1. Д.Оюунбилэг Физик-I
Семинар №2
Сэдэв.Материал цэгийн кинематикийн бодлогууд
Агуулга:
 Материал цэгийн хөдөлгөөн координатын аргаар өгөгдөх бодлогууд
 Материал цэгийн хөдөлгөөн радиус-векторын аргаар өгөгдөх бодлогууд
 Материал цэгийн хөдөлгөөн ердийн аргаар өгөгдөх бодлогууд
Зорилго:
 Бие хугацааны агшин бүрд хаана байхыг урьдчилан мэдэх, тухайлбал бие
хугацааны агшин бүрд ямар координаттай байхыг тооцох
Үндсэн томъѐо, тодорхойлолтууд:
 буюу материал цэгийн давших
хөдөлгөөний тэгшитгэл
 Материал цэгийн хөдөлгөөнийг өгөх аргууд:
1. Материал цэгийн байрлалыг хугацааны ямарч агшинд декартын координатын
системд координатуудаар тодорхойлно. (2.2)-
ийг материал цэгийн хөдөлгөөний, координатын хэлбэртэй тэгшитгэл гэнэ. Өөрөөр
хэлбэл материал цэгийн хөдөлгөөн координатын аргаар өгөгдсөн бол түүний
байрлалыг (2.2) координатуудаар тодорхойлно. (2.2)-тэгшитгэлээс t хугацааг
арилгаж x, y, z координатын хооронд хамаарал тогтоовол цэгийн хөдөлж байгаа
муруй-траекторын тэгшитгэл гарна.
 Материал цэгийн хурд нь радиус-вектороос хугацаагаар авсан 1-р эрэмбийн
уламжлалаар тодорхойлогдоно.
 Материал цэгийн хурдатгал нь хурднаас хугацаагаар авсан 1-р эрэмбийн
уламжлалаар тодорхойлогдоно.
 Дээрх хэмжигдэхүүнүүдийг проекцуудаар нь задалбал:
 Хурдны тэнхлэг дээрх проекц нь:
 Хурдатгалын тэнхлэг дээрх проекц нь:

2. Д.Оюунбилэг Физик-I
 болон тэнхлэгүүд дээрх проекцуудын хувьд (2.5), (2.6) илэрхийлэлүүдийн
ийг сольж бичихэд гарна.
2. Материал цэгийн хөдөлгөөн векторын аргаар өгөгдсөн бол түүний байрлалыг
радиус вектороор тодорхойлж болно
 Дурын A цэгийн байрлалыг x, y, z гэсэн координатын утгаар, эсвэл координатын
эхээс A цэг хүртэл татсан радиус-векторын утгыг өгөх гэсэн хоѐр үндсэн аргаар
тогтоож болно. Материал цэгийн байрлалыг тодорхойлно гэдэг бол түүний
координатуудыг олно гэсэн үг юм.
1. Хөдөлгөөнгүй байгаа биеийн байрлалыг тодорхойлох аргууд
 Ямар нэгэн A цэгийн координат x, y, z мэдэгдэж байхад энэ цэгийн радиус-вектор
нь дараах томъѐогоор тодорхойлогдоно.
A цэгийн координат x, y, z гэсэн хэмжээсээр тодорхойлогдох бөгөөд эдгээрийг цэгийн
координатууд гэнэ.
2. Материал цэг хөдлөж байхад байрлал олох арга
 Материал цэг хугацааны агшин радиус вектортой цэгээс хөдөлж
хугацааны агшин радиус вектортой цэгт хүрч ирсэн бол
хугацаанд түүний байрлалын өөрчлөлт гэсэн шилжилтийн вектороор
тодорхойлогдоно.
Тухайн тохиолдолд бие координатын эхээс эхлэн хөдөлж байвал болж энэ үед
шилжилт нь эцсийн байрлалын радиус вектортой тэнцүү болно.
 Материал цэг муруй траектороор хөдлөх тохиолдолд шилжилт, зам хоѐр хоорондоо
тэнцүү биш байна. Ийм тохиолдолд шилжилтийн вектор уудын геометр
нийлбэр байх ба дараах интегралаар тодорхойлогдоно.

