1. 5 VEKTOR PADA RUANG BERDIMENSI 2
DAN RUANG BERDIMENSI 3
5.1 PENGANTAR VEKTOR (GEOMETRIK)
Definisi Vektor didefinisikan sebagai besaran yang memiliki arah.
Secara geometris, sebuah vektor dapat digambarkan sebagai segmen garis berarah atau
panah yang dimulai dari titik A yang merupakan titik awal dan berakhir di titik B yang
merupakan titik akhir.
Contoh 5.1
Vektor w = A B merupakan vektor dalam dua dimensi.
w
Titik A merupakan titik permulaan dan titik B merupakan titik akhir (terminal)
Cara Menuliskan Vektor
Vektor dituliskan dalam bentuk huruf abjad kecil tebal, seperti: v, w, a, atau b, atau huruf kecil
dengan tanda garis diatasnya, seperti: v , w , a , atau b . Vektor juga dapat dituliskan dalam
bentuk v = AB
Vektor Ekuivalen
Dua vektor v dan w dikatakan sama jika kedua vektor tersebut sama panjang dan
arahnya dan dituliskan dengan v = w.
Contoh 5.2
Vektor sama (ekuivalen)
Lukmanulhakim Almamalik V- 1

2. Penjumlahan Vektor
• Metode Poligon (Geometris)
Jika v dan w adalah dua vektor sembarang, maka jumlah v + w adalah vektor yang
ditentukan sebagai berikut
a. gambarkan vektor v.
b. gambarkan vektor w dengan pangkalnya terletak pada ujung v (titik awal vektor
w berhimpitan dengan titik akhir vektor v).
c. tarik garis dari pangkal v ke ujung w yang menyatakan vektor hasil penjumlahan
v+w.
Contoh 5.3
Penjumlahan vektor v dan w
Selisih Vektor
Jika v dan w adalah dua vektor sebarang, maka selisih vektor w dari vektor v
didefinisikan sebagai v-w = v + (-w).
Contoh 5.4
Selisih dua vektor v-w
Perkalian Vektor dengan Skalar
Jika v adalah vektor taknol dan k adalah bilangan real (skalar) taknol, maka hasilkali
kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya | k | kali panjang v dan arahnya sama
dengan v jika k > 0 dan arah berlawanan dengan v jika k < 0. Kita mendefinisikan kv =
0 jika k = 0 atau v = 0.
Lukmanulhakim Almamalik V- 2

3. Contoh 5.5
5.2 ARTI GEOMETRI VEKTOR
Dalam sistem koordinat dua vektor dapat dua titik asal yang berbeda. Contoh 5.6 adalah
vector v di ruang dua dimensi (R2) mempunyai titik asal di titik (0,0) (titik origin). Vektor v1
dan v2 merupakan komponen-komponen vector v.
Contoh 5.6
Vektor v di ruang dua (R2). Komponen vektor v ditulis dengan v = (v1, v2)
Contoh 5.7 adalah vektor v di ruang tiga dimensi (R3) mempunyai titik asal di titik (0,0,0)
(titik origin). Vektor v1, v2 dan v3 merupakan komponen-komponen vector v.
Contoh 5.7
Vektor v di ruang tiga (R3). Komponen vektor v ditulis dengan v = (v1, v2, v3)
Lukmanulhakim Almamalik V- 3

4. Jika diketahui dua buah vektor, yaitu v = (v1, v2) dan w = (w1, w2) dan bilangan skalar k,
maka
a. v+w = (v1+ w1, v2+ w2)
b. v-w = (v1- w1, v2-w2)
c. kv = (kv1, kv2)
Dalam ruang tiga dimensi (R3)
Jika diketahui dua buah vektor, yaitu v = (v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) dan bilangan skalar
k, maka
a. v+w = (v1+ w1, v2+ w2, v3+ w3)
b. v-w = (v1- w1, v2-w2, v3-w3)
c. kv = (kv1,kv2, kv3)
Jika vektor P1P2 memiliki titik awal P1(x1,y1,z1) dan titik akhir P2(x2,y2,z2), maka
vektor P1P2 adalah selisih vektor-vektor OP2 dan OP1
P1P2 = OP2 – OP1 = (x2,y2,z2) - (x1,y1,z1)
Contoh 5.8
Diketahui vektor v = (1, 3) dan w = (2,1) dan bilangan skalar 4.
a. v+w = (1+2,3+1) = (3,4)
b. v-w = (1- 2, 3-1) = (-1,2)
c. kv = (4x1,4x3) =(4,12)
Contoh 5.9
Diberikan vektor-vektor berikut
Hitung
a. −w b. a + b
c. a −c d. a −3b +10c
e. 4u + v − 2w
Lukmanulhakim Almamalik V- 4

