Ruang vektor dan Euclid membahas tentang: 1. Definisi ruang Euclid (Rn) sebagai ruang vektor dan ruang hasil kali dalam. 2. Definisi ruang vektor sebagai kumpulan vektor yang dapat dijumlahkan dan dikalikan skalar. 3. Aksoma-aksoma ruang vektor dan ruang hasil kali dalam yang harus dipenuhi.

1. RUANG VEKTOR DAN EUCLIDEAN
A. PENDAHULUAN
Pembahasan modern yang lebih abstrak pertama kali dirumuskan oleh
Giuseppe Peano pada akhir abad ke-19, yang meliput objek lebih umum daripada
Ruang Euclid, namun kebanyakan teori tersebut dapat dipandang sebagai
perluasan gagasan geometri klasik seperti garis, bidang, dan analognya yang
berdimensi lebih tinggi. Pada pembahasan ini, kita akan membahas Ruang Euclid
lebih lanjut lagi. Ruang Euclid (Rn) yang akan dibahas dalam pertemuan ini
adalah Ruang vektor.
Ruang vektor pada ruang euclid adalah struktur matematika yang dibentuk
oleh sekumpulan vektor, yaitu objek yang dapat dijumlahkan dan dikalikan
dengan suatu bilangan, yang dinamakan skalar. Skalar sering adalah bilangan riil,
tapi kita juga dapat merumuskan ruang vektor dengan perkalian skalar dengan
bilangan kompleks, bilangan rasional. Operasi penjumlahan dan perkalian vektor
harus memenuhi persyaratan tertentu yang dinamakan aksioma. Contoh ruang
vektor adalah vektor Euclid yang sering digunakan untuk melambangkan besaran
fisika seperti gaya. Vektor yang melambangkan perpindahan pada bidang atau
pada ruang tiga dimensi juga membentuk ruang vektor.
Ruang hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor adalah fungsi yang
mengasosiasikan bilangan riil u,v dengan masing – masing pasangan vektor u dan
v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma – aksioma dipenuhi untuk semua
vektor u, v, dan w di V dan juga untuk semua skalar k.
Dengan demikian, setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan
mampu :
1) Mengetahui definisi dari ruang euclid (Rn)
2) Mengetahui definisi dan aksioma-aksioma dari ruang vektor dalam n-
Euclid
3) Melakukan operasi penjumlahan dan perkalian pada vektor
4) Membuktikan teorema thales dan pappus pada vektor
5) Menentukan titik tengah dan titik berat
6) Mencari hasil kali dalam dan kosinus pada vektor
1

2. 7) Mengetahui definisi matriks
8) Mengetahui bentuk bilangan kompleks
9) Membuktikan rumus trigonometri penjumlahan dan pengurangan sudut.
10) Menyelesaikan latihan soal yang berhubungan dengan ruang Euclid,
vektor, rotasi, matriks dan bilangan kompleks.
B. DEFINISI RUANG EUCLID Rn :
Semua himpunan ordered n-tuples (a1,a2, ... , an) disebut ruang-n dan
dinotasikan dengan Rn.
Ruang Euclid (Rn) :
 Merupakan ruang vektor karena dapat dilakukan 2 pengoperasian
penjumlahan dan perkalian dengan skalar, sehingga memiliki 8 aksioma
yang berlaku.
 Merupakan ruang hasil kali dalam (inner product) karena mempunyai
operasi hasil kali dalam (perkalian titik untuk ruang Euclid).
C. DEFINISI RUANG VEKTOR DALAM n-EUCLID
Jika n adalah bilangan bulat positif, maka ordered n-tuples adalah sekelompok
n bilangan real (a1,a2, ... , an) yang disebut ruang vektor berdimensi n. Dan semua
himpunan ordered n-tuples (a1,a2, ... , an) disebut ruang-n dan dinotasikan dengan
Rn. Untuk n = 1, 2, atau 3 suatu vektor dapat digambarkan, namun vektor tidak
mungkin dapat digambarkan bila berada di ruang-n > 3 karena keterbatasan dari
ruang.
Di R2, vektor dinyatakan dengan pasangan terurut dua bilangan real. Misal u =
(u1, u2), u adalah vektor yang berpangkat di (0,0) dan berujung di (u1, u2) pada
bidang XY. Sedangkan u1 dan u2 disebut komponen.
Di R3, vektor dinyatakan dengan pasangan terurut tiga bilangan real. Misal
u = (u1, u2, u3), u adalah vektor yang berpangkat di (0, 0, 0) dan berujung di (u1,
u2, u3) pada bidang XYZ. Sedangkan u1, u2 dan u3 disebut komponen. Sedangkan
di Rn vektor dinyatakan dengan pasangan terurut tiga bilangan real. Misal u = (u1,
u2,…, un). Dengan adanya definisi vektor yang diperluas, maka suatu matrik dan
fungsi dapat diklasifikasikan sebagai vektor.
2

