1. W

Jika V dan W adalah sebarang dua vektor, m aka jum lah V + W adalah jum lah vektor yang ditentukan sbb :
tem patkanlah vektor W sehingga titik aw alnya berim pit dengan titik term inal vektor V ,
   
 
vektor V + W
dinyatakan oleh panah dari titik aw al V terhadap titik term inal W .
 
 
V

W

V

V + W
 

2. • Vektor diruang dimensi
dua (R-2)
1. Misalkan k adalah
sebarang skalar , maka:
2. Penjumlahan :
3. Pengurangan :
x
y
1 2 1 2
V V , V W W , W
 
1 2 1 2
.V V , V .W W , Wk k k k k k
 
1 1 2 2
V W V W , V W
 
1 1 2 2
V W V W , V W
 

3. • Aturan tangan kanan
z
y
X
• Aturan tangan kiri
z
x
y
Vektor diruang dimensi tiga
(R-3)
1. Misalkan k adalah sebarang skalar ,
maka :
2. Penjumlahan:
3. Pengurangan :
1 2 3 1 2 3
V V , V , V W W , W , W
 
1 2 3 1 2 3
.V V , V , V .W W , W , Wk k k k k k k k
 
1 1 2 2 3 3
V W V W , V W , V W
 
1 1 2 2 3 3
V W V W , V W , V W
 

4. • Contoh :
1. Vektor
Carilah hasil dari
2. Vektor
Carilah hasil dari
• Penyelesaian
1.
2.
V 2, 5 dan W 4,3
 
2V dan V+W
  
V 2, 4, 5 dan W 3,6,1
 
3W dan V+W
  
2V 2.2, 2. 5 4, 10

V +W 2 4, 5 3 6, 2
 
3W 3.3, 3.6, 3.1 9,18, 3

V+W 2 3,4 6, 5 1 5,10, 4
 

5. Komponen vektor-vektor
Definisi
Misalkan
Contoh
1. Carilah vektor-vektor yang mempunyai titik awal dan
titik terminal dari:
a.
b.
2. Misalkan carilah
komponen- komponen dari
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1
P , , dan P , , maka : vektor P P , ,x y z x y z x x y y z z

1
P

2
P

1 2
P 2,5 dan P 3,8
1 2
P 2,5,9 dan P 8, 2, 1
U 5, 2, 4 , V 1, 3, 2 dan V 1, 2, 3 .
  
a. U W b. 2V 3W
   

6. penyelesaian
1. a.
b.
2
1 2
P P 3 2,8 5 1,3

1 2
P P 8 2, 2 5, 1 9 6, 7, 10

a. U W 5 1, 2 2, 3 4 3 6, 4, 1
 
b. 2V 3W 2.1, 2. 3, 2.2 3.1, 3.2, 3.3
2, 6, 4 3, 6, 9
1, 12, 5
 

7.  Norma-norma vektor dalam ilmu hitung
Jika vektor U ,vektor V dan vektor W adalah vektor-vektor
di ruang 2 atau ruang 3, dan serta adalah skalar maka
hubungan selanjutnya akan berlaku :
k l
  
a. U +V V + U
b. U +V + W U + V + W
c. U +0 0+ U U
d. U + U 0
e. U U
f. U +V U + V
g. U U + U
h. 1.U U
k l kl
k k k
k l k l
   
     
    
 
 
   
  
 

8.  Definisi
Panjang sebuah vektor sering dinamakan V dan
dinyatakan
• untuk R-2 panjang dan norma vektor
• Untuk R-3 panjang dan norma vektor
V

:
2 2
1 2
2 2 2
1 2
V V V
V V V
V
V
2 2 2
1 2 3
2 2 2 2
1 2 3
V V V V
V V V V
V

9. Jarak
• Untuk R-2:
• untuk R-3
Contoh :
Diketahui
Penyelesaian :
2 2
1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
P P , , m aka:x x y y d x x y y

2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
P P , , , m aka:x x y y z z d x x y y z z

1 2 1 2
V 5,1, 3 , P 4, 3,1 , P 7, 1, 5 . Carilah V dan jarak dari P P
   
2 2 2
1 2
2 2 2
V 5 1 3 25 1 9 35
Jarak P P :
7 4 1 3 5 1
9 4 16
29
d


10.  Hasil Kali Proyeksi
Misalkan ada dua vektor diasumsikan bahwa keduanya berimpitan
dan sudut diantara kedua sudut vektor desebut
U dan V
 
U dan VJika adalah vektor-vektor diruang dimensi 2 atau ruang dimensi 3 dan adalah sudut
diantara U dan V maka hasil kali titik (dot product) didefinisikan oleh :
U V cos ; Jika U 0 dan V
U V
 

