Smart solution un matematika sma 2013 (skl 2.7 fungsi komposisi dan fungsi invers)

1. Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang

2. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 47
2. 7. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan komposisi dua fungsi atau fungsi invers.
Fungsi Komposisi
Definisi Sifat
Tidak Komutatif
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) ≠ (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)
Assosiatif
(𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ))(𝑥) = ((𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ)(𝑥)
Identitas
(𝑓 ∘ 𝐼)(𝑥) = (𝐼 ∘ 𝑓)(𝑥)
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
Fungsi Invers
Definisi Sifat
“Identitas”
(𝑓 ∘ 𝑓−1) = (𝑓−1
∘ 𝑓) = 𝐼
“Invers Komposisi itu Dibalik”
(𝑓 ∘ 𝑔)−1
= (𝑔−1
∘ 𝑓−1)
(𝑔 ∘ 𝑓)−1
= (𝑓−1
∘ 𝑔−1)
“Penyusun Komposisi”
(𝑓 ∘ 𝑔) = ℎ ⇒ 𝑓 = (ℎ ∘ 𝑔−1)
(𝑓 ∘ 𝑔) = ℎ ⇒ 𝑔 = (𝑓−1
∘ ℎ)
TRIK SUPERKILAT TRIK SUPERKILAT
“Balik Operasi, Balik Urutan” “Hilangkan Yang Lain”
+ ↔ −
× ↔ ÷
𝑎2
↔ √ 𝑎
𝑎
log 𝑥 ↔ 𝑎 𝑥
(𝑓 ∘ 𝑔) = ℎ
⇒ 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ 𝒈−𝟏
⏟
𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑠
= ℎ ∘ 𝒈−𝟏
⇒ 𝑓 = ℎ ∘ 𝑔−1
“Gambarkan”
=
𝑥 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑓(𝑥))
= (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)
𝑓 𝑔
𝑔 ∘ 𝑓
𝑥 = 𝑓−1(𝑥) 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑓
𝑓−1
Grafik fungsi 𝑓(𝑥) dan 𝑓−1(𝑥)
simetris terhadap garis 𝑦 = 𝑥
𝑓 𝑔−1
ℎ
𝑔 𝑓
ℎ

3. Halaman 48 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menyusun komposisi fungsi
Contoh Soal 1:
Diketahui 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 5𝑥 + 2. Tentukan (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = ?
Penyelesaian:
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
= 𝑓(𝑥2
− 5𝑥 + 2)
= 2(𝑥2
− 5𝑥 + 2) − 1
= 2𝑥2
− 10𝑥 + 4 − 1
= 2𝑥2
− 10𝑥 + 3
Contoh Soal 2:
Diketahui 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 5𝑥 + 2. Tentukan (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = ?
Penyelesaian:
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))
= 𝑔(2𝑥 − 1)
= (2𝑥 − 1)2
− 5(2𝑥 − 1) + 2
= 4𝑥2
− 4𝑥 + 1 − 10𝑥 + 5 + 2
= 4𝑥2
− 14𝑥 + 3
Menentukan nilai komposisi fungsi
Contoh Soal 1:
Diketahui 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 5𝑥 + 2. Tentukan (𝑓 ∘ 𝑔)(5) = ?
Penyelesaian:
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
= 𝑓(𝑥2
− 5𝑥 + 2)
= 2(𝑥2
− 5𝑥 + 2) − 1
= 2𝑥2
− 10𝑥 + 4 − 1
= 2𝑥2
− 10𝑥 + 3
Jadi, (𝑓 ∘ 𝑔)(5) = 2(5)2
− 10(5) + 3 = 50 − 50 + 3 = 3
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena 𝑔(5) = 2, maka:
𝑓(𝑔(5)) = 𝑓(2) = 3
Contoh Soal 2:
Diketahui 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 5𝑥 + 2. Tentukan (𝑔 ∘ 𝑓)(−1) = ?
Penyelesaian:
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))
= 𝑔(2𝑥 − 1)
= (2𝑥 − 1)2
− 5(2𝑥 − 1) + 2
= 4𝑥2
− 4𝑥 + 1 − 10𝑥 + 5 + 2
= 4𝑥2
− 14𝑥 + 8
Jadi, (𝑔 ∘ 𝑓)(−1) = 4(−1)2
− 14(−1) + 8 = 4 + 14 + 8 = 26
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena 𝑓(−1) = −3, maka:
𝑔(𝑓(−1)) = 𝑔(−3) = 26

4. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 49
Menentukan fungsi pembentuk komposisi
Contoh Soal 1:
Diketahui (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 + 2 dan 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1, maka 𝑔(𝑥) = ?
Penyelesaian:
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 + 2
𝑓(𝑔(𝑥)) = 3𝑥 + 2
3𝑔(𝑥) − 1 = 3𝑥 + 2
3𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 2 + 1
3𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 3
𝑔(𝑥) =
3𝑥 + 3
3
𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena 𝑓 ∘ 𝑔 = ℎ, maka 𝑔 = 𝑓−1
∘ ℎ.
Jadi 𝑔(𝑥) = 𝑓−1
(ℎ(𝑥)), artinya substitusikan fungsi komposisi ℎ ke fungsi 𝑓−1
.
Invers akan dibahas nanti.
Contoh Soal 2:
Diketahui (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 + 2 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1, maka 𝑓(𝑥) = ?
Penyelesaian:
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 + 2
𝑓(𝑔(𝑥)) = 3𝑥 + 2
𝑓(𝑥 + 1) = 3𝑥 + 2⏟
𝑚𝑢𝑛𝑐𝑢𝑙𝑘𝑎𝑛
𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 (𝑥+1)
𝑓(𝑥 + 1) = 3(𝑥 + 1) − 1
𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena 𝑓 ∘ 𝑔 = ℎ, maka 𝑓 = ℎ ∘ 𝑔−1
.
Jadi 𝑓(𝑥) = ℎ(𝑔−1(𝑥)), artinya substitusikan fungsi 𝑔−1
ke fungsi komposisi ℎ.
Invers akan dibahas nanti.
Contoh Soal 3:
Diketahui (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 2𝑥2
− 10𝑥 + 3 dan 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, maka 𝑔(𝑥) = ?
Penyelesaian:
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 2𝑥2
− 10𝑥 + 3
𝑓(𝑔(𝑥)) = 2𝑥2
− 10𝑥 + 3
2𝑔(𝑥) − 1 = 2𝑥2
− 10𝑥 + 3
2𝑔(𝑥) = 2𝑥2
− 10𝑥 + 4
3𝑔(𝑥) =
2𝑥2
− 10𝑥 + 3
2
𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 5𝑥 + 2
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena 𝑓 ∘ 𝑔 = ℎ, maka 𝑔 = 𝑓−1
∘ ℎ.
Jadi 𝑔(𝑥) = 𝑓−1
(ℎ(𝑥)), artinya substitusikan fungsi komposisi ℎ ke fungsi 𝑓−1
.
Invers akan dibahas nanti.

