Kalkulus Proposisi merupakan salah satu mata kuliah yang ada di Jurusan Teknik Informatika, untuk lebih lanjut silahkan kunjungi http://blogs.unpas.ac.id/anisamaulina/2012/11/24/jurusan-teknik-informatika/

1. Matematika Logika
Logika Preposisi
Yenni Fatman, S.T. Teknik
Informatika -
@2012 Unpas

2. Ekivalensi Logis .. (1)
Negasi Ganda  p  p
Hukum (pq)  (qp)
Komutatif (pq)  (qp)
(pq)  (qp)
Hukum (pq)  r  p  (qr)
Asosiatif (pq)  r  p  (qr)
Hukum p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
Distributif p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

3. Ekivalensi Logis .. (2)
Hukum (pp)  p
Idempoten (pp)  p
Hukum (p0)  p
Identitas (p1)  1
(p0)  0
(p1)  p
Hukum (p p)  1
Asosiatif (p p)  0

4. Ekivalensi Logis .. (3)
Hukum de (pq)  p  q
Morgan (pq)  p  q
(pq)   (p   q)
(pq)   (p   q)
Kontrapositif (p  q)  (q   p)
Implikasi (p  q)  (p  q)
(p  q)  (p   q)

5. Formula Valid dan Inkonsisten
Suatu formula Suatu formula
dikatakan valid dikatakan
jika dan hanya jika inkonsisten jika
formula tersebut dan hanya jika
tautologi formula tersebut
Suatu formula kontradiksi
dikatakan invalid Suatu formula
jika dan hanya jika dikatakan konsisten
tidak valid jika dan hanya jika
tidak konsisten

6. Implikasi Validitas
Formula adalah Formula adalah
valid jika dan invalid jika dan
hanya jika hanya jika ada
negasinya interpretasi yang
inkonsisten menyebabkannya
Formula adalah salah
inkonsisten jika Formula adalah
dan hanya jika konsisten jika dan
negasinya valid hanya jika ada
interpretasi yang
menyebabkannya

7. Implikasi Validitas
Jika formula pp
adalah valid, – Formula inkonsisten
maka formula – Formula invalid
tersebut pp
konsisten, tetapi – Formula valid
tidak sebaliknya – Formula konsisten
Jika formula pp
– Formula invalid
adalah
– Formula konsisten
inkonsisten, maka
formula tersebut
invalid, tetapi tidak

8. Implikasi Validitas
p p pp
pp
0 1 0 – Formula inkonsisten
1 0 0 – Formula invalid
P P pp pp
– Formula valid
0 1 1
– Formula konsisten
1 0 1
pp
p p p – Formula invalid
p – Formula konsisten
0 1 1
1 0 0

9. Bentuk Normal Formula
Formula dapat dibentuk dengan
menggunakan kombinasi operator
logika ,,,, dan 
Formula yang hanya menggunakan
kombinasi operator logika ,, dan 
disebut Bentuk Normal
– Bentuk Normal Konjungsi:  dan 
– Bentuk Normal Disjungsi:  dan 

10. Transformasi Bentuk Normal
Eliminasi operator  Pindahkan operator
dan , dengan  ke tepat sebelum
menggunakan aturan: atom, dengan
F  G = (F  G)  (F  menggunakan
G) aturan:
F  G = F  G – ( F) = F
– De Morgan:
Gunakan Hukum
• (pq)  p 
Distributif (dan hukum
q
lainnya)
• (pq)  p 
q

11. Transformasi Bentuk Normal
Ubah (P  (Q R)) S ke dalam bentuk normal
konjungsi!
(P  (Q R)) S = (P  (Q  R))  S
=  (P  (Q  R))  S
= ( P   (Q  R))  S
= ( P  (Q   R))  S
= (( P  Q)  ( P   R))  S
= ( P  Q  S )  ( P   R 
S)

12. Transformasi Bentuk Normal
Ubah (p  q)  r ke dalam bentuk
normal disjungsi!
(p  q)  r =  (p  q)  r
= ( p   ( q))  r
= ( p  q )  r

