1. Интегралын хэрэглээ, өргөтгөсөн интегралЛекц-5

2. Дэд сэдвүүдТодорхой интегралын геометр утгаТодорхой интегралыг ашиглан муруй шугаман трапецийн талбай олохЭргэлтийн биеийн эзэлхүүн олохЭргэлтийн биеийн гадаргуун талбай олохМуруй нумын уртыг олохӨргөтгөсөн интеграл

3. y=f(x) функц [a,b] хэрчим дээр тасралтгүй, f(x)>0функц байг. Дээрээсээ y=f(x) функцийн график доороосоо ОХ тэнхлэг баруун ба зүүн талаасаа x=а ба x=b шулуунуудаар хүрээлэгдсэн дүрсийг муруй шугаман трапец гэнэ. Тэгш өнцөгт координатын системд дүрсийн талбай олох

5. Тэгш өнцөгт координатын системд дүрсийн талбай олох Муруй шугаман трапец f(x)<0 a<x<b бол түүний талбайг

6. Муруй шугаман трапец бол түүний талбайг

7. жишээ дараах дүрсээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол

8. Туйлын координатын систем дэх дүрсийн талбайХавтгай дээр туйлын координат систем нь туйл гэж нэрлэгдэх О цэг авч, туйлын тэнхлэг гэж нэрлэгдэх цацраг авна. Хавтгай дээрх цэг бүхэн М коодинатаар тодорхойлогдоно. Үүнд

9. дүрсийн талбайг олохын тулд дэд хэсгүүдэд хуваавал

10. жишээ

11. хоёр функцээр хашигдсан дүрсийн талбай олох

12. Эргэлтийн биеийн гадаргуун талбай олох[a,b] хэрчимд тасралтгүй дифференциалчлагдах f(x) функц өшөдсөн бол түүнийг Ох тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүсэх гадаргуун талбайг интеграл ашиглан дараах томъёогоор олно.

13. Хэрэв бие ОУ тэнхлэгийг тойрон эргэсэх бол Хэрэв y=f(x) функц параметрт хэлбэрээр өгөгдсөн болХэрэв туйлын координатын системд өгөгдсөн бол

14. Биеийн эзэлхүүн олохТ биеийг ОХ тэнхлэгт перпендикуляраар огтлоход үүсэх огтлолын талбайг S=S(x) гэе. бол түүний эзэлхүүн нь

15. Эргэлтийн биеийн эзэлхүүн[a,b] хэрчимд тасралтгүй y=f(x) функц өгөгджээ. Энэ биеийг ОХ тэнхлэгт перпендикуляраар огтолбол f(x) радиустай дугуй үүснэ. Дугуйн талбай нь Үүнийг ашиглан эзэлхүүнийг олбол

16. жишээ муруй ОХ тэнхлэгийг тойрон эргэсэн бол үүсэх биеийн эзэлхүүнийг ол.

17. Гөлгөр муруй, Нумын урт [a,b] хэрчимд тасралтгүйӨгөдсөн бол эдгээр тасралтгүй муруйг тодорхойлно. Эдгээр функц нэгэн зэрэг тэгээс ялгаатай тасралтгүй уламжлалттай байвал түүнийг гөлгөр муруй гэнэ. Г тэмдэглэнэ. Нумын уртыг хэсгүүдэд хуваавалХуваалтын алхмын хамгийн уртыг

18. Хэрэв хуваатын алхамын урт 0-рүү Г-ийн хязгаар төгсгөлөг оршин байвал түүнийг гөлгөр муруйн нумын урт гэнэ.

19. Өргөтгөсөн интегралТодорхойлолт: (1) интегралын f(x) функцийн 1-р төрлийн өргөтгөсөн интеграл гэнэ. (2)хэрэв (1) интеграл нийлэх байвал (2) интегралыг нийлэх өргөтгөсөн интеграл гэнэ. Хэрэв (1) интеграл нь төгсгөлгүй эсвэл үл орших бол (2) өргөтгөсөн интегралыг сарних интеграл гэнэ.

20. Өргөтгөсөн интегралыг бодох арга3 ,4 интегралууд нь төгсгөлөг байхад нийлнэ.

21. Жишээ нь:

22. Өргөтгөсөн интегралын нийлэлтийг тогтоох интеграл нийлэх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь дурын >0 авахад B>0 тоо олдоод B’>B , B”>B байх B’ ба B”н хувьд Тэнцэл биелэх явдал юм.

23. Теорем:( жиших шинж) [a,[ завсарт тодорхойлогдсон [a,b] хэрчимд интегралчлагдах сөрөг биш f(x)ба (x) функцүүд хa0, 0 f(x)(x) байвал нийлэх интеграл байвал нийлэх ба харин сарних интеграл байвал сарних байна.

24. Теорем:( жиших шинж) [a,[ завсарт тодорхойлогдсон эерэг f(x)ба (x) функцүүд нь ямарч төгсгөлөг [a,b[ дээр интегралчлагддаг байг. Тэгвэл төгсгөлөг хязгаар Оршин байвал Интеграл нэгэн зэрэг нийлэх буюу эсвэл сарних байна.

25. Жишээ нь:

26. Өргөтгөсөн интегралын нөхцөлт ба абсолют нийлэлтТодорхойлолт: нийлж байвал өргөтгөсөн интеграл ийг абсолют нийлэлт гэнэ. Харин сарниж байвал нийлж байвал түүнийг нөхцөлт нийлэлт гэнэ.

27. 2-р төрлийн өргөтгөсөн интегралТодорхойлолт: хэрэв хязгаар төгсгөлөг оршин байвал түүнийг зааглагдаагүй функц f(x)ийн өргтгөсөн интеграл буюу 2-р төрлийн өргтгөсөн интеграл гэнэ.