Dokumen tersebut membahas tentang relasi matematika antara dua himpunan, termasuk definisi relasi, contoh relasi, sifat-sifat relasi seperti refleksif, simetris, dan transitif, serta operasi-operasi pada relasi seperti komposisi, persilangan, dan penyatuan relasi.
Dokumen tersebut membahas tentang relasi matematika antara dua himpunan, termasuk definisi relasi, contoh relasi, sifat-sifat relasi seperti refleksif, simetris, dan transitif, serta operasi-operasi pada relasi seperti komposisi, persilangan, dan penyatuan relasi.
Dokumen tersebut membahas tentang matriks, relasi, dan fungsi. Secara singkat, matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam baris dan kolom, relasi adalah hubungan antara dua himpunan, sedangkan fungsi adalah pemetaan satu-ke-satu antara dua himpunan.
Relasi merupakan hubungan antara dua himpunan. Dokumen menjelaskan definisi relasi, contoh relasi, sifat-sifat relasi seperti refleksif, simetris, transitif, dan operasi-operasi pada relasi seperti invers dan komposisi relasi. Dokumen juga membahas relasi kesetaraan, kelas kesetaraan, matriks relasi, dan klosur relasi.
[/ringkasan]
Relasi dan fungsi memberikan konsep penting dalam matematika untuk menghubungkan dua himpunan. Relasi adalah hubungan antara dua himpunan, sedangkan fungsi adalah relasi khusus dimana setiap elemen di himpunan asal dihubungkan dengan tepat satu elemen di himpunan hasil."
Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi PeluangEko Mardianto
Dokumen tersebut membahas konsep variabel acak dan distribusi peluang. Variabel acak merupakan fungsi yang memetakan ruang kejadian ke ruang bilangan riil. Dokumen ini menjelaskan konsep variabel acak, nilai harapan, ragam, dan berbagai jenis distribusi peluang seperti diskret dan kontinu beserta contoh-contohnya.
Dokumen ini membahas integral lipat tiga pada koordinat tabung dan koordinat bola. Koordinat tabung dan bola digunakan untuk mempermudah perhitungan integral lipat tiga pada benda pejal dengan sumbu simetri. Metode partisi dengan elemen volume tabung atau bola digunakan untuk mendekati integral menjadi rumus baru yang bergantung pada koordinat tabung atau bola. Contoh soal integral lipat tiga pada tabung lingkaran dan benda pejal homogen di batasi oleh
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang ruang vektor umum, ruang bagian, dan beberapa contohnya. Ruang vektor didefinisikan sebagai himpunan dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang memenuhi 10 sifat tertentu. Ruang bagian adalah ruang vektor yang merupakan bagian dari ruang vektor lain dengan operasi yang sama.
Determinan Matriks ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
Dokumen tersebut membahas tentang materi Aljabar Linear Elementer yang terdiri dari 8 bab yang mencakup operasi matriks, determinan matriks, sistem persamaan linear, vektor, ruang vektor, transformasi linear, ruang eigen. Dokumen selanjutnya lebih spesifik membahas tentang determinan matriks, permutasi, definisi determinan, dan cara menghitung determinan dengan operasi baris elemen dan ekspansi kofaktor.
Dokumen tersebut membahas tentang produk cartesius, relasi, dan fungsi. Produk cartesius adalah himpunan semua pasangan terurut yang terdiri dari elemen-elemen dari dua himpunan. Relasi adalah subset dari produk cartesius dua himpunan yang mendefinisikan hubungan antara elemen-elemennya. Ada berbagai jenis relasi seperti relasi refleksif, simetris, transitif. Fungsi adalah relasi khusus antara dua himp
Dokumen tersebut membahas tentang mapping diagram hubungan entitas (ER diagram) ke dalam bentuk tabel, skema relasi, dan diagram relasi antar tabel dalam basis data. Langkah-langkah pemappingan mencakup implementasi entitas ke tabel dan skema relasi, serta penambahan atribut relasi untuk hubungan 1:1 dan 1:N, serta pembuatan tabel khusus untuk hubungan N:N.
Matematika Diskrit - 07 teori bilangan - 01KuliahKita
Dokumen tersebut membahas tentang teori bilangan bulat dan algoritma Euclidean untuk menemukan pembagi bersama terbesar (PBB) dari dua bilangan bulat. Bilangan bulat adalah bilangan tanpa pecahan desimal, sedangkan algoritma Euclidean menggunakan serangkaian pembagian untuk menemukan PBB dua bilangan dengan sisa terakhir.
