Функцэн цуваа
•
2 likes•3,860 views
функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлт, нийлэлтийн муж, жилд нийлэлт, нийлэлтийн шинжүүрүүд
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Viewers also liked
Viewers also liked (20)
More from Battur
More from Battur (15)
Функцэн цуваа
- 2. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Агуулга 1 функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд 2 Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа
- 3. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал ба функцэн цуваа ∞ n=1 qn = q 1 − q , |q| < 1, эсвэл, Риманы зэта-функц ζ(s) = ∞ n=1 1 ns , s > 1, авч үзье.
- 4. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал ба функцэн цуваа ∞ n=1 qn = q 1 − q , |q| < 1, эсвэл, Риманы зэта-функц ζ(s) = ∞ n=1 1 ns , s > 1, авч үзье. Параметрүүдийг тоон утгатай функцийн аргумент мэтээр авч үзэхэд уг цуваануудын нийлбэр нь бас ямар нэгэн функцууд байх болно. Ийм замаар функцэн дараалал, функцэн цувааны тухай ухагдахуунд хүрдэг.
- 5. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Тодорхойлт Гишүүд нь тоон шулууны (a, b) завсар дээр тодорхойлогдсон функцүүд байгаа {fn(x)}∞ n=1 = {f1(x), f2(x), ..., fn(x), ...} (1) дараалалыг функцэн дараалал гэнэ.
- 6. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Тодорхойлт Гишүүд нь тоон шулууны (a, b) завсар дээр тодорхойлогдсон функцүүд байгаа {fn(x)}∞ n=1 = {f1(x), f2(x), ..., fn(x), ...} (1) дараалалыг функцэн дараалал гэнэ. (a, b) x0 цэгийг бэхлэхэд үүссэн тоон дараалал {fn(x0)}∞ n=1 нийлж байвал функцэн дараалал {fn(x)}∞ n=1 нь x = x0 цэг дээр нийлж байна гэж хэлэх ба x0 цэг уг дарааллын нийлэлтийн цэг гэнэ.
- 7. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Тодорхойлт Гишүүд нь тоон шулууны (a, b) завсар дээр тодорхойлогдсон функцүүд байгаа {fn(x)}∞ n=1 = {f1(x), f2(x), ..., fn(x), ...} (1) дараалалыг функцэн дараалал гэнэ. (a, b) x0 цэгийг бэхлэхэд үүссэн тоон дараалал {fn(x0)}∞ n=1 нийлж байвал функцэн дараалал {fn(x)}∞ n=1 нь x = x0 цэг дээр нийлж байна гэж хэлэх ба x0 цэг уг дарааллын нийлэлтийн цэг гэнэ. Өгөгдсөн {fn(x)} функцэн дарааллын нийлэлтийн бүх цэгүүдээс тогтсон олонлог нь уг дарааллын нийлэлтийн мужийг үүсгэнэ.
- 8. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Тодорхойлт {fn(x)} дарааллын нийлэлтийн мужийн цэг бүр дээр уг дарааллын хязгаар-функц f (x) = lim n→∞ fn(x) тодорхойлогдоно. Энэ тохиолдолд {fn(x)} нь (нийлэлтийн муж дээрээ) нийлдэг дараалал гэнэ.
- 9. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Тодорхойлт (a, b) завсар дээр тодорхойлогдсон функцүүд бүхий гишүүдтэй цуваа ∞ n=1 un(x) = u1(x) + u2(x) + · · · + un(x) + · · · (2) нь функцэн цуваа гэж нэрлэгдэнэ.
- 10. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Тодорхойлт (a, b) завсар дээр тодорхойлогдсон функцүүд бүхий гишүүдтэй цуваа ∞ n=1 un(x) = u1(x) + u2(x) + · · · + un(x) + · · · (2) нь функцэн цуваа гэж нэрлэгдэнэ. Өгөгдсөн функцэн цувааны хэсгийн нийлбэрүүд {fn(x)}∞ n=1, fn(x) = u1(x)+u2(x)+· · ·+un(x), (n = 1, 2, ...), далаалал үүсгэе.
