Calcul de arii si volume in piramide -triunghilara regulata,patrulatera regulata ,hexagonala regulata

1. PIRAMIDA REGULATĂ
Prof. ION GETA

2.  C1 – recunoaşterea şi descrierea unor proprietăţi ale piramidelor
regulate
 C2– folosirea instrumentelor geometrice adecvate pentru
reprezentarea, prin desen, în plan, a piramidelor regulate
 C3 – calcularea ariei şi volumului piramidelor regulate
 C4 – clasificarea piramidelor regulate după numărul de muchii
 C5 – exprimarea proprietăţilor piramidelor regulate în limbaj
matematic
 C6–analiza şi interpretarea condiţiilor necesare pentru ca piramidele
sau elementele ale piramidelor să verifice anumite cerinţe
 C7–transpunerea unei situaţii problemă în limbaj geometric,
rezolvarea problemei obţinute şi interpretarea rezultatului

3. Piramidă regulată = piramidă cu baza poligon regulat şi în care piciorul
perpendicularei dusă din vârful piramidei pe planul bazei
coincide cu centrul bazei (înălţimea piramidei „pică” în centrul
cercului circumscris bazei).
Poligon regulat = poligon cu laturile congruente şi unghiurile congruente

4. piramidă patrulateră regulată
(baza este )
V
A B
D
O
M
m
h ap
l
C
ab
V
O
A C
M
m
ap
V
A
B C
EF
O M
E
m
ap
h h
ab ab
l
l
Elementele piramidei regulate
Notaţii folosite:
l - ....................................... m - .......................................
h - ....................................... ap - .......................................
d-........................................ ab - .......................................
pătrat
hexagon regulat
triunghi echilateral
Latura bazei
înălţimea piramidei
diagonala bazei (la pătrat şi hexagon)
muchia bazei
apotema bazei
apotema piramidei
piramidă triunghiulară regulată
(baza este )
piramidă hexagonală regulată
(baza este )
D
Obs.: în piramidele regulate feţele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente, toate muchiile laterale sunt
congruente
înălţime a feţei laterale ( distanţa de la vârful piramidei la o
latură a bazei)
iar apotema piramidei ap este

5. triunghi echilateral pătrat hexagon regulat
Ab=
ab=
R=
Ab=
ab=
R=
Ab=
ab=
R=
l 2
Obs.: ab – distanţa de la centrul poligonului la o latură a sa
R – raza cercului circumscris poligonului (bazei)
r – raza cercului înscris în poligon = ab
l

6. 2
2





 l
ap
2 = h2 + ab
2
Demonstraţie : Se aplică teorema lui
Pitagora în triunghiul dreptunghic VOM.
m2 = h2 + R2
Demonstraţie : Se aplică teorema lui
Pitagora în triunghiul dreptunghic VOC.
m2 = + ap
2
l
3.
2.
1.
Demonstraţie : Se aplică teorema lui
Pitagora în triunghiul dreptunghic VMC.
V
C
A B
D
O
M
m
h
ap
ab

7. l
 Prin aria laterală a unei piramide se
înţelege suma ariilor feţelor laterale
Obs : dacă baza este un poligon regulat cu n laturi
piramida va avea n feţe laterale de arii egale, deci
Al = n . Af
unde cu Af am notat aria unei feţe










lnPdar
2
al
nA
2
al
A
b
p
l
p
f
2
aP
A
pb
l


Ţinând cont de faptul că
deducem că aria laterală a piramidei este
V
C
A B
D
O
M
m
h
ap
ab

8. At = Al + Ab
unde At = aria totală a piramidei
Al = aria laterală a piramidei
Ab = aria bazei
 Prin aria totală a unei piramide se
înţelege suma dintre aria laterală şi aria
bazei
V
C
A B
D
O
M
m
h
ap
ab
l

9. V
A B
CD
O
M
m
h
ap
l
unde V = volumul piramidei
Ab = aria bazei
h = înălţimea piramidei
 Volumul unei piramide este egal cu o
treime din produsul dintre aria bazei şi
inălţimea piramidei
3
hA
V b 


10. 1. Într-o piramidă triunghiulară regulată înălţimea are 6 cm şi latura bazei
are 12 cm. Calculaţi aria laterală, aria totală şi volumul piramidei.
2. Într-o piramidă patrulateră regulată muchia laterală are 6 cm şi aria bazei
are 16 cm2. Calculaţi aria laterală, aria totală şi volumul piramidei.
3. Figura alăturată reprezintă schematic o fântână
săpată în piatră. SABCD este o piramidă patrulateră
regulată de înălţime SO= 9 dm în care este săpată o
piramidă patrulateră regulată TABCD
corespunzătoare unui bazin plin cu apă. ST= 3 dm,
iar baza ABCD este un pătrat de latură AB= 6 dm.
a). Aflaţi aria totală a piramidei SABCD în care este
săpată piramida
b).Verificaţi dacă în bazinul TABCD pot intra 70 litri de
apă.
S
A B
D C
O
T
6
3

