1. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 1 Ο Αστεροειδής Ceres
Αστεροειδής Ceres
Τον Ιανουάριο του 1801 ο αστρονόµος Piazzi παρατήρησε
για λίγο έναν νέο πλανήτη, και αµέσως τον έχασε (σήµερα
είναι γνωστό οτι επρόκειτο για τον αστεροειδή Ceres). Οι
προσπάθειες των αστρονόµων να τον εντοπίσουν
παρέµειναν άκαρπες. Τον ∆εκέµβριο του ίδιου έτους ο
Gauss υπέδειξε, που να τον αναζητήσουν και µάλιστα
προέβλεψε και την µελλοντική του θέση σε κάθε χρονική
στιγµή. Τότε ο Gauss δεν είχε αποκαλύψει την µέθοδό του
και έφτασε να κατηγορηθεί ακόµα και για µαγεία. Μόνο το
1809 αποκάλυψε οτι κατάφερε να τον εντοπίσει,
υποθέτοντας ελλειπτική τροχιά και αναπτύσσοντας
συστηµατικά την µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων του
Legendre.
Υποθέτουµε οτι η εξίσωση της ελλειπτικής του τροχιάς,
αναφέρεται στους κύριους άξονες της και οτι (xi, yi), i=1, 2,
..., ν είναι οι συντεταγµένες του πλανήτη στο επίπεδο όπου
Ο Αστρονόµος Piazzi αυτός παρατηρήθηκε. Να βρεθεί µε χρήση γενικευµένου
αντιστρόφου η λύση ελαχίστων τετραγώνων για την τροχιά
του, αν γνωρίζουµε τις 4 συντεταγµένες (1, 1), (0, 2), (-1,
1), (-1, 2)
Λύση
Αφού η εξίσωση της ελλειπτικής τροχιάς
αναφέρεται στους κύριους άξονες της, θεωρούµε ότι
η έλλειψη αυτή, έχει εξίσωση της µορφής
2
c: x2
a2
+ b2 = 1
y
(1)
1 1
θέτουµε = k και 2 = l οπότε η (1) γίνεται:
a 2
b
c : kx 2 + ly 2 = 1 (2)
Όµως τα σηµεία Α(1, 1), Β(0, 2), Γ(-1, 1) και ∆(-1, 2) ανήκουν στην έλλειψη συνεπώς οι
συντεταγµένες τους θα επαληθεύουν την (2). ∆ηλαδή :
A ∈ c k + l = 1
B ∈ c 0k + 4l = 1 k + l = 1  1 1 1
   0 4 k   
 ⇔  ⇔ 0k + 4l = 1 ⇔   l  = 1 ⇔ AX = B
G ∈ c k + l = 1 k + 4l = 1   1
D ∈ c   
 1 4
 
 k + 4l = 1

2. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 2 Ο Αστεροειδής Ceres
1 1 1
  k 
όπου A = 0 4 , X = l  , B = 1 .

 1 4   1
  
k + l = 1 k = 3
Όµως  ⇔  14
0k + 4l = 1 l = 4
3 1
και το ζεύγος (k, l) = ( , ) δεν επαληθεύει την εξίσωση k + 4l = 1.
4 4
Άρα το σύστηµα AX = B είναι αδύνατο.
Γνωρίζουµε οτι η λύση ελαχίστων τετραγώνων *** ενός µη
συµβιβαστού συστήµατος AX = B , mxn, ικανοποιεί την εξίσωση
A T A X = A TB .
T
Aν οι στήλες του πίνακα A είναι γραµµικά ανεξάρτητες, τότε ο πίνακας A A
−1 T
αντιστρέφεται και ισχύει οτι: X = ( A A ) A B .
T
 1 1
 
Εξετάζουµε αν οι στήλες του πίνακα A = 0 4 είναι γραµµικά ανεξάρτητες.
 1 4
 
1  1  0 c 1 + c 2 = 0
0 + c 4 = 0 ⇔ 0c + 4c = 0 ⇔ c 1 = 0
Έστω c 1, c 2 ∈ R : c 1   2     1 2 

1  4 0  1
   c + 4c = 0 c 2 = 0
  2
Συνεπώς οι στήλες του A είναι γραµµικά ανεξάρτητες, δηλαδή ο 2x2 τετραγωνικός
T ⊥
πίνακας A A αντιστρέφεται, και ο γενικευµένος αντίστροφος του ( A A ) ταυτίζεται µε
T
T −1
τον συνήθη αντίστροφό του ( A A ) .
1 1  1
1 0 1   X = 1 0 1  1 ⇔
Τότε A A X = A B ⇔ 
T T
 0 4   
1 4 4 1 4  1 4 4 1
  
2 5 2
5 33 X = 9 (3)
  
Όµως det( A A ) = 66 − 25 = 41 ≠ 0
T
⊥ −1 1 33 − 5
Άρα ο A A αντιστρέφεται και ( A A ) = ( A A ) = ⇒
T T T

det( A T A ) − 5 2 
1 33 − 5
( A T A ) ⊥ = ( A T A ) −1 =
41 − 5 2
.
 
Συνεπώς η (3) γράφεται:

3. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 3 Ο Αστεροειδής Ceres
2 5 2 1 33 − 5 2 5 1 33 − 5 2
  X =  ⇔    X= 
5 33 9 41− 5 2 5 33 41− 5 2 9 ⇔
 
 21
1 21  
I2 X = ⇔ X =  41 .
41  8 
  8
 41
 
 21
 k = 41

Συνεπώς η εκτίµηση ελαχίστων τετραγώνων για τους k , l είναι η 
l = 8

 41
21 2 8 2 x2 y2 x2 y2
Συνεπώς η (2) γράφεται: x + y = 1⇔ + = 1⇔ + = 1.
41 41 41 41  41 
2
 41 
2
21 8    
 21   8 
   
Άρα η λύση ελαχίστων τετραγώνων για την ελλειπτική τροχιά του αστεροειδούς είναι η
x2 y2
c: 2
+ 2
=1
 41   41 
   
 21   8 
   

4. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 4 Ο Αστεροειδής Ceres
Ουρανογραφικά στοιχεία του Ceres

5. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 5 Ο Αστεροειδής Ceres
Προσδιορισµός-µεταβολή της µάζας του Ceres µε τα έτη και µε την µέθοδο
µέτρησης.