- 11. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Тодорхойлт {fn(x)}∞ n=1, fn(x) = u1(x)+u2(x)+· · ·+un(x), (n = 1, 2, ...), нь (a, b) завсарт тодорхойлогдсон гишүүдтэй функцэн дараалал бөгөөд хэрэв (a, b) x0 цэг дээр {fn(x0)} дараалал нийлж байвал функцэн цуваа un(x) нь x = x0 цэг дээр нийлж байна
- 12. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Тодорхойлт {fn(x)}∞ n=1, fn(x) = u1(x)+u2(x)+· · ·+un(x), (n = 1, 2, ...), нь (a, b) завсарт тодорхойлогдсон гишүүдтэй функцэн дараалал бөгөөд хэрэв (a, b) x0 цэг дээр {fn(x0)} дараалал нийлж байвал функцэн цуваа un(x) нь x = x0 цэг дээр нийлж байна гэх ба x0 цэг уг цувааны нийлэлтийн цэг болно.
- 13. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Тодорхойлт {fn(x)}∞ n=1, fn(x) = u1(x)+u2(x)+· · ·+un(x), (n = 1, 2, ...), нь (a, b) завсарт тодорхойлогдсон гишүүдтэй функцэн дараалал бөгөөд хэрэв (a, b) x0 цэг дээр {fn(x0)} дараалал нийлж байвал функцэн цуваа un(x) нь x = x0 цэг дээр нийлж байна гэх ба x0 цэг уг цувааны нийлэлтийн цэг болно. Функцэн цувааны нийлэлтийн бүх цэгүүдээс бүрдсэн олонлог нь уг цувааны нийлэлтийн мужийг үүсгэнэ.
- 14. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Тодорхойлт {fn(x)}∞ n=1, fn(x) = u1(x)+u2(x)+· · ·+un(x), (n = 1, 2, ...), нь (a, b) завсарт тодорхойлогдсон гишүүдтэй функцэн дараалал бөгөөд хэрэв (a, b) x0 цэг дээр {fn(x0)} дараалал нийлж байвал функцэн цуваа un(x) нь x = x0 цэг дээр нийлж байна гэх ба x0 цэг уг цувааны нийлэлтийн цэг болно. Функцэн цувааны нийлэлтийн бүх цэгүүдээс бүрдсэн олонлог нь уг цувааны нийлэлтийн мужийг үүсгэнэ. Яг төстэй байдлаар, функцэн цувааны салалтын цэг, салалтын муж хийгээд абсолют, мөн абсолют биш нийлэлтийн мужийн тухай ухагдахуун тодорхойлогдоно.
- 15. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Тодорхойлт Функцэн цувааны нийлэлтийн муж дээр уг цувааны нийлбэр-функц f (x) = lim n→∞ fn(x) = lim n→∞ n k=1 uk(x) = ∞ k=1 uk(x) тодорхойлогдоно. Тэхэд f (x0) = ∞ k=1 uk(x0) байна.
- 16. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Тодорхойлт Функцэн цувааны нийлэлтийн муж дээр уг цувааны нийлбэр-функц f (x) = lim n→∞ fn(x) = lim n→∞ n k=1 uk(x) = ∞ k=1 uk(x) тодорхойлогдоно. Тэхэд f (x0) = ∞ k=1 uk(x0) байна. функцэн дараалал, эсвэл функцэн цувааны нийлэлтийн муж нь уг дарааллын, эсвэл цувааны гишүүдийн тодорхойлолтын муж (a, b) завсар байна гэж үзэж болно.
- 17. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жишээ ∞ n=1 un(x), un(x) = x [(n−1)x+1][nx+1], x ∈ (−∞; +∞); цувааны нийлэлтийг шинж.
- 18. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жишээ ∞ n=1 un(x), un(x) = x [(n−1)x+1][nx+1], x ∈ (−∞; +∞); цувааны нийлэлтийг шинж. - Цувааны хэсгийн нийлбэрийг математик индукцийн аргаар олъё.
- 19. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жишээ ∞ n=1 un(x), un(x) = x [(n−1)x+1][nx+1], x ∈ (−∞; +∞); цувааны нийлэлтийг шинж. - Цувааны хэсгийн нийлбэрийг математик индукцийн аргаар олъё.n = 1; 2 үед fn(x) = nx (nx + 1) байна.
- 20. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жишээ ∞ n=1 un(x), un(x) = x [(n−1)x+1][nx+1], x ∈ (−∞; +∞); цувааны нийлэлтийг шинж. - Цувааны хэсгийн нийлбэрийг математик индукцийн аргаар олъё.n = 1; 2 үед fn(x) = nx (nx + 1) байна. n-дүгээр гишүүний хувьд үнэн гэж үзэхэд (n + 1)-дүгээр гишүүн fn+1(x) = fn(x) + x [nx + 1][(n + 1)x + 1] = = nx [nx + 1] + x [nx + 1][(n + 1)x + 1] = (n + 1)x (n + 1)x + 1 .