3. Dua vektor u = ( u1, u2, ... , un) dan v = ( v1,v2,... , vn) dalam Rn dikatakan sama jika
u1 = v1, u2 = v2, ..., un = vn (semua elemen yang seletak sama)
 Penjumlahan Vektor
Jika diberikan u = (u1 ,u2 ) dan v = (v1 , v2), maka:
u + v = (u1+v1,u2+v2)
Sedangkan untuk u = (u1 ,u2, u3 ) dan v = (v1 , v2, v3),
u + v = (u1+v1, u2+v2, u3+v3 )
Penjumlahan vektor juga dapat dilakukan secara geometri, perhatikan gambar
berikut:
Gambar 1. Aturan Jajargenjang penjumlahan vector.
 Perkalian Skalar Vektor
Jika diberikan u = (u1 ,u2 ) dan sembarang bilangan real a maka:
au = a(u1 ,u2 ) = (au, au2)
Sedangkan untuk u = (u1 ,u2, u3 ) dan sembarang bilangan real a,
au = a(u1,u2,u3) = (au1,au2,au3).
Gambar berikut menunjukkan perkalian vector secara geometri:
Gambar 2. Perkalian scalar sebagai dilatasi bidang
3

4. Vektor nol di dalam Rn dinotasikan 0, bisa ditulis 0=(0,0, ..., 0).
Jika u = ( u1, u2, ... , un) adalah sembarang vektor dalam Rn, maka negatif invers u
adalah –u yang didefinisikan -u = ( -u1, -u2, ... , -un).
D. AKSIOMA RUANG VEKTOR EUCLID
Jika u = (u1, u2, ... , un), v = (v1,v2,... , vn), dan w = (w1,w2,... , wn) adalah vektor
V dalam Rn dan k dan l adalah skalar, maka akan dikatakan ruang vektor jika
memenuhi 8 aksioma untuk vektor penjumlahan dan perkalian skalar, yaitu :
1. uv vu ( sifat komutatif )
   
2. u vw  uv w ( sifat asosiatif )
3. Ada vektor nol / identitas, dinotasikan dengan : 0 V sehingga berlaku
u00u u
4. Setiap u V mempunyai vektor negatif, dinotasikan dengan : u V sehingga
 
berlaku u u uu 0
5. k lu k l usifat assosiatif perkalian dengan skalar )
6. k lu k u l u ( sifat distributif terhadap skalar )
7. k u vk u lv ( sifat distributif terhadap skalar ) 
8. 1 u u ( sifat perkalian dengan skalar 1)
E. DEFINISI RUANG HASIL KALI DALAM (INNER PRODUCT)
Jika u=(u1 ,u2 ,…,un) dan v=(v1 ,v2 ,…, vn) adalah vektors dalam Rn, maka hasil
kali dalam euclid u.v didefinisikan :
u  v  u1v1  u2v2  ...  un vn
F. AKSIOMA RUANG HASIL KALI DALAM (INNER PRODUCT)
Jika u = (u1, u2, ... , un), v = (v1,v2,... , vn), dan w = (w1,w2,... , wn) adalah vektor
V dalam Rn dan k adalah skalar, maka dikatakan ruang hasil kali dalam jika
memenuhi 3 aksioma, yaitu :
1. u.v=v.u (sifat komutatif terhadap perkalian)
4

5. 2. (u+v) .w = (u . w) +( v . w) (sifat distributif terhadap perkalian)
3. (ku) . v = u . (kv) = k (u.v)
Latihan Soal
1. Pada aksioma ke-2, dikatakan bahwa uv vu ( sifat komutatif ). Buktikan
bahwa aksioma tersebut adalah aksioma ruang vektor euclid R2!
Bukti :
u+v = (u1,u2)+(v1,v2)
= (u1+v1,u2+v2) by definition of vector addition
= (v1+u1,v2+u2) by commutative law for numbers
= (v1,v2)+(u1,u2) by definition of vector addition
= v+u.
2. Ada sebuah vektor O={0}. Tunjukkan apakah vektor tersebut merupakan
ruang vektor!
Bukti:
a) o + o = o ∈ O.
b) o + o = o + o = o
c) (o + o) + o = o + (o + o) = o
d) ada o ∈ O, yang bersifat o + o = o + o = o
e) jika o ∈ O, maka selalu ada –o=o∈ O, sehingga o + (-o) = -o + o = o
f) ko=o ∈ O
g) (kl)o = k(lo)= o
h) (k+l)o=ko + lo = o
i) k(o + o) = ko + ko = o + o = o
j) 1.o = o
Maka untuk vektor O = {o} dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian skalar
yang biasa, maka merupakan suatu ruang vektor karena 10 aksioma ruang
vektor.
3. Pada aksioma ke-1, dikatakan bahwa uv vu ( sifat komutatif ). Buktikan
bahwa aksioma tersebut adalah aksioma ruang hasil kali dalam vektor R2!
Bukti :
u+v = (u1,u2)+(v1,v2)
= (u1+v1,u2+v2) by definition of vector addition
5

