Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan fungsi. Secara khusus membahas tentang pengertian relasi dan fungsi, contoh-contoh relasi dan fungsi, serta cara menyatakan relasi antara dua himpunan menggunakan diagram panah, himpunan pasangan berurut, dan diagram kartesius. Dokumen tersebut juga menjelaskan ciri-ciri fungsi seperti fungsi satu-satu, fungsi dalam, dan fungsi bijektif.
Dokumen tersebut membahas relasi rekurensi, yang merupakan persamaan yang menghubungkan suatu fungsi numerik dengan dirinya sendiri atau fungsi sebelumnya. Relasi rekurensi dapat berupa linier atau non-linier, homogen atau non-homogen, dan metode penyelesaiannya bergantung pada akar karakteristik dari persamaan terkait. Contoh relasi rekurensi dan cara penyelesaiannya juga diberikan.
Relasi merupakan hubungan antara dua himpunan. Dokumen menjelaskan definisi relasi, contoh relasi, sifat-sifat relasi seperti refleksif, simetris, transitif, dan operasi-operasi pada relasi seperti invers dan komposisi relasi. Dokumen juga membahas relasi kesetaraan, kelas kesetaraan, matriks relasi, dan klosur relasi.
[/ringkasan]
Dokumen tersebut membahas tentang logika predikat, kuantor universal dan eksistensial, serta ingkaran kalimat berkuantor. Logika predikat memperluas logika proposisi dengan memungkinkan predikat untuk menyatakan sesuatu tentang banyak objek sekaligus. Kuantor digunakan untuk mengkuantifikasi seberapa banyak objek yang memenuhi suatu predikat, dan terdiri dari kuantor universal dan eksistensial. Ingkaran kalimat berkuantor meny
Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan fungsi. Secara khusus membahas tentang pengertian relasi dan fungsi, contoh-contoh relasi dan fungsi, serta cara menyatakan relasi antara dua himpunan menggunakan diagram panah, himpunan pasangan berurut, dan diagram kartesius. Dokumen tersebut juga menjelaskan ciri-ciri fungsi seperti fungsi satu-satu, fungsi dalam, dan fungsi bijektif.
Dokumen tersebut membahas relasi rekurensi, yang merupakan persamaan yang menghubungkan suatu fungsi numerik dengan dirinya sendiri atau fungsi sebelumnya. Relasi rekurensi dapat berupa linier atau non-linier, homogen atau non-homogen, dan metode penyelesaiannya bergantung pada akar karakteristik dari persamaan terkait. Contoh relasi rekurensi dan cara penyelesaiannya juga diberikan.
Relasi merupakan hubungan antara dua himpunan. Dokumen menjelaskan definisi relasi, contoh relasi, sifat-sifat relasi seperti refleksif, simetris, transitif, dan operasi-operasi pada relasi seperti invers dan komposisi relasi. Dokumen juga membahas relasi kesetaraan, kelas kesetaraan, matriks relasi, dan klosur relasi.
[/ringkasan]
Dokumen tersebut membahas tentang logika predikat, kuantor universal dan eksistensial, serta ingkaran kalimat berkuantor. Logika predikat memperluas logika proposisi dengan memungkinkan predikat untuk menyatakan sesuatu tentang banyak objek sekaligus. Kuantor digunakan untuk mengkuantifikasi seberapa banyak objek yang memenuhi suatu predikat, dan terdiri dari kuantor universal dan eksistensial. Ingkaran kalimat berkuantor meny
Bab 4 membahas tentang pangkat dan akar bilangan. Pembahasan meliputi konsep dasar bilangan berpangkat, operasi pangkat, bentuk multinomial, sifat-sifat akar, operasi akar, dan penyelesaian persamaan eksponen dan akar.
Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah. Proposisi dapat dikombinasikan menggunakan operator logika seperti dan, atau, dan tidak. Proposisi dapat dibedakan berdasarkan bentuk, sifat, kualitas, dan kuantitasnya.
Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan hasil kali cartesius antara dua himpunan atau lebih. Definisi relasi adalah pernyataan yang mendefinisikan hubungan antara suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Hasil kali cartesius dari dua himpunan adalah himpunan semua pasangan berurutan dengan elemen pertama dari himpunan pertama dan elemen kedua dari himpunan kedua.
Dokumen tersebut membahas strategi dan metode pembuktian dalam mata kuliah Matematika Diskrit. Beberapa strategi pembuktian yang disebutkan antara lain pembuktian langsung dengan metode pengecekan satu per satu, pembuktian berdasarkan kasus, pembuktian dengan eliminasi kasus, dan pembuktian ekuivalensi. Dokumen tersebut juga membahas metode pembuktian tak langsung seperti kontradiksi dan kontraposisi.
Dokumen tersebut membahas konsep dan notasi dasar proposisi dalam logika, termasuk definisi proposisi, operator logika seperti konjungsi, disjungsi, negasi, implikasi, dan tabel kebenaran yang terkait. Diberikan pula contoh-contoh penerapan operator logika dan hukum-hukum aljabar proposisi.
This document contains an individual mathematics exercise analyzing sequences and their limits. It includes 4 problems: 1) writing the first five terms of sequences given by various formulas, 2) determining the formula for the nth term based on the first few terms of various sequences, 3) listing the first five terms of inductively defined sequences, and 4) proving that the limit of b^n as n approaches infinity is 0 for any real number b. The solutions provide the step-by-step work and reasoning for each part of the exercise.
Ringkuman dari dokumen tersebut adalah:
1. Definisi ring polinomial atas suatu ring komutatif R adalah himpunan semua ekspresi polinomial dengan koefisien dari R.
2. Jika R adalah ring, maka himpunan ring polinomial R[x] dengan operasi penjumlahan dan perkalian polinomial adalah ring.
3. Jika D adalah daerah integral, maka ring polinomial D[x] juga merupakan daerah integral.
Dokumen tersebut membahas tentang materi kuliah logika matematika yang mencakup pengertian logika, proposisi, operator logika, tabel kebenaran, hukum-hukum logika, dan proposisi bersyarat. Secara khusus dibahas mengenai pendefinisian proposisi, penggunaan operator logika untuk mengkombinasikan proposisi, dan penggunaan tabel kebenaran untuk mengevaluasi nilai kebenaran proposisi majemuk.
Pengenalan Teknologi Informasi - 2 - Pemanfaatan Teknologi InformasiKuliahKita
Dokumen ini membahas berbagai aplikasi teknologi informasi yang dapat dimanfaatkan di berbagai bidang, mulai dari aplikasi produktivitas seperti pemrosesan dokumen, spreadsheet, agenda, hingga aplikasi kreatif seperti desain grafis dan 3D. Dokumen ini juga menjelaskan contoh aplikasi pemrosesan dokumen, spreadsheet, presentasi, basis data, serta pemanfaatan TI di dunia kerja.
Bab 4 membahas tentang pangkat dan akar bilangan. Pembahasan meliputi konsep dasar bilangan berpangkat, operasi pangkat, bentuk multinomial, sifat-sifat akar, operasi akar, dan penyelesaian persamaan eksponen dan akar.
Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah. Proposisi dapat dikombinasikan menggunakan operator logika seperti dan, atau, dan tidak. Proposisi dapat dibedakan berdasarkan bentuk, sifat, kualitas, dan kuantitasnya.
Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan hasil kali cartesius antara dua himpunan atau lebih. Definisi relasi adalah pernyataan yang mendefinisikan hubungan antara suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Hasil kali cartesius dari dua himpunan adalah himpunan semua pasangan berurutan dengan elemen pertama dari himpunan pertama dan elemen kedua dari himpunan kedua.
Dokumen tersebut membahas strategi dan metode pembuktian dalam mata kuliah Matematika Diskrit. Beberapa strategi pembuktian yang disebutkan antara lain pembuktian langsung dengan metode pengecekan satu per satu, pembuktian berdasarkan kasus, pembuktian dengan eliminasi kasus, dan pembuktian ekuivalensi. Dokumen tersebut juga membahas metode pembuktian tak langsung seperti kontradiksi dan kontraposisi.