Dokumen tersebut membahas tentang statistika dan statistika, populasi dan sampel, jenis data dan ukuran pemusatan data, ukuran penyebaran data, serta penyajian data statistik menggunakan tabel, diagram batang, diagram garis, diagram lingkaran.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan bidang, vektor normal, bidang sejajar, dan bidang tegak lurus. Persamaan bidang umumnya ditulis sebagai ax + by + cz + d = 0, dimana vektor normalnya adalah (a, b, c). Dua bidang dikatakan sejajar jika memiliki vektor normal yang sama atau berkelipatan, sedangkan bidang dikatakan tegak lurus jika hasil vektor normal kedua bidang bernilai n
Teks tersebut membahas tentang pola bilangan, barisan aritmatika, dan deret aritmatika. Ia menjelaskan definisi dan rumus-rumus dasar untuk menghitung suku ke-n pada barisan aritmatika dan jumlah n suku pertama pada deret aritmatika. Contoh soal juga diberikan beserta penyelesaiannya untuk menerapkan konsep tersebut.
Dokumen tersebut membahas tentang ruang vektor, subruang, basis dan dimensi, serta beberapa contoh aplikasi ruang vektor seperti metode optimasi, sistem kontrol, dan operation research.
Matematika Diskrit - 06 relasi dan fungsi - 03KuliahKita
Dokumen tersebut membahas sifat-sifat relasi biner seperti refleksif, menghantar, setangkup, dan tolak-setangkup. Relasi dikatakan refleksif jika pasangan (a,a) termasuk dalam relasi untuk setiap a, menghantar jika (a,b) dan (b,c) termasuk relasi maka (a,c) juga termasuk, setangkup jika (a,b) termasuk relasi maka (b,a) juga termasuk,
Dokumen tersebut membahas tentang matriks, relasi, dan fungsi. Secara singkat, matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam baris dan kolom, relasi adalah hubungan antara dua himpunan, sedangkan fungsi adalah pemetaan satu-ke-satu antara dua himpunan.
Relasi merupakan hubungan antara dua himpunan. Dokumen menjelaskan definisi relasi, contoh relasi, sifat-sifat relasi seperti refleksif, simetris, transitif, dan operasi-operasi pada relasi seperti invers dan komposisi relasi. Dokumen juga membahas relasi kesetaraan, kelas kesetaraan, matriks relasi, dan klosur relasi.
[/ringkasan]
Relasi dan fungsi memberikan konsep penting dalam matematika untuk menghubungkan dua himpunan. Relasi adalah hubungan antara dua himpunan, sedangkan fungsi adalah relasi khusus dimana setiap elemen di himpunan asal dihubungkan dengan tepat satu elemen di himpunan hasil."
Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi PeluangEko Mardianto
Dokumen tersebut membahas konsep variabel acak dan distribusi peluang. Variabel acak merupakan fungsi yang memetakan ruang kejadian ke ruang bilangan riil. Dokumen ini menjelaskan konsep variabel acak, nilai harapan, ragam, dan berbagai jenis distribusi peluang seperti diskret dan kontinu beserta contoh-contohnya.
Dokumen ini membahas integral lipat tiga pada koordinat tabung dan koordinat bola. Koordinat tabung dan bola digunakan untuk mempermudah perhitungan integral lipat tiga pada benda pejal dengan sumbu simetri. Metode partisi dengan elemen volume tabung atau bola digunakan untuk mendekati integral menjadi rumus baru yang bergantung pada koordinat tabung atau bola. Contoh soal integral lipat tiga pada tabung lingkaran dan benda pejal homogen di batasi oleh
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang ruang vektor umum, ruang bagian, dan beberapa contohnya. Ruang vektor didefinisikan sebagai himpunan dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang memenuhi 10 sifat tertentu. Ruang bagian adalah ruang vektor yang merupakan bagian dari ruang vektor lain dengan operasi yang sama.
Determinan Matriks ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
Dokumen tersebut membahas tentang materi Aljabar Linear Elementer yang terdiri dari 8 bab yang mencakup operasi matriks, determinan matriks, sistem persamaan linear, vektor, ruang vektor, transformasi linear, ruang eigen. Dokumen selanjutnya lebih spesifik membahas tentang determinan matriks, permutasi, definisi determinan, dan cara menghitung determinan dengan operasi baris elemen dan ekspansi kofaktor.
Dokumen tersebut membahas tentang produk cartesius, relasi, dan fungsi. Produk cartesius adalah himpunan semua pasangan terurut yang terdiri dari elemen-elemen dari dua himpunan. Relasi adalah subset dari produk cartesius dua himpunan yang mendefinisikan hubungan antara elemen-elemennya. Ada berbagai jenis relasi seperti relasi refleksif, simetris, transitif. Fungsi adalah relasi khusus antara dua himp
Dokumen tersebut membahas tentang mapping diagram hubungan entitas (ER diagram) ke dalam bentuk tabel, skema relasi, dan diagram relasi antar tabel dalam basis data. Langkah-langkah pemappingan mencakup implementasi entitas ke tabel dan skema relasi, serta penambahan atribut relasi untuk hubungan 1:1 dan 1:N, serta pembuatan tabel khusus untuk hubungan N:N.
