =
16
x2 1p
.m

puncte)

1. a)Notăm cu VABCD piramida și O centrul bazei ABCD ⇒ OA = cm
2 2 2p
w

VA2 VO 2 + AO 2
= 1p

2p
Finalizare: VO = 2 2 cm
w

b) Ab 4= 16 cm2
= 2 2p
w

Ab ⋅ h
VVABCD =
3
1p

32 2 3 2p
Finalizare: VABCD = cm
3

42 3 2p
c) AtVABCD = ⋅
4 + 42 = 3 + 16
16
4

366

Modele de subiecte

100 ⋅ AtVABCD = 1600 3 + 1600 1p

2p
3  1, 73 ⇒ 1600 ⋅ 3  2768 ⇒ 1600 ⋅ 3 + 1600  4368

2. a) 48 ha=480000 m2 5p

ro
= =
b) AB AE x 1p

x2
6 ⋅ A ABE = AABCD ⇔ 6 ⋅ = x ⋅ BC
2

o.
2p
3 ⋅ x 2 = x ⋅ BC ⇔ 3 ⋅ x = BC 1p

nf
⇒ BC =
3 AB 1p

c) AABCD 480000 ⇔ 3 x 2 480000
= = 1p
ei
x = 400 m ⇒ AB = AE = 400 1p
at
1p
⇒ BE = 2 m
400
2p
BE = 320000  565, 685 ⇒ BE  566 m
.m
w

w

Varianta137 Prof.Păcurar Cornel-Cosmin

SUBIECTUL I (30 de
puncte)
w

1. 8 5p

2. [3;7] 5p

3. 108 5p

4. 20 5p

5. 60 5p

367

Modele de subiecte

6. Marți și vineri 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)


Notează prisma 1p

ro
2. Fie x numărul cărților de literatură ⇒ 12 − x e numărul cărților de 2p
matematică

o.
14 x + 8 ⋅ (12 − x = 144 ⇔ 14 x + 96 − 8 x 144 ⇔ 6 x 48
) = =
2p

nf
Finalizare: x = 8
1p

3. Reprezentarea corectă a unui punct care aparține graficului funcției 2p
ei
Reprezentarea corectă a altui punct care aparține graficului funcției 2p

Trasarea graficului funcției
at
1p

4. 20 1p
a) 20% ⋅ S= ⋅ S lei cheltuiește în prima zi
.m

100

30
30% ⋅ x
= ⋅ x lei cheltuiește a doua zi 1p
100
w

1 25
⋅x
= ⋅ x lei cheltuiește a treia zi
4 100 1p
w

20 25 30
Evident 20  25  30 ⇒  
100 100 100
1p
w

⇒ persoana cheltuiește cel mai puțin în prima zi
1p

20 30 25 2p
b) ⋅S + ⋅S + ⋅ S + 100 =S
100 100 100
1p
⇔ 20 S + 30 S + 25S + 10000 =
100 S
1p
75S + 10000 =
100 S
1p
25S 10000 ⇔= 400 lei
= S

368

Modele de subiecte

5 x 2 + x − 20 = x 2 + 5 x − 4 x − 20 = x ( x + 5 ) − 4 ( x + 5 ) = ( x + 5 )( x − 4 ) 2p

x 2 − 9 x + 20 = x 2 − 5 x − 4 x + 20 = x ( x − 5 ) − 4 ( x − 5 ) = ( x − 5 )( x − 4 )
2p
x + x − 20 ( x − 4 )( x + 5 ) x + 5
2
= =
x 2 − 9 x + 20 ( x − 4 )( x − 5 ) x − 5 1p

ro
puncte)

o.
1. a) BD '= L2 + l 2 + h 2 2p

3p
=
BD ' 102 + 62 + 3=
2
100 + 36 + = =

nf
9 145 3 15 m

b) Alaterală = Pbazei ⋅ h = 32 ⋅ 3 = 96 m2
ei
Pbazei= 2 ( L + l )= 2 (10 + 6 )= 32 m
1p

Abazei = L ⋅ l = 10 ⋅ 6 = 60 m2
at
1p
Alaterală + Abazei = 96 + 60 = 156 m =15600 dm
2 2

1p
.m

= =
Aplăci 402 1600 cm2=16 dm2

15600 :16 = 975 numărul de plăci de gresie 1p
w

975 : 25 = 39 numărul de cutii de gresie 1p
w

c)Fie x dm înălțimea până la care se ridică apa în bazin 1p

L = 10 m=100 dm,l=6m=60 dm 1p
w

Vapei = L ⋅ l ⋅ x = 100 ⋅ 60 ⋅ x = 6000 ⋅ x 1p

1p
6000 ⋅ x 150000 ⇔ x 150000 : 600
= =
1p
x = 25 dm=2,5 m

2. a) Fie O mijlocul lui 1p
DC 80
[CD ] ⇒ R = OD = OC = = = 40 m Lsemicerc π= 40π m
= R 2p
2 2

