Το «γιατί»το «πώς» και το «διότι» της ισότητας 0,999…=1 και η αντίληψη για το άπειρο και το απειροστό.docx

ISSN: 2241-6781 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΝΕΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ" 20ό Τεύχος Σεπτέμβριος 2020
Το «γιατί», το «πώς» και το «διότι» όλων των αποδείξεων ότι 0,999…=1 και η
αντίληψη για το άπειρο και το απειροστό.
Γιάννης Π. Πλατάρος
plataros@gmail.com
Περίληψη:
Η ισότητα 0,999…=1 είναι αντικείμενο παγκόσμιων συζητήσεων στο διαδίκτυο,
μεταξύ φοιτητών και όχι μόνον. Αυτή η ισότητα αμφισβητείται πεισματικά. Ακόμα
και συγκεκριμένες μαθηματικές αποδείξεις, δεν πείθουν όλους, παρ΄ό,τι διαθέτουν την
στοιχειώδη μαθηματική παιδεία της αποδοχής μιας απόδειξης. Η «ενσώματη»
(πεπερασμένη) διαίσθηση περί μη αποδοχής υπερτερεί. Διαφαίνεται έτσι η δυσκολία
στην διαισθητική κατανόηση του απείρου, διαφαίνονται τα όρια της πεπερασμένης
φύσης του ανθρώπου, τα όρια των «ενσώματων μαθηματικών», ενώ παράλληλα,
αναδεικνύεται η ίδια η δύναμη και η πρακτική αξία των μαθηματικών αποδείξεων που
μας καθοδηγεί για το εκάστοτε σωστό στα πλαίσια των αξιωμάτων των Μαθηματικών.
Εισαγωγή:
Το αποτέλεσμα ότι 0.999…=1, («Why is 0.999… equal to 1 ?», «A Friendly Chat
About Whether 0.999… = 1», « 0.999...») όσες αποδείξεις και να παραθέσουμε, δεν
γίνεται κατανοητό-πλήρως αποδεκτό από την ανθρώπινη πεπερασμένη διάσταση που
νομίζει ότι εύκολα «κατανοεί» και το άπειρο, όσο κι αν «κατανοεί» τα μαθηματικά
εργαλεία της λογικής και της απόδειξης. Προτείνω να παρακολουθήσουμε τις
στοιχειώδεις και μη αποδείξεις (το «πώς» και το «γιατί») και στο τέλος θα
επιχειρήσουμε να δώσουμε το κλειδί για πλήρη κατανόηση και να το εξηγήσουμε από
όλες τις υπάρχουσες οπτικές του. Όταν κάτι είναι εξηγημένο και αποδεδειγμένο από
όλες τις υπάρχουσες μαθηματικές οπτικές και ο συνομιλητής δεν πείθεται ή
τουλάχιστον «δεν συμφωνεί που διαφωνεί» ενώ διαθέτει μαθηματική κουλτούρα, τότε
μπορούμε να μοιράσουμε την αιτία ανάμεσα στην ίδια της δυσκολία της έννοιας του
απείρου και στην ειδική διδακτική του ιδίου του άπειρου.
Απόδειξη1:
1
0.111111111...
9
 Οπότε
1
1 9 9 0,111111.... 0,99999999......
9
    
Ομοίως γνωρίζουμε ότι
1
0,33333.....
3
 Οπότε
1
1 3 3 0,333... 0,999...
3
     Επίσης:
2/3 = 0,666666... 1/3 + 2/3 = 0,999999... = 1.
ή

Όλα τα παραπάνω, με το διαφαινόμενο μοτίβο (pattern) 1
  
 

  με μ<ν και μ.ν
φυσικούς, γενικεύονται, «σχεδόν για όλα» τα υπάρχοντα ανάγωγα κλάσματα, αρκεί ο
παρονομαστής τους να μην είναι δύναμη του 2 είτε του 5 είτε του δυο και του 5. Δηλ.
να μην είναι 2μ
5ν
με ν,μ οποιουσδήποτε φυσικούς, διότι μόνον αυτά τα ανάγωγα
κλάσματα μας δίνουν δεκαδικούς με πεπερασμένο δεκαδικό ανάπτυγμα. Όλες οι άλλες
περιπτώσεις, περιλαμβάνουν οποιονδήποτε πεπερασμένο συνδυασμό πρώτων
αριθμών σε οποιαδήποτε πεπερασμένη δύναμη τον καθένα. Αν σκεφθούμε ότι οι
πρώτοι είναι άπειροι και αν τους συγκρίνουμε μόνο με τις περιπτώσεις του 2 και του 5,
κατανοούμε την έκφραση «σχεδόν για όλα» που χρησιμοποιήσαμε πιο πάνω, για τους
ρητούς» . Αν μάλιστα δεχθούμε (χωρίς να «λήψη του ζητουμένου») ότι και οι
πεπερασμένοι δεκαδικοί έχουν άπειρο δεκαδικό ανάπτυγμα (λ.χ. 1,30=1,2999…)
μπορούμε να μιλάμε για «όλους» (αντί «σχεδόν για όλους») τους ρητούς.
Απόδειξη 2:
_ _ _ _ _ _ _
9 0,9 (10 1) 0,9 9 0,9 9,9 0,9 9 0,9 9 0,9 1
            
Απόδειξη 3 : Έστω ότι
_
0,9
  (1) τότε
_
10 9,9
  , (2)
Αν αφαιρέσω κατά μέλη στο σχήμα (2)-(1) θα έχω:
_ _
9
10 9,9 0,9 9 9,0 1
9
    
         ό.έ.δ. Λίγο διαφορετικά:.
Μια γενίκευση της παραπάνω απόδειξης, χωρίς ουσιαστική διαφορά τρόπου εργασίας,
που μπορεί να κάνει ο αναγνώστης είναι να θεωρήσει την γενική περίπτωση
_______________
1 2 3
0, ... 
    
