1. 5ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ- ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 1
Υποδείγματα συναρτήσεων μέσω δυναμικών λογισμικών
Γεωμετρίας
Ιωάννης Π. Πλατάρος Αθηνά Δ. Παπαδοπούλου
ΜΠΕ Διδ/κή & Μεθ/γία των Μαθ/κών ΜΔΕ Διαφ/κές Εξ/σεις και Δυν/κά
Συστήματα.
plataros@gmail.com athenamath@hotmail.com
ΠΕΡΙΛΗΨΗ
Κάποια απλά δυναμικά υποδείγματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας μπορούν να
δείξουν την ύπαρξη απεικονίσεων μεταξύ ευθ. τμημάτων, ευθειών, ημιευθιών, τόξων κύκλων
κ.τ.λ. οι οποίες έχουν εξαιρετικό ενδιαφέρον καθ' εαυτές και επάγουν σε αντίστοιχες
πραγματικές συναρτήσεις. Έτσι, αναδεικνύεται η σύνδεση Ευκλείδειας Γεωμετρίας με την
Ανάλυση, πράγμα που συμβάλει στην ανάδειξη του ενιαίου και της συνεκτικότητας των
μαθηματικών κλάδων, που αποτελεί ζητούμενο διδακτικών στόχων.
ΛΕΞΕΙΣ –ΚΛΕΙΔΙΑ: γεωμετρικά μοντέλα, δυναμικά μοντέλα, υποδείγματα,
συναρτήσεων, κατασκευή συναρτήσεων.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Υπάρχουν μερικά προβλήματα της Ανάλυσης, τα οποία αναδεικνύουν το ενιαίο
κλάδων των μαθηματικών, με ενδιαφέροντα τρόπο, πράγμα που αποτελεί έναν διδακτικό
στόχο στην διδασκαλία των μαθηματικών. Ο στόχος δεν είναι άλλος από την διεύρυνση
του γνωστικού πλαισίου στην λυτική προβλήματος, πράγμα που επιτυγχάνεται με την
επιστράτευση εργαλείων από έναν κλάδο σε άλλον, σχεδόν πάντα με γόνιμες συνέπειες,
στα πλαίσια και της ολιστικής θεώρησης της γνώσης.
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
«Να βρεθούν απεικονίσεις «1-1 και επί» που να απεικονίζουν ευθύγραμμα
τμήμα σε τμήμα , ευθύγραμμα τμήμα σε ημιευθεία και ευθύγραμμα τμήμα σε ευθεία.»
ΤΜΗΜΑ ΣΕ ΤΜΗΜΑ
«Να βρεθεί συνάρτηση f :[α,β][γ,δ] Ο
που να είναι 1-1 και επί»
Στο διπλανό Γεωμετρικό μοντέλο, έχω [α,β]//
[γ,δ] και κάθε σημείο του ευθ. τμήματος [α,β]
(λ.χ. το χ) αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο ένα α β
σημείο του [γ,δ] (το f(x) ) και αντιστρόφως Χ
(1-1) Το σχήμα καθ΄ εαυτό, αποτελεί και την
γραφική παράσταση της απεικόνισης σε μια
μορφή που δεν έχουμε συνηθίσει, αλλά η οποία
είναι εξόχως παραστατική. Αν επιχειρήσουμε να γ δ
f(X)
βρούμε τον τύπο της αντίστοιχης συνάρτησης,
από τα όμοια τρίγωνα, θα έχουμε την σχέση : Σχήμα 1
χ −α β −α
= , απ΄ όπου μετά από τις πράξεις παίρνουμε την λύση
f ( x) − γ δ − γ

2. 16
14
5ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ- ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 2
( χ − α )(δ − γ )
f ( x) = + γ . Τα παραπάνω λαμβάνουν ζωή και παραστατικότητα, με ένα
12
β −α
δυναμικό λογισμικό, καθώς το χ 10 Ο
μετακινείται στο [α,β] και η εικόνα του
μετακινείται στο [γ,δ] . Ενδιαφέρον έχει 8
η
προφάνεια ύπαρξης της αντίστροφης
y α'
συναρτήσεως στο σχήμα αλλά και 6
α
αλγεβρικά, καθώς το f(x) παίρνει την Χ
θέση του x και αντιστρόφως. Μια 4
f(α) β=f(α')
f(y)
προσπάθεια περεταίρω γενίκευσης,
γ
οδηγεί στην εξέταση της περίπτωσης 2
f(f(y)) δ
που το [α,β] δεν είναι παράλληλο με το
[γ,δ] . Τότε, η απεικόνιση, εξακολουθεί 5 10 15 20 25
να φαίνεται απλή, όμως ο υπολογισμός
Σχήμα 2
του τύπου γίνεται πιο πολύπλοκος
-2
πλέον, αν και μπορεί να ανάγεται στην προηγούμενη περίπτωση της παραλληλίας μέσω
του σχήματος 2. Καθώς το χ κινείται στο [α,β] η εικόνα του στο [γ,δ] πλέον διαγράφει
καμπύλη και όχι ευθεία, της οποίας ο τύπος μπορεί να υπολογισθεί πιο πολύπλοκα, αλλά
πάντα γεωμετρικά με την βοήθεια ομοίων τριγώνων. Φυσικά, η ακόμα περεταίρω
γενίκευση, οδηγεί στην αντικατάσταση του [α,β] με μια οποιαδήποτε κυρτή γραμμή ή και
μη κυρτή υπό προϋπόθεση μοναδικής τομής με την απεικονίζουσα Οf(x). Έτσι η απειρία
των προκυπτουσών οικογενειών συνεχών απεικονίσεων 1-1 και επί είναι πάρα πολύ
εποπτική.
ΤΜΗΜΑ ΣΕ ΗΜΙΕΥΘΕΙΑ Δ Γ
« Να βρεθεί f:[α,β)[α,+ ∞) που Ο
να είναι 1-1 και επί»
Στο διπλανό σχήμα 3, το Χ , είναι η
προβολή του Ο που κινείται στην
διαγώνιο του τετραγώνου ΑΒΓΔ.
Καθώς το Ο κινείται στην
διαγώνιο, η προβολή του το Χ, A X B f(X)
κινείται στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ Σχήμα 3
≡ [α , β ) . Έτσι, το f(X) διατρέχει την ημιευθεία
[α , +∞) . Από τα εμφαινόμενα στο σχήμα εκ κατασκευής όμοια ορθογώνια τρίγωνα και
χ − α f ( x) − x
ισοσκελή ορθογώνια, λαμβάνουμε την σχέση : = ,απ΄ όπου έχουμε
β − α f ( x) − α
(2α − β ) χ − α 2
f ( x) = που είναι η ζητούμενη απεικόνιση. Εύκολα γενικεύεται, ώστε να
χ −β
μην έχουν τα διαστήματα κοινή αρχή το α, με κατάλληλη πρόσθεση σταθεράς στο δεύτερο
μέλος τoυ τύπου της f(x). Στο γεωμετρικό μοντέλο, αυτό μπορεί να γίνει με μια κατάλληλη
παράλληλη μεταφορά της ημιευθείας και να φανεί εποπτικά. Και εδώ , η γενίκευση μπορεί
να γίνει με αντικατάσταση του τετραγώνου με ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είτε με
αντικατάσταση της διαγωνίου ΑΓ με μια κυρτή γραμμή ή με κάθε γραμμή (γ) που να έχει
την ιδιότητα: Αν Μ ∈ (γ ) , η ΔΜ, να την τέμνει σε μοναδικό σημείο, το Μ, για κάθε Μ
∈ (γ ) ώστε να έχω απεικόνιση.

3. 5ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ- ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 3
ΤΜΗΜΑ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ
α+β
«Να βρεθεί απεικόνιση f: (α,β)  2 χ
α β
(−∞, +∞) που να είναι 1-1 και επί» Κ
Στο σχήμα 4, βλέπουμε το σημείο χ, το
οποίο κινείται στο ευθύγραμμο τμήμα
α +β
(α,β) που έχει μέσον το Η κάθετη λ
2
στο Χ, τέμνει το ημικύκλιο σε σημείο,
ορίζοντας μια ακτίνα, η προέκταση της 0
οποίας, τέμνει την ευθεία στο f(x) που Λ f(x)
είναι η εικόνα του χ. Με αυτό τον ορισμό, καθώς το χ διατρέχει το (α,β) η εικόνα
του διατρέχει το (−∞, +∞) . Πάλι από τα υπάρχοντα όμοια ορθογώνια τρίγωνα,
έχομε ότι : Σχήμα 4
2 2
 β −α   α+β  α +β
  −χ −  χ−
 2   2  2 , απ΄
=
λ f ( x) − 0
όπου μετά από απλοποιήσεις των απολύτων και τις πράξεις, δίνει
α −β
χ−
f ( x) = λ 2
( χ − α )( β − χ )
ΠΡΟΣΔΟΚΩΜΕΝΑ ΟΦΕΛΗ
Η παρουσίαση των παραπάνω εφαρμογών από ένα δυναμικό Γεωμετρικό
λογισμικό, αναμένεται να επιφέρει τα εξής διδακτικά οφέλη:
• Διευκρινίζει την ομοιότητα και την διαφορά της έννοιας «συνάρτηση»
«απεικόνιση»
• Δείχνει έναν άλλον τρόπο παρουσίασης μιας συνάρτησης –απεικόνισης,
πέραν των γνωστών μορφών που διδάσκονται σήμερα στην ΔΕ δηλ. ως
πίνακα, ως αλγεβρικό τύπο και ως διάγραμμα. Η νέα μορφή απεικονίσεων
είναι ένας άλλος τρόπος παρουσίασης της έννοιας «απεικόνιση» που
προάγει την πολλαπλή αναπαράσταση μιας δεσπόζουσας μαθηματικής
έννοιας, μιας και «τα πάντα στα Μαθηματικά, είναι απεικονίσεις»
• Συνδέεται η ίδια η Ανάλυση με την Γεωμετρία , αφού η σύνδεση της
Γεωμετρίας με την Ανάλυση (λ.χ. μέσω προβλημάτων μεγίστου και
ελαχίστου) είναι αρκετά γνωστή. Στις παρούσες εφαρμογές,
χρησιμοποιούμε απλά μοντέλα και λόγους από όμοια τρίγωνα, και
κατασκευάζουμε συναρτήσεις με επιθυμητές ιδιότητες.
• Οι μαθητές διευρύνουν το εννοιολογικό τους πλαίσιο (context) Τα
γεωμετρικά σχήματα μπορούν να θεωρούνται πλέον και αλλιώς.
• Η έννοια της συνάρτησης αλλά και της αντίστροφης συνάρτησης f--1(x)
(που υπάρχει πάντα λόγω της συνθήκης «1-1 και επί» ) αποκτούν
εξαιρετική αναπαραστατικότητα.

4. 5ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ- ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 4
• Οι εφαρμογές αυτές, αναδεικνύουν απτά, οπτικά, ένα γεγονός που επάγει η
ίδια η κατασκευή των συναρτήσεων και το οποίο δεν γίνεται αντιληπτό
αφού δεν υπογραμμίζεται στην διδασκαλία της Ανάλυσης. Αναφερόμαστε
στο εντυπωσιακό μαθηματικό γεγονός, του ότι α) Όλα τα ευθύγραμμα
τμήματα έχουν το ίδιο πλήθος σημείων, ανεξαρτήτως μήκους β) Ένα
ευθύγραμμο τμήμα έχει ίδιο πλήθος σημείων με μία ημιευθεία, παρ΄ότι το
ένα έχει πεπερασμένο μήκος και το άλλο αρχή, αλλά όχι πέρας γ) Ένα
ευθύγραμμο τμήμα έχει ίδιο πλήθος σημείων με μια ευθεία. Οι παραπάνω
μαθηματικές αλήθειες, εξάγονται από το γεγονός της ερμηνείας της
συνθήκης «1-1 και επί», όπου φαίνεται ότι σε κάθε σημείο του
ευθυγράμμου τμήματος αντιστοιχεί μοναδικό σημείο της ευθείας και
αντιστρόφως. Ο δυναμικός χειρισμός του σχήματος καταδεικνύει πολύ
πειστικά το γεγονός αυτό.
