How much more comprehensible is mathematical Infinity through Lakoff & Núñezl's "Basic Metaphor of Infinity"? Abstract The present work investigates through examples, whether or not the Basic Metaphor of Infinity (B.M.I.) helps the teaching of the difficult concept of mathematical infinity and we come to the conclusion for overestimating the BMI as it does not predict, while there are other better transports to approach the concept of infinity, always with a transition vehicle the mathematics themselves.

1. Πόσο πιο κατανοητό είναι το μαθηματικό Άπειρο μέσω της «Βασικής Μεταφοράς
του Απείρου» των Lakoff & Núñez;
Plataros Ιωάννης Εκπαιδευτικός Π.Ε.03&80
M.Edu. «Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών» & M. Edu «Θεωρία,
Πρακτική και Αξιολόγηση Διδασκαλίας»
Περίληψη
Η παρούσα εργασία διερευνά μέσω παραδειγμάτων, το πόσο βοηθάει ή όχι η Βασική
μεταφορά του Απείρου (Β.Μ.Α.) την διδασκαλία της δύσκολης έννοιας του
μαθηματικού απείρου και καταλήγουμε στο συμπέρασμα για υπερεκτίμηση της ΒΜΑ
δεδομένου ότι δεν προβλέπει, ενώ υπάρχουν και άλλες καλύτερες μεταφορές για να
προσεγγίσουμε την έννοια του απείρου, πάντα με όχημα μετάβασης τα ίδια τα
μαθηματικά.
Λέξεις –κλειδιά : Βασική μεταφορά του απείρου, Β.Μ.Α., διδακτική μεταφορά,
εξήγηση παραδόξου
How much more comprehensible is mathematical Infinity through Lakoff &
Núñezl's "Basic Metaphor of Infinity"?
Abstract
The present work investigates through examples, whether or not the Basic Metaphor of
Infinity (B.M.I.) helps the teaching of the difficult concept of mathematical infinity and
we come to the conclusion for overestimating the BMI as it does not predict, while there
are other better transports to approach the concept of infinity, always with a transition
vehicle the mathematics themselves.
KeyWords Basic metaphor of infinity, B.M.I., didactic metaphor, explanation of
paradox
Πρόλογος
Το άπειρο, από την εποχή των παραδόξων του Ζήνωνα του Ελεάτη ήταν μια μεγάλη
πρόκληση για το ανθρώπινο πνεύμα. Καταλάβαμε όμως, ένα ελάχιστο από την φύση
του συνεχούς. Καταλάβαμε, ότι αν έχεις ένα άπειρο άθροισμα θετικών αριθμών, το
αποτέλεσμα δεν είναι απαραιτήτως άπειρο, αλλά μπορεί να είναι και πεπερασμένο. Ότι
για να διανύσεις ένα πεπερασμένο διάστημα που έχει τμηθεί σε άπειρα διαστήματα, δεν
θα φθάσεις ποτέ από το ένα άκρο στο άλλο, αν για να κάνεις ένα βήμα, χρειάζεσαι ένα
χρονικό διάστημα οσοδήποτε μικρό. Όλα τα παράδοξα του Ζήνωνα απευθύνονταν στην
ανθρώπινη διαίσθηση που άλλα έλεγε από αυτά που τελικά είπαν τα ίδια τα μαθηματικά
με λογικό συμπερασμό.
Μετά ήλθε ο Cantor για να ανακαλύψει ότι δεν είναι όλα τα άπειρα ίδια, αλλά υπάρχουν
διάφορα είδη απείρου, άπειρα στο πλήθος, με το μικρότερο το αριθμήσιμο άπειρο (λ.χ.

2. των Φυσικών αριθμών και επόμενο το υπεραριθμήσιμο των πραγματικών αριθμών
που περιέχονται στο διάστημα (0,1) ακολουθούντων απείρων άλλων ειδών-ιεραρχιών
απείρου. Στην πραγματικότητα δεν ξέρουμε αν υπάρχει κάποιο ενδιάμεσο είδος απείρου
ανάμεσα στα δύο πρώτα, αλλά είτε υπάρχει είτε δεν υπάρχει, αυτό δεν δημιουργεί καμία
αντίφαση στα μαθηματικά που έχουμε στα χέρια μας. Διότι σύμφωνα με τον Φιλόσοφο
Quine (2002) που εξηγεί τα διάσημα θεωρήματά του Gödel για την πληρότητα των
μαθηματικών, «Δεν υπάρχει αποδεικτική διαδικασία τόσο ισχυρή, ώστε όλες οι αλήθειες
λ.χ. της βασικής Θεωρίας Αριθμών (όχι τα ψεύδη) να αποδεικνύονται μέσα στην ίδια την
θεωρία. Σε κάθε αποδεικτική διαδικασία δεν μπορεί παρά: ή κάποιες αλήθειες της εν λόγω
θεωρίας να χαθούν ή να εισαχθούν κάποια ψεύδη». Με την διδακτική και Μαθηματική
επικράτηση του ολοκληρωμένου (εν ενεργεία) απείρου του Cantor, βλέποντας την
παράσταση
1
lim 0
 

