Successfully reported this slideshow.
LOGIKA
Tenia wahyuningrum
Bahan kuliah matematika diskrit
http://st3telkom.ac.id
Bagian II
Bikondisional (Bi-implikasi)
2
Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q”
Notasi: p q
p q p q
T T T
T F F
F T F
F F T
p q...
3
p q p q p q q p (p q) (q p)
T T T T T T
T F F F T F
F T F T F F
F F T T T T
Dengan kata lain, pernyataan “p jika dan han...
4
Cara-cara m enyatakan bikondisional p q:
(a) p jika dan hanya jika q.
(b) p adalah syarat perlu dan cukup untuk q.
(c) J...
5
Contoh 22. Proposisi m ajem uk berikut adalah bi-
im plikasi:
(a) 1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4.
(b) Syarat cu...
6
C ontoh 23. T uliskan setiap proposisi berikut ke dalam bentuk “ p jika dan
hanya jika q”:
(a) Jika udara di luar panas ...
7
 Bila dua proposisi majemuk yang ekivalen
di-bikondisionalkan, maka hasilnya adalah
tautologi (hasilnya benar untuk sem...
Soal latihan 3
8
Sebagian besar orang percaya bahwa harimau Jawa
sudah lama punah. Tetapi, pada suatu hari Amir
membuat pe...
Penyelesaian soal latihan 3
9
(a) Saya melihat harimau di hutan.
(b) Jika saya melihat harimau di hutan, maka saya
juga me...
10
Tabel kebenaran p dan p q
p q p q
T T T
T F F
F T T
F F T
Kasus 1: Amir dianggap berbohong, maka apa yang dikatakan
Ami...
Soal latihan 4
11
[LIU85] Sebuah pulau didiami oleh dua suku asli.
Penduduk suku pertama selalu mengatakan hal
yang benar,...
Penyelesaian soal latihan 4
12
Ada emas di pulau ini jika dan hanya jika saya selalu
mengatakan kebenaran
Misalkan
p : say...
13
Kasus 1: orang tersebut selalu menyatakan hal yang benar. Ini
berarti p benar, dan jawabannya terhadap pertanyaan kita ...
14
Argum en
Argum en adalah suatu deret proposisi yang dituliskan sebagai
p1
p2

pn
q
yang dalam hal ini, p1, p2, … , pn ...
15
Definisi. Sebuah argum en dikatakan sahih jika konklusi
benar bilam ana sem ua hipotesisnya benar; sebaliknya
argum en ...
16
Contoh 1
Perlihatkan bahwa argumen berikut:
Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka
tsunami datang. Air laut su...
17
Cara 1: Bentuklah tabel kebenaran untuk p, q, dan p q
p q p q
T T T (baris 1)
T F F (baris 2)
F T T (baris 3)
F F T (ba...
18
C ara 2: Perlihatkan dengan tabel kebenaran apakah
[ p (p q) ] q
m erupakan tautologi. T abel 1.16 m em perlihatkan bah...
19
C ontoh 2:
Perlihatkan bahw a penalaran pada argum en berikut:
“Jika air laut surut setelah gem pa di laut, m aka tsuna...
20
Contoh 3:
Periksa kesahihan argumen berikut ini:
Jika 5 lebih kecil dari 4, maka 5 bukan bilangan prima.
5 tidak lebih ...
21
Perhatikanlah bahwa meskipun konklusi dari argumen
tersebut kebetulan merupakan pernyataan yang benar (“5
adalah bilang...
Beberapa argumen yang sudah
terbukti sahih22
1. Modus ponen
p q
p
---------------
q
23
2. Modus tollen
p q
~q
---------------
~ p
24
3. Silogisme disjungtif
p q
~p
---------------
q
25
4. Simplifikasi
p q
---------------
p
26
5. Penjumlahan
p
---------------
p q
27
6. Konjungsi
p
q
---------------
p q
Aksioma, Teorema, Lemma, Corollary
28
A ksiom a adalah proposisi yang diasum sikan benar.
A ksiom a tidak m em erlukan pem...
29
C ontoh-contoh teorem a:
a. Jika dua sisi dari sebuah segitiga sam a panjang, m aka
sudut yang berlaw anan dengan sisi ...
Istilah-istilah
30
 logika
 proposisi
 pernyataan
 konjungsi
 disjungsi
 disjungsi eksklusif
 negasi
 tautologi
 ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Logika lanjutan

