Dalam Modul ini, kita mempelajari tentang : Arti Limit Fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik tersebut. Arti Limit Fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan. Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri di satu titik Sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan Limit Arti bentuk tak tentu dari Limit Fungsi. Menggunakan Sifat-sifat Limit untuk menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri

1. MODUL
MATEMATIKA
LIMIT FUNGSI
KUSNADI, S.Pd
www.mate-math.blogspot.com

2. LIMIT FUNGSI
PENGANTAR :
Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat
dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha
mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan makin
terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.
STANDAR KOMPETENSI : 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam
pemecahan masalah.
KOMPETENSI DASAR : 6.1 Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik
dan di takhingga.
6.2 Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk
tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri
TUJUAN PEMBELAJARAN :
1. Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui
perhitungan nilai-nilai disekitar titik tersebut
2. Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui
grafik dan perhitungan.
3. Menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri di satu
titik.
4. Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan
limit.
5. Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi.
6. Menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri dengan
menggunakan sifat-sifat limit
.
KEGIATAN BELAJAR :
I. Judul sub kegiatan belajar :
1. Pengertian Limit Fungsi
2. Sifat-sifat limit fungsi
3. Limit Fungsi bentuk tak tentu
4. Limit Fungsi Trigonometri
II. Uraian materi dan contoh
PENGERTIAN LIMIT FUNGSI
LIMIT FUNGSI: Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga batas
Limit fungsi:Suatu limit f(x) dikatakan mendekati A {f(x) → A} sebagai suatu limit.
Bila x mendekati a {x→a}Dinotasikan Lim F(x) = A
x→a
Langkat-langkah mengerjakan limit fungsi (supaya bentuk tak tentu dapat dihindari)
adalah ….
 Subtitusi langsung.
 Faktorisasi.
 Mengalikan dengan bilangan sekawan.
 Membagi dengan variabel pangkat tertinggi.
SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI
Berapa teorema limit:
Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B
x → a x →a

3. Maka
1. Lim [k.f(x)] = k Lim f(x)
x→a x→a
= k. A
2. Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)
x→a x→a x→a
= A + B
3. Lim [f(x) x g(x)]
x→a
= Lim f(x) x Lim g(x)
x→a x→a
= A x B
4. Lim f(x) Lim f(x)
x→a g(x) = x→a . = A
Lim g(x) B
x→a
n n n
5. Lim f(x). = Lim f(x) = A
x→a x→a
n n n
6. Lim √ f(x) = √ Lim f(x) = √ A
x→a x→a
Soal latihan:
1. Nilai dari Lim 3x adalah….
x→2
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 6
Pembahasan 1: Lim 3x = 3(2) = 6
x→2
Pembahasan 2:Lim 3x = 3 Lim x = 3(2) = 6
x→2 x→2
2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah….
x→2
a. -2
b. 2
c. 4
d. 6
e. 8
Pembahasan:
Lim (2x+4) = 2(2) + 4 = 4 + 4 = 8
x→2
3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….

4. x → 3
a. -6
b. 8
c. 12
d. 14
e. 16
Pembahasan 1: Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = 12
x→3 x→3
Pembahasan 2: Lim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2x
x→3 x→3 x→3
= 6(3) – 2(3)
= 18 – 6 = 12
LIMIT FUNGSI BENTUK TAK TENTU
Limit fungsi bentuk 0
0
Jika f(x) = (x-a).h(x)
g(x) = (x-a).k(x)
Maka: Lim f(x) = Lim (x-a).h(x) = Lim h(x) = h(a)
x→a g(x) x→a (x-a).k(x) x→a k(x) k(a)
Limit Fungsi Bentuk ~
~
Jika diketahui limit tak hingga (~)
Sebagai berikut: Lim axn
+ bxn-1
+ cxn-2
+ …+ d = R
x→~ pxm
+ qxm-1
+ rxm-2
+ … + s
Maka:
1. R= 0 jika n<m
2. R= a jika n=m
p
3. R= ~ jika n>m
Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)
a. Lim √ ax +b - √ px +q = R
x→~
Maka: 1. R= ~ jika a>p
2. R= 0 jika a=p
3. R= -~ jika a<p
b. . Lim √ ax2
+ bx + c - √ px 2
+ qx + r = R
x→~
Maka: 1. R= ~ jika a>p
2. R = b-q jika a=p
2√a
3. R= -~ jika a<p
Contoh Soal
1. Nilai dari Lim x4
– 3x2
+ 4x adalah….
x→0 2x3
– x2
- 2x

