Modul ini membahas program linear yang meliputi penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel, merumuskan model matematika masalah, dan menentukan nilai optimum fungsi tujuan dengan metode uji titik pojok.

1. MODUL
MATEMATIKA
PROGRAM LINEAR
KUSNADI, S.Pd
www.mate-math.blogspot.com

2. PROGRAM LINEAR
Standar Kompetensi :
Menyelesaikan program linear
Kompetensi Dasar :
• Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel
• Merancang model matematika dari masalah program linear
• Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan
penafsirannya

3. BAB I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini Anda akan mempelajari penyelesaian pertidaksamaan linear
dua variabel, menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan dengan metode uji
titik pojok, merancang model matematika dari program linear, dan
menyelesaikan model matematika dari program linear.
B. Prasyarat
Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai sistem
pertidaksamaan linear dua variabel.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai
berikut:

4. 1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang
mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.
2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal
latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan,
kembalilah mempelajari materi yang terkait.
3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan
dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang
terkait.
4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan,
catatlah,
kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau
bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini.
Dengan
membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan
tambahan.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
2. Menentukan fungsi objektif dan kendala dari program linear.
3. Menggambar daerah visibel dari program linear.
4. Merumuskan model matematika dari program linear.
5. Menentukan nilai optimum dari fungsi objektif dan menafsirkannya.

5. BAB II. PEMBELAJARAN
A. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel
Bentuk umum :
ax + by < c
ax + by > c
ax + by ≤ c
ax + by ≥ c
x, y adalah variabel
a, b, dan c ∈ R
Contoh : Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 4y ≤ 8
Jawab :
Menentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y dengan
membuat tabel sbb :
x 0 4
y 2 0
Jadi titik potong dengan sumbu x (4,0) dan dengan sumbu y (0,2)
DP
4
2
x
y

6. Dari gambar diatas terlihat bahwa daerah penyelesaian (DP) untuk
pertidaksamaan 2x + 4y ≤ 8
B. Menentukan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan liniear
dengan dua variabel.
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah gabungan dua atau
lebih pertidaksamaan linear dua variabel.
Contoh :
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear
x + y ≤ 5
x + 2y ≤ 6
x ≥ 0
y ≥ 0
Jawab :
x + y ≤ 5
x 0 5
y 5 0
x + 2y ≤ 6
x 0 6
y 3 0

7. DP
Tugas I
1. Gambarlah pada bidang cartesius, himpunan penyelesaian dari sistem
pertidaksamaan linear berikut :
a. 3x + y ≤ 6, 5x + 4y ≤ 20, x ≥ 0, y ≥ 0
b. 2x + y ≥ 10, 3x + 2y ≥ 18, x ≥ 0, y ≥ 0
c. x – y ≤ 3, x + 2y ≥ 4, y ≤ 2
2. Tulislah sistem pertidaksamaan dari daerah penyelesaian berikut :
a.
x
y
65
5
3
y
6

8. DP
b.
DP
x
64
5
x
y
7
y = 2
y = 4
x = 2
7

9. B. Menentukan fungsi tujuan dan kendala dari program linear
Program linear adalah suat metode atau suatu cara untuk memecahkan
masalah menjadi optimal (maksimum atau minimum) yang memuat
batasan-batasan yang dapat diubah atau diterjemahkan ke dalam bentuk
sistem pertidaksamaan linear. Penyelesaian pertidaksamaan linear
terdapat dalam daerah himpunan penyelesaian. Dari beberapa
penyelesaian terdapat satu penyelesaian terbaik yang selanjutnya disebut
penyelesaian optimum dari suatu fungsi. Fungsi ini disebut dengan fungsi
tujuan atau objektif.
Model matematika adalah rumusan matematika yang berupa persamaan,
pertidaksamaan, atau fungsi yang diperoleh dari hasil penafsiran atau
terjemahan suatu masalah ke dalam bahasa matematika.
Contoh :
Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas 48 buah tempat duduk
yang terbagi dalam dua kelas yaitu kelas A dan kelas B. Setiap
penumpang kelas A diberi hak yaitu membawa barang 60 kg, sedang

