Materi ini Membahas : System Persamaan linear dua variabel, System Persamaan Linear tiga variabel, System Persamaan linear dan Kuadrat, System Persamaan Kuadrat
Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat, Fungsi Kuadrat, dan Diskriminanhari wihana
persentasi matematika ini telah dicoba dipersentasikan kepada para peserta didik di Universitas Pendidikan Indonesia, persentasi ini disusun untuk memenuhi salah satu mata kuliah matematika
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. memahami definisi dari integral
2. memahami integral tak tentu beserta penerapannya.
3. memahami integral fungsi trginometri, integral substitusi dan integral parsial.
4. memahami integral tertentu dan penerapannya.
5. menentukan luas daerah dengan beberapa kurva, luas daerah antara kurva dengan sumbu koordinat dan luas daerah antara dua kurva
6. menentukan volume benda putar antara kurva dan sumbu koordinat (sumbu x dan sumbu y), volume benda putar antara dua kurva yang memutari sumbu x dan sumbu y.
Bahan Ajar Persamaan Kuadrat SMP Kelas IX Kurikulum 2013Yoollan MW
Bahan ajar ini diharapkan dapat memudahkan siswa dalam memahami cara menentukan akar kuadrat dengan menggunakan 3 cara, yakni: 1) Metode Pemfaktoran 2) Metode Kuadrat Sempurna dan 3) Rumus ABC/ Kuadratik
Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat, Fungsi Kuadrat, dan Diskriminanhari wihana
persentasi matematika ini telah dicoba dipersentasikan kepada para peserta didik di Universitas Pendidikan Indonesia, persentasi ini disusun untuk memenuhi salah satu mata kuliah matematika
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. memahami definisi dari integral
2. memahami integral tak tentu beserta penerapannya.
3. memahami integral fungsi trginometri, integral substitusi dan integral parsial.
4. memahami integral tertentu dan penerapannya.
5. menentukan luas daerah dengan beberapa kurva, luas daerah antara kurva dengan sumbu koordinat dan luas daerah antara dua kurva
6. menentukan volume benda putar antara kurva dan sumbu koordinat (sumbu x dan sumbu y), volume benda putar antara dua kurva yang memutari sumbu x dan sumbu y.
Bahan Ajar Persamaan Kuadrat SMP Kelas IX Kurikulum 2013Yoollan MW
Bahan ajar ini diharapkan dapat memudahkan siswa dalam memahami cara menentukan akar kuadrat dengan menggunakan 3 cara, yakni: 1) Metode Pemfaktoran 2) Metode Kuadrat Sempurna dan 3) Rumus ABC/ Kuadratik
Ieee 2014 2015 matlab power electronics projects titles list globalsoft techn...IEEEMATLABPROJECTS
To Get any Project for CSE, IT ECE, EEE Contact Me @ 09666155510, 09849539085 or mail us - ieeefinalsemprojects@gmail.com-Visit Our Website: www.globalsofttechnologies.org
Ще декілька тижнів тому командою EasyBusiness була розпочата підготовка законопроекту щодо скасування трудових книжок. Законопроект був розроблений експертом EasyBusiness Андрієм Єрашовим та доопрацьований спільно з Міністерство економічного розвитку і торгівлі України, Max Nefyodov, Yuliya Kovaliv та іншими зацікавленими центральними органами виконавчої влади.
Трудові книжки дісталися Україні у спадок від СРСР, в той час як в економічно розвинутих країнах взагалі відсутня практика їх використання. Скасування трудових книжок дозволить підприємцям заощадити кошти на їх адміністрування та зробить більш легким процес наймання та звільнення працівників.
7 слайдов про ТРИЗ для "гуманитариев" - коучей, тренеров, менеджеров.Tatiana Novoselova
Как расшифровывается ТРИЗ? На какие вопросы вы найдете ответы в нетехнической ТРИЗ, будучи коучем, тренером, менеджером по продажам или руководя людьми?
Integrated Township in Bangalore, India
Luxury Residences, Fitness Center, Tennis Court/Swimming Pool,Clubhouse, Luxury Spa,Italian Gardens,Hobby Farm,Walking/Jogging Trails,Vilage Square with a Hotel,International Shops & Restaurants.
Menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
2. Menentukan fungsi objektif dan kendala dari program linear.
3. Menggambar daerah visibel dari program linear.
4. Merumuskan model matematika dari program linear.
5. Menentukan nilai optimum dari fungsi objektif dan menafsirkannya.
Dalam modul ini, kita mempelajari :
Algoritma pembagian sukubanyak.
Derajat sukubanyak hasil bagi dan sisa pembagian dalam algoritma pembagian.
Sisa pembagian suku-banyak oleh bentuk linear dan kuadrat dengan teorema sisa.
Faktor linear dari suku-banyak dengan teorema faktor.
Persamaan suku-banyak dengan menggunakan teorema faktor.
Dalam Modul ini, kita mempelajari :
Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan
Fungsi komposisi dari beberapa fungsi.
Sifat-sifat komposisi fungsi.
Komponen pembentuk fungsi komposisi apabila fungsi komposisi dan komponen lainnya diketahui.
Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers.
Menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya
Fungsi invers dari suatu fungsi.
Sifat-sifat fungsi invers.
Dalam Modul ini, kita mempelajari tentang :
Arti Limit Fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik tersebut.
Arti Limit Fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan.
Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri di satu titik
Sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan Limit
Arti bentuk tak tentu dari Limit Fungsi.
Menggunakan Sifat-sifat Limit untuk menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri
Dalam modul ini, kita mempelajari tentang :
Pengertian dan Notasi Matriks
Ordo Matriks
Jenis-jenis Matriks
Kesamaan dua Matriks
Transpose matriks
Operasi Matriks ( Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Matriks )
Invers Matriks
Transformasi adalah perpindahan dari suatu posisi ke posisi lain. Dalam geometri, transformasi ialah suatu pemetaan setiap bangun geometri pada suatu bidang ke bangun geometri lainnya pada bidang yang sama, yang disebut transformasi bidang.
Ada 2 macam transformasi, yaitu :
1. Transformasi isometri yaitu suatu transformasi yang tidak merubah ukuran bangun semula.
Yang termasuk transformasi isometri : pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan pemutaran (rotasi).
2. Transformasi non-isometri yaitu suatu transformasi yang merubah ukuran bangun semula.
Yang termasuk transformasi non-isometri : perkalian (dilatasi)
Untuk menentukan bayangan hasil transformasi biasanya dipergunakan bantuan matriks.
Dalam materi ini, kita membahas tentang Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri
ada dua cara dalam menyelesaikan persamaan trigonometri yaitu:
dengan gambar
dengan rumus
Berdasarkan letak bidang datar yang mengirisnya, maka irisan kerucut dapat berupa titik, garis, segitiga, lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola.
Jika bidang yang mengiris melalui puncak kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa titik.
Jika bidang yang mengiris berimpit dengan garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa sebuah garis.
Jika bidang yang mengiris melalui sumbu simetri kerucut dan tegak lurus lingkaran alas, maka irisan terbentuk berupa segitiga.
Jika bidang yang mengiris tegak lurus sumbu simetri kerucut, tetapi tidak melalui puncak, maka irisan yang terbentuk berupa lingkaran.
Jika bidang yang mengiris sejajar garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa parabla.
Jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, tidak memotong lingkaran alas, tidak sejajar sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa elips.
Jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, memotong lingkaran alas, dan tidak sejajar sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut maka irisannya berbentuk hiperbola.
Dalam Statistika 2, kita membahas tentang :
Ukuran Pemusatan Data ( Data tunggal dan Data kelompok)
Ukuran Letak (Data tunggal dan Data kelompok)
Ukuran Penyebaran Data ( Data tunggal dan Data kelompok)
Materi Dalam Statistika 1, membahas tentang :
Bentuk diagram garis, diagram lingkaran, diagram batang, ogive dan penafsirannya
Identifikasi nilai suatu data yang ditampilkan pada table dan diagram.
Bentuk table distribusi frekuensi dan histogram.
