Dokumen tersebut membahas tentang penerapan kalkulus integral dalam bidang ekonomi. Integral tak tentu digunakan untuk menemukan fungsi total dari variabel ekonomi jika fungsi marjinalnya diketahui, seperti fungsi biaya total, penerimaan total, utilitas total, dan produksi total. Integral tertentu digunakan untuk menghitung surplus konsumen dan produsen pada saat keseimbangan pasar.

1. Pokok Pembahasan:
“Aplikasi Integral Dalam Bidang Ekonomi”
Oleh: Widya Putri
NPM: 1615310170
Kelas: II Siang D
Prodi: Manajemen
Fakultas: Ekonomi Dan Bisnis
UNIVERSITAS PEMBANGUNAN PANCA BUDI
MEDAN 2017

2.  Dalam dunia ekonomi, integral tak tentu ini sering
digunakan dalam menyelesaikan masalah fungsi
biaya, fungsi penerimaan, fungsi utilitas, fungsi
produksi serta fungsi konsumsi dan tabungan.
 Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan
untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu
variabel ekonomi apabila fungsi marjinalnya
diketahui. Karena fungsi marjinal pada dasarnya
merupakan turunan dari fungsi total, maka
dengan proses sebaliknya, yakni integrasi,
dapatlah dicari fungsi asal dari fungsi tersebut
atau fungsi totalnya. Marilah kita lihat masalah
seperti apa yang mungkin akan timbul dari
masing-masing fungsi tersebut.

3.  FUNGSI BIAYA
 Contoh kasus:
Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 - 6Q
+ 4. Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya.
 Biaya total C = f(Q)
Biaya marjinal : MC = C1 = dC/dQ = f1 (Q)
Biaya total tak lain adalah integrasi dari niaya marjinal
C = ∫ MC dQ = ∫ f1 (Q) dQ
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Biya total : C = ∫ MCdQ
= ∫ (3Q2 - 6Q + 4.) dQ
= Q3 - 3Q2 + 4Q + k
 Biaya rata-rata : C/Q = Q3 - 3Q2 + 4Q + k/Q
Konstanta k tak lain adalah biaya tetap. Jika diketahui biaya tetap
tersebut adalah 4, maka:
C = Q3 - 3Q2 + 4Q + 4
AC = Q3 - 3Q2 + 4Q + 4/Q

4.  FUNGSI PENERIMAAN
 Contoh kasus:
Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-
rata dari suatu perusahaan jika penerimaan marjinalnya MR
= 16 – 4Q
 Penerimaan total : R = f(Q)
Penerimaan marjinal : MR = R1 = dR/dQ = f1 (Q)
Penerimaan total tak lain adalah integral dari penerimaan
marjinal
R = ∫ MR dQ = ∫ f1 (Q) Dq
 Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Penerimaan total : R = ∫ MR dQ
= ∫ (16 – 4Q) dQ
= 16Q – 2Q2
Penerimaan rata-rata : AR = R/Q = 16 – 2Q
Dalam persamaan penerimaan total konstanta k = 0, sebab
penerimaan tidak akan ada jika tak ada barang yang
dihasilkan atau terjual.

5.  FUNGSI UTILITAS
 Contoh kasus:
Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika
utilitas marjinalnya MU = 90 – 10Q
 Utilitas total : U = f(Q)
Utilitas marjinal : MU = U1 = dU/dQ = f1 (Q)
Utilitas total tak lain adalah integral dari utilitas marjinal
U = ∫ MU dQ = f1 (Q) dQ
 Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Utilitas total: U = ∫ MU dQ
= ∫ (90 – 10Q) dQ
= 90Q – 5Q2
Seperti halnya produk total dan penerimaan total, disinipun
konstanta k = 0, sebab tak ada kepuasan atau utilitas yang
diperoleh seseorang jika tak ada barang yang dikonsumsi.

6.  FUNGSI PRODUKSI
 Contoh kasus:
Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP =
18x – 3x2 . carilah persamaa produk total dan produk rata-
ratanya.
 Produsi total :P = f(x) dimana.
P = keluaran; x = masukan
Produk marjinal : MP = P1 = dP/dX = f1 (x)
Produk total tak lain adalah integral dari produk marjinal
P = ∫ MPdX = ∫ f1 (x) dX
 Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
Produk total : P = ∫ MPdX
= ∫ (18x – 3x2 ) dX
= 9x2 – x3
Produk rata-rata : AP = p/x = 9x – x2

7.  FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN
 Contoh kasus:
carilah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat sebuah negara
jika diketahui outonomous consumption-nya sebesar 30 milyar dan MPC
= 0,8.
 Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan
fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).
C = f(Y) = a + By
MPC = C 1 = dC/dY = f 1 (Y) = b
Karena Y = C + S, maka
S = g(y) = -a + (1 – b) Y
MPS = S1 = dS/dY = g 1 (Y) = (1 – b)
Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi dan tabungan masing-masing
adalah integral dari marginal propensity to consume dan marginal
propensity to save.
C = ∫ MPC dY = F(Y) + k k ≡ a
S = ∫ MPS dY = G(Y) + k k ≡ -a
Konstanta k pada fungsi produksi da fungsi tabungan masing-masing
adalah outonomous consumption dan outonomous saving.
Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas:
C = ∫ MPC dY = ∫ 0,8 Y + 30 milyar.
S = ∫ MPS dY = ∫ 0,2 Y – 30 milyar.
Atau S = Y – C = Y – (0,8 Y – 30 milyar) = 0,2Y – 30 milyar.