1p

369

Modele de subiecte

AD+AB+BC=40+80+40=160 1p

⇒ lungimea gardului este de 40π + 160 m

π R2 π ⋅ 40 800π
b) ⇒ Asemicerc = : 2 = 2 : 2 = m2 1p

1p
AABCD = 80 ⋅ 40 = 3200 m2

ro
1p
Agrădină 3200 + 800π m2
=
1p

o.
π  3,14 ⇒ 800π  2512 ⇒ 3200 + 800π  5712
1p
⇒ Agrădină  5712

c)  ABC ⇒ AC = 802 + 402 =

nf
6400 + 1600 = 8000 = 40 5 m 2p
ei 1p
 EOC ⇒ EC = 2
40
1p
Q mijlocul lui [ AB ] ,  AEQ ⇒ AE = 5
40
at
1p
AC + CE + AE= 40 5 + 40 2 + 40 5= 80 5 + 40 2= 40 2 5 + 2 ( )
.m
w

w

Varianta138 Prof.Păcurar Cornel+Cosmin

SUBIECTUL I (30 de
puncte)
w

1. 208 5p

2. 6 5p

3. 2; 4 5p

4. 72 5p

5. 90 5p

370

Modele de subiecte

6. 13,1 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)



ro
2. 2a − b − 5c = 12 ⋅ 2 ⇒ 4a − 2b − 10c = 24 2p

o.
2p
a + 5b + 9c = 21 ⋅ 3 ⇒ 3a + 15b + 27c = 63

Prin însumarea relaţiilor 4a − 2b − 10c = şi 3a + 15b + 27c =
24 63

nf
1p
⇒ 7 a + 13b + 17c =
87

3.
ei
Fie x numărul de pagini citite în prima zi ⇒ x + 5, x + 10, x + 15, x + 20 1p
reprezintă numărul de pagini cititite a doua ,a treia ,a patra, respectiv a cincea
zi
at
x + x + 5 + x + 10 + x + 15 + x + 20 230 ⇔ 5 x + 50 230
= = 2p

5 x= 180 ⇔ x= 36 1p
.m

36,41,46,51,56 reprezintă numărul de pagini citite în cele cinci zile

41 e număr prim,deci a doua zi numărul de pagini citite de Victor reprezintă 1
un număr prim
w

4. a)Reprezentarea corectă a unui punct care aparţine graficului funcţiei f 2p
w

Reprezentarea corectă a altui punct care aparţine graficului funcţiei f 2p

w

b) f ( 0 ) = 4 ⇒ G f ∩ Oy = A ( 0; −4 )}
− { 1p

g ( 0 ) = ⇒ Gg ∩ Oy = B ( 0; 4 )}
{
1p
4

f ( x ) = ( x ) ⇔ x − 4 = 3x + 4 ⇔ 4 x = ⇔ x =
g − 8 2
f ( 2 ) = −2
1p
G f ∩ Gg
= {C ( 2; −2 )} , D ( 0; −2 )

371

Modele de subiecte

CD ⋅ AB 2 ⋅ 8
A =
ABC = = 8
2 2
2p

5 a =+ 2 6 + 2 − 6 − 2 − 6 + 6
3 3p

⇒ a =9 ∈  2p

ro
puncte)

o.
1. 3 3 2p
a)  DEF echilateral de latură 3,fie DQ ⊥ EF , Q ∈ EF ⇒ DQ =
2

nf
Cum prisma este dreaptă ⇒ ( BCF ) ⊥ ( DEF ) 1p
ei 2p
⇒ DQ ⊥ ( BCF ) ⇒ d ( D, ( BCF ) ) = DQ =
3 3
2
at
b) Vcort = Ab ⋅ h = A ABC ⋅ CF 2p

l 2 3 32 3 9 3 2
= = =
.m

A ABC m
4 4 4 2p

9 3 1p
= =
Vcort A ABC ⋅ = 9 3 m3
4
4
w

c) Al = Pb ⋅ h = 3 ⋅ 3 ⋅ 4 = 36 m2 5p
w

9 3
At = Al + 2 ⋅ Ab = 36 + 2 ⋅
4
w

243
At =+
36 =+ 60, 75  36 + 7,8
36
4

At  43,8  44 ,deci sunt suficienţi 44 m2

2. a) PABCD = ( 28 + 14 ) = ⋅ 42 = m
2 2 84 3p

2p
Lungimea gardului = PABCD − ( BG + GE ) = 84 − (10 + 8 ) = 84 − 18 = 66 m

372

Modele de subiecte

b) AABCD = AB ⋅ BC = 28 ⋅14 = 392 m2 2p

ABGFE = ⋅ BG =⋅10 = 80 m2
BE 8 2p

1p
Aria curţii = AABCD − ABGFE = 392 − 80 = 312 m2

c)Din teorema lui Pitagora în 1p

ro
 ABC ⇒ AC 2 = AB 2 + BC 2 =196 + 784 = 980 ⇒ AC = 14 5
1p
 EFC ⇒ FC 2 = EF 2 + EC 2 = 100 + 400 = 500 ⇒ FC = 10 5
1p

o.
 AGF ⇒ AF 2 = AG 2 + GF 2 =16 + 64 = 80 ⇒ AF = 4 5

⇒ AF + FC = AC ⇒ A, F , C coliniare

nf
2p
ei
at
.m
w
w
w

373

Modele de subiecte

Varianta 139 Prof. Valer Pop
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 67 5p