Dalam modul ini anda akan mempelajari perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen), penggunaan perbandingan trigonometri, penentuan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran, pengertian konsep koordinat cartesius dan kutub, pengkonversian koordinat cartesius dan kutub, aturan sinus dan cosinus, penggunaan aturan sinus dan aturan cosinus, rumus luas segitiga, penentuan luas segitiga. Di samping itu anda juga mempelajari identitas trigonometri, dan bentuk-bentuk persamaan trigonometri.
pengertian Vektor, Vektor di ruang Dimensi dua, Operasi ruang Dimensi dua, Vektor di ruang dimensi tiga, Operasi Vektor di ruang dimensi tiga, Rumus perbandingan, Panjang Vektor(di ruang dimenis dua dan tiga), Perkalian skalar dua vektor, sudut antara dua vektor, Proyeksi Orthogonal suatu vektor.
Apakah program Sekolah Alkitab Liburan ada di gereja Anda? Perlukah diprogramkan? Jika sudah ada, apa-apa saja yang perlu dipertimbangkan lagi? Pak Igrea Siswanto dari organisasi Life Kids Indonesia membagikannya untuk kita semua.
Informasi lebih lanjut: 0821-3313-3315 (MLC)
#SABDAYLSA #SABDAEvent #ylsa #yayasanlembagasabda #SABDAAlkitab #Alkitab #SABDAMLC #ministrylearningcenter #digital #sekolahAlkitabliburan #gereja #SAL
3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR
DAN PERTIDAKSAMAAN
SATU VARIABEL
Standar Kompetensi :
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan
pertidaksamaan satu variabel.
Kompetensi Dasar :
• Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan
campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel.
• Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
sisitem persamaan linear
• Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan sistem persamaan linear dan penafsirannya.
• Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan
bentuk pecahan aljabar.
4. • Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
pertidaksamaan satu variabel.
• Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan pertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya.
BAB I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini Anda akan mempelajari Sistem persamaan linear-linear dua
variabel, tiga variabel, Sistem persamaan linear-kuadrat, Sistem persamaan
kuadrat-kuadrat, dan merancang model matematika yang berkaitan dengan
sistem persamaan linear, kuadrat..
B. Prasyarat
Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai dasar-
dasar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan real.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah
sebagai berikut:
5. 1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang
mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.
2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal
latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan,
kembalilah mempelajari materi yang terkait.
3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan
dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang
terkait.
4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan,
catatlah,
kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau
bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini.
Dengan
membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan
tambahan.
6. D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Menentukan sistem persamaan linear-linear dua variabel,
2. Menentukan sistem persamaan linear-linear tiga variabel,
3. Menentukan sistem persamaan linear-kuadrat
4. Menentukan sistem persamaan kuadrat-kuadrat
5. Merancang model matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan
linear,kuadrat.
7. BAB II PEMBELAJARAN
A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN LINEAR
Bentuk Umum sistem persamaan liniear dan linear
1. Sistem persamaan linear dengan 2 variabel / SPL 2 variabel
222
111
cybxa
cybxa
=+
=+
x dan y adalah variabel
Rccbbaa ∈212121 ,,,,,
Cara menyelesaikannya dengan :
a. Metode Eliminasi
b. Metode Substitusi
c. Metode Campuran Eliminasi dan Substitusi
d. Metode Grafik
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut
273
2
−=−
=−
yx
yx
1. Eliminasi
273
2
−=−
=−
yx
yx
1
3
x
x
273
633
−=−
=−
yx
yx
4y = 8
y = 2
8. 273
2
−=−
=−
yx
yx
1
7
x
x
273
1477
−=−
=−
yx
yx
4x = 16
x = 4
2. Substitusi
Dari persamaan (1) y = x – 2 disubstitusikan ke persamaan (2)
diperoleh
3x – 7(x – 2) = -2
3x – 7x + 14 = -2
-4x = -16
x = 4
Untuk x = 4 disubstitusikan ke persamaan (1)
4 – y = 2
y = 4 – 2
= 2
3. Campuran Eliminasi dan Substitusi
273
2
−=−
=−
yx
yx
1
3
x
x
273
633
−=−
=−
yx
yx
4y = 8
y = 2
9. y = 2 disubstitusikan ke persamaan (1)
x – 2 = 2
x = 4
4. Grafik
Dengan grafik dapat dilihat :
a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik (himpunan
penyelesainnya tepat satu anggota)
b. Jika kedua garis sejajar, tidak mempunyai himpunan
penyelesaian
c. Jika kedua garis berhimpit (himpunan penyelesaiannya
mampunyai anggota tak terhingga)
2. Sistem persamaan linear dengan 3 variabel / SPL 3 variabel
3333
2222
1111
dzcybxa
dycybxa
dzcybxa
=++
=++
=++
x, y, z adalah variabel
x – y = 2
3x – 7y = -2
-2
2
(4,2)
10. Rdddcccbbbaaa ∈321321321321 ,,,,,,,,,,,
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut :
72
52
3
=++
=++
=−+
zyx
zyx
zyx
Dengan Metode campuran Eliminasi dan Substitusi :
Misal dimulai dengan mengeliminasi z
(1) dan (2)
52
3
=++
=−+
zyx
zyx
3x + 2y = 8 ..............................(4)
(1) dan (3)
72
52
=++
=++
zyx
zyx
x - y = -2............................(5)
(4) dan (5)
3x + 2y = 8 x 1 3x + 2y = 8
x - y = -2 x 3 3x - 3y = -6
5y = 14
y = 14/5
3x + 2y = 8 x 1 3x + 2y = 8
x - y = -2 x 2 2x - 2y = -4
+
5x = 4
x = 4/5
x = 4/5 dan y = 14/5 disubstitusi ke persamaan (1) :
x + y – z = 3
11. 4/5 + 14/5 – z = 3
18/5 – z = 3
z = 18/5 – 3
z = 3/5
Jadi HP : {4/5,14/5,3/5}
Tugas I
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut
a. 2p + 3q = 1
3p + 4q = 1
b. -5m + 3n = 4
6m – 5n = 5
c.
1
11
5
11
=−
=+
yx
yx
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut :
a. 7x = 21
x + 2y = 11
2x – y + z = 7
12. b. a + b + 2c = 3
4a + 2b + c = 13
2a + b – 2c = 19
c. x + 2y = -7
3y – z = -11
5x + 2z = -25
B. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT
Bentuk Umum :
y = px + q
y = ax
2
+ bx + c
p, q, a, b dan c ∈ R
Cara menyelesaikannya :
1. Substitusi
Substitusikan y = px + q ke y = ax
2
+ bx + c
Diperoleh :
px + q = ax
2
+ bx + c
ax
2
+ (b-p)x + (c-q) = 0
dengan D = (b-p)
2
– 4.a.(c-q)
ada 3 kemungkinan himpunan penyelesainnya :
a. Jika D = 0 (parabola berpotongan dengan garis di satu titik)
b. Jika D >0 (parabola berpotongan dengan garis di dua titik)
13. c. Jika D < 0 (parabola dan garis tidak berpotongan)
2. Grafik
Ada 3 kemungkinan :
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesian dari :
y = 2 –x
y = x
2
jawab :
Substitusika y = 2 – x ke y = x
2
diperoleh :
x
2
= 2 – x D = b
2
– 4ac
D>0
D=0
D<0
14. x
2
+ x – 2 = 0 D = (1)
2
– 4.(1).(2) = 1 + 8 = 9
(x – 1)(x + 2) = 0 D > 0 (ada 2 penyelesaian)
x = 1 atau x = -2
x = 1 disubstitusikan ke y = 2 – x = 2 – 1 = 1
x = -2 disubstitusikan ke y = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4
Jadi himpunan penyelesaian {(1,1),(-2,4)}
