Dokumen tersebut membahas tentang himpunan ortonormal, proses Gram Schmidt, dan contoh-contoh penerapannya. Secara singkat, dokumen menjelaskan definisi himpunan ortonormal dan ortogonal, teorema yang terkait, serta cara mengubah himpunan menjadi ortonormal menggunakan proses Gram Schmidt.

1. Himpunan ortonormal,
Proses Gram Schmidt
By Yuwono MD

2. Himpunan Ortonormal
 Ruang Hasil Kali Dalam
 Jk u = (u1, u2, u3, …, un) dan v = (v1, v2, v3, …,vn)
adalah vektor-vektor dalam Rn
, maka rumus :
<u,v> = u.v = u1v1+ u2v2+ … unvn
 Mendefinisikan <u,v> sebagai hasil kali dalam
Eucledian pada Rn
.

3. Teorema :
 Jk u,v, dan w adalah vektor-vektor dalam suatu
ruang hasil kali dalam real, dan k adalah
sebarang skalar, maka :
1. <0,v> = <v,0> = 0
2. <u,v+w> = <u,v> + <u,w>
3. <u,kv>= k <u,v>
4. <u-v,w> = <u,w> - <v,w>
5. <u,v-w> = <u,v> - <u,w>

4. Sifat :
1. <u,v> = <v,u>
2. <u+v,w> = <u,w> + <v,w>
3. <ku,v> = k <u,v>
4. <v,v> 0
5. ||u|| = <u,u>
Suatu hasil kali dalam pada suatu ruang vektor real V adalah
suatu fungsi yang menghubungkan suatu bilangan real <u,v>
dengan setiap pasangan vektor u dan v dalam V dengan cara
sedemikian sehingga sifat-sifat berikut ini dipenuhi untuk semua
vektor u,v dan w dalam V dan semua skalar k:
1/2

5. contoh
 Anggap u=(u1,u2) dan v= (v1,v2) adalah vektor
dalam R2
. Tunjukkanlah bahwa hasil kali
dalam Euclidean : <u,v> = 3u1v1 + 2u2v2
memenuhi keempat sifat hasil kali dalam.

6. Jawaban :
 Sifat 1
 <u,v> = 3u1v1 + 2u2v2 = 3v1u1 + 2v2u2 = <u,v>
 Sifat 2 <u+v,w> = <u,w> + <v,w>, jika w = < w1,w2 >,
maka :
 <u+v,w> = 3(u1+v1)w1 + 2(u2+v2)w2
 = (3u1w1+3v1w1) + (2u2w2+2v2w2)
 = (3u1w1+2u2w2) + (3v1w1+2v2w2)
 = <u,w> + <v,w>

7. Jawaban
 Sifat 3 : <ku,v> = k <u,v>
 <ku,v> = 3(ku1)v1 + 2(ku2)v2
 = k (3u1v1+ 2u2v2)
 = k <u,v>
 Sifat 4 : <v,v> 0
 <v,v> = (3v1v1+ 2v2v2) = 3v1
2
+ 2v2
2
 Jelas < v,v > = 3v1
2
+ 2v2
2
0
 Jadi terbukti bahwa <u,v> = 3u1v1 + 2u2v2
memenuhi ke 4 sifat hasil kali dalam

8. Himpunan Orthogonal dan
himpunan Orthonormal
 Orthogonal
 Dua vektor u dan v dalam suatu ruang hasil kali
dalam < u,v > = 0
 Definisi 1 : suatu himpunan vektor dalam suatu
ruang hasil kali dalam di sebut suatu himpunan
ortogonal jika semua pasangan vektor yang
berbeda dalam himpunan ortogonal tersebut.

9. Contoh :
 Diketahui : u=(0,1,0), v =(1,0,1),w =(1,0,-1)
tentukan apakah himpunan S = {u,v,w}
merupakan himpunan orthogonal !

10.  Definisi 2: Suatu himpunan orthogonal
dimana masing-masing anggotanya
mempunyai norma = 1, di sebut ortonormal.
 Example :
 Diketahui : u=(0,1,0), v =(1,0,1),w =(1,0,-1)
tentukan apakah himpunan S = {u,v,w}
merupakan himpunan ortonormal !
 Langkah :
 A. selidiki apakah S = {u,v,w} merupakan himpunan
ortogonal
 B. selidiki norma tiap vektor yang ada, apakah = 1

11. Soal
 u = v = dan w =
 Tentukan apakah himpunan S = {u,v,w}
merupakan himpunan ortonormal !

12. Teorema
 Jika S={v1, v2, v3,…. vn} adalah suatu basis
ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam
V, dan u adalah sebarang vektor dalam V,
maka akan membentuk suatu kombinasi
linear sbb :
 u = <u, v1 >v1 + <u, v2 >v2 + ….+ <u, vn >vn

13. Contoh :
 Jika S={v1, v2, v3}, dimana v1= (0,1,0),
v2 = (-4/5,0,3/5), v3 = (3/5,0,4/5) merupakan
himpunan orthonormal (buktikan)
Nyatakan vektor u = (1,1,1) sebagai suatu
kombinasi linear dari vektor dalam S.

14. Proses Gram Schmidt - PGS
 Suatu himpunan yang bukan ortonormal,
dapat diubah menjadi himpunan ortonormal
dengan menggunakan Proses Gram
Schmidt
 Langkah PGS :
 Langkah 1 : v1 =
 Langkah 2 : v2 =
 Langkah 3 : v3 =

Dst….

15. Soal
 Diketahui : himpunan vektor S={u1, u2, u3}
dimana u1= (1,-1,1) u2= (1,0,1) u3= (1,1,2).
 Tentukan :
 Apakah merupakan himpunan orthonormal?
 Jika tidak, gunakan PGS untuk mengubah menjadi
himpunan orthonormal.