1. RELASI
PRODUK CARTESIAN
Definisi :
A x B = { (x,y) | x A dan y B}
Bidang koordinat menunjukkan perkalian himpunan (Produk Cartesian) R X R
Pemberian nama Produk Cartesian dan bidang Cartesius adalah untuk mengenang Rene
Descartes (Prancis) yang pertama kali menyelidiki tentang perkalian himpunan R X R
abad ke-7
Pernyataan berikut bernilai benar
1. Jika himpunan A mempunyai n anggota dan himpunan B mempunyai m anggota, maka
perkalian himpunan A X B mempunyai n x m = nm anggota.
2. Jika A atau B himpunan kosong maka A X B juga merupakan himpunan kosong.
3. Jika A atau B himpunan merupakan himpunan tak berhingga, dan yang lainnya bukan
merupakan himpunan kosong maka A X B juga merupakan himpunan tak berhingga.
RELASI
Fungsi pernyataan yang didefinisikan pada perkalian silang himpunan A dan B (A X B)
dinyatakan sebagai p(x,y).
Jika peubah x dan y pada fungsi pernyataan p(x,y) diganti dengan konstanta a dan b, yang
mana (a,b) A X B maka p(a,b) bernilai benar saja atau salah saja.
Contoh :
A = {Jakarta,Bangkok,Kuala lumpur,Singapura,Manila},
B = {Indonesia,Thailand,Singapura,Malaysia,Filipina}
Dan p(x,y) = “x ibukota y”
Maka p(Bangkok,Thailand) = “Bangkok Ibukota Thailand”
→ benar
Maka jika p(a,b) bernilai benar, dikatakan “a berelasi dengan b” dan ditulis a R b.
Sebaliknya jika p(a,b) tidak bernilai benar maka dikatakan “a tidak berelasi dengan b”.
Dengan demikian maka suatu relasi R membutuhkan
1. Sebuah himpunan A
2. Sebuah himpunan B
3. Adanya suatu p(x,y)

2. Contoh :
Jika R1 terjadi pada himpunan bilangan real R karena p(x,y) = x lebih kecil dari y. Apakah R1
merupakan suatu relasi ?
Penyelesaian :
R1 merupakan suatu relasi pada himpunan bilangan real R karena p(a,b) selalu bernilai benar
saja atau salah saja untuk setiap pasangan terurut bilangan real (a,b).
RELASI real
Ditujukan pada kalimat terbuka yang mendefinisikan relasi yang dikenakan pada dunia nyata.
Misal : x terletak satu mil dari y, x kakak laki-laki y.
RELASI abstrak
Ditujukan pada kalimat terbuka yang mendefinisikan relasi yang bersifat intuitif. Misal : x
kurang dari y, x kuadrat dari y.
DEFINISI RELASI
Jika A dan B adalah himpunan-himpunan sebarang maka suatu relasi R dari A ke B adalah
sebarang subset dari A X B, termasuk himpunan kosong.
Jika R adalah relasi dari A ke B maka suatu pasangan terurut (a,b) adalah anggota R yang
kemudian disebut a berelasi R dengan b, dapat ditulis sebagai a R b atau R(a,b) atau *(a,b)
R atau R : A→B atau R : A→B atau cukup R.
Jika R adalah relasi dari A ke A, yaitu R adalah subset dari A X A, maka R disebut relasi
pada A.
Contoh :
1. Di tentukan A = {1,2,3} dan B {a,b} maka F = {(1,b),(3,a),(3,b)} adalah suatu relasi.
2. Jika P = {2,3,4,5} dan Q = {4,5,6,7,8,9} serta p(x,y) didefinisikan sebagai “x adalah faktor
dari y”, x P, y Q. Bagaimana kita dapat menyatakan relasi R ? (dengan diagram panah,
grafik Cartesius, pasangan terurut)
3. a. Jika n(A) = 2 dan n(B) = 2, ada berapa relasi yang dapat dibuat dari A ke B ?
b. Jika n(A) = 2 dan n(B) = 3, ada berapa relasi yang dapat dibuat dari A ke B ?
c. Jika n(A) = p dan n(B) = q, ada berapa relasi yang dapat dibuat dari A ke B ?
MENYATAKAN RELASI
Perhatikan :
Jika P = {2,3,4,5} dan Q = {4,5,6,7,8,9} serta p(x,y) didefinisikan sebagai “x adalah faktor y”,
x P, y Q. Bagaimana kita dapat menyatakan relasi R ?