 , να πολλαπλασιάσει με το 10ν
και να καταλήξει ομοίως ότι
______________
1 2 3...
999...9
ά

  
   


 και δείχνει ότι υπάρχουν οσοδήποτε μεγάλης περιόδου περιοδικοί,
ρητοί. Στην συνέχεια, εύκολα παράγεται και ο «συμπληρωματικός» περιοδικός
______________
1 2 3
999...9 ...
999...9
ά
ά

  
  
   
 


 με αναλόγου μήκους περίοδο όπως στην γενίκευση της
απόδειξης 1.
Απόδειξη 4 Η «λανθασμένη διαίρεση» :
9
9 9 90
0|1 90 0,99999999... Η πρώτη
διαίρεση είναι 9:9=1 και υπόλοιπο 0. Στην δεύτερη διαίρεση, πάλι η ίδια, 9:9 μόνο που
εκ λάθους διαδικασίας, είπαμε «το 9 στο 9 δεν χωράει, βάζω 0 στο πηλίκον, κόμμα,
και ένα 0 στον διαιρετέο. «Το 9 στο 90, χωράει 9», «9Χ9=81, από 90 ίσον 9», ξαναβάζω
0, έχω 90 κ.ο.κ. και παίρνω 9-άρια επ΄άπειρον. Άρα 1=0,999…

Απόδειξη 5: Έχω: 0,999...=
9 9 9
...
10 100 1.000
    1 2 3
9 9 9
...
10 10 10
    (Άθροισμα
απείρων όρων φθίνουσας Γεωμετρικής Προόδου με λόγο
1
10
,
1


 

9 9
10 10 1
1 9
1
10 10
    

, ό.έ.δ. Ας προσέξουμε την ίδια αναλυτική μέθοδο, με ελαφρά
αλλαγή οπτικής: 0,999…=
10 1 1
lim 1 lim 1 0 1
10 10

 
 
 

     , ό.έ.δ.
Με προσέγγιση μέσω ακολουθιών Cauchy: «Αν οι αποστάσεις όλων των όρων μεταξύ
δύο ακολουθιών «τελικά» είναι οσοδήποτε κοντά, αυτές ορίζουν ίσους πραγματικούς
αριθμούς» Εδώ ορίζονται
10 1
1 &
10

  
 

  και
1
| | | | 0
10
  
 
   , ό.έ.δ.
Απόδειξη 6: 0,999... 0,999... (0,9 0,09 0,009 ...) (0,9 0,09 0,009 ...)
        
1,8 0,18 0,018 0,0018 ... 1 (0,8 0,1) (0,08 0,01) (0,008 0,001) ...
1 0,9 0,09 0,009 ... 1 0,999...
            
      
Δηλ. 0,999 0,999
  1 0,999
   0,999... 1
 
Απόδειξη 7: Σύμφωνα με τον Μπουγιούκα (2007), έχουμε την αφαίρεση:
______________________
1,00000000...
0,99999999...
 Θα δείξουμε πρώτα ότι κάθε δεκαδικό ψηφίο του παραπάνω
αποτελέσματος είναι ίσο με 0. Θα το δείξουμε αυτό θεωρώντας ένα τυχαίο δεκαδικό
ψηφίο, χωρίς κάποια ιδιαίτερη ιδιότητα, επομένως μ’ αυτόν τον τρόπο θα το έχουμε
δείξει για κάθε δεκαδικό ψηφίο. Έστω, λοιπόν, το τυχαίο δεκαδικό ψηφίο στην
(δεκαδική) θέση k του παραπάνω αποτελέσματος. Το τελευταίο υπολογίζεται αν στο 9
προσθέσουμε το δανεικό (αν υπάρχει) το οποίο πάρθηκε στην (δεκαδική) θέση k+1,
και αφαιρέσουμε αυτό το άθροισμα από το 10 (δανειζόμαστε σίγουρα στην θέση k,
εφόσον η αφαίρεση του 9 ή του 9+1=10 από το 0 δίνει αρνητικό αποτέλεσμα). Το
δανεικό στην θέση k+1 σίγουρα υπάρχει (αφού ανεξάρτητα από το αν υπάρχει δανεικό
στην θέση k+2, χρειάζεται ήδη για την αφαίρεση του 9 από το 0), επομένως για την
θέση k του αποτελέσματος γίνεται η αφαίρεση 10-(9+1), η οποία δίνει 0.
Θα δείξουμε τώρα ότι και αριστερά της υποδιαστολής του παραπάνω αποτελέσματος
προκύπτει το 0. Θεωρώντας την δεκαδική θέση 0 (την πρώτη από αριστερά δεκαδική
θέση), παρατηρούμε ότι υπάρχει σίγουρα δανεικό, οπότε αριστερά της υποδιαστολής
έχουμε το αποτέλεσμα της αφαίρεσης 1-(0+1) = 0. Επομένως έχουμε αποτέλεσμα
0,000….. ό.έ.δ.

