Matriks Perkalian

MATRIKS
Rhully Irawan Ansori S.Pd.

Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
menentukan penyelesaian
persoalan matriks
dengan menggunakan
operasi perkalian matriks
dan invers matriks
beserta sifat-sifatnya.
rhullykhuya

Perkalian matriks
dengan matriks
Perhatikan ilustrasi berikut:
Randy dan Lya ingin membeli
buku dan pensil. Randy membeli
3 buku dan 1 pensil. Lya membe-li
4 buku dan 2 pensil.
http://meetabied.wordpress.com

Jika harga sebuah buku
Rp500,00 dan
sebuah pensil Rp150,00;
Berapa masing-masing mereka
harus membayar?

Jawab:
Randy = 3 x 500 + 1 x 150
= Rp1.650,00
Lya = 4 x 500 + 2 x 150
= Rp2.300,00
Penyelesaian di atas dapat
diselesaikan dengan perkalian
matriks sebagai berikut:


 

3 1
4 2

 


 


 

kolom = baris
3 x 500 + 1 x 150
4 x 500 + 2 x 150
=
=
500
150

 

 

1650
2300

 



(2 x 2) (2 x 1)
(2 x 1)

Syarat Perkalian Matriks
Matriks A dapat dikalikan
dengan matriks B
jika
banyak kolom matriks A =
banyak baris matriks B

Jika matriks A berordo m x n
dan matriks B berordo n x p
maka A x B = C
dengan C berordo m x p
Am x n x Bn x p = Cm x p

Cara Mengalikan Matriks
misal A x B = C
maka
elemen matriks C
adalah penjumlahan dari hasil kali
elemen baris matriks A
dengan elemen kolom matriks B
yang bersesuaian

Am x n x Bn x p = Cm x p

Baris 1
Baris 2 






 K
K
ol
o
m
1


ol
o
m
2


Baris 1 x kolom 1 Baris 1 x kolom 2

Baris 2 x kolom 1 Baris 2 x kolom 2
=
x
… … …
…
…
…
…
…
Baris 1 x…….
……….x kolom1
……………..
…………..

Contoh 1:
 1 2
3 4








 7
5
6


8



1 x 5 + 2 x 6 1 x 7 + 2 x 8


3 x 5 + 4 x 6 3 x 7 + 4 x 8
=
x



1 x 5 + 2 x 6 1 x 7 + 2 x 8

3 x 5 + 4 x 6 3 x 7 + 4 x 8
=






=
17 23
39 53

Contoh 2:

5 7
6 8 






 2
1
3


4


 5 x 1 + 7 x 3 5 x 2 + 7 x 4
6 x 1 + 8 x 3 6 x 2 + 8 x 4
=
x




=
26 38
30 44

A =
Contoh 3:
3 1

 

 
2 4
 


 

 
1 8
 

2 5
dan B =
Hitunglah: A x B dan B x A

A x B =
=
=
-1
3
2 4

 


 


-2 5
1 8

 

 


 


 

3 x 5 + ( -1 ) x 8
3 x (-2) + (-1) x 1
2 x (-2) + 4 x 1 2 x 5 + 4 x 8
 -7
7
0 42

 

 



 

-2 5 -1
1 8 

(-2) x 3 + 5 x 2

 

B x A =
=

3
2 4


 

 


 

 4
22
19 31
(-2) x (-1) + 5 x 4
1 x 3 + 8 x 2 1 x (-1) + 8 x 4
=

 

 


kesimpulan
A x B  B x A
artinya
perkalian matriks
tidak bersifat komutatif

Contoh 4:
Nilai a dari persamaan matriks:

 



 


3
1
b
d

 

4 5


 


3 b
2 1

 



 


4 3

 


 

2 1
c a
1
c
+ =
adalah….


 

-1 d
-b 3
 

Bahasan
 4 -5
-3 b =  

+  

 



2
-4
 

 
-1
2c 1
3 c a +1





 

3 d - 5
-b - 3 3 + b
 

4c + (-c) 2 + (-1)(a + 1)
-8c + 3c -4+ 3(a + 1)

=  

 


 

3 d 5

  
  

b 3 3 b

 


 5c  4  3a  3
 

3c 2 - a -1
=

3 = 3c  c = 1
-b – 3 = -5c
-b – 3 = -5
-b = -2  b = 2
3 + b = -1 + 3a
3 + 2 = -1 + 3a
5 = -1 + 3a
6 = 3a
Jadi nilai a = 2

Invers Matriks
Pengertian:
Jika hasil kali dua buah matriks
adalah matriks identitas,
(A x B = B x A = I)
maka
matriks A adalah invers matriks B
atau sebaliknya
matriks B invers matriks A

Contoh 1

 