3. Relasi dapat dinyatakan dengan :
1. Diagram panah
2. Pasangan berurutan
3. Grafik Cartesius
Contoh :
1. Perhatikan gambar dibahwah ini !
P Q
3 2
5 4
6 8
Tuliskan relasi/hubungan dari himpunan P ke himpunan Q !
2. Sebutkan nama relasi dari himpunan A ke himpunan B !
a. A......................................B b. A...............................................B
1 2 1 5
2 4 2 6
3 6 3 8
4 8 4 9
RELASI INVERS
Jika R adalah relasi dari A ke B, yaitu R ⊂ A X B domain D (daerah asal) dari relasi R
adalah himpunan semua anggota pertama pasangan terurut anggota R, yaitu D = {a/a A,
(a,b) R}.
Range E (daerah hasil) relasi R adalah semua anggota kedua pasangan terurut anggota R,
yaitu E = {b/b B, (a,b) R}.
Contoh :
1. Relasi R = {(2,b),(3,b),(5,e),(2,d),(1,d)}. Tentukan domain dari R dan tentukan range
R!
2. R adalah relasi pada himpunan bilangan real yang didefinisikan oleh kalimat terbuka
4x2 + 9y2 = 36. Dan dapat digambarkan dalam grafik........
Definisi Relasi Invers
Setiap relasi R dari himpunan A ke himpunan B mempunyai relasi invers R-1 dari B ke A
yaitu : R-1 = {(b,a)/(a,b) R}.

4. Dengan kata lain, relasi invers R-1 terdiri dari pasangan terurut yang jika dibalik menjadi
anggota R.
Contoh :
1. Ditentukan M = {1,2,3,4,5} dan R = {(1,3),(1,4),(4,4),(4,3)} adalah relasi pada M. Maka
R-1 =...............
2.
Soal-soal
1. Jika V = {4,5}, U = {a,b}, W = {p,q,r}. Tentukan :
a. V X (U ∪ W)
b. (V X U) ∪ (V X W)
c. V X (U ∩ W)
d. (V X U) ∩ (V X W)
e. V X W X U
2. Arsirlah daerah berikut pada bidang Cartesius :
a. {x| 1<x<5} X {y| -3<y<2}
b. [-2,2] X (-1,3]
3. R adalah relasi pada A = {2,3,4,5,6,7}. Nyatakan R sebagai himpunan pasangan terurut
jika kalimat terbuka dibawah ini mendefinisikan R sebagai :
a. “x dan y hanya mempunyai faktor persekutuan 1”
b. “x adalah kelipatan y”
c. “x adalah setengah kali y”
d. “|x-y| habis dibagi 2”
Pertanyaan
Jika ada hubungan, Tentukan hubungan antara domain dan range dari relasi R dan
domain dan range dari relasi R-1 !

5. Macam-macam Relasi
1. Relasi Refleksif
Definisi :
R adalah relasi pada himpunan A, R ⊂ A X A
R disebut relasi refleksif jika dan hanya jika setiap a A, (a,a) R (setiap anggota berelasi
dengan dirinya sendiri)
2. Relasi Non Refleksif
Definisi :
R adalah relasi pada himpunan A.
R disebut relasi non refleksif jika dan hanya jika ada a A, (a,a) ∉ R (ada anggota A yang
tidak berelasi dengan dirinya sendiri)
3. Relasi Irrefleksif
Definisi :
R adalah relasi pada A.
R disebut relasi irrefleksif jika dan hanya jika setiap a A, (a,a) ∉ R (setiap anggota A tidak
berelasi dengan dirinya sendiri)
Contoh :
Ditentukan H = {a,b,c,d,e} & R1 = {(a,a),(b,c),(c,c),(d,d),(d,b),(e,e)} R2 =
{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(d,b),(e,e)} R3 = {(b,d),(c,a)}
a. Apakah R1 dan R2 merupakan relasi refleksif ?
b. Apakah R1,R2,R3 merupakan relasi non refleksif ?
c. Manakah diantara R1,R2,R3 yang merupakan relasi irrefleksif ?
d. Buatlah masing-masing satu contoh relasi refleksif, relasi non refleksif, relasi irrefleksif
pada himpunan H !
Manakah yang merupakan relasi refleksif, relasi non refleksif, dan relasi irrefleksif ?
a. T = {segitiga pada bidang datar} dan relasi R pada T didefinisikan oleh kalimat terbuka
“x sebangun dengan y”
b. Relasi R yang didefinisikan oleh kalimat terbuka “x membagi y” pada N = {bilangan asli}
c. G = {garis-garis pada bidang datar} dan relasi R pada G didefinisikan sebagai “x tegak
lurus y”
d. C = {bilangan cacah} dan relasi R pada C didefinisikan sebagai “x+y=10”
e. Relasi R didefinisikan oleh kalimat terbuka “x kelipatan dua dari y” pada C = {bilangan
cacah)
f. N = {bilangan asli} dan relasi R pada N didefinisikan sebagai “2x+y=10”
4. Relasi Simetri