Απόδειξη 8
Απόδειξη 9: Η ακολουθία διαστημάτων [0. 9....9 ,1]
ά

  

   είναι μια ακολουθία
διαστημάτων για τα οποία ισχύει: (i) 1 2 3 4 .....
        (ii)
1




    διότι μεταξύ
δύο ρητών πάντα υπάρχει ενδιάμεσος (λ.χ. ο μέσος όρος τους
2
 

) (iii)
lim | 0. 9....9 1| 0
ά

  

  , διότι η διαφορά ισούται με 0, 0.....0 1
ά
 
<ε, για κάθε ε>0, για
κάθε ν>ν0(ε) , αρκεί κάθε φορά να επιλέγουμε ως ν0(ε) το πλήθος των μηδενικών
ψηφίων που υπάρχουν μετά την υποδιαστολή μέχρι το πρώτο μη μηδενικό, της
δεκαδικής αναπαράσταση του ε, προσαυξημένο κατά 1, οσοδήποτε μικρό και να είναι
το ε.
Σύμφωνα με την αρχή του κιβωτισμού η τομή περιέχει μοναδικό αριθμό . Αυτός
προφανώς είναι το 1. Αλλά και ο 0,9999…..(μη πεπερασμένα εννιάρια ) περιέχεται σε
κάθε σύνολο της ακολουθίας και για κάθε   . Άρα 1=0,999…
Απόδειξη 10. Αν α=1 και β=0,99999… , τότε
1,999999....
0,99999.....
2 2
 


  
και όταν
2 2 2
   
  

     . Η απόδειξη γενικεύεται και για τον
σταθμικό μέσο όπου λ.χ.
 
 
 

 

 
   
   
   
 
Για παράδειγμα:
10 0,999... 1 1 9,999... 1 10,999...
0,999...
11 11 11
   
   , άρα 1=0,999…
Στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε και με τον σταθμικό αρμονικό μέσο λ.χ.
11 11 11 0,9 (10 1) 0,9 9,9 0,9 10,9
1
10 1 10 0,9 10,9 10,9 10,9 10,9
1
0,9 0,9
   
     


, όπου η τελευταία
πρόσθεση στον αριθμητή πραγματοποιείται σύμφωνα με την απόδειξη 6, αλλά και
στοιχειωδώς με την κλασική γραμμή κατάταξης. Όταν ο μέσος αρμονικός ισούται με
έναν από τους δύο όρους του, τότε οι όροι είναι ίσοι. (απόδειξη όπως και με τον
σταθμικό μέσο) . Αν λάβουμε υπ΄όψιν και την ανισότητα του Κωσύ ο αρμονικός
σταθμικός και ο μέσος σταθμικός εγκλωβίζουν τον γεωμετρικό σταθμικό, οπότε
έχουμε και 11
0,9 1, 0,9 1
ά
 
 
Απόδειξη 11. (Βασισμένη στην ιδέα της απόδειξης 9 )
( 3) ( 10) ( 3) ( 3)
( 10) ( 10)
( 10) ( 10) ( 3) ( 10) ( 3)
( 10) ( 10)
1 1
0,1 3 10 0,1
3 3
3 0,33333.... 1 0,999999....... 1
0,999999....... 1 . . .
ά ά ά ά
ά ά
ά ά ά ά ά
ά ά ό έ
       
   
         
    
   
   
   
   
   


Λήμμα: Αν |α-β|<ε για κάθε ε>0, τότε α=β.
Απόδειξη λήμματος: Έστω ότι  
 . Τότε *
| | 0
  
   Τότε λ.χ. για
*
2

 
έχουμε | |
  
  , άτοπο, άρα α=β .
Η απόδειξη συμπληρώνεται με την διαπίστωση ότι η διαφορά 1-0.9999… γίνεται
οσοδήποτε μικρή.(απόδειξη 9.)
Απόδειξη 12: Αν αποδείξουμε ότι (0,999…)(0,999…)=1 , τότε προφανώς 0,999…=1
Πράγματι, (0,999…) (0,999…)=
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
... ...
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
... ... ... ...
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
             
             
   
   
   
     
     
     
2 3 4 3 4 5 4 5 6
81 81 81 81 81 81 81 81 81
... ... ... ...
10 10 10 10 10 10 10 10 10
            
     
     
     
2 1 2 3 1 2 4 1 2
81 1 1 81 1 1 81 1 1
1 ... 1 ... 1 ...
10 10 10 10 10 10 10 10 10
           
     
     
     
2 3 4
0 0 0
81 1 81 1 81 1
...
10 10 10 10 10 10
  
  
  
  
   
  
2
2
0 0 0
1 81 1 1 9
10 10 10 10 10
  
  
  
  
   
       
 
     
 
     
  
Παρόμοια, αλλά με τον γνωστό κλασικό αλγόριθμο εκτέλεσης του
πολλαπλασιασμού μπορούμε να διαπιστώσουμε, ότι
2
( 1)9 , 8, ( 1) ,1
9
(0,999...9) 0,999...98000...01
ά ά
ά     
   


κάτι που μπορεί να αποδειχθεί με
Μαθηματική Επαγωγή για όλους τους Φυσικούς. Το δεύτερο μέλος είναι
1
2
1
9 8 1
10 10 10

  



 
 
 
 
 και αν πάρω το όριο του ν στο άπειρο, βρίσκω 1+0+0=1
Απόδειξη 13: Έστω ότι 0,999…<1 . Τότε υπάρχει ε>0: 0,999…+ε=1. Θεωρούμε τον
αριθμό ε*
 ε, ο οποίος προκύπτει κατασκευαστικά από τον ε, όπου λαμβάνουμε το
πρώτο μη μηδενικό ψηφίο του ε ως 1 και τα υπόλοιπα όλα 0.
Τότε *
( 1)
0,999 0,999 0,000...0001000.... 1,000...000999.... 1 .
ί
ά
   