6. = (v1+u1,v2+u2) by commutative law for numbers
= (v1,v2)+(u1,u2) by definition of vector addition
= v+u.
4. Misal u = (u1, u2), v = (v1,v2) adalah vektor-vektor pada R2. Tunjukkan bahwa
(u,v) = 3 u1 v1 + 2 u2 v2 adalah ruang hasil kali dalam!
Jawab :
a) (u.v) = 3 u1 v1 + 2 u2 v2
= 3 v1 u1 + 2 v2 u2
= (v.u)
b) Jika w = (w1,w2), maka
(u + v.w) = 3(u1 + v1)w1 + 2 (u2 + v2) w2
= 3u1 w1 + 3 v1 w1 + 2 u2 w2 + 2 v2 w2
= (3u1 w1 + 2 u2 w2) + (3 v1 w1 + 2 v2 w2)
= (u.w) + <v.w)
c) (ku.v) = 3 (ku1)v1 + 2 (ku2)v2
= k (3 v1 u1 + 2 v2 u2)
Jadi, untuk (u,v) = 3 u1 v1 + 2 u2 v2 terbukti ruang hasil kali dalam pada R2
G. ARAH DAN KEBEBASAN LINEAR
Vektor memberikan konsep arah dalam R2 dengan mewakili garis melalui 0.
Jika u adalah vektor tidak nol, maka perkalian au dari u membuat garis melalui 0
dan u, sehingga disebut “arah u dari 0”.
Vektor bukan nol u dan v, memiliki arah yang berbeda dari 0 jika masing-
masing tidak mempunyai kelipatan dari yang lain. Oleh karena itu, vektor u dan v
adalah kebebasan linear, karena tidak memiliki bilangan real a dan b dengan
au + bv = 0
Jika salah satu dari a atau b tidak nol dalam persamaan ini, maka dapat
menyimpulkan bahwa salah satu dari u atau v sebagai kelipatan dari yang lain.
Konsep arah memiliki generalisasi yang jelas: w memiliki arah u dari v
(atau relatif terhadap v) jika w – v merupakan kelipatan dari u, kita juga
mengatakan bahwa “w – v memiliki arah u”. w – v merupakan segmen garis dari
v ke w dan dari s ke t ditulis t – s. w – v dan t – s sejajar jika memiliki arah yang
sama yaitu, jika
w – v = a (t – s) untuk beberapa bilangan real a ≠ 0
6

7. Gambar di bawah ini menunjukkan contoh segmen garis sejajar dari v ke w dan
dari s ke t yang keduanya memiliki arah u.
w = au + v atau w – v = au
au + v u
0 v
U t = bu + s atau t – s = bu
bu + s
0 s
Gambar 3. Garis sejajar berarah u
Berdasarkan gambar di atas didapat, w – v = au dan t – s = bu
𝑎
sehingga w – v = 𝑏 (t – s) atau w – v = k (t – s)
Vector Thales theorem. If s and v are on one line through 0, t and w are on
another, and w - v is parallel to t - s, then v = as and w = at for some number a.
Bukti:
v = bs
s
t w = ct
Gambar 4. menunjukkan situasi yang dijelaskan dalam teorema thales.
7

8. Jika w – v sejajar dengan t –s, maka:
w – v = a (t – s) untuk beberapa bilangan real a
w – v = at – as ………………..(1)
Karena v dan s sama-sama melalui 0, maka didapat v = bs
Karena w dan t sama-sama melalui 0, maka didapat w = ct
Sehingga,
w – v = ct – bs ………………..(2)
dari (1) dan (2), diperoleh:
ct – bs = at – as
(c – a)t + (a – b)s = 0
Karena s dan t dalam arah yang berbeda dari 0, maka merupakan kebebasan
linear. Jadi,
c–a=a–b=0
Dengan demikian, terbukti bahwa v = as dan w = at
Vector Pappus theorem. If r, s, t, u, v, w lie alternately on two lines through 0,
with u – v parallel to s – r and t – s parallel to v – w , then u – t is parallel to
w – r.
Gambar 5. menunjukkan situasi yang dijelaskan dalam teorema.
8

