1. MATEMATIKA EKONOMI
BAB 3
DIFFERENSIAL PARSIAL
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA

2. BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
MATEMATIKA EKONOMI
Setelah mengikuti
perkuliahan ini,
mahasiswa dapat :
TIK
•Memahami pengertian diferensial parsial
•Memahami teorema differensial total
•Memahami tentang titik ekstrem
•Memahami optimasi bersyarat
•Menyelesaikan permasalahan ekonomi dengan diferensial parsial
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA

3. BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
MATEMATIKA EKONOMI
Derivatif parsial
DEFINISI
Diferensial total
NILAI EKSTREM : MAKSIMUM DAN MINIMUM
Syarat perlu
Syarat cukup
Maksimum jika
Minimum jika
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA

4. MATEMATIKA EKONOMI
BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
CONTOH (1):
Carilah turunan parsial terhadap x1 dan x2 dari fungsi y =
f(x1, x2) = 3x12 + x1x2 +4x22
dengan menganggap x2 konstan, turunan terhadap x1
adalah:
y
x1
6 x1
x2
turunan terhadap x2:
y
x1
8 x2
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA
x1

5. BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
MATEMATIKA EKONOMI
Contoh (2) :
Carilah titik ekstrim dari fungsi:
y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45
selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut
merupakan titik maksimum atau minimum!
1) Titik ekstrim: yx dan yz = 0
y
x
y
z
2 x 12
0
x
6
2 z 10
0
z
5
y = -(6)2 + 12(6) – (5)2 + 10(5) – 45 = 16
letak titik ekstrim adalah (6, 16, 5) → 3-dimensi
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA

6. BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
MATEMATIKA EKONOMI
2) Jenis titik ekstrim: yxx dan yzz :
2
y
x2
2
2
0
y
z
2
2
0
Maka titik ekstrim adalah titik maksimum
16
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA
dengan ymax =

7. BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
MATEMATIKA EKONOMI
OPTIMASI
BERSYARAT
optimumkan
: z = f (x,y )
syarat yg harus dipenuhi
: u = g (x,y )
Fungsi Lagrange :
TITIK EKSTREM
Syarat Perlu
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA
Syarat cukup :
Mak
s
Min

8. BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
CONTOH :

π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y

s.t. X + Y = 12

.…...… (1)
Fungsi Lagrangian:
.......... (2)
L = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y
+ λ(X + Y – 12)

Dengan menggunakan derivatif parsial, solusi ditemukan
pada saat f’(z) = 0:
L
X
80 4 X Y
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA
0
..................(3)

9. BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
MATEMATIKA EKONOMI
L
Y
L

X 6Y 100
X Y 12 0
0
………. (4)
………. (5)
Persamaan (3) dikurangi (4):
80 – 4X – Y + λ = 0
100 – X – 6Y + λ = 0
–20 – 3X + 5Y = 0
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA
………. (6)

10. BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
MATEMATIKA EKONOMI

Kali (5) dengan 3 dan jumlahkan dengan (6):
3X + 3Y – 36 = 0
–3X + 5Y – 20 = 0
8Y – 56 = 0 ↔ Y* = 7
X + 7 – 12 = 0 ↔ X* = 5

π = 80(5) – 2(5)2 – 5(7) – 3(7)2 + 100(7) = $868

Jenis titik ekstrim:
d2π/dX2 = -4 < 0
d2π/dY2

= -8 < 0
titik esktrim maksimum
Masukkan nilai Y* & X* ke (3) atau (4), nilai λ:
λ = –5 – 42 + 100 = –53
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA

11. BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL
MATEMATIKA EKONOMI
.
.
soal
•Tentukan nilai ekstrim
dan jenisnya dari fungsi –fungsi berikut :
z = 2x + 2y dengan syarat
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA

12. MATEMATIKA EKONOMI
PENERAPAN DIFFRENSIAL PARSIAL DALAM
EKONOMI
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA

13. DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM
EKONOMI
MATEMATIKA EKONOMI
PERMINTAAN MARJINAL
Qd a
Pa
Permintaan marjinal
akan A berkenaan
dengan Pa
Qd b
Pa
Permintaan marjinal
akan B berkenaan
dengan Pa
Qd a
Pb
Permintaan marjinal
akan A berkenaan
dengan Pb
Qd b
Pb
Permintaan marjinal
akan B berkenaan
dengan Pb
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA

14. DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM
EKONOMI
MATEMATIKA EKONOMI
ELASTISITAS PERMINTAAN PARSIAL

Elastisitas permintaan (price elasticity of demand)
Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka
elastisitas permintaan atas perubahan harga
barang itu sendiri:
1) Barang a
% Qd a
Qd a
Pa
da
% Pa
Pa
Qd a
2)
Barang b
db
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA
% Qd b
% Pb
Qd b
Pb
Pb
Qd b

15. MATEMATIKA EKONOMI

DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM
EKONOMI
Elastisitas Silang (cross elasticity of demand)
Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka
elastisitas silang yang mengukur kepekaan
perubahan permintaan suatu barang berkenaan
dengan perubahan harga barang lainnya:
1) Elastisitas silang barang a dengan barang b
% Qd a
Qd a
Pb
ab
% Pb
Pb
Qd a
Elastisitas silang barang b dengan barang a
% Qd b
Qd b
Pa
ba
% Pa
Pa
Qd b
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
2)
STIE PUTRA BANGSA

16. DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM
EKONOMI
MATEMATIKA EKONOMI
CONTOH : ELASTISITAS 2 BARANG
1)
Elastisitas permintaan:
cari Qda’ dan Qdb’:
Qd b
Qd a
3
3
Pa 3 Pb 2
2 Pa Pb
Pb
Pa
bentuk persamaan elastisitas permintaannya:
Qd a
Pa
Pa
3
3
da
2 Pa Pb
2
2
3
Pa
Qd a
Pa Pb
Qd b
Pb
Pb
db
Pa Pb
1
3
1
Pa Pb
Barang a: elastis, barang b: elastis-uniter
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA
Pb
Qd b
3
2

17. MATEMATIKA EKONOMI
2)
DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM
EKONOMI
Elastisitas silang:
cari turunan pertama atas a dan b:
Qd b
Qd a
2
4
3Pa 4 Pb 1
3Pa Pb
Pa
Pb
bentuk persamaan elastisitas silangnya:
Qd a
Pb
Pb
2
4
3Pa Pb
3
ab
2
3
Pb
Qd a
Pa Pb
Qd b
Pa
Pa
4
1
3Pa Pb
3
ba
3
1
Pa
Qd b
Pa Pb
Hubungan kedua barang adalah komplementer
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA

18. MATEMATIKA EKONOMI
DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM
EKONOMI
FUNGSI BIAYA GABUNGAN


Andaikan sebuah perusahaan memproduksi 2 barang A
dan B, dimana fungsi permintaan atas kedua barang
dicerminkan oleh QA dan QB sedangkan fungsi biaya C =
f(QA, QB)
maka:
Penerimaan dari barang A: RA = QA x PA = f(QA)
Penerimaan dari barang B: RB = QB x PB = f(QB)
Penerimaan total: R = RA + RB = f(QA) + f(QB)
Fungsi keuntungannya:
П = R – C = [f(QA) + f(QB)] – f(QA, QB) = g(QA, QB)
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA

19. DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM
EKONOMI
MATEMATIKA EKONOMI

Keuntungan akan optimum ketika П’ = 0:
QA

0
QB
0
Titik optimum adalah maksimum jika П’’ < 0:
2
2
QA
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA
2
0
2
QB
0

20. MATEMATIKA EKONOMI
DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM
EKONOMI
CONTOH : FUNGSI BIAYA GABUNGAN



Biaya total yg dikeluarkan sebuah perusahaan yg
memproduksi dua barang, X dan Y, adalah:
C = QX2 + 3QY2 +QXQY
Harga jual per unit masing-masing barang adalah PX = 7
dan PY = 20
Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar keuntungan
maksimum?
Berapakah besarnya keuntungan maksimum?
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA

21. DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM
EKONOMI
MATEMATIKA EKONOMI
A. Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar keuntungan
maksimum?
RX = PXQX = 7QX RY = PYQY = 20QY
R = 7QX + 20QY
П = 7QX + 20QY – QX2 – 3QY2 – QXQY
QX
7
2Q X
QY
0
QY
20
7 – 2(20 – 6QY) – QY = 0
33 – 11QY = 0 → QY = 3
QY = 3 → 20 – 6(3) – QX = 0 → QX = 2
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA
6QY
QX
0

22. DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM
EKONOMI
MATEMATIKA EKONOMI
Jika ПXX dan ПYY < 0 maka titik maksimum:
2
2
2


0
2
QY
6
0
2
QX
Besarnya keuntungan maksimum:
П = 7(2) + 20(3) – (2)2 – 3(3)2 – (2)(3)
П = 37
Soal ini juga dapat diselesaikan melalui persamaan
marjinalnya, П akan maksimum ketika MR = MC:
MRX = MCX dan MRY = MCY
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA

23. DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM
EKONOMI
MATEMATIKA EKONOMI
MU DAN KESEIMBANGAN KONSUMSI

Derivatif pertama dari U terhadap X dan Y
merupakan fungsi utilitas marjinal parsialnya:
U
x

Utilitas marjinal
berkenaan dengan
barang X
U
y
Utilitas marjinal
berkenaan dengan
barang Y
Budget Line (garis anggaran):
garis yang mencerminkan kemampuan konsumen
membeli berbagai macam barang berkenaan dgn
harga masing-masing barang dan pendapatan
konsumen. Jika M adalah pendapatan konsumen
dan Px dan Py harga barang X dan Y maka:
M = xPx + yPy
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA

24. DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM
EKONOMI
MATEMATIKA EKONOMI


Keseimbangan konsumsi—suatu keadaan atau
tingkat kombinasi konsumsi beberapa barang yang
memberikan tingkat kepuasan optimum—tercapai
pada saat kurva indiferensi bersinggungan
(tangent) dengan budget line konsumen
Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentuk
persamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0:
L = f(x, y) + λ(xPx + yPy – M)
L
x
f x x, y
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA
Px
0
L
y
f y x, y
Py
0

25. DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM
EKONOMI
MATEMATIKA EKONOMI

Manipulasi Lx dan Ly:

f x x, y
L
f x x, y
Px 0
x
Px
f x x, y
f y x, y
L
Px
f y x, y
Py 0
y
Py
Utilitas marjinal (MU) = U’ = f ‘(x, y), maka:
MU X
Px
MUY
Py
f y x, y
Py
Keseimbangan konsumsi tercapai apabila hasilbagi utilitas
marjinal dari setiap barang atas harganya adalah sama
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA

26. MATEMATIKA EKONOMI
DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM
EKONOMI
•Fatah mempunyai usaha mebel yang punya banyak produk. Dua
diantaranya adalah kursi ( x) dan meja ( y). Khusus untuk kedua
produk tersebut ditarget perminggu menghasilkan 100 unit dengan
biaya gabungan f(x.y) = 5x2 + 2y2+xy. Berapakah kombinasi kursi
dan meja harus diproduksi perminggu ?
•Seorang konsumen ingin membeli dua jenis barang, yaitu
kemeja dan kain sarung dengan harga masing-masing per
unit Rp. 10.000,- dan Rp. 15.000,-. Uang yang tersedia
sebesar Rp. 500.000. jika fungsi kegunaannya U = xy,
berapakah jumlah kemeja dan jumlah kain sarung akan
dibeli agar tercapai keseimbangan konsumsinya
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA

27. MATEMATIKA EKONOMI
PENI MAWARNINGRUM,S.Pd
STIE PUTRA BANGSA