 βλέπουμε ότι ναι μεν
1
0 

   , όμως αποδεικνύουμε ότι το
1

είναι «οσοδήποτε κοντά» στο 0 και βεβαίως όταν δύο σταθερές είτε μεταβλητές είναι
«οσοδήποτε κοντά» συμπίπτουν, λόγω ολοκληρωμένου απείρου. Η γνωστή «ένσταση»
του τύπου «πλησιάζει, αλλά ποτέ δεν φθάνει» εκτός του ότι αγνοεί το άχρονο των
Μαθηματικών, παραβλέπει και την εξήγηση των παραδόξων του Ζήνωνα, αφού το
πεπερασμένο μήκος είτε χωριστεί σε άπειρα τμήματα είτε όχι, διανύεται σε
πεπερασμένο χρόνο. Ομοίως και με τα απειροαθροίσματα, τις Σειρές, κάποιες
αθροίζονται σε έναν πραγματικό αριθμό, κάποιες ξεπερνούν οποιονδήποτε πραγματικό
ή υπολείπονται όλων (δηλ. απειρίζονται θετικά ή αρνητικά) ενώ έχουμε και τρίτη
κατηγορία που ιστορικά ταλαιπώρησε τα Μαθηματικά , αυτές που απλώς είτε δεν
παραστάνουν αριθμό είτε δεν απειρίζονται. Τα διδακτικά προβλήματα ωστόσο με το
άπειρο, μάλλον δεν επιλύονται ποτέ . Η μη παραδοχή- κατανόηση του αποτελέσματος
0.999….=1 , που έχει να κάνει με την μη θεώρηση του ολοκληρωμένου απείρου είναι
μια αγαπημένη απασχόληση μεταξύ φοιτητών μαθηματικών στα διάφορα forum και όχι
μόνον. Η έσχατη απόδειξη (πέρα από αυτές που χρησιμοποιούν μαθηματικά Ά
Γυμνασίου) έγκειται στο «ή ισχύει 0,999…=1 ή δεν ισχύει το Αρχιμήδειο αξίωμα
(Αρχιμήδους –Ευδόξου) που ουσιαστικά λέει ότι αν έχεις μια θετική ποσότητα
οσοδήποτε μικρή μπορείς να την πολλαπλασιάσεις κατάλληλα και να ξεπεράσεις
οποιαδήποτε άλλη μεγάλη ομοειδή ποσότητα. (Plataros 2020Β) Εν τω μεταξύ, ισχύει
ήδη ότι 0,999…  1, σε μη Αρχιμήδεια Ανάλυση όπως είναι η «μη Συμβατική Ανάλυση
του Robinson» δηλαδή εκεί όπου υπάρχουν απειροστές ποσότητες κοντά στο 0, για τις
οποίες δεν υπάρχει φυσικός αριθμός αρκετά μεγάλος που αν πολλαπλασιαστεί με αυτές
να τις καταστήσει ικανές να ξεπεράσουν έναν θετικό πραγματικό αριθμό. Έχουμε
μπροστά μας δύο προσεγγίσεις του απείρου που είναι αντιφατικές (με αντίθετα
αξιώματα) όπου περιγράφουν το κάθε ένα, κομμάτια της φυσικής πραγματικότητας,
όπως –αναλόγως- ισχύει με την Ευκλείδεια και τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες που
διαφοροποιούνται στο περίφημο 5ο
«αίτημα» του Ευκλείδη.