6. Definisi :
R adalah relasi pada himpunan A.
R disebut relasi simetris jika dan hanya jika setiap dua anggota a,b R, maka (b,a) R
(untuk setiap dua anggota a,b dari A, jika a berelasi dengan b maka b juga berelasi dengan a)
5. Relasi Non Simetri
Definisi :
R adalah relasi pada pada himpunan A.
R disebut relasi non simetris jika dan hanya jika ada dua anggota a,b A, (a,b) R dan (b,a) ∉
R (ada dua anggota a,b dari A sedemikian hingga a berelasi dengan b tetapi b tidak berelasi
dengan a)
6. Relasi Asimetri
Definisi :
R adalah relasi pada A.
R disebut relasi asimetri, jika dan hanya jika setiap dua anggota a,b A, jika (a,b) R maka
(b,a) ∉ R (setiap dua anggota a,b dari A, jika a berelasi dengan b maka b tidak berelasi dengan
a)
7. Relasi Antisimetri
Definisi :
R adalah relasi pada A.
R disebut relasi antisimetri, jika dan hanya jika setiap dua anggota a,b A, jika (a,b) R
dan (b,a) R maka axb (setiap dua anggota a,b dari A, jika a berelasi dengan b dan b berelasi
dengan a maka a sama bengan b)
Contoh :
Ditentukan A = {3,4,5,6} dan R = {(3,4),(4,3),(6,5),(4,6),(5,6)} pada A.
a. Apakah R merupakan relasi simetri ?
b. Jika ditentukan R1 = {(3,4),(4,3),(6,5),(5,6)} pada A. Apakah R merupakan relasi simetri ?
c. Manakah di antara R dan R1 yang merupakan relasi non simetri ?
d. Jika ditentukan R2 = {(3,4),(4,5),(5,3),(6,5)} R3 = {(3,4),(4,5),(6,5)} R4 = {(3,4),(4,3)} R5
= {(3,3),(4,4)} R6 = {(4,5),(5,4),(3,3)}
Adakah diantara relasi tersebut yang merupakan relasi non simetri ? asimetri ? antisimetri ?
8. Relasi Transitif
Definisi :
R adalah relasi pada himpunan A.

7. R disebut relasi transitif jika dan hanya jika setiap tiga anggota a,b,c A, jika (a,b) R dan
(b,c) R maka (a,c) R (setiap tiga anggota a,b,c dari A jika a berelasi dengan b dan b
berelasi dengan c maka a berelasi dengan c)
9. Relasi Non Transitif
Definisi :
R adalah relasi pada A.
R disebut relasi non transitif pada A jika dan hanya jika ada tiga anggota a,b,c A
sedemikian hingga (a,b) R dan (b,c) R, dan (a,c) ∉ R (ada tiga anggota a,b,c dari A
sedemikian hingga a berelasi dengan b, dan b berelasi dengan c dan a tidak berelasi dengan c)
10. Relasi intransitif
Definisi :
R adalah relasi pada himpunan A.
R disebut relasi intransitif pada A jika dan hanya jika setiap anggota a,b,c A, jika (a,b) R
dan (b,c) R maka (a,c) ∉ R (setiap tiga anggota a,b,c dari A, jika a berelasi dengan b dan b
berelasi dengan c maka a tidak berelasi dengan c)
Contoh :
1. Tentukan A = {3,4,5,6} dan R1 = {(3,4),(4,3),(3,3),(6,5),(4,6),(5,6)} pada A.
a. Apakah R1 merupakan relasi transitif ?
b. Jika ditentukan R2 = {(3,4),(4,3),(3,3),(6,5),(5,6),(6,6)} pada A. Apakah R2
merupakan relasi transitif ?
c. Apakah R1 merupakan relasi non transitif ?
d. Jika ditentukan pada A
R3 = {(3,4),(5,6),(4,3),(6,5)}
R4 = {(3,4),(4,3),(5,6)}
R5 = {(3,4),(4,3)}
R6 = {(3,3),(4,4)}
R7 = {(4,5),(5,4),(4,4)}
Adakah di antara relasi-relasi diatas yang merupakan relasi non transitif ? intransitif ?
11. Relasi Ekivalen
Definisi :
R adalah relasi pada himpunan A.
R adalah relasi ekivalen jika dan hanya jika
a. R merupakan relasi refleksif, yaitu untuk setiap a,a A, (a,a) R
b. R merupakan relasi simetris, yaitu untuk setiap a,b A, jika (a,b) R maka (b,a) R

8. c. R merupakan relasi transitif, yaitu untuk setiap a,b,c A, jika (a,b) R dan (b,c) R
maka (a,c) R.
Contoh :
1. Ditentukan A adalah sebarang himpunan dan relasi R adalah relasi pada A yang
didefinisikan sebagai “x = y”. Apakah R merupakan relasi ekivalen ?