Dokumen tersebut membahas konsep dan notasi dasar proposisi dalam logika, termasuk definisi proposisi, operator logika seperti konjungsi, disjungsi, negasi, implikasi, dan tabel kebenaran yang terkait. Diberikan pula contoh-contoh penerapan operator logika dan hukum-hukum aljabar proposisi.
This document contains an individual mathematics exercise analyzing sequences and their limits. It includes 4 problems: 1) writing the first five terms of sequences given by various formulas, 2) determining the formula for the nth term based on the first few terms of various sequences, 3) listing the first five terms of inductively defined sequences, and 4) proving that the limit of b^n as n approaches infinity is 0 for any real number b. The solutions provide the step-by-step work and reasoning for each part of the exercise.
Ringkuman dari dokumen tersebut adalah:
1. Definisi ring polinomial atas suatu ring komutatif R adalah himpunan semua ekspresi polinomial dengan koefisien dari R.
2. Jika R adalah ring, maka himpunan ring polinomial R[x] dengan operasi penjumlahan dan perkalian polinomial adalah ring.
3. Jika D adalah daerah integral, maka ring polinomial D[x] juga merupakan daerah integral.
Dokumen tersebut membahas tentang materi kuliah logika matematika yang mencakup pengertian logika, proposisi, operator logika, tabel kebenaran, hukum-hukum logika, dan proposisi bersyarat. Secara khusus dibahas mengenai pendefinisian proposisi, penggunaan operator logika untuk mengkombinasikan proposisi, dan penggunaan tabel kebenaran untuk mengevaluasi nilai kebenaran proposisi majemuk.
Pengenalan Teknologi Informasi - 2 - Pemanfaatan Teknologi InformasiKuliahKita
Dokumen ini membahas berbagai aplikasi teknologi informasi yang dapat dimanfaatkan di berbagai bidang, mulai dari aplikasi produktivitas seperti pemrosesan dokumen, spreadsheet, agenda, hingga aplikasi kreatif seperti desain grafis dan 3D. Dokumen ini juga menjelaskan contoh aplikasi pemrosesan dokumen, spreadsheet, presentasi, basis data, serta pemanfaatan TI di dunia kerja.
A breakpoint makes a program stop at a specific point so it can be debugged. Breakpoints are implemented by setting an "int 3" instruction at the target memory address using ptrace calls. When the instruction pointer hits this address, it triggers an interrupt that notifies the debugger. The debugger then reverts the "int 3" instruction, advances the instruction pointer, and allows the user to inspect the program state at the breakpoint.
The document profiles an artist and game modeler seeking work opportunities. It provides biographical details about their background as an artist who found their calling in modeling. It outlines their skills in hard surface, organic, and character modeling gained from training at Full Sail University. Their motivations include being an artist who creates new worlds and characters, and their goal is to progress the game industry through new visual ideas.
Salah satu bentuk cipher yang banyak digunakan sekarang adalah block cipher yang cukup robust, dan ECB (electronic code block) yang merupakan bagian dari block cipher di http://kuliahkita.com/kelas/kriptografi/
Catalogues produits 02: balances, modules et plateformes de pesageLAUMAS
Systèmes de dosage à plusieurs balances. Indicateurs avec ports Ethernet et USB pour transfert et mémorisation des données. Indicateurs de pesage avec écran tactile. Panel PC. Terminaux opérateur. Indicateurs pour ponts-bascules. Pesage dynamique en continu sur convoyeur à bande ou à perte de poids. Convertisseurs. Systèmes de limitation de la charge pour machines de levage. Répéteurs de poids. Systèmes pour la préparation du béton. Transmetteurs de poids WI-FI et par radio. Terminaux de pesage avec totalisation des pesées et fonction compte-pièces.
Logiciel de supervision depuis un PC
Gestion des stations de dosage à plusieurs balances. Contrôle silos réservoirs. Supervision des stations de pesage. Systèmes de gestion centrales à béton. Programmes personnalisés à la demande du client, y compris sur panels PC tactiles et panneaux HMI (Terminaux opérateur).