- 21. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жишээ ∞ n=1 un(x), un(x) = x [(n−1)x+1][nx+1], x ∈ (−∞; +∞); цувааны нийлэлтийг шинж.
- 22. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жишээ ∞ n=1 un(x), un(x) = x [(n−1)x+1][nx+1], x ∈ (−∞; +∞); цувааны нийлэлтийг шинж. - Ийнхүү, fn(x) = nx · (nx + 1)−1 байна.
- 23. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жишээ ∞ n=1 un(x), un(x) = x [(n−1)x+1][nx+1], x ∈ (−∞; +∞); цувааны нийлэлтийг шинж. - Ийнхүү, fn(x) = nx · (nx + 1)−1 байна. Одоо n → ∞ үед хязгаарт шилжвэл
- 24. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жишээ ∞ n=1 un(x), un(x) = x [(n−1)x+1][nx+1], x ∈ (−∞; +∞); цувааны нийлэлтийг шинж. - Ийнхүү, fn(x) = nx · (nx + 1)−1 байна. Одоо n → ∞ үед хязгаарт шилжвэл f (0) = lim n→∞ fn(0) = 0,
- 25. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жишээ ∞ n=1 un(x), un(x) = x [(n−1)x+1][nx+1], x ∈ (−∞; +∞); цувааны нийлэлтийг шинж. - Ийнхүү, fn(x) = nx · (nx + 1)−1 байна. Одоо n → ∞ үед хязгаарт шилжвэл f (0) = lim n→∞ fn(0) = 0, f (x = 0) = lim n→∞ fn(x = 0) = 1.
- 26. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жишээ ∞ n=1 un(x), un(x) = x [(n−1)x+1][nx+1], x ∈ (−∞; +∞); цувааны нийлэлтийг шинж. - Ийнхүү, fn(x) = nx · (nx + 1)−1 байна. Одоо n → ∞ үед хязгаарт шилжвэл f (0) = lim n→∞ fn(0) = 0, f (x = 0) = lim n→∞ fn(x = 0) = 1. Иймд ∞ n=1 un(x) = 0, x = 0 1, x = 0;
- 27. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Жигд нийлэлт Хэрэв (a; b) завсар дээр f (x)-рүү нийлдэг функцэн дараалал {fn(x)}-ийн хувьд lim n→∞ rn = lim n→∞ { sup x∈(a;b) |fn(x) − f (x)|} = 0 (3) тэнцэтгэл биелэгдэж байвал {fn(x)} дараалал нь (a; b) завсар дээр f (x) функц рүү жигд нийлж байна
- 28. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Жигд нийлэлт Хэрэв (a; b) завсар дээр f (x)-рүү нийлдэг функцэн дараалал {fn(x)}-ийн хувьд lim n→∞ rn = lim n→∞ { sup x∈(a;b) |fn(x) − f (x)|} = 0 (3) тэнцэтгэл биелэгдэж байвал {fn(x)} дараалал нь (a; b) завсар дээр f (x) функц рүү жигд нийлж байна гэх бөгөөд fn(x) (a,b) −→−→ n→∞ f (x) (4) гэж тэмдэглэнэ.
- 29. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Жигд нийлэлт Яг төстэй байдлаар, (a; b) завсарт f (x) функц рүү нийлдэг ∞ n=1 un(x) функцэн цувааны хэсгийн нийлбэрүүдийн дараалал fn(x) (a,b) −→−→ n→∞ f (x) байвал уг функцэн цуваа нь (a; b) завсар дээр f (x) функц рүү жигд нийлдэг гэж нэрлэгдэнэ.
- 30. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Жигд нийлэлт Жишээ fn(x) = sin nx n , n = 1, 2, ...; x ∈ (−∞; +∞); авч үзье.
- 31. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Жигд нийлэлт Жишээ fn(x) = sin nx n , n = 1, 2, ...; x ∈ (−∞; +∞); авч үзье. Энд f (x) = lim n→∞ fn(x) = lim n→∞ sin nx n = 0, ∀x ∈ (−∞; +∞).