5. 5.2 NORMA SUATU VEKTOR; ARITMATIKA VEKTOR
Sifat-sifat Aritmatika Vektor
Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3, dan
k dan l adalah skalar, maka hubungan-hubungan berikut berlaku.
(a) u+v=v+u (e) k(lu) = (kl)u
(b) (u + v) + w = u + (v + w) (f) k(u + v) = ku + kv
(c) u+0=0+u=u (g) (k + l)u = ku + lu
(d) u + (-u) = 0 (h) lu = u
Norma Vektor
Jika v adalah sebuah vektor, maka panjang (magnitude) vektor sering disebuat norma v dan
disimbolkan dengan ||v||.
Dalam ruang 2 dimensi ||v|| = v1 + v 2
2
2
Dalam ruang 3 dimensi ||v|| = v1 + v 2 + v 3
2
2
2
Contoh 5.10
Hitung norma vektor berikut
a. v = (−5,3,9)
b. j = (0,1,0)
1
c. w = (3,−4) and w
5
5.3 HASIL KALI TITIK; PROYEKSI
Jika u dan v adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau berdimensi 3 dan θ adalah
sudut antara u dan v, maka hasilkali titik (dot product) atau hasilkali dalam Euclidean
(Euclidean inner product) u . v didefinikan oleh
| u | | v | cos θ jika u ≠ 0 dan v ≠ 0
u.v = 
 0 jika u = 0 atau v = 0
Lukmanulhakim Almamalik V- 5

6. Contoh 5.11
Hitung hasil kali titik dari pasangan vector berikut.
a. u = (0,0,3) and v = (2,0, 2) dengan sudut antara dua vektor tersebut 45° .
b. u = (0,2,−1) and v = (−1,1, 2) dengan sudut antara dua vektor tersebut 90° .
a. Hitung masing-masing norma vektor
b. Hitung masing-masing norma vektor
Misalkan diketahui dua buah vektor v = (v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) berada di ruang 3
dimensi, maka
v.w = v1.w1+ v2.w2 + v3.w3
Begitu juga jika diketahui dua buah vektor v = (v1, v2) dan w = (w1, w2) berada di ruang 2
dimensi, maka
v.w = v1.w1+ v2.w2
Contoh 5.12
Tentukan besar sudut antara dua vektor berikut.
a. a = (9,−2) b = (4,18)
b. u = (3,−1,6) v = (4, 2,0)
a. ||a||, ||b||, dan a.b
besar sudut
Lukmanulhakim Almamalik V- 6

7. b. ||u||, ||v|| dan u.v
besar sudut
Contoh 5.13
Diketahui vektor v = (2, -1, 1) dan w=(1, 1, 2)
Carilah v.w dan tentukan sudut antara v dan w.
Jawab :
v. w = (2).(1) + (-1).(1) + (1)(2) = 2 – 1 + 2 = 3
|v| = 4 + 1 + 1 = 6
|w| = 1 + 1 + 4 = 6
3
Jadi Cos θ = = 1 2 , maka sudut antara v dan w adalah 60o
6
Misalkan u dan v adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau berdimensi 3.
a. v . v = || v ||2; yaitu || v || = (v . v)1/2
b. jika vektor-vektor u dan v adalah taknol dan θ adalah sudut diantaranya, maka
θ adalah lancip jika dan hanya jita u.v>0
θ adalah tumpul jika dan hanya jika u . v < 0
θ = π/2 jika dan hanya jika u . v = 0
Sifat-sifat Hasilkali Titik
Misalkan u, v dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau berdimensi 3.
(a) u . v = v . u
(b) u . (v + w) = u .v + u . w
(c) k(u . v) = (ku) . v = u . (kv)
(d) v . v > 0 jika v ≠ 0, dan v . v = 0 jika v = 0
Misalkan u dan a adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3
dan jika a ≠ 0, maka
u .a
proja u = 2
a (komponen vektor u sepanjang a)
a
u .a
u − proja u = u − 2
a (komponen vector u yang ortogonal terhadap a)
a
Lukmanulhakim Almamalik V- 7

8. Contoh 5.13
Hitung proyeksi vector u sepanjang a dan komponen vector u yang orthogonal terhadap a.
a. u = (−3,1) a = (7, 2)
b. u = (4,0,−1) a = (3,1,−5)
a. Pertama, hitung
Komponen vektor u sepanjang a
Komponen vektor u yang ortogonal terhadap a
b. Pertama, hitung
Komponen vektor u sepanjang a
Komponen vektor u yang ortogonal terhadap a
5.4 HASILKALI SILANG
Vektor Satuan
Vektor satuan di R3 i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1)
Misalkan u = (u1,u2, u3) , vector satuan u dapat dituliskan dengan
Lukmanulhakim Almamalik V- 8

9. Hasil Kali Silang Vektor
Jika u = (u1,u2, u3) dan v = (v1,v2, v3) adalah vector - vektor pada ruang berdimensi 3, maka
hasil kali silang dinyatakan dengan u x v dan didefinisikan sebagai
a. u x v = (u2v3 - u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1) notasi vektor
u u 3 u1 u 3 u1 u 2 
b. u x v =  2
v ,− , 
 menggunakan determinan 2 x 2
 2 v 3 v1 v 3 v1 v 2 
 i j k 
 
c. u x v =  u1 u2 u3  menggunakan determinan 3 x 3
v v2 v3 
 1 
Aturan tangan kanan
Contoh 5.14
Hitung u× v untuk u = (4,−9,1) dan v = (3,−2,7) .
= (-61,-25,19)
Hubungan antara Hasilkali Silang dan Hasilkali Titik
Jika u, v dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 3, maka ;
(a) u . (u x v) = 0 (u x v adalah orthogonal terhadap u)
Lukmanulhakim Almamalik V- 9