0
0 ; Jika U 0 dan V 0
Jika tidak diketahu maka :
U V
cos
U V

 Definisi
U

U

U

V
 V

V


11.  Contoh :
1.
2.
 penyelesaian:
U 2, 4, 0 dan V 3,1, 2 dengan 60. Carilah U V
 

U 1, 2,1 dan V 2,1,1 . Carilah nilai
 
2 2 2 2 2 2
2). U ( 1) 2 1 V 2 1 1
1 4 1 4 1 1
6 6
1
U V 1 2 2 1 1 1
2 2 1
1
U V
cos
U V
1
36
1 1
cos 80, 4
6 6


2 2 2 2 2 2
1). U 2 4 0 V 3 1 2
4 16 0 9 1 4
20 14
2 5
U V U V cos
2 5 14 cos 60
1
2 70
2
70


12. Teorema :
Misalkan U, V dan W adalah vektor-vektor di R-2 dan R-3, dimana adalah skalar, maka
W2 = U – W1
W2
U
a
Q W1
a. U V V U
b. U V W U V U W
c. U V U V U V
d. V V > 0 jika V 0 dan V V 0 jika V 0
k k k
   
 
      
  
     
  
     
 
Vektor W1 sejajar dengan a1, vektor W2 tegak lurus
dengan a2 dan W1 + W2 = W1 + (U – W1) = U
Vektor W1 tersebut dinamakan proyeksi ortogonal U pada
a atau kadang-kadang kita namakan komponen vektor U
sepanjang a. Hal ini kita nyatakan dengan proyaU.
Vektor W2 kita namakan komponen vektor U yang ortogonal terhadap
a, karena W2 = U – W1. Maka vektor ini dapat kita tulis dalam notasi sebagai :
W2 = U - proyaU.

13. • Teorema :
Jika U dan a adalah vektor di R-2 atau R-3 dan jika a ≠ 0, maka :
2
2
U
Proy komponen vektor U sepanjang .
U
U Proy U komponen vekto r U yang ortogonal dengan .
a
a
a
U a a
a
a
U a a
a


• Contoh :
• penyelesaian
M isalkan U 2, 3, 5 dan a 3, 6,1
C arilah kom ponen vektor U sepanjang dan kom ponen vektor U yang ortogonl kea a
 
 
2 22 2 2 2
2
U 2 3 3 6 5 1 7
3 6 1 9 3 6 1 4 6
U
P ro y
7
3, 6,1
4 6
a
a
a
a
U a
a



14. 2
2 1 4 2 7
, ,
4 6 4 6 4 6
U
U P ro y U
2 1 4 2 7
2, 3, 5 , ,
4 6 4 6 4 6
1 1 3 9 6 2 3 7
, ,
4 6 4 6 4 6
a
a
U a
a

 Hasil kali silan
• Definisi :
• Teorema
1 2 3 1 2 3
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
Jika vektor U U ,U ,U dan vektor V V ,V ,V adalah vektor di R-3 maka hasil kali silang :
U V U V U V , U V U V , U V U V
atau dalam notasi determinan :
U V , ,
u u u u u u
v v v v v v
 
22 2 2
Jika U dan V adalah vektor di R -3, m aka :
a. U U V 0
b. V U V 0
c. U V U V U V (identitas Langrange)
 
  

  

     


15. • Teorema :
• Tinjau vektor-vektor :
Jika U , V dan W adalah vektor di R -3 dan adalah sebarang skalar, m aka :
a. U V V U
b. U V W U V U W
c. U V W U W V W
d. U V U V U V
k
k k k
  
   
      
      
     
e. U 0 0 U 0
f. U U 0

 
 
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1, 0, 0 , 0,1, 0 , 0, 0,1
M isalkan V V ,V ,V
V V ,V ,V V 1, 0, 0 V 0,1, 0 V 0, 0,1
V V V
i j k
i j k



16. Contoh :
m isalkan :
U (4, 2,1) V (2, 3, 0) W (5, 2, 3)
hitunglah U (V W )
penyelesaian:
3 0 2 0 2 3
V W , ,
2 3 5 3 5 2
= (9 0), (6 0), (4 15)
= 9, 6, 11
U (V W ) (4, 2,1)
  
  
 
  
9, 6, 11
2 1 4 1 4 2
= , ,
6 11 9 11 9 6
= ( 22 6), ( 44 9), ( 24 18)
= 16, 53, 42
i j k
U (V W ) 4 2 1
9 6 11
2 1 4 1
= i j
6 11 9 11
  
4 2
k
9 6
= i( 22 6) j( 44 9) k ( 24 18)
= 16i+ 53 j 42 k