819 views

Published on

lanjutan materi kuliah logika (logic) untuk digunakan di st3telkom.ac.id

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Logika lanjutan

  1. 1. LOGIKA Tenia wahyuningrum Bahan kuliah matematika diskrit http://st3telkom.ac.id Bagian II
  2. 2. Bikondisional (Bi-implikasi) 2 Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q” Notasi: p q p q p q T T T T F F F T F F F T p q (p q) (q p).
  3. 3. 3 p q p q p q q p (p q) (q p) T T T T T T T F F F T F F T F T F F F F T T T T Dengan kata lain, pernyataan “p jika dan hanya jika q” dapat dibaca “Jika p maka q dan jika q maka p”.
  4. 4. 4 Cara-cara m enyatakan bikondisional p q: (a) p jika dan hanya jika q. (b) p adalah syarat perlu dan cukup untuk q. (c) Jika p m aka q, dan sebaliknya. (d) p iff q
  5. 5. 5 Contoh 22. Proposisi m ajem uk berikut adalah bi- im plikasi: (a) 1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4. (b) Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan adalah kelem baban udara tinggi. (c) Jika anda orang kaya m aka anda m em punyai banyak uang, dan sebaliknya. (d) Bandung terletak di Jawa Barat iff Jawa Barat adalah sebuah propinsi di Indonesia.
  6. 6. 6 C ontoh 23. T uliskan setiap proposisi berikut ke dalam bentuk “ p jika dan hanya jika q”: (a) Jika udara di luar panas m aka anda m em beli es krim , dan jika anda m em beli es krim m aka udara di luar panas. (b) Syarat cukup dan perlu agar anda m em enangkan pertandingan adalah anda m elakukan banyak latihan. (c) A nda naik jabatan jika anda punya koneksi, dan anda punya koneksi jika anda naik jabatan. (d) Jika anda lam a m enonton televisi m aka m ata anda lelah, begitu sebaliknya. (e) K ereta api datang terlam bat tepat pada hari-hari ketika saya m em butuhkannya. Penyelesaian : (a) A nda m em beli es krim jika dan hanya jika udara di luar panas. (b) A anda m em enangkan pertandingan jika dan hanya jika anda m elakukan banyak latihan. (c) A nda naik jabatan jika dan hanya jika anda punya koneksi. (d) M ata anda lelah jika dan hanya jika anda lam a m enonton televisi. (e) K ereta api datang terlam bat jika dan hanya jika saya m em butuhkan kereta hari itu.
  7. 7. 7  Bila dua proposisi majemuk yang ekivalen di-bikondisionalkan, maka hasilnya adalah tautologi (hasilnya benar untuk semua kasus). Teorema:  Dua buah proposisi majemuk, P(p, q, ..) dan Q(p, q, ..) disebut ekivalen secara logika, dilambangkan dengan P(p, q, …) Q(p, q, …), jika P Q adalah tautologi.
  8. 8. Soal latihan 3 8 Sebagian besar orang percaya bahwa harimau Jawa sudah lama punah. Tetapi, pada suatu hari Amir membuat pernyataan-pernyataan kontroversial sebagai berikut: (a) Saya melihat harimau di hutan. (b) Jika saya melihat harimau di hutan, maka saya juga melihat srigala. Misalkan kita diberitahu bahwa Amir kadang-kadang suka berbohong dan kadang-kadang jujur. Gunakan tabel kebenaran untuk memeriksa apakah Amir benar- benar melihat harimau di hutan?
  9. 9. Penyelesaian soal latihan 3 9 (a) Saya melihat harimau di hutan. (b) Jika saya melihat harimau di hutan, maka saya juga melihat srigala. Misalkan p : Amir melihat harimau di hutan q : Amir melihat srigala Pernyataan untuk (a): p Pernyataan untuk (b): p q
  10. 10. 10 Tabel kebenaran p dan p q p q p q T T T T F F F T T F F T Kasus 1: Amir dianggap berbohong, maka apa yang dikatakan Amir itu keduanya salah ( p salah, q salah) Kasus 2: Amir dianggap jujur, maka apa yang dikatakan Amir itu keduanya benar (p benar, q benar). Tabel menunjukkan bahwa mungkin bagi p dan p q benar, tetapi tidak mungkin keduanya salah. Ini berarti Amir mengatakan yang sejujurnya, dan kita menyimpulkan bahwa Amir memang benar melihat harimau di hutan.