 2  5
 

1 3

 
2 1
A = dan B = 

 

5 3


 2  5
A x B =  

 

1 3

 

 
2 1
 

5 3
-5+6 -3+3
10-10 6-5

=  

 



0 1
=  

 

1 0
= I

Contoh 2

 


 2  5
 

1 3

 
2 1
A = dan B = 

 

5 3


 2  5

 
2 1
B x A =  

 

1 3
 

 

5 3

-5+6 -15+15
2-2 6-5
=  

 



0 1
=  

 

1 0
= I

karena A x B = B x A = I
berarti
B = invers A, atau A = invers B.
Jika B = invers A dan di tulis A-1
maka
A. A-1 = A-1. A = I

Invers Matriks (2 x 2)
Jika A =

 


 

b a
d c
maka invers matriks A

 
1 
d -b
adalah A-1 =
ad – bc = determinan matriks A

 

ad - bc
-c a

Jika
ad – bc = 0
berarti
matriks tsb tidak mempunyai invers.
Sebuah matriks yang tidak
mempunyai invers disebut
matriks singular

Contoh

 

1 2
Jika A =

maka invers matriks A
adalah….
 

3 5



-5  

 


d b
1
3 1


 


Bahasan



5 2
1
6 - 5
3
-1
2

 

1
 
2.3 - 1.5
A 1

 

3 1


 



5 2
 

 


 
c a
ad - bc
A 1

  



 

2 1
5 3
A

Sifat-sifat Invers Matriks:
1. A.A-1 = A-1.A = I
(A. B)-1 = B-1. A-1
(A-1 )-1 = A
2.
3.


 

Contoh 1

 

2 1
4 3
Diketahui A =

3 1

 


 

2 0

dan B =
maka (AB)-1 adalah….

Bahasan


2 1
AB =  

 

4 3

2 0
3 1

 


 



-2 + 6 0 - 2
-6 + 12

 

 


0 - 4

 


 

4 
2


6 4


 


 

4 
2


6 4
AB

2
 


(AB) 1 -4
 

1
  
 
16 ( 12)
4
-6

 



 


1


4 2
6 4
4











1
1
1
1 1
Jadi (AB)
2
2
-1


 


 

1 3
2 4
Contoh 2
Jika invers matriks A =
maka matriks A adalah….

A = (A-1 )-1
3 1
4 2

 
A 1

 

 

-1

 


2
(A 1 ) 1  

1

  
3.2 1.4
3
-4
Bahasan
2 1

 







4 3
1
2

2 1

 



 


   
4 3
1
2
(A ) A 1 1




1







3
2
1
2
2
Jadi matriks A

Penyelesian
Persamaan Matriks
Jika A, B dan M adalah
matriks ordo (2x2)
dan A bukan matriks singular
maka
penyelesaian persamaan matriks
☻AM = B adalah M = A-1.B
☺MA = B adalah M = B.A-1

Contoh 1


3 5
Jika A = dan B =

 
5 0
Tentukan matriks M berordo (2x2)
yang memenuhi: a. AM = B
b. MA = B
 

 

1 2
 

 

2 1


 

Bahasan

5 3
1 3




 


 
2 5
1
5.1 -3.2
A 1

 


 

1 3



  

1 3


 



2 5
2 5
1
-1
 

 

2 1
A

a.Jika AM = B
maka M = A-1.B

 

 
 


 


 

1 3



2 1
5 0
x
2 5

 


 

(  1)x(  2)  3x5 (  1)x1 
3x0
    

2x( 2) ( 5)x5 2x1 ( 5)x0
17 1

 



 



29 2
Jadi M

b. Jika MA = B
maka M = B.A-1

 


-1 3
x
 


 

 

 

2 5
2 1
5 0
2 2 ( 6) ( 5)

  
4 11

 



 



5 15
Jadi M

 

 

   

( 5) 0 15 0

Contoh 2
Diketahui hasil kali matriks

 


16 3

  

 


 


 


 

9 7
x
4 3
1 2
a b
c d
Nilai a + b + c + d sama
dengan….

Bahasan

 

16 3

  

 



 


 


 

9 7
x
4 3
1 2
a b
c d

 


16 3

 
 


2 3


 


1


  


 

9 7
1 4
8 3
a b
c d

 

32 27 6 21

   
 

 

  


 

16 36 3 28
1
5
a b
c d

 

 
 


5 15
20 25
1
5


 

 
 


  




5 15
20 25
1
5
a b
c d

 

 
  

 



 

1 3
4 5
a b
c d
diperoleh
a = 1, b = -3, c = 4 dan d = 5
berarti
a + b + c + d = 1 – 3 + 4 + 5 = 7

Matriks Perkalian

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Matriks Perkalian

Recently uploaded

Matriks Perkalian