3. Д.Оюунбилэг Физик-I
 Зам нь эгэл шилжилтийн векторын модулиудын арифметик нийлбэр болж дараах
интегралаар тодорхойлогдоно.
3. Материал цэгийн байрлал хугацааны ямар ч агшинд цилиндр координатын системд
координатаар тодорхойлно. нь траектор дээр тооллын
эх болгон сонгосон цэгээс хэмжсэн нумын координатыг гэсэн цэгийн
хөдөлгөөний тэгшитгэл юм.
 Цэгийн хөдөлгөөн ердийн аргаар өгөгдсөн үед түүний хурдыг дараах томъѐогоор
тодорхойлно.
 Хөдөлгөөн ердийн аргаар өгөгдсөн үед материал цэгийн бүрэн хурдатгалыг
тангенциал ба нормаль хурдатгалын нийлбэрээр тодохойлно.
 Тангенциал хурдатгал нь хурдны алгебр хэмжээнээс хугацаагаар авсан нэгдүгээр
эрэмбийн уламжлалтай тэнцүү.
 Нормаль хурдатгал нь хурдны квадратыг тухайн цэг дэх муруйлтын радиуст
хуваасантай тэнцүү.
 Цэгийн хөдөлгөөн ердийн аргаар өгөгдсөн үед бүтэн хурдатгалын вектор нормаль
чиглэлийн хооронд үүсэх өнцгөөр хурдатгалын чиглэлийг тодорхойлно. Энэ
өнцгийн α гэвэл
Аргачлал:
 Кинематик нь биеийн хөдөлгөөнийг судлахдаа биеийг материал цэг гэж тооцож,
бодлогын бодолтыг зөвхөн геометр талаас нь хийдэг
Материал цэгийн хөдөлгөөний кинематикийн бодлогыг бодохдоо:
1. Түүний нөхцлийг задлан унших өөрөөр хэлбэл уг бодлого ямар хөдөлгөөний
бодлого вэ? гэдгийг таниж мэдэх.

4. Д.Оюунбилэг Физик-I
2. Тооллын системийг хамгийн ашигтай байдлаар сонгох өөрөөр хэлбэл тооллын бие
ба түүнтэй холбосон координатын системийг оновчтой сонгох хэрэгтэй.
3. Сонгосон тооллын системтэй харьцангуйгаар биеийн хөдөлгөөний
тэгшитгэлүүдийг бичих өөрөөр хэлбэл биеийн координат ба хурдны проекцууд
хугацаанаас хамаарах хамаарлыг илэрхийлж бичих. Энэ тэгшитгэлүүд нь өгсөн
эхний нөхцөл ба хурдатгалаар биеийн хурд ба координатуудыг хугацааны туршид
тодорхойлох бололцоог олгодог.
4. Хэрэв зохиосон тэгшитгэлүүд дэх үл мэдэхийн тоо тэгшитгэлийн тооноос илүү
байвал бодлогын нөхцөлд заасан тусгай нөхцөл болон геометр харьцаануудаас
зохиосон нэмэлт тэнцэтгэл бичих, мөн бодлогын нөхцөлд өгсөн биеийн координат
хугацаанаас хамаарах хамаарлаас хурд ба хурдатгалыг шууд тодорхойлж болдог.
Жишээ бодлогууд, тайлбар
1. Материал цэгийн хөдөлгөөн см хуулиар өгөгдсөн бол
сек агшинд цэгийн хурд, хурдатгалыг ол.
Бодолт: Хурдны проекцуудыг тодорхойлбол:
сек үед .
Хурдны чиглэл:
Хурдатгалыг тодорхойлъѐ:
сек үед . Иймд
Хурдатгалын чиглэлийг тодорхойлбол: ;
. сек агшинд цэгийн хурдатгал OX тэнхлэгтэй паралель байна.
2. Материал цэгийн радиус вектор бол хөдөлж эхэлсэнээс
хойших 10с-д явсан зам ба шилжилтийн векторын модулийг ол.
Бодолт: Өгөгдсөн радиус-вектороос дифференциал авбал: .
Шилжилтийн векторыг олбол:
Үүнээс түүний модулийг олбол, . Явсан замыг олбол,