ro
2. {1,2,3,4,6,12} 5p

3. 4 5p

o.
7

4. 36 5p

5. 12

nf 5p

6. 144
ei 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

1. Construcţia figurii 4p
.m

Notarea figurii 1p

2. A doua maşină transportă 3600:3=1200 kg de zahăr 3p
w

Cele două maşini transportă 4800 kg de zahăr 2p

3. f(x)=g(x) , 1p
w

rezultă x+2=2x-3, de unde x=5, rezultă a=5 2p
w

f(a)=a+2=5+2=7, rezultă b=7 2p

4. a) Un termen al şirului este de forma 7k+2, k ∈  3p

107 = 7∙15+2, deci aparţine şirului 2p

b) Se pot cumpăra maximum 3 stilouri 1p

Răspuns: 3 cărţi şi 2 stilouri 4p

5 ( x − 2) 2 = x 2 − 4 x + 4 1p

374

Modele de subiecte

( )
x ( x − 2 ) + 2 3x 2 − 1 − 5x = x3 + 2 x 2 − x − 2
2 2p

1p
( x − 1)( x + 1) (x + 2) = + 2 x 2 − x − 2
x3
1p
Finalizare

ro
puncte)

1. a) BC=CD=DA=10m 1p

o.
P ABCD =56m 3p

nf
28 de stâlpi 1p

b) Gardul costă 1400 de lei 3p
ei
Pentru muncitor se plăteşte suma de 252 de lei 2p

c) A ∆ABC =120 m2 3p
at
4 pachete de sămânţă de gazon 2p
.m

2. h 3 2p
a) Fie h înălţimea piramidei şi H înălţimea prismei. Avem = şi
H 5
h+H=2,4 m=24 dm ,
w

rezultă h=0,9 m=9 dm 3p

b) Apotema piramidei este de 95 dm 1p
w

2p
Aria totală a piramidei: 16( 4+ 95 ) dm2
w

1p
Aria totală a prismei: 608 dm2
1p
Aria totală a ornamentului: 16(42+ 95 ) dm2

c) Volumul piramidei este de 192 dm3 1p

Volumul prismei: 960 dm3 1p

Volumul ornamentului: 1152 dm3 1p

Masa ornamentului: M = V ⋅ ρ = 1152 ⋅1,5kg / dm3 = 1728kg 2p

375

Modele de subiecte


SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. 6 5p

2. 36 =6 5p

o.
3. 14 5p

nf
4. 9 cm 5p

5. 64 cm3 5p
ei
6. 11 elevi 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. Figura 4p

Notarea figurii 1p

2. 190 de elevi la gimnaziu 3p
w

376 de elevi în şcoală 2p
w

3. f(1) = -1, rezultă A ∈ G f 3p

2p
f(5) = 6, rezultă B ∉ G f
w

4. a) 67 = 13∙5+2 5p

b) 7∙6 + 6∙5 = 72 > 69, rezultă că nu ajung bomboanele 5p

5 E(x) = 9 ∈  4p

E(x) nu depinde de x 1p


376

Modele de subiecte

puncte)

1. a) A ABCD = 864m2 2p

P ABCD =120m 3p

b) Aria maximă de teren pe care o poate paşte calul este aria unui cerc cu raza 2p
de 9m.

ro
3p
Aria cercului este 81π m2 ≈254,34 m2

o.
254,34 30 5p
c) <
864 100

nf
2. L l i 1p
a) = = = k ⇒ L = 4k , l = 3k , i = 2k
4 3 2

3
ei
Fie d diagonala bazei . Avem d 2 = L2 + l 2 = 16k 2 + 9k 2 = 25k 2 = 9 ⇒ k = . 2p
5
2p
Dimensiunile rezervorului sunt: L = 2,4 m, l = 1,8 m, i =1,2 m.
at
.m