Capteurs de pesage
Appui central, cisaillement, double cisaillement, flexion, traction, compression, profil bas, axes dynamométriques, pour tirants, tension câble, pré-amplifiés, en cartouche, pour pédale de frein, pour pont-bascule, numériques, limiteurs de charge.
Capteurs de pesage certifiés OIML R60 (Organisation Internationale de Métrologie Légale), ATEX (adaptés au pesage dans des atmosphères potentiellement explosives - Directive 94/9/CE ), Traçabilité ACCREDIA -SIT / DKD (Certificat d'étalonnage relatif au service d'étalonnage en Italie / Allemagne), NTEP (conformes aux critères métrologiques des États Unis et du Canada), GOST R (conformes aux critères russes), IP69K (protection étanche contre la poussière et l'eau).
Kit de montage pour capteurs de pesage
LAUMAS est à même de fournir pour tous les capteurs de pesage les accessoires de montage adaptés, afin d'obtenir l'application correcte du capteur ainsi que fiabilité et précision optimales, de façon compatible avec les raccordements mécaniques, électriques et pneumatiques présents sur la structure à peser.
Plateformes et modules de pesage
Plateformes homologuées OIML R6O, CE-M, ATEX, traçabilité ACCREDIA-SIT, IP69K, GOST R.
Solutions adaptées à la réalisation de balances industrielles et de systèmes de pesage industriel de tout type. Plateformes industrielles monocapteur ou à 4 capteurs de pesage. Bascules. Pèse-palettes. Barres peseuses.
Balances multifonctions
Balances compteuses, balances de comptoir (poids prix montant), mini balances de poche. Homologuées CE-M, ATEX, traçabilité ACCREDIA-SIT, IP69K, GOST R. Balances pèse-colis.
Crochets peseurs numériques pour chargements suspendus
Crochets et manilles marqués CE. Crochets peseurs ultra légers, pour ponts roulants, portatifs avec valisette de transport, avec télécommande dotée d'écran et possibilité d'impression, raccordement au PC, totalisation des pesées.
This document discusses the four CRUD operations in SQL programming - Create, Read, Update, and Delete. It provides the syntax and examples for each operation. Create is used to insert new rows into a table. Read selects data from one or more columns in a table. Update modifies existing rows in a table. Delete removes rows from a table based on a condition.
Dokumen ini membahas tentang indeks dalam SQL. Indeks digunakan untuk mempercepat pengambilan data dengan menyimpan pointer menuju data di tabel. Diberikan contoh sintaks pembuatan indeks untuk satu tabel, satu kolom, indeks unik, dan indeks komposit untuk dua kolom atau lebih.
Dokumen ini membahas tentang konsep concurrency pada pemrograman berorientasi objek dengan menggunakan bahasa pemrograman Java. Concurrency digunakan untuk menjalankan beberapa instruksi secara bersamaan menggunakan thread. Dokumen ini juga membahas implementasi thread, perbedaan proses dan thread, interrupts, sinkronisasi, race condition, deadlock, livelock dan starvation. Diberikan contoh kode untuk mendemonstrasikan penggunaan thread.
Bakshi Enterprises was founded in 2006 and supplies, distributes, wholesales and retails various industrial equipment such as fire fighting equipment, safety products, valves, fasteners and more. The company sources high-quality products and aims to meet customer expectations through stringent procedures and competitive pricing. Bakshi Enterprises is contacted located in Delhi, India and led by Mr. Aman Bakshi.
Pengenalan Teknologi Informasi - 6 - PengulanganKuliahKita
Dokumen ini membahas tentang pengulangan dalam pemrograman. Terdapat tiga jenis pengulangan yaitu while loop, for loop, dan nested loop. While loop akan terus dieksekusi selama ekspresi bernilai benar, for loop digunakan untuk mengulangi setiap elemen array, sedangkan nested loop adalah pengulangan dalam pengulangan. Diberikan contoh kode pengulangan menggunakan while dan for loop dalam bahasa pemrograman Python.