13. Pembuktian Logika
Logika Proposisional adalah alat bantu
untuk argumentasi berdasarkan fakta
dan kesimpulan
– Fakta
– Konklusi / Kesimpulan
– Argumentasi = fakta + konklusi
– Fakta + konklusi adalah benar DAN
terdapat hubungan logis  Argumentasi
benar
– Faktar benar tapi konklusi salah 
Argumentasi salah

14. Pembuktian Logika
Pembuktian Logika: proses membuktikan
benar/salahnya suatu konklusi/kesimpulan
secara logis
Menggunakan fakta-fakta atau argumentasi
yang dinyatakan dalam bentuk preposisi
yang diasumsikan benar
– Fakta disebut Premis (aksioma, postulat, hipotesa)
– Kesimpulan yang ditarik dari premis disebut
konsekuensi logis

15. Metode Pembuktian
Pembuktian Langsung
– Pembuktian dengan tautologi
Pembuktian Tidak Langsung
– Pembuktian dengan kontrapositif
– Pembuktian dengan kontrakdiksi

16. Teknik Pembuktian
Tabel Kebenaran
Penyederhanaan / Normalisasi
Aturan Inferensi

17. Tabel Kebenaran
Cara yang paling sederhana
Langkah-langkah:
– Tentukan formula dari presmi-premis
yang ada
– Tentukan metodenya: langsung/tidak
langsung
– Buat tabel kebenarannya
– Cek berdasarkan tabel, formula tautology /
bukan
– Buat kesimpulan

18. Tabel Kebenaran (Contoh)
Periksalah kesimpulan dari premis-
premis berikut:
– Jika kucing di dalam rumah maka rumah
tidak tenang
– Kucing tidak ada di dalam rumah
– Kesimpulan: rumah pasti tenang
(Betulkah?)

19. Tabel Kebenaran: Pembuktian
Langsung
Ubah premis ke dalam preposisi:
– p: kucing di dalam rumah
– q: rumah tidak tenang
– p  q: Jika kucing di dalam rumah, maka
rumah tidak tenang (fakta)
–  p: Kucing tidak ada di dalam rumah
(fakta)
–  q: Rumah pasti tenang (kesimpulan)
Yang akan dibuktikan kebenarannya: fakta dan
kesimpulan, yaitu ((p  q)   p)   q

20. Tabel Kebenaran
p q p   p (p  q)    q (p  q)  
q p pq
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 0 0
1 0 0 0 0 1 1
1 1 1 0 0 0 1

21. Tabel Kebenaran:
Kesimpulan Pembuktian Langsung
Hasil dari Tabel Kebenaran: Formula
bukan tautologi
Berarti “kesimpulan bahwa rumah pasti
tenang adalah” salah

22. Tabel Kebenaran:
Pembuktian tidak langsung
Menggunakan Kontradiksi
Ubah premis ke dalam preposisi:
– p: kucing di dalam rumah
– q: rumah tidak tenang
– p  q: Jika kucing di dalam rumah, maka
rumah tidak tenang (fakta)
–  p: Kucing tidak ada di dalam rumah
(fakta)
–  q: Rumah pasti tenang (kesimpulan)

23. Tabel Kebenaran:
Pembuktian tidak langsung
Kesimpulan  q: Rumah pasti tenang
Pembuktian tidak langsung dengan
Kontradiksi menggunakan negasi
dari kesimpulan, yaitu:
– Rumah pasti tidak tenang  ( q) = q
Yang akan dibuktikan kebenarannya:
fakta dan kontradiksinya, yaitu ((p 
q)   p)  q

24. Tabel Kebenaran:
Pembuktian tidak langsung
p q p  q  p (p  q)   p (p  q)  
p q
0 0 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0

25. Tabel Kebenaran:
Kesimpulan pembuktian tidak
langsung
Hasil dari tabel kebenaran: Formula
bukan kontradiksi
(p  q)   p  q diharapkan
inkonsisten
Berarti “kesimpulan bahwa rumah pasti
tenang adalah” salah

26. Tabel Kebenaran: Contoh Soal
Buktikan formula q  r adalah
kesimpulan dari premis p  q dan p 
r
Solusi: periksa formula (p  q)  (p 
r)  q  r
Gunakan tabel kebenaran!