10. (b) v . (u x v) = 0 (u x v adalah orthogonal terhadap v)
(c) ||u x v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2 (identitas Lagrange)
(d) u x (v x w) = (u . w)v – (u . v)w (hubungan antara hasilkali titik dan hasilkali silang)
(e) (u x v) x w = (u . w)v – (v . w)u (hubungan antara hasilkali titik dan hasilkali silang)
Sifat-sifat Hasilkali Silang
Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor sebarang pada ruang berdimensi 3 dan k adalah skalar
sebarang, maka :
(a) u x v = -(v x u)
(b) u x (v +w) = (u x v) + (u x w)
(c) (u+v) x w = (u x w) + (v x w)
(d) k(u x v) = (ku) x v = u x (kv)
(e) u x 0 = 0 x u = 0
(f) u x u = 0
Bentuk Determinan Hasilkali Silang
i j k
u u3 u u3 u u2
u x v= u1 u2 u3 = 2 i− 1 j+ 1 k
v2 v3 v1 v3 v1 v2
v1 v2 v3
Contoh 5.15
Diberikan u = (3,-1, 4) dan v = (2,0,1)
Diketahui dua vektor di ruang 3 dan sudut antara dua vector tersebut adalah θ, maka
||u x v|| = ||u||.||v|| sin θ
|v x w|2 = |v|2 |w|2 – (v.w)2
= |v|2 |w|2 - (|v| |w| cos θ)2
= |v|2 |w|2 - |v|2 |w|2 cos2 θ
Lukmanulhakim Almamalik V- 10

11. = |v|2 |w|2 (1 - cos2 θ)
= |v|2 |w|2 sin2 θ
Jadi
|v x w| = |v| |w| sin θ
|w|
|w| sin θ
v
|v|
Contoh 5.16
Diberikan u = (1,−1,0) dan v = (0,−2,0)
Hitung ||u x v||
Diketahui bahwa
maka
Cara lain
LUAS PARALELOGRAM (JAJARAN GENJANG)
Jika u dan v adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 3, maka ||u x v|| sama dengan luas
dari parallelogram yang dibatasi oleh u dan v.
Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 3, maka u . (v x w) disebut
sebagai hasilkali tripel skalar (skalar triple product) dari u, v, dan w.
Luas Paralelogram
Nilai absolut dari determinan
Lukmanulhakim Almamalik V- 11

12. sama dengan LUAS PARALELOGRAM pada ruang berdimensi 2 yang dibatasi oleh
vektor-vektor u = (u1,u2) dan v = (v1, v2).
Volume Paralellogram
Nilai absolute dari determinan
sama dengan VOLUME PARALLELOGRAM (balok genjang) pada ruang berdimensi 3
yang dibatasi oleh vektor-vektor u = (u1,u2, u3), v = (v1,v2, v3), dan w = (w1,w2, w3)
Jika vektor-vektor u = (u1,u2, u3) dan v = (v1,v2, v3) dan w = (w1,w2,w3) memiliki titik awal
yang sama, maka vektor-vektor tersebut akan terletak pada bidang yang sama jika dan hanya
jika
Lukmanulhakim Almamalik V- 12

13. 5.5 GARIS DAN BIDANG PADA RUANG BERDIMENSI 3
Persamaan bidang yang melewati titik P0 dan memiliki vector taknol n=(a,b,c) sebagai
normalnya.
n.PP0 = 0
a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) + d = 0
Jika a,b,c dan d adalah konstanta dan a,b, dan c tidak semuanya nol, maka grafik dari
persamaan
ax + by + cz + d = 0
adalah suatu bidang yang memiliki vektor n = (a,b, c) sebagai normalnya.
Jarak Antara Suatu Titik dan Suatu Bidang
Jarak D antara titik P0(xo,yo,zo) dan bidang ax + bx + cz + d = 0 adalah
Lukmanulhakim Almamalik V- 13

14. Latihan 5
1. Tentukan :
a. a . b bila a = [2, -3, 6] dan b = [8, 2, -3]
b. Jarak A(2, 4, 0) , B(-1, -2, 1)
c. Jarak vektor a = [ 1, 7] dan b = [6, -5]
2. a. Tentukan k supaya a = [1, k, -2, 5] mempunyai panjang 39
b. Berapa sudut antara a = [1, 2, 3, 4] dan b = [0, 0, 1, 1]
c. Tentukan k supaya a = [1, k, -3] tegak lurus b = [4, -k, 1]
3. Carilah u. v untuk
a. u = [-3, 1, 2] dan v = [4, 2, -5]
b. u = [ 1, 2] dan v = [6, -8]
c. u = (1, 2, -2) dan v =(3, 0, 1)
4. Carilah sudut antara u dan v pada soal (3)
Lukmanulhakim Almamalik V- 14