1. Πώς επηρέασαν τα φιλοσοφικά δίπολα των θέσεων Αριστοτέλη-Πλάτωνα και KantMill την μετάβαση από τις Ευκλείδειες στις μη-Ευκλείδειες Γεωμετρίες; Κατά πόσο οι εφαρμογές των Ευκλειδείων και μη-Ευκλειδείων Γεωμετριών οδήγησαν στην ανάπτυξή τους; 2. Ποίες οι βασικές θέσεις των ante rem δομών του στρουκτουραλισμού και ποία η διαφοροποίηση στο κίνημα του στρουκτουραλισμού χωρίς δομές ; Ποια κενά των προγενέστερων φιλοσοφικών ρευμάτων ήρθαν να καλύψουν οι δύο ανωτέρω προσεγγίσεις; 3. Ποια η σύνδεση του ιστού της πεποίθησης με τους οντολογικούς ρεαλιστές; Ένα παράδειγμα από συγκεκριμένο μαθηματικό κλάδο Μαθηματικών. 4. Η διαδρομή σκέψης των Núñez και Lakoff στην ανάπτυξη της θεωρίας τους για τις εννοιολογικές μεταφορές. Επιτυχημένα και αποτυχημένα παραδείγματα στην διδακτική πράξη σε έννοιες που εισάγονται διδακτικά με την χρήση εννοιολογικών μεταφορών. 5. Οι τρεις κόσμοι του D. Tall και πώς συνδέονται με αντίστοιχες θεωρίες μάθησης, μέσα από τα επίπεδα γνώσης. 6. Ο ρόλος της υπολογιστικής πολυπλοκότητας στην εξέλιξη των μεθόδων επίλυσης προβλημάτων (problem solving) Κάποια παραδείγματα προβλημάτων.

1. 1. Πώς επηρέασαν τα φιλοσοφικά δίπολα των θέσεων Αριστοτέλη-Πλάτωνα και Kant-
Mill την μετάβαση από τις Ευκλείδειες στις μη-Ευκλείδειες Γεωμετρίες; Κατά πόσο οι
εφαρμογές των Ευκλειδείων και μη-Ευκλειδείων Γεωμετριών οδήγησαν στην
ανάπτυξή τους;
2. Ποίες οι βασικές θέσεις των ante rem δομών του στρουκτουραλισμού και ποία η
διαφοροποίηση στο κίνημα του στρουκτουραλισμού χωρίς δομές ; Ποια κενά των
προγενέστερων φιλοσοφικών ρευμάτων ήρθαν να καλύψουν οι δύο ανωτέρω
προσεγγίσεις;
3. Ποια η σύνδεση του ιστού της πεποίθησης με τους οντολογικούς ρεαλιστές; Ένα
παράδειγμα από συγκεκριμένο μαθηματικό κλάδο Μαθηματικών.
4. Η διαδρομή σκέψης των Núñez και Lakoff στην ανάπτυξη της θεωρίας τους για τις
εννοιολογικές μεταφορές. Επιτυχημένα και αποτυχημένα παραδείγματα στην
διδακτική πράξη σε έννοιες που εισάγονται διδακτικά με την χρήση εννοιολογικών
μεταφορών.
5. Οι τρεις κόσμοι του D. Tall και πώς συνδέονται με αντίστοιχες θεωρίες μάθησης,
μέσα από τα επίπεδα γνώσης.
6. Ο ρόλος της υπολογιστικής πολυπλοκότητας στην εξέλιξη των μεθόδων επίλυσης
προβλημάτων (problem solving) Κάποια παραδείγματα προβλημάτων.

2. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
2

3. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
3
Πρόλογος
Πρόκειται για 6 εργασίες της Μεταπτυχιακής ενότητας –μάθημα στο ΕΑΠ ΜΣΜ81 - Ιστορική
Εξέλιξη και Διδακτική των Μαθηματικών, που το δίδαξε το ακαδημαϊκό έτος 2020-21 ο Μαθηματικός
κ. Παναγιώτης Βλάμος (ΕΑΠ & ΙΟΝΙΟ) μάλλον για τελευταία φορά . Με την ευκαιρία να τον
ευχαριστήσω και για τα καλά του λόγια αλλά κυρίως για τις προσπάθειες που κάνει πάνω στην
διεπιστημονική εκ συστάσεως Γνωστική (Γνωσιακή) επιστήμη (cognitive science) ώστε τα διδακτικά και
παιδαγωγικά πορίσματα να πατήσουν πάνω στην Ψυχολογία, Ανθρωπολογία, Μαθηματικά,
Γλωσσολογία, Ψυχολογία , Τεχνητή νοημοσύνη , Φιλοσοφία και Νευροεπιστήμη.
Στο θέμα 4 , υπάρχει μια ολοκληρωμένη κριτική στους Λακόφ –Νουνέζ γύρω από την Βασική
Μεταφορά του Απείρου, που αφορά το περιώνυμο βιβλίο τους «Από που προέρχονται τα Μαθηματικά»
που θα δημοσιευθεί στο τεύχος Σεπτεμβρίου 2021 του περιοδικού «Νέος Παιδαγωγός» υπό τον τίτλο
Πόσο πιο κατανοητό είναι το μαθηματικό Άπειρο μέσω της «Βασικής Μεταφοράς του Απείρου» των Lakoff και
Núñez; Ένα συμπέρασμα αναστοχασμού της εργασίας (που θα αναρτηθεί στο διαδίκτυο) , είναι, ότι για
την διδακτική των Μαθηματικών, έχουν λόγο τα Μαθηματικά τα ίδια με την αφηρημένη τους υπόσταση,
τον οποίο λόγο μας μεταφέρουν οι θεράποντές τους , οι ίδιοι οι μαθηματικοί. Βεβαίως όλοι έχουν τον
επιστημονικό τους λόγο, αλλά βαρύνοντα λόγο έχουν οι ίδιοι οι μαθηματικοί και ότι οι Λακόφ και
Νουνέζ, παρ΄ ότι έχουν συγγράψει ένα βιβλίο ορόσημο για τα Μαθηματικά «Where the Mathematics comes
from?»- Ενσώματα-Ενδοεγκεφαλικά Μαθηματικά) αποτελούν ένα αντιπαράδειγμα, παράδειγμα προς
αποφυγήν και ταυτοχρόνως προτροπή στους πολύ μεγάλους μαθηματικούς που έχουμε να ασχοληθούν
με την εκλαΐκευσή τους, χωρίς να κάνουν την παραμικρή απλούστευση (Μόνο οι βαθείς γνώστες του
αντικειμένου μπορούν να το πετύχουν αυτό, αλλά ο Μπρούνερ ο Πλατωνιστής Παιδαγωγός, ήξερε ότι
είναι διδάξιμα τα πάντα και σε όλους με τον κατάλληλο τρόπο και προσέγγιση) Ας πούμε ο Ομότιμος
καθηγητής του ΕΚΠΑ κ. Στυλιανός Νεγρεπόντης έχει κάνει την συνεισφορά του σε αυτό, πολύ σοβαρά
και είναι σπουδαία .
Ευχής έργον, να δούνε ακόμα πιο σοβαρά την διδακτική των Μαθηματικών, όλοι, με
επικυρίαρχη δεσπόζουσα έμφαση στα ίδια τα Μαθηματικά ,το τί, το πόθεν και το γιατί τους, σε ολιστική
διδασκαλία, άλλως διακυβεύεται και το μέλλον τους, όσο κι αν ηχεί αυτό υπερβολικό και άτοπο, αφού ο
γνωστικός Μεσαίωνας δεν έχει εκλείψει, ούτε η Αναγέννηση έχει επικρατήσει ακόμη. Απλώς ο κόσμος
μπερδεύεται από τον εκθετικό ρυθμό αύξησης με τον οποίο προσεγγίζουμε την τεχνολογική
μοναδικότητα (Sigularity) και πλανάται προβάλλοντας αυτό το αντικειμενικό γεγονός στα πρόσωπα. Η
εκθετική ταχύτητα εξέλιξης του Επιστητού, δεν ακολουθείται από ανάλογη ταχύτητα αφομοίωσής του,
έστω και αν η πληθώρα των πληροφοριών δεν συνδέεται με την ποιότητα. Η ποιότητα που λείπει, έγκειται
στην φιλοσοφία των Μαθηματικών, και όχι στα παντοειδή κολπάκια επίλυσης εξισώσεων, που έχουν
κατασκευαστεί με αλγορίθμους επί τούτω. Το Wolframalpha και 2-3 συναφείς ιστότοποι που είναι
προσιτοί και δωρεάν στους πάντες και χωρίς κωδικοποίηση εισαγωγής ερωτήματος, έχουν ήδη
παρασύρει τους επαγγελματίες γυρολόγους κατασκευαστές δύσκολων ασκήσεων με κατεύθυνση όσο το
δυνατόν μικρότερες ηλικίες όπου η υπέρτατη αυτή Επιστήμη, δυσφημίζεται δια βίου συνήθως και κατά
κανόνα.
Ας ελπίσουμε ότι κάτι θα βελτιώσει την χρόνια αυτή ιδιοπαθή γάγγραινα.
Μεσσήνη 21 Σεπτεμβρίου 2021
Ιωάννης Π. Πλατάρος

4. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
4
0. Εισαγωγή:
Οι μεγάλες αρχαίες προσωπικότητες όπως του Αριστοτέλη και του Πλάτωνα είναι
βέβαιον,= ότι επηρέαζαν τους σύγχρονους και όπως απεδείχθη εκ της αποδοθείσης
σημασίας του έργου τους, και από τους μεταγενέστερους Ομοίως αν και λιγότερο, και
στο έργο των προσωπικοτήτων Kant και Mill. Τα δύο ζεύγη των παραπάνω
προσωπικοτήτων , επηρέασαν αποφασιστικά κάθε τομέα του επιστητού, άρα και τα
Μαθητικά , άρα και την Γεωμετρία. Οι τομείς επήρειας δεν είχαν να κάνουν με την
εκάστοτε τρέχουσα καθημερινότητα της Γεωμετρίας, αλλά αφορούσαν την όλη δομή,
πορεία και εξέλιξή της, καθώς τα φιλοσοφικά ερωτήματα που πραγματεύονται οι
φιλόσοφοι, αφορούν πρωταρχικότητες , αρχές, εκκινήσεις , πηγές, αιτιώδεις σχέσεις των
όντων με την Φύση και το Θείον, θεσπίζουν γενικευμένες κατευθύνσεις και οπτικές των
πραγμάτων και τελικά οι άνθρωποι που τους μελετούν επηρεάζονται σε όλο το φάσμα

5. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
5
της ζωής τους , των προβλημάτων τους , το πώς τα προσεγγίζουν και το πώς τα επιλύουν.
΄Ολοι γνωρίζουν την σημαντική επήρεια των δύο αρχαίων Ελλήνων, καθώς ο μεν
Πλάτωνας μέσω της συγγραφής των φιλοσοφικών απόψεων του Σωκράτη χώρισε την
φιλοσοφία και τους φιλοσόφους σε «Προσωκρατικούς» και τους μετέπειτα του Σωκράτη
, για δε τον Αριστοτέλη χρησιμοποιείτο η παροιμιώδης έκφραση της αυθεντίας για
αμφισβητούμενο ζήτημα «Αριστοτέλης έφα!» και έπαυε κάθε αμφισβήτηση αφού «το
είπε ο Αριστοτέλης».
1. Το δίπολο Πλάτωνας - Αριστοτέλης ως προς τις γενικές τους απόψεις, ιδία για
τα μαθηματικά και δη την Γεωμετρία.
1α) Ο Πλάτωνας και ο Αριστοτέλης:
Οι απόψεις τους διαφέρουν θεμελιωδώς. Εκπροσωπούν δηλαδή διαφορετικές
Σχολές Φιλοσοφικής Σκέψης, παρ΄ ότι ο δεύτερος ήταν επί 20 χρόνια μαθητής του
πρώτου. Σε Γενικές γραμμές, σύμφωνα με την συμβατική ταξινομία της Φιλοσοφίας, Ο
Πλάτωνας ήταν «ρασιοναλιστής» δηλ. «ορθολογιστής» ή απλώς «πλατωνιστής» όπως
θα λέγαμε σήμερα μέσω της φερώνυμης/μων Σχολής/ων του. Σε αντίποδα βρίσκεται ο
Αριστοτέλης ως «Εμπειριστής» όπως και το άλλο δίπολο των πλέον σύγχρονων
φιλοσόφων μετά 2000 χρόνια, των Kant & Mill , που είναι εκπρόσωποι των ομοίως
αντιστοίχως ιδίων Σχολών, τους οποίους θα παρουσιάσουμε πάρα κάτω με παρονομαστή
την Γεωμετρία.
1β) Ο Πλάτωνας
Στην Πολιτεία του ο Πλάτων περιγράφει με ένα δικό του σχήμα –αναλογία την
γενική θεώρησή του, για τον Κόσμο:
Κυρίως και πάνω από όλα, ιεραρχικά, υπάρχει το Αγαθό και πιο κάτω οι Μορφές
(Ιδέες). Στον Πλάτωνα, είναι γνωστό, ότι αρέσουν οι αναλογίες. Του τύπου «Όπως είναι
το Α για το Β, έτσι είναι το Χ προς το Ψ» αναφερόμενος και σε μη ποσοτικά μεγέθη.
Έτσι και εδώ, ιεραρχεί τον Κόσμο σε φθίνουσα σειρά ιεραρχικής σπουδαιότητας σε
Αγαθό Μορφές  Μαθηματικά ΑντικείμεναΦυσικά Αντικείμενα
Αντανακλάσεις.
Τα τρία πρώτα τα ταξινομεί στον Κόσμο του Είναι και τα δύο τελευταία στον Κόσμο
του Γίγνεσθαι.
Αναλογικά αποφαίνεται, ότι «ό,τι είναι τα Μαθηματικά αντικείμενα για τις Μορφές, το
ίδιο είναι και οι Ανακλάσεις (φως, μέσω επιφάνειας ύδατος, κατόπτρων) για τα Φυσικά
Αντικείμενα.

6. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
6
Στον κόσμο του Είναι, υπάγονται
τα αναλλοίωτα και τα
αμετάβλητα
Η θεμελιώδης σημασία που
αποδίδει στα Μαθηματικά, είναι
κεφαλαιώδης.
Σύμφωνα με τον Πλάτωνα:
 Η κατανόηση του
κόσμου του Γίγνεσθαι,
γίνεται μέσω των
αισθήσεων.
 Κατανοούμε τις Μορφές
μέσω της Νόησης.
 Η Μάθηση είναι στην
πραγματικότητα
ανάμνηση από μια
προηγούμενη ζωή, πιθανώς από μια περίοδο όπου η ψυχή είχε απ’ ευθείας
πρόσβαση στον Κόσμο του Είναι.
 Η Ψυχή ανήκει σε μια τρίτη κατηγορία με την ικανότητα να καταλαβαίνει
τον Κόσμο του Είναι και τον Κόσμο του Γίγνεσθαι.1
 Τα Μαθηματικά αποτελούν το κρίσιμο μέσο εξερεύνησης και εξύψωσης του
πνεύματος πέρα από τον υλικό κόσμο του Γίγνεσθαι στον αιώνιο κόσμο του
Είναι.
 Τα Μαθηματικά, αποτελούν παράδειγμα μεταξύ του ατελούς κόσμου γύρω μας
και του τέλειου κόσμου των ιδεών.
 Ενώ έχουμε αυστηρούς ορισμούς για την ευθεία γραμμή και τον κύκλο, ο
φυσικός κόσμος δεν περιέχει τέλειες γραμμές και τέλειους κύκλους.
1
Άμεσο πόρισμα του της Θεωρίας του Πλάτωνα, είναι και ότι όλες οι ψυχές μπορούν να μάθουν
Μαθηματικά και κατ΄επέκταση όλοι οι άνθρωποι, αρκεί να αναμημνησθούν, όταν είχαν ψυχική
υπόσταση, με κατάλληλες ερωτήσεις, όπως στο σχετικό χωρίο του διαλόγου Μένωνος με τον ανώνυμο
δούλο του Μένωνος που καλείται μέσω της διαλεκτικής μαιευτικής μεθόδου του Σωκράτη . Αυτή η
παρατήρηση θυμίζει την ρήση του Bruner (όλοι οι μαθητές είναι δυνατόν να μάθουν οτιδήποτε και σε
οποιαδήποτε ηλικία, εφόσον υπάρχει η κατάλληλη δομή και οργάνωση της ύλης, καθώς και η
απαραίτητη μεθόδευση της διδασκαλίας.) να λύσει το πρόβλημα του διπλασιασμού του εμβαδού
τετραγώνου. Παραστατικά η προσπάθεια του δούλου , περιγράφεται εδώ . Η γνώμη του Bruner για την
Μάθηση που είναι ίδια (από πλευράς συνεπειών) με την θεωρία Ανάμνησης του Πλάτωνα, εδώ Αξίζει
να σχολιαστεί ότι η «ανακαλυπτική μάθηση» έχει την πατρότητα του Bruner , όπου η ανακάλυψη
γίνεται μέσω της «επανανακάλυψης από τους μαθητές της πρότερης υπάρχουσας επιστημονικής
γνώσης, γνώσης» κάτι που είναι εντελώς όμοιο με την ανάμνηση της πρότερης γνώσης του Κόσμου των
Ιδεών ως ανάμνηση μέσω της Σωκρατικής μαιευτικής μεθόδου που είναι μια πειραματική μέθοδος
τύπου «δοκιμή-λάθος,…,δοκιμή επιτυχία. Θεωρούμε, κατά την προσωπική μας άποψη, την οποία
αιτιολογήσαμε, ότι ο επιστημονικά αείμνηστος και υπεραιωνόβιος μέγας Ψυχολόγος Bruner (1915-
2016) ήταν απολύτως (ως προς το κύριο έργο του) ταυτισμένος με τον Πλάτωνα και όχι απλώς
«πλατωνιστής!»
Σχήμα 1: Η Οντολογία του Πλάτωνα σχηματικά, όπως περιγράφεται,
από τον ίδιο στην «Πολιτεία»

7. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
7
 Τα θεωρήματα της Γεωμετρίας είναι αντικειμενικώς αληθή ή ψευδή
ανεξαρτήτως του νου, της γλώσσας και λοιπών χαρακτηριστικών των
μαθηματικών.
 Τα γεωμετρικά αντικείμενα είναι αναλλοίωτα και αιώνια και, όπως οι
Μορφές και βρίσκονται στον κόσμο του Είναι. Ως συνέπεια έχουμε ότι Είναι
δύσκολο για έναν πλατωνιστή να κατανοήσει τις Γεωμετρικές κατασκευές (στα
Στοιχεία του Ευκλείδη για παράδειγμα.)
 Η γεωμετρική γνώση αποκτάται με την καθαρή σκέψη ή ως ανάμνηση από
τον κόσμο των Μορφών, όπως σχολιάσαμε ήδη (υποσημείωση 1) με τον δούλο
στον διάλογο «Μένων» Μάλιστα ευνοεί και το πειραματισμό αλλά μόνον σε
ό,τι αφορά την ανάμνηση των Ιδεών.
 Η γεωμετρία δεν αφορά τον κόσμο του Γίγνεσθαι και δεν κατανοούμε τα
γεωμετρικά αντικείμενα μέσω των αισθήσεων.
 Το γεωμετρικό σχήμα βοηθά τον νου να συλλάβει τον αιώνιο και αναλλοίωτο
κόσμο ή μας βοηθά στην ανάμνηση του ότι οι αριθμοί είναι λόγοι γεωμετρικών
μεγεθών. Πλεονέκτημα της άποψης αυτής είναι ότι καλύπτει τους φυσικούς,
ρητούς και άρρητους και μειονέκτημα, το ότι ορίζονται –γεννώνται στα πλαίσια
της Γεωμετρίας. [3], [6]
1γ) Σχόλιο απάντηση στο 1ο μερικό ερώτημα της εργασίας:
«Οι Πλατωνικές απόψεις κατά πόσον ευνόησαν την ανακάλυψη (ή εφεύρεση) των
μη Ευκλείδειων Γεωμετριών;»
Απάντηση: Όταν τα μαθηματικά αντικείμενα είναι «αναλλοίωτα και αιώνια» , είναι
πάρα πολύ δύσκολο έως αδύνατον να υπάρχει κάτι άλλο πέραν της παρούσας
υφιστάμενης Γεωμετρίας και των Σχημάτων των υφισταμένων, αυτών που τώρα
λέμε «Ευκλείδεια» και τότε απλώς «Γεωμετρικά» λόγω του ότι δεν υπήρχε άλλη
Γεωμετρία. Συνεπώς η άποψη του Πλάτωνα για την Γεωμετρία δεν ευνοούσε επ ουδενί
την ανάπτυξη των μη Ευκλειδείων Γεωμετριών, αφού ουδείς πλατωνιστής θα μπορούσε
να πιστέψει ότι υπάρχουν τριών ειδών τρίγωνα, αυτά που έχουν άθροισμα γωνιών
μικρότερο από 180 μοίρες, αυτά που έχουν άθροισμα ίσο με 180 μοίρες και αυτά που
έχουν άθροισμα πάνω από 180 μοίρες!

8. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
8
Μια ενδεχόμενη ανακάλυψη και άλλης Γεωμετρίας, θέτει εν αμφιβόλω την
Θεωρία της Ανάμνησης . Ουδείς άνθρωπος θυμήθηκε σφαιρικά ή ελλειπτικά τρίγωνα.
Βεβαίως εκ των υστέρων, ένας αντίλογος ίσως θα ήταν ότι όταν υπήρξαν γνώστες,
επινοητές και εφευρέτες ( ή –κατά Πλάτωνα –αναθυμούμενοι) των μη Ευκλείδειων
Γεωμετριών, μπόρεσαν να προτείνουν
μοντέλα ευκλείδεια πάνω στα οποία
υλοποιούντο οι άλλες δύο ανακαλυφθείσες
Γεωμετρίες και μπόρεσαν πολλοί άνθρωποι
να «αναθυμηθούν» την παλιά ξεχασμένη
γνώση, από τον κόσμο του Είναι.
Επίσης:
Η άποψη του Πλάτωνα για
αντικειμενική υπόσταση της αλήθειας και
τους ψεύδους των Γεωμετρικών
προτάσεων, είναι άκρως αποθαρρυντική για
τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες, αφού σήμερα
γνωρίζουμε ότι ένα τρίγωνο έχει άθροισμα
γωνιών μεγαλύτερο, ίσο είτε μικρότερο των 180 μοιρών αναλόγως του αξιωματικού
πλαισίου αναφοράς. Δηλ. όλα είναι αληθή στο αξιωματικό πλαίσιο αναφοράς τους.
Οπωσδήποτε όμως, μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι οι απόψεις του Πλάτωνα για την
Γεωμετρία τουλάχιστον δεν ευνοούσαν –αν δεν αποθάρρυναν τελείως - την σκέψη για
ανακάλυψη άλλων Γεωμετριών.
1δ) Ο Αριστοτέλης
Οι απόψεις του Αριστοτέλη για τα Μαθηματικά είναι μια πολεμική των απόψεων
του Πλάτωνα.
 Η φιλοσοφία του περιέχει στοιχεία εμπειρισμού.
 Απορρίπτει τον κόσμο του Είναι.
 Δέχεται όμως την ύπαρξη των Μορφών-Ιδεών .
 Η Ομορφιά, λ.χ. είναι αυτό που έχουν κοινό όλα τα όμορφα πράγματα και όχι κάτι
πέραν και υπεράνω αυτών σε άλλο επίπεδο κόσμου. Εάν κάποιος καταστρέψει όλα
τα όμορφα πράγματα θα έχει καταστρέψει και την Ομορφιά καθαυτή, γιατί δε θα
έχει μείνει τίποτα μέσω του οποίου να υπάρχει η Ομορφιά. Το ίδιο συμβαίνει με
την Δικαιοσύνη, την Αρετή, τον Άνθρωπο και τις άλλες Μορφές -Ιδέες . Άρα οι
Μορφές ενυπάρχουν στα μεμονωμένα αντικείμενα.
 Τα Μαθηματικά αντικείμενα, δεν τα εξετάζουμε αν όντως υπάρχουν, αλλά με
ποιον τρόπο υπάρχουν.
 Είναι λάθος του Πλάτωνα να πιστεύει ότι τα γεωμετρικά αντικείμενα είναι
διαχωρισμένα από τις φυσικές τους αναπαραστάσεις
 Τα γεωμετρικά αντικείμενα δεν είναι, παρά αφαιρέσεις, με βάση την εμπειρία
μας.
Σχήμα 2 Ένας πλατωνιστής δεν θα μπορούσε ποτέ να
φανταστεί τριών ειδών τρίγωνα και 3 τουλάχιστον
Γεωμετρίες

9. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
9
 Τα γεωμετρικά αντικείμενα είναι μορφές των φυσικών αντικειμένων.
 Τους φυσικούς αριθμούς μπορούμε να τους κατανοήσουμε μέσω της αφαίρεσης
από συλλογές φυσικών αντικειμένων.
 Η Φυσική ασχολείται με την ύλη σε κίνηση αγνοώντας το είδος της ύλης.
 Τα Μαθηματικά ασχολούνται με την ύλη, ως ποσότητα αριθμητική ή
γεωμετρική αγνοώντας την κίνηση.2
 Η Μεταφυσική ασχολείται με το Είναι καθαυτό, αγνοώντας οτιδήποτε άλλο.
 Κατά μία ερμηνεία, ο Αριστοτέλης απορρίπτει την οντολογική αφαίρεση. Δηλ.
αν παραλείψουμε κάποιες ιδιότητες π.χ. μιας σφαίρας από ορείχαλκο, για να
μελετήσουμε κάποιες άλλες ιδιότητες της σφαίρας, δε δημιουργούμε κάποιο
καινούριο αντικείμενο, αλλά μελετάμε συγκεκριμένες όψεις του φυσικού
αντικειμένου.
 Κατά μία ερμηνεία της αφαίρεσης του Αριστοτέλη, Ο γεωμέτρης δεν αφαιρεί
τον μπρούτζο για να φτάσει στη γεωμετρική σφαίρα. Απλά αγνοεί τον
μπρούτζο και λαμβάνει υπόψη μόνο τις ιδιότητες του φυσικού αντικειμένου που
συνεπάγεται η σφαιρικότητα της. Ό,τι συμπεράσματα βγάλει, θα ισχύουν και για
μια λ.χ. ξύλινη σφαίρα.
 Θεωρούσε, ότι μπορούμε να προσποιηθούμε ότι το γεωμετρικό στερεό σφαίρα,
είναι ξεχωριστό αντικείμενο.
 Η εφαρμοσιμότητα των μαθηματικών στον φυσικό κόσμο είναι άμεση.
 Τελικά ο Μαθηματικός, μελετά πραγματικές ιδιότητες πραγματικών
φυσικών αντικειμένων και δεν υπάρχουν δύο κόσμοι, ο φυσικός και ο
μαθηματικός. [3], [6]
1ε) Σχόλιο απάντηση στο 2ο μερικό ερώτημα της εργασίας:
«Οι Αριστοτελικές απόψεις κατά πόσον ευνόησαν την ανακάλυψη (ή
εφεύρεση) των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών;»
Απάντηση:
Ο Αριστοτέλης προκρίνει μελέτη των Φυσικών ιδιοτήτων αντικειμένων που
έχουν υποστεί αφαίρεση επιλεκτικών ιδιοτήτων .Η βαρύτητα «καμπυλώνει τον χώρο»
. Ζούμε σε χώρο με ύλη, άρα ο κόσμος είναι καμπύλος και η υπερβολική Γεωμετρία
τον περιγράφει. Κάνουμε αφαίρεση της ύλης και μένει ο καμπυλούμενος χώρος που
μελετώ με την Υπερβολική Γεωμετρία. Αυτό είναι μια αρχαία παρακαταθήκη από τον
2
Η κίνηση στην Γεωμετρία προβλημάτιζε και τους Πλατωνιστές και τον Αριστοτέλη. Οι γεωμετρικοί
τόποι, ευρύτατα διαδεδομένοι στην μετέπειτα Γεωμετρία αντιμετωπίζονταν με στατική θεώρηση.
Ωστόσο, αρχαιόθεν υπήρχαν και «μηχανικές μέθοδοι» διερευνητικές πειραματικές, οι οποίες δεν
τύγχαναν επίσημης αποδοχής, αλλά θεωρούντο απλώς αποδεκτές στην αναζήτηση της αλήθειας.
Έχουμε και σχετική επιστολή του Αρχιμήδη επ αυτού: «…Τοῦτο δὲ πέπεισμαι χρήσιμον εἶναι οὐδὲν
ἧσσον καὶ εἰς τὴν ἀπόδειξιν αὐτῶν τῶν θεωρημάτων. Καὶ γάρ τινα τῶν πρότερόν μοι φανέντων
μηχανικῶς ὕστερον γεωμετρικῶς ἀπεδείχθη διὰ τὸ χωρὶς ἀποδείξεως εἶναι τὴν διὰ τούτου τοῦ τρόπου
θεωρίαν·ἑτοιμότερον γάρ ἐστι προλαβόντα διὰ τοῦ τρόπου γνῶσίν τινα τῶν ζητημάτων πορίσασθαι τὴν
ἀπόδειξιν μᾶλλον ἢ μηδενὸς ἐγνωσμένου ζητεῖν.»
(᾿Αρχιμήδους «Περὶ τῶν μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς ᾿Ερατοσθένην ἔφοδος» 3.83.24-3.84.4 )

10. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
10
ύψιστο Αριστοτέλη που επιτρέπει στους Μαθηματικούς μετά 2000 χρόνια να
σκέπτονται απελευθερωμένα από τα Πλατωνικά δεσμά της αυθεντίας και
μοναδικότητας της Γεωμετρίας . Η Ευκλείδεια δεν καταργείται. Ισχύει τοπικά σε
συνθήκες μικρής βαρύτητας.
2. Το δίπολο Kant – Mill ως προς τις γενικές τους απόψεις, ιδία για τα
μαθηματικά και δη την Γεωμετρία.
α) Kant και Mill, τα δύο αντίθετα
Kant και Mill, αποτελούν ένα δίπολο ζεύγος όπως και οι Πλάτωνας και
Αριστοτέλης των αντίστοιχων γενικών Σχολών σκέψης Ορθολογισμού-Εμπειρισμού.
Είναι ένα ζεύγος 2.000 χρόνια μετά από το πρώτο ζεύγος και το πεδίο αντιπαράθεσης
πλέον είναι εξελιγμένο αφού συμπεριλαμβάνει και την όλη διαμεσολαβήσασα γνώση της
Ανθρωπότητας της οποίας μέτοχοι ήταν οι Kant και Mill. Οι απόψεις τους, αναπόφευκτα
είναι πιο συνθετικές και πλέον εμβαθύνουσες περί τα Μαθηματικά, την Φύση, την
Γνώση, την εγκυρότητα μια γνώσης, τα όρια παραγωγής γνώσης, τα κριτήρια
αξιολόγησής της, το τι και μέχρι που μπορούμε και πώς να την πλησιάσουμε και με ποίο
τρόπο.
β) Ο Kant
Η Θεωρία του Kant (Kant Immanuel 1724-1804) επιγραμματικά :
 Η γνώση, δεν είναι παθητική διαδικασία πρόσληψης δεδομένων των
αισθήσεων.
 Ο νους, ως ενεργός αρχή, θέτει σε τάξη την εμπειρία.
 Ο Λόγος, δεν συλλαμβάνει προϋπάρχουσες αναγκαίες αλήθειες μέσω της
εποπτείας ή με το να τις θεωρεί προφανείς.
 Μια πρόταση είναι αναλυτική εάν η άρνησή της οδηγεί σε λογική αντίφαση.
 Οι προτάσεις της λογικής είναι αναλυτικές
 Οι προτάσεις που δεν είναι αναλυτικές είναι συνθετικές.
 Οι προτάσεις της αριθμητικής και της Γεωμετρίας δεν είναι αναλυτικές, είναι
συνθετικές.

11. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
11
 Έχουμε δύο έννοιες συνθετικότητας: ι) οι προτάσεις που δεν είναι αναλυτικές.
ιι) οι προτάσεις στις οποίες εμπλέκεται η εποπτεία—δηλ. οι προτάσεις οι οποίες
απαιτούν εποπτεία για να διαπιστωθεί εάν είναι αληθείς.
 Οι συνθετικές κρίσεις που είναι a priori βέβαιες, και αποδείξιμα αληθείς,
είναι προτάσεις των οποίων η αλήθεια εδράζεται στην καθαρή εποπτεία.
 Δύο έννοιες μπορεί να συνδέονται αναγκαία μεταξύ τους, αλλά στο βαθμό που
αυτό συμβαίνει στην (καθαρή) εποπτεία (και απαιτεί εποπτεία) η σχετική κρίση
είναι συνθετική.
 Μορφές της καθαρής εποπτείας: χώρος και χρόνος.
 Το κύριο χαρακτηριστικό των a posteriori προτάσεων είναι ότι είναι
ενδεχομενικές. Καμία a posteriori κρίση δεν μπορεί να φέρει μαζί της την δύναμη
της αναγκαιότητας. Η εμπειρία δεν μπορεί ποτέ να μας δείξει την
αναγκαιότητα μιας κρίσης.
 Ο Καντ ταυτίζει την a priori γνωσιμότητα με την αναγκαιότητα.
 A priori κρίσεις: Αναγκαίες, καθολικές, μη-αναθεωρίσιμες.
 Οι αλήθειες της αριθμητικής και της γεωμετρίας—συνθετικές a priori.
Συνθετικές (καθαρή εποπτεία) αλλά αναγκαία αληθείς. (άρα a priori).
 οι συνθετικές a priori κρίσεις έχουν ουσιαστικό περιεχόμενο (το οποίο δεν
αποκαλύπτεται απλώς με εννοιολογική ανάλυση) αλλά είναι αναγκαία
αληθείς.
 a priori γνώση:
o Γνώση η οποία είναι καθολική, αναγκαία και βέβαιη.
o Έχει περιεχόμενο (εάν η κρίση είναι συνθετική) ή είναι κενή περιεχομένου
(εάν η κρίση είναι αναλυτική).
o Είναι συγκροτητική της εμπειρίας (καμία εμπειρία δεν είναι δυνατή
χωρίς a priori αρχές).
o Αποσυνδεδεμένη από το περιεχόμενο (σε αντίθεση με τη μορφή) της
εμπειρίας. Επομένως, μη αναθεωρίσιμη. [3],[4]
3. Σχόλιο απάντηση στο 3ο μερικό ερώτημα της εργασίας:
«Οι Καντιανές απόψεις κατά πόσον ευνόησαν την ανακάλυψη (ή εφεύρεση) των
μη Ευκλείδειων Γεωμετριών;»
Απάντηση:
Από τις θέσεις του Kant που αναφέρονται στην προηγούμενη παράγραφο και ιδία
των υπογεγραμμισμένων με παχείς χαρακτήρες, συνάγεται ότι:
Οι προτάσεις της Γεωμετρίας είναι μη αναλυτικές, συνθετικές.
Οι αλήθειες της αριθμητικής και της γεωμετρίας—συνθετικές a priori.
Συνθετικές (καθαρή εποπτεία) αλλά αναγκαία αληθείς. (άρα a priori).

12. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
12
Οι συνθετικές a priori κρίσεις έχουν ουσιαστικό περιεχόμενο (το οποίο δεν
αποκαλύπτεται απλώς με εννοιολογική ανάλυση) αλλά είναι αναγκαία αληθείς. Η a
priori γνώση είναι καθολική, αναγκαία και βέβαιη.
Άρα: Αφού «οι προτάσεις της Γεωμετρίας είναι μη αναλυτικές, συνθετικές και a priori»
Αφού οι συνθετικές είναι a priori και οι a priori είναι «αναγκαία αληθείς», «καθολικές»
και «βέβαιες», τότε, στα παραπάνω συμπεράσματα του Κάντ, δεν χωράει άλλη
Γεωμετρία πλην της μοναδικής τότε Ευκλείδειας, αφού είναι «καθολική» (Αφορά το
Σύμπαν) και είναι και «βέβαιη» (Ενώ και η εποπτεία έφυγε αργότερα από την
θεμελίωση του Hilbert)
α) Ο Mill
O John Stuart Mill (1806-1873) πίστευε ότι:
 Ο νούς είναι μέρος του φυσικού κόσμου. (Τι σημαίνει αυτό για την γνώση;)
 Ολη η γνώση βασίζεται στην εμπειρία – απορρίπτεται το a priori του Kant
 Η εμπειρική γνώση είναι δυνατή μέσω της επαγωγής (ΜερικόΓενικό)
 Πρωταρχικές και καθ’ όλα νόμιμες προδιαθέσεις για γενίκευση διενεργούνται με
βάση την εμπειρία και την μνήμη . Όλη η επιστήμη δημιουργείται στη βάση
αυτών των δύο.
 Οι νόμοι της λογικής είναι εμπειρικοί νόμοι, π.χ. ο νόμος της μη αντίφασης ή
αρχή του αποκλειόμενου τρίτου. Οι νόμοι της λογικής, ως οι πιο γενικοί
νόμοι της επιστήμης, θεμελιώνονται εμπειρικά.
 Η παραγωγική λογική παράγει νέα γνώση.
 Τα αξιώματα της Γεωμετρίας είναι εμπειρικά θεμελιωμένα. Αν και τα
γεωμετρικά αντικείμενα είναι ιδανικά ή φανταστικά όρια υλικών
αντικειμένων.
 η γεωμετρία, είναι μία φυσική επιστήμη.
 Οι μαθηματικές προτάσεις (ισότητες) είναι πραγματικοί ορισμοί. Αλλά η
αλήθεια τους καθορίζεται εμπειρικά, μέσω επαγωγικής γενίκευσης
 «Όλοι οι αριθμοί είναι αριθμοί κάτινος: δεν υπάρχουν αριθμοί σε αφαίρεση. (…)
Αλλά αν και είναι αριθμοί κάτινος, μπορεί να είναι αριθμοί οποιουδήποτε.»
 Ο Mill αρνείται ότι οι μαθηματικές οντότητες είναι νοητικές κατασκευές.
Επίσης αρνείται ότι είναι αφηρημένες οντότητες. Αναφέρονται σε πραγματικά
αντικείμενα.
 Οι μαθηματικές προτάσεις περιέχουν προσεγγίσεις και εξιδανικεύσεις. Έτσι-
αυστηρά μιλώντας- είναι ψευδείς. Αλλά προσεγγιστικά αληθείς, παρά ταύτα.
 Οι μαθηματικές αλήθειες είναι αναθεωρήσιμες. Το ότι δεν μπορούμε να
συλλάβουμε την άρνησή τους, δεν σημαίνει ότι είναι αναγκαία αληθείς. [3],[4]
β) Σχόλιο απάντηση στο 4ο μερικό ερώτημα της εργασίας:

13. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
13
«Οι απόψεις του Mill κατά πόσον ευνόησαν την ανακάλυψη (ή εφεύρεση) των μη
Ευκλείδειων Γεωμετριών;» Τα φιλοσοφικά δίπολα.
Απάντηση:
Είναι προφανές ότι οι απόψεις του Mill, ευνοούν την αποδοχή των μη Ευκλείδειων
Γεωμετριών. Θεωρεί την Γεωμετρία Φυσική Επιστήμη, την θεωρεί εμπειρική και όχι στον
χώρο του Είναι, θεωρεί τις αλήθειες της ευθέως αναθεωρήσιμες και το τελευταίο είναι το
πλέον «τολμηρό» κόντρα στην επί χιλιετίες μοναδικότητα, αιωνιότητα, απολυτότητα των
Μαθηματικών. Κάποιος θα μπορούσε να αντιτάξει, ότι ο Mill, είναι την προνομία να
ζήσει πολύ αργότερα από τους άλλους μεγάλους και του δόθηκε χρονικά να ζήσει στο
λυκαυγές των Μη Ευκλείδειων Γεωμετριών, και πριν διατυπώσει την φιλοσοφία του,
ίσως δέχθηκε επήρεια από την εποχή του. Ίσως όμως και να την διαμόρφωσε. Στην
φιλοσοφική του θεωρία, χωράει και η Ασαφής Λογική ή μη δίτιμη, μια νέα θεωρία μετά
την εποχή του. Το σίγουρο είναι ότι Ιστορικά, οι νέες ανακαλύψεις και τα νέα φιλοσοφικά
ρεύματα, διαμορφώνονται δυναμικά. Πιθανόν, ο Καντ να ήταν πιο σπουδαίο μυαλό και
δεν ή έζησε στην εποχή της ανακάλυψης. Θα μπορούσε βεβαίως να κατηγορηθεί εκ των
υστέρων, και ως ανασχετικός παράγοντας των ανακαλύψεων.3
Ο Σχολιασμός για τα δίπολα λέει, ότι τα δίπολα είναι σημεία συγκέντρωσης
ανθρώπων και απόψεων που προσπαθούν και τα δύο να γίνουν μονόπολα. Η προσπάθεια
αυτή φαίνεται να προάγει το συμφέρον εκάστου πόλου, όμως η κινητικότητα αυτή καθ΄
εαυτή, προάγει την αναζήτηση της αλήθειας όπως και να εννοείται εκάστοτε, με την
3
Η κατηγοριοποίηση του Mill των Μαθηματικών στις Φυσικές Επιστήμες τα έβαλε να διαφέρουν μεταξύ
τους ως κλάδοι στις μίκρο και μάκρο εκδόσεις τους. Σύμφωνα με γνώμη του υποφαινομένου, όλες οι
επιστήμες πρέπει έχουν ένα δίπολο μίκρο και μάκρο θεώρησης. Η πιο γνωστή επιστήμη με μίκρο και
μάκρο θεώρηση είναι η Οικονομία . Οι δύο Οικονομίες έχουν αντιφάσκοντες νόμους –αρχές. Για
παράδειγμα η Μίκρο λέει, ότι αν μια επιχείρηση διπλασιάσει την παραγωγή της, κατά τεκμήριο
διπλασιάζει τα κέρδη της. Η Μάκρο λέει άλλα . Αν όλες οι ομοειδείς επιχειρήσεις διπλασιάσουν την
παραγωγής τους, λόγω του νόμου προσφοράς –ζήτησης τα κέρδη τους θα καταβαραθρωθούν. Αναλογικά
σκεπτόμενοι και επαγωγικά ανακαλύπτουμε, ότι όλες σχεδόν οι επιστήμες έχουν μίκρο –μάκρο
θεωρήσεις. Με αντιφατικές αρχές, που χρησιμοποιούνται σε ενιαίο, στον ίδιο Φυσικό κόσμο με
επιτυχία, ας αντιφάσκουν κομμάτια τους! Άλλο η ατομική ψυχολογία και άλλο η ομαδική ψυχολογία
των μαζών, όπου το σύνολο συμπεριφέρεται χειρότερα και από το χειρότερο μέλος του! Άλλο η ατομική
Ιατρική όπου το πρόσωπο αντιμετωπίζεται ιερά καθώς η ζωή θεωρείται υπέρτατη αξία κτλ. Όταν έχουμε
όμως πανδημίες όπως τώρα αναλαμβάνει η ομαδική Ιατρική, οι Επιδημιολόγοι, οι «μάκρο –Ιατροί» που
βάζουν άλλους κανόνες από της «μίκρο –ατομικής Ιατρικής« λ.χ. δεν συνιστώνται διαστημικές στολές
που είναι 100% αποτελεσματικές για τον κορωναϊό που θα συνιστούσανε αν είχαμε ένα μεμονωμένο
πρόσωπο με υποκείμενα σοβαρά νοσήματα, αλλά μάσκες, που δεν είναι 100% αποτελεσματικές, αλλά
στατιστικά μειώνουν την διάδοση και νοσηρότητα. Γίνεται διαφορετική διαχείριση σε μονοσύνολα και
διαφορετική σε μεγάλα σύνολα. Η κοινωνική ψυχολογία ομοίως. Η Φυσική με την κλασική Φυσική και
την Κβαντομηχανική, ομοίως. Η Ανάλυση με την κλασική Ανάλυση και την μη συμβατική του Ρόμπινσον
ομοίως (με θύμα το αξίωμα των Αρχιμήδους –Ευδόξου που δεν ισχύει στην δεύτερη θεώρηση) Γενικώς,
αλλιώς αντιμετωπίζουμε το μεμονωμένο πρόσωπο και αλλιώς τα ανθρωποσύνολα. Αλλιώς κάνουμε
μάθημα σε έναν μαθητή, αλλιώς σε τάξη. Ομοίως και οι άνθρωποι επιστήμονες όταν εφαρμόζουν την
επιστήμη τους. Φαίνεται όμως ότι και ο ανθρώπινος αυτός νόμος να εφαρμόζεται στις επιστήμες καθ΄
εαυτές όπως τα Μαθηματικά και την Φυσική όπου δεν υπεισέρχεται ο ψυχολογικός ανθρώπινος
παράγοντας όπως λ.χ. στην Οικονομία. Εκεί έχουμε μελέτη της ύλης σε ατομικό επίπεδο και
πολυατομικό αντιστοίχως, ενώ στα μαθηματικά μίκρο (απειροστό) και μη επίπεδο. Η φιλοσοφία του Mill
ενθάρρυνε και την εμφάνιση αυτών των θεωρήσεων του επιστητού.

14. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
14
φιλοσοφική της πολυσημία . Πλάτωνας και Αριστοτέλης είναι ένα δίπολο που λειτουργεί
ακόμη . Αναφέραμε πριν ότι κάτι παραπάνω από οπαδός του Πλάτωνα είναι ο σύγχρονος
Bruner. Αυτό σημαίνει , ότι ακόμα και αν έχει ψεγάδια φιλοσοφικά, εμπνέει και τώρα,
πόσο δεν μάλλον ο Αριστοτέλης , ο Κάντ , ο Μίλ και άλλοι όπου η αλλαγή επιστημονικού
πλαισίου διενεργείται σε περιόδους κοινωνικών και επιστημονικών επαναστάσεων.
4. Τελικό μερικό ερώτημα που ολοκληρώνει την απάντηση:
«Σχολιάστε κατά πόσο οι εφαρμογές των Ευκλειδείων και μη-Ευκλειδείων
Γεωμετριών οδήγησαν στην ανάπτυξή τους.»
Η Γεωμετρία εκκίνησε από τις επίγειες εφαρμογές μέτρησης, όπως λέει και οι
ετυμολογία της. Όταν ο Νείλος σκέπαζε με λάσπη τα χωράφια κάνοντάς τα εύφορα, μεν
, αλλά απαλείφοντας τα όριά τους, οι τεχνίτες της εποχής που γνώριζαν πρακτικά μια
πυθαγόρεια τριάδα λ.χ. 3,4,5 είχαν κόμπους στο 3, το 4 και το 5 (ή τουλάχιστον μόνο στο
4 αν και είχαν ιστορικά 12 σε κάθε αυθαίρετη μονάδα μήκους) και έφτιαχναν ένα
ορθογώνιο τρίγωνο, με το οποίο μπορούσαν να φέρνουν κάθετη μόνο με μετροταινία. Το
ίδιο κάνουν οι πολιτικοί μηχανικοί σήμερα όταν πάνε μόνο με την μετροταινία και χωρίς
το όργανο. Είναι μια εργασία που δεν μπορεί να γίνει αλλιώς όταν θέλεις λ.χ. να
σχεδιάσεις ένα ορθογώνιο σε ένα προαύλιο για να φτιαχτεί ένα γήπεδο 5Χ5 και να αρχίσει
να σκάβει ο εκσκαφέας. Η κατασκευή ορθής γωνίας και η κατασκευή μιας απλής ευθείας
γίνονται καινούργια άλυτα προβλήματα σε μια κλίμακα εκτός τετραδίου, κάτι που δεν
υποψιάζονται οι μαθητές Αναφέρουμε αυτό το πρόβλημα που επελύετο ομοίως όπως και
πριν 5.000 χρόνια από σήμερα από τους «Αρπεδονάπτες» στην Αίγυπτο για τον Νείλο

15. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
15
και στην Μεσοποταμία για τους Τίγρη και Ευφράτη ποταμούς.
Σχήμα 3 Τ ο Ευπαλίνειο όρυγμα. Πηγή εικόνας « Μηχανή του Χρόνου»
Η Πίεση για επίλυση μηχανικών στην αρχή κυρίως προβλημάτων δημιούργησαν
συνθήκες ανάπτυξής της . Για παράδειγμα, είμαστε έκπληκτοι για το πώς
κατασκευάστηκε χωρίς Τριγωνομετρικές μεθόδους το περιώνυμο «Ευπαλίνειο όρυγμα
που ύδρευσε την Σάμο το 530 π.Χ. όπου από τους αντίποδες όρους ξεκίνησαν οι εργασίες
κατασκευής σήραγγας ώστε να επιτευχθεί οικονομία χρόνου . Ο Ηρόδοτος, το όρυγμα
αναφέρει ότι το όρυγμα κατασκευάστηκε από δύο συνεργεία, που δούλευαν ταυτόχρονα,
ώστε να συναντηθούν κάπου στο μέσον της διαδρομής, πράγμα που επιτεύχθηκε με
ελάχιστη απόκλιση. Ο Ευπαλίνος ο μηχανικός της εποχής έλυσε σοβαρά προβλήματα
για την κλίση και την κατεύθυνση των αμφίπλευρων εργασιών.

16. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
16
Ο Θαλής ο Μιλήσιος ταξίδεψε στην Αίγυπτο, κατάφερε να υπολογίσει το ύψος
των πυραμίδων, από το μήκος της σκιάς τους, χρησιμοποιώντας δικά του
συμπεράσματα, από τη θεωρία των ομοίων τριγώνων. Το επίτευγμα του Θαλή
προξένησε βαθύτατες εντυπώσεις και μεγάλο θαυμασμό στους συγχρόνους, αλλά και
σε μεταγενέστερους, όπως αναφέρουν ο Πλούταρχος4
και ο Διογένης ο Λαέρτιος.5
Επίσης υπολόγιζε αποστάσεις πλοίων από το λιμάνι με ίσα τρίγωνα.6
Και επινόησε την
εις άτοπον απαγωγή.
Οι τεχνολογικές απατήσεις οι Οικονομικές απαιτήσεις οι Οικονομικές απαιτήσεις
πάντα πιέζουν μέσω της αναγκαιότητας μια κοινωνία να επιλύσει προβλήματα και τα
προβλήματα είναι πάντα της Φύσης ασχέτως αν μαθηματικοποιούνται. Εκείνη την
εποχή υπήρχε μόνο Αριθμητική και Γεωμετρία και η αναγκαιότητα μας έδωσε
ευευερεύσσεις και νέους τομείς του επιστητού, μέσω των Μαθηματικών:
4
«…τὴν βακτηρίαν στήσας ἐπὶ τῷ πέρατι τῆς σκιᾶς ἣν ἡ πυραμὶς ἐποίει, γενομένων τῇ ἐπαφῇ τῆς
ἀκτῖνος δυεῖν τριγώνων, ἔδειξας ὃν ἡ σκιὰ πρὸς τὴν σκιὰν λόγον εἶχε τὴν πυραμίδα πρὸς τὴν βακτηρίαν
ἔχουσαν.» (Πλούταρχος)
5
«…καὶ ἐκμετρῆσαί φησιν αὐτὸν τὰς πυραμίδας ἐκ τῆς σκιᾶς,
παρατηρήσαντα ὅτε ἡμῖν ἰσομεγέθης ἐστίν.» (Διογένης Λαέρτιος
6
Εδώ ένα βίντεο για το πώς το υπελόγισε Ο Θαλής : https://youtu.be/mzN7940wBtg

17. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
17
Οδόμετρα, Αστρολάβος, Ηλιακό ρολόι, γέφυρες, Εμβαδομετρία, Ογκομέτρηση,
μηχανισμοί μέσω γεωμετρικών τόπων, Αρχιτεκτονική, Γεωμετρική Οπτική, Τέχνη,
Γλυπτική, Αγροτικά εργαλεία, χειρουργικά εργαλεία, Μουσικά όργανα, Αντλίες,
υδρευτικά και αδρευτικά έργα, Ναυσιπλοία, Ναυπηγεία, Αστρονομία, Αστρολάβο
Αντικυθύρων, για να αναφέρουμε μερικά κατασκευάσματα, κλάδους και τομείς του
επιστητού. .
Μόνο ο Αρχιμήδης επινόησε πάντα και με την βοήθεια της Γεωμετρίας, το
πολύσπαστο, το ατέρμωνα κοχλία, την αντλητική μηχανή νερού, εμπρηστικά κάτοπτρα,
μηχανές καθέλκυσης πλοίων, πολεμικές μηχανές όπως τους καταπέλτες και τις αρπάγες
με τις οποίες ανέτρεπε τα εχθρικά πλοία
Ο Ερατοσθένης κατασκεύασε ένα σύστημα συντεταγμένων με παράλληλους και
μεσημβρινούς, κατασκεύασε τον σφαιρικό αστρολάβο,μέτρησε την απόκλιση του
άξονα της Γης,υπολόγισε την περίμετρο της γης, κατασκεύασε έναν αστρικό χάρτη που
περιείχε 675 αστέρες και πρότεινε την προσθήκη στο ημερολόγιο μιας ημέρας ανά 4
χρόνια
Ο Ίππαρχος Υπολόγισε με απόλυτη ακρίβεια τη διάρκεια του έτους, υπολόγισε τη
διάμετρο της Σελήνης και την κυμαινόμενη απόστασή της από τη Γη, επινόησε την
κλίμακα του μεγέθους των αστεριών από τη φωτεινότητά τους, διαίρεσε τους κύκλους
των αστρονομικών οργάνων σε 360 μοίρες, και είναι ο πρώτος που κατασκεύασε
υδρόγειο σφαίρα. Ο Αρίσταρχος μίλησε για το ηλιοκεντρικό σύστημα, κτλ.
Εφευρέσεις σπάνιας τεχνολογίας κατέστησαν δυνατές και μέσω των
Μαθηματικών, ενώ καθ΄εαυτές δημιούργισαν πεδίο νέο για τα Μαθηματικά, όπως και
γίνεται Ιστορικά.
Η «ιπτάμενη περιστερά» του Αρχύτα, Ο αστρολάβος του Πτολεμαίου, Ο
«υδραυλικός τηλέγραφος» του Αινεία, Η Κούπα του Δικαίου του Πυθαγόρα, Το φορητό
ρολόι του Παρμενίωνα, Το ξυπνητήρι του Πλάτωνα, Το ξυπνητήρι του Αριστοτέλη, Το
υδραυλικό ωρολόγιο του Αρχιμήδη, Το αυτόματο ωρολόγιο του Κτησίβιου, Η ευφυής
οινοχόη του Φίλωνα, Το «ρομπότ-υπηρέτρια» του Φίλωνα, Η μαγική κρήνη του
Ήρωνα, Η Αιολόσφαιρα του Ήρωνα, Το «αυτόματο σπονδείο με κερματοδέκτη» του
Ήρωνα, Η «φιλοσοφική λίθος» του Ήρωνα, Το «πουλί που κελαηδά» του Ήρωνα, O
«Κινηματογράφος» του Ήρωνα,7
[5]
Καθόλου τυχαίο, που την παλιά εποχή ο όρος «Μηχανικός» ταυτιζόταν με τον
«Μαθηματικό», κάτι που σήμερα εξελικτικά το λέμε και το προωθούμε στην
Εκπαίδευση, ως STEM (science, technology, engineering, and mathematics.
Τους επόμενους αιώνες η Γεωμετρία έπαψε να λύνει τεχνολογικά προβλήματα
αιχμής, αφού είχε επέλθει η Τριγωνομετρία, η Άλγεβρα, η Ανάλυση, τομείς που
επεξέτειναν τις παραδοσιακές δυνατότητες της Γεωμετρίας. Αργότερα βρέθηκε η
7
Μια εναργής πολύ ενδιαφέρουσα παρουσίαση των προηγουμένων ανακαλύψεων που είναι άγνωστη
στο ευρύ κοινό, είναι στον ιστότοπο του «Newsbeast»

18. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
18
Αναλυτική Γεωμετρία, Σφαιρική γεωμετρία, Προβολική γεωμετρία, ωστόσο, διδακτικά
τα Στοιχεία θεωρούντο αξεπέραστη διδακτική για την μαθηματική σκέψη παρουσίαση,
όπως (περίπου ) και σήμερα, αν και σαφέστατα έχει υποχωρίσει η διδασκαλία της από
τις δυναμικές των καιρών, όπου αναπροσδιορίζεται το πλαίσιο το Μαθηματικό.
Μέχρι που επήλθαν και οι μη Ευκλείδεις Γεωμετρίες, προ της αδυναμίας να
ερμηνευθούν πειραματικώς επαληθευόμενα φαινόμενα της Φυσικής. Ο μεγάλος
φυσικός Άλμπερτ Αϊνστάιν μάλιστα είπε με την ανακάλυψη της θεωρίας της
σχετικότητας ότι ο πραγματικός χώρος δεν είναι Ευκλείδειος, αλλά ο Ευκλείδειος
χώρος είναι μια καλή προσέγγιση για περιοχές που το βαρυτικό πεδίο είναι
αδύναμο.
Νωρίτερα όμως ο Riemman το 1854 στην Ιστορική διάσημη διάλεξή του, ναι μεν
παραδέχθηκε ότι το Σύμπαν είναι τριδιάστατο, και ότι τα σχήματα κατά την μετακίνησή
τους δεν αλλάζουν 8
σχήμα . Όμως ήταν πεπεισμένος ότι «δεν είναι Ευκλείδεια»
Παραθέτουμε αυτό το θέμα, για να επαληθευθεί άλλη μια φορά ότι τα μαθηματικά
προηγούνται των εφαρμογών τους, ένα φαινόμενο που θα συντηρούσε την Πλατωνική
άποψη περι τα Μαθηματικά, όμπως και το άλλο διάσημο παρεμφερές φαινόμενο
γνωστό μέσου του αποφεύγματος του Ευγένιου Βίγκερ για την «παράλογη
αποτελεσματικότητας των Μαθηματικών» όσον αφορά την περιγραφή ενός φυσικού
φαινομένου9
Βέβαια, αν ενστερνιστούμε την άποψη του Mill, ότι «Η Γεωμετρία είναι
Φυσική Επιστήμη» δεν υπάρχει απολύτως κανένα θέμα είτε για έκπληξη για
μεταγενέστερη των εφαρμογών των «θεωρητικών» Μαθηματικών που τα καθιστούν
«εφαρμοσμένα» είτε για την «παράλογη (αδικαιολόγητη) αποτελεσματικότητά τους,
» όπως είπε ο Ευγένιος Βίγκερ10
.
Ο Minkowski καθηγητής Μαθηματικών του Αϊνστάϊν, έθεσε τον τύπο της
απόστασης του τετραδιάστατου χωρόχρονου, δίνοντας τύπο για την απόσταση
προσαρμοσμένο στην ταχύτητα του φωτός και θεωρώντας 4η
διάσταση τoν χρόνο, για
κάθε σημείο (x,y,z,ct) ως εξής
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
d ct x y z
       
8
Δηλ. στην μετακίνηση επιδέχεται ένα σχήμα κατοπτρισμό, μεταφορά ή στροφή και όχι λ.χ. ομοιοθεσία
που έχουμε σμίκρυνση ή μεγέθυνση για να αναφερθούμε μόνο σε γνωστούς στο Λύκειο Γεωμετρικούς
μετασχηματισμούς, που διατηρούν τις αποστάσεις (ισομετρίες)
9
Μια ενδιαφέρουσα αναφορά για ένα φαινόμενο που μελέτησε ο Δημήτρης Χριστοδούλου, γύρων από
μια πρόβλεψη της Γεωμετρίας του Χώρου για τα βαρυτικά κύματα, υπάρχει εδώ
10
https://el.wikipedia.org/wiki/Γιουτζίν_Γουίγκνερ/

19. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
19
Η βαρύτητα θεωρήθηκε όχι ότι
οφείλεται σε κάποια δύναμη με την
οποία έλκει ένα σώμα με μάζα ένα
άλλο, με μάζα, αλλά στο ότι η μάζα,
παραμορφώνει τον χώρο τον
τριδιάστατο . Έτσι, ένα άλλο σώμα
«αντιλαμβάνεται» ένα άλλο, από «την
μεγαλύτερη κατηφόρα-παραμόρφωση»
που προκαλεί το έχον μεγαλύτερη μάζα.
Αν η τροχιά του μικρού δεν έχει
κεντρική κατεύθυνση, θα κάνει μια
παραβολική τροχιά λόγω από το πρώτο
με μία εστία της παραβολής αυτό με την
μεγαλύτερη μάζα. Αυτό που βλέπουμε
στο σχήμα 4. Στο επόμενο σχήμα 5 βλέπουμε το αναλογο της καμπύλωσης φωτός από
καμπύλωση του χώρου, που ακολουθεί το φώς λόγω της σωματιδιακής του φύσης, όπως
προέβλεψε ο Αϊνστάϊν [1],[2]
Σύμφωνα με την θεωρία της
γενικής σχετικότητας του Άλμπερτ
Αϊνστάιν, αν ένα τρίγωνο κατασκευαστεί
από τρεις ακτίνες φωτός,τότε σε γενικές
γραμμές οι εσωτερικές γωνίες δε φτάνουν
το άθροισμα των 180 μοιρών λόγω της
βαρύτητας. Ένα σχετικά ασθενές
βαρυτικό πεδίο,όπως της Γης ή του
Ήλιου,αντιπροσωπεύεται από μία μετρική
που είναι σχεδόν,αλλά όχι
ακριβώς,Ευκλείδεια. Μέχρι τον 20ο
αιώνα , δεν υπήρχε τεχνολογία ικανή να
ανιχνεύσει τις αποκλίσεις από την
Ευκλείδεια γεωμετρία, αλλά ο Αϊνστάιν
προέβλεψε ότι τέτοιες αποκλίσεις θα
υπάρξουν . Αργότερα επαληθεύονται
από παρατηρήσεις,όπως η ελαφριά κάμψη του αστρικού φωτός από τον Ήλιο κατά τη
διάρκεια μιας ηλιακής έκλειψης το 1919,και τέτοιες σκέψεις είναι πλέον αναπόσπαστο
κομμάτι του λογισμικού που τρέχει το σύστημα Είναι δυνατόν να αντιταχθεί σε αυτή την
ερμηνεία της γενικής σχετικότητας με την αιτιολογία ότι οι ακτίνες του φωτός μπορεί να
είναι ακατάλληλα φυσικά μοντέλα των γραμμών του Ευκλείδη,ή ότι η σχετικότητα θα
μπορούσε να αναδιατυπωθεί , ώστε να αποφύγει τις γεωμετρικές ερμηνείες.Ωστόσο,μία
από τις συνέπειες της θεωρίας του Αϊνστάιν είναι ότι δεν υπάρχει καμία δυνατή φυσική
δοκιμή που να μπορεί να διακρίνει ανάμεσα σε μια ακτίνα του φωτός ως ένα μοντέλο
γεωμετρικής γραμμής και κάθε άλλο φυσικό φαινόμενο.Έτσι,το μόνο λογικό ενδεχόμενο
είναι να αποδεχτούμε την μη Ευκλείδεια γεωμετρία ως φυσική πραγματικότητα, ή να
Σχήμα 4 : Το υπόδειγμα της καμπύλωσης του χώρου λόγω
βαρύτητας .
Σχήμα 5. Το φως διερχόμενο πλησίον άστρου ή μεγάλου
πλανήτη, καμπυλώνει την τροχιά του, ως αποτέλεσμα
της καμπύλωσης του χώρου από την μάζα του άστρου και
λόγω του ότι φωτόνιο έχει μάζα (αν και αμφισβητείται
πειραματικώς τα τελευταία χρόνια και το φωτόνια
θεωρείται μα μάζα μηδενική )

20. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
20
απορρίψουμε ολόκληρη την έννοια των φυσικών δοκιμών των αξιωμάτων της
γεωμετρίας,κάτι το οποίο μπορεί τότε να φανταστεί ως ένα επίσημο σύστημα χωρίς
κανένα πραγματικό νόημα. [1],[2]
Εξαιρετικό σημείο για σκέψη και στοχασμό είναι κατά την γνώμη μας, το
απόφθεγμα του Ευγένιου Βίγκερ για την «αδικαιολόγητη» αποτελεσματικότητα των
Μαθηματικών στην Φυση». Ως ένα είδος πρόχειρου αλλά διαδεδομένου αντίλογου,
αντιτάσσεται ότι υπάρχουν εντελώς καθαρά «πούρα μαθηματικά», που είναι
αποστασιοποιημένα από τις φυσικές τους αφαρμογές. Ως παραδείγματα αναφέρονταν η
Θεωρία Ομάδων ή η Θεωρία Αριθμών ως «καθαρές εφαρμογών» και άρα (υπήρχε και
ιδεολογικό υπόβαθρο για την στάση απέναντι σε αυτούς τους τομείς) η ενασχόλιση με
αυτούς τους τομείς και τα όποια πορίσματα, δεν μπορουν να χρησιμοποιηθούν στο
μέλλον «για στρατιωτικούς πολεμικούς σκοπούς.» Η Ιστορική πραγματικότητα λέει , ότι
όλα τα Μαθηματικά εφαρμόζονται στην Φύση. Εντελώς τυπικά βαπτίζονται ως
«Θεωρητικά» και ως; «Εφαρμοσμένα» αλλά αν το δούμε προσεκτικά όλα είναι
εφαρμοζόμενα λιγότερο ή περισσότερο και όσα φαίνεται να μην εφαρμόζονται σήμερα,
εφαρμόζοντια αύριο. Λ.χ. η Θεωρία Αριθμών εφαρμόζεται στην Κρυπτογραφία, η οποία
έχει και στρατιωτικές πέραν των ειρηνικών, εφαρμογές, ενώ και η Μουσική έχει
αναλυθεί με Θεωρία Ομάδων, ένας κατ΄εξοχήν κλάδος «Θεωτηρικών» Μαθηματικών.11
Οι μη ευκλείδειες Γεωμετρίες λοιπόν, αναπόφευκτα, ακολουθούν τον ιστορικό κανόνα
και οιονεί νόμο: 1) Συνηθέστατα προηγούνται των Εφαρμογών τους, 2) Εφαρμόζονται
σε ένα συνεχώς διευρυνόμενο πεδίο εφαρμογών, όπως όλα τα Μαθηματικά. 3) Εκτός
από την φυσική που χωρίζεται σε «μίκρο και μάκρο» (Κβαντομηχανική –Κλασική
Φυσική) εκτός από τις Επιστήμες που ασχολούνται με τον Άνθρωπο και έχουν «μίκρο
και μάκρο θεωρήσεις» με αλληλοσυγκρουόμενες πρακτικές, και τα Μαθηματικά έχουν
κλάδους με διαφορετικές θεμελιώσεις ( έως και αντίθετα αξιώματα όπως το 5ο
αίτημα
«Μοναδική παράλληλος»=«μη μοναδική παράλληλος») και παρ όλα ταύτα παράγουν
αποτελέσματα στην περιγραφή, ερμηνεία και πρόβλεψη της Φύσης, όπως η Ευκλείδεια
και οι Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες.
5. Η «νομιμοποίηση» όλων των Γεωμετριών, ως περιγραφές των κατά
περίπτωση τοπολογιών του χώρου.
Υπάρχει το μείζον κοσμολογικό ερώτημα που δεν έχει απαντηθεί ακόμα θετικά. Τι
σχήμα έχει το Σύμπαν; Ο Χώρος; Σε τι τοπολογία υπόκειται;
Ας τα πάρουμε με την σειρά:
Ο Riemann πίστευε ότι το Σύμπαν είναι μια 3-διάστατη, σφαιρική, απλή, η απλούστατη,
συμπαγής, τοπολογική πολλαπλότητα. Αυτή ήταν η διάσημη εικασία του. Ο Henri
Poincaré, εμπνεόμενος από αυτό, λέει ότι η 3-σφαίρα είναι μοναδική μεταξύ των 3-
πολλαπλοτήτων. Καμιά άλλη 3-πολλαπλότητα δεν έχει τις ιδιότητές της που την κάνουν
τόσο απλή. Οι 3-πολλαπλότητες οι οποίες είναι πιο περίπλοκες από την 3-σφαίρα έχουν
όρια τα οποία μπορούμε να διαβούμε όπως όταν περνάμε σκαρφαλώνοντας τη ράχη
11
https://el.wikipedia.org/wiki/Θεωρία_ομάδων#Εφαρμογές_της_Θεωρίας_Ομάδων/

21. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
21
ενός τοίχου, ή έχουν πολλαπλές συνδέσεις από τη μια περιοχή τους προς μια άλλη, όπως
ένα μονοπάτι στο δάσος το οποίο διαχωρίζεται προσωρινά στα δύο και μετά
ξανασυνδέεται. Η εικασία του Poincaré λέει ότι η 3-σφαίρα είναι η μόνη συμπαγής 3-
πολλαπλότητα η οποία δεν εμφανίζει αυτές τις πολυπλοκότητες. Τί σχήμα έχει όμως
μια σφαιρική τριδιάστατη πολλαπλότητα;
Η απάντηση είναι «κανείς δεν μπορεί να ξέρει» Ξέρουμε να ζωγραφίζουμε τις
μονοδιάστατες πολλαπλότητες, και τις 2-διάστατες πολλαπλότητες. Από τον τρόπο
μετάβασης από την μία στην άλλη, εικάζουμε με αναλογική σκέψη και με αφαίρεση τις
ν-διάστατες.
Ας τις δούμε:
 Ο κύκλος είναι μια μονο-διάστατη πολλαπλότητα και είναι εμβαπτισμένος σε 2-
διάστατο χώρο , ενώ η θέση κάθε σημείου πάνω του, περιγράφεται με μοναδικό
αριθμό-συντεταγμένη.
 Η σφαίρα (η επιφάνειά της μόνο) είναι μια 2-διάστατη πολλαπλότητα και είναι
εμβαπτισμένη σε 3-διάστατο χώρο, κάθε σημείο πάνω της, περιγράφεται με δύο
αριθμούς (λ.χ. γεωγραφικές συντεταγμένες)
 Η υπέρ-σφαίρα που είχε κατά νου ο Riemann, είναι μια (μη σχεδιάσιμη) 3-
διάστατη τοπολογική πολλαπλότητα εμβαπτισμένη κατ΄αναλογίαν σε 4-
διάστατο χώρο (φυσικά και αυτός μη αναπαραστάσιμος οπτικά)
 Επαγωγικά ορίζεται ν-διάστατη πολλαπλότητα.
Πώς γίνεται η μετάβαση από την μία διάσταση στην άλλη;
Οι τοπολόγοι, λένε, ότι «ο μονοδιάστατος κύκλος που είναι εμβαπτισμένος στις δύο
διαστάσεις, «φουσκώνει κατά την «άνω κατεύθυνση» της 3ης
διάστασης και φτιάχνει
μια ημισφαιρική επιφάνεια. Αυτό γίνεται άλλη μια φορά κατά την αντίθετη κατεύθυνση
της τρίτης διάστασης και κατασκευάζεται άλλη μια ημισφαιρική επιφάνεια. Στην
συνέχεια οι δύο ημισφαιρικές επιφάνειες ενώνονται και φτιάχνουν μια σφαιρική
επιφάνεια, δηλαδή μια 2-διάστατη πολλαπλότητα.
Σε όλη την προηγούμενη περιγραφή της παραγράφου αν αυξήσουμε όλα τα αριθμητικά
της περιγραφής κατά ένα και όπου κύκλος σφαιρική επιφάνεια, παίρνουμε την 3-

22. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
22
διάστατη πολλαπλότητα για την οποία
μίλησε ο Riemann . Και αυτό για κάθε
Φυσικό αριθμό, αφού και οι ίδιοι οι
Φυσικοί δεν έχουν καταλήξει πόσες
διαστάσεις έχει το Σύμπαν. 12
Στο σχήμα 6 έχουμε όλες τις θεωρήσεις:
a) Αν το Σύμπαν είναι 3-διάστατη
απλή συμπαγής σφαιρική
πολλαπλότητα, περιγράφεται με
την σφαιρική Ρημάνεια
Γεωμετρία. ( η εικόνα είναι για
2-διάστατη )
b) Αν το Σύμπαν έχει τοπολογία
της «κούπας του καφέ» δηλ.
τελικά του του «λουκουμά»
(τόρου) μπορεί να περιγραφεί
και με 2-διάστατη Γεωμετρία
του επιπέδου καθώς κάθε σημείο
πάνω στον λουκουμά, μπορεί να
περιγραφεί με ένα ζεύγος
αριθμών : Την θέση σε έναν
κάθετο κύκλο- τομή του
λουκουμά, και την θέση σε έναν
νοητό κύκλο με κέντρο το κέντρο του τόρου. (η εικόνα αφορά πάντα 2-
διάστατο λουκουμά)
c) Αν έχω την τοπολογία του
«αμφορέα» (δύο τρύπες) ταιριάζει η
Υπερβολική Γεωμετρία.
d) Αν έχω μια 3-διάστατη πολύπλοκη , πολλαπλή, τοπολογική πολλαπλότητα (στο
σχήμα λέει «3-πολλαπλότητα , αλλά είναι 2-πολλαπλότητα) μπορεί να
περιγραφεί «τοπικά» -με κριτήριο την καμπυλότητα κατά Gauss- με πέντε
γεωμετρίες: Σταθερή θετική [a], μηδενική [b], και σταθερή αρνητική
καμπυλότητα [c], καθώς και από το "γινόμενο" της 2-σφαίρας και ενός κύκλου
[d], και από το γινόμενο της επιφάνειας αρνητικής καμπυλότητας και ενός
κύκλου [e]. [1],[7]
Η τελευταία απάντηση, στην πραγματικότητα μας λέει, ότι «όλες οι Γεωμετρίες είναι
«σωστές» και «όλες περιγράφουν σωστά την Φύση υπό συνθήκες και παραδοχές και
τοπικά»
12
Ο Δημήτρης Νανόπουλος ομιλεί για Σύμπαν με 10 διαστάσεις και 1050
παράλληλα Σύμπαντα! Εδώ:
https://tvxs.gr/news/sci-tech/δ-νανόπουλος-«ζούμε-σε-δέκα-διαστάσεις-αλλά-δεν-το-
αντιλαμβανόμαστε»/

23. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
23
Είναι επιστημολογικά, μια εκπληκτική διαπίστωση.
6. Αναφορές:
[1] Davis M. Donald, H φύση και η δύναμη των μαθηματικών, Ίδρυμα
Τεχνολογίας και Έρευνας-Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης 2001.
[2] Eves H., Foundations and Foundamental Concepts of Mathematics, Dover
Publications, 1997 (3rd edition).
[3] Shapiro, S., Thinking About Mathematics: The Philosophy of Mathematics,
εκδ. Oxford University Press, 2000.
[4] Ψύλλος, Ε., «Ιστορία της Φιλοσοφίας IV : Από τον 19ο
αιώνα έως σήμερα»
Σημειώσεις Μαθήματος ΕΚΠΑ (Ανάκτηση 12/11/2020 από
http://users.uoa.gr/~psillos/Teaching/Lecture_Notes/History%20of%20Philosop
hy%20after%20Kant.pdf
[5] Τσαμάτος,Π. «Μεγάλες στιγμές της Ιστορίας των Μαθηματικών στην
αρχαιότητα». Απόσπασμα από διάλεξη 16/03/2017 Παν. Ιωαννίνων (Ανάκτηση
12/11/20 από https://math.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_16032017.pdf )
[6] Μαρούγκας, Χ. «Το φιλοσοφικό δίπολο Πλάτωνα –Αριστοτέλη»
Μεταγράφημα παρουσίαση εργασίας. (Ανάκτηση 12/11/20
https://slideplayer.gr/slide/2935396/ )
[7] «Οι μορφές του χώρου Μέρος 1ο,2o ,3o» Ιστοσελίδα: Physics 4u
(Ανάκτηση 12/11/20 από
http://www.physics4u.gr/articles/2005/shapesofspace1.html )

24. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
24
1. Τι είναι ο Μαθηματικός Στρουκτουραλισμός-Δομισμός;
Ο Δομισμός (στρουκτουραλισμός) είναι μια ειδική θεωρία στη φιλοσοφία των
μαθηματικών που υποστηρίζει ότι:
2.
Ποίες οι βασικές θέσεις των ante rem
δομών του στρουκτουραλισμού και ποία
η διαφοροποίηση στο κίνημα του
στρουκτουραλισμού χωρίς δομές ; Ποια
κενά των προγενέστερων φιλοσοφικών
ρευμάτων ήρθαν να καλύψουν οι δύο
ανωτέρω προσεγγίσεις;

25. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
25
 Οι μαθηματικές θεωρίες περιγράφουν τις δομές των μαθηματικών
αντικειμένων .
 Τα μαθηματικά αντικείμενα ορίζονται διεξοδικά, από τη θέση τους σε
τέτοιες δομές.
 Τα μαθηματικά αντικείμενα, δεν έχουν εγγενείς ιδιότητες αλλά καθορίζονται
από τις εξωτερικές σχέσεις τους σε ένα σύστημα.
Να διευκρινιστεί, ότι ο όρος «Στρουκτουραλισμός-Structuralism» γενικά ως
Φιλοσοφία της Επιστήμης, είναι κάτι το διάφορο (Βικιπαίδεια: Structuralism
(philosophy of mathematics))
Σύμφωνα με την (Χριστοπούλου 2018) «Οι στρουκτουραλιστές
αναφέρονται σε μαθηματικές δομές, πχ. τη δομή των φυσικών αριθμών,
τη δομή των πραγματικών αριθμών, την ευκλείδεια δομή κλπ. Αν
θεωρήσουμε τη δομή των πραγματικών αριθμών, ένας πραγματικός
αριθμός (όπως ο √2) θα έχει μια συγκεκριμένη θέση σε αυτή τη
δομή. Στην προσέγγιση των δομών, ένα μαθηματικό αντικείμενο
μπορεί να θεωρηθεί ότι καταλαμβάνει μια θέση ή ότι αποτελεί το
ίδιο μια θέση. Σε κάθε περίπτωση, αυτό που έχει σημασία για τον
στρουκτουραλισμό είναι οι σχέσεις μεταξύ των στοιχείων που
απαρτίζουν μια δομή (δομικές σχέσεις).»
Ο (Αναπολιτάνος 2020) αναφερόμενος βιβλιοκριτικά σε βιβλίο της Michele
Friend, («Γνωρίζοντας τη Φιλοσοφία των Μαθηματικών» ) αναφερόμενος
στον Στρουκτουραλισμό σημειώνει:
«Η κυρίαρχη φιλοσοφική άποψη η οποία είναι άμεσα συνδεδεμένη με
τον στρουκτουραλισμό σχετίζεται με την θέση ότι τα μαθηματικά δεν
αφορούν σε αντικείμενα (ιδιαιτέρως πρώτης τάξεως, όπως οι
αριθμοί και τα γεωμετρικά σχήματα) αλλά σε δομές οι οποίες
προϋπάρχουν, κατά κάποιο τρόπο, των ανηκόντων σε αυτές. Τα
αντικείμενα στην προκείμενη περίπτωση δεν είναι ένσαρκα αλλά
ταυτίζονται με τις θέσεις τους που ανήκουν σε μία δομή. Ως προς
το οντολογικό status των δομών, η φιλοσοφική άποψη είναι δυνατόν
να είναι είτε ρεαλιστική είτε αντιρεαλιστική. Τέλος, οι ουσιωδέστεροι
προβληματισμοί για τον στρουκτουραλισμό αφορούν στα μαθηματικά
και στην λογική που ανάγονται στο στρουκτουραλιστικό φιλοσοφικό
υπόβαθρο.»
Οι παραπάνω ορισμοί, δεν μας διαφωτίζουν πλήρως, καθώς χρειαζόμαστε όλη την
απαιτούμενη αναγκαιότητα για το πώς πλάστηκε αυτή η Φιλοσοφική Θεωρία των
Μαθηματικών και πρέπει να εγκύψουμε στην απαρχή δημιουργίας της και στην
αναγκαιότητά της. Γιατί δημιουργήθηκε; Τι ανάγκες κάλυψε; Αλλά πρώτα θα δούμε την
ίδια την δομή του Στρουκτουραλισμού.

26. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
26
2. Ας δούμε την Δομή του …Δομισμού(!) Τι είναι (ή θα έπρεπε να είναι) ο
Δομισμός για να είναι μια συνεκτική Θεωρία; Πώς πρέπει να κτιστεί (και κτίστηκε
τελικά) μια τέτοια Φιλοσοφική Θεωρία για τα Μαθηματικά; Πώς και που
διαφοροποιούνται οι επί μέρου συνιστώσες της Δομής;
Ο παρακάτω πίνακας έχει τον «σκελετό» του Στρουκτουραλισμού
ΠΙΝΑΚΑΣ 1. Δομικής Θεωρίας και Σχολών ως προς κριτήρια και οπτικές13
Συνιστώσες, για μια
συνεκτική αξιόπιστη και
συνεπή Δομική Θεωρία
Συνέπειες για
κάθε συνιστώσα
Ποία Σχολή-Τάση
Δομισμού υποστηρίζεται.
1. Υπάρχει η Δομή;
Υπάρχει κάτι το οποίο
ονομάζεται δομή και για το
οποίο μιλάνε και
αποδεικνύουν θεωρήματα οι
μαθηματικοί. Υπάρχει ένα
συγκεκριμένος τρόπος να
ερμηνευτούν τα μαθηματικά
(ή κάποια τουλάχιστον από
τα μαθηματικά) ο οποίος να
μας υποδεικνύει ότι το
κεντρικό αντικείμενο στην
επιστήμη αυτή είναι οι
δομές.
Ορίζεται το
αντικείμενο
μελέτης το
οποίο είναι η
δομή.
Κοινός όρος για όλες τις
Σχολές Σκέψεις.
2. Δυνατότητα
Αναφοράς
Δυνατότητα αντιστοίχισης:
(μαθηματικό αντικείμενο
α) (Δομή που εντάσσεται)
Δίνει
περιεχόμενο
στην σκέψη μας
ότι όλα τα
πράγματα με τα
οποία
ασχολούνται οι
μαθηματικοί
είναι μέσα στη
δομή
Κοινός όρος για όλες τις
Σχολές Σκέψεις.
3. Κανονιστική θέση
Όλα τα μαθηματικά και οι
κλάδοι τους μπορούν και
πρέπει να ερμηνεύονται ως
Δομές
Μας ζητάει να
ισχύει αυτή η
εικόνα για όλα
τα
Ο Parsons (και η Σχολή
σκέψεις που εκπροσωπεί)
υποστηρίζει ότι υπάρχουν
μαθηματικά αντικείμενα
των οποίων η μελέτη δεν
13
Ο πίνακας έχει δημιουργηθεί από τις αναγραφόμενες απόψεις στο (Φλουρής 2014) ο οποίος τις
παραθέτει πεζά και εμείς τις έχουμε επεξεργαστεί περισσότερο εποπτικά ως πίνακα.

27. Πλατάρος, Ιωάννης « Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις» Εργασίες ΕΑΠ : καθηγητής κ. Παναγιώτης Βλάμος
27
μαθηματικά
αντικείμενα.
εντάσσεται στην μελέτη
των δομών
4. Επιστημολογική
εξάρτηση.
Ό,τι γνωρίζουμε σε σχέση με
ένα μαθηματικό αντικείμενο,
είναι μόνον ό,τι μπορεί να
καθοριστεί για αυτό μέσα
στην δομή.
Τα αντικείμενα
είναι με έναν
ουσιώδη τρόπο
ενταγμένα μέσα
σε μια δομή
στην οποία
ανήκουν
Κοινός όρος για όλες τις
Σχολές Σκέψεις.
5. Μεταφυσική
εξάρτηση
Τα μαθηματικά αντικείμενα,
ό,τι και
αν είναι αυτά, είναι με έναν
ουσιαστικό τρόπο ενταγμένα
μέσα στην δομή στην οποία
ανήκουν, με την έννοια ότι
δεν μπορούν να υπάρχουν (ή
δεν μπορούν να νοηθούν)
ανεξάρτητα από αυτήν.
Ομοίως και
εδώ: Τα
αντικείμενα
είναι με έναν
ουσιώδη τρόπο
ενταγμένα μέσα
σε μια δομή
στην οποία
ανήκουν
Αμφιλεγόμενος
χαρατκτήρας
6. Επιστημική πρόσβαση
στις δομές Υπάρχει ένας
τρόπος, μια διαδικασία,
ώστε να μεταβούμε από τα
επιμέρους αντικείμενα της
μαθηματικής πρακτικής (τις
αποδείξεις δηλαδή), στις
δομές. Αν οι δομές είναι κάτι
εν τέλει, τότε κάπως, με
κάποιον τρόπο, πρέπει να
είμαστε σε θέση να
αποκτούμε δικαιολογημένες
πεποιθήσεις σε σχέση με
αυτές.
Είναι ένα
ζητούμενο για
να έχουμε
γνώση σε σχέση
με τις δομές.
Η διαδικασία που
υπόσχεται το έκτο σκέλος
είναι επίσης διαφορετική
για κάθε Σχολή Δομισμού