- 32. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Жигд нийлэлт Жишээ fn(x) = sin nx n , n = 1, 2, ...; x ∈ (−∞; +∞); авч үзье. Энд f (x) = lim n→∞ fn(x) = lim n→∞ sin nx n = 0, ∀x ∈ (−∞; +∞). |fn(x) − f (x)| = | sin nx n | ≤ 1 n
- 33. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Жигд нийлэлт Жишээ fn(x) = sin nx n , n = 1, 2, ...; x ∈ (−∞; +∞); авч үзье. Энд f (x) = lim n→∞ fn(x) = lim n→∞ sin nx n = 0, ∀x ∈ (−∞; +∞). |fn(x) − f (x)| = | sin nx n | ≤ 1 n бөгөөд эндээс, lim n→∞ rn = lim n→∞ {sup x |fn(x) − f (x)|} ≤ lim n→∞ 1 n = 0
- 34. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Жигд нийлэлт Жишээ fn(x) = sin nx n , n = 1, 2, ...; x ∈ (−∞; +∞); авч үзье. Энд f (x) = lim n→∞ fn(x) = lim n→∞ sin nx n = 0, ∀x ∈ (−∞; +∞). |fn(x) − f (x)| = | sin nx n | ≤ 1 n бөгөөд эндээс, lim n→∞ rn = lim n→∞ {sup x |fn(x) − f (x)|} ≤ lim n→∞ 1 n = 0 байгаа учраас fn(x) (−∞,+∞) −→−→ n→∞ 0.
- 35. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Жигд нийлэлт Жишээ fn(x) = sin nx n , n = 1, 2, ...; x ∈ (−∞; +∞); авч үзье. Энд f (x) = lim n→∞ fn(x) = lim n→∞ sin nx n = 0, ∀x ∈ (−∞; +∞). |fn(x) − f (x)| = | sin nx n | ≤ 1 n бөгөөд эндээс, lim n→∞ rn = lim n→∞ {sup x |fn(x) − f (x)|} ≤ lim n→∞ 1 n = 0 байгаа учраас fn(x) (−∞,+∞) −→−→ n→∞ 0.
- 36. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Жигд нийлэлт Жигд нийлдэг функцэн дараалал ба цувааны зарим чанар:
- 37. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Жигд нийлэлт Жигд нийлдэг функцэн дараалал ба цувааны зарим чанар: 1 Хэрэв fn(x) (a,b) −→−→f (x), g(x) (a,b) −→−→g(x) бол α, β = const утгуудад
- 38. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Жигд нийлэлт Жигд нийлдэг функцэн дараалал ба цувааны зарим чанар: 1 Хэрэв fn(x) (a,b) −→−→f (x), g(x) (a,b) −→−→g(x) бол α, β = const утгуудад 1 α · fn(x) + β · gn(x)(a,b) −→−→α · f (x) + β · g(x);
- 39. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Жигд нийлэлт Жигд нийлдэг функцэн дараалал ба цувааны зарим чанар: 1 Хэрэв fn(x) (a,b) −→−→f (x), g(x) (a,b) −→−→g(x) бол α, β = const утгуудад 1 α · fn(x) + β · gn(x)(a,b) −→−→α · f (x) + β · g(x); 2 fn(x) · gn(x)(a,b) −→−→f (x) · g(x);
- 40. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Жигд нийлэлт Жигд нийлдэг функцэн дараалал ба цувааны зарим чанар: 1 Хэрэв fn(x) (a,b) −→−→f (x), g(x) (a,b) −→−→g(x) бол α, β = const утгуудад 1 α · fn(x) + β · gn(x)(a,b) −→−→α · f (x) + β · g(x); 2 fn(x) · gn(x)(a,b) −→−→f (x) · g(x); 3 |gn(x)| > α > 0 бол fn(x) gn(x) (a,b) −→−→ f (x) g(x) ;
- 41. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Жигд нийлэлт Жигд нийлдэг функцэн дараалал ба цувааны зарим чанар: 1 Хэрэв fn(x) (a,b) −→−→f (x), g(x) (a,b) −→−→g(x) бол α, β = const утгуудад 1 α · fn(x) + β · gn(x)(a,b) −→−→α · f (x) + β · g(x); 2 fn(x) · gn(x)(a,b) −→−→f (x) · g(x); 3 |gn(x)| > α > 0 бол fn(x) gn(x) (a,b) −→−→ f (x) g(x) ; 2 Хэрэв fn(x) (a,b) −→−→f (x) ба g(x) нь (a; b) завсар дээр зааглагдсан функц бол g(x) · fn(x) (a,b) −→−→g(x)f (x);
- 42. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Жигд нийлэлт Жигд нийлдэг функцэн дараалал ба цувааны зарим чанар:
- 43. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Жигд нийлэлт Жигд нийлдэг функцэн дараалал ба цувааны зарим чанар: 3 Хэрэв (a; b) завсар дээр un(x) ба vn(x) цуваанууд жигд нийлж байвал α, β = const утгуудад [α · un(x) + β · vn(x)] цуваа (a; b) завсар дээр жигд нийлнэ.