5. Halaman 50 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 4:
Diketahui (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 2𝑥2
− 10𝑥 + 3 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 5𝑥 + 2, maka 𝑓(𝑥) = ?
Penyelesaian:
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 2𝑥2
− 10𝑥 + 3
𝑓(𝑔(𝑥)) = 2𝑥2
− 10𝑥 + 3
𝑓(𝑥2
− 5𝑥 + 2) = 2𝑥2
− 10𝑥 + 3⏟
𝑚𝑢𝑛𝑐𝑢𝑙𝑘𝑎𝑛
𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 (𝑥2−5𝑥+2)
𝑓(𝑥2
− 5𝑥 + 2) = 2(𝑥2
− 5𝑥 + 2) − 1
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena 𝑓 ∘ 𝑔 = ℎ, maka 𝑓 = ℎ ∘ 𝑔−1
.
Jadi 𝑓(𝑥) = ℎ(𝑔−1(𝑥)), artinya substitusikan fungsi 𝑔−1
ke fungsi komposisi ℎ.
Invers akan dibahas nanti.
Contoh Soal 5:
Diketahui (𝑔 ∘ 𝑓)(x) = 4𝑥2
− 14𝑥 + 8 dan 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, maka 𝑔(𝑥) = ?
Penyelesaian:
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 4𝑥2
− 14𝑥 + 8
𝑔(𝑓(𝑥)) = 4𝑥2
− 14𝑥 + 8
𝑔(2𝑥 − 1) = 𝟒𝒙 𝟐
− 14𝑥 + 8⏟
𝑚𝑢𝑛𝑐𝑢𝑙𝑘𝑎𝑛
𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 (2𝑥−1)
𝑔(2𝑥 − 1) = (𝟐𝒙 − 𝟏) 𝟐
+ 𝟒𝒙 − 𝟏 − 14𝑥 + 8
𝑔(2𝑥 − 1) = (2𝑥 − 1)2
− 𝟏𝟎𝒙 + 7
𝑔(2𝑥 − 1) = (2𝑥 − 1)2
− 𝟓(𝟐𝒙 − 𝟏) − 𝟓 + 7
𝑔(2𝑥 − 1) = (2𝑥 − 1)2
− 5(2𝑥 − 1) + 2
𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 5𝑥 + 2
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Karena 𝑔 ∘ 𝑓 = ℎ, maka 𝑔 = ℎ ∘ 𝑓−1
.
Jadi 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑓−1(𝑥)), artinya substitusikan fungsi 𝑓−1
ke fungsi komposisi ℎ.
Invers akan dibahas nanti.
𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 (2𝑥 − 1)2
= 4𝑥2
− 4𝑥 + 1,
𝑚𝑎𝑘𝑎 4𝑥2 = (2𝑥 − 1)2 + 4𝑥 − 1)
𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 − 5(2𝑥 − 1) = −10𝑥 + 5,
𝑚𝑎𝑘𝑎 − 10𝑥 = −5(2𝑥 − 1) − 5

6. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 51
Menentukan Invers Fungsi
Contoh Soal 1:
Jika 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, tentukan 𝑓−1(𝑥)!
Penyelesaian:
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1
𝑦 = 2𝑥 − 1
2𝑥 = 𝑦 + 1
𝑥 =
𝑦 + 1
2
𝑓−1(𝑥) =
𝑥 + 1
2
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan 𝑦 = 2𝑥 − 1,
Urutan operasi yang dilakukan terhadap 𝑥 adalah:
1. Dikalikan 2
2. Dikurangi 1
Maka operasi invers adalah BALIK OPERASI DAN BALIK URUTAN:
1. Ditambah 1
2. Dibagi 2
Sehingga:
𝑓−1(𝑥) =
𝑥 + 1
2
Contoh Soal 2:
Jika 𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 4𝑥 + 3, tentukan 𝑔−1(𝑥)!
Penyelesaian:
𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 4𝑥 + 3
𝑦 = 𝑥2
− 4𝑥 + 3
𝑦 = 𝑥2
− 4𝑥 + 4 − 1
𝑦 = (𝑥 − 2)2
− 1
(𝑥 − 2)2
= 𝑦 + 1
𝑥 − 2 = √ 𝑦 + 1
𝑥 = √ 𝑦 + 1 + 2
𝑓−1(𝑥) = √𝑥 + 1 + 2
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 4𝑥 + 3 ubah dulu menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna, sehingga menjadi
𝑔(𝑥) = (𝑥 − 2)2
− 1.
Urutan operasi yang dilakukan terhadap 𝑥 adalah:
1. Dikurangi 2
2. Dikuadratkan
3. Dikurangi 1
Maka operasi invers adalah BALIK OPERASI DAN BALIK URUTAN:
1. Ditambah 1
2. Diakar kuadrat
3. Ditambah 2
Sehingga:
𝑓−1(𝑥) = √𝑥 + 1 + 2

