file ini berisi tentang soal dan pembahasan materi matematika kombinatorik.

1. MATEMATIKA KOMBINATORIK
1. Sebuah pesta dihadiri n pasang suami istri, setiap orang akan berjabat tangan dengan
semua orang yang hadir kecuali dengan pasangannya sendiri. Jika terjadi 1012 kali
jabat tangan, maka:
a) Tentukan banyaknya pasangan suami istri yang hadir?
b) Jika 10 orang suami pulang lebih awal, dan setelah pesta selesai mereka yang
terakhir pulang saling berjabat tangan lagi kecuali dengan pasangannya, berapa
kali terjadi jabat tangan?
Penyelesaian:
a) 𝐶2
2𝑛
− 𝑛 = 1012
2𝑛(2𝑛 − 1)
1 × 2
− 𝑛 = 1012
(2𝑛2
− 𝑛) = 1022
2𝑛2
− 2𝑛 − 1012 = 0
𝑛2
− 𝑛 − 506 = 0
( 𝑛 − 23)( 𝑛 + 22) = 0
𝑛 = 23 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑛 = −22
Jadi, banyaknya pasangan suami istri ada 23 pasang.
b) Karena ada 23 pasangan suami istri dan 10 suami pulang berarti tinggal 36 orang
dan terdapat 13 pasangan suami istri.
Banyak jabat tangan:
= 𝐶2
36
− 13
= 630 − 13
= 617 kali.
2. Seorang siswa diminta mengerjakan 6 dari 10 soal tersedia, berapa banyak cara ia
memilih soal jika:
a) Semua soal bebas dipilih.
b) Soal nomor 1 dan nomor 2 wajib dikerjakan.
c) Soal nomor 1 wajib dikerjakan, soal no 9 dan 10 hanya boleh dipilih 1 soal.
Penyelesaian:

2. a) Semua soal bebas dipilih sama artinya memilih 6 soal dari 10 soal berbeda
Banyak cara = 𝐶6
10
= 210 𝑐𝑎𝑟𝑎.
b) Banyak cara = 𝐶4
8
= 70 𝑐𝑎𝑟𝑎.
c) Berarti kita masih memilih 5 soal, 4 soal kita pilih dari nomor 2 sampai 8 (ada 7
pilihan) dan 1 soal kita pilih dari nomor 9 atau 10 (jadi ada 2 pilihan)
Banyak cara = 𝐶4
7
× 𝐶1
2
= 35 × 2
= 70 𝑐𝑎𝑟𝑎.
3. Terdapat 6 pasang suami istri yang berada dalam sebuah ruangan. Berapa banyak
cara memilih 4 orang jika:
a) Terdiri dari 2 laki-laki dan 2 perempuan.
b) Terdiri dari 2 laki-laki dan 2 perempuan dengan syarat tidak mendapat pasangan
suami istri.
c) Harus terdapat laki-laki.
Penyelesaian:
a) Banyak cara = 𝐶2
6
× 𝐶2
6
= 15 × 15
= 225 𝑐𝑎𝑟𝑎.
b) Banyak cara= 𝐶2
6
× 𝐶2
4
= 15 × 6
= 90 𝑐𝑎𝑟𝑎.
c) Harus terdapat laki-laki sama halnya dengan pilihan bebas dikurangi semuanya
perempuan.
Banyak cara = 𝐶4
12
− 𝐶4
6
= 495 × 15
= 480 𝑐𝑎𝑟𝑎.

3. 4. Terdapat 3 orang Amerika, 4 orang Belanda, dan 2 orang Chili. Mereka berbaris
berjajar. Tentukan banyaknya cara mereka berbaris jika:
a) Posisi bebas.
b) Orang Belanda berkelompok.
c) Yang sewarga negara berkelompok.
Penyelesaian:
a) Posisi bebas sama halnya dengan menyusun 9 orang berbeda.
Banyak cara = 9!
= 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 362880
b) Orang Belanda berkelompok:
Ada 6 kotak yang bisa dipermutasikan jadi ada 𝑃6
6
= 6!
Orang Belanda yang berada dalam 1 kotak juga bisa dipermutasikan, jadi ada 4!
Banyak cara = 6! × 4!
= 17280 𝑐𝑎𝑟𝑎.
c) Yang sewarga negara berkelompok:
Ada 3 kotak yang bisa dipermutasikan, jadi ada 3!.
4 orang Belanda, 3 orang Amerika, dan 2 orang Chili masing-masing bisa
dipermutasikan.
Banyak cara = 6! × 4!
= 3! × (4! × 3! × 2!)
= 6 × 24 × 6 × 2
=1728 𝑐𝑎𝑟𝑎
5. Tentukan nilai n jika:
a) 315 𝐶3
𝑛
= 𝐶2
𝑛−1
× 𝐶2
2𝑛+1
b) 3 𝐶2
3𝑛
= 5 (𝐶𝑛
2𝑛
+ 𝐶3
𝑛
)
Penyelesaian:

4. a) 315 𝐶3
𝑛
= 𝐶2
𝑛−1
× 𝐶2
2𝑛+1
315{
𝑛( 𝑛 − 1)(𝑛 − 2)
1 × 2 × 3
} =
( 𝑛 − 1)(𝑛 − 2)
1 × 2
×
(2𝑛 + 1)(2𝑛)
1 × 2
105
2
𝑛( 𝑛 − 1)( 𝑛 − 2) =
2𝑛( 𝑛 − 1)( 𝑛 − 2)(2𝑛 + 1)
4
: 𝑛( 𝑛 − 1)(𝑛 − 2)
105
2
=
2𝑛 + 1
2
105 = 2𝑛 + 1
𝑛 = 52
b) 3 𝐶2
3𝑛
= 5 (𝐶𝑛
2𝑛
+ 𝐶3
𝑛
)
3 {
3𝑛(3𝑛 − 1)
1 × 2
} = 5{
2𝑛(2𝑛 − 1)
1 × 2
+
𝑛( 𝑛 − 1)(𝑛 − 2)
1 × 2 × 3
}
×
6
𝑛
27(3𝑛 − 1) = 5{6(2𝑛 − 1) + (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)}
27(3𝑛 − 1) = 5(12𝑛 − 6 + 𝑛2
− 3𝑛 + 2)
81𝑛 − 27 = 45𝑛 + 5𝑛2
− 20
5𝑛2
− 36𝑛 + 7 = 0
(𝑛 − 7)(5𝑛 − 1) = 0
𝑛 = 7 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑛 =
1
5
Karena n bilangan cacah, maka yang memenuhi 𝑛 = 7
Sumber:
http://www.aksiomaid.com/Matematika/ContohSoal/0114020000000000/Kombinatorik