 

    
Διότι προσθέσαμε στον 0,999… τον ε*
 ε και βρήκαμε αποτέλεσμα μείζον του 1 ενώ
θα έπρεπε να βγει μικρότερο ή ίσο του 1.
Απόδειξη 14: Με απλή απαγωγή σε άτοπο : Ισχύει προφανώς 0,999... 1
 . Έστω ότι
0,999... 1
 . Τότε 0,999... 1
 . Τότε όμως υπάρχει ενδιάμεσος α, λόγω της πυκνότητας
2 2 2
1 9 10 9
1 . . .
1 10 9 10
1
10
ό έ 
   

     
     
     

των Πραγματικών αριθμών. Δηλ. 0,999... 1

  . Η δεκαδική παράσταση του α, ως
εκ της θέσεώς του, είναι της μορφής α=0,999…9 με κάποιο απροσδιόριστο αριθμό από
9-άρια. Αν έστω και ένα ψηφίο του δεν είναι 9, αυτομάτως έχουμε α<0,999… άτοπο.
Αν τα 9-ρια είναι πεπερασμένα, τότε α<0,999…, άτοπο. Αν τα 9-ρια είναι άπειρα
έχουμε α=0,999… άτοπο. Άρα 0,999…
Με λίγη διαφοροποίηση η ίδια η παραπάνω απόδειξη: Ισχύει προφανώς 0,999... 1
 .
Έστω ότι 0,999... 1
 . Τότε 0,999... 1
 .Τότε υπάρχει η μέση τιμή τους και ισχύει
0,999... 1 1,999...
0,999... 1 0,999... 1 0,999... 0,999... 1, .
2 2
ά

       
Απόδειξη 15: Με το κριτήριο ισοσυγκλινουσών συναρτήσεων: Ισχύει:
1
9 9 9
0 1 0,999...9 0,1 lim0 lim(1 0,999...9) lim0,1 0 1 lim0,999...9 0
0 1 0,999... 0 1 0,999...
ά ά ά
 
  
     
   
           
    
Απόδειξη 16:
0,999...
0,999... 0,9 0,0999.... 0,9
10
  
       
9
0,9 0,9 1
10 10

  
     
Απόδειξη 17: Σύμφωνα με την μέθοδο της εξάντλησης του Αρχιμήδους που
παρουσιάζεται στο βιβλίο 13 των Στοιχείων του Ευκλείδους, που είναι ένα κριτήριο
σύγκλησης, εάν από ένα μέγεθος αφαιρέσουμε μέγεθος, όχι μικρότερο του ημίσεός του,
από το εναπομένον, όχι μικρότερο του ημίσεος του και κ.ο.κ. το τελικά εναπομένον,
γίνεται οσοδήποτε μικρό.
Δηλ. 1-0,9=0,1  0,1-0,09=0,010,01-0,009=0,001 κ.ο.κ.
Για την οσοδήποτε μικρή διαφορά έχουμε (βλέπε και απόδειξη 9 &11 ) έχουμε τελικά
εξίσωση των μεγεθών. Δηλ. 1=0,999…

Απόδειξη 18: Με ισχυρή Γεωμετρική εποπτεία (Γεωμετρική πρόοδος)
Η
απόδειξη 18, μας λέει ακόμα, ότι μεταβαίνουμε στο 1 με άπειρους τρόπους. Για την
ανάγκη της απόδειξης επιλέξαμε 1 0,9
 
  ενώ μπορούμε προφανώς να επιλέξουμε
οποιοδήποτε (0,1)
  .Άρα δεν πρέπει να μας δυσκολεύει ο ένας συγκεκριμένος
τρόπος με το 0,9
Απόδειξη 19: «Ή ισχύει ότι 0,999..=1 ή δεν ισχύει το αξίωμα των Αρχιμήδους
Ευδόξου!»
Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει αριθμός χ, έτσι ώστε χ = 1 - 0,999…> 0, τότε από το
Αξίωμα Αρχιμήδους -Ευδόξου, πρέπει να υπάρχει ένας συγκεκριμένος φυσικός
αριθμός ν, έτσι ώστε νχ > 1. Αφού υπάρχει ο ν, θα υπάρχει και η πρώτη δύναμη του 10
η μεγαλύτερη από το ν, είτε το ν είναι δύναμη του 10. Υποθέτουμε ότι αυτή είναι η 10n
.
Προφανώς ισχύει 1 10 1
n
  
    

 
9
9
1
10 10 1 0,999 10 (0,99...9 0 ,000...0 999...)
10 99...9 -0,999...= 1-0,999... . , 10
0, , .
n n n
n ά n ά
n n
n ά
x ά
ά ή ύ ί
 


  
      
 


    
     