11. 2
pb
l
aP
A


6
3l
32
1. Într-o piramidă triunghiulară regulată înălţimea are 6 cm
şi latura bazei are 12 cm. Calculaţi aria laterală, aria totală şi
volumul piramidei
V
O
A
B
C
M
6
12
Pb=12+12+12=36 cm
ΔVOM=dreptunghic ⇒ VM2 =VO2 + OM2
OM=ab = =
VM = 34 cm 372lA⇒
336
4
32

l
Ab cm2 ⇒
3108336372 tA
3
372
3
6336
3
cm
hA
V b





cm
cm2
cm2

12. 2
pb
l
aP
A


2. Într-o piramidă patrulateră regulată muchia laterală are 6 cm
şi aria bazei are 16 cm2. Calculaţi aria laterală, totală şi volumul
piramidei
C
Pb=4 . 4 =16 cm
ΔVMC=dreptunghic ⇒ VC2 =VM2 + MC2
232lA⇒
 1221616232 tA
3
3
732
3
7216
3
cm
hA
V b





Ab=l 2=16 ⇒ l =4 cm;
V
A B
M
D
O
4
6
VM2=36 – 4= 32 ⇒ VM = 24
cm2
ΔVOM=dreptunghic ⇒ VM2 =VO2 + OM2
32=4 + VO2 ⇒ VO = 72 cm
cm2
cm

13. 3. Figura alăturată reprezintă schematic o fântână
săpată în piatră. SABCD este o piramidă patrulateră
regulată de înălţime SO= 9 dm în care este săpată o
piramidă patrulateră regulată TABCD
corespunzătoare unui bazin plin cu apă. ST= 3 dm,
iar baza ABCD este un pătrat de latură AB= 6 dm.
a). Aflaţi aria totală a piramidei SABCD în care este
săpată piramida
b).Verificaţi dacă în bazinul TABCD pot intra 70 litri de
apă. S
A B
D C
O
T
6
3
M
a). Ab=l 2=36
ΔSOM=dreptunghic ⇒ SM2 =SO2 + OM2 ⇒SM= dm ⇒ 1036Al 
)110(36At 
apal70raint
l70l72dm72
3
636
3
hA
V 3b
TABCD






Pb=4l =246 dm;
dm2
103
⇒ dm2
b). TO=SO – ST=6 dm

14. 36
2
aP
A
pb
l


V
3’. Lungimea înălţimii unei piramide hexagonale regulate VABCDEF este egală
cu 9 cm, iar măsura unghiului format de o faţă laterală cu planul bazei este
de 60o. Calculaţi: a) apotema piramidei ; b) aria totală a piramidei;
c) distanţa de la mijlocul N al muchiei AF la planul (VCD).
A
B C
D
E
F
O
M
9
a). Se demonstrează că unghiul dintre faţa VCD şi
planul bazei este VMO.
ΔVOM = dreptunghic ⇒sin(∡VMO) = VO/VM ⇒
Deci VM =
b). Din ΔVOM= dreptunghic, deducem cu prin TP că
OM = ; dar OM ⇒ l = 6 cm ⇒ Pb=36 cm33 2
3l

3108354
2
3l3
A
2
b 
3162tA
c). Pentru distanţa de la N la planul VCD , ducem
perpendiculara NP pe VM
N
NP⊥VM , NP⊥CD (CD⊥VMN) ⇒NP⊥(VCD)
cm
cm2
cm2
cm2
VM
9
2
3

P

15. Pentru a calcula NP , considerăm triunghiul isoscel VNM
V
N
M
O
P
Aria ΔVMN = MN . VO /2 = 327
Aria ΔVMN = VM . NP /2 = 327
2
NP36


Deci NP = 9 cm.
Altfel :
Deoarece MN=VM=VN= cm ⇒ ΔVMN = echilateral ⇒ NP=VO=9 cm
Deci d(N;(VCD)) = 9 cm.
cm2
36

16. 20p 1. a) Prisma dreaptă este prisma în care muchiile laterale sunt . . . pe planele bazelor.
b) O piramidă hexagonală are în total …. muchii.
c) Volumul paralelipipedului dreptunghic cu dimensiunile de 5 cm, 6 cm şi 7 cm este
egal cu ............. cm3.
d) Aria totală a prismei triunghiulare regulate din figura alăturată este egală
cu .............. cm2.
e) Aria laterală a unei piramide patrulatere regulată cu latura bazei de 5 cm şi apotema de
4 cm este egală cu ..........cm2.
20p 2. Cubul Rubik alăturat este format din cubuleţe cu latura de 1 cm.
Răspundeţi la următoarele întrebări:
a) Câte culori sunt necesare pentru ca fiecare faţă să fie colorată
diferit?
a) Câte cubuleţe s-au folosit?
b) Care este aria totală a cubului?
c) Cât este volumul cubului?
d) Dacă din toate cubuleţele folosite s-ar face un paralelipiped, care ar fi volumul său?
Test – Arii şi volume poliedre
PARTEA I ( 40 puncte) – Pe foaia de test se trec numai rezultatele

17. 15p 1.O piramidă triunghiulară regulată are apotema de cm şi înălţimea de 6 cm.
a) Desenaţi piramida.
b) Aflaţi latura bazei;
c) Calculaţi volumul piramidei.
36
PARTEA a II-a ( 40 puncte) - Pe foaia de test se trec rezolvările complete

18. SFÂRŞIT