Jawaban latihan soal bagian 2.3 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Jawaban latihan soal bagian 2.2 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.
Jawaban latihan soal bagian 2.3 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Jawaban latihan soal bagian 2.2 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.
3. Persamaan Trigonomteri Sederhana
2
1. sinx = sin α, → x = α + π
k.360°
atau x = (180 - α) + k.360°
2
2. cos x = cos α, → x = α + k.360° π
atau x = -α + k.360°
3
4. π
3. tan x = tanα → x = α + k.180°
dengan x ∈ R dan
k ∈ bilangan bulat
4
5. Contoh 1:
Himpunan penyelesaian
sin x = sin 70°, 0°≤ x ≤ 360°
Jawab: x = 70° + k.360°
k = 0 → x = 70°
atau x = (180 - 70) + k.360°
x = 110° + k.360°
k = 0 → x = 110°
Jadi, Hp = {70°, 110°}
5
6. Contoh 2:
Himpunan penyelesaian
cos x = cos 24°, dalam interval
0°≤ x ≤ 360°
Jawab: x = 24° + k.360°
k = 0 → x = 24°
atau x = -24° + k.360°
k = 1 → x = -24° + 360° = 336°
Jadi, Hp = {24°, 336°}
6
7. Contoh 3:
Himpunan penyelesaian
tan x = tan 56°, dalam interval
0°≤ x ≤ 360°
Jawab: x = 56° + k.180°
k = 0, → x = 56°
k = 1 → x = 56° + 180° = 236°
Jadi, himpunan penyelesaiannya
adalah { 52°, 236°}
7
8. Persamaan Berbentuk
sinpx = a, cospx = a dan tanpx = a
diselesaikan dengan cara
mengubah ke persamaan
sederhana, yaitu dengan merubah
ruas kanan (konstanta a) menjadi
perbandingan trigonometri yang
senama dengan ruas kiri
8
9. Contoh 1:
Himpunan penyelesaian
sin 3x = ½, 0°≤ x ≤ 180°
Jawab:
sin 3x = sin 30° maka
• 3x = 30° + k.360°
x = 10° + k.120°
k = 0 → x = 10°
k = 1 → x = 10° + 120° = 130°
9
10. • 3x = (180 - 30) + k.360°
3x = 150° + k.360°
x = 50° + k.120°
k = 0 → x = 50°
k = 1 → x = 50° + 120° = 170°
Jadi, himpunan penyelesaiannya
adalah { 10°, 50°, 130°, 170°}
10
11. Contoh 2:
Himpunan penyelesaian
cos (x + ¾π) = ½√2 , 0 ≤ x ≤ 2π
Jawab: cos (x + ¾π) = cos¼π
• (x + ¾π) = ¼π + 2k.π
x = -¾π + ¼π + 2k.π
x = -½π + 2k.π
k = 1 → x = -½π + 2π = 1½π
• (x + ¾π) = -¼π + 2k.π
11
12. • (x + ¾π) = -¼π + 2k.π
x = -¾π - ¼π + 2k.π
x = -π + 2k.π
k = 1 → x = -π + 2π = π
Jadi, himpunan penyelesaiannya
adalah { 1½π, π }
12
13. Contoh 3:
Himpunan penyelesain
tan ⅓x = √3, 0°≤ x ≤ 2π
Jawab: tan⅓x = tan ⅓π
⅓x = ⅓π + 2k.π
x = π + 6k.π
k = 0, → x = π
Jadi, himpunan penyelesaiannya
adalah { π }
13
14. Contoh 4:
Himpunan penyelesaian
2cos x + 1= 0 , 0° ≤ x ≤ 360°
Jawab: 2cosx + 1 = 0
2cosx = -1
cosx = -½
x = 120°, 210°
Jadi, himpunan penyelesaiannya
adalah {120°, 210°}
14
15. Persamaan Trigonometri
yang memuat Jumlah atau Selisih
sinus atau kosinus
Menggunakan rumus:
sinA + sinB = 2sin½(A + B)cos½(A – B)
sinA – sinB = 2cos½(A + B)sin½(A – B)
cosA + cosB= 2cos½(A + B)cos½(A – B)
cosA – cosB=-2sin½(A + B)sin½(A – B)
15
17. sin 2x = 0 atau cosx = 0
• dari sin2x = 0 → sin2x = sin 0°
diperoleh 2x = 0° + k.360°
x = 0° + k.180°
k = 0 → x = 0°
k = 1 → x = 180°
• dari cosx = 0 → cosx = cos90°
diperoleh x = 90° + k.360°
17
18. • dari cosx = 0 → cos x = cos 90°
diperoleh x = 90° + k.360°
k = 0 → x = 90°
atau x = -90° + k.360°
tidak ada harga x yang memenuhi
Jadi, himpunan penyelesaiannya
adalah { 0°, 90°, 180°}
18
27. cos(x + 20°) = cos60°
• x + 20° = 60° + k.360°
x = 40° + k.360°
k = 0 → x = 40°
• x + 20 = - 60° + k.360°
x = - 80° + k.360°
k = 1 → x = -80° + 360°
x = 280°
Jadi, Hp = { 40°, 280°}
27
28. Persamaan Trigonometri
yang berbentuk persamaan kuadrat
dalam sin, cos atau tan
Langkah-langkahnya:
1.Langsung difaktorkan bila sudah
berbentuk persamaan kuadrat
dalam sin ,cos atau tan.
28
29. Langkah ke-2
2. Bila belum berbentuk persamaan
kuadrat dalam sin ,cos atau tan,
ubah dulu ke bentuk persamaan
kuadrat dalam sin, cos atau tan,
dengan menggunakan:
1. Rumus trigonometri sederhana
2. Rumus trigonomteri sudut rangkap
29
31. sinx = ½ → sinx = sin 30°
x = 30° + k.360°
k = 0 → x = 30°
x = (180° – 30°) + k.360°
x = 150° + k.360°
k = 0 → x = 150°
• Untuk sinx + 2 = 0, → sin x = -2
tidak ada nilai x yang memenuhi.
Jadi, Hp = { 30°, 150°}
31
32. Contoh 2:
Himpunan penyelesaian
cos2x + 2cosx = 3, 0°≤ x ≤ 360°
Jawab: cos2x + 2cosx = 3
cos2x + 2cosx – 3 = 0
(cosx + 3)(cosx – 1) = 0
• cosx + 3 = 0 → cosx = -3
tidak ada harga x yang memnuhi
32