b) Volumul rezervorului V = Lli = 2, 4 ⋅1,8 ⋅1, 2 = 5,184m3 . 3p

Apa din rezervor are masa de 5184 kg . 1p
w

Rezervorul plin cu apă are masa de 5700 kg. 1p

c) Rezervorul plin conţine 5184 l de apă. 1p
w

75% din capacitatea rezervorului este de 3888 litri . 2p

Se poate uda o suprafaţă de 486 m2 de teren.
w

2p

377

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. x=3 5p

ro
2. 33 lei 5p

3. 80 lei 5p

o.
4. 180 cm2 5p

nf
5. 900 5p

6. Anul 2008 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Figura 4p

Notarea figurii 1p
.m

2. A = {4,5,6,7,8} 4p

A∩[2;8) = {4,5,6,7} 1p
w

3. 16,(6) kg 5p
w

4. a) 2f(x)+3 = -2x+9 1p

g(x)-2 = 2x-3 1p
w

rezultă ecuaţia -2x+9 = 2x-3 cu soluţia x=3 3p

b) - f(-3) = -6 1p

g(-2) = -5 1p

Rezultă propoziţia -6>-5, propoziţie falsă 3p

5 Se găseşte n=5 2p

378

Modele de subiecte

Se găseşte x=6 3p

puncte)

1. a) Volumul silozului 1728 m3 1p

ro
Volumul grâului din siloz: 1555,2 m3 1p

Volumul lăzii unui camion : 11,52 m3 2p

o.
Numărul de transporturi: 135 1p

b) 933,12 tone 5p

c) 419.904 lei

nf 5p

2. a) OC=OB=30 m
ei 1p

AB=72 m 1p
at
A AOCD = 1260 m2 , Aria sfertului de cerc este 225 π m2 2p

Aria terenului: (1260+225 π ) m2 1p
.m

b) (144+15 π ) metri 5p

c) A ABD = 1080 m2 1p
w

Aria terenului este de aproximativ 1966,50 m2 1p
w

Aria cultivată cu trandafiri este de aproximativ 886,5 m2 2p

Aproximarea prin lipsă de 1m2 este de 886 m2 1p
w

379

Modele de subiecte



SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. 3 2 5p

2. 1 5p

o.
3. 0 5p

nf
4. 12 cm 5p

5. 50 cm2 5p
ei
6. 9% 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. Desenul 4p

Notaţia figurii 1p

2. Preţul televizorului după ieftinire: 544 de lei 2p
w

Preţul maşinii de spălat: 1280 de lei. 1p
w

Preţul maşinii de spălat după scumpire: 1344 de lei . 1p

Preţul celor două obiecte: 1888 de lei. 1p
w

3. |1 − 3 |= 3 − 1 1p

1p
12 = 2 3
3p
Rezultatul: 0

4. a) Notăm: x – nr. metrilor de stofă pentru uniforma de fată

y - nr. metrilor de stofă pentru uniforma de băiat 1p

380

Modele de subiecte

5 x + 8 y =
34
Avem sistemul 
9 x + 6 y =
36
1p
Rezolvarea sistemului şi soluţia x 2, y 3 .
= =

Pentru o uniformă de băiat sunt necesari 3m de stofă. 2p

ro
1p

b) O uniformă de fată şi 3 uniforme de băiat 3p

o.
sau 4 uniforme de fată şi o uniformă de băiat. 2p

nf
5 Ecuaţia: f ( x) = 2 x , adică − x + 6 = x
2 2p

Soluţia ecuaţiei : x = 2 2p
ei
Aflarea coordonatelor lui M: M(2;4) 1p

at
puncte)

1. a) A EBCDGF =A ABCD – A AEFG 2p
.m

A EBCDGF = 1728 – x2 3p

b) A AEFG = A ABCD :3 = 576 m2 3p
w

x = 24 m 2p

c) 575 m2 = 5,76 ari
w

2p

5,76∙1200 = 6912 Euro 2p
w

6912∙ 4,20 = 29.030,4 lei 1p

2. a) Volumul vasului: 96.000 cm3 2p

Aria bazei vasului: 1600 cm2 2p

Înălţimea vasului: 60 cm. 1p

b) Dacă introducând cubul în vas, nivelul apei se ridică în vas cu 5 cm
rezultă că volumul cubului este echivalent cu al unui paralelipiped
dreptunghic cu dimensiunile: 40 cm, 40 cm , 5cm. 2p

381

Modele de subiecte

Volumul cubului: 8000 cm3. 2p

Muchia cubului are lungimea de 20 cm. 1p

c) Aria laterală a vasului: 9600 cm2 2p

Aria totală a cubului: 2400 cm2 2p

ro
Raportul este egal cu 4 1p

o.
nf
ei
at
.m
w
w
w

382

Modele de subiecte

Varianta 143 Prof. Popa Camelia Sanda
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 3 5p

ro
2. 35 5p

3. b 5p

o.
4. 81 π 5p

nf
5. 36 5p

6. 7 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at

Notează prisma 1p
.m

2. x − nr.carti; y − nr.rafturi 2p

50 y + 10 =
 x
w


60 ( y − 4 ) =
 x
w

x = 70carti 3p

3. −3 ≤ 2 x − 1 ≤ 3 ⇒ A = [ −1;2] 2p
w

4X − 3  3 
−3 ≤ ≤ 3 ⇒ B =  − ;3
3  2  2p

A B = [ −1;2] 1p

4. a) Alegerea corectă a două puncte care aparțin graficului 4p

Trasarea graficului funcței 1p

383

Modele de subiecte

b) f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( n ) − 2n = + n ( n + 1) − 2n = 2
n n 3p