Dokumen tersebut membahas beberapa indikator teknikal yang digunakan untuk menganalisis pasar saham, yaitu Relative Strength Index (RSI), Moving Average Convergence Divergence (MACD), dan Bollinger Band. RSI digunakan untuk mengidentifikasi momentum tren pembalikan, MACD menggambarkan konvergensi dan divergensi rata-rata bergerak, sedangkan Bollinger Band digunakan untuk menentukan apakah suatu saham overbought atau oversold.
Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan fungsi matematika. Relasi adalah hubungan antara unsur-unsur dari dua himpunan, yang direpresentasikan sebagai himpunan pasangan terurut. Relasi dapat direpresentasikan menggunakan diagram panah, tabel, matriks, atau graf berarah. Relasi dapat bersifat refleksif, transitive, simetris, atau antisimetris berdasarkan sifat-sifat tertentu.
Matriks, relasi, dan fungsi merupakan topik utama dokumen tersebut. Dokumen tersebut memberikan penjelasan singkat tentang konsep-konsep dasar matriks, relasi, dan fungsi seperti definisi matriks, jenis-jenis matriks, representasi relasi, sifat-sifat relasi, dan contoh-contoh penerapannya.
Matriks adalah susunan skalar dalam bentuk baris dan kolom. Matriks dapat merepresentasikan relasi antara himpunan dengan menggunakan notasi matriks, diagram panah, atau tabel. Relasi biner memiliki sifat seperti refleksif, transitif, simetris, atau antisimetris.
1. Relasi adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain. Relasi biner didefinisikan sebagai himpunan bagian dari perkalian kartesian dua himpunan.
Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan fungsi matematika. Relasi adalah hubungan antar unsur-unsur himpunan, sedangkan fungsi adalah relasi khusus dimana setiap unsur himpunan A dikaitkan dengan tepat satu unsur himpunan B. Dokumen ini menjelaskan berbagai jenis relasi seperti relasi ekivalen, sifat-sifat relasi seperti refleksif, simetris, dan transitif, serta sifat-sif
Relasi dan fungsi dapat direpresentasikan dalam berbagai cara seperti diagram panah, tabel, matriks, graf berarah. Relasi biner dapat bersifat refleksif, setangkup, tak setangkup, atau menghantar. Relasi juga dapat dikombinasikan melalui operasi seperti komposisi dan inversi."
Dokumen tersebut membahas tentang matriks, relasi, dan fungsi. Secara singkat, matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam baris dan kolom, relasi adalah hubungan antara dua himpunan, sedangkan fungsi adalah pemetaan satu-ke-satu antara dua himpunan.
Relasi dan fungsi memberikan konsep penting dalam matematika untuk menghubungkan dua himpunan. Relasi adalah hubungan antara dua himpunan, sedangkan fungsi adalah relasi khusus dimana setiap elemen di himpunan asal dihubungkan dengan tepat satu elemen di himpunan hasil."
Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan fungsi antara dua himpunan. Relasi adalah hubungan antara anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan lain, sedangkan fungsi adalah relasi khusus dimana setiap anggota himpunan asal dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan kawan. Dokumen ini juga menjelaskan cara-cara mendefinisikan relasi dan fungsi melalui diagram panah, diagram cartesius, dan h
Pop-up konfirmasi dibuat menggunakan HTML, CSS dan JavaScript. HTML berisi elemen yang menggelontorkan pop-up dan elemen pop-up itu sendiri. CSS memposisikan dan mendekorasi elemen-elemen tersebut. JavaScript menangani interaksi pengguna dengan menampilkan dan menyembunyikan pop-up saat elemen dilakukan klik atau tombol 'escape' ditekan.