9. Karena u – v sejajar dengan s – r, didapat u = as dan v = ar untuk beberapa
bilangan a. karena t – s sejajar dengan v – w, didapat s = bw dan t = bv untuk
beberapak bilangan b.
Dari kedua fakta di atas, dapat disimpulkan bahwa
u = as = abw dan t = bv = bar
sehingga, u – t = abw – bar = ab(w – r)
artinya u – t sejajar dengan w – r
H. MIDPOINT DAN CENTROID (Titik Tengah dan Titik Berat)
Definisi dari ruang vektor real tidak termasuk definisi jarak, tetapi kita dapat
berbicara tentang titik tengah dari segmen gari u ke v.
Gambar 6. Diagonal Jajargenjang
Berdasarkan gambar didapat titik tengah dari segmen garis u dan v, yaitu:
1 1
Titik tengah segmen garis u dan v = u + 2 (v – u) = 2 (u + v)
Concurrence of medians.
The medians of any triangle pass through the same point, the centroid of the
triangle.
(Stillwell, 2005:73)
Untuk membuktikan teorema ini, andaikan puncak-puncak dari segitiga
1
adalah u, v dan w. Kemudian median (garis berat) dari u ke titik tengah 2(v + w),
dan seterusnya seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.
9

10. Gambar 7. Median (garis berat) dari segitiga
Berdasarkan gambar di atas terlihat bahwa ketiga median (garis berat)
2 1
tampaknya bertemu pada 3 dari u menuju 2(v + w), yaitu pada titik:
2 1 1 2 1
u+3 𝒗 + 𝒘 − 𝑢 = u + 3 (v + w) - 3 u = 3 (u + v + w)
2
Titik inilah yang dinamakan dengan centroid atau titik berat. Centroid ini,
1 2
juga dapat ditunjukkan dengan melihat letaknya antara v dan 2 (u + w) yaitu 3 dari
1 2 1
v ke (u + w), serta dari w ke (u + v). Dengan demikian dapat disimpulkan
2 3 2
bahwa centroid merupakan titik bersama dari ketiga median seperti yang terlihar
pada gambar.
I. PANJANG DAN JARAK VEKTOR DALAM R2
 Panjang Vektor
- Panjang |u| merupakan jarak u = (u1,u2) dari 0, dimana
2 2
|u| = 𝑢1 + 𝑢2
sehingga,
2 2
|u|2 = 𝑢1 + 𝑢2 = u . u
 Jarak Vektor
- Jarak antara u = (u1 ,u2 ) dan v = (v1 , v2) dapat dinyatakan sebagai berikut:
|v - u|2 = (v – u) . (v – u) = |u|2 + |v|2 – 2u.v
atau
|v - u|2 = 𝑢1 − 𝑣1 2 + 𝑢2 − 𝑣2 2
10

11. J. INNER PRODUCT DAN KOSINUS
Vektor u = (u1 ,u2 ) dan v = (v1 , v2) saling tegak lurus jika dan hanya jika u.v = 0
u mempunyai kemiringan u2/u1 dan v mempunyai kemiringan v2/v1, karena u dan
v saling tegak lurus maka:
𝑢2 𝑣1
=-
𝑢1 𝑣2
sehingga : u2v2 = - u1v1
u1v1 + u2v2 = 0
u.v = 0
 Kosinus
Perkalian dalam antara vector u dan v tidak hanya dipengaruhi pada panjang
masing-masing vector itu, yaitu |u| dan |v|, tapi dipengaruhi juga oleh sudut ()
antara keduanya. Cara paling sederhana untuk mengekspresikan sudut tersebut
adalah dengan bantuan kosinus.
Gambar 8. Kosinus sebagai perbandingan panjang
Berdasarkan gambar 1 terlihat bahwa v adalah hipotenusa,  adalah sudut antara
sisi u dan hipotenusa, sehingga kosinus dapat didefinikan sebagai berikut.
|𝒖|
cos  = |𝒗|
Inner product Formula.
If  is the angle between vectors u dan v, then
u· v = |u||v| cos 
(Stillwell, 2005:78)
11