2p
n ∈ N ⇒ n 2 =n ∈ N

5 5x − 2 2p
E ( x) =
x
2p

ro
2 x ≤ 16 ⇒ x ≤ 8 ⇒ x ∈ {0;1;...;8}
1p

x ∉ {0;3} ⇒ x ∈ {1;2;4;5;6;7;8}

o.
puncte)

1. a) Aint. = 222m 2

nf 5p
ei
b) Vapa = 2,1m3 4p

1p
Vapa = 21hl
at
= 15m; lext . 6m
c) Lext . = 2p
.m

2p
= 280m3 ;Vext . 360m3
Vint. =
1p
p = 77, ( 7 ) %
w

2. a) SQ = 13m 2p
w

PSNPQ = 70m 3p
w

b) S SMQ = 30m 2 2p

2p
30 ⋅15 =
450kg
1p
450 : 5 = 90cutii

c) S MNPQ = 100m 2 3p

2p
cost final=1320 lei

384

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 22 5p

ro
2. -6 5p

3. 2 5p

o.
4. 120 5p

nf
5. 48 5p

6. 105 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at

.m

2. a b 1p
=
11 4
1p
w

= 2b + 30
a
2p
a = 110
w

1p
b = 40
w

3. a+b =60 1p

a 1p
= 2,75
b
1p
= 44; b 16
a =
1p
x -numărul de ani; 44 − = 3 (16 − x )
x
1p

x=2

385

Modele de subiecte

4. a) f (1) = 3a + 1; f ( −1) = a + 1 2p

2p
3a 2 + 4a − 7 =0
1p
 7

ro
a ∈ 1; − 
 3

b) Aflarea coordonatelor a două puncte situate pe grafic și trasarea graficului 2p

o.
MN ⊥ AB ⇒ d ( M , G f ) =
MN 1p

nf
1p
A MAB = 12
1p
AB ⋅ MN
=
A MAB ⇒ MN 4 2
=
ei
2

5 ( x + 2) − ( x + 2) 2p
3
at
1p
( x + 2 ) ( x + 2 ) − 1
2
 
.m

2p
Finalizare

w

puncte)

1. a) V = l 3 ⇒ V = 8m3 = 8000l 3p
w

8000 : 250 = 32zile 2p
w

b) A = 5l 2 ⇒ A = 20m 2 2p

20 ⋅ 2 =40l 2p

40 : 4 = 10cutii 1p

c) d= l 3 ⇒ d= 2 3 3p

2p
2 3m < 3,5m ⇒ nu se poate scufunda

386

Modele de subiecte

2. CE = 20m 2p
a)
EF 36 − x
=
3p
ACDEF 720 − 20 x m
= 2

b) AABGE = 1296m 2 2p

ro
720 − = 30 0 0 ⋅1296
x 2p

1p
x = 16,56

o.
c) Agard = 216m 2 3p

2p

nf
216 ⋅ 25 =
5400lei
ei
at
SUBIECTUL I (30 de
puncte)
.m

1. 1 5p

2. 210 5p
w

3. 180 5p
w

4. 8 5p

5. 138 5p
w

6. 250 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)


Notează prisma 1p

2. a −b =
120 1p

387

Modele de subiecte

= 5= 3c2
a c1; b 1p

c1 20 + c2
= 1p

1p
5c1 − 3c2 =
120
1p
= 150; b 30
a =

ro
3. x − nr.adulti, y − nr.copii ⇒ x + y =630 1p

o.
25 x + 10 y =
9525 1p

= 215; y 415
x = 3p

4. a) x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3)
2

nf 2p

1
ei
E1 ( x ) =
x+3 3p
at
b) x 2 − 9 = ( x + 3)( x − 3) 1p

2p
.m

1 x
E2 ( x ) =
2 x+3 2p

x ∈ {−6; −4; −2}
w

5 f ( a 2= 3a + 1
) 1p
w

2p
2a 2 − 3a − 2 =0
2p
 1
a ∈ 2; − 
w

 2

puncte)

1. a) V Ab ⋅ h
= 2p

3p
V = 2m3

b) VM ⊥ AD;VN ⊥ BC ⇒VMNechilateral ⇒ VM =
2m 2p

388

Modele de subiecte

Pb ⋅ a p 1p
Al =
2
2p
Al = 8m 2

c) 1p

ro
4 3 400 3
Vrezervor = V piramida + V prisma = ( + 2)m3 = ( + 2000)litri 2p
3 3
2p

o.
200 3
=
Vrezervor : 20 + 100  215, 45 min
3

2. A  x 
a)  AEF =  
A ABC  400 
2

nf 3p
ei
3x 2
A AEF =
at
8
2p

1 1p
.m

=
b) A AEF ( A ABC − A AEF )
3
4p
x = 200m
w

= 15000m 2 1,5ha
c) A AEF = 2p

1p
mgrau = 22,5kg
w

1p
pret grau = 135lei
w

1p
pret final = 108lei

389

Modele de subiecte


SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. 5 5p

2. 10 5p

o.
3. 13 5p
30

4.