7. Halaman 52 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3:
𝑓(𝑥) =
3𝑥 + 5
2𝑥 + 1
Tentukan 𝑓−1(𝑥)!
Penyelesaian:
𝑓(𝑥) =
3𝑥 + 5
2𝑥 + 4
𝑦 =
3𝑥 + 5
2𝑥 + 4
𝑦(2𝑥 + 4) = 3𝑥 + 5
2𝑥𝑦 + 4𝑦 = 3𝑥 + 5
2𝑥𝑦 − 3𝑥 = −4𝑦 + 5
𝑥(2𝑦 − 3) = −4𝑦 + 5
𝑥 =
−4𝑦 + 5
2𝑦 − 3
𝑓−1(𝑥) =
−4𝑥 + 5
2𝑥 − 3
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑
⇒ 𝑓−1(𝑥) =
−𝑑𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 − 𝑎
Tukarkan dan ubah tanda diagonal utama.
𝑓(𝑥) =
3𝑥 + 5
2𝑥 + 4
⇒ 𝑓−1(𝑥) =
−4𝑥 + 5
2𝑥 − 3

8. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 53
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Diketahui fungsi 13)(  xxf dan .32)( 2
 xxg Komposisi fungsi ))(( xfg  ....
A. 139 2
 xx
B. 369 2
 xx
C. 669 2
 xx
D. 21218 2
 xx
E. 11218 2
 xx
2. Diketahui fungsi 32)(  xxf dan .32)( 2
 xxxg Komposisi fungsi ))(( xfg  ....
A. 942 2
 xx
B. 342 2
 xx
C. 1864 2
 xx
D. xx 84 2

E. xx 84 2

3. Diketahui fungsi 12)(  xxf dan .4)( 2
xxxg  Komposisi fungsi ))(( xgf  ....
A. 282 2
 xx
B. 282 2
 xx
C. 182 2
 xx
D. 282 2
 xx
E. 182 2
 xx
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))
= 𝑔(3𝑥 − 1)
= 2(3𝑥 − 1)2
− 3
= 2(9𝑥2
− 6𝑥 + 1) − 3
= 18𝑥2
− 12𝑥 + 2 − 3
= 18𝑥2
− 12𝑥 − 1
TRIK SUPERKILAT:
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) artinya substitusikan 𝑓(𝑥) ke 𝑔(𝑥).
Coba ah iseng saya substitusikan 𝑥 = 0 ke 𝑓(𝑥),
ternyata hasilnya 𝑓(𝑥) = −1.
Iseng lagi ah, saya substitusikan 𝑥 = −1 ke 𝑔(𝑥),
Ternyata hasilnya 𝑔(−1) = −1.
Lalu saya substitusikan 0 ke semua pilihan
jawaban. Mana yang hasilnya −1? Ternyata
jawaban E saja!
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))
= 𝑔(2𝑥 − 3)
= (2𝑥 − 3)2
+ 2(2𝑥 − 3) − 3
= (4𝑥2
− 12𝑥 + 9) + (4𝑥 − 6) − 3
= 4𝑥2
− 8𝑥
TRIK SUPERKILAT:
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) artinya substitusikan 𝑓(𝑥) ke 𝑔(𝑥).
Coba ah iseng saya substitusikan 𝑥 = 1 ke 𝑓(𝑥),
ternyata hasilnya 𝑓(1) = −1.
Iseng lagi ah, saya substitusikan 𝑥 = −1 ke 𝑔(𝑥),
ternyata hasilnya 𝑔(−1) = −4.
Lalu saya substitusikan 1 ke semua pilihan
jawaban. Mana yang hasilnya −4? Ternyata hanya
dipenuhi oleh jawaban E saja!
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
= 𝑓(𝑥2
− 4𝑥)
= 2(𝑥2
− 4𝑥) + 1
= 2𝑥2
− 8𝑥 + 1
TRIK SUPERKILAT:
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) artinya substitusikan 𝑔(𝑥) ke 𝑓(𝑥).
Coba ah iseng saya substitusikan 𝑥 = 0 ke 𝑔(𝑥),
ternyata hasilnya 𝑔(0) = 0.
Iseng lagi ah, saya substitusikan 𝑥 = 0 ke 𝑓(𝑥),
ternyata hasilnya 𝑓(0) = 1.
Lalu saya substitusikan 0 ke semua pilihan
jawaban. Mana yang hasilnya 1? Ternyata hanya
dipenuhi oleh jawaban C saja!