3. Η Βασική Μεταφορά του Απείρου (ΒΜΑ) και μια κριτική.
Ο Makrymanolakis (2018) περιγράφει την ΒΜΑ ως εννοιολογική μίξη με το σχήμα:
Πεπερασμένες διαδικασίες (Ολοκληρωμένες) +Εν δυνάμει άπειρο (ατέλειωτες
διαδικασίες) = Εν ενεργεία άπειρο ( Η διαδικασία δεν έχει τέλος, αλλά έχει τελική
κατάσταση)
Το προηγούμενο, περιγράφει συντομογραφικά αλλά και ενδελεχώς την ΒΜΑ που όμως
κατά την γνώμη μας, έχει υπερεκτιμηθεί διδακτικά. Κατά την εκτίμησή μας, οι Lakoff-
Núñez, επινόησαν την ΒΜΑ κυρίως για να απαντήσουν στους Πλατωνιστές
επιστημολόγους και φιλοσόφους των Μαθηματικών και κυρίως στο βασικό ερώτημα: «
Αν ο άνθρωπος είναι ον πεπερεσμένο καθ΄ όλα , όπως διατείνονται οι Υλιστές, πώς
κατορθώνει και διανοείται επί του απείρου επιτυχώς μέσω των Μαθηματικών;» Κατά
την γνώμη μας, δεν είναι ανάγκη να λάβει κάποιος θέση ανάμεσα στις δύο φιλοσοφικές
Σχολές , αφού τα Μαθηματικά είτε προϋπάρχουν ως ανάμνηση είτε τα εφηύραμε, δίνουν
αυτοτελείς απαντήσεις για το άπειρο, ακόμα και με την επιφύλαξη του Gudel, ότι όλες
οι μαθηματικές θεωρίες, δεν είναι «πλήρεις». Αλλά καλύτερα να δούμε τι δεν μπορεί να
κάνει η ΒΜΑ :
 Πρόκειται για μία μεταφορά, στην οποία δεν μπορεί να εφαρμοστεί κάποια 1-1
αντιστοιχία και δεν μπορεί να προβλέψει. Λειτουργεί μόνον εκ των υστέρων.
Συγκεκριμένα: Αν μια πρόταση εφαρμόζεται και ισχύει 
  δεν ισχύει
απαραίτητα και για το ως ολοκληρωμένο άπειρο. Υπάρχουν κλάσεις τέτοιων
προτάσεων και δίνουμε τρία τέτοια παραδείγματα:
Παράδειγμα 1 : Η πρόταση lim( ) lim lim lim
     
   
     
   
     , για
συκλίνουσες ακολουθίες, δεν ισχύει μόνον για τρεις ακολουθίες, αλλά για οσεσδήποτε.
Όχι όμως και για άπειρες με την έννοια του ολοκληρωμένου απείρου. Αυτό εξάγεται
από το αντιπαράδειγμα:
Έστω
1 1 1 1
( ) ... ( )
ή ό
 
      
   
     που είναι ουσιαστικά
σταθερή εξ ορισμού ίση με 1 για κάθε ν και άρα lim lim1 1

 

 
  . Αν την δούμε ως
απειροάθροισμα μηδενικών, έχω
1 1 1 1 1 1
lim lim ... lim lim lim ... 0 0 0 ... 0

    

     
    
 
            
 
 
και έχουμε
αντίφαση. (Spandagos 2 003)
Παράδειγμα 2:
( 1)
,
ί ί ά ή ή ή

         


  ,
Μια «φθίνουσα ταλάντωση» στο 0 αλλά στο ολοκληρωμένο άπειρο του ,  , το
( 1)


γίνεται 0 , αλλάζει δηλ. ποιότητα, σταθεροποιείται, ακινητοποιείται. (Η
μεταφορά του εκκρεμούς που μόλις χρησιμοποιήσαμε σε συνδυασμό με ανάλογο σχήμα
επιτυγχάνει την κατανόηση ασυγκρίτως καλύτερα από την ΒΜΑ.) Γενικά οι
Γεωμετρικές εικόνες συμβάλλουν τα μέγιστα στην κατανόηση των εννοιών του
Απειροστικού Λογισμού . Για παράδειγμα 
 
