Downloaded 305 times
![MATEMATIKA EKONOMI
DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM
EKONOMI
FUNGSI BIAYA GABUNGAN
Andaikan sebuah perusahaan memproduksi 2 barang A
dan B, dimana fungsi permintaan atas kedua barang
dicerminkan oleh QA dan QB sedangkan fungsi biaya C =
f(QA, QB)
maka:
Penerimaan dari barang A: RA = QA x PA = f(QA)
Penerimaan dari barang B: RB = QB x PB = f(QB)
Penerimaan total: R = RA + RB = f(QA) + f(QB)
Fungsi keuntungannya:
П = R – C = [f(QA) + f(QB)] – f(QA, QB) = g(QA, QB)
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA](https://image.slidesharecdn.com/bab3differensialparsial-131208044916-phpapp01/75/DIFERENSIAL-PARSIAL-3-EKOMA-1-18-2048.jpg)
Uploaded bymuliajayaabadi
DIFERENSIAL PARSIAL/3/EKOMA/1
Dokumen ini membahas konsep dasar differensial parsial dalam matematika ekonomi, termasuk cara memahami dan menerapkan teorema diferensial total, optimasi bersyarat, serta analisis titik ekstrem maksimum dan minimum. Terdapat contoh penerapan dalam permasalahan ekonomi serta penjelasan tentang elastisitas permintaan dan fungsi biaya gabungan. Selain itu, dokumentasi juga mencakup metode untuk mencapai keseimbangan konsumsi dan optimasi keuntungan dalam konteks bisnis.
More Related Content
Similar to DIFERENSIAL PARSIAL/3/EKOMA/1
DIFERENSIAL PARSIAL/3/EKOMA/1
- 1. MATEMATIKA EKONOMI BAB 3 DIFFERENSIALPARSIAL PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA
- 2. BAB 3 DIFFERENSIALPARSIAL MATEMATIKA EKONOMI Setelah mengikuti perkuliahan ini, mahasiswa dapat : TIK •Memahami pengertian diferensial parsial •Memahami teorema differensial total •Memahami tentang titik ekstrem •Memahami optimasi bersyarat •Menyelesaikan permasalahan ekonomi dengan diferensial parsial PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA
- 3. BAB 3 DIFFERENSIALPARSIAL MATEMATIKA EKONOMI Derivatif parsial DEFINISI Diferensial total NILAI EKSTREM : MAKSIMUM DAN MINIMUM Syarat perlu Syarat cukup Maksimum jika Minimum jika PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA
- 4. MATEMATIKA EKONOMI BAB 3DIFFERENSIAL PARSIAL CONTOH (1): Carilah turunan parsial terhadap x1 dan x2 dari fungsi y = f(x1, x2) = 3x12 + x1x2 +4x22 dengan menganggap x2 konstan, turunan terhadap x1 adalah: y x1 6 x1 x2 turunan terhadap x2: y x1 8 x2 PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA x1
- 5. BAB 3 DIFFERENSIALPARSIAL MATEMATIKA EKONOMI Contoh (2) : Carilah titik ekstrim dari fungsi: y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45 selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut merupakan titik maksimum atau minimum! 1) Titik ekstrim: yx dan yz = 0 y x y z 2 x 12 0 x 6 2 z 10 0 z 5 y = -(6)2 + 12(6) – (5)2 + 10(5) – 45 = 16 letak titik ekstrim adalah (6, 16, 5) → 3-dimensi PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA
- 6. BAB 3 DIFFERENSIALPARSIAL MATEMATIKA EKONOMI 2) Jenis titik ekstrim: yxx dan yzz : 2 y x2 2 2 0 y z 2 2 0 Maka titik ekstrim adalah titik maksimum 16 PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA dengan ymax =
- 7. BAB 3 DIFFERENSIALPARSIAL MATEMATIKA EKONOMI OPTIMASI BERSYARAT optimumkan : z = f (x,y ) syarat yg harus dipenuhi : u = g (x,y ) Fungsi Lagrange : TITIK EKSTREM Syarat Perlu PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA Syarat cukup : Mak s Min
- 8. BAB 3 DIFFERENSIALPARSIAL CONTOH : π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y s.t. X + Y = 12 .…...… (1) Fungsi Lagrangian: .......... (2) L = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y + λ(X + Y – 12) Dengan menggunakan derivatif parsial, solusi ditemukan pada saat f’(z) = 0: L X 80 4 X Y PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA 0 ..................(3)