  
Παρατηρήσεις και προβλήματα στην κατανόηση του αποτελέσματος: Είναι βέβαιο
και απολύτως διαπιστωμένο ότι η κατανόηση της ισότητας, δεν είναι καθόλου
προφανής, ούτε για φοιτητές μαθηματικών ,ούτε και για αποφοίτους Μαθηματικών
τμημάτων. Προκαλεί δυσπιστία, αντιρρήσεις, αντιπαραθέσεις με έντονο θυμικό :«Δεν
μοιάζει για σωστό». «Δεν μπορεί να είναι σωστό…» Δεκάδες κοινωνικά δίκτυα και
φόρα παγκοσμίως ασχολούνται με αυτή την «παράδοξη ισότητα» που προκαλεί
κατάπληξη. Αναζήτηση στην Google με λέξεις κλειδιά «0.999…» , «1=0.999..», «equal
1=0.999…» δίνει για μεν την πρώτη 6.400.000 αποτελέσματα για την δεύτερη 95.800
και για την τρίτη 32.500 αν βάλουμε «proof 1=0.999…» πάνω από 18.300 (αναζήτηση
26/7/2020) διαβάζοντας σχόλια, λάθη, παρατηρήσεις, πάνω στο όλον θέμα,
παρατηρητέα είναι τα παρακάτω:
1 . Πυρήνας της όλης προβληματικής είναι η αδυναμία κατανόησης του απείρου ως
προς την μία θεώρησή του. Αρχαιόθεν υπάρχουν δύο θεωρήσεις. Το «δυνάμει» άπειρο
και το «εν ενεργεία» άπειρο. Κατά το πρώτο έχουμε πεπερασμένη μεταβλητή ποσότητα
η οποία, όταν μεταβάλλεται, είναι δυνατό να ξεπεράσει κάθε όριο, ενώ κατά το δεύτερο
θεωρούμε ότι υπάρχει αυτή τη στιγμή κάτι που έχει ήδη ξεπεράσει κάθε όριο. Στην
ακολουθία των φυσικών αριθμών 1, 2, 3, ..., ν, ... ο γενικός όρος ν είναι μια μεταβλητή

ποσότητα πάντοτε πεπερασμένη, αλλά τέτοια ώστε να μπορεί να ξεπεράσει
οποιονδήποτε δοσμένο και ορισμένο θετικό αριθμό. Το πλήθος των όρων του συνόλου
των φυσικών αριθμών, το οποίο είναι ένα ενιαίο όλο, το μπορεί να χρησιμεύει ως
παράδειγμα του «εν ενεργεία» απείρου. Κατά τον Αριστοτέλη το άπειρο υπάρχει μόνο
«δυνάμει» και όχι «ενεργεία». Το αποτέλεσμα 0,999…=1 δίνει την εντύπωση (και
φορμαλιστικά, σημειολογικά) ότι κάποια εννιάρια αυξάνονται απεριόριστα
πλησιάζοντας το 1 απεριόριστα, χωρίς όμως ποτέ να γίνεται ίσο με αυτό. Αυτή και
μόνη είναι η βασική εξήγηση για το λάθος που κάνει ένα μεγάλο μέρος σπουδαστών
του Απειροστικού Λογισμού. Βλέπουν και θεωρούν την σύγκλιση ως χρονική
διαδικασία συνεχούς πλησιάσματος χωρίς να φθάνουμε ποτέ το νήμα του
τερματισμού. Βάζοντας τον χρόνο στην προσπάθεια για αφαιρετική μας φαντασία, το
έχουμε διαπράξει το λάθος της κατανόησης, αφού με βάση το αξίωμα των Αρχιμήδους
-Ευδόξου, όσο μεγάλη ταχύτητα και να έχουμε από το ένα βήμα στο άλλο, ο χρόνος
επιτέλεσης όλων των βημάτων είναι πάντα άπειρος, δηλαδή ανέφικτη η ολοκλήρωση
των βημάτων. Και ενώ τα Μαθηματικά τα ίδια είναι εξ ορισμού άχρονα, βάζουμε τον
χρόνο για να φτιάξουμε ένα μοντέλο κατανόησης. Διδακτικά, πολλές φορές η
εισαγωγή χρονικών γραμματικών εκφράσεων ή και μη αμιγώς χρονικών τύπων που
όμως υπονοούν χρόνο (λ.χ. πλησιάζουμε) διευκολύνουν την διδασκαλία και του ίδιου
του απείρου! Ας μην ξεχνάμε, ότι όλος ο πυρήνας όλων των παραδόξων του Ζήνωνος
του Ελαιάτου, έγκειται στην συνήθη στρεβλή αντίληψη του ανθρώπου για το άπειρο,
ως διαδικασία: «Ο Αχιλλέας που δεν φθάνει την χελώνα», «το βέλος που δεν φθάνει
τον στόχο του», τα οποία είναι και τα πλέον γνωστά, πανομοιότυπα μάλιστα αν
θεωρήσω την οπτική της σχετικής ταχύτητας, λένε το ίδιο: «Χρειάζομαι ένα άπειρο
άθροισμα χρονικών διαστημάτων και βεβαίως -αυτό υπονοείται- ένα άπειρο άθροισμα
χρονικών διαστημάτων κάνει άπειρο, άρα ποτέ δεν φθάνω κτλ ». Η παράσταση 0,999…
αναπαριστά άπειρο αριθμό επιτελεσμένων βημάτων. Αν βάλουμε ένα χρονικό
διάστημα t οσοδήποτε μικρό για την επιτέλεση ενός βήματος, τότε με βάση το
Αρχιμήδειο αξίωμα, όντως, ποτέ δεν φθάνω, αφού t
   . Αν όμως κινούμαι με μια
ταχύτητα λ.χ. v=1μονάδα μήκους /sec για να μεταβώ από το 0 στο 1 κινούμενος προς
αυτό στην ευθεία των πραγματικών, μέχρι το 0,9 θα έχω κάνει χρόνο 0,9sec μέχρι το
0,99 χρόνο 0,09sec, μέχρι το 0,999 χρόνο 0,009sec κ.ο.κ. επ΄ άπειρον χρόνο
1
9
1
10