 , αν και μόνον αν για κάθε σφαίρα

4. με κέντρο το α , οσοδήποτε μικρής ακτίνας, εντός της περιέχει άπειρους όρους της
ακολουθίας και εκτός πεπερασμένους.
Παράδειγμα 3. Αν πάρω ένα απόκομμα της φυσικής διάταξη του , οσοδήποτε μεγάλο,
δηλ.  
0,1,2,3,4,5,6,7,...,
  η πιθανότητα σε κάθε τέτοιο απόκομμα να επιλέξουμε
άρτιο είναι ½ ή περίπου ½ ανάλογα με το ν. Καθώς το ν αυξάνει απεριόριστα η
πιθανότητα πλησιάζει και αυτή στο ½. Όμως, μόλις επιτελεστεί το άλμα στο
ολοκληρωμένο άπειρο, δεν έχει απολύτως κανένα νόημα η εύρεση της πιθανότητας,
κόντρα σε κάθε ανθρώπινη διαίσθηση για το άπειρο. Αυτό προκύπτει από
αντιπαράδειγμα , καθώς μπορούμε ένα απειροσύνολο όπως το , να το αναδιατάξουμε
με την τεχνική του «ξενοδοχείον το Άπειρον» του D. Hilbert, ξεκινώντας με τους
πρώτους διαδοχικούς 1.000 άρτιους και τον πρώτο περιττό, μετά τους επόμενους 1.000
διαδοχικούς επόμενους άρτιους και τον δεύτερο περιττό κ.ο.κ. Με μια τέτοια τεχνική
διάταξη (από τις άπειρες που μπορούμε να παραγάγουμε) η «πιθανότητα» για άρτιο
είναι p=1.000/1.001 που παραβιάζει το μονότιμο της συνάρτησης πιθανότητας, όπερ
άτοπο. (Plataros 2020 Α) Σε όλα αυτά η ΒΜΑ είναι κάτι το εντελώς ξένο που δεν
μπορεί να βοηθήσει ως «μεταφορά» προβλεπτικά. Άρα δεν βλέπουμε να υπάρχει
οποιαδήποτε διδακτική χρησιμότητα.
Ένα παράδειγμα εξήγησης ενός παραδόξου από Lakoff- Núñez και μια κριτική
Οι συγγραφείς παρουσιάζουν μια καμπύλη –συνάρτηση που ορίζεται με άπειρα
ημικύκλια Κάθε ημικύκλιο από την απειροσειρά το ονομάζουν «πρώτη ανώμαλη
καμπύλη». «δεύτερη ανώμαλη καμπύλη» κ.ο.κ. (!) ενώ η «ανώμαλη καμπύλη» (δεν
υπάρχει τέτοια ορολογία) προκύπτει –ενδεχομένως- μόνο στο (ολοκληρωμένο) άπειρο.
Στην λεζάντα του ιδίου σχήματος οι συγγραφείς αναρωτιούνται «πώς είναι δυνατόν» η
εμφαινόμενη στο σχήμα ακολουθία ημικυκλίων με σταθερό μήκος π/2 να τίθεται σε 1-
1 αντιστοιχία με το ευθύγραμμο τμήμα [0,1] που έχει μήκος 1, αφού π/2>1, όπως
φαίνεται στο σχήμα. Η αλήθεια είναι ότι α) Στο σχήμα δεν φαίνεται καμία 1-1
αντιστοιχία μεταξύ της τελικής (στο άπειρο) καμπύλης μήκους π/2 και του [0,1] επίσης
β) Γνωρίζουμε ότι πάντα υπάρχει 1-1 αντιστοιχία μεταξύ ετερομηκών γραμμών και όχι
μόνον, αλλά ισχύουν πολύ ισχυρότερα συμπεράσματα, καθώς λ.χ. το διάστημα

5. ,
2 2
 
 

 
 
μήκους π , μέσω της συνάρτησης εφχ απεικονίζεται 1-1 με το απείρου μήκους
σύνολο των πραγματικών . Επίσης: γ) Υπάρχει το αυθεντικό παλαιό σχήμα από τις
απαρχές θεμελίωσης του Απειροστικού Λογισμού που είναι ισοδύναμο και πιο εύκολα
διαχειρίσιμο, όπως και το -επίσης ισοδύναμο- «παράδοξο της σκάλας» Το κλασικό
σχήμα που δεν χρησιμοποίησαν οι συγγραφείς, είναι το παρακάτω:
Το σχήμα, μπορούμε να το δούμε ως εξής: Αν θεωρήσουμε το Β ως αρχή Καρτεσιανών
αξόνων , που δεν χρειάζεται να σχεδιάσουμε. :
1) Την συνάρτηση g(x)=0 / [0,1] που ορίζεται με το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ, που έχει
μήκος 1.
2) Την συνάρτηση  
1
1
3 , 0,
2
1
3 3 ,1
2
f x
  
  
 
 

 
 
   
  
 
 
   
 
 
 
που ορίζεται γραφικά με την
τεθλασμένη γραμμή ΒΑΓ που έχει εκ κατασκευής μήκος 2.
3) Αν τα Α1, Β1,Γ1, μέσα των πλευρών του μεγάλου ισοπλεύρου τριγώνου, Τότε το
μήκος ΑΒ+ΑΓ =2 μέσω του ρόμβου ΒΑ1 Β1 Γ1 πάει στη ισομήκη τεθλασμένη
ΒΑ1+Α1Β1+Β1Γ1+Γ1Γ=2 που ορίζει μια νέα συνάρτηση 2 ( )
f x /[0,1] που είναι ο

6. δεύτερος όρος μια ακολουθίας συναρτήσεων, που ορίζεται με 22
κλάδους , που όλοι
έχουν τμήματα με εναλλάξ κλίσεις 3 3
 
4) Ομοίως ορίζονται όλες οι ( )
f  με 2ν
κλάδους με κλίσεις 3 3
  εναλλάξ και
μήκος 2
5) 
  , έχουμε :
α) σταθερό μήκος για όλες τις fν , το 2.
β) Η φαινόμενη απόσταση μεταξύ της οριακής f(x) και g(x) είναι το 0.
γ) Tα αντίστοιχα εμβαδά που ορίζονται μεταξύ fν(x) και g(x) σε κάθε βήμα –όρο
ακολουθίας, υποδιπλασιάζονται με οριακό εμβαδόν το 0.
δ ) Η οριακή f και η g , έχουν κοινά άκρα, καθόλου απόσταση μεταξύ τους και η
πρώτη έχει διπλάσιο μήκος . Εδώ έγκειται το παράδοξο. Έχουμε μια πανίσχυρη
οπτική Γεωμετρική εποπτεία ενός παραδόξου που επιζητεί εξήγηση.
Πάμε στις μετρικές μεταξύ συναρτήσεων f(x) και g(x) Παράδειγμα:
Δύο γνωστές μετρικές (Για συνεχείς συναρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού είναι:
( , ) sup | ( ) ( ) | ( , ) | ( ) ( ) |
b
a
d f g f x g x d f g f x g x