5.
40

nf 5p

5p
3
ei
6. 24 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m


Notează prisma 1p
w

2. d = i ⋅ c + r, r < i 1p

2168 =i ⋅ c1 + 23, 23 < i 2p
w

⇒ i > 37
2039 = ⋅ c2 + 37,37 < i
i

i = 143
w

2p

3. 9(a − b)= a (a − b) 2p

3p
a = b = ⇒ ab =
9, 5 95

4. a) 2a 2 − 3a + 1 =0 2p

1 
a ∈  ,1
2 

390

Modele de subiecte

3p

b) f ( x ) 2 x − 2
= 1p

2p
Alegerea corectă a două puncte care aparțin graficului
2p
Trasarea graficului funcței

ro
5 ( x + 2) −x−2= ( x + 2 )( x + 3)( x + 1) 1p
2

o.
1p
x2 + 5x + 6 = ( x + 2 )( x + 3)
2p
E ( x )= x + 1

nf
1p
n ∈ N ⇒ E (n) ∈ N
ei
puncte)
at
1. a) At Al + 2 Ab
= 1p

2p
Al = 18000cm 2
.m

1p
Ab = 3600cm 2
1p
w

At = 21600cm 2

b)   AD′, ( ABC )  ≡ D′AD
 
2p
w

2p
AD′ = 15 41
w

1p
5 41
sin D′AD =
41

c) Vg = 0, 27 m3 2p

3p
0, 27 ⋅ 200 =
54 puieti

2. a) a) S p = 225cm 2 2p

2p

391

Modele de subiecte

S f = 4500000cm 2 1p

20000 pietre

b) V p = 675cm3 2p

3p

ro
Vtotal = 13,5m3

c) 13,5 ⋅ 20 =

o.
270lei 2p

270 − 15% ⋅ 270 = lei
229,5 3p

nf
ei
at
.m
w
w
w

392

Modele de subiecte

Varianta 147 Prof Raţ Cristina
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 1 5p

ro
2. 60 5p

3. 4 5p

o.
9

4. 24 5p

nf
5

5. 100 5p
ei
6. 13 5p
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)

Desenează piramida
.m

1. 4p

2. 3 4 1 3p
Mg(x,y)= ( ⋅ 0, (1) + ⋅ 0,1 − )(1,5 ⋅ 4)
w

4 3 15
2 2p
Finalizare Mg(x,y)=
2
w

3. 2 x + 4 ≥ 3x + 2 → x ≤ 2 3p
Finalizare x={0,1,2} 2p
w

4. a) Scrierea corectă a ecuaţiei din care se află preţul iniţial 2p
Rezolvarea corectă a calculelor 2p
Finalizarea preţul iniţial=200 lei 1p

b) Scrierea corectă a ecuaţei din care se află preţul dupa a prima scumpire 2p
Rezolvarea corectă a calculelor 2p
Finalizarea preţul după a prima scumpire=220 lei 1p

5 Înlocuirea lui x cu 2 3p
Finalizarea E(2)=8 2p


393

Modele de subiecte

puncte)

1. L l h 1p
a) = = = K
6 4 8
L + l 2 + h2 =
2
1044 1p
1p
116 K =
2
1044 → K 2 =9 → K =3
2p
Finalizare L=18, l=12, h=24

ro
b)= 2 Lh + 2lh
Al 2p
Finalizare Al=1440 m 2 3p

o.
c) x 0,5l ⋅1440m 2
= 2p
→ 60 cutii de vopsea(720 litri in cutii de 12l vopsea) 1p
60 ⋅ 50 = lei
3000 2p

nf
2. a) Adreptunghi= 10 ⋅ 20 = 2
200m 1p
πR 2
A semicerc= 2p
2
ei 2p
A= A dreptunghi-A semicerc=43 m 2

b) Perimetrul=60 cm 2p
at
Lungimea celor 4 semicercuri 62,8 m 2p
Finalizare suma celor 2=122,8 m 1p

c) 157 m 2 : 10 m 2 =15,7 m 2 rezulta 16 m 3 5p
.m
w
w
w

394

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 0 5p

ro
2. 3 5p

3. x=1 5p

o.
4. 20 cm 5p

nf
5. 216 5p

6. 8,11 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Desenaţi cubul 4p
Notaţi cubul 1p
.m