Στην πραγματικότητα, βρήκα και μια εναλλακτική οπτική-απόδειξη, όπου
μεταβαίνοντας από το 0 στο 1 κάνω ίσους χρόνους είτε κινούμενος με την λογική την
απειροστική είτε με την συνήθη. Άρα 0,999…=1 για άλλη μια φορά, με την
«επιφύλαξη» ότι μ([0,1])=μ((0,1)) που εξηγούμε παρακάτω. Σε κάθε περίπτωση όμως
η θεώρηση του απείρου με χρόνο, περισσότερο υπονομεύει την κατανόηση της έννοιας,
αφού στον πυρήνα της διδασκαλίας του απείρου, είναι η έννοια της σύγκλισης, έχουμε
υπονόμευση για την αντίληψη των άπειρων μαθηματικών αντικειμένων. π.χ. ένα

φράκταλ είναι μη κατασκευάσιμο, γιατί έχει άπειρα βήματα κατασκευής ενώ στα
μαθηματικά το θεωρούμε επιτελεσμένο -κατασκευασμένο αχρονικά.
Το ίδιο επιστημολογικό-διδακτικό εμπόδιο έχουμε λ.χ. με την φορμαλιστική
παράσταση της σύγκλισης ως «ακολουθία
1
0

 » αφού το πρώτο μέλος ποτέ δεν
είναι μηδέν. Η μορφή
1
lim 0
 

 , ως ισότητα, χειροτερεύει το «παράδοξο» ενώ το
διδακτικό αντιπαράδειγμα άρσης της παρανόησης του τύπου
( 1)
0



 («φθίνουσα
ταλάντωση» οσοδήποτε κοντά στο 0, εφ΄ όσον εξηγηθεί διεξοδικώς) αίρει μερικώς την
παρανόηση και ίσως αίρεται τελικώς με την {αν}
1
3
0 3 1
1
3 2

  

   
  

 

 
 
  
 
 
 
  
 
η οποία
όμως είναι ένα «μη σύνηθες» παράδειγμα ακολουθίας.
Ωστόσο, μια ισότητα αριθμών είναι πολύ πιο ευαίσθητη στην κριτική, παρ΄ότι το
0,999…=1 ,ουσιαστικά, δεν αφίσταται ποιοτικώς από το πιο σύνηθες και οικείο
αποτέλεσμα
1
1
1
2




 . Σε κάθε περίπτωση, όταν η σκέψη εγκλωβίζεται μόνο στην
θεώρηση του απείρου ως δυνάμει, δεν μπορεί να δει το 0,999… ως 1, αλλά μόνο «ως
απεριόριστα κοντά στο 1» και βεβαίως χωρίς να κατανοεί το νόημα των συνεπειών της
φράσης εντός εισαγωγικών, που είναι το λήμμα της απόδειξης 11.
2) Η γραφή 1=0,999…. αφορά διπλή αναπαράσταση ενός και του ιδίου αριθμού στο
ίδιο σύστημα αρίθμησης πράγμα που θεωρείται ότι «δεν είναι δυνατόν να ισχύει».
Βεβαίως μια ελάχιστη κλάση των ρητών μπορεί να αναπαρασταθεί με πεπερασμένη
μορφή (μόνο οι λεγόμενοι και ως «δεκαδικοί», που δεκαδικοί, είναι της μορφής
Α/(2ν
5μ
) αναγώγου κλάσματος με ν,μ  ) ενώ «σχεδόν όλοι» οι ρητοί παριστάνονται
με άπειρη περιοδική μορφή. Αλλά και οι περατούμενοι δεν ξεφεύγουν από την
απειρομορφή, αφού λ.χ. 1,2=1,1999… Φυσικά για τους αρρήτους, ούτε λόγος!
Δυστυχώς δεν μπορεί να υπάρξει ακέραια βάση αρίθμησης που να μετρά
«ικανοποιητικά» όλους τους ρητούς. Θεωρητικά, αυτό θα ήταν δυνατόν, αν οι
υπάρχοντες πρώτοι αριθμοί ήταν πεπερασμένοι, οπότε θα παίρναμε ως βάση
αρίθμησης το γινόμενό τους. Όμως γνωρίζουμε από την εποχή Ευκλείδη που το
απέδειξε ότι οι πρώτοι είναι άπειροι στο πλήθος, άρα η προσπάθεια για «τέλειο»
ακέραιο σύστημα αρίθμησης είναι ανέφικτο. Οι δεκαδικοί τερματιζόμενοι σε σχέση με
τους Ρητούς αποτελούν κυριολεκτικώς και μαθηματικά «ποσοστό 0%» ενώ οι Ρητοί
μαζί με τους αλγεβρικούς αποτελούν ποσοστό και αυτοί 0% επί των πραγματικών
(Πλατάρος 2019). Επομένως όλοι οι πραγματικοί αριθμοί πλην του μηδενός
αναπαρίστανται με απειροψήφια σημειογραφία, αφού και οι μηδενικού ποσοστού
τερματιζόμενοι έχουν εναλλακτική απειροψήφια αναπαράσταση, με περίοδο το 9.