Matematika Diskrit - 07 teori bilangan - 01KuliahKita
Dokumen tersebut membahas tentang teori bilangan bulat dan algoritma Euclidean untuk menemukan pembagi bersama terbesar (PBB) dari dua bilangan bulat. Bilangan bulat adalah bilangan tanpa pecahan desimal, sedangkan algoritma Euclidean menggunakan serangkaian pembagian untuk menemukan PBB dua bilangan dengan sisa terakhir.
Dokumen tersebut membahas tentang statistika dan statistika, populasi dan sampel, jenis data dan ukuran pemusatan data, ukuran penyebaran data, serta penyajian data statistik menggunakan tabel, diagram batang, diagram garis, diagram lingkaran.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan bidang, vektor normal, bidang sejajar, dan bidang tegak lurus. Persamaan bidang umumnya ditulis sebagai ax + by + cz + d = 0, dimana vektor normalnya adalah (a, b, c). Dua bidang dikatakan sejajar jika memiliki vektor normal yang sama atau berkelipatan, sedangkan bidang dikatakan tegak lurus jika hasil vektor normal kedua bidang bernilai n
Teks tersebut membahas tentang pola bilangan, barisan aritmatika, dan deret aritmatika. Ia menjelaskan definisi dan rumus-rumus dasar untuk menghitung suku ke-n pada barisan aritmatika dan jumlah n suku pertama pada deret aritmatika. Contoh soal juga diberikan beserta penyelesaiannya untuk menerapkan konsep tersebut.
Dokumen tersebut membahas tentang ruang vektor, subruang, basis dan dimensi, serta beberapa contoh aplikasi ruang vektor seperti metode optimasi, sistem kontrol, dan operation research.
Matematika Diskrit - 06 relasi dan fungsi - 03KuliahKita
Dokumen tersebut membahas sifat-sifat relasi biner seperti refleksif, menghantar, setangkup, dan tolak-setangkup. Relasi dikatakan refleksif jika pasangan (a,a) termasuk dalam relasi untuk setiap a, menghantar jika (a,b) dan (b,c) termasuk relasi maka (a,c) juga termasuk, setangkup jika (a,b) termasuk relasi maka (b,a) juga termasuk,
Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan fungsi matematika. Relasi adalah hubungan antara unsur-unsur dari dua himpunan, yang direpresentasikan sebagai himpunan pasangan terurut. Relasi dapat direpresentasikan menggunakan diagram panah, tabel, matriks, atau graf berarah. Relasi dapat bersifat refleksif, transitive, simetris, atau antisimetris berdasarkan sifat-sifat tertentu.
Matriks adalah susunan skalar dalam bentuk baris dan kolom. Matriks dapat merepresentasikan relasi antara himpunan dengan menggunakan notasi matriks, diagram panah, atau tabel. Relasi biner memiliki sifat seperti refleksif, transitif, simetris, atau antisimetris.
1. Relasi adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain. Relasi biner didefinisikan sebagai himpunan bagian dari perkalian kartesian dua himpunan.
Matriks, relasi, dan fungsi merupakan topik utama dokumen tersebut. Dokumen tersebut memberikan penjelasan singkat tentang konsep-konsep dasar matriks, relasi, dan fungsi seperti definisi matriks, jenis-jenis matriks, representasi relasi, sifat-sifat relasi, dan contoh-contoh penerapannya.
Tutorial ini membahas konsep relasi dan sifat-sifatnya seperti refleksif, simetri, transitif, dan ekivalen. Relasi didefinisikan sebagai hubungan antara elemen-elemen dari dua himpunan, dan dapat direpresentasikan sebagai himpunan pasangan terurut. Sifat-sifat relasi digunakan untuk mengklasifikasi jenis relasi.
Relasi dan fungsi dapat direpresentasikan dalam berbagai cara seperti diagram panah, tabel, matriks, graf berarah. Relasi biner dapat bersifat refleksif, setangkup, tak setangkup, atau menghantar. Relasi juga dapat dikombinasikan melalui operasi seperti komposisi dan inversi."
Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan fungsi matematika. Relasi adalah hubungan antar unsur-unsur himpunan, sedangkan fungsi adalah relasi khusus dimana setiap unsur himpunan A dikaitkan dengan tepat satu unsur himpunan B. Dokumen ini menjelaskan berbagai jenis relasi seperti relasi ekivalen, sifat-sifat relasi seperti refleksif, simetris, dan transitif, serta sifat-sif
Teks tersebut membahas tentang subnetting dan Classless Inter Domain Routing (CIDR). Subnetting digunakan untuk membagi alamat IP menjadi beberapa subnet dengan jumlah yang lebih kecil, sedangkan CIDR merupakan metode baru untuk mengklasifikasi alamat IP tanpa harus tergantung pada kelas A, B, atau C. CIDR memungkinkan penulisan notasi prefix alamat IP dan subnet mask secara lebih sederhana.
Dokumen tersebut membahas tentang pengkabelan jaringan komputer. Terdiri dari tujuan pembelajaran yaitu mahasiswa dapat menjelaskan perangkat jaringan, tipe pengkabelan, dan melakukan praktikum pengkabelan. Materi meliputi peralatan jaringan seperti kartu jaringan, kabel, konektor, dan alat tes kabel. Terdapat pula contoh soal dan praktikum merakit kabel straight dan crossover.
Dokumen tersebut membahas tentang routing dalam jaringan komputer. Secara umum menjelaskan bahwa routing digunakan untuk menghubungkan jaringan ke jaringan lain atau perangkat ke perangkat lain. Ada dua jenis routing yaitu routing statis yang menggunakan konfigurasi manual dengan tujuan IP yang jelas, dan routing dinamis yang mendeteksi jaringan secara otomatis melalui protokol tertentu.
Dokumen tersebut membahas tentang himpunan dalam matematika diskrit. Ia menjelaskan definisi himpunan, penyajian himpunan, kardinalitas, jenis-jenis himpunan, operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan pembuktian pernyataan suatu himpunan menggunakan diagram Venn dan tabel keanggotaan.
Matematika diskrit digunakan untuk menjelaskan struktur dan operasi komputer karena komputer beroperasi secara diskrit dengan unit terkecil bit. Perangkat matematika diskrit meliputi logika matematika, teori himpunan, dan fungsi. Tujuan pembelajaran matematika diskrit adalah memahami operasi logika dan konsep-konsep seperti implikasi dan inferensi.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian dan jenis-jenis array dalam pemrograman komputer. Array adalah kumpulan nilai data yang sama yang disusun secara teratur dengan indeks. Terdapat tiga jenis array yaitu array satu dimensi, dua dimensi, dan tiga dimensi yang membedakan jumlah koordinat untuk mengakses elemennya.
Dokumen tersebut membahas tentang jenis-jenis operator dasar dalam pemrograman komputer seperti operator aritmatika, logika, penugasan, bitwise, increment/decrement, dan relasi beserta contoh penggunaannya.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep pewarisan (inheritance) dalam pemrograman berorientasi objek. Konsep inheritance memungkinkan suatu kelas mewarisi sifat dan metode dari kelas lainnya. Kelas yang mewarisi disebut subclass, sedangkan kelas yang diwarisi disebut superclass. Pewarisan dapat diterapkan dengan menambahkan kata kunci "extends" saat mendeklarasikan subclass. Dokumen ini juga membahas tentang modifier yang mengatur ruang lingkup akses dan overriding
This document discusses polymorphism in object-oriented programming and Java. It defines polymorphism as an object taking on many forms. There are two types of polymorphism in Java: runtime (dynamic) polymorphism and compile-time (static) polymorphism. Runtime polymorphism occurs through method overriding, where a parent class reference can refer to a child class object. Compile-time polymorphism is demonstrated through method overloading, where a class can have multiple methods with the same name but different parameters. Examples are provided to illustrate both types of polymorphism.
1. Enkapsulasi adalah salah satu konsep OOP utama dalam bahasa pemrograman Java yang menyembunyikan data dan membatasi aksesnya.
2. Contoh enkapsulasi dalam kehidupan sehari-hari adalah sistem generator listrik dimana arus listrik dan sistem perputarannya bekerja secara terpisah tanpa saling mempengaruhi.
3. Enkapsulasi memberikan manfaat seperti modularitas dan perlindungan terhadap implementasi internal suatu
P.3 media 2 class, objek, method pada javaahmadmuzaqqi
Class adalah blueprint yang mendefinisikan variabel dan method untuk objek-objek. Objek adalah kumpulan variabel dan method yang terkait berdasarkan class. Method merupakan operasi yang dapat dilakukan objek.