12. Bukti:
Karena v – u pada segitiga tegak lurus dengan u, maka
0 = u . (v – u) = u.v – u.u
|𝒖|
Oleh karena itu, u.v = u.u = |u|2 = |u||v||𝒗| = |u||v| cos 
Rumus ini memberikan cara mudah untuk menghitung sudut (atau setidaknya
kosinus)antara dua garis. Pada bagian sebelumnya telah dijelaskan cara mencari
|u| dan |v|. Penjelasan tentang jarak sebelumnya juga memberikan “aturan
kosinus” trigonometri langsung dari perhitungan (u – v) . (u – v).
Cosine rule.
In any triangle, with sidea u, v, dan u – v, and angle  opposite to the side u−v,
|u−v|2 = |u|2+|v|2−2|u||v| cos 
(Stillwell, 2005:78)
Gambar 2 berikut menunjukkan segitiga dengan sisi dan sudut yang relevan, tetapi
pembuktian merupakan akibat aljabar murni dari rumus hasil kali dalam.
Gambar 9
Secara Aljabar dapat ditunjukkan sebagai berikut:
|u−v|2 = (u−v) · (u−v)
= u·u − 2u· v + v · v
= |u|2 + |v|2 − 2u · v
= |u|2 + |v|2 − 2|u||v| cos θ
Untuk kasus khusus di mana u dan v adalah sisisisi segitiga siku-siku dan u – v
adalah sisi miring. Dalam hal ini u tegak lurus terhadap v, maka u . v = 0 dan
aturan kosinus menjadi:
hipotenusa2 = |u - v|2 = |u|2 + |v|2
12

13. Persamaan di atas merupakan teorema Pythagoras. Hal ini menunjukkan bahwa
teorema Pythagoras dibangun kedalam definisi jarak dalam R2, sehingga menjadi
perkalian dalam.
K. PERTIDAKSAMAAN SEGITIGA
Dalam geometri vektor, ketidaksamaan segitiga | u + v | ≤ | u | + | v | pada
latihan 3.3.1 sampai 3.3.3 berasal dari fakta bahwa
|u·v|≤|u||v|
Pertidaksamaan ini dikenal sebagai pertidaksamaan Cauchy-Schwarz.
Berdasarkan rumus perkalian dalam
u · v = | u | | v | cosθ
dan karena itu,
| u · v | ≤ | u | | v | | cosθ |
≤|u||v| karena | cos θ | ≤ 1.
Untuk mendapatkan pertidaksamaan segitiga, itu sudah cukup untuk menunjukkan
bahwa | u + v |2 ≤ (| u | + | v |)2, yaitu sebagai berikut:
| u + v |2 = (u + v) · (u + v)
= |u| 2 +2 u · v + |v| 2 karena u·u = |u|2 dan v·v = |v| 2
≤ |u|2 +2|u| |v| + |v|2 oleh Cauchy-Schwarz
= (|u| + |v|)2
Latihan Soal
1. Apakah arti transformasi geometri R2 ketika setiap vector dikalikan dengan
-1? Apakah rotasi?
Pembahasan:
Misalkan vektor u = (u1, u2), jika vektor u dikalikan dengan -1 akan didapat
vektor –u = (-u1, -u2). Apabila vektor u dan hasil kalinya digambar akan
terbentuk seperti gambar berikut:
13

14. u2 (u1, u2)
-u1 u1
(-u1, -u2) - u2
Berdasarkan gambar di atas terlihat bahwa jika koordinat titik-titik dikalikan
dengan -1, maka hasil perkalian itu merupakan rotasi.
2. Tunjukkan bahwa bidang empat dengan sudut t, u, v dan w mempunyai center
1
( t + u + v + w).
4
Pembahasan:
14

15. Berdasarkan penjelaasn pada point D, didapat bahwa centroid pada bidang
1
segitiga dengan sudut u, v dan w memiliki centroid (u + v + w). Kemudian dari
3
centroid itu ditarik garik ke sudut t. Begitu juga dengan centroid yang lain.
Sehingga, salah satunya akan terlihat bahwa ketiga garis tersebut bertemu
3 1
dari t menuju 3 (u + v + w), yaitu titik:
4
3 1 1 3
t+ u + v + w − t = t + (u + v + w) - t
4 3 4 4
1
= 4 (t + u + v + w).
1
Titik ini juga dapat ditunjukkan dengan melihat letaknya antara v dan (t + u
3
3 1 3 1 3 1
+ w) yaitu 4 dari v ke 3 (t + u + w), 4 dari w ke 3 (t + u + v) dan dari u ke 3 (t
4
+ v + v). Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa center dari bidang empat
1
tersebut adalah 4 (t + u + v + w).
3. Kedudukan w menjadi sama dari u dan v adalah
(w – u) . (w – u) = (w – v) . (w – v)
Tunjukkan bahwa persamaan ini akuivalen dengan:
|u|2 – 2w.u = |v|2 – 2w.v
Pembahasan:
(w – u) . (w – u) = (w – v) . (w – v)
(w1 - u1 , w2 - u2) . (w1 - u1 , w2 - u2) = (w1 - v1 , w2 - v2) . (w1 - v1 , w2 - v2)
(w1 - u1) (w1 - u1) + (w2 - u2) (w2 - u2) = (w1 - v1) (w1 - v1) + (w2 - v2) (w2 - v2)
w12 + u12 – 2w1.u1 + w22 + u22 – 2w2.u2 = w12 + v12 – 2w1.v1 + w22 + v22 – 2w2.v2
w12 + w22 + u12 + u22 – 2w1.u1 – 2w2.u2 = w12 + w22 + v12 + v22 – 2w1.v1 – 2w2.v2
|w|2 + |u|2 – 2w.u = |w|2 + |v|2 – 2w.v
|u|2 – 2w.u = |v|2 – 2w.v
Jadi, terbukti bahwa (w – u) . (w – u) = (w – v) . (w – v)
ekuivalen dengan |u|2 – 2w.u = |v|2 – 2w.v
15

16. 4. Teorema Pythagoras juga dapat dibuktikan secara langsung, dengan memilih 0
pada sudut 90o pada segitiga siku-siku dengan sudut yang lainnya yaitu u dan
v.
Tunjukkan bahwa |v - u|2 = |u|2 +|v|2
Pembahasan:
|v - u|2 = |u|2 + |v|2 − 2|u||v| cos θ aturan kosinus
= |u|2 + |v|2− 2|u||v| cos 90o
= |u|2 + |v|2 – 0
= |u|2 + |v|2
Kondisi ini merupakan teorema Pythagoras, karena |v - u| merupakan sisi
miring/hipotenusa. Sedangkan |u| dan |v| merupakan sisi lainnya yang saling
tegak lurus karena 0 terletak pada sudut 90o.
5. Tunjukkan bahwa (v+u) · (v−u) = |v|2 −|u|2.
Pembahasan:
(v+u) · (v−u) = (v1 + u1 , v2 + u2) (v1 - u1 , v2 - u2)
= (v1 + u1) (v1 - u1) + (v2 + u2) (v2 - u2)
= v12 – u12 + v22 – u22
= (v12 + v22) – (u12 + u22)
= |v|2 - |u|2
Jadi, terbukti bahwa (v+u) · (v−u) = |v|2 −|u|2.
K. DEFINISI ROTASI
 Rotasi adalah adalah proses memutar bangun geometri terhadap titik
tertentu yang dinamakan titik pusat rotasi dan ditentukan oleh arah rotasi
dan besar sudut rotasi.
 Titik pusat rotasi adalah titik tetap atau titik pusat yang digunakan sebagai
acuan untuk menentukan arah dan besar sudut rotasi.
 Arah rotasi disepakati dengan aturan sebagai berikut :
 Jika perputaran berlawanan dengan arah putar jarum jam, maka rotasi
ini bernilai positif (+).
 Jika perputaran searah jarum jam, maka rotasi ini bernilai negatif (-).
16

17. a. Rotasi Matriks
Kita definisikan rotasi di R2 (ruang dimensi dua) memilki fungsi rc,s dimana
c dan s adalah dua bilangan real dimana c2 + s2 = 1. Dapat diartikan rc,s sebagai
fungsi dari (x,y) ke (cx-sy, sx+cy), tapi dapat pula diartikan koefisien matriks dari
x dan y , dinamakan
c −s
, dimana c = cosθ dan s =sinθ
s c
Jadi notasi matriks yang dapat ditulis (x,y) → (cx – sy, sx + cy)
c −s x cx − sy
y = sx + cy
s c
Rotasi perkalian matriks ini juga dapat digunakan untuk membuktikan rumus
cos(θ1 + θ2 ) dan sin (θ1 + θ2 ) , Yaitu sebagai berikut :
cos θ1 − sin θ1
 Untuk rotasi melalui θ1 didapatkan matriks
sin θ1 cos θ1
cos θ2 − sin θ2
 Untuk rotasi melalui θ2 didapatkan matriks
sin θ2 cos θ2
 Sehingga, rotasi yang melalui θ1 + θ2 didapatkan dari produk ke dua
matrik ini.yaitu :
cos( θ1 + θ2 ) − sin(θ1 + θ2 )
sin(θ1 + θ2 ) cos( θ1 + θ2 )
cos θ1 − sin θ1 cos θ2 − sin θ2
=
sin θ1 cos θ1 sin θ2 cos θ2
cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 − cos θ1 sin θ2 − sin θ1 cos θ2
=
sin θ1 cos θ2 − cos θ1 sin θ2 cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2
Berdasarkan perkalian matriks
17