3)Σε κάποιες από τις παραπάνω αποδείξεις που παραθέτουμε, υπάρχουν σωστές
μαθηματικές αντιρρήσεις καθώς πράξεις με απειροπαραστάσεις γενικώς, δεν
επιτρέπονται. Ο λόγος είναι, ότι για να χειριστείς αλγεβρικά μια απειρο-παράσταση
(εδώ σειρές) θα πρέπει να γνωρίζεις εκ των προτέρων, ότι εκφράζει κάποιον
συγκεκριμένο αριθμό, όπως λέμε η απειροπαράσταση να συγκλίνει. Εμείς θεωρούμε
ότι το γνωρίζουμε και χειριζόμαστε την παράσταση 0,999… ως αριθμό, όπως και
πράγματι είναι. Ιστορικά είναι γνωστή η «Σειρά του Grandi»
1
( 1)




 , («Grandi's
series») , όπου μόνο με χρήση επιμεριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης δίνει
διαδοχικώς ως «αποτέλεσμα» 0, 1 ή και ½ Φυσικά, δεν έχει νόημα αριθμού ως
αποκλίνουσα σειρά.
4) Κάποιοι καταρτισμένοι στα Μαθηματικά και άρα σοβαροί αντιρρησίες της ισότητας
0,999…=1, βάζουν στην επιχειρηματολογία τους (Bogomolny,A. χ.χ.), ( Kalid,A. χ.χ.)
τα απειροστά του Robinson (“Non Standard Analysis”) ότι δηλαδή υπάρχει
μαθηματική θεωρία, που θεωρεί ότι ορίζεται κάποιου είδους απειροστός αριθμός α,
μέσω της διπλής ανίσωσης
1
0 ,
 

     («υπέρ-πραγματικός» hyperreal) και
άρα μέσω μιας τέτοιας θεωρίας- μπορεί να έχει νόημα διακριτού αριθμού η παραδοχή
0,999…<1. Όμως, δεν αναγνωρίζεται η ισχύς του αξιώματος των Αρχιμήδους -
Ευδόξου («Archimedean property»), πράγμα εκτός ισχύοντος συνήθους πλαισίου
θεώρησης των πραγματικών αριθμών. Εξ ορισμού της, αυτή η θεωρία, δεν
αναγνωρίζεται το «ολοκληρωμένο άπειρο» («εν ενεργεία» άπειρο) αλλά το «εν
δυνάμει» άπειρο. Βεβαίως, ο χαρακτηρισμός «εκτός πλαισίου» δεν είναι πάντα
επαρκής αιτιολόγηση απόρριψης, καθώς σχεδόν όλες οι Επιστήμες (αλλά και απλές
πρακτικές) έχουν σχεδόν αντιφατικούς νόμους στις «μάκρο» και «μίκρο» θεωρήσεις
τους, όπως η Οικονομία, η Φυσική (Κβαντική-Κλασική) η ατομική Ψυχολογία, η
Ψυχολογία μαζών, ατομική Ιατρική, επιδημιολογική, κ.ά. Είναι δηλ.
αλληλοσυγκρουόμενοι οι κανόνες στην μεθοδολογία αντιμετώπισης και εξήγησης
μεταξύ ατόμου και συνόλου ατόμων. Και τα Μαθηματικά, δεν αποτελούν εξαίρεση,
αφού όλα θεμελιώνονται πάνω στα επιλεγόμενα εκάστοτε αξιώματα και
θεμελιώνονται διαφορετικά πλαίσια θεώρησης των Μαθηματικών. Σε τέτοιες
θεωρήσεις που εκκινούν και βασίζονται σε διαφορετικές αρχές έστω και αντιφατικές,
τα παραγόμενα αποτελέσματά τους δεν τα βλέπουμε ως σχετικά αντιφατικά, αφού
ανήκουν «σε άλλους κόσμους» αλλά ως «παραλλήλως αληθή» αφού συνήθως είναι
καρπός ικανών, συνεπών, και πλήρων Μαθηματικών αξιωματικών θεμελιώσεων.
5) Μια εξήγηση για την επιμονή στην μη παραδοχή του αποτελέσματος μπορεί να είναι
το γεγονός, ότι οι σπουδαστές των Μαθηματικών, έχουν δει τα εξής: Την ακολουθία
π.χ.
1
1

 ναι έχει όλους τους όρους της μικρότερους του 1 και να συγκλίνει στο 1,
ενώ λες οι τιμές της να είναι στο «ανοικτό δεξιά» διάστημα [0,1) . Πώς -άρα-
μαθηματικά «νομίμως» δεχόμαστε την σύγκλιση και σε σημεία εκτός πεδίου τιμών;
Κάτι -άρα- υπάρχει πριν το 1, που δεν είναι 1 και είναι «αμέσως δίπλα» στο 1. Ίσως η

απορία να ενισχύεται και από το μαθηματικό αποτέλεσμα της Θεωρίας Μέτρου, ότι το
μήκος του συνόλου [0,1] , είναι μεν προφανώς 1, ακριβώς ίσο με το μέτρο του γνησίου
υποσυνόλου του [0,1) που κι αυτό έχει μήκος ακριβώς 1. (=«κάτι υπάρχει πριν το 1,
που δεν είναι 1 , αλλά χωρίς και να απέχει από το 1») το ίδιο φυσικά σκέπτεται και για
την ακολουθία
1
9
10


 
 
 
 
 της οποίας το όριο στο άπειρο, είναι η παράσταση
0,999….Δηλαδή
1
9
10




 
 
 
 =0,999… Μαθηματικά, μπορούμε να πούμε είναι ότι το 1
, «δεν εφάπτεται» με κάποιον αριθμό, διότι αν έχει μηδενική απόσταση αυτός είναι
μόνο ο εαυτός του. Αντιθέτως, μπορούμε ένα πούμε ότι το 1 «εφάπτεται» αριστερά με
το σύνολο όλων των μικρότερών του θετικών Πραγματικών, που είναι το (0,1), αλλά
το οποίο στερείται άκρων στοιχείων (μέγιστο και ελάχιστο) Το ίδιο μπορούμε να
πούμε και για το σύνολο των μικρότερών του Ρητών αριθμών, που είναι ένα «πυκνό
σύνολο» , όπως και οι Πραγματικοί. Είναι λοιπόν, ανθρωπίνως κατανοητή η διαίσθηση
και η πίστη ότι «κάτι είναι δίπλα από το 1, χωρίς να απέχει από το 1» και στο
Αρχιμήδειο αξιωματικό μας σύστημα, δεν ισχύει.
6) Κατά την προσωπική μας γνώμη, η πλέον πειστική ενδεικυόμενη για διαισθητική
κατανόηση απόδειξη από τις παρατεθείσες, χωρίς προσεγγίσεις της Ανάλυσης, είναι η
υπ΄ αρίθμ. 8 αφού μας λέει, ότι το γνωστό αποτέλεσμα 1/3=0,333… είτε έχει την
κλασματική παράσταση του α΄ μέλους είτε την άπειρη του β΄ μέλους, παριστάνει ένα
και το αυτό σημείο στον άξονα των πραγματικών, απόδειξη, ότι όταν αλλάξουμε βάση
αρίθμησης και πάμε στην βάση3 , τότε το 1/3 (με βάση το 10) αναπαρίσταται ως 0,1(με
βάση του τρία) ως «τριαδικός» και είναι μη περιοδικός. Άρα ο επί 3, το 0,999…
αντιπροσωπεύει ένα απολύτως συγκεκριμένο και μοναδικό σημείο, που συμπίπτει με
το 1. Η απόδειξη δηλαδή, πείθει, ότι είναι θέμα παράστασης του ιδίου πράγματος και
τίποτα παραπάνω.
Συμπεράσματα
Το όλον θέμα, αναδεικνύει ότι οι άνθρωποι έχουν μεγαλύτερη εμπιστοσύνη στην
διαίσθησή τους, παρά στην μαθηματική απόδειξη. Αυτό ισχύει και για μυημένους
λιγότερο ή περισσότερο στα Μαθηματικά. Φαίνεται ακόμη ότι τα νοητικά μοντέλα που
έχουν οι άνθρωποι για τις μαθηματικές έννοιες και αντικείμενα είναι ενίοτε δομικά
ατελή και υπάρχει ανάγκη βελτίωσής τους από την διδακτική των Μαθηματικών,
εφ΄όσον είναι τελικά εφικτό αυτό, δεδομένου ότι κάποια που εδράζονται στην
κατανόηση άπειρων και απειροστών είναι εξαιρετικά δυσνόητα όχι στο μαθηματικό
τους μέρος, αλλά στο διαισθητικό. Σε κάθε όμως περίπτωση, οι εκτεταμένες έντονες
συζητήσεις για Μαθηματικά θέματα είναι κάτι που είναι μόνο χρήσιμο για τα ίδια τα
Μαθηματικά και για τους χρήστες τους, ενώ τελικά το σωστό νικά το λάθος, όσο κι αν
το τελευταίο επιμένει!
Αναφορές
«0.999…» Wikipedia (Ανάκτηση 29/7/2020 από ( https://el.wiki2.org/wiki/0,999... )

« Why is 0.999… equal to 1?» Ιστότοπος Quora (Ανάκτηση 29.7.2020 από
https://www.quora.com/Why-is-0-999-ldots-equal-to-1 )
Bogomolny,A. «Is .999... = 1? A Non-standard View» Ιστολόγιο (Ανάκτηση
29.7.2020 https://www.cut-the-knot.org/WhatIs/Infinity/9999.shtml# )
Kalid,A. «A Friendly Chat About Whether 0.999.. = 1» . Ιστολόγιο Better explained
(Ανάκτηση 29/7/2020 από https://aha.betterexplained.com/t/a-friendly-chat-about-
whether-0-999-1/197 )
«Grandi's series» Wikipedia. (Ανάκτηση 29/7/2020, από
https://en.wikipedia.org/wiki/Grandi's_series
Μπουγιούκας. Γ.(2017) «Γιατί 0,999… = 1 και κάποιες σημειώσεις πάνω στην
ισότητα πραγματικών αριθμών» Προσωπική Ιστοσελίδα (Ανάκτηση 29.7.2020 από
https://gbougioukas.wordpress.com/2017/04/05/099991/
Πλατάρος, Ι. (2019) «Για πιο λόγο όλοι τελικά οι αριθμοί είναι απειροψήφιοι» .
Εκπαιδευτικές εργασίες (Συλλογή) τ.7 σελ.8-9 , 2019 Μεσσήνη

Το «γιατί»το «πώς» και το «διότι» της ισότητας 0,999…=1 και η αντίληψη για το άπειρο και το απειροστό.docx

More Related Content

What's hot

Similar to Το «γιατί»το «πώς» και το «διότι» της ισότητας 0,999…=1 και η αντίληψη για το άπειρο και το απειροστό.docx

More from Γιάννης Πλατάρος

Recently uploaded

Το «γιατί»το «πώς» και το «διότι» της ισότητας 0,999…=1 και η αντίληψη για το άπειρο και το απειροστό.docx