PENGERTIAN RELASI

1. 1. PENGERTIAN RELASI
Misalkan relasi pada himpunan A dan B adalah dua himpunan sebarang, suatu relasi
dari A ke B adalah himpunan bagian dari A x B yaitu pasangan terurut (a,b) dimana a ∈ A
dan b ∈ B. Jika R adalah suatu relasi dari A ke B, dikatakan bahwa a ∈ A berelasi dengan b
∈ B, berelasi dengan b ∈ B, jika (a,b) ∈ R dan dinotasikan dengan aRb artinya a direlasikan
ke b oleh R. Namun jika a tidak berelasi dengan b, maka (a,b) ∉ R dinotasikan dengan a R
b.Jika A = B maka R disebut relasi pada A.
Contoh:
jika himpunan A={3,4,5,8} dan B={1,9} maka AxB={(3,1), (3,9), (4,1), (4,5), (5,1), (5,9),
(8,1), (8,9)} jika relasi antara A dan B dinyatakan dengan relasi ‘lebih dari’ maka relasinya
adalah {(3,1), (4,1), (5,1), (8,1)}.
Dari pengertian di atas dapat kita tarik pengertian bahwa relasi adalah suatu aturan
yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A
ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-
anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.
Jika diketahui relasi dari A ke B dengan A={1,3,5} dan B= {2,6,10,14} adalah “dua
kali dari” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram
Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.
Kali ini, diperkenalkan 4 cara menyatakan relasi, yaitu:
1. Himpunan Pasangan Berurutan
{(1,2),(3,6),(5,10)}
Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan
pasangan berurutan.
2. Diagram Panah
A B
1.
3.
5.
.2
.6
.10
.14

2. Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:
1. Membuat dua lingkaran atau elips
2. Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan
pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B
3. x dan y di hubungkan dengan anak panah
4. Arah anak panah menunjukkan arah relasi
5. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi
3. Diagram Cartesius
y
5
3
1
x
2 6 10 14
Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu sumbu mendatar
(horizontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.
1. x=A diletakkan pada sumbu mendatar
2. y=B diletakkan pada sumbu tegak
3. pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai
pasangan berurutan (x,y)
4. Dengan Rumus
Dengan rumus f(x) = 2x atau y = 2x dengan x ∈ A ={1,3,5}
2. SIFAT-SIFAT RELASI
a. Refleksif

3. Relasi R bersifat refleksif jika (x,x) ∈ R, untuk setiap x∈A.
Contoh :
Apabila diketahui A={1,2,3} dan relasi R={(1,1), (1,3), (2,2), (2,1), (3,3)} pada A,
maka R adalah refleksif karena untuk setiap a∈ A terdapat (a,a) ∈ R.
b. Anti Refleksif
Suatu relasi R dikatan anti refleksi jika (x,x) ∉ R, untuk x ∈ A. Dengan kata lain
relasi R adalah anti refleksif pada A jika untuk setiap x∈A, tidak terpenuhi xRx.
Contoh :
Misalkan B = {a,b,c} dan relasi R ={(a,c),(b,c),(b,a)}, maka relasi R adalah anti-
refleksif karena (a,a), (b,b), (c,c) ∉ R.
c. Simetris
Suatu relasi R dikatakan simetris jika (a,b) ∈ R maka (b,a) ∈ R .
Contoh:
Perhatikan relasi pada himunan A={1,2,3,4}
R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)}
R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)}
R3 ={(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)}
R4={(2,1), (3,1), (3,2), (4,2), (4,1), (4,3)}
R5={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}
R6={(3,4)}
Jadi yang merupakan relasi simetris adalah R2 dan R3.
d. Antisimetris
Relasi R pada himpunan A disebut anti simetris jika (a,b) ∈ R dan (b,a) ∈ R.
Contoh :
Perhatikan relasi pada himunan A={1,2,3,4}.

4. R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)}
R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)}
R3 ={(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)}
R4={(2,1), (3,1), (3,2), (4,2), (4,1), (4,3)}
R5={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}
R6={(3,4)}
Jadi yang merupakan relasi anti simetris adalah R4,R5,R6 .
e. Relasi Transitif
Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat transitif jika (a, b) ∈ R dan
(b, c) ∈ R maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.
Contoh :
Perhatikan relasi pada himpunan A={1,2,3,4}
R1 = {(1,1), (1,2), (2,3), (1,3),(4,4)}
R2 = {(1,1), (1,2), (2,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
R3 ={(1,3), (2,1)}
R4= relasi kosong
R5= A x A, relasi universal
Relasi R3 tidak transitif karena (1,3), (2,1) ∈ R3 tapi (2,3) ∉ R3. Semua relasi-relasi lainnya
adalah transitif.