- 44. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Жигд нийлэлт Жигд нийлдэг функцэн дараалал ба цувааны зарим чанар: 3 Хэрэв (a; b) завсар дээр un(x) ба vn(x) цуваанууд жигд нийлж байвал α, β = const утгуудад [α · un(x) + β · vn(x)] цуваа (a; b) завсар дээр жигд нийлнэ. 4 Хэрэв (a; b) завсар дээр un(x) цуваа жигд нийлдэг ба v(x) нь (a; b) дээр зааглагдсан (|v(x)| ≤ M = const) функц бол v(x) · un(x) цуваа (a; b) дээр жигд нийлнэ.
- 45. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Хэрэв an = A ба α = const бол ∞ n=1 (α · an) = α · A = α · an; Хэрэв an = A ба bn = B бол (an + bn) = A + B = an + bn; Нийлдэг цувааны гишүүдийн байрыг сэлгэхгүй дурын аргаар бүлэглэхэд цувааны нийлэлтийн чанар алдагдахгүй, өөрөөр хэлбэл an = A байхад (a1 + a2 + ... + an1 ), (an1+1 + ... + an2 ), (an2+1 + ... + an3 ), (ank−1+1 + ... + ank ), ...
- 46. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Нийлэлтийн үеийн зайлшгүй нөхцөл Хэрэв ∞ 1 an нийлж байвал n → +∞ үед an → 0 байна өөрөөр хэлбэл нийлдэг цувааны ерөнхий гишүүн n → ∞ үед тэг рүү тэмүүлнэ. Учир нь өгөгдсөн ёсоор sn → A бөгөөд an = Sn − Sn−1 → A − A = 0 байна.
- 47. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Нийлэлтийн үеийн зайлшгүй нөхцөл Хэрэв ∞ 1 an нийлж байвал n → +∞ үед an → 0 байна өөрөөр хэлбэл нийлдэг цувааны ерөнхий гишүүн n → ∞ үед тэг рүү тэмүүлнэ. Учир нь өгөгдсөн ёсоор sn → A бөгөөд an = Sn − Sn−1 → A − A = 0 байна. Теорем Эерэг цуваа an нийлэх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл бол уг цувааны хэсгийн нийлбэрүүдийн дараалал {Sn}∞ n=1 дээрээсээ зааглагдсан байхад оршино.
- 48. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр an, bn-эерэг цуваанууд бөгөөд an ≤ bn тэнцэтгэл биш биелэгддэг гэе. Тэгэхэд
- 49. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр an, bn-эерэг цуваанууд бөгөөд an ≤ bn тэнцэтгэл биш биелэгддэг гэе. Тэгэхэд bn цувааны нийлэлтээс an цувааны нийлэлт мөрдөн гарна;
- 50. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр an, bn-эерэг цуваанууд бөгөөд an ≤ bn тэнцэтгэл биш биелэгддэг гэе. Тэгэхэд bn цувааны нийлэлтээс an цувааны нийлэлт мөрдөн гарна; an цувааны салалтаас bn цувааны салалт мөрдөн гарна.
- 51. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр Жишээ an = 1 n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж.
- 52. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр Жишээ an = 1 n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n2 ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл
- 53. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр Жишээ an = 1 n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n2 ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл an bn = 1 n(n+1) 1 n2 = n2 n(n + 1) → n→∞ 1 учраас
- 54. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр Жишээ an = 1 n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n2 ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл an bn = 1 n(n+1) 1 n2 = n2 n(n + 1) → n→∞ 1 учраас an ∼ bn ба өөрөөр хэлбэл an ≤ bn.
- 55. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр Жишээ an = 1 n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n2 ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл an bn = 1 n(n+1) 1 n2 = n2 n(n + 1) → n→∞ 1 учраас an ∼ bn ба өөрөөр хэлбэл an ≤ bn. Мөн bn нийлэх учраас an бас нийлнэ.