  11. 11. Soal latihan 4 11 [LIU85] Sebuah pulau didiami oleh dua suku asli. Penduduk suku pertama selalu mengatakan hal yang benar, sedangkan penduduk dari suku lain selalu mengatakan kebohongan. Anda tiba di pulau ini dan bertanya kepada seorang penduduk setempat apakah di pulau tersebut ada emas atau tidak. Ia menjawab, “Ada emas di pulau ini jika dan hanya jika saya selalu mengatakan kebenaran”. Apakah ada emas di pulau tersebut?
  12. 12. Penyelesaian soal latihan 4 12 Ada emas di pulau ini jika dan hanya jika saya selalu mengatakan kebenaran Misalkan p : saya selalu menyatakan kebenaran q : ada emas di pulau ini Ekspresi logika: p q Tinjau dua kemungkinan kasus: Kasus 1, orang yang memberi jawaban adalah orang dari suku yang selalu menyatakan hal yang benar. Kasus 2, orang yang memberi jawaban adalah orang
  13. 13. 13 Kasus 1: orang tersebut selalu menyatakan hal yang benar. Ini berarti p benar, dan jawabannya terhadap pertanyaan kita pasti juga benar, sehingga pernyataan bi-implikasi tersebut bernilai benar. Dari Tabel bi-implikasi kita melihat bahwa bila p benar dan p q benar, maka q harus benar. Jadi, ada emas di pulau tersebut adalah benar. Kasus 2: orang tersebut selalu menyatakan hal yang bohong. Ini berarti p salah, dan jawabannya terhadap pertanyaan kita pasti juga salah, sehingga pernyataan bi-implikasi tersebut salah. Dari Tabel bi-implikasi kita melihat bahwa bila p salah dan p q salah, maka q harus benar. Jadi, ada emas di pulau tersebut adalah benar. Dari kedua kasus, kita selalu berhasil menyimpulkan bahwa ada emas di pulau tersebut, meskipun kita tidak dapat memastikan dari suku mana orang tersebut.
  14. 14. 14 Argum en Argum en adalah suatu deret proposisi yang dituliskan sebagai p1 p2  pn q yang dalam hal ini, p1, p2, … , pn disebut hipotesis (atau prem is), dan q disebut konklusi. Argum en ada yang sahih (valid) dan palsu (invalid).
  15. 15. 15 Definisi. Sebuah argum en dikatakan sahih jika konklusi benar bilam ana sem ua hipotesisnya benar; sebaliknya argum en dikatakan palsu (fallacy atau invalid). Jika argum en sahih, m aka kadang-kadang kita m engatakan bahwa secara logika konklusi m engikuti hipotesis atau sam a dengan m em perlihatkan bahwa im plikasi (p1 p2 pn) q adalah benar (yaitu, sebuah tautologi). Argum en yang palsu m enunjukkan proses penalaran yang tidak benar.
  16. 16. 16 Contoh 1 Perlihatkan bahwa argumen berikut: Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Air laut surut setelah gempa di laut. Karena itu tsunami datang. adalah sahih. Penyelesaian: Misalkan: p : Air laut surut setelah gempa di laut q : Tsunami datang: Argumen: p q p q Ada dua cara yang dapat digunakan untuk membuktikan kesahihan argumen ini.
  17. 17. 17 Cara 1: Bentuklah tabel kebenaran untuk p, q, dan p q p q p q T T T (baris 1) T F F (baris 2) F T T (baris 3) F F T (baris 4) Argumen dikatakan sahih jika semua hipotesisnya benar, maka konklusinya benar. Kita periksa apabila hipotesis p dan p q benar, maka konklusi q juga benar sehingga argumen dikatakan benar. Periksa tabel, p dan p q benar secara bersama-sama pada baris 1. Pada baris 1 ini q juga benar. Jadi, argumen di atas sahih.