18.  Akhirnya, menyamakan entri yang sesuai dalam matriks pertama dan
terakhir,
cos 𝜽 𝟏 + 𝜽 𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟐 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟐 ,
sin 𝜽 𝟏 + 𝜽 𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟐 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟐 .
Selain dengan mengalikan rotasi matriks diatas, untuk membuktikan rumus
cos(θ1 + θ2 ) dan sin (θ1 + θ2 ) dengan menggunakan cara dibawah ini :
Koordinat A : (r,0)
Koordinat B : (r cos θ1, r sin θ1)
Koordinat C : (r cos (θ1+ θ2) , r sin(θ1+θ2))
Koordinat D : (r cos – θ2 , r sin – θ2)
: ( r cos θ2 , -r sin θ2)
(AC)2 = (DB)2
 (AC)2 = ( r cos (θ1+ θ2) – r )2 + (r sin(θ1+θ2) – 0)2
= r 2 cos2 (θ1+ θ2) – 2r2 cos (θ1+θ2) + r2 + r2 sin2(θ1+θ2)
= r2 (cos2 (θ1+ θ2) + sin2(θ1+θ2)) - 2r2 cos (θ1+θ2) + r2
= r2 . 1 - 2r2 cos (θ1+θ2) + r2
= 2r2 - 2r2 cos (θ1+θ2)
 (DB)2 = (r cos θ2 - r cos θ1)2 + (-r sin θ2 - r sin θ1)2
= r2cos2θ2–2r2cosθ1cosθ2+r2cos2θ1+r2sin2θ2+2r2sinθ2sinθ1+r2 sin2θ1
= r2(cos2θ2 + sin2θ2)+r2(cos2θ1+sin2θ1)-2r2cosθ1cosθ2+2r2sinθ2sinθ1
= r2 . 1 + r2 . 1 - 2r2cosθ1cosθ2+2r2sinθ2sinθ1
= 2r2 - 2r2 cosθ1cosθ2+2r2 sinθ2sinθ1
18

19. Jadi, (AC)2 = (DB)2
2r2 - 2r2 cos (θ1+θ2) = 2r2 - 2r2 cosθ1cosθ2+2r2 sinθ1sinθ2
- 2r2 cos (θ1+θ2) = 2r2 – 2r2 - 2r2 cosθ1cosθ2+2r2 sinθ1sinθ2
- 2r2 cos (θ1+θ2) = - 2r2 cosθ1cosθ2+2r2 sinθ1sinθ2
cos (θ1+θ2) = cosθ1cosθ2 – sinθ1 sinθ2
b. Bilangan Kompleks
Salah satu keuntungan dari matriks ini adalah bisa digunakan untuk
mengeneralisasi gagasan rotasi ke sejumlah dimensi. Tapi, untuk rotasi di R2,
ada notasi yang lebih efisien dari pada penggunaan rotasi matriks.
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
Ini adalah bentuk umum dari bilangan kompleks, cosθ + i sin θ, dimana i =
−1
Kita artikan titik (x,y) ∈ 𝑅 2 dengan bilangan kompleks z = x + iy, dan
kita putar melalui sudut θ di O dengan mengalikannya dengan cos θ + i sin
θ.
Prosedur ini dapat dikerjakan karena 𝑖 2 = -1, dan karena itu,
cos 𝜃 + i sin 𝜃 (x + iy) = x cosθ – y sinθ + i (xsinθ + ycosθ).
Dengan demikian, perkalian dengan cosθ + i sinθ mengirimkan setiap titik (x,
y) ke titik
(x cosθ – ysinθ , x sinθ + ycosθ), yang merupakan hasil dari perputaran (x, y)
di
O melalui sudut θ. Mengalikan semua poin sekaligus dengan cosθ + i sinθ,
dikarenan diputar di O melalui sudut θ.
Ini berarti bahwa perkalian (cos𝜃1 + i sin𝜃1 ) (cos𝜃2 + i sin𝜃2 ) perputaran melalui
sudut 𝜃1 + 𝜃2 - pertama yaitu diputar melalui 𝜃1 dan kemudian diputar melalui 𝜃2
- ini berarti sama dengan perkalian cos (𝜃1 + 𝜃2 ) + i sin (𝜃1 + 𝜃2 ). Dari
19