2. a b c 2p
= = = K
2 3 4
Înlocuim a,b,c in relaţia dată: 4 K 2 + 9 K 2 + 16 K 2 = 261 → K = 3 2p
Finalizare a=6,b=9,c=12 1p
w

3. x=1 2p
y=2 3p
w

4. a) a+b=6 2p
f(0)=4 → b =4 2p
a=2 1p
w

b)f(x)=2x+4 2p
2x+4=8 → x =2 3p

5 x=8 1p
y=2 1p
x+y=10 1p
20% ⋅ 10=2 2p

puncte)

395

Modele de subiecte

1. a) Perimetrul ABCD=32 m 1p
l 2 1p
= = 4 2
OB
2
1p
VB= 41 2p
Finalizare L=57,6 m <60

b)Al=4 ⋅ AVBC 1p
BC ⋅ VM

ro
Calculul ariei lui VBC folosind formula 2p
2
2
Finalizare Al= 80 m
2p

o.
c) T=2L 1p
Aflarea lui T=20 lei 1p
Finalizarea L=10 lei 3p

2.
Aromb =
d1 ⋅ d 2
2
nf
a)MNPQ=romb (diagonale perpediculare) 2p

1p
ei
l
Diagonala2= ( linie mijlocie  AMB ) 1p
2
Finalizare A=16 m 2
at
1p

b) Aparchet=48 m 2 2p
48:2=24 pachete 1p
.m

24 ⋅ 75=1800 lei 2p

c) 16 ⋅ 25=400 lei(gresie) 2p
12 ⋅ 60=720 lei(parchet) 2p
Finalizare 720+400=1120 lei 1p
w
w
w

396

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. {5,8} 5p

ro
2. 35 5p

3. 29 5p

o.
9

4. 7 2 5p

5. 21 cm 3

nf 5p

6. 4
ei 5p
3
at
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
.m

1. Desenţi paralelipipedul 4p
Notaţi paralelipipedul 1p

2. Factor comun 6n 2p
E= 6n (2+36-15), E= 6n ⋅ 22 2p
w

E 11 1p

3. x=2 3p
w

y=5 2p

4. a) Scoaterea factorilor de sub radical 3p
w

Finalizare x+y=0 2p

b) calculul lui x,x=14 3 − 15 2 2p
3p
calculul lui y,y=15 2 − 14 3

5 f(-1)=-1 2p
f(3)=11 2p
Finalizare -11 1p

puncte)

397

Modele de subiecte

1. a) Al=2( Lh+lh)=192 m 2 3p
1m 2 conine 2 plăci → 192 ⋅ 2 = plăci
384 2p

b) 384 ⋅ 15 lei=5760 lei 5p

c)384:16=24 pachete 1p
Calculul volumului=8m 3 2p
24 ⋅ 8=193 m 3 , 200 m 3 2p

ro
2. a)3 rânduri de locuri de parcare si 2 culoare 1p
36:1,5=24(locuri pe un rând) 2p
24 ⋅ 3=72(locuri în total)

o.
2p

b)Aria dreptunghiului =396 m 2 1p
suprafaţa ocupată de locurile de parcare 36 ⋅ 2 ⋅ 3=216 m 2 2p

nf
396-216=180 m 2 suprafaţa culoarelor 2p

c)15 ⋅ 1=15 lei in prima oră 1p
numărul de maşini din a doua oră = 10 , 10 ⋅ 1=10 lei in a doua oră 1p
ei
72 ⋅ 1=72 lei in a treia oră 1p
Suma : 72+10+15=97 lei 2p
at
.m
w
w
w

398

Modele de subiecte


Varianta 150 Prof.RICU ILEANA

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 2,01 5p

ro
2. A ∩ B =−1;1]
[ 5p

o.
3. 26620000 locuitori 5p

4. 72m2 5p

5.

6.
40cm2

3 ore
nf 5p

5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
Notează prisma 1p
.m

2. Not.cu a,a+2,a+4cele trei numere naturale impare consecutive ⇒ 1p
a + ( a + 2) + ( a + 4) =
2 2 2
155
2p
a =5 ∈  ⇒ 5;7;9
⇒ a + 4a − 45 =  1
0⇒
w

2

a2 =−9 ∉  2p

3. 2 x = 3 y 3p
w

 2 x = 3 y
x y ⇒
2 + 2 = 20  x + y = 40
 2p
w

Finalizare x=24˚; y=16˚

4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul functiei f 2p
Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul functiei f 2p
Trasarea graficului functiei 1p

b) G f ∩ Ox =( 2;0 )}
{A 1p
1p
G f ∩ Oy
= {B ( 0; −4 )}
AB = OA2 + OB 2 = 2 5 2p
OA 2 5
sin α
= = = 1p
AB 2 5 5