   

Για την πρώτη μετρική ( , ) sup | ( ) ( ) |
d f g f x g x
  ήδη δείξαμε ότι η η τιμή της
είναι 0. Για την δεύτερη μετρική ( , ) | ( ) ( ) |
b
a
d f g f x g x
 
 πρέπει (γεωμετρικά
σκεπτόμενοι) να βρούμε το εμβαδόν που περικλείει η οριακή f από την g(x)
1 3
0
2 2
 
    /[0,1] Έχουμε δηλαδή:
1 3
lim lim 0
2 2
 
 
 
   
Η κατανόηση μέσω -μεταφοράς- των μετρικών:
Στην πρώτη μετρική ( , ) sup | ( ) ( ) |
d f g f x g x
  , η απόσταση διαισθητικά
εισπράττεται ως «η μέγιστη απόλυτη διαφορά τιμών των συναρτήσεων στο κοινό
πεδίο ορισμού τους [a,b] που είναι ένα μέτρο απόστασης καθώς πληρούνται οι τρεις
συνθήκες του ορισμού δηλ. 1) Δύο στοιχεία ενός συνόλου έχουν μηδενική απόσταση
αν και μόνον αν πρόκειται για το ίδιο στοιχείο 2) Όσο απέχει το ένα στοιχείο από το
άλλο, απέχει και το άλλο από το πρώτο και 3) Ισχύει η τριγωνική ανισότητα για κάθε
τρία στοιχεία με την ασθενέστερη συνθήκη (μικρότερο ή ίσον, )
Στην δεύτερη μετρική ( , ) | ( ) ( ) |
b
a
d f g f x g x
 
 , η απόσταση εκφράζεται με το
περικλειόμενο εμβαδόν ως απόσταση, πράγμα που εκ πρώτης εντυπώσεως ξενίζει,
αλλά σε δεύτερη ανάγνωση, εισπράττεται ως ότι «το περικλειόμενο εμβαδόν είναι
ένα μέτρο εγγύτητας, αφού μηδενικό εμβαδόν σημαίνει ταύτιση, μεγάλο εμβαδόν
μεγάλη απόσταση, πιο μεγάλο εμβαδόν , πιο μεγάλη απόσταση κτλ υπάρχει δηλ.
μια μονοτονία. Αυτά όταν δεν τέμνονται. Όταν τέμνονται, το απόλυτο διασφαλίζει
το γεωμετρικό θετικό εμβαδόν και όχι το αλγεβρικό που εξ ορισμού του
ολοκληρώματος προκύπτει, πρέπει να έχω μη αρνητικό αποτέλεσμα για να έχει

7. νόημα μέτρου, άρα «το κατάλαβα!» (αυτή η λογικά ορθή εντύπωση ανατρέπεται
παρακάτω με τα άλλα δεδομένα που θα προκύψουν. )
Υπάρχει και η μετρική
1
0
( , ) sup | ( ) ( ) | (| ( ) ( ) |)
x
d f g f x g x f x g x
 
   
 (1) που είναι
για απόσταση συναρτήσεων στο κοινό πεδίο ορισμούς τους [0,1] όπως στο
παράδειγμα που έχουμε. Εδώ η g(x) είναι η μηδενική και άρα έχουμε γι αυτή την
ειδική περίπτωση
1
0
( , ) sup | ( ) | (| ( ) |)
x
d f g f x f x

  (2)
Ο πρώτος όρος της μετρητικής, όπως ήδη αποδείξαμε είναι 0 . Άρα μένει να
υπολογίσουμε τον δεύτερο όρο της μετρικής (2).
Έχουμε      
1 1
1
3, 0,
2
3, 0,1
1
3 ,1
2
f x f x
 
 
 
 
 

 
 
   
 
   
 
 
 
  
 
 
 