- 56. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр Жишээ an = 1 n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n2 ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл an bn = 1 n(n+1) 1 n2 = n2 n(n + 1) → n→∞ 1 учраас an ∼ bn ба өөрөөр хэлбэл an ≤ bn. Мөн bn нийлэх учраас an бас нийлнэ. Жишээ an = 1√ n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж.
- 57. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр Жишээ an = 1 n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n2 ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл an bn = 1 n(n+1) 1 n2 = n2 n(n + 1) → n→∞ 1 учраас an ∼ bn ба өөрөөр хэлбэл an ≤ bn. Мөн bn нийлэх учраас an бас нийлнэ. Жишээ an = 1√ n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл
- 58. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр Жишээ an = 1 n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n2 ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл an bn = 1 n(n+1) 1 n2 = n2 n(n + 1) → n→∞ 1 учраас an ∼ bn ба өөрөөр хэлбэл an ≤ bn. Мөн bn нийлэх учраас an бас нийлнэ. Жишээ an = 1√ n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл an ≥ bn.
- 59. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр Жишээ an = 1 n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n2 ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл an bn = 1 n(n+1) 1 n2 = n2 n(n + 1) → n→∞ 1 учраас an ∼ bn ба өөрөөр хэлбэл an ≤ bn. Мөн bn нийлэх учраас an бас нийлнэ. Жишээ an = 1√ n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл an ≥ bn. Мөн bn сарних учраас an бас сарнина.
- 60. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр Мөрдлөгөө (Харьцаануудыг жиших арга) Эерэг (an > 0, bn > 0) гишүүд бүхий an ба bn цуваануудын хувьд ∀k ak+1 ak ≤ bk+1 bk , (∗) тэнцэтгэл биш биелэгддэг байвал bn цувааны нийлэлтээс an цувааны нийлэлт мөрдөн гарах ба мөн an цувааны салалтаас bn цувааны салалт мөрдөн гарна.
- 61. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Даламберийн шинжүүр Хэрэв эерэг (an > 0) гишүүд бүхий an цувааны хувьд lim n→∞ an+1 an = d, (3) хязгаар оршин байвал
- 62. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Даламберийн шинжүүр Хэрэв эерэг (an > 0) гишүүд бүхий an цувааны хувьд lim n→∞ an+1 an = d, (3) хязгаар оршин байвал d < 1 үед an цуваа нийлнэ;
- 63. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Даламберийн шинжүүр Хэрэв эерэг (an > 0) гишүүд бүхий an цувааны хувьд lim n→∞ an+1 an = d, (3) хязгаар оршин байвал d < 1 үед an цуваа нийлнэ; d > 1 үед an цуваа сална;
- 64. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Даламберийн шинжүүр Хэрэв эерэг (an > 0) гишүүд бүхий an цувааны хувьд lim n→∞ an+1 an = d, (3) хязгаар оршин байвал d < 1 үед an цуваа нийлнэ; d > 1 үед an цуваа сална; d = 1 үед an цувааны нийлэлт-салалт шийдэгдэхгүй, өөрөөр хэлбэл d = 1 үед нийлдэг цуваа ч оршино (жишээлбэл, an = 1 n2 ), мөн салдаг цуваа ч оршино (жишээлбэл an = 1 n )
- 65. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Кошийн шинжүүр Хэрэв эерэг an, (an ≥ 0) цувааны хувьд lim n→∞ n √ an = q, (4) хязгаар оршин байвал
- 66. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Кошийн шинжүүр Хэрэв эерэг an, (an ≥ 0) цувааны хувьд lim n→∞ n √ an = q, (4) хязгаар оршин байвал q < 1 үед an цуваа нийлнэ;
- 67. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Кошийн шинжүүр Хэрэв эерэг an, (an ≥ 0) цувааны хувьд lim n→∞ n √ an = q, (4) хязгаар оршин байвал q < 1 үед an цуваа нийлнэ; q > 1 үед an цуваа сална;
- 68. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Кошийн шинжүүр Хэрэв эерэг an, (an ≥ 0) цувааны хувьд lim n→∞ n √ an = q, (4) хязгаар оршин байвал q < 1 үед an цуваа нийлнэ; q > 1 үед an цуваа сална; q = 1 үед асуудал шийдэгдэхгүй.