27. Tabel Kebenaran: Solusi
p q r p  q p  r q  r (p  q)  (p  r)  q 
r
0 0 0 0 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1

28. Tabel Kebenaran: Kesimpulan
Soal
Formula tersebut Tautology
Berarti formula tersebut Valid
Catatan: Pembuktikan dengan Tabel
Kebenaran adalah mudah jika jumlah
atom tidak banyak dan formula tidak
rumit

29. Penyederhanaan/Normalisasi
Adalah cara pembuktikan dengan
menyambungkan premis-premis
dengan operator logika 
Selanjutnya disederhanakan kembali ke
dalam bentuk normal konjungsi atau
disjungsi
Gunakan ekivalensi logis
Umumnya subtitusikan formula
dengan formula lainnya yang ekivalen

30. Normalisasi: Contoh
Harga saham turun apabila suku bunga
naik. Banyak investor kecewa apabila
harga saham turun. Pada saat ini suku
bunga naik.
Kesimpulan: Investor kecewa
(betulkah?)

31. Normalisasi: Contoh 2
Harga saham turun apabila suku bunga
naik. Banyak investor kecewa apabila
harga saham turun. Pada saat ini
investor kecewa
Kesimpulan: suku bunga naik
(betulkah?)

32. Normalisasi: Contoh
P1: Harga saham turun apabila suku
bunga naik.
P2: Banyak investor kecewa apabila
harga saham turun.
P3: Pada saat ini suku bunga naik.
C: Investor kecewa (betulkah?)

33. Normalisasi: Contoh
Ubah ke dalam Maka:
bentuk simbol- – P1: p  s
simbol: – P2: s  u
– s: harga saham – P3: p
turun
– C: u
– p: suku bunga
naik. ((p  s)  (s  u) 
p)
– u: banyak
investor kecewa Ubah ke dalam
bentuk
normal

34. Normalisasi: Contoh
((p  s)  (s  u)  p)
((ps)(su)p)
(p  (ps)(su))
((p  p) (p  s))(su)
(0 (p  s))(su)
(p  s)(su)
(p  s s)  (p  s  u)
(p  0)  (p  s  u)
0  (p  s  u)
(p  s  u)

35. Normalisasi: Kesimpulan
((p  s)  (s  u)  p)
– Bernilai benar
(p  s  u)
– Bernilai benar juga
– Karena itu u harus bernilai benar
Karena u benar  Kesimpulan
benar

36. Aturan Inferensi
Asumsi terdapat himpunan preposisi
yang terdiri dari sejumlah premis P1,
P2, P3,.., Pn dan sebuah kesimpulan C.
Aturan inferensi digunakan untuk
membuktikan kesimpulan C
berdasarkan himpunan premis dalam
bentuk rangkaian struktur pohon/tree

37. Aturan Inferensi: Contoh
Jika Tommy rajin bekerja, maka ia
mendapat reputasi kerja yang baik. Jika
Tommy memiliki reputasi kerja yang
baik, maka karirnya akan meningkat
dengan cepat. Karir Tommy mandeg.
Oleh karenanya Tommy tidak rajin
bekerja (Benarkah?)

38. Aturan Inferensi: Solusi
Definisikan: Formula yang
– p: Tommy rajin didapat:
bekerja – P1: p  q
– q: mendapat – P2: q  r
reputasi kerja – P3: r
yang baik
– r: karirnya akan
meningkat
dengan cepat

39. Aturan Inferensi: Langkah-langkah
Langkah Alasan
1 pq Premis P1
2 qr Premis P2
3  pr Langkah 1,2: silogisme
hipotetikal
4 r Premis P3
5 p Langkah 3,4: modus tollens

40. Aturan Inferensi: Langkah-langkah
Langkah Alasan
1 qr Premis P2
2 r Premis P3
3 q Langkah 1,2: modus tollens
4 pq Premis P1
5 p Langkah 3,4: modus tollens

41. Aturan Inferensi: Kesimpulan
Berdasarkan pembuktian di atas,
terbukti bahwa kesimpulan Tommy
tidak rajin bekerja adalah benar

42. Aturan Inferensi
Adisi P Simplifikasi PQ
PQ P
Modus P Modus PQ
Ponens PQ Tollens Q
Q  P
Silogisme PQ Silogisme PQ
Disjungtif P Hipotetikal QR
Q  PR
Konjungsi P Prinsip PQ
Q Resolusi PR
 P Q QR