10. penumpang kelas B diberi hak membawa barang hanya 20 kg, tempat
bagasi paling banyak dapat memuat 1440 kg. Bila banyaknya penumpang
kelas A sebanyak x orang sedang kelas B sebanyak y orang. Tentukan
model matematikanya.
Jawab :
Kelas A Kelas B
Bagasi 60 kg 20 kg
Penumpang x orang y orang
Bagasi : 60x + 20y ≤ 1440 3x + y ≤ 72
Penumpang : x + y ≤ 48
Banyak penumpang tidak pernah negatif : x ≥ 0, y ≥ 0
Sehingga diperoleh model matematikanya adalah :
3x + y ≤ 72
x + y ≤ 48
x ≥ 0
y ≥ 0
Tugas II
1. Suatu perusahaan merencanakan membangun rumah untuk 600 orang.
Banyaknya rumah yang akan dibangun tidak lebih dari 120 buah. Rumah
jenis I biaya sewanya Rp. 100.000,- tiap bulan dan ditempati 4 orang,
rumah jenis II biaya sewanya Rp. 125.000,- tiap bulan dan ditempati oleh
6 orang. Buatlah model matematikanya.

11. 2. Sebuah pabrik membuat sepeda motor dan sepeda gunung setiap bulan
dapat membuat sebanyak-banyaknya 100 sepeda gunung, sedangkan
sepeda motor dapat dibuat sedikitnya 20 buah dan sebanyak-banyaknya
70 buah tiap bulan. Kapasitas produksi pabrik sebanyak-banyaknya 150
buah kendaraan dalam sebulan. Jika harga setiap sepeda motor 5 juta
rupiah dan harga sepeda gunung 1 juta rupiah.
a. Buatlah model matematikanya
b. Tentukan daerah penyelesaian yang sesuai
3. Seorang petani memerlukan zat kimia unsur A, B, dan C sebanyak 60 kg,
120 kg, dan 50 kg untuk memupuk kebun sayurnya. Dalam setiap kaleng
pupuk cair mengandung zat A = 1 kg, zat B = 3 kg, dan zat C = 1 kg.
Pupuk kering tiap kantong mengandung zat A = 2kg, zat B = 2 kg, dan zat
C = 1 kg. Harga 1 kantong pupuk cair Rp. 30.000,- sedangkan pupuk
kering Rp. 25.000,-
a. Buatlah model matematikanya
b. Tentukan daerah penyelesaiannya
4. Seorang tukang parkir mengelola lahan parkir seluas 588 m
2
,
diperuntukkan untuk menampung kendaraan jenis bus dan sedan. Luas
rata-rata untuk parkir bus adalah 24 m
2
, sedangkan untuk sedan
memerlukan 6 m
2
. Lahan parkir tersebut tidak mampu menampung sedan
dan bus melebihi 38 kendaraan. Tentukan model matematika dari
permasalahan diatas.

12. 4. Menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan (fungsi ogjektif) dengan
metode uji titik pojok.
Fungsi tujuan atau objektif dapat dinotasikan f(x,y) = ax + by.
Nilai optimum dari bentuk f(x,y) = ax + by dilakukan dengan cara
menghitung nilai f(x,y) = ax + by untuk setiap titik pojok (titik sudut) dari
daerah penyelesaian (DP), kemudian dibandingkan yang selanjutnya
ditetapkan nilai terbesar sebagai nilai maksimum dan nilai terkecil sebagai
nilai minimum.
Contoh :
Seorang pedagang mempunyai dagangan rokok merk A dan merk B.
Rokok A dibeli dengan harga Rp. 6000,- per bungkus dan dijual dengan
laba Rp. 400,- per bungkus, sedangkan rokok B dibeli dengan harga Rp.
3000,- per bungkus dan dijual dengan laba Rp. 300,- per bungkus.
Pedagang itu hanya mempunyai modal Rp. 240.000,- dan kiosnya hanya
dapat menampung paling banyak 500 bungkus rokok.
a. Berapakah banyak rokok A dan B yang harus dibeli agar mendapat
untung yang sebanyak-banyaknya (maksimum)
b. Tentukan besar keuntungan maksimumnya

