aaaa

1. MA-1223
Aljabar Linier
Vektor di R2 dan R3

2. Vektor
Vektor merupakan besaran yang mempunyai arah.
Secara geometri

Setiap vektor dinyatakan secara geometris sebagai
segmen garis berarah pada bidang atau ruang,
dengan notasi garis berpanah. Ekor panah garis
tersebut merupakan titik awal vektor, sedangkan
ujung panah sebagai titik akhir (ujung) vektor
tersebut. (contoh (a))

Vektor-vektor yang mempunyai panjang dan arah
yang sama dinamakan ekivalen. (contoh (b))

B
a = AB
a
A
(a)
(b)

3. Vektor
Secara aljabar

Misalkan u vektor di R2  u =(u1, u2), dimana u1, u2 ε R

Misalkan v vektor di R3  v =(v1, v2, v3), dimana
v 1,
v2, v3 ε R
u1, u2 disebut komponen u, sedangkan v1, v2, v3 disebut
komponen v

Dua vektor dikatakan ekivalen jika dan hanya jika besar
dan arahnya sama atau dengan kata lain komponen
yang bersesuaian sama
Misal: Diketahui u =(u1, u2) dan w =(w1, w2)
u = w ↔ u1= w1 dan u2 = w2

4. Vektor Posisi

Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal pada
titik asal koordinat
y
A=(x1, y1)
O A =(x1, y1) vektor
posisi titik A
a
O
x

5. Penulisan Vektor

Ada beberapa penulisan vektor antara lain:
1.
2.
3.
= (a1, a2, a3)
b = b1
+ b2 + b3

6. Operasi Vektor

Penjumlahan


u = ( x1 , y1 ) dan w = ( x 2 , y 2 ) vektor di R2, maka
Misal
 
u + w = ( x1+ x 2 , y1 + y 2 )
Secara geometri
y

u
 
u+w

w
x

7. Operasi Vektor (2)

Perkalian dengan skalar

u = ( x1 , y1 ) adalah sembarang vektor di R2 dan
Definisi
k bilangan riil tak nol (skalar), maka hasil kali

ku didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k|


kali panjang u dan arahnya sama seperti arah u

jika k > 0 dan berlawanan arah u jika k < 0.

8. Operasi Vektor (3)

Pengurangan


u = ( x1 , y1 ) dan w = ( x 2 , y 2 ) vektor di R2, maka
Misal
  

u − w = u + (− w ) = ( x1− x 2 , y1 − y 2 )
Secara geometri
y

u
 
u−w

−w

w
x

9. Panjang (Norm) Vektor


Misal u = (u1 , u 2 ) dan w = ( w1 , w 2 , w 3 ) vektor di R2 dan R3, maka


panjang (norm) vektor u dan w adalah


2
2
w = ( w1 ) 2 + ( w 2 ) 2 + ( w 3 ) 2
u = ( u1 ) + ( u 2 )


Misal u = (u1 , u 2 ) dan v = ( v1 , v 2 ) maka jarak antara dua vektor
tersebut adalah
 
u − v = (u1 − v1 ) 2 + (u 2 − v 2 ) 2

10. Hasil Kali Titik


Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah
vektor yang akan menghasilkan skalar.


Misal a dan b adalah vektor pada ruang yang sama
maka hasil kali titik dua vektor tersebut didefinisikan sbb



  a . b cos α

a, b ≠ 0

a.b = 

0
a = 0 atau b = 0

dimana α sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.
(0<α<π). Sehingga, diperoleh kesimpulan sbb

1. a.b < 0

2. a.b > 0

3. a.b = 0
α sudut tumpul
α sudut lancip


α =π/2, atau a dan b saling
tegak lurus/ortogonal

11. Contoh
.

Tentukan hasil kali titik dari dua vektor berikut berikut !


a = 2i dan b = 2i + 2j
Jawab :
Karena tan α = 1 , artinya
α = π/4 sehingga
 
a b = a b cos α
=2. 8
= 2. 2 2
=4
1
2
1
2

b

a

12. Perhatikan


 
Misal a = (a1 , a 2 ) dan b = (b1 , b 2 ) dengan a , b ε R2

a
Menurut aturan cosinus , maka :
 2 2 2
 
b − a = a + b − 2 a b cos α
α


2  2

2
b
2 a b cos α = a + b − b − a

2a.b = ( a1 ) 2 + ( a 2 ) 2 + ( b1 ) 2 + ( b 2 ) 2 − (b1 − a1 ) 2 + (b 2 − a 2 ) 2
[
 
b−a
]

2a.b = ( a1 ) 2 + ( a 2 ) 2 + ( b1 ) 2 + ( b 2 ) 2 − ( a1 ) 2 − ( a 2 ) 2 − ( b1 ) 2 − ( b 2 ) 2 + 2( a1b1 ) + 2( a 2 b 2 )

2a.b = 2( a1b1 + a 2 b 2 )

a.b = a1b1 + a 2 b 2

13. Perluasan

 

Misal a = (a1 , a 2 ,a 3) dan b = (b1 , b 2 , b 3 ) dengan a , b ε R3

a.b = a1b1 + a 2 b 2 + a 3b 3


 
Misal a = (a1 , a 2 ,..., a n ) dan b = (b1 , b 2 ,..., b n ) dengan a , b ε Rn

a.b = a1b1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

2
2
2
2
a.a = ( a1 ) + ( a 2 ) + ... + ( a n ) = a

14. Proyeksi Ortogonal
Secara geometri, proyeksi ortogonal suatu vektor
terhadap vektor lain dapat diilustrasikan sebagai berikut :

w2
 

a = w1 + w 2

a


w1 = Proy  a
b

b



w1 = proyeksi ortogonal a pada b



w 2 = komponen a yang tegak lurus pada b

w1 ???

w 2 ???

15. Proyeksi Ortogonal


Kita punya w1 = k b , k konstanta
 
 

a = w 1 + w 2 = kb + w 2
  
  

a.b = kb + w 2 .b = kb.b +w 2 .b


2
a.b

k= 
a.b = k b
2
b
(
)
Sehingga diperoleh
 
a.b

w1 =  b
2
b
 
 a.b

w2 = a −  b
2
b
Panjang proyeksinya

 
a.b 
a.b

w1 =  b =  b
2
2
b
b

a.b

w1 = 
b

16. Hasil kali silang


Hasil kali silang merupakan perkalian antara dua
vektor yang akan menghasilkan suatu vektor baru
Definisi. Hasil kali silang
Misalkan
Hasil kali silang
dan
dan
didefinisikan sbb
vektor di R3

17. Sifat hasil kali silang
 2
2 2
u x v = u v sin 2 α
  
1. u.( u x v) = 0
  
2. v.(u x v) = 0
3.
 
u x v = u v sin α
 2 2 2   2
u x v = u v − ( u . v)
α
Khusus untuk sifat yang ketiga:
 2 2 2   2
uxv
= u
− ( u . v)
v
= u . v − ( u ⋅ v cos α )
2
= u
= u
2
2
2
(
v − u
2 2
v
α
2
v
2
2
cos α
2
(1 − cos α )
2 Luas jajaran genjang
)
= Alas x tinggi
 
= u v sin α = u x v