Dokumen tersebut membahas sejarah bahasa pemrograman Java, mulai dari pengembangannya pada tahun 1990 oleh James Gosling di Sun Microsystems hingga perkembangannya menjadi bahasa pemrograman populer saat ini. Dokumen tersebut juga menjelaskan asal usul nama "Java" yang terinspirasi dari kopi Jawa setelah beberapa nama sementara seperti Oak dan Greentalk.
Ppt landasan pendidikan Pai 9 _20240604_231000_0000.pdffadlurrahman260903
Ppt landasan pendidikan tentang pendidikan seumur hidup.
Prodi pendidikan agama Islam
Fakultas tarbiyah dan ilmu keguruan
Universitas Islam negeri syekh Ali Hasan Ahmad addary Padangsidimpuan
Pendidikan sepanjang hayat atau pendidikan seumur hidup adalah sebuah system konsepkonsep pendidikan yang menerangkan keseluruhan peristiwa-peristiwa kegiatan belajarmengajar yang berlangsung dalam keseluruhan kehidupan manusia. Pendidikan sepanjang
hayat memandang jauh ke depan, berusaha untuk menghasilkan manusia dan masyarakat yang
baru, merupakan suatu proyek masyarakat yang sangat besar. Pendidikan sepanjang hayat
merupakan asas pendidikan yang cocok bagi orang-orang yang hidup dalam dunia
transformasi dan informasi, yaitu masyarakat modern. Manusia harus lebih bisa menyesuaikan
dirinya secara terus menerus dengan situasi yang baru.
Materi ini membahas tentang defenisi dan Usia Anak di Indonesia serta hubungannya dengan risiko terpapar kekerasan. Dalam modul ini, akan diuraikan berbagai bentuk kekerasan yang dapat dialami anak-anak, seperti kekerasan fisik, emosional, seksual, dan penelantaran.
Modul Ajar Matematika Kelas 11 Fase F Kurikulum MerdekaFathan Emran
Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka.
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 Fase D Kurikulum Merdeka - [abdiera.com]Fathan Emran
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 7 SMP/MTs Fase D Kurikulum Merdeka.
Workshop "CSR & Community Development (ISO 26000)"_di BALI, 26-28 Juni 2024Kanaidi ken
Dlm wktu dekat, Pelatihan/WORKSHOP ”CSR/TJSL & Community Development (ISO 26000)” akn diselenggarakan di Swiss-BelHotel – BALI (26-28 Juni 2024)...
Dgn materi yg mupuni & Narasumber yg kompeten...akn banyak manfaat dan keuntungan yg didpt mengikuti Pelatihan menarik ini.
Boleh jga info ini👆 utk dishare_kan lgi kpda tmn2 lain/sanak keluarga yg sekiranya membutuhkan training tsb.
Smga Bermanfaat
Thanks Ken Kanaidi
2. Tujuan Pembelajaran
Memahami konsep dasar matrik dan relasi
Memahami bentuk representasi relasi,
Memahami konsep relasi invers,
Memahami konsep kombinasi relasi, serta
Memahami komposisi dan sifat - sifat relasi
3. Matriks
Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-
elemen dalam bentuk baris dan kolom.
Matriks A yang berukuran dari m baris dan n
kolom (m n) adalah:
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
4. Matriks
Matriks bujursangkar adalah matriks yang
berukuran n n.
Dalam praktek, kita lazim menuliskan
matriks dengan notasi ringkas A = [aij].
Matriks simetri adalah matriks yang aij = aji
untuk setiap i dan j.
6. Relasi
Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah
himpunan bagian dari A B.
Notasi: R (A B).
a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang
artinya a dihubungankan dengan b oleh R
a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang
artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.
Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari
R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range)
dari R.
7. Relasi
Misalkan
A = {Amir, Budi, Cecep}, B = {MA2333, DU1203, MA2113, MA2513}
A B = {(Amir, MA2333), (Amir, DU1203), (Amir, MA2113), (Amir, T
MA2513), (Budi, MA2333), (Budi, DU1203), (Budi, MA2113), (Budi,
MA2513), (Cecep, MA2333), (Cecep, DU1203), (Cecep, MA2113), (Amir,
MA2513)}
Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh
mahasiswa pada Semester Ganjil, yaitu
R = {(Amir, MA2333), (Amir, MA2113), (Budi, MA2113),
(Budi, MA2513), (Cecep, MA2513) }
- Dapat dilihat bahwa R (A B),
- A adalah daerah asal R, dan B adalah daerah hasil R.
- (Amir, MA2333) R atau Amir R MA2333
- (Amir, MA2513) R atau Amir R MA2513
8. Relasi
Contoh Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2,
4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R
dari P ke Q dengan (p, q) R jika p habis
membagi q
maka kita peroleh
R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8),
(3, 9), (3, 15) }
9. Relasi
Relasi pada sebuah himpunan adalah
relasi yang khusus
Relasi pada himpunan A adalah relasi dari
A A.
Relasi pada himpunan A adalah himpunan
bagian dari A A.
10. Relasi
Contoh . Misalkan R adalah relasi pada A
= {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh
(x, y) R jika x adalah faktor prima dari y.
Maka
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)}
11. Representasi Relasi
1. Diagram Panah
Amir
Budi
Cecep
IF221
IF251
IF342
IF323
2
3
4
2
4
8
9
15
2
3
4
8
9
2
3
4
8
9
A
B
P
Q
A A
12. Representasi Relasi
2. Tabel
Kolom pertama tabel
menyatakan daerah asal,
sedangkan kolom kedua
menyatakan daerah hasil.
P Q
2 2
2 4
4 4
2 8
4 8
3 9
3 15
13. Representasi Relasi
3. Matriks
Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, …, am} dan B
= {b1, b2, …, bn}.
Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij],
M = dimana
b1 b2 bn
mnmm
n
n
m mmm
mmm
mmm
a
a
a
21
22221
11211
2
1
Rba
Rba
m
ji
ji
ij
),(,0
),(,1
14. Representasi Relasi
4. Graf Berarah
Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan
secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau
digraph)
Graf berarah tidak didefinisikan untuk
merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke
himpunan lain.
Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik
(disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan
terurut dinyatakan dengan busur (arc)
15. Representasi Relasi
Jika (a, b) R, maka sebuah busur dibuat
dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut
simpul asal (initial vertex) dan simpul b
disebut simpul tujuan (terminal vertex).
Pasangan terurut (a, a) dinyatakan
dengan busur dari simpul a ke simpul a
sendiri. Busur semacam itu disebut
gelang atau kalang (loop).
16. Contoh. Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b,
c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada
himpunan {a, b, c, d}.
R direpresentasikan dengan graf berarah sbb:
a
b
c d
Representasi Relasi
17. Sifat-sifat Relasi Biner
Refleksif (reflexive)
Relasi R pada himpunan A disebut
refleksif jika (a, a) R untuk setiap a A.
Relasi R pada himpunan A tidak refleksif
jika ada a A sedemikian sehingga (a, a)
R.
18. Sifat-sifat Relasi Biner
Contoh . Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini
didefinisikan pada himpunan A, maka
Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) }
bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a,
a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4).
Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak bersifat
refleksif karena (3, 3) R.
Contoh . Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat
positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat positif habis
dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga (a, a)R untuk setiap a A.
19. Sifat-sifat Relasi Biner
Contoh . Tiga buah relasi di bawah ini
menyatakan relasi pada himpunan
bilangan bulat positif N.
R : x lebih besar dari y, S : x + y = 5,
T : 3x + y = 10
Tidak satupun dari ketiga relasi di atas
yang refleksif karena, misalkan (2, 2)
bukan anggota R, S, maupun T.
20. Sifat-sifat Relasi Biner
Relasi yang bersifat refleksif
mempunyai matriks yang
elemen diagonal utamanya
semua bernilai 1, atau mii = 1,
untuk i = 1, 2, …, n,
Graf berarah dari relasi yang
bersifat refleksif dicirikan
adanya gelang pada setiap
simpulnya.
1
1
1
1
21. Sifat-sifat Relasi Biner
Menghantar (transitive)
Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika
(a, b) R dan (b, c) R, maka (a, c) R, untuk a, b, c
A.
Contoh . Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di
bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka
a. R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat
menghantar.
23. Sifat-sifat Relasi Biner
R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena
(2, 4) dan (4, 2) R, tetapi (2, 2) R, begitu juga (4, 2)
dan (2, 3) R, tetapi (4, 3) R.
Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar
Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada
(a, b) R dan (b, c) R sedemikian sehingga (a, c)
R.
Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)}
selalu menghantar.
24. Sifat-sifat Relasi Biner
Contoh 12. Relasi “habis membagi” pada
himpunan bilangan bulat positif bersifat
menghantar.
Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis
membagi c. Maka terdapat bilangan positif m
dan n sedemikian sehingga b = ma dan c = nb.
Di sini c = nma, sehingga a habis membagi c.
Jadi, relasi “habis membagi” bersifat
menghantar.
25. Sifat-sifat Relasi Biner
Contoh. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi
pada himpunan bilangan bulat positif N.
R : x lebih besar dari y, S : x + y = 6,
T : 3x + y = 10
R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan
y > z maka x > z.
S tidak menghantar karena, misalkan (4, 2) dan (2, 4)
adalah anggota S tetapi (4, 4) S.
T = {(1, 7), (2, 4), (3, 1)} tidak menghantar.
26. Sifat-sifat Relasi Biner
Relasi yang bersifat menghantar tidak
mempunyai ciri khusus pada matriks
representasinya
Sifat menghantar pada graf berarah
ditunjukkan oleh: jika ada busur dari a ke
b dan dari b ke c, maka juga terdapat
busur berarah dari a ke c.
27. Sifat-sifat Relasi Biner
Setangkup (symmetric) dan tolak-setangkup
(antisymmetric)
Relasi R pada himpunan A disebut setangkup
jika untuk semua a, b A, jika (a, b) R,
maka (b, a) R.
Relasi R pada himpunan A tidak setangkup
jika (a, b) R sedemikian sehingga (b, a)
R.
28. Sifat-sifat Relasi Biner
Relasi R pada himpunan A disebut tolak-
setangkup jika untuk semua a, b A, (a,
b) R dan (b, a) R hanya jika a = b.
Relasi R pada himpunan A tidak tolak-
setangkup jika ada elemen berbeda a
dan b sedemikian sehingga (a, b) R dan
(b, a) R.
29. Sifat-sifat Relasi Biner
Perhatikanlah bahwa istilah setangkup
dan tolak-setangkup tidaklah berlawanan,
karena suatu relasi dapat memiliki kedua
sifat itu sekaligus. Namun, relasi tidak
dapat memiliki kedua sifat tersebut
sekaligus jika ia mengandung beberapa
pasangan terurut berbentuk (a, b) yang
mana a b.
30. Sifat-sifat Relasi Biner
Contoh . Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini
didefinisikan pada himpunan A, maka
Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) }
bersifat setangkup karena jika (a, b) R maka (b, a) juga R.
Di sini (1, 2) dan (2, 1) R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) R.
Perhatikan bahwa R tidak tolak setangkup.
Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak setangkup karena
(2, 3) R, tetapi (3, 2) R. Perhatikan bahwa R juga tidak tolak
setangkup.
Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } tolak-setangkup karena 1 = 1
dan (1, 1) R, 2 = 2 dan (2, 2) R, dan 3 = 3 dan (3, 3) R.
Perhatikan bahwa R juga setangkup.
Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3) } tolak-setangkup karena
(1, 1) R dan 1 = 1 dan, (2, 2) R dan 2 = 2 dan. Perhatikan
bahwa R tidak setangkup.
31. Sifat-sifat Relasi Biner
Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak tolak-
setangkup karena 2 4 tetapi (2, 4) dan (4, 2)
anggota R. Perhatikan bahwa R setangkup
Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } tidak setangkup
tetapi tolak-setangkup, dan R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2),
(3, 3)} tidak setangkup tetapi tolak-setangkup.
Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)}
tidak setangkup dan tidak tolak-setangkup. R tidak
setangkup karena (4, 2) R tetapi (2, 4) R. R
tidak tolak-setangkup karena (2, 3) R dan (3, 2)
R tetap 2 3.
32. Sifat-sifat Relasi Biner
Contoh. Relasi “habis membagi” pada
himpunan bilangan bulat positif tidak setangkup
karena jika a habis membagi b, b tidak habis
membagi a, kecuali jika a = b.
Sebagai contoh, 2 habis membagi 4, tetapi 4
tidak habis membagi 2. Karena itu, (2, 4) R
tetapi (4, 2) R.
Relasi “habis membagi” tolak-setangkup karena
jika a habis membagi b dan b habis membagi a
maka a = b. Sebagai contoh, 4 habis membagi 4.
Karena itu, (4, 4) R dan 4 = 4.
33. Sifat-sifat Relasi Biner
Contoh. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada
himpunan bilangan bulat positif N.
R : x lebih besar dari y, S : x + y = 6, T : 3x + y = 10
R bukan relasi setangkup karena, misalkan 5 lebih besar dari 3 tetapi 3
tidak lebih besar dari 5.
S relasi setangkup karena (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S.
T tidak setangkup karena, misalkan (3, 1) adalah anggota T tetapi
(1,3) bukan anggota T.
S bukan relasi tolak-setangkup karena, misalkan (4, 2) S dan
(4, 2) S tetapi 4 2.
Relasi R dan T keduanya tolak-setangkup (tunjukkan!).
34. Sifat-sifat Relasi Biner
Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang elemen-
elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari
elemen-elemen di atas diagonal utama, atau mij = mji = 1, untuk i =
1, 2, …, n :
Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan
oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.
0
1
0
1
35. Sifat-sifat Relasi Biner
Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu
jika mij = 1 dengan i j, maka mji = 0. Dengan kata lain,
matriks dari relasi tolak-setangkup adalah jika salah satu
dari mij = 0 atau mji = 0 bila i j :
Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak-
setangkup dicirikan oleh: jika dan hanya jika tidak
pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara
dua simpul berbeda.
0
1
10
0
1
36. Latihan
R ADALAH RELASI PADA
HIMPUNAN X=(0,1,2,3,…) YANG
DIDEFINISIKAN OLEH
X2+Y2=25.TULISKAN R SEBAGAI
SEBUAH HIMPUNAN PASANGAN
TERURUT
37. Relasi Inversi
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A
ke himpunan B. Invers dari relasi R,
dilambangkan dengan R–1, adalah relasi
dari B ke A yang didefinisikan oleh
R–1 = {(b, a) | (a, b) R }
38. Relasi Inversi
Contoh 17.
Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}.
Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q)
R jika p habis membagi q
maka kita peroleh
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (4, 4), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }
R–1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P
dengan (q, p) R–1 jika q adalah kelipatan dari p
maka kita peroleh
R–1 = {(2, 2), (4, 2), (8, 2), (4, 4), (8, 4), (9, 3), (15, 3) }
39. Relasi Inversi
Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R,
M =
maka matriks yang merepresentasikan relasi R–1, misalkan N,
diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M,
N = M T =
00110
11000
00111
010
010
101
101
001
40. Mengkombinasikan Relasi
Karena relasi biner merupakan himpunan
pasangan terurut, maka operasi himpunan
seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda
setangkup antara dua relasi atau lebih juga
berlaku.
Jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari
himpuna A ke himpunan B, maka R1 R2,
R1 R2, R1– R2, dan R1 R2 juga adalah relasi
dari A ke B.
42. Latihan
Jika R dan S adalah relasi-relasi refleksif pada
himpunan A, tunjukkan bahwa RS refleksif
Jika R dan S adalah relasi-relasi simetris pada
himpunan A, tunjukkan bahwa RS simetris
Jika R dan S adalah relasi-relasi transitif pada
himpunan A, tunjukkan bahwa RS transitif
43. Mengkombinasikan Relasi
Jika relasi R1 dan R2 masing-masing
dinyatakan dengan matriks MR1 dan MR2,
maka matriks yang menyatakan gabungan
dan irisan dari kedua relasi tersebut
adalah
MR1 R2 = MR1 MR2
MR1 R2 = MR1 MR2
45. Komposisi Relasi
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke
himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan
B ke himpunan C. Komposisi R dan S,
dinotasikan dengan S R, adalah relasi dari A
ke C yang didefinisikan oleh
S R = {(a, c) a A, c C, dan untuk
beberapa b B, (a, b) R dan (b, c) S }
46. Komposisi Relasi
Contoh 20. Misalkan
R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}
adalah relasi dari himpunan {1, 2, 3} ke
himpunan {2, 4, 6, 8} dan
S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}
adalah relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke
himpunan {s, t, u}.
Maka komposisi relasi R dan S adalah
S R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3,
t), (3, u) }
Komposisi relasi R dan S lebih jelas jika
diperagakan dengan diagram panah:
1
2
3
2
4
6
8
s
t
u
47. Komposisi Relasi
Jika relasi R1 dan R2 masing-masing
dinyatakan dengan matriks MR1 dan MR2, maka
matriks yang menyatakan komposisi dari kedua
relasi tersebut adalah
MR2 R1 = MR1 MR2
yang dalam hal ini operator “.” sama seperti
pada perkalian matriks biasa, tetapi dengan
mengganti tanda kali dengan “” dan tanda
tambah dengan “”.
48. Komposisi Relasi
Contoh 21. Misalkan bahwa relasi R1 dan R2
pada himpunan A dinyatakan oleh matriks
MR1 = dan MR2 =
maka matriks yang menyatakan R2 R1 adalah
MR2 R1 = MR1 MR2
= =
000
011
101
101
100
010
)10()10()00()00()00()10()10()00()00(
)10()11()01()00()01()11()10()01()01(
)11()10()01()01()00()11()11()00()01(
000
110
111
50. Latihan
Diketahui A={x|x faktor prima dari 330}
1. Tentukan R, relasi pada A, dengan
R={(x,y)|x+y>=10}, representasikan dalam matriks
dan tentukan sifatnya!
2. Tentukan S, relasi pada A, dengan
S={(x,y)|10<(x-1)(y-2)<35}, dan tentukan sifat-sifat
yang berlaku pada relasi tersebut dan gambar
digrafnya!
3. Tentukan S-1 dalam notasi pembentuk himpunan
kemudian sebutkan elemen-elemen dari S-1 tersebut!
4. Tentukan komposisi SoR didapat dari hasil
perkalian matriksnya!