διότι κάθε όρος της ακολουθίας συναρτήσεων, προκύπτει από τον προηγούμενο, με
διχοτόμηση των διαστημάτων που ορίζεται η προηγούμενη, κατασκευή ισοπλεύρων με
τις μισές διαστάσεις και τις ίδιες κλίσεις 3 , 3
 εναλλάξ και τελικά :
   
lim 3, 0,1
f x




    και έτσι η τιμή της (2) είναι 3 , σταθερή, θετική.
Οι συγγραφείς επιχειρούν να μας εξηγήσουν πώς προκύπτει το παράδοξο, ανεπιτυχώς κατά την
γνώμη μας. Μπορούν όλοι να καταλάβουν τα εξής:
 Η (1) είναι ένα «υβρίδιο μετρικής» όπου επιτυχημένα έχει δύο όρους, ο πρώτος
παραπέμπει σε μια καθαρή εμπειρική αίσθηση απόστασης όπως την εννοούμε
γλωσσικά, μεταξύ μαθηματικών αντικειμένων των οποίων έχουμε πρότερη εμπειρία και
άρα έχουμε ένα συμβατό μοντέλο μετρικών μεταξύ όλων των μετρικών που είναι κοινά
γνωστές.
 Ο δεύτερος όρος, δίνει ένα μέτρο «ανωμαλίας» των μέσων κατευθύνσεων των
εφαπτομένων των καμπυλών. Αν είναι ίσες, όσο και αν αλλάζουν κατεύθυνση η
διαφορά των πρώτων παραγώγων τους είναι σταθερή. Ούσα η διαφορά σε απόλυτο,
εξασφαλίζουμε το θετικό μέτρο που απαιτεί κάθε μετρική. Έχουμε ένα σχετικό μέτρο
(της μίας ως προς την άλλη, σαν η μία να είναι «άξονας» χχ΄) της σχετικής αλλαγής
κατεύθυνσης ) και αυτό είναι ένα «μέτρο εγγύτητας» μέσω εναλλαγής κατευθύνσεων.
Παρατηρούμε δηλαδή ότι οι συγγραφείς του καινοτόμου Βιβλίου, αφιερώνουν 12 σελίδες από
το βιβλίο τους να εξηγήσουν το κλασικό παράδειγμα, απειροστικής φύσεως των
«ταυτιζόμενων» ετερομηκών επιπέδων καμπυλών, με κοινά άκρα, επικαλούμενοι απλώς την
φύση της ιδιάζουσας μετρικής. Όμως, ο κάθε μαθηματικός αναγνώστης, μπορεί να αποδείξει ότι
είναι μετρική, μπορεί να υπολογίσει την μη μηδενική απόσταση, δεν μπορεί όμως να εξηγήσει
στην φαντασία του γιατί οι δύο καμπύλες ενώ δεν περικλείουν εμβαδόν και γιατί η μία έχει
διπλάσιο μήκος από την άλλη, έχουν «απόσταση» έστω και με καθαρά μαθηματική έννοια
μετρικής. Ο ορισμός της μετρικής με τον ιδιάζοντα τρόπο της διαφοράς πρώτων παραγώγων,
ορίζει πλέον μέτρο απόστασης μη μηδενικό, αλλά όλοι μπορούν να σκεφθούν ότι αυτό έγινε εκ
των υστέρων από κάποιο Μαθηματικό (ορισμός νέας μετρικής) για να συμπεριλάβει και αυτό
το παράδοξο και τα ομοειδή του. Θα μπορούσε να πει κάποιος, ότι αυτό ήταν ένα μαθηματικό
λογιστικό τρικ για άρση του. Βαθύτερη εξήγηση με εννοιολογική μεταφορά, δεν παρέχεται.

8. Εξήγηση για το παράδοξο με την βοήθεια μαθηματικών εργαλείων.
Στην πραγματικότητα, έχουμε μια ακολουθία συναρτήσεων, ( )
f x
 η οποία συγκλίνει
ομοιόμορφα στην 
( ) 0
g x . Έχουμε ήδη παραθέσει παραδείγματα, ότι δε διάφορα είδη
ακολουθιών, κάποια ιδιότητα που ισχύει για όλους τους όρους μιας ακολουθίας, δεν ισχύει και
για το οριακό αποτέλεσμα στο ολοκληρωμένο άπειρο. Είναι σύνηθες στα Μαθηματικά. Εδώ,
μπορούν να απαντηθούν όλα τα ενδεχόμενα ερωτήματα:
Γιατί συγκλίνει η ακολουθία στην 
( ) 0
g x ; Απάντηση (μέσω σχήματος) Διότι για κάθε
παράλληλη ευθεία y=ε (ε>0) στην λωρίδα των παραλλήλων (y=0 και y=ε) υπάρχουν άπειροι
όροι της ακολουθίας και εκτός λωρίδας πεπερασμένοι. Αυτό φαίνεται με την κατασκευαστική
λογική του σχήματος. Λίγο πιο αυστηρά, αν πάρουμε την ακολουθία των υψών των τριγώνων
των διαδοχικών όρων της ακουλουθίας  ( )
f x , την  
 