- 69. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Теорем Эерэг цуваа an нийлэх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл бол уг цувааны хэсгийн нийлбэрүүдийн дараалал {Sn}∞ n=1 дээрээсээ зааглагдсан байхад оршино.
- 70. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Теорем Эерэг цуваа an нийлэх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл бол уг цувааны хэсгийн нийлбэрүүдийн дараалал {Sn}∞ n=1 дээрээсээ зааглагдсан байхад оршино. Тодорхойлт Хэрэв an ба |an| цуваанууд нэгэн зэрэг нийлдэг байвал an цуваа нь абсолют нийлдэг цуваа гэж нэрлэгдэнэ. Харин an цуваа нийлдэг, |an| цуваа салдаг байвал an нь нөхцөлт (абсолют биш) нийлдэг цуваа гэж нэрлэгдэнэ.
- 71. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Абсолют нийлэлтийн шинжүүрүүд Эерэг цуваа bn нийлдэг бөгөөд an цувааны гишүүдийн хувьд | an+1 an | ≤ bn+1 bn , (n = 1, 2, ...), тэнцэтгэл бишүүд биелэгдэж байвал an абсолют нийлнэ.
- 72. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Абсолют нийлэлтийн шинжүүрүүд Эерэг цуваа bn нийлдэг бөгөөд an цувааны гишүүдийн хувьд | an+1 an | ≤ bn+1 bn , (n = 1, 2, ...), тэнцэтгэл бишүүд биелэгдэж байвал an абсолют нийлнэ. Эерэг цуваа bn салдаг бөгөөд an цувааы гишүүдийн хувьд | an+1 an | ≥ bn+1 bn тэнцэтгэл бишүүд биелэгдэж байвал an цуваа сална.
- 73. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Тэмдэг сөөлжих цуваа Тодорхойлт Цувааны зэрэгцсэн хоёр гишүүн бүр нь эсрэг тэмдэгтэй тоонууд байвал уг цувааг тэмдэг сөөлжих цуваа гэнэ.
- 74. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Тэмдэг сөөлжих цуваа Тодорхойлт Цувааны зэрэгцсэн хоёр гишүүн бүр нь эсрэг тэмдэгтэй тоонууд байвал уг цувааг тэмдэг сөөлжих цуваа гэнэ. Лейбницийн шинжүүр Хэрэв тэмдэг сөөлжих цувааны гишүүд нь абсолют утгаараа монотон буурдаг (a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ an ≥ · · · ) ба lim n→0 an = 0 нөхцөл биелэгдэж байвал нийлнэ.
- 75. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Тэмдэг сөөлжих цуваа Лейбницийн шинжүүр Жишээ 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n+1 n + · · · (Лейбницийн цуваа) нийлнэ
- 76. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Тэмдэг сөөлжих цуваа Лейбницийн шинжүүр Жишээ 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n+1 n + · · · (Лейбницийн цуваа) нийлнэ 1 ≥ 1 2 ≥ 1 3 ≥ · · · ≥ 1 n ≥ · · · ,
- 77. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Тэмдэг сөөлжих цуваа Лейбницийн шинжүүр Жишээ 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n+1 n + · · · (Лейбницийн цуваа) нийлнэ 1 ≥ 1 2 ≥ 1 3 ≥ · · · ≥ 1 n ≥ · · · , 1 n → 0;
- 78. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Тэмдэг сөөлжих цуваа Лейбницийн шинжүүр Жишээ 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n+1 n + · · · (Лейбницийн цуваа) нийлнэ 1 ≥ 1 2 ≥ 1 3 ≥ · · · ≥ 1 n ≥ · · · , 1 n → 0; Гэвч уг цувааны гишүүдийн абсолют утгуудаас зохиогдсон цуваа 1 n сална.
- 79. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга функцэн цуваа Функцэн дараалал, функцэн цуваа, нийлэлтийн муж Жигд нийлэлт Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Тэмдэг сөөлжих цуваа Лейбницийн шинжүүр Жишээ 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n+1 n + · · · (Лейбницийн цуваа) нийлнэ 1 ≥ 1 2 ≥ 1 3 ≥ · · · ≥ 1 n ≥ · · · , 1 n → 0; Гэвч уг цувааны гишүүдийн абсолют утгуудаас зохиогдсон цуваа 1 n сална. Ийнхүү, Лейбницийн цуваа абсолют биш нийлнэ.