Dokumen ini membahas implementasi card flip menggunakan CSS untuk menampilkan dua sisi konten. Elemen card dibuat dengan tag div dan memiliki dua bagian yaitu front dan back. Style diperkenalkan untuk card, front, dan back agar dapat berputar 180 derajat saat dihover, menampilkan sisi belakang. Implementasi ini dapat diubah sesuai selera untuk aplikasi seperti produk e-commerce.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang implementasi navigasi breadcrumb pada situs web. Navigasi ini digunakan ketika situs memiliki struktur halaman yang dalam agar pengguna tidak tersesat. Dokumen menjelaskan cara membuat navigasi breadcrumb dengan menggunakan tag-tag HTML dan melakukan styling dengan CSS untuk membentuk tampilan berbentuk roti panggang. Beberapa fitur yang ditambahkan antara lain menambahkan efek sudut bulat pada elemen pert
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang cara membuat layout grid menggunakan Flexbox CSS. Metode Flexbox dianggap lebih efisien dalam mengatur tata letak grid dibandingkan metode sebelumnya yang menggunakan floating. Dokumen tersebut menjelaskan properti-properti penting Flexbox seperti display, direction, wrap, flow, align-items, order, dan flex untuk mengatur arah, posisi, urutan, dan ukuran elemen grid. Kemudian diberikan contoh
Dokumen ini membahas tentang pentingnya membuat panduan pembuatan front-end situs web sebelum memulai koding. Panduan ini bertujuan untuk menjaga konsistensi desain dan kode serta mempermudah pemeliharaan dan perbaikan di kemudian hari. Diberikan contoh panduan penamaan untuk HTML dan CSS seperti penggunaan tanda kutip, susunan atribut, dan penamaan class/id yang baik. Secara umum panduan ini digunakan untuk memudahkan pro
Pasar Saham - 32 Discounted Cash Flow (DCF)KuliahKita
Dokumen ini membahas metode Discounted Cash Flow (DCF) untuk menentukan nilai intrinsik suatu perusahaan. DCF melibatkan pendiskonan arus kas masa depan ke nilai sekarang dengan mempertimbangkan nilai waktu dari uang dan biaya modal. Contoh penggunaan DCF untuk menilai harga mesin yang menghasilkan pendapatan tetap selama 10 tahun digunakan untuk menjelaskan konsep-konsep seperti nilai masa kini, nilai mas
Pasar Saham - Equity Research (bagian 1)KuliahKita
Dokumen tersebut membahas analisis saham dengan memahami bisnis perusahaan secara mendalam sebelum melakukan valuasi. Langkah-langkahnya adalah memahami bisnis perusahaan, menerapkan checklist keuangan, dan melakukan valuasi. Checklist keuangan digunakan untuk mengevaluasi pertumbuhan pendapatan, profitabilitas, tingkat utang, persediaan, piutang, arus kas, dan pengembalian ekuitas perusahaan.
Pasar Saham - 30 Investment Due DilligenceKuliahKita
Dokumen tersebut membahas proses due diligence dalam melakukan investasi saham, termasuk membuat checklist kriteria saham yang baik, memahami bisnis perusahaan melalui laporan tahunan, dan menganalisis valuasi saham menggunakan discounted cash flow.
Materi pasar saham yang menjelaskan mengenai rasio finansial yang merupakan salah satu pertimbangan investasi dalam bentuk angka-angka yang dikalkukasi
Tinjauan rasio keuangan perusahaan mencakup empat rasio utama: profitability, leverage, operating dan receivables. Leverage ratio mengukur kemampuan perusahaan membayar hutang dan risiko kegagalan pembayaran. Rasio operasi mengukur efisiensi aset dan modal kerja perusahaan.
Dokumen tersebut membahas berbagai rasio keuangan (financial ratios) yang digunakan untuk menganalisis laporan keuangan perusahaan. Terdapat empat jenis rasio keuangan yang dijelaskan yaitu profitability ratios, leverage ratios, valuation ratios, dan operating ratios, dengan profitability ratios lebih dikembangkan seperti EBITDA Margin, PAT Margin, ROE, ROA, dan ROCE.
Materi pasar saham yang menjelaskan mengenai Cash Flow Statement yang merupakan salah satu laporan yang diterbitkan perusaaah yang dapat dipakai untuk analisis fundamental
2. Sifat-sifat Relasi Biner Relasi biner yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat. 1. Refleksif (reflexive) Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) R untuk setiap a A. Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a A sedemikian sehingga (a, a) R.