3
2
, αν λύσουμε την ανίσωση 


3
2
βρίσκουμε άπειρες λύσεις για κάθε ε>0 οσοδήποτε μικρό.
Γιατί συγκλίνει σε αυτήν και όχι σε κάποιαν άλλη; Απάντηση: Διότι το όριο όταν υπάρχει,
είναι μοναδικό. Αυτό είναι κοινό θεώρημα για τα όρια που υπάρχει στα βιβλία. Για την –επί
πλέον αποδεικτική πειθώ όμως, υποθέτουμε ότι υπάρχει κάποια άλλη h(x), διαφορετική της g(x)
που είναι οριακή. Τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον διαφορετική τιμή
για την h(x) , η 0 0
0 ( ) ( ) 0
h x g x
   . Αν θεωρήσω και πάλι την λωρίδα
   
0
0 ,
( )
y g x y h x 
  
 , τότε στην λωρίδα αυτή και σε οσοδήποτε στενότερη, όπως και
πριν, θα υπάρχουν άπειροι όροι της ακολουθίας και έξω πεπερασμένοι όροι που δεν θα
πλησιάζουν την h(x) , άρα η h(x), δεν μπορεί να είναι η οριακή συνάρτηση.
Γιατί δεν συγκλίνει σε κάποια «οδοντωτή» δεδομένου ότι όλοι οι όροι της ( )
f x
 είναι
«οδοντωτοί;» Απάντηση: Αν συνέκλινε σε μια οδοντωτή, τότε το κάθε δοντάκι θα είχε κάποιο
ύψος ε>0 . Όπως και προηγούμενα , υπάρχουν άπειροι όροι της ακολουθίας σε λωρίδες
οσοδήποτε μικρότερου πλάτους από ε, άρα δεν μπορεί να είναι το όριο.
Είναι δυνατόν η όποια οριακή (άγνωστη) συνάρτηση f να έχει μία τιμή της οποίας η
παράγωγος σε αυτό το σημείο να είναι μη μηδενική; Απάντηση: Αν δεχθούμε για την f ότι
υπάρχει x0 : f ΄ (x0) >0 τότε, υπάρχει διάστημα πλάτους 2δ (0<|x-x0|<δ) όπου σε αυτό η
συνάρτηση 0
0
( ) ( )
f x f x
x x


>0 ,δηλ. διατηρεί πρόσημο , απ΄ όπου αμέσως έπεται ότι σε αυτό το
διάστημα είναι γνησίως μονότονη. Γνησίως μονότονη και συνεχής, σημαίνει, ότι σε αυτό το
διάστημα πλάτους δ, η |f(x)| έχει ορισμένο ολοκλήρωμα με τιμή α>0, άτοπο, διότι από την
ακολουθία των εμβαδών,
1 3
2 2
 
   προκύπτει ότι ανίσωση
1 3
2 2
 <α έχει για λύσεις άπειρα
ν μεγαλύτερα κάποιου ν0 για οσοδήποτε μικρό α. Άρα η ακολουθία των συναρτήσεων, δεν
μπορεί να συγκλίνει στην f.
Συμπεράσματα
Είναι αλήθεια, ότι το βιβλίο «Από προέρχονται τα Μαθηματικά» έχει δεχθεί πολύ έντονη κριτική:
Ο (Rossidis 2019) έχει συγκεντρώσει κάποιες διαχρονικές επικρίσεις περιληπτικά για το έργο
των Lakoff,- Núñez και για το προηγούμενο θέμα και για άλλα θέματα που αναφέρονται στο
βιβλίο σε 15 σελίδες αναφερόμενος στους επικριτές του βιβλίου που εστιάζουν είτε σε
μαθηματικά λάθη είτε σε φιλοσοφικές διαφωνίες. Ωστόσο το κεντρικό ερώτημα ήταν αν και
κατά πόσον, η βασική μεταφορά του απείρου , ως εξ ορισμού «διδακτική μεταφορά» συμβάλλει
διδακτικά στην κατανόηση των απειροστικών διαδικασιών των μαθηματικών. Νομίζουμε πώς