Dengan grafik dapat digambarkan sebagai berikut :
y = x2
y = 2 - x
C. SISTEM PERSAMAAN KUADRAT - KUADRAT
Bentuk Umum :
y = ax
2
+ bx + c
(-2,4)
(1,1)
15. y = px
2
+ qx + r
Cara menyelesaikannya :
1. Substitusi
Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh :
(a – p)x
2
+ (b – q)x + (c – r) = 0 dengan
D = (b – q)
2
– 4.(a – p).(c – r)
Kemungkinan penyelesaiannya :
a. Jika D > 0 (parabola saling berpotongan di dua titik)
b. Jika D = 0 ( parabola saling berpotongan di satu titik)
c. Jika D < 0 (parabola tidak saling berpotongan)
2. Grafik
Dengan menggambar kedua parabola dalam satu sistem koordinat
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari
y = x
2
y = 8 – x
2
Jawab :
Substitusikan (1) ke (2)
x
2
= 8 – x
2
2x
2
– 8 = 0
16. x
2
– 4 = 0
(x – 2)(x + 2) = 0
x = 2 atau x = -2
x = 2 diperoleh y = 2
2
= 4
x = -2 diperoleh y = (-2)
2
= 4
Jadi HP : {(2,4) , (-2,4)}
Tugas II
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. y = x – 3
y = x
2
– 4x + 3
b. y = x + 3
2y = x
2
– 2x + 1
c. y – 2x – 3 = 0
y – 2x
2
+ 4x – 7 = 0
y = x2
y = 8 - x2
(-2,4) (2,4)
0
8
17. 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. y = x
2
– 3x – 1
y = 3x
2
+ 5x + 7
b y = x
2
+ 1
y = 9 – x
2
c. y = 2x
2
– 6x
y = x
2
– 2x + 6
D. MERANCANG MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN
DENGAN SPL
Contoh :
Sepuluh tahun yang lalu umur kakek enam kali umur adikku. Lima tahun
yang akan datang jumlah umur kakek dan adikku sama dengan 93 tahun.
Jika umur nenek lebih muda 6 tahun dari kakek. Berapa umur nenek
sekarang.
Jawab :
Misal umur kakek sekarang adalah x
Umur adikku sekarang adalah y
Diperoleh persamaan :
a. x – 10 = 6(y – 10)
x – 6y = -50 .............. (1)
18. b. (x + 5)+(y + 5) = 93
x + y + 10 = 93
x + y = 83...................(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
x – 6y = -50
x + y = 83
- 7y = -133
y = 19
x + y = 83
x = 83 – 19
= 64
Contoh :
Diketahui y = px – 14 dan y = 2x
2
+ 5x – 12, tentukan batas-batas p
supaya
a. Berpotongan di 2 titik
b. Bersinggungan
c. Tidak berpotongan maupun bersinggungan
Jawab :
y = px – 14 substitusikan ke y = 2x
2
+ 5x – 12
diperoleh :
2x
2
+ 5x – 12 = px – 14
19. 2x
2
+ (5 – p)x + 2 = 0
D = (5 – p)
2
– 4.2.2
= 25 – 10p + p
2
– 16
= p
2
– 10p + 9
a. Berpotongan di dua titik (D > 0)
p
2
– 10p + 9 > 0
(p – 1)(p – 9) > 0
p < 1 atau p > 9
b. Bersinggungan di satu titik (D = 0)
p
2
– 10p + 9 = 0
(p – 1)(p – 9) = 0
p = 1 atau p = 9
c. Tidak berpotongan dan menyinggung (D < 0)
p
2
– 10p + 9 < 0
(p - 1)(p – 9) < 0
1 < p < 9
20. Tugas III
1. Jika jumlah dua bilangan adalah 67 dan selisihnya adalah 45.
Tentukan bilangan-bilangan tersebut
2. Parabola y = ax
2
+ bc + c melalui titik-titik (1,1), (-1,-5), dan (3, 23)
Tentukan nilai a, b, c
3. Diketahui tiga bilangan a, b, dan c. Rata-rata dari ketiga bilangan
tersebut adalah 16. Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah
bilangan yang lainnya. Bilangan ketiga sam dengan jumlah bilangan
yang lain dikurangi 4. Tentukan bilangan-bilangan itu.
21. BAB III PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk
menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan
memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda
berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.
22. DAFTAR PUSTAKA
Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X,
Jakarta :
PT. Galaxy Puspa Mega.
Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta :
Penerbit Erlangga.
MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA,
Semarang : CV. Jabbaar Setia.