5. Pembahasan: Lim x4
– 3x2
+ 4x = 04
– 3.02
+ 4.0 = 0
x→0 2x3
– x2
- 2x 203
– 02
– 2.0 0
Jika 0 didistribusikan menghasilkan (bukan solusi) sehingga soal diselesaikan dengan
cara faktorisasi .
Maka: Lim x4
– 3x2
+ 4x = Lim x x3
– 3x + 4
x→0 2x3
– x2
- 2x x→0 x 2x2
– x – 2
= Lim x3
– 3x + 4
x→0 2x2
– x – 2
= 0 – 0 + 4
0 – 0 – 2
= -2
2. Nilai dari Lim x2
– 4 adalah….
x→2 x2
+ x - 6
Pembahasan: Lim x2
– 4 = Lim (x – 2) ( x + 2 )
x→2 x2
+ x – 6 x→2 (x – 2) ( x + 3)
= Lim (x + 2)
x→2 (x + 3 )
= 2 + 2
2 + 3
= 4
5
3. Nilai dari Lim 4x2
+ 3x - 6 adalah ….
x→~ 2x2
– 8x -1
Pembahasan
Perhatikan bahwa pangkat diatas sama dengan pangkat bawah sehingga p = q (p dibagi q)
Lim 4x2
+ 3x - 6 = 4 = 2
x→~ 2x2
– 8x -1 2
4. Nilai dari Lim √ 4x2 – 2x + 6 - √ 4x2 + 2x -1 adalah….
x→~
Pembahasan:
R = b – q = -2 – 2 = -4 = -4 = -1
2√a 2√4 2.2 4
5. Nilai dari Lim (8x – 2)2
adalah….
x→~ (4x + 1)2
Pembahasan: Lim (8x – 2)2
.= Lim 64x2
– 32x + 4
x→~ (4x + 1)2
x→~ 16x2
+ 8x + 1
= 64 = 4
16
6. Nilai dari Lim x2
– x adalah….
x→0 x2
+ 2x
Pembahasan: Lim x2
– x = Lim x ( x – 1 )
x→0 x2
+ 2x x→0 x (x + 2)
= Lim x – 1
x→0 x + 2
= 0 - 1
0 + 2
= -1
2

6. 7. Nilai dari Lim 6x3
- 4x2
+ 2x – 1 adalah….
x→~ 3x4
– 2x3
+ 5x + 2
Pembahasan:
Perhatikan Pangkat tertinggi diatas 3 Pangkat tertinggi dibawah 4
Jadi n < m sehingga nilai R = 0
8. Nilai dari Lim 2x2
+ 5x – 12 adalah….
x→-4 3x2
– 13x - 4
Pembahasan:
Lim 2x2
+ 5x – 12
x→-4 3x2
– 13x - 4
= Lim (2x – 3) (x – 4)
x→-4 (3x + 1) (x – 4)
= Lim (2x – 3)
x→-4 (3x + 1)
= 2(-4) – 3 = 11
3(-4 ) + 1 13
9. Nilai dari Lim 2x2
+ 4x – 10 adalah….
x→~ 4x2
+ 7
Pembahasan:
Pangkat diatas = Pangkat dibawah
Maka 2 = 1
4 2
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Rumus limit fungsi trigonometri
1. Lim x = 1 diperoleh lim sin x = 1
x→0 sin x x→0 x
2. Lim tan x = 1 diperoleh lim x = 1
x→0 x x→0 tan x
Akibatnya :
1. lim sin ax = 1
x→0 ax
2. lim ax = 1
x→0 sin ax
3. lim tan ax = 1
x→0 ax
4. lim ax = 1
x→0 tan ax
Contoh : 1. lim sin 3x = . lim 3 sin 3x = 3 lim sin 3x . = 3 . 1 = 3
x→0 2x x→0 2 3x 2 x→0 3x 2 2

7. 2. lim 4x = . lim 4 5x = 4 lim 5x = 4
x→0 tan 5x x→0 5 tan 5x 5 x→0 tan x 5
3. lim sin 3x = lim 3 sin 3x . 7x = 3 lim sin 3x lim 7x
x→0 tan 7x x→0 7 3x tan 7x 7 x→0 3x x→0 tan 7x
= 3 . 1 . 1
7
= 3
7
4. lim 1 – cos 2x = lim 1 – ( 1 – 2 sin 2 x)
x→0 3x2
x→0 3x2
= lim 2 sin 2
x
x→0 3x2
= 2 lim sin x 2
3 x→0 x2
III. Latihan
Jawablah pertanyaan di bawah dengan benar
1. Nilai dari Lim x4
– 3x2
+ 4x adalah….
x→0 2x3
– x2
- 2x
2. Nilai dari Lim x2
– 4 adalah….
x→2 x2
+ x - 6
3. Nilai dari Lim 4x2
+ 3x - 6 adalah ….
x→~ 2x2
– 8x -1
4. Nilai dari Lim √ 4x2 – 2x + 6 - √ 4x2 + 2x -1 adalah….
x→~
5. Nilai dari Lim (8x – 2)2
adalah….
x→~ (4x + 1)2
6. Nilai dari Lim x2
– x adalah….
x→0 x2
+ 2x
7. Nilai dari Lim 6x3
- 4x2
+ 2x – 1 adalah….
x→~ 3x4
– 2x3
+ 5x + 2
8. Nilai dari Lim 2x2
+ 5x – 12 adalah….
x→-4 3x2
– 13x - 4
9. Nilai dari Lim 2x2
+ 4x – 10 adalah….
x→~ 4x2
+ 7
10. lim 1 – cos x = …
x→0 x tan x
11. lim 4 x cot x adalah …
x→0 3
12. lim sin (a + x) – sin (a – x ) adalah …
x→0 x
IV. . Tes Formatif
( Terlampir)

8. V. Daftar pustaka
Tim penulis MGMP Matematika SMA kota Semarang, Matematika SMA / MA
XI A IPA, ( Semarang : CV. Jabbaar Setia, 2008)
Tim penyusun KREATIF Matematika, Matematika SMA/MA kelas XI IPA
semester gasal, ( Klaten, Viva Pakarindo, 2007)
Simangunsong Wilson, Matematika dasar, ( Jakarta: Erlangga, 2005)