  18. 18. 18 C ara 2: Perlihatkan dengan tabel kebenaran apakah [ p (p q) ] q m erupakan tautologi. T abel 1.16 m em perlihatkan bahw a [ p (p q) ] q suatu tautologi, sehingga argum en dikatakan sahih. T ab el 1.16 [ p (p q) ] q adalah tautologi p q p q p (p q) [ p (p q) ] q T T T T T T F F F T F T T F T F F T F T Perhatikanlah bahw a penarikan kesim pulan di dalam argum en ini m enggunakan m odus ponen. Jadi, k ita kita juga telah m em perlihatkan bahw a m odus ponen adalah argm en yang sahih. 
  19. 19. 19 C ontoh 2: Perlihatkan bahw a penalaran pada argum en berikut: “Jika air laut surut setelah gem pa di laut, m aka tsunam i datang. Tsunam i datang. Jadi, air laut surut setelah gem pa di laut” tidak benar, dengan kata lain argum ennya palsu. Penyelesaian: A rgum en di atas berbentuk p q q p D ari tabel tam pak bahw a hipotesis q dan p q benar pada baris ke-3, tetapi pada baris 3 ini konklusi p salah. Jadi, argum en tersebut tidak sahih atau palsu, sehingga penalaran m enjadi tidak benar. p q p q T T T (baris 1) T F F (baris 2) F T T (baris 3) F F T (baris 4)
  20. 20. 20 Contoh 3: Periksa kesahihan argumen berikut ini: Jika 5 lebih kecil dari 4, maka 5 bukan bilangan prima. 5 tidak lebih kecil dari 4. 5 adalah bilangan prima Penyelesaian: M isalkan p : 5 lebih kecil dari 4 q: 5 adalah bilangan prima. Argumen: p ~q ~p q Tabel memperlihatkan tabel kebenaran untuk kedua hipotesis dan konklusi tersebut. Baris ke-3 dan ke-4 pada tabel tersebut adalah baris di mana p ~q dan ~ p benar secara bersama-sama, tetapi pada baris ke-4 konklusi q salah (meskipun pada baris ke-3 konklusi q benar). Ini berarti argumen tersebut palsu. p q ~ q p ~q ~p T T F F F T F T T F F T F T T F F T T T
  21. 21. 21 Perhatikanlah bahwa meskipun konklusi dari argumen tersebut kebetulan merupakan pernyataan yang benar (“5 adalah bilangan prima” adalah benar), tetapi konklusi dari argumen ini tidak sesuai dengan bukti bahwa argumen tersebut palsu. 
  22. 22. Beberapa argumen yang sudah terbukti sahih22 1. Modus ponen p q p --------------- q
  23. 23. 23 2. Modus tollen p q ~q --------------- ~ p
  24. 24. 24 3. Silogisme disjungtif p q ~p --------------- q
  25. 25. 25 4. Simplifikasi p q --------------- p
  26. 26. 26 5. Penjumlahan p --------------- p q
  27. 27. 27 6. Konjungsi p q --------------- p q
  28. 28. Aksioma, Teorema, Lemma, Corollary 28 A ksiom a adalah proposisi yang diasum sikan benar. A ksiom a tidak m em erlukan pem buktian kebenaran lagi. Contoh-contoh aksiom a: (a) U ntuk sem ua bilangan real x dan y, berlaku x + y = y + x (hukum kom utatif penjum lahan). (b) Jika diberikan dua buah titik yang berbe da, m aka hanya ada satu garis lurus yang m elalui dua buah titik tersebut. Teorem a adalah proposisi yang sudah terbukti benar. Bentuk khusus dari teorem a adalah lem m a dan corolarry.
  29. 29. 29 C ontoh-contoh teorem a: a. Jika dua sisi dari sebuah segitiga sam a panjang, m aka sudut yang berlaw anan dengan sisi tersebut sam a besar. b. U ntuk sem ua bilangan real x, y, dan z, jika x y dan y z, m aka x z (hukum transitif). C ontoh corollary: Jika sebuah segitiga adalah sam a sisi, m aka segitiga tersebut sam a sudut. C orollary ini m engikuti teorem a (a) di atas. C ontoh lem m a: Jika n adalah bilangan bulat positif, m aka n – 1 bilangan positif atau n – 1 = 0.
  30. 30. Istilah-istilah 30  logika  proposisi  pernyataan  konjungsi  disjungsi  disjungsi eksklusif  negasi  tautologi  kontradiksi  implikasi/kondisional  biimplikasi  konvers  invers  kontraposisi  aksioma  teorema  lemma  corollary

×