- 9. BAB 3 DIFFERENSIALPARSIAL MATEMATIKA EKONOMI L Y L X 6Y 100 X Y 12 0 0 ………. (4) ………. (5) Persamaan (3) dikurangi (4): 80 – 4X – Y + λ = 0 100 – X – 6Y + λ = 0 –20 – 3X + 5Y = 0 PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA ………. (6)
- 10. BAB 3 DIFFERENSIALPARSIAL MATEMATIKA EKONOMI Kali (5) dengan 3 dan jumlahkan dengan (6): 3X + 3Y – 36 = 0 –3X + 5Y – 20 = 0 8Y – 56 = 0 ↔ Y* = 7 X + 7 – 12 = 0 ↔ X* = 5 π = 80(5) – 2(5)2 – 5(7) – 3(7)2 + 100(7) = $868 Jenis titik ekstrim: d2π/dX2 = -4 < 0 d2π/dY2 = -8 < 0 titik esktrim maksimum Masukkan nilai Y* & X* ke (3) atau (4), nilai λ: λ = –5 – 42 + 100 = –53 PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA
- 11. BAB 3 DIFFERENSIALPARSIAL MATEMATIKA EKONOMI . . soal •Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi –fungsi berikut : z = 2x + 2y dengan syarat PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA
- 12. MATEMATIKA EKONOMI PENERAPAN DIFFRENSIALPARSIAL DALAM EKONOMI PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA
- 13. DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI MATEMATIKAEKONOMI PERMINTAAN MARJINAL Qd a Pa Permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pa Qd b Pa Permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pa Qd a Pb Permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pb Qd b Pb Permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pb PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA
- 14. DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI MATEMATIKAEKONOMI ELASTISITAS PERMINTAAN PARSIAL Elastisitas permintaan (price elasticity of demand) Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka elastisitas permintaan atas perubahan harga barang itu sendiri: 1) Barang a % Qd a Qd a Pa da % Pa Pa Qd a 2) Barang b db PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA % Qd b % Pb Qd b Pb Pb Qd b
- 15. MATEMATIKA EKONOMI DIFFERERNSIAL PARSIALDALAM EKONOMI Elastisitas Silang (cross elasticity of demand) Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka elastisitas silang yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan dengan perubahan harga barang lainnya: 1) Elastisitas silang barang a dengan barang b % Qd a Qd a Pb ab % Pb Pb Qd a Elastisitas silang barang b dengan barang a % Qd b Qd b Pa ba % Pa Pa Qd b PENI MAWARNINGRUM,S.Pd 2) STIE PUTRA BANGSA
- 16. DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI MATEMATIKAEKONOMI CONTOH : ELASTISITAS 2 BARANG 1) Elastisitas permintaan: cari Qda’ dan Qdb’: Qd b Qd a 3 3 Pa 3 Pb 2 2 Pa Pb Pb Pa bentuk persamaan elastisitas permintaannya: Qd a Pa Pa 3 3 da 2 Pa Pb 2 2 3 Pa Qd a Pa Pb Qd b Pb Pb db Pa Pb 1 3 1 Pa Pb Barang a: elastis, barang b: elastis-uniter PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA Pb Qd b 3 2
- 17. MATEMATIKA EKONOMI 2) DIFFERERNSIAL PARSIALDALAM EKONOMI Elastisitas silang: cari turunan pertama atas a dan b: Qd b Qd a 2 4 3Pa 4 Pb 1 3Pa Pb Pa Pb bentuk persamaan elastisitas silangnya: Qd a Pb Pb 2 4 3Pa Pb 3 ab 2 3 Pb Qd a Pa Pb Qd b Pa Pa 4 1 3Pa Pb 3 ba 3 1 Pa Qd b Pa Pb Hubungan kedua barang adalah komplementer PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA
- 18. MATEMATIKA EKONOMI DIFFERERNSIAL PARSIALDALAM EKONOMI FUNGSI BIAYA GABUNGAN Andaikan sebuah perusahaan memproduksi 2 barang A dan B, dimana fungsi permintaan atas kedua barang dicerminkan oleh QA dan QB sedangkan fungsi biaya C = f(QA, QB) maka: Penerimaan dari barang A: RA = QA x PA = f(QA) Penerimaan dari barang B: RB = QB x PB = f(QB) Penerimaan total: R = RA + RB = f(QA) + f(QB) Fungsi keuntungannya: П = R – C = [f(QA) + f(QB)] – f(QA, QB) = g(QA, QB) PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA
- 19. DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI MATEMATIKAEKONOMI Keuntungan akan optimum ketika П’ = 0: QA 0 QB 0 Titik optimum adalah maksimum jika П’’ < 0: 2 2 QA PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA 2 0 2 QB 0
- 20. MATEMATIKA EKONOMI DIFFERERNSIAL PARSIALDALAM EKONOMI CONTOH : FUNGSI BIAYA GABUNGAN Biaya total yg dikeluarkan sebuah perusahaan yg memproduksi dua barang, X dan Y, adalah: C = QX2 + 3QY2 +QXQY Harga jual per unit masing-masing barang adalah PX = 7 dan PY = 20 Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar keuntungan maksimum? Berapakah besarnya keuntungan maksimum? PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA
- 21. DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI MATEMATIKAEKONOMI A. Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar keuntungan maksimum? RX = PXQX = 7QX RY = PYQY = 20QY R = 7QX + 20QY П = 7QX + 20QY – QX2 – 3QY2 – QXQY QX 7 2Q X QY 0 QY 20 7 – 2(20 – 6QY) – QY = 0 33 – 11QY = 0 → QY = 3 QY = 3 → 20 – 6(3) – QX = 0 → QX = 2 PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA 6QY QX 0
- 22. DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI MATEMATIKAEKONOMI Jika ПXX dan ПYY < 0 maka titik maksimum: 2 2 2 0 2 QY 6 0 2 QX Besarnya keuntungan maksimum: П = 7(2) + 20(3) – (2)2 – 3(3)2 – (2)(3) П = 37 Soal ini juga dapat diselesaikan melalui persamaan marjinalnya, П akan maksimum ketika MR = MC: MRX = MCX dan MRY = MCY PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA
- 23. DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI MATEMATIKAEKONOMI MU DAN KESEIMBANGAN KONSUMSI Derivatif pertama dari U terhadap X dan Y merupakan fungsi utilitas marjinal parsialnya: U x Utilitas marjinal berkenaan dengan barang X U y Utilitas marjinal berkenaan dengan barang Y Budget Line (garis anggaran): garis yang mencerminkan kemampuan konsumen membeli berbagai macam barang berkenaan dgn harga masing-masing barang dan pendapatan konsumen. Jika M adalah pendapatan konsumen dan Px dan Py harga barang X dan Y maka: M = xPx + yPy PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA
- 24. DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI MATEMATIKAEKONOMI Keseimbangan konsumsi—suatu keadaan atau tingkat kombinasi konsumsi beberapa barang yang memberikan tingkat kepuasan optimum—tercapai pada saat kurva indiferensi bersinggungan (tangent) dengan budget line konsumen Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentuk persamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0: L = f(x, y) + λ(xPx + yPy – M) L x f x x, y PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA Px 0 L y f y x, y Py 0
- 25. DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI MATEMATIKAEKONOMI Manipulasi Lx dan Ly: f x x, y L f x x, y Px 0 x Px f x x, y f y x, y L Px f y x, y Py 0 y Py Utilitas marjinal (MU) = U’ = f ‘(x, y), maka: MU X Px MUY Py f y x, y Py Keseimbangan konsumsi tercapai apabila hasilbagi utilitas marjinal dari setiap barang atas harganya adalah sama PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA
- 26. MATEMATIKA EKONOMI DIFFERERNSIAL PARSIALDALAM EKONOMI •Fatah mempunyai usaha mebel yang punya banyak produk. Dua diantaranya adalah kursi ( x) dan meja ( y). Khusus untuk kedua produk tersebut ditarget perminggu menghasilkan 100 unit dengan biaya gabungan f(x.y) = 5x2 + 2y2+xy. Berapakah kombinasi kursi dan meja harus diproduksi perminggu ? •Seorang konsumen ingin membeli dua jenis barang, yaitu kemeja dan kain sarung dengan harga masing-masing per unit Rp. 10.000,- dan Rp. 15.000,-. Uang yang tersedia sebesar Rp. 500.000. jika fungsi kegunaannya U = xy, berapakah jumlah kemeja dan jumlah kain sarung akan dibeli agar tercapai keseimbangan konsumsinya PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIE PUTRA BANGSA
- 27. MATEMATIKA EKONOMI PENI MAWARNINGRUM,S.Pd STIEPUTRA BANGSA