13. Jawab :
Model matematikanya
Rokok Jumlah Harga Laba
A x 6000 400
B y 3000 300
Persediaan 500 240.000
Fungsi tujuan : Untung = 400x + 300y
Sistem pertidaksamaan linearnya :
x + y ≤ 500
6000x + 3000y ≤ 240.000 2x + y ≤ 800
x ≥ 0
y ≥ 0
Daerah himpunan penyelesaian
x + y = 500
x 0 500
y 500 0
2x + y = 800
x 0 400
y 800 0
y
800

14. DP
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
x + y = 500
2x + y = 800
- x = - 300
x = 300
y = 200
Dengan metode uji titik pojok, ditentukan keuntungan maksimum dengan
tabel sbb :
x
500400
500
x + y = 5002x + y = 800

15. Titik pojok Untung = 400x + 300y
(0, 0) 0 + 0 = 0
(400, 0) 160.000 + 0 = 160.000
(300, 200) 120.000 + 60.000 = 180.000
(0, 500) 0 + 150.000 = 150.000
Berdasarkan tabel diatas, diperoleh keuntungan maksimum yang dapat
dicapai adalah 180.000, dengan rokok A yang dibeli sebanyak 300
bungkus, dan rokok B sebanyak 200 bungkus.
Tugas III
1. Tentukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi sasaran dalam
model matematika berikut :
a. F(x, y) = 2x + y
x + y ≤ 6 ; x + 2y ≤ 8 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
b. F(x, y) = 2x + 3y
5x + 3y ≥ 30 ; 5x + y ≥ 50 ; x + 3y ≥ 30 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
2. Seorang pedagang roti mempunyai modal 400.000,-. Roti jenis A dibeli
dengan harga 1000,- dan roti jenis B dibeli dengan harga 500,-.
Sedangkan tempat roti hanya mampu menampung tidak lebih dari 500
buah. Keuntungan tiap roti jenis A 200,- dan keuntungan tiap roti jenis
B 150,-.
a. Hitunglah keuntungan sebanyak-banyaknya.
b. Berapa sebaiknya roti jenis A dan jenis B yang harus dibeli agar
pedagang mendapat keuntungan yang sebanyak-banyaknya.

16. 3. Seorang pedagang pakaian mempunyai modal 2.475.000,- untuk
membeli kemeja dengan harga 30.000,- per buah dan celana 75.000,-
per buah. Jumlah kemeja yang ia beli tidak kurang dari tiga kali jumlah
celana. Ia mengambil keuntungan 4.500,- untuk setiap potong celana
dan 1.500,- untuk setiap potong kemeja.
a. Berapa kemeja dan celana yang harus dibeli supaya pedagang
itu mendapat keuntungan yang maksimum
b. Hitunglah keuntungan tersebut
4. Seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobak menjual
apel dan pisang. Harga pembelian pisang 4.000,- per kg dan apel
10.000, - per kg. Penjaja buah tersebut mempunyai modal 2.500.000,-.
Sedangkan muatan gerobak tidak melebihi 400 kg. Jika keuntungan
tiap kg apel 2 kali keuntungan tiap kg pisang. Berapa kg apel dan
pisang yang harus dibeli agar keuntungan yang diperoleh maksimum.

17. BAB III PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk
menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan
memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda
berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.

19. DAFTAR PUSTAKA
Pemerintah Kota Semarang, 2006. Matematika Program Ilmu
Pengetahuan Sosial, Semarang :
H. Sunardi, Slamet Waluyo, Sutrisno, H. Subagya, 2005. Matematika IPS,
Penerbit Bumi Aksara, Jakarta.
Wilson Simangunsong, 2005. Matematika Dasar, Penerbit Erlangga,
Jakarta.