399

Modele de subiecte

5
E ( x) =
( x + 5 + x − 5)( x + 5 − x + 5) 10 x 2p
4 x + 20 x + 25 + 4 x − 20 x + 25 4 x 2 + 25
2 2

1
Presupunem ca E ( x ) ≤ , ∀x ∈ 
2 2p
10 x 1 20 x − 4 x 2 − 25
⇔ ≤ , ∀x ∈  ⇔ ≤ 0, ∀x ∈  ⇔
4 x 2 + 25 2 4 x 2 + 25
( 2 x − 5)

ro
2

− ≤ 0, ∀x ∈  Este adevarata ∀x ∈  1p
4 x 2 + 25


o.
puncte)

1. 7,5 ⋅ 3 2p
=
a) A AHE = 11, 25m 2

nf
2 2p
⇒ 11,25m ˑ50kg=562.5kg vinete
2

562.5kgˑ 2lei=1125 lei 1p
ei
2,5 ⋅ 3 2p
=
b) A AHB = 3,75m 2
2 2p
⇒ 3,75m ˑ45kg=168,75kg ardei
2
at
168,75kgˑ 1,5lei=253,125 lei 1p

c) ABEDC = 10 ⋅ 3 = 30m 2 2p
.m

pBEDC = 10 ⋅ 2 + 13 ⋅ 2 = 26m lungimea gardului 2p
30m2 : 1m2=30 păsări maxim 1p

2. a) pr( ADD′) ( BD′ ) = AD′ ⇒  ( BD′; ( ADD′ ) ) = AD′B 1p
w

În  AD′B ( m ( D′AB ) = 90 ) calculăm tg ( AD′B )
AB
= ( ∗) 1p
AD′
În  ADD′ ( m ( ADD′ ) = 90 ) ⇒ AD′ = 100 + 2025 = 5 85
T . Pitagora
2p
w

2 85
Înlocuim în rel.(*) ⇒ tg ( AD′B ) = 1p
85
w

3 3 2p
b)Înălţimea apei în vază este de din AA′ ⇒ ⋅ 45 = cm
33,75
4 4
Vapei = Abazei ⋅ h= 100 ⋅ 33,75= 3375cm3= 3,375dm3= 3,375l 3p

c) V1= VABCDA′B′C ′D′= Abazei ⋅ h= 100 ⋅ 45= 4500cm3= 4,5dm3= 4,5l se pot pune în 2p
vază
⇒ 4,5litri - 4litri=0,5litri = 0,5dm3 = 500cm3 este volumul bilei introduse 2p
4π r 3 375 3
⇒ = 500 ⇒ r 3= ⇒ r= 5 3 1p
3 π π

400

Modele de subiecte


Varianta 151 Prof.RICU ILEANA

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 4 5p

ro
3

2. 10236 5p

o.
3. 210 g 5p

4. OC=16 5p

5. 81cm2

nf 5p
ei
6. 9 capitole 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

.m


2. a 2 + b 2 = ( a + b ) − 2ab = 3p
2

1 1 49
25 − 2 ⋅ = 25 − = 2p
w

4 2 2

3. x=bile rosii;y=bile galbene 3p
w

 x = 5= 5= 45
 y x y x
 ⇔ ⇔ 2p
 x − 5 4 ( y + 1)
 = 5 y − 5 = 4 y + 4 y = 9
w

4. a) Reprezentarea corectă a unui punct de pe graficul functiei f 2p
Reprezentarea corectă a altui punct de pe graficul functiei f 2p
Trasarea graficului functiei 1p

  3  1p
b) G f ∩ Ox = ;0  
A
  2 
Gg ∩ Ox =( 6;0 )} ⇒ AB =OB − OA = 6 −
{B 3 9
= 1p
2 2
G f ∩ Gg =( 3;3)}
{C 2p
AB ⋅ yC 27
=
A ABC = 1p
2 4

401

Modele de subiecte

5 a b c 2p
= = = k si 2b=9d ⇒
2 3 4
2 2p
a=2k;b=3k;c=4k; d = k
3
40 2 625 2
Calculam 2a2 + b2 + 3c2 + 10d2=65k2+ k = k 1p
9 9

ro
puncte)

o.
1. a)Calculam AC=10m 2p
Perpendiculara dusă din B pe AC intersectează A′C ′ in B′′ si pe AC in B′ ⇒
AB ⋅ BC
BB′
= = 4,8m şi BB′′ = 3,8m 1p
AC

nf
A′B BC ′ A′C ′ BB′′
 A′BC ′  ABC ( A′C ′  AC ) ⇒ = = = ⇒ A′B = 3,8m si 1p
AB BC AC BB′
B′C = 4, 75m
1p
Finalizare:Lung.gard.=22,55m
ei
b)Calculam A

Barem Culegere evaluare nationala 2012

Barem Culegere evaluare nationala 2012

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Barem Culegere evaluare nationala 2012

Recently uploaded

Barem Culegere evaluare nationala 2012