9. όχι. Η εμπειρική- καθαρά- εποπτεία μέσω γεωμετρικών μοντέλων και με στοιχειώδη άλγεβρα,
δίνει τα αποτελέσματα ορατά, μπροστά μας, οπτικά αιτιολογημένα και λογικά αιτιολογημένα.
Το γενικό μοτίβο για όλα τα όρια όλων των ειδών, μπορεί να αναχθεί στο «εντός κάθε περιοχής
του ορίου υπάρχουν άπειροι όροι κάποιας ακολουθίας και εκτός πεπερασμένοι» Η επίσημη τελική
εξήγηση των συγγραφέων «είναι θέμα μετρικής αποστάσεων συναρτήσεων» και ότι «επειδή οι
εφαπτόμενες όλων των όρων των ακολουθιών, δεν συγκλίνουν στις εφαπτόμενες της g(x)=0, τα
μήκη των ακολουθιών (που είναι σταθερά=2 ) δεν θα συγκλίνουν στο μήκος της g(χ)=ο, που
είναι 1. Και αυτό το δίνουν ως «εξήγηση» ενώ αυτό ακριβώς το σημείο απαιτεί εξήγηση. Δηλ.
ναι μεν μαθηματικά είναι «θέμα επιλογής μετρικής» αλλά θα μπορούσαν να δώσουν μια εικόνα
του τύπου ότι: «Υπάρχει «οδοντωτή» παντού συνεχής, και μη αρνητική συνάρτηση f (x),
ορισμένη στο [0,1] η οποία μαζί με την g(x)=0 /[0,1] περικλείουν μηδενικό εμβαδόν, αλλά δεν
είναι ίσες σύμφωνα με μία μετρική απόστασης συναρτήσεων η οποία περιλαμβάνει και την μέση
τιμή διαφορά μεταξύ των τιμών των δύο συναρτήσεων» (μετρική (1) ) Για τα Αρχιμήδεια
μαθηματικά όμως όπου ισχύει το αξίωμα των Αρχιμήδους –Ευδόξου, έχουμε εκ κατασκευής μια
συνάρτηση f(x)/[0,1] παντού συνεχή, για την οποία έχουμε προφανώς ( ) 0 [0,1]
f x x
   .
Σύμφωνα με γνωστό θεώρημα Συνέχειας –Ορισμένου ολοκληρώματος, θα ισχύει και ότι
1
0
( ) 0
f x dx 
 , πράγμα που οδηγεί σε άτοπο ή -αν δεν είναι άτοπο- εξηγείται σε διάφορη
αξιωματική θεμελίωση, μη Αρχιμήδεια. Γι αυτό το υφιστάμενο γεγονός, οι συγγραφείς δεν
κάνουν την παραμικρή νύξη και αφήνουν τον αναγνώστη να προσπαθεί να κατανοήσει την
«ανώμαλη» συνάρτηση f με κάποια γεωμετρική εικόνα, (όλοι σκέπτονται με εικόνες) χωρίς να
υποψιάζονται ότι πρόκειται για αποτέλεσμα εντελώς ανάλογο με το 0,999... 1
 , το οποίο είναι
αληθές στα πλαίσια της «Μη συμβατικής Ανάλυσης» Τελικώς, στην καθημερινή μας μάχη
εξήγησης των εννοιών του Απειροστικού Λογισμού, η Β.Μ.Α. δεν φαίνεται να κάνει τις
εξηγήσεις περισσότερο κατανοητές.
Αναφορές:
Lakoff,G.- Núñez, R. (2016) «Apo pou proerchontai ta Mathimatika» Linder
Books Athina
Makrymanolakis P (2018) . « Oi ennoiologikes metafores sto ergo ton George
Lakoff kai Rafael E. Núñez kai i axiopoiisi tous sti didaktiki ton
Mathimatikon tis G΄ Gymnasiou.» Periodiko EME Efkleidis G΄
(Diatithetai tin 4/3/2021 edo:
https://www.academia.edu/42860046/EnnoiologikesMetafores
Plataros, I. (2020A) «Pithanotites se apeirous deigmatochorous» Periodiko
"NEOS PAIDAGOGOS" 19o Tefchos Ioulios (anaktisi:
https://www.academia.edu/43673450/Pithanotites_se_Apeirous_Deigma
tochorous/ )
Plataros, I. (2020B) «To «giati», to «pos» kai to «dioti» olon ton apodeixeon
oti 0,999…=1 kai i antilipsi gia to apeiro kai to apeirosto» Periodiko
"NEOS PAIDAGOGOS" 20o Tefchos Septemvrios (anaktisi:
https://fdocument.org/document/o-giati-to-pos-kai-to-djioti-olon-ton-
apodjeikseon-oti-09991-kai-i-antilipsi-gia-to-apeiro-kai-to-
apeirosto.html )

10. Quine W.-Ullian J. (2002) «O Istos tis pepoithisis» Epimeleia epistimoniki
sta Ellinika, Stathis Psyllos. Ekdoseis Leader Books
Rossidis Iosif (2019) «Oi pragmatikoi arithmoi mesa apo ti theoria ton
ensomaton mathimatikon» Diplomatiki Ergasia tou EAP (Anaktisi:
https://apothesis.eap.gr/bitstream/repo/44150/1/101235_%ce%a1%ce%a
9%ce%a3%ce%a3%ce%99%ce%94%ce%97%ce%a3_%ce%99%ce%a9
%ce%a3%ce%97%ce%a6.pdf )
Spandagos, E. –Spandagou,R. (2003) «Mathimatika Paradoxa &
Mathimatika Paignidia» Ekdoseis Aithra Athina