5. Д.Оюунбилэг Физик-I
3. M цэг R=6м радиустай тойргоор хуулиар хөдлөнө. Хэрэв О төвөөс M
цэгийн хамгийн их хазайлт нь 0.16м, тойргийн үе , анхны агшинд M цэг O
төв дээр байсан гэвэл цэгийн хөдөлгөөний хууль, хурд, хурдатгалыг д
тодорхойл.
Бодолт: M цэгийн хамгийн их хазайлт нь A=0.16м, тойрог давтамж нь гэдгээс
M цэгийн хөдөлгөөний хууль нь M цэгийн хурдыг тодорхойлбол:
бол
Одоо тангенциал хурдатгалыг олъѐ. бол
нормаль хурдатгал нь Бүрэн хурдатгалыг
(2.14) томъѐогоор тодорхойлбол:
Семинар-бие даалтын бодлогууд
1. Материал цэг хуулиар хөдөлнө. Материал цэгийн
траекторыг тодорхойлж, хөдөлгөөнийг шинжил.
2. Хөдөлгөөний тэгшитгэлүүдийг ашиглан цэгийн траектор, мөн анхны байрлалыг
тодорхойл. a) б)
3. Дөрвөн материал цэгийн хөдөлгөөний тэгшитгэл:
гэж харгалзан өгөгдсөн бол: a) Цэг тус бүрийн
хамаарлын тэгшитгэлийг бич. b) Цэгүүдийн
c) Цэг тус бүрийн хөдөлгөөний
хэлбэрийг тодорхойл.

6. Д.Оюунбилэг Физик-I
4. Радиус-векторын анхны ба эцсийн утгууд тус тус ба
бол олох нь: a) векторын өөрчлөлт; б) өөрчлөлтийг модуль в)
модулийн өөрчлөлт
5. Материал цэгийн радиус-вектор хугацаанаас хамааран өөрчлөгдөх хууль:
. Хугацааны агшин цэгийн хурд, хурдатгал, хурдны модуль
болон материал цэгийн хөдөлгөөний 10дахь секундэд туулсан S замын
ойролцоолсон утгыг ол.
6. Материал цэг хурдтай хөдөлж байна. бол олох нь: a)
хугацааны t=1с агшин цэгийн хурдны модуль; б ) цэгийн хурдатгал ба хурдатгалын
модуль; в) хугацааны 2с-ээс 3с хүртэл цэгийн туулсан S зам; г) цэгийн хөдөлгөөн
ямар шинжтэй болохыг.
7. R радиустай хөдөлж байгаа цэгийн тангенциал хурдатгал хамаарлаар
хувьсана. Цэгийн анхны байрлалыг тооллын эх болгон сонгож, анхны хурд нь
бол цэгийн хурд, хугацаа хоѐрын хамаарал, мөн траектороор хөдлөх хуулийг
тодорхойл.

7. Д.Оюунбилэг Физик-I
8. Материал цэг xoy хавтгайд ox тэнхлэгтэй параллель чиглэлтэй 2м/с2 тогтмол
хурдатгалтай хөдөлнө. Хэрэв цэгийн анхны хурд oy тэнхлэгтэй 300 өнцөг
үүсгэж байсан бол t=1с-д траекторийн муруйлтын радиус ол.
9. h=320м өндрөөс шидэгдсэн ачаа хуулиар унажээ. Ачааны
траектор, унах агшинд харгалзах хурд, хурдатгал, муруйлтын радиусыг ол.
10. Материал цэгийн хөдөлгөөн хуулиар өгөгдсөн бол
t=2с-д муруйлтын радиусыг ол.