8.  Kalau ʃf(x).dx disebut integral tak tentu yang
merupakan fungsi F (x) + c yang turunannya =
F’(x) = f (x) maka yang dimaksud dengan
integral tertentu adalah integral yang
mempunyai batas bawah dan batas atas, yang
tertulis dalam bentuk
 aʃb f(x).dx ; a adalah batas bawah dan b adalah
batas atas.
 Harga integral ini adalah tertentu yang
ditentukan oleh besarnya harga a dan b, yang
merupakan selisih antara F (b) dan F (a).
 Jadi, aʃb f(x)= [F(x)]b
a =F(b) – F(a)

9.  Notasi [F(x)]b
a berarti bahwa pada fungsi F(x),
harga x harus diganti dengan harga b dan a,
kemudian hitunglah selisih antara F(b) dengan
F(a).
 Dengan demikian pada perhitungan integral
tertentu, kita harus menentukan dulu hasil dari
integral tak tentu, tetapi tidak lagi
memasukkan faktor konstan c pada
perhitungan F(b) – F(a) karena dari selisih F(b)
– F(a) faktor c akan hilang.
 Contoh:
 2ʃ4 (3x2 + 4x – 2).dx = [x3 + 2x2 – 2x]4
2
 = (43 + 2.42 – 2.4) – (23 + 2.22 – 2.2)
 = 88 – 12 = 76

10.  B. Sifat-sifat Integral Tertentu
 1. aʃbf(x).dx = 0
 2. aʃbf(x).dx = –aʃbf(x).dx
 3. aʃbf(x).dx + aʃcf(x).dx = aʃcf(x).dx
 4. aʃb{f(x) + g(x)}.dx = aʃbf(x).dx + aʃbg(x).dx
 5. aʃbk.f(x).dx = k.aʃbf(x).dx ; (k = bilangan
konstan)

11.  Operasi hitung integral dapat diterapkan
dalam persoalan ekonomi, misalnya dalam
integral tak tentu digunakan menghitung
fungsi total, dan dalam integral tertentu
digunakan untuk menghitung surplus
konsumen dan surplus produsen.
 Jika diketahui fungsi demand dan supply suatu
barang, operasi hitung integral dapat dipakai
untuk menghitung surplus konsumen dan
surplus produsen pada saat market
equilibrium atau pada tingkat harga tertentu.

12.  Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih
tinggi (mahal) dari harga equilibrium P0 akan memperoleh
kelebihan (surplus) untuk tiap unit barang yang dibeli dengan
harga P0. Pada saat equilibrium, jumlah total pengeluaran (total
expenditure) konsumen = P0.X0 yang dalam gambar ini adalah
luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan konsumen yang
tadinya bersedia membeli barang ini lebih tinggi dari harga
P0 akan menyediakan uang yang banyaknya = luas daerah yang
dibatasi kurva demand yang sumbu tegak P, sumbu mendatar X,
dan garis ordinat x = x0 (yakni = luas daerah 0ABF).
 Karena itu, besarnya surplus konsumen yakni selisih antara
jumlah uang yang disediakan dikurangi dengan jumlah
pengeluaran nyata konsumen sehingga surplus konsumen dapat
dinyatakan sebagai berikut:
 SK = Luas 0ABF – Luas 0ABC = Luas daerah CBF = oʃxof(x).dx –
P0.X0
 Jika dari fungsi demand p = f(x) maka hasil dari 0ʃaf(x).dx adalah
jumlah uang yang disediakan.

13.  Surplus produsen adalah selisih antara hasil penjualan barang
dengan jumlah penerimaan yang direncanakan produsen dalam
penjualan sejumlah barang. Pada saat harga terjadi price
equilibrium P0 maka penjual barang yang bersedia menjual barang
ini dibawah harga po akan memperoleh kelebihan harga jual
untuk tiap unit barang yang terjual yakni selisih antara po dengan
harga kurang dari po.
 Sedangkan, pada saat equilibrium, penjual barang ini akan
menerima hasil penjualan barang sejumlah P0 . X0 yang dalam
gambar adalah luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan
sebenarnya penjual barang ini bersedia menerima sejumlah uang
yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva supply dengan
sumbu P, sumbu X dan garis ordinat x = xo (yakni luas daerah
0ABE), maka penjual barang ini akan memperoleh surplus
produsen (penjual) sebanyak berikut ini:
 SP = Luas 0ABC – Luas daerah 0ABE = P0.X0 – oʃxcg(x).dx

14.  CONTOH SOAL :
 Diketahui fungsi permintaan dan penawaran
 D: p = –1/2 x2 – 1/2 x + 33
 S: p = 6 + x
 Dapatkan besarnya surplus konsumen pada saat
terjadi markwt equilibrium (ME).
 Penyelesaian:
 ME terjadi pada saat D = S
 –1/2 x2 – 1/2 x + 33 = 6 + x
 –1/2 x2 – 11/2 x + 27 = 0
 X2 + 3x – 54 = (x + 9) (x – 6) = 0
 Jadi, kuantitas equilibrium xo = 6 unit price
equilibrium po = 6 + 6 = 12 satuan rupiah.

15.  Karena market equilibrium terjadi pada xo = 6 dan po = 12 maka;
 SK = 0ʃ6(-1/2 x2 – 1/2 x + 33).dx – 12.6
 = [-1/6 x3 – 1/4 x2 + 33x]6
0
 = (-1/6 63 – 1/4 62 + 33.6) – (0) – 12.6
 = (-36 – 9 + 198) – 72
 = 81
 Angka itu adalah selisih antara jumlah uang yang disediakan
konsumen dengan jumlah uang yang dibelanjakan. Berdasarkan
contoh diatas, surplus produsen adalah:
 SP = 12.6 – 0ʃ6 (6 + x)dx
 = 72 – [6x + 1/2 x2]6
0
 = 72 – ((6.6 + 1/2 62)-0)
 = 72 – 54
 = 18