• Η βασική έννοια του Απειροστικού , το όριο, αποκτά παραστατική δύναμη
και πειστικότητα. Στο σχήμα 3, καθώς το Χ πλησιάζει το Β οσοδήποτε
κοντά, το f(x) τείνει στο άπειρο. Ακριβώς πάνω στο Β, το Ο ταυτίζεται με
το Γ και δεν έχουμε σημείο τομής, άρα και τιμή για την συνάρτηση.
Συνεπώς το πεδίο ορισμού της είναι το [α,β) και lim f ( x) = +∞
x→β
• Αναδεικνύεται, η καθόλου προφανής τοπολογική ομοιότητα των
διαστημάτων (α,β) με το (−∞, +∞) αφ΄ ενός και του [α,β) με το [γ, +∞)
αφ΄ ετέρου. Δίνεται η εξαίρετη διδακτική ευκαιρία στον διδάσκοντα να
αναφερθεί στην έννοια του ανοικτού διαστήματος το οποίο είναι άπειρο. Η
κοινή αντίληψη το έχει πεπερασμένο υπό την έννοια του μήκους . Υπό την
έννοια όμως του «μη περατού» του μη έχοντος πέρατα, έχει ενδιαφέρον,
καθώς οι μαθητές (αλλά και αρκετοί φοιτητές πιθανόν και απόφοιτοι που
ασχολούνται με τα μαθηματικά) είναι δέσμιοι μιας οιονεί Πυθαγόρειας
αντίληψης ότι αν από το [α,β] εξαιρέσουμε τα άκρα τους λαμβάνουμε το
(α,β) το οποίο εξακολουθεί να έχει άκρα τους αμέσως διπλανούς αριθμούς
δεξιά και αριστερά των α και β . Βεβαίως η έννοια του «επόμενος
αριθμός» ή «αμέσως προηγούμενος αριθμός» υφίσταται μόνο στους
ακεραίους, ούτε καν στους ρητούς, πόσο δε μάλλον στους πραγματικούς.
Η εμμονή στην λανθασμένη «λογική της ψηφίδας» , που λέει ότι αν
αφαιρέσουμε τις ακραίες ψηφίδες του [α,β] θα μείνουν οι αμέσως
προηγούμενες και επόμενες, παραβιάζει τον ίδιο τον Ευκλείδη που θεωρεί
ότι «σημείον (εστίν) ου μέρος ουθέν». Κι αυτό, διότι η μαθηματική
διαπίστωση ότι το (α,β) δεν έχει πέρατα, προσκρούει στα ισχυρά φυσικά
μοντέλα του ανθρώπου που επιβάλουν στην διανόησή του να δεχθεί, ότι
«όλο και κάποια θα υπάρχουν έστω κι αν είναι δύσκολο να τα
ανακαλύψουμε» . Η απόδειξη με μαθηματικά β΄ Γυμνασίου, ότι ισχύει η
ισότητα 0,99999999……..=1 επάγει στο ότι το [0,1) δεν έχει μέγιστο
στοιχείο. Επί πλέον, αν δεχθούμε ένα μέγιστο στοιχείο α με [0,1) ∋ α <1 ,
a +1
τότε θα ισχύει και a < < 1 άτοπο , διότι το α υπετέθη ως μέγιστο.
2

5. 5ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ- ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 5
Παρ΄ όλη την παράθεση της απόδειξης, δεν επάγεται –εν τούτοις- η
γνώση ότι λ.χ. το [0,1) δεν έχει μέγιστο , πράγμα που είναι ένα γνωστό και
ενδιαφέρον επιστημολογικό εμπόδιο, το οποίο όμως δεν σημαίνει ότι δεν
πρέπει να επιχειρούμε να το διδάξουμε και να προλειάνουμε την τελική
του κατανόηση με τις διδακτικές ευκαιρίες που μας παρουσιάζονται.
ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ
Είναι γνωστός ο προβληματισμός και οι ιστορικές αντεγκλήσεις για το μέλλον
της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας παγκοσμίως. Διάφοροι
διακεκριμένοι μύστες-μελετητές-ερευνητές-θεράποντες των μαθηματικών έχουν
τοποθετηθεί αμέσως ή εμμέσως σε αυτό το μείζον ιστορικό θέμα. Ο ομότιμος
καθηγητής του ΕΚΠΑ Στυλιανός Νεγρεπόντης, έχει εκφράσει την γνώμη, ότι το
μέλλον της Ευκλείδειας Γεωμετρίας περνάει μέσα και από την σύνδεσή της με την
Ανάλυση. Αυτό το ζητούμενο, φαίνεται να υλοποιείται μέσα από τα δυναμικά
γεωμετρικά λογισμικά όπως το Sketchpad και Cabri , που συνδέουν τους δύο
κλάδους. Οι τρεις παρουσιασθείσες εφαρμογές, κινούνται προς αυτή την
κατεύθυνση και φυσικά δεν είναι οι μόνες. Τα δυναμικά γεωμετρικά λογισμικά ως
υπερεργαλεία, μπορούν να επεξεργασθούν τα μαθηματικά πριν γίνουν προτάσεις
και θεωρήματα, δηλ. να φτιάξουν την ισχυρότατη εικασία η οποία μετά θα γίνει
πρόταση ή θεώρημα. Αυτό δεν γίνεται τώρα, αλλά αρχαιώθεν, αφού ο ίδιος ο
Αρχιμήδης στο «Προς Ερατοσθένην Μέθοδος»( 3.83.26-3.84.2 ) αναφέρει «Kaˆ
g£r tina tîn prÒterÒn moi fanšntwn mhcanikîj Ûsteron gewmetrikîj
¢pede…cqh di¦ tÕ cwrˆj ¢pode…xewj eίnai t¾n di¦ toÚtou toà trÒpou qewr…
an· ˜toimÒteron g£r ™sti prolabÒnta di¦ toà trÒpou gnîs…n tina tîn
zhthm£twn por…sasqai t¾n ¢pÒdeixin m©llon À mhdenÕj ™gnwsmšnou
zhte‹n» δηλ. αναφέρει, ότι κάποιες προτάσεις πρώτα ανεκαλύφθησαν με
μηχανικές μεθόδους και μετά με γεωμετρικές και καταλήγει, ότι είναι καλύτερη
αυτή η γνώση έστω και χωρίς απόδειξη, σε σχέση με το να μην γνωρίζουμε τι
αναζητούμε.
Τελικώς, η σύνδεση των μαθηματικών κλάδων είναι μια ελάχιστη και
απολύτως αναγκαία προϋπόθεση πριν φθάσουμε στην διαθεματική και
διεπιστημονική θεώρηση της γνώσης , όπως και στην ολιστική της προσέγγιση.
Υπ΄ αυτήν την έννοια, παρόμοιες εφαρμογές με δυναμικά γεωμετρικά λογισμικά,
πρέπει να υπάρχουν στην Δευτεροβάθμια εκπαίδευση.
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
1. Morris Kline «Τα Μαθηματικά στον Δυτικό Πολιτισμό» τομ. Β΄ εκδόσεις
«Κώδικας» σελ. 259
3. Νεγρεπόντης Στυλιανός (20/12/08) Συζήτηση σε στρογγυλό τραπέζι ημερίδας
της ΕΠ.ΕΝ.ΔΙ.Μ , Πανεπιστημιούπολη ΕΚΠΑ
2. Πλατάρος Γιάννης «Γεωμετρικά πρότυπα συναρτήσεων» Πρακτικά 21ου
Συνεδρίου ΕΜΕ Τρίκαλα, Νοέμβριος 2004 Διατίθεται:
http://homepages.pathfinder.gr/plataros/EMETrikala1.pdf