MATH EDUCATION

1. Sistem
Persamaan Linear
dalam Matriks
Created by :
Desi Apriani Silaen (14-115-006)
Malida Hola Aprilyani (14-115-016)
Nurazizah (14-115-020)
Rafilita Susanti (14-115-022)
Assalammualaikum . Wr . wb 1

2. ELIMINASI GAUSS
Prosedur untuk mereduksi suatu matriks menjadi
bentuk baris-eselon tereduksi disebut eliminasi
Gauss-Jordan, sedangkan prosedur untuk
mereduksi suatu matriks menjadi bentuk baris-eselon
disebut elimininasi Gaussian.
Metode ini pada prinsipnya terdiri dari dua bagian :
Bagian A : (Eliminasi Maju) Reduksi beratahap dari
suatu sistem persamaan degenerasi tanpa solusi (yang
berarti bahwa sistem tidak memliki solusi) atau suatu
sistem ekuivalen yang lebih sederhana berbentuk
segitiga atau esselon
2

3. Disini kita mengilustrasikan secara terperinci mengenai eliminasi
gaus dengan menggunakan sistem persamaan linear berikut ini :
x – 3x -2z = 6
2x – 4y – 3z = 8
-3x + 6y + 8z = -5
Bagian A . Kita menggunakan koefisien l dari x persamaan pertama L
sebagai pivot untuk mengeliminasi x dari persamaan kedua dan dari
persamaan ketiga , ini dilakukan dengan cara sebagai berikut :
Kalikan dengan pengali m = -2 dan kemudian tambahkan ke :
dengan kata lain , “gantilah dengan -2 + ” .
Kalikan dengan pengali m = 3 dan kemudian tambahkan ke :
dengan kata lain :. “Gantilah dengan 3 + ” . kedua langkah ini
menghasilkan
3

4. 4
(-2)�1 : -2x + 6y + 4z = -12 3�1: 3x – 9y – 6z = 18
�2 : 2x – 4y – 3z = 8 + �3 : -3x + 6y + 8z = -5 +
�2 baru : 2y + z = -4 �3 baru: -3y + 2z = 13
Maka sistem aslinya digantikan dengan sistem baru berikut ini :
�1 = x-3y-2z = 6
�2 = 2y + z = -4
�3 = -3y +2z = 13
(perhatikan bahwa persamaan �2 dan �3 membentuk subsistem dengan satu
persamaan lebih sedikit dan juga satu variabel tidak-diketahui lebih sedikit
dan juga satu variabel tidak-diketahui lebih sedikit disbanding sistem
aslinya)

5. 5
Selanjutnya kita menggunakan koefisien 2 dari y pada
persamaan kedua (baru) �2 sebagai pivot untuk
mengeliminasi y dari persamaan ketiga (baru) �3. Ini
dilakukan dengan cara sebagai berikut :
(1) Kalikan �2 dengan pengali m = 3/2 dan kemudian
tambahkan ke �3; dengan kata lain, “gantilah �3
dengan ½�2 + �3" (atau, “gantilah �3 dengan 3�2 +
2�3”, yang akan menghindari munculnya pecahan)
Langkah ini mmenghasilkan :
½ �2 : 3y + 1/2z = -6 3�2 : 6y + 3z = -12
�3 : -3y + 2z = 13 atau 2�3 : -6y + 4 z = 26
�3 baru : 7/2 z = 7 �3 baru : 7 z = 14

6. 6
Penerapan Matriks
2.2.1 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel dengan Matriks
Bentuk umum =
𝑎� + 𝑏� = �
𝑐� + 𝑑� = �
Sistem persamaan linear diatas bila dinyatakan dalam
notasi matriks :
ቀ
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
ቀቀ
�
�ቀ= ቀ
�
�ቀ
Penyelesaiannya adalah :
ቀ
�
�ቀ= ቀ
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
ቀ
−1
ቀ
�
�ቀ
ቀ
�
�ቀ=
1
𝑎𝑑 −𝑏𝑐
ቀ
𝑑 – 𝑏
– 𝑐 𝑎
ቀቀ
�
�ቀ

7. 7
Contoh soal :
Tentukan penyelesaian sistem sistem persamaan linear
2� – � = 2
3� + 2� = 17
dengan menggunakan matriks.
Penyelesaian :
2� − � = 2
3� + 2� = 17
ቀ
2 − 1
3 2
ቀቀ
�
�ቀ= ቀ
2
17
ቀ
ቀ
�
�ቀ= ቀ
2 − 1
3 2
ቀ
−1
ቀ
2
17
ቀ
= ቀ
1
7
ቀቀ
2 1
−3 2
ቀቀ
2
17
ቀ
= ቀ
1
7
ቀቀ
21
28
ቀ
= ቀ
3
4
ቀ
Jadi, x = 3 dan y = 4

8. 8
1.2.2 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan
Determinan
Perhatikan sistem persamaan linear :
𝑎� + 𝑏� = �
𝑐� + 𝑑� = �
Sistem persamaan diatas dapat ditulis sebagai :
ቀ
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
ቀቀ
�
�ቀ= ቀ
�
�ቀ
Untuk mendapatkan penyelesaiannya, dihitung dulu ∇, ∇�, 𝑑𝑎� ∇�
dengan :
∇ = ቀ
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
ቀ; ∇x =
� 𝑏
� 𝑑
; ∇y = ቀ
𝑎 �
𝑐 �ቀ
Selanjutnya
x =
∇�
∇
dan y =
∇�
∇
contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
� + � = −1
2� − � = 7
Solusi :
ቀ
1
2 − 1
ቀቀ
�
�ቀ=ቀ
−1
7
ቀ
∇= ቀ
1 1
2 − 1
ቀ= -3 ; ∇� = ቀ
−1 1
7 − 1
ቀ= -6
∇� = ቀ
1 − 1
2 7
ቀ= 9

9. 9
Y =
∇�
∇
=
9
−3
= -3
Jadi, himpunan penyelesaian
= {(2,-3)}.
1.2.2 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
dengan matriks
Bentuk umum :
𝑎� + 𝑏� + 𝑐� = �
𝑑� + 𝑒� + 𝑓� = �
𝑔� + ℎ� + 𝑖� = �
Sistem persamaan linear diatas bila dinyatakan dalam notasi matriks :
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
ቀ
�
�
�
ቀ =ቀ
�
�
�
ቀ
Penyelesaiannya adalah :
ቀ
�
�
�
ቀ =
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
−1
ቀ
�
�
�
ቀ

10. 10
Contoh :
� + � + 3� = −1
2� − � + 5� = 7
1� + 2� + 7� = 9
ቆ
�
�
�
ቆ =
� � �
� � �
� ℎ �
−1
ቆ
�
�
�
ቆ
=
1
� � �
� � �
� ℎ �
. adj.
� � �
� � �
� ℎ �
ቆ
�
�
�
ቆ
= ቆ
� � �
� � �
� ℎ �
ቆ
� �
� �
� ℎ
= aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi
= 1.-1.7 + 1.5.1 + 3.2.2 – 3.-1.1 + 1.5.2 + 1.2.7
= -7 + 5 + 12 + -3 +10 + 14
= -11
= −11 .
−17 −19 5
−1 4 −1
2 −4 −3

11. 11
=
−
17
31
−
19
31
5
31
−
1
31
4
31
−
1
31
2
31
−
4
31
−
3
31
.
−1
7
9
=
17
31
+
1331
31
+
459
31
1
31
+
28
31
+ −
9
31
−
2
31
+ −
28
31
+ −
27
31
=
609
31
20
31
−
27
31
X = 609/31
Y = 20/31
Z = -57/31

12. 12