20. menyamakan kedua persamaan ini memberikan bukti dari rumus untuk cos
(𝜃1 + 𝜃2 ) dan sin (𝜃1 + 𝜃2 ) :
cos 𝜃1 + 𝜃2 + i sin 𝜃1 + 𝜃2
= (cos 𝜃1 + i sin 𝜃1 ) (cos 𝜃2 + i sin 𝜃2 )
=cos 𝜃1 cos 𝜃2 − sin 𝜃1 sin 𝜃2 + i (cos 𝜃1 sin 𝜃2 + sin 𝜃1 cos 𝜃2 )
dimana 𝑖 2 = -1
maka, menyamakan bagian nyata dan imajiner :
Cos 𝜽 𝟏 + 𝜽 𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟐 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟐
Sin 𝜽 𝟏 + 𝜽 𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟐 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟐
c. Rotasi terhadap titik pusat O (0,0)
Jika titik P (x,y) diputar sebesar θ radian berlawanan arah dengan arah
putar jarum jam (ditulis R +θ ) terhadap titik pusat O (0,0) maka diperoleh
bayangan titik P’ (x’,y’) sehingga terdapat hubungan sebagai berikut :
x’ = x cos θ – y sin θ
y’ = x sin θ + y cos θ
Bukti :
Jika titik P (x,y) diputar sebesar θ
radian (R +0 ) ketitik P (x’,y’).
Maka POP’ merupakan sektor
lingkaran. Dengan demikian OP=
OP’= r
Pada Δ AOP
x = r cos α
y = r sin α
Pada Δ BOP
x’ = r cos (α + θ)
x’ = r cos α cos θ – r sin α sin θ
x’ = x cos θ – y sin θ
y’ = r sin (α + θ)
y’ = r sin α cos θ + r cos α sin θ
20

21. y’ = y cos θ + x sin θ
y’ = x sin θ + y cos θ
d. Rotasi terhadap titik pusat A (a,b)
Jika titik P (x,y) diputar sebesar θ radian berlawanan arah dengan arah
putar jarum jam (ditulis 𝑅+0 ) terhadap titik pusat A(a,b) maka diperoleh bayangan
titik P’ (x’,y’). Dengan cara yang sama seperti pada pembuktian rotasi terhadap
titik O(0,0) diperoleh hubungan sebagai berikut :
Perhatikan Gambar berikut :
x’ – a = (x-a) cos θ – (y-b) sin θ
y’ – b = (x-a) sin θ + (y-b) cos θ
Latihan Soal
1. Tentukanlah bayangan P(3,-5) jika dirotasi 900 berlawanan arah dengan
jarum jam dengan pusat rotasi di A(1,2) dilengkapi dengan gambarnya!
2. Tentukan bayangan P (2,1) jika dirotasi 900 searah dengan jarum jam dan
berpusat di O(0,0)
21

22. Pembahasan :
1.
P (x,y) A (a,b) P’ (x’, y’)
x’ – a = (x-a) cos 900 – (y-b) sin 900
x’ = ((3-1) 0 – (-5-2) 1) + 1
x’ =0+7+1
x’ =8
y’ – b = (x – a) sin 900 + (y-b) cos 900
y’ = ((3-1) 1 + (-5-2) 0 ) + 2
y’ =2+0+2
y’ =4
maka bayangan dari P (3,-5) adalah P’(8,4)
2. P (x,y) ( R -90) P’ (x’, y’)
x’ = (x . –(cos 90 )) – (y. –(sin 900))
0
x’ = (2. -0) – (1. -1 )
x’ = 0 + 1
x’ = 1
y’ = (x. –(sin 900)) + (y. –(cos 900))
y’ = (2. -1) + (1. 0)
y’ = -2 + 0
y’ = -2
maka bayang dari P (2,1) yang diputar searah dengan jarum jam sebesar
900 adalah P’(1,-2).
22

23. DAFTAR PUSTAKA
Stilwell, Jhon. 2005. The Four Pillars Of Geometry. Departement of Mathematics
University of San Fransisco
Ahmad Najullah. 2011. Pembahasan Transformasi Geometri Perputaran (Rotasi).
Online. Tersedia Pada : http://ahmad.najiullah.com/2011/10/pelajaran-
pembahasan-transformasi_15.html, diakses pada 29 November 2012
Heri Purwanto, Gina Indriani, Erlina Dayanti. 2005. Aljabar Linier. PT Ercontara
Rajawali. Jakarta
2011. Transformasi Geometri : Jenis-jenis transformasi. Online. Tersedia Pada :
http://my-diaryzone.blogspot.com/2011/06/transformasi-geometri-jenis-
jenis.html#/left-click/view/swf-file/, diakses pada 29 November 2012
http://personal.fmipa.itb.ac.id/.../09/5-Ruang-Hasil-Kali-Dalam-v2011.pdf
(diakses tanggal 17 Oktober 2012)
http://himatika.mipa.ugm.ac.id/down/kul/GREDN.pdf (diakses tanggal 17
Oktober 2012)
http:// ml.scribd.com/doc/56290429/RUANG-VEKTOR (diakses tanggal 17
Oktober 2012)
http://ebookbrowse.com/bab-6-ruang-hasil-kali-dalam-ppt-d201745599 (diakses
tanggal 17 Oktober 2012)
23