3. Contoh 8. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka (a) Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4). (b) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak bersifat refleksif karena (3, 3) R. Contoh 9. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga (a, a)R untuk setiap a A. Contoh 10. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N. R : x lebih besar dari y, S : x + y = 5, T : 3x + y = 10 Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.
4. Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n, 1111 Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya.
5. 2. Menghantar (transitive) Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) R dan (b, c) R, maka (a, c) R, untuk a, b, c A.
6. Contoh 11. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka (a) R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel berikut: Pasangan berbentuk (a, b) (b, c) (a, c) (3, 2) (2, 1) (3, 1) (4, 2) (2, 1) (4, 1) (4, 3) (3, 1) (4, 1) (4, 3) (3, 2) (4, 2) (b) R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena (2, 4) dan (4, 2) R, tetapi (2, 2) R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3) R, tetapi (4, 3) R. (c) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar (d) Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada (a, b) R dan (b, c) R sedemikian sehingga (a, c) R. Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar.
7. Contoh 12. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan positif m dan n sedemikian sehingga b = ma dan c = nb. Di sini c = nma, sehingga a habis membagi c. Jadi, relasi “habis membagi” bersifat menghantar. Contoh 13. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N. R : x lebih besar dari y, S : x + y = 6, T : 3x + y = 10 - R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan y > z maka x > z. - S tidak menghantar karena, misalkan (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S tetapi (4, 4) S. - T = {(1, 7), (2, 4), (3, 1)} menghantar.
8. Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.
9. 3. Setangkup (symmetric) dan tolak-setangkup (antisymmetric) Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b) R, maka (b, a) R untuk a, b A. Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) R sedemikian sehingga (b, a) R. Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) R dan (b, a) R hanya jika a = b untuk a, b A disebut tolak- setangkup. Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) R dan (b, a) R.
10. Contoh 14. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka (a) Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat setangkup karena jika (a, b) R maka (b, a) juga R. Di sini (1, 2) dan (2, 1) R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) R. (b) Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak setangkup karena (2, 3) R, tetapi (3, 2) R. (c) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } tolak-setangkup karena 1 = 1 dan (1, 1) R, 2 = 2 dan (2, 2) R, dan 3 = 3 dan (3, 3) R. Perhatikan bahwa R juga setangkup. (d) Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3) } tolak-setangkup karena (1, 1) R dan 1 = 1 dan, (2, 2) R dan 2 = 2 dan. Perhatikan bahwa R tidak setangkup. (e) Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak tolak- setangkup karena 2 4 tetapi (2, 4) dan (4, 2) anggota R. Relasi R pada (a) dan (b) di atas juga tidak tolak-setangkup. (f) Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } tidak setangkup tetapi tolak-setangkup. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} tidak setangkup dan tidak tolak-setangkup. R tidak setangkup karena (4, 2) R tetapi (2, 4) R. R tidak tolak-setangkup karena (2, 3) R dan (3, 2) R tetap 2 3.
11. Contoh 15. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif tidak setangkup karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Sebagai contoh, 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. Karena itu, (2, 4) R tetapi (4, 2) R. Relasi “habis membagi” tolak-setangkup karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b. Sebagai contoh, 4 habis membagi 4. Karena itu, (4, 4) R dan 4 = 4. Contoh 16. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N. R : x lebih besar dari y, S : x + y = 6, T : 3x + y = 10 - R bukan relasi setangkup karena, misalkan 5 lebih besar dari 3 tetapi 3 tidak lebih besar dari 5. - S relasi setangkup karena (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S. - T tidak setangkup karena, misalkan (3, 1) adalah anggota T tetapi (1, 3) bukan anggota T. - S bukan relasi tolak-setangkup karena, misalkan (4, 2) S dan (4, 2) S tetapi 4 2. - Relasi R dan T keduanya tolak-setangkup (tunjukkan!).
12. Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama, atau mij = mji = 1, untuk i = 1, 2, …, n : 0101 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.
13. Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jika mij = 1 dengan i j, maka mji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasi tolak-setangkup adalah jika salah satu dari mij = 0 atau mji = 0 bila i j : 011001 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak- setangkup